SEGMENTOS Y ÁNGULOS

SEGMENTOS
Se llama segmento de recta AB ( AB) al conjunto formado por los puntos A, B y todos los
puntos P entre A y B.
Los puntos A y B se llaman extremos. Las semirrectas determinadas por los extremos de
un segmento y que no tienen más puntos comunes con el segmento, se llaman las
prolongaciones del segmento.

MEDIDA DE SEGMENTOS
La medida de un segmento AB, denotada por m ( AB) o AB, es la distancia entre sus
puntos extremos:
m( AB)  d ( A, B)  AB

SEGMENTOS CONGRUENTES
Segmentos congruentes son aquellos que tienen igual medida:
AB  CD  m( AB)  m(CD)  AB  CD
El símbolo  se lee congruente.

CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a confusión en lugar de AB usaremos AB y en lugar

de AB  CD usaremos AB=CD.

TEOREMA:
La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia, es decir, cumple las
siguientes propiedades:
1. Reflexiva: AB  AB
2. Simétrica: AB  CD  CD  AB
3. Transitiva: AB  CD  CD  EF  AB  EF

SEGMENTOS DESIGUALES
Son segmentos no congruentes. Entre dos segmentos desiguales será menor el que tenga
menor medida:
AB < CD  m( AB) < m(CD)  AB < CD
AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS:
En toda semirrecta OA , para cada real positivo “X” existe un único punto B sobre OA ,
distinto de O, tal que m(OB) = X

O sea a cada real X le asigna un único segmento OB , esto nos permite construir en
cualquier otra semirrecta un segmento congruente con OB teniendo en cuenta que su
medida será X a partir del origen de dicha semirrecta.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Es el punto entre los extremos del segmento que lo divide en dos segmentos congruentes.

1
M es punto medio de AB  AM  MB  AB
2

A continuación veamos algunos tipos de enunciados:

a) Dado el segmento BC , prolongar CB hasta D.

b) Dado BC , prolongar BC hasta D tal que BC = CD En este caso podemos afirmar

que C es punto medio de BD

NOTA: Para agilizar la escritura “punto medio” lo abreviaremos, así: p.m.

SEGMENTOS ADYACENTES:
Son dos segmentos de extremos colinéales y que tienen un extremo común situado entre
los extremos no comunes.
Ejemplo:
 Del gráfico podemos decir que AB y BC Son adyacentes, AB y AC no son adyacentes
y AB y CD tampoco lo son.

“OJO” un error que frecuentemente cometemos, es por ejemplo. Dado el gráfico anterior
suponer que AB = CD. El ojo no puede darnos relaciones entre los elementos; las únicas
relaciones validas; son las dadas en el enunciado (hipótesis) y también aquellas que se
demuestran a partir de ellas.

SUMA DE SEGMENTOS:

Si AB y BC son dos segmentos adyacentes, el segmento AC es la suma de los segmentos

AB y BC : AC = AB + BC.
Recuerde colocamos el igual ya que es una suma de reales o sea sus medidas.
 AB  AC  BC 
AB  BC  AC   
 BC  AC  AB 

EJEMPLO 1
Dados A-B-C tal que M es p.m., de BC .

AB  AC
Demostrar que AM =
2

Del enunciado debemos sacar las relaciones dadas entre las partes, en este caso entre
segmentos y a partir de estas, por medio de inferencias lógicas llegar a demostrar lo
pedido o sea la tesis.

BC
En este caso tenemos que M es p.m. de BC , entonces BM = MC = =a
2
Observemos la tesis en ella la medida del segmento AM está relacionada con las
medidas de AB y AC , podemos plantear dos ecuaciones una que relacione a AM con
AB y la otra con AC , procedemos luego algebraicamente para llegar a la tesis.
 AM = AB + BM Simbólicamente más ágil:

+ AM = AC – MC w=x+a

2AM = AB +AC +BM – MC + w= z - a

Pero BM – MC = O 2w = x + z

AB  AC xz
Luego AM = W=
2 2

EJEMPLO 2
AB BC 4OA  3OC
Dados O-A-B-C tal que. = Demuestre que OB =
3 4 7

AB BC
Dado que = luego toda Transformación algebraica que realicemos en esta
3 4
ecuación también es válida y la podemos usar en la cadena lógica en la demostración.
AB BC
Si = 4AB  3BC  4 AB  3BC  0 , además:
3 4
1) OB  OA  AB Si sumamos estas dos ecuaciones:
2) OB  OC  BC
2OB  OA  OC  AB  BC

Observemos:
Los términos AB y  BC no aparecen en la tesis, sabemos que 4 AB  3BC  O ;
multiplicamos la ecuación 1) por cuatro y la ecuación 2) por tres y luego sumémoslas

4OB  4OA  4 AB
3OB  3OC  3BC
7OB  4OA  3OC  4 AB  3BC

4OA  3OC
Nótese: Usamos la barra de segmentos, Luego; OB  para no confundir la
7
letra O con el real cero; recuerde estamos sumando reales.

En una forma más ágil:

1) 𝑟 = 𝑥 + 𝑦 Pero 4𝑦 – 3𝑧 = 0
2) 𝑟 = 𝑤 − 𝑧
 1) x 4 4𝑟 = 4𝑥 + 4𝑦
2) x 3 3𝑟 = 3𝑤 − 3𝑧
4 x  3w
7𝑟 = 4𝑥 + 3𝑤 r
7

ÁNGULOS

ÁNGULO:
Es la figura formada por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Si ellas son OA y
OB , se denota por AOB . El origen O es el vértice del ángulo y las semirrectas OA y
OB son los Lados del ángulo.
Ejemplos:

Los ángulos AOB y BOC tienen el mismo vértice y él spy no tiene el mismo vértice
que ellos. El símbolo  se lee ángulo, también se puede escribir así: AOB y el símbolo
 se lee ángulo.

INTERIOR DE UN ÁNGULO
Es el conjunto formado por los puntos que están en la intersección de dos semiplanos,
(cada uno de ellos con un lado sobre su borde y conteniendo al lado restante), excepto los
que están sobre el lado del ángulo.

EXTERIOR DE UN ÁNGULO
Es el subconjunto del plano del ángulo formado por los puntos que no están sobre los lados
del ángulo ni en el interior del ángulo.

ÁNGULO NULO:
Es ángulo que forma toda semirrecta consigo misma.
Ejemplo: AOA

ÁNGULO LLANO:
Es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas:
 Ejemplo: AOB

AXIOMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS

Dado un semiplano con una semirrecta OA , fija en su borde, entonces a cada

Semirrecta OB de dicho semiplano, se le asigna un único número real “a” en el intervalo
de 0 a 180 . Para la semirrecta OA se asigna 0o y para su semirrecta opuesta el 180o , o
sea AOA = 0o Y AOC = 180o , así a cada ángulo le corresponde un único real que es su
medida.

MEDIDA SEXAGESIMAL DE UN ÁNGULO:

La “medida” (sexagesimal) de un AOB es igual a “a” grados sexagesimales, tomando el
número real “a” en el intervalo [0, 180], que le asigna el axioma anterior y lo denotaremos
por: mAOB = a0 o simplemente AOB = a0

NOTA: También podemos usar las letras del alfabeto griego para simbolizar el real que
tiene por medida un ángulo, ejemplo: AOB =  donde  es el real (medida en grados)
del AOB

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS

Dado un semiplano y fijada una semirrecta OA sobre su borde, entonces para cada real
“a” en el intervalo [0, 180], existe solamente una semirrecta OB en dicho semiplano, tal
que mAOB = a0

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es la semirrecta interior que lo divide en dos ángulos congruentes si BX es una semirrecta
interior al ABC , entonces:
ABC
BX es la bisectriz del ABC  ABX = XBC =
2
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
Según su medida los ángulos se clasifican así:
El  es NULO si  = 00
El  es AGUDO si 00 <  < 900
El  es RECTO si  = 900
El  es OBTUSO si 900 <  < 1800
El  es LLANO si  = 1800

ÁNGULOS CONGRUENTES:
Son ángulos que tienen igual medida.
ABC = DEF  m ABC = mDEF

CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar confusión en lugar ABC  DEF usaremos

ABC  DEF , recuerde porque estamos hablando es de reales (sus medidas) y no
estamos hablando de la colección de puntos que son cada uno de ellos.

TEOREMA:
La congruencia de ángulos es una relación de equivalencia, es decir, cumple con las
siguientes propiedades:
1. Reflexiva: ABC  ABC
2. Simétrica: ABC  DEF  DEF  ABC
3. Transitiva: ABC  DEF  DEF  PQR  ABC  PQR

ÁNGULOS DESIGUALES:
Son dos ángulos no congruentes. Entre dos ángulos desiguales será menor aquel que tenga
menor medida.

Ejemplo: Dados AOB   y BOC   sí  es menor que , entonces

AOB  BOC .

ÁNGULOS ADYACENTES:
Son dos ángulos coplanares que tienen el mismo vértice, un lado común y cada uno de los
lados no comunes está en el exterior del otro. Ejemplo: Dado el siguiente gráfico
Podemos decir que: AOB y BOC son adyacentes, AOB y AOC no son adyacentes,
tampoco lo son spy y AOB

SUMA DE ÁNGULOS
Si ABC y CBD son adyacentes, entonces ABD es la suma de los ángulos ABC y
CBD :

ABC  ABD  CBD

ABD  ABC  CBD  
CBD  ABD  ABC

En forma más ágil: si ABC   , CBD   y ABD  , entonces:

 =  -
   +   
  =  - 

Tendremos tipos de enunciados como el siguiente; sean OA, OB, OC y OD consecutivas,

la palabra consecutivas nos dice que están en el orden enunciado, en un determinado
sentido de giro, así: vea el gráfico, tendremos cuatro

Ángulos adyacentes AOB, BOC , COD, DOA entonces:  +  +  +  = 3600 .

EJEMPLO:
Las semirrectas OA y OB forman con OX los ángulos  y  respectivamente. Con 
< y OX exterior al AOB , además OC es la bisectriz del AOB .

XOA  XOB
Demostrar que: XOC 
2
AOB
AOC  COB  
Si OC es bisectriz del AOB , entonces: 2
AOC  COB  0

Observemos: la tesis, en ella la medida del XOC está relacionada con las medidas de
los ángulos XOA y XOB , debemos establecer ecuaciones que los relacionen y proceder
algebraicamente con ellas para llegar a la tesis.

Pasos Razón Justificación

1. OC es bisectriz del AOB Hipótesis

2. AOB Por 1
AOC  COB  
2

3. XOC  XOA  AOC Suma de ángulos

4. XOC  XOB  COB Resta de ángulos

5. 2XOC  XOA  XOB  AOC  COB Suma de 3 y 4

6 AOC  COB  0 Por 1

7 XOA  XOB Sustitución de 6 en 5

XOC 
2 y propiedad uniforme
Para sumar dos ángulos no adyacentes se construyen dos ángulos adyacentes
respectivamente congruentes a ellos.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Son dos ángulos cuyas medidas suman 900 ,
De cada uno de ellos se dice que es el Complemento del otro.

EJEMPLO
Si  +  = 900 , entonces se dice que  es el complemento de  o que  es el
complemento de  .
Si  +  = 900 ,  = 900 -  o  = 900 - 

El símbolo θc significa que nos referimos al complemento de  o sea a  , pero

 = 900 -   θc = 900 -  , así también podemos decir que:
 + θc = 900 ó θc = 900 - 

EJEMPLO
Hallar la medida de un ángulo, si su medida es un cuarto de su complemento.
Sea  el ángulo pedido, luego  + 
c = 900 o sea que:  c = 900 -  ,
Además el enunciado nos dice que  es un cuarto de su complemento o sea que
(90 -  )
0
900
= ; luego 4 = 90 -   5 = 90   =
0 0
  = 180   c = 900 - 180
4 5
  c = 72 , vemos pues que la cuarta parte de 720 es 180 , o sea que la respuesta
0

 = 180 si es válida.
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Son dos ángulos cuyas medidas suman 1800 . Cada uno de ellos es el suplemento del otro.

EJEMPLO
Si  +  = 180 , entonces se dice que  es el suplemento de  o que  es el suplemento
0

de  .

El símbolo  s significa que nos referimos al suplemento de  o sea a  , pero

 = 1800 -  , así también podemos decir que:  +  s = 1800 ó  s = 1800 - 

EJEMPLO
Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco
veces la medida de su suplemento, sea  dicho ángulo, sabemos que  +  s = 1800 o sea
que:  s = 1800 -  ; además el enunciado nos dice que 4 veces la medida de  es igual a
cinco veces la medida de su suplemento o sea que 4 = 5(1800 -  )  4 = 9000 - 5 
9000
9 0 = 9000      = 1000 prueba 4(4000 ) = 5(1800 - 1000 )  4000 = 4000
9

PAR LINEAL
Son dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes son semirrectas opuestas.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE O PAR VERTICAL

Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las semirrectas opuestas de los
lados del otro.

TEOREMA
Dos ángulos son congruentes sí y sólo si sus complementos son congruentes.
Demostrémoslo directamente: si  =   900 -  = 900 -    c =  c demostrémoslo
recíprocamente: si  c =  c  900 -  = 900 -    = 
TEOREMA

Dos ángulos son congruentes sí y sólo si sus suplementos son congruentes. Realice usted la
demostración.

TEOREMA

Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.

Dado que ABX  XBC  1 Llano  180 , luego ABX y XBC son suplementarios.

TEOREMA

Si dos ángulos adyacentes, ABC y CBD son suplementarios, entonces forman un par
lineal y por lo tanto A, B, D son colinéales.

TEOREMA

Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

En efecto  es el suplemento de  y de  , entonces  =  por tener igual suplemento

" "

Matemáticamente podemos llegar a lo mismo, pero es un camino más largo:

 +  = 1800 Al restar estas ecuaciones y

 = 
 +  = 1800 transponiendo términos
TEOREMA
Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas.

Demostración
Pasos Razón Justificación

1. AOB  COD  2 Por O.V

2. BOC   Por construcción

3. AOC  AOB  BOC  2  Suma de 1 y 2

4. AOB  BOC  2   180 Por 1

5 OX y OY bisectrices de AOB y COD Por hipótesis

6. AOX  XOB   y COY  YOD   Por 5

7. XOY  2   180 Por suma de ángulos en 2

y6

8 XOY es un ángulo llano Por 7

9. OX y OY son semirrectas opuestas Por 8

10 Y , O, y X Por 9

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas L y M son perpendiculares. L  M , si forman por lo menos un ángulo recto

(900). En caso contrario son oblicuas, además piensen en el ángulo opuesto por el vértice a
este de 900 y en los suplementos de estos ángulos.
 Si   900 , entonces L1 es oblicua, además
A es el pie de la oblicua y B es el pie de la
perpendicular.

Dos segmentos (semirrectas son perpendiculares si están contenidas en rectas

perpendiculares, ejemplo:
Dadas L y M perpendiculares si L  M  CD  FA y CD  FA
, abreviado si L  M  CD  FA (segmentos contenidos en rectas perpendiculares,
son perpendiculares)

TEOREMA

Dos rectas perpendiculares forman cuatro ángulos rectos demuéstrelo.

TEOREMA

Las bisectrices de un par lineal son perpendiculares.

TEOREMA

Por cada punto de una recta pasa una y solamente una perpendicular a ella.
En efecto por el axioma de construcción de ángulos para a =90° existe una y sólo una
semirrecta que determina la recta pedida. Piense que el punto O es un punto cualquiera
de L.
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

Es la recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular al segmento.

Pensemos: Por un punto en el plano pasan infinitas rectas, por el punto medio de un
segmento también; pero que sea perpendicular al segmento sólo pasa una y solo una.

Si M es el p.m. de AB , entonces: L mediatriz de

AB  L pasa por M y L  AB