UNA NUEVA DISTRIBUCIÓN PARA EL

TRATAMIENTO DE LA INCERTIDUMBRE

Catalina García García

Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa

Universidad de Granada
e-mail: cbgarcia@ugr.es

José García Perez

Departamento de Economía Aplicada

Universidad de Almería
e-mail: jgarcia@ual.es

Resumen

Las distribuciones que se emplean en el tratamiento del riesgo y de la incertidumbre (Triangular,

Trapezoidal y en general la TSP- Van Dorp) son distribuciones unimodales definidas en un
modelo acotado y que se determinan a partir de los tres valores habituales a, m y b. Estas
distribuciones adolecen de un defecto en su función de densidad ya que esta no es derivable en el
punto correspondiente a su moda o a modas. La distribución biparabolica reparte la densidad de
forma continua, en el sentido que la moda no supone un punto de discontinuidad para la derivada
de la función de densidad. Además es la distribución más adecuada para su uso en el ámbito del
PERT, de entre todas las distribuciones que pueden obtenerse a partir de las tres estimaciones
habituales del experto, en el sentido de que es la que tienen más varianza y solo le supera en
moderación la distribución Trapezoidal CPR. La distribución biparabolica generalizada esta
definida en un dominio acotado, tiene forma similar a la distribución normal y puede presentar
asimetrías por todo ello se puede afirmar que satisface las intenciones que perseguían los
creadores de PERT con el uso de la distribución Beta, y refiriéndonos a esta ultima presenta la
ventaja de que se conoce, explícitamente, su función de distribución, por lo que resulta adecuado
para ser utilizada en el MDFD.

Palabras clave: Tratamiento del riesgo e incertidumbre, PERT y MDFD

Área temática: Métodos Cuantitativos

1. Introducción

Las distribuciones que se emplean en el tratamiento del riesgo y de la incertidumbre

(Triangular, Trapezoidal, y en general la TSP-Van Dorp) son distribuciones
unimodales definidas en un dominio acotado y que pueden ser determinadas a partir
de los tres valores habituales optimista, pesimista y mas probable. En la figura 1 se
presentan las funciones de densidad de las distribuciones Triangular, Trapezoidal
CPR, y TSP Van Dorp respectivamente. Se observa que todas estas distribuciones
adolecen de un defecto en cuanto a su función de densidad ya que esta no es derivable
en el punto correspondiente a la moda o a las modas.

(a) (b) (c)

Figura 1
Función de densidad de las distribuciones Triangular,
Trapezoidal y TSP Van Dorp respectivamente

Este hecho tiene una sencilla interpretación geométrica que consiste en que el
crecimiento marginal de la función de densidad a la derecha de la moda es diferente al
crecimiento marginal por la izquierda. Es decir:

f +′ (m) ≠ f −′ (m)

Y, en consecuencia, no existirá la derivada en el punto m. En definitiva f ′(x ) es

discontinua en el punto m, o lo que es lo mismo, la densidad marginal tiene un punto
de discontinuidad en las modas. Se puede entender que el hecho de que el reparto de
la densidad tenga un salto o discontinuidad puede añadir más incertidumbre en el
proceso de determinación de la distribución subyacente al fenómeno objeto de estudio.

2
Esta característica de discontinuidad que, como hemos dicho anteriormente, padecen
las distribuciones empleadas hasta ahora en el campo de valoración, no es ni mucho
menos deseable, ya que es lógico pensar que lo más conveniente en cualquier caso
será una distribución en la cual la variación de la densidad sea continua en todo su
recorrido.

En el presente trabajo se presenta la distribución biparabolica, cuya función de

densidad es derivable en el punto m, es decir existe f ′(m ) , y además se puede
determinar a partir de los tres valores habituales a, m y b. En primer lugar se presenta
la construcción de la distribución, y a continuación se presentan sus características
más relevantes. Posteriormente se analiza la aplicación de dicha distribución en el
ámbito del PERT y de la valoración por el MDFD, y por último, se presenta la
distribución biparabolica generalizada y sus características estocásticas.

2. Construcción de la distribución biparabolica.

La distribución biparabolica se obtiene a partir de los tres valores típicos del método
PERT, es decir (a, m, b), y la propiedad fundamental que la diferencia del resto de
distribuciones usadas hasta ahora en el ámbito de la valoración es que su función de
densidad es derivable en la moda.

Conocidos los valores a, m y b se determina la parábola f1 ( x) a partir de los puntos

(a,0) (m,h), por otro lado, los puntos (b,0) (m,h) determinan la parábola f 2 ( x) . La
distribución biparabolica surge, y de aquí deriva su nombre, de la conjunción de
ambas parábolas. Véase la figura 2.

Figura 2
Parábolas f1(x) y f2(x)

3
Se define la función de densidad de la distribución biparabolica como:
⎧ f ( x), si a ≤ x ≤ m
f ( x) = ⎨ 1
⎩ f 2 ( x), si m ≤ x ≤ b

(1)
En la figura 3, se presenta gráficamente la construcción de la función de densidad
biparabolica.

Figura 3
Construcción de la función de densidad biparabolica

Se puede comprobar:
f1 ( x) = A( x − a )( x − (2m − a ))
f 2 ( x) = B ( x − b)( x − (2m − b))
(2)
Para establecer las ecuaciones recogidas en la expresión (2) se han buscado los puntos
de corte de ambas funciones con el eje de abcisas. Se sabe que dichas funciones cortan
al eje de abcisas en los puntos (a,0) y (b,0) respectivamente. Si se toma m como la
abcisa de cada parábola en su vértice se puede definir otro punto de corte con el eje de
abcisas para cada parábola que será: (2m-a,0) y (2m-b,0). Para determinar los valores
A y B se le impondrá a la función f(x) por un lado la condición propia de una función
de densidad y por otro la condición de continuidad.

1) Para que la función f(x) sea continua debe cumplirse que:

f1 (m) = f 2 (m) ⇒ A(m − a)(−m + a) = B(m − b)(−m + b)
y por tanto:

(m − b) 2
A=B
(m − a ) 2
(3)

4
2) Para que la función f(x) sea considerada una función de densidad debe
cumplirse:
b

∫ f ( x)dx = 1
a

(4)
Se puede demostrar que:
b
2 2
∫ f ( x)dx = − 3 A(m − a) − B(b − m) 3
3

a
3

Haciendo uso de las expresiones (3) y (4):

2 B (b − m) 2 2
− 2
(m − a ) 3 − B (b − m) 3 = 1
3 (m − a ) 3
y despejando se obtienen las siguientes expresiones para A y B:

3 1
A=−
2 (m − a ) 2 (b − a )
(5.a)
3 1
B=−
2 (b − m) 2 (b − a )
(5.b)

Empleando los resultados anteriores se define la función de densidad biparabolica

como:

⎧ 3 1 2
⎪− 2 (m − a ) 2 (b − a ) ( x - 2mx + (2m - a )·a ) si a ≤ x ≤ m
⎪
f ( x)⎨
⎪− 3 1
( x 2 - 2mx + (2m - b)·b ) si m ≤ x ≤ b
⎪⎩ 2 (m − b) 2 (b − a)

(6)

5
A partir de aquí, se obtiene la función de distribución como:

⎧ 3 1 x3 − a3
⎪ − − m( x 2 − a 2 ) + (2m − a)( x − a)a si a ≤ x ≤ m
⎪ 2 ( m − a ) 2
( b − a ) 3
F ( x) ⎨
⎪1 − 3 1 ⎡b3 − x3 ⎤
⎢ − m(b 2 − x 2 ) + (2m − b)b(b − x) ⎥ si m ≤ x ≤ b
⎪ 2 ( m − b) (b − a ) ⎣ 3
2
⎦
⎩
(7)

operando se obtiene una expresión simplificada de la función de distribución:

⎧ 1 ( x − a) 2 ( x − 3m + 2a )
⎪− , si a ≤ x ≤ m
⎪ 2 (m − a) 2 (b − a)
F ( x)⎨
2
⎪1 − 1 ( x − b) ( x − 3m + 2b) , si m ≤ x ≤ b
⎪ 2 (m − b) 2 (b − a)
⎩
(7.bis)
Se puede comprobar que:
m−a
F (m) = =M
b−a
Es decir, el valor de la función de distribución en la moda, m, es precisamente la moda
estandarizada M. Esta es una propiedad que cumple la distribución TSP de Van Dorp.
Una vez obtenidas la función de distribución y la función de densidad de la
distribución biparabolica, se presentan sus momentos centrales y su varianza:

2m + 3b + 3a
E ( x) =
8
(8)
2( m − a ) + 3(b − a ) ( m − a ) 2 + 3( m − a )(b − a ) + 4(b − a ) 2
E ( x 2 ) = a 2 + 2a +2
8 20
(9)
12(m − a ) 2 − 12(m − a)(b − a) + 19(b − a) 2
Var ( x) =
320
(10)

6
3. La distribución biparabolica estandarizada

Para un estudio más profundo procederemos a estandarizar la variable. La

Distribución presentada en el apartado anterior, se refería a una variable x ∈ ( a, b) .
En este apartado se presentara la Distribución estandarizada, que se referirá a una
x−a
variable t ∈ (0,1) , donde t = .
b−a

Se puede demostrar que la función de densidad en este caso será:

⎧ 3 1 2
⎪⎪− 2 M 2 (t − 2 Mt ) si 0 ≤ t ≤ M
f (t ) = ⎨
⎪− 3 1
(t 2 − 2 Mt + 2 M − 1) si M ≤ t ≤ 1
⎪⎩ 2 (1 − M ) 2

(11)
y la función de distribución:

⎧ 1 t 2 (t − 3M )
⎪− si 0 ≤ t ≤ M
⎪ 2 M2
F (t ) = ⎨ 2
⎪1 − 1 (t − 1) (t − 3M + 2) si M ≤ t ≤ 1
⎪⎩ 2 ( M − 1) 2

(12)
En cuanto a sus momentos centrales y su varianza:
2M + 3
E (t ) =
8
(13)

2 M 2 + 3M + 4
Et( )2
=
20
(14)

12 M 2 − 12 M + 19
V (t ) =
320
(15)

7
El uso del sistema generador introducido por Van Dorp y Kotz (2003) va a permitir
simplificar cálculos y realizar una presentación más elegante de la distribución
biparabolica.

4. La obtención de la biparabolica a partir del sistema de Van Dorp

Sabemos, véase Van Dorp y Kotz (2003) que si p(·/ψ) es una apropiada función de
densidad definida en [0,1] con parámetros ψ (puede ser un vector de parámetros)
entonces, haciendo uso del sistema Van Dorp, se puede construir la siguiente función
de densidad unimodal en M:

⎧ ⎛ t ⎞
⎪ p⎜ /ψ ⎟ si 0 ≤ t ≤ M
⎧
g ⎨t / M , p⎛⎜ • ⎞⎟⎫⎬ = ⎪⎨ ⎝ M ⎠
⎩ ⎝ ψ ⎠⎭
⎪ p⎛⎜ 1 − t /ψ ⎞⎟ si M ≤ t ≤ 1
⎪ ⎝1− M ⎠
⎩
(16)

Donde p⎛⎜ •ψ ⎞⎟ será la función generadora de g ⎧⎨t / M , p⎛⎜ • ⎞⎟⎫⎬ .

⎝ ⎠ ⎩ ⎝ ψ ⎠⎭

Para que g sea la función de densidad biparabolica presentada anteriormente, p(·/ψ)

deberá cumplir ciertas condiciones. En primer lugar deberá ser una parábola
p(x/a,b,c)=ax2+bx +c. Si se observa la figura 4 se pueden las siguientes conclusiones.

Figura 4
Representación de p(·/ψ)
p(x)=ax2+bx+c

8
- En primer lugar, dado que la función pasa por el punto (0,0) se puede
demostrar que c=0

- En segundo lugar, la función debe tener un máximo en el punto 1, y por tanto

si se define la función representada en la grafica anterior como y = ax 2 + bx + c , y se
opera:
y ′(1) = 2ax + b ](1) = 2a + b = 0 ⇒ b = −2a

luego debe ser: p ( x / a ) = a ( x 2 − 2 x )

- Además, para que sea una función de densidad en [0,1) debe cumplirse que:
1

∫ a( x − 2 x)dx = 1 ⇒ a = −3 / 2 .
2

Por lo tanto,
3
p⎛⎜ x ⎞⎟ = − ( x 2 − 2 x )
⎝ ψ ⎠ 2
(17)
por lo que se puede afirmar que p(x) no depende de ningún parámetro y esta
totalmente determinado.

A partir de estas dos condiciones, obtendríamos la siguiente expresión para la función

de densidad:

⎧ 3 ⎛ t2 t ⎞
⎪− ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ si 0 ≤ t ≤ M
⎪ 2⎝M M⎠
g (t / M , p ( x) ) = ⎨
⎪ 3 ⎡⎛ 1 − t ⎞ ⎞⎤
2
⎛ 1− t
⎪− 2 ⎢⎜⎝ 1 − M ⎟⎠ − 2⎜⎝ 1 − M ⎟⎥
⎠⎦⎥
si M ≤ t ≤ 1
⎩ ⎣⎢
(18)

Y operando, obtendríamos la función de densidad biparabolica que se expuso

anteriormente:

9
 ⎧ 3 1 2
(
⎪⎪− 2 M 2 t − 2 Mt ) si 0 ≤ t ≤ M
g (t / M , p ( x) ) = ⎨
⎪− 3 1
( t 2 − 2 Mt + (2 M − 1) ) si M ≤ t ≤ 1
⎩⎪
2
2 (1 − M )

(19)
Si se tiene en cuenta que la función de distribución G (t / M , P ( x )) de la distribución
biparabolica g se puede obtener a partir de su generadora p, siguiendo a Van Dorp y
Kotz (2003):

⎧ ⎛ t ⎞
⎪MP⎜ M ψ ⎟ 0≤t≤M
⎪ ⎝ ⎠
G (t / M , P( x)) = ⎨
⎪1 − (1 − M ) P⎛⎜ 1 − t ψ ⎞⎟ M ≤ t ≤1
⎪⎩ ⎝1− M ⎠
(19.1)

Donde P(• ψ ) es la función de distribución asociada a la densidad de la generadora

p(• ψ ) , pudiendo comprobarse en general que:

G (M M ,ψ ) = MP(1 ψ ) = M
(19.2)
⎛ 3 ⎞
Por lo tanto, teniendo en cuenta que P ( x) = − 3 ⎜ x − x 2 ⎟ , la función de distribución
⎜ ⎟
2⎝ 3 ⎠
de la biparabolica vendrá dada por:

⎧ 3 ⎡1 ⎛ t ⎞3 ⎛ t ⎞2 ⎤
⎪− M ⎢ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ 0≤t≤M
⎪⎪ 2 ⎢⎣ 3 ⎝ M ⎠ ⎝ M ⎠ ⎥⎦
G (t ) = ⎨
⎛ 3 ⎞⎡ 1 ⎛ 1 − t ⎞ ⎛ 1 − t ⎞ ⎤
3 2
⎪
⎪1 − (1 − M )⎜ − ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ M ≤ t ≤1
⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎣⎢ 3 ⎝ 1 − M ⎠ ⎝ 1 − M ⎠ ⎦⎥

(19.3)

Desarrollando estas formulas obtendríamos la expresión (12).

10
Una característica muy importante de las funciones de densidad pertenecientes al
sistema generador de Van Dorp es que cualquier función de este sistema cumple la
condición de que F(M)=M, siendo F la función de distribución y M la moda
estandarizada.

Se puede demostrar, Van Dorp y Kotz (2003) la siguiente relación entre los momentos
de la generadora p (x ) y la g (t )

( ) (
E t k M , p = M k +1 E x k ψ + ) k⎛k ⎞
[
⎜ ⎟(−1) i (1 − M ) i +1 E x i /ψ
i =0 ⎜ i ⎟
∑ ]
⎝ ⎠
(20)
Haciendo uso de la expresión (20) se calculan los valores de los momentos de la
distribución biparabolica con respecto al origen:

E (t M , p ) = (2M − 1) E ( x ψ ) + (1 − M )

[ ]
Var (t / M , p ) = M 3 + (1 − M ) Var ( x /ψ ) + M (1 − M ){E ( x /ψ ) − 1}
3 2

3
Teniendo en cuenta que p⎛⎜ x ⎞⎟ = − ( x 2 − 2 x ) operando podemos obtener otras
⎝ ψ ⎠ 2
expresiones más sencillas, y que coincidirán con las expresiones (13) y (15):

2M + 3
E (t M , p ) =
8
(21)
12 M 2 − 12 M + 19
Var (t / M , p ) =
320
(22)

11
5. Calculo de los momentos centrales de la distribución biparabolica
estandarizada

Utilizando la expresión (20) que liga los momentos de la función de distribución

biparabolica estandarizadas con los de su distribución generadora que se puede
demostrar:

2M + 3 2M + 3
E (t ) = =3
8 24
2 M 2 + 3M + 4 2 M 2 + 3M + 4
E (t ) =
2
=3
20 60
2 M 3 + 3M 2 + 4 M + 5 2 M 3 + 3M 2 + 4 M + 5
E (t ) =
3
=3
40 210
2 M 4 + 3M 3 + 4 M 2 + 5 M + 6 2 M 4 + 3M 3 + 4 M 2 + 5 M + 6
E (t ) =
4
=3
70 210
Y en general,
k

k −1
2 M + 3M + 4 M
k k −2
+ ... + (2 + k )
∑ (2 + j ) M
j =0
k− j

E (t k ) = 3 =3
(k + 1)(k + 2)(k + 3) (k + 1)(k + 2)(k + 3)
(23)
Utilizando la expresión de Stuart y Ord (1994), podemos relacionar los momentos
centrales con los momentos respecto de la media:

µ 2 = m2 − m1 2
µ 3 = m3 − 3m2 m1 + 2m13
µ 4 = m4 − 4m3 m1 + 6m2 m1 2 − 3m1 4
Así pues:
12 M 2 − 12 M + 19
µ2 =
320
(24)
8M 3 − 12 M 2 − 10 M + 7
µ3 =
1280
(25)

12
 624 M 4 − 1248M 3 + 2088M 2 − 1464 M + 1095
µ4 =
143·360
(26)

6. Análisis de la forma de la distribución biparabolica

Con el objetivo de realizar una presentación global de la distribución biparabolica y

obtener conclusiones acerca de sus ventajas con respecto a otras distribuciones se
presenta a continuación un estudio sobre la curtosis y la asimetría de dicha
distribución. La principal ventaja, destacada anteriormente, es que presenta un
crecimiento continuo de la densidad en todo su dominio, pero además, como
característica propia de la familia de distribución Van Dorp, será una distribución
asimétrica y presentará un mayor apuntamiento que la normal, siendo ambas
características muy deseables en el ámbito de la valoración.

Se define el coeficiente de asimetría como:

µ 32
β1 =
µ 23
Se sustituye aplicando las expresiones (24) y (25) y se obtiene la siguiente expresión:
2
⎛ 8M 3 − 12 M 2 − 10 M + 7 ⎞
⎜ ⎟
µ 32 ⎜⎝ 1280 ⎟
⎠
β1 = 3 =
µ2 ⎛ 12 M 2 − 12 M + 19 ⎞
3
⎜ ⎟
⎜ 320 ⎟
⎝ ⎠
(27)

En la figura 5, se recoge la representación en el espacio del coeficiente de asimetría.

Se observa que siempre toma valores inferiores a 0,143, y por tanto podemos decir
que dado que el coeficiente toma valores muy cercanos a cero, se tratara de una
distribución con poca asimetría. Además se aprecia que conforme la moda tiende al
punto medio, en el caso de la distribución estandarizada M = 1/2, el coeficiente de
asimetría tiende a 0.

13
 Figura 5
Representación del coeficiente de asimetría

En cuanto al coeficiente de curtosis se define como:

µ4
β2 =
µ 22
se sustituye usando las expresiones (24) y (26):

624 M 4 − 1248 M 3 + 2088 M 2 − 1464 M + 1095

µ 143·360 7 ⎡ 624 M 4 − 1248 M 3 + 2088 M 2 − 1464 M + 1095 ⎤
β 2 = 42 = = ⎢ ⎥
µ2 ⎛ 12 M 2 − 12 M + 19 ⎞
⎜ ⎟
2
5⎢
⎣ (
12 M 2 − 12 M + 19 )
2
⎥⎦
⎜ 320 ⎟
⎝ ⎠
(28)
En la figura 6 se representa el coeficiente de curtosis de la distribución biparabolica
estandarizada, y se aprecia que siempre toma valores iguales o superiores a 4,2. Dado
que el coeficiente de curtosis propio de una distribución normal es 3, diremos que la
función de distribución biparabolica presenta mayor apuntamiento que la normal.

14
 Figura 6
Representación del coeficiente de curtosis

7. Utilización de la distribución estandarizada en el ámbito del PERT

En ambiente de incertidumbre siempre es deseable que la media estimada sea lo más

centrada posible, es decir que sea moderada, y, por otro lado, que la varianza sea lo
mas grande posible. Estos criterios se selección fueron propuestos por Taha y
Herrerías. Con este fin se van a comparar las medias y las varianzas de la distribución
biparabolica con otras distribuciones usadas habitualmente en el ámbito del PERT
como son la distribución Triangular, la distribución Beta Clásica y la distribución
Trapezoidal CPR. En cuadro1 se presentan los valores esperados y la varianza para las
distintas distribuciones.

Supongamos que x es la variable aleatoria cuyo comportamiento ha de ser estimado a

través de las tres estimaciones subjetivas del experto (a, m, b), la variable
x−a m−a
estandarizada t se definirá como t = y su moda será M = .
b−a b−a

15
 Variable aleatoria x Variable t estandarizada
Triangular
a+m+b n +1
E ( x) = E (t ) =
3 3

(b − a ) 2 − ( m − a )(b − m)
V ( x) =
18 1 − M (1 − M )
V (t ) =
18

Beta clásica a + 4m + b 1 + 4M
E ( x) = E (t ) =
6 6
1
(b − a ) 2 V (t ) =
V ( x) = 36
36
Biparabolica 2m + 3a + 3b 2M + 3
E ( x) = E (t ) =
8 8

12( m − a ) 2 − 12( m − a )(b − a ) + 19(b − a ) 2 12 M 2 − 12 M + 19

V ( x) = V (t ) =
320 320
Variable t estandarizada

Trapezoidal ⎧ ⎡ ⎛1 ⎞ ⎤
CPR ⎧ ⎡ 1 ⎤
⎪ ⎢ ⎜ − M ⎟(1 − M ) ) ⎥
⎪1 ⎢ 3 ⎥ 1
⎪ 1 ⎢ 1 + 1 M + (1 − M ) 2 − ⎝ 2 ⎠ ⎥ si M <
1
⎪ ⎢M + − 2 ⎥ si M < ⎪18 ⎢ 4 2 2
⎥ 2
⎪ ⎢3 2 3 2 ⎪ ⎢ ⎛ 3 ⎞
−M⎥ ⎜ −M⎟ ⎥
⎪⎪ ⎣⎢ ⎦⎥
E (t ) = ⎨
2 ⎪ ⎣⎢ ⎝2 ⎠ ⎦⎥
⎪ ⎡ ⎤ V (t ) = ⎨
⎪1 ⎢ 3 M ⎥ 1 ⎪ ⎡ ⎛ 1⎞ ⎤
⎪ ⎢M + − 1 ⎥ si M >
⎪ 1 ⎢1 1 ⎜ M − ⎟M ⎥
⎪3 ⎢ 2
+M⎥
2 2⎠ ⎥ 1
⎪⎩ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎪ ⎢ + (1 − M ) 2 + M 2 − ⎝ si M >
⎢
⎪18 4 2 ⎛ 1⎞ ⎥
2
2
⎪ ⎢ ⎜M + ⎟ ⎥
⎩ ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥
Cuadro 1
Valores esperados y varianzas de las distribuciones más usadas en el ámbito del PERT

16
En la figura 7 se compara la varianza de la distribución biparabolica con las varianzas
de las distribuciones CPR, Triangular y Beta. Se observa que la varianza de la
distribución biparabolica esta siempre por encima de las demás.

0,07

0,06

0,05

0,04 CPR
Triangular
Beta
0,03 Biparabolica

0,02

0,01

0
0
0,03
0,06
0,09
0,12
0,15
0,18
0,21
0,24
0,27
0,3
0,33
0,36
0,39
0,42
0,45
0,48
0,51
0,54
0,57
0,6
0,63
0,66
0,69
0,72
0,75
0,78
0,81
0,84
0,87
0,9
0,93
0,96
0,99
Figura 7
Comparación de varianzas

En cuanto a la media se observa se observa en la figura 8 que la biparabolica es casi

tan moderada en media como la trapezoidal CPR y más moderada que ninguna de las
otras.

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5 CPR
Triangular
Beta
0,4 Biparabolica

0,3

0,2

0,1

0
1

4
7
10
13
16
19
22
25
28

31
34
37

40
43
46

49
52

55
58
61

64
67
70

73
76
79

82
85
88
91
94
97

100

Figura 8
Comparación de medias

17
Por ultimo, en la figura 9 se representan las densidades de las anteriores distribuciones
y como conclusión fundamental se destaca que la ordenada en la moda es menor para
la distribución biparabolica que para la distribución triangular y la distribución
trapezoidal CPR, cuyas expresiones vienen dadas por:

Triangular hT =
2
b−a

Uniforme hU =
1
b−a

Biparabolica 3
hBp = 2
b−a
⎧ 2 a+b
⎪ si m <
1 2
Trapezoidal ⎪b − a + − m
⎪ 2
hCPR =⎨
⎪ 2 a+b
CPR ⎪ 1
si m >
2
⎪b − a + m − 2
⎩

Cuadro 2
Alturas modales

Se puede comprobar que la altura modal de la biparabolica es exactamente la media

aritmética de las alturas modales de las distribuciones uniforme y triangular.

Figura 9
Comparación de densidades y alturas modales

18
En conclusión, si se aplica el criterio de máxima varianza defendido por Taha y
Herrerías (1994), la distribución biparabolica seria la mas conveniente para ser usada
en el ámbito del PERT, ya que tiene una media casi tan moderada como la trapezoidal
CPR, que presenta la media más moderada de las distribuciones conocidas hasta
ahora, pero una varianza mucho mayor que las demás.

8. Utilización de la distribución Biparabolica en el Método de las Dos

Funciones de Distribución

Si deseamos utilizar la distribución biparabolica en el MDFD, debemos resolver un

problema algebraico ya que las funciones de distribución vienen dadas por ecuaciones
cúbicas.

Supongamos que el Activo esta representado por la función B1 (a1 , m1 , b1 ) y que el

índice viene dado por la función B2 (a 2 , m2 , b2 ) si estandarizamos ambas variables

tendremos las distribuciones B1S (0, M 1 ,1) y B2S (0, M 2 ,1) cuyas funciones de

distribución serán respectivamente G1S (t ) y G 2S (t ) y vendrán dadas por:

⎧ 3 ⎡ ⎛ t ⎞3 ⎛ t ⎞2 ⎤
⎪− M i ⎢ 1 ⎜ i ⎟ − ⎜ i ⎟ ⎥ 0 ≤ t ≤ Mi
⎪ 2
⎪ ⎢⎣ 3 ⎜⎝ M i ⎟⎠ ⎜⎝ M i ⎟⎠ ⎥⎦
Gi (t i ) = ⎨ (i = 1, 2)
⎛ 3 ⎞ ⎡⎢ 1 ⎛⎜ 1 − t i ⎞⎟ ⎛⎜ 1 − t i
3 2⎤
⎪ ⎞
⎪1 − (1 − M i )⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜1− M ⎟⎟ ⎥ Mi ≤ t ≤1
⎝ 2 ⎠ ⎢ 3 1 − ⎥⎦
⎪⎩ ⎣ ⎝ i ⎠ ⎝ ⎠
M i

(29)

Dado un valor concreto del índice t 20 debemos encontrar el valor del activo t10 que
cumple la condición:

(
G1 (t10 ) = G2 (t 20 ) ⇒ t10 = G1−1 G 2 (t 20 ) )
(30)

19
Y posteriormente el valor será:
X 10 = a1 + t10 (b1 − a1 )
Al plantear este análisis, nos encontramos con dos casos que a su vez se subdividen en
tres casos particulares:
Primer caso Segundo caso

⎧t 20 ∈ (0, M 2 ) ⎧t 20 ∈ (0, M 1 )
⎪ ⎪
M2<M1 ⎪⎨t 20 ∈ (M 1 ,1) M2>M1 ⎪⎨t 20 ∈ (M 2 ,1)
⎪0 ⎪0
⎪⎩t 2 ∈ (M 2 , M 1 ) ⎪⎩t 2 ∈ (M 1 , M 2 )
Solución caso 1
Proposición 1: Cuando M2<M1 ⇒ G 2 (t 20 ) > G1 (t10 ) ∀t ∈ (0,1) . Véase la figura 10:

Figura 10

Proposición 2
- Si 0<t<M2 ⇒ G2 (t ) < G2 ( M 2 ) = M 2 < M 1
- Si M1<t<1 ⇒ G2 (t ) > G2 ( M 1 ) > G1 ( M 1 ) M 2 = M 1
- Si M2<t< M1 ⇒ G 2 (t ) <> M 1 véase la zona critica de la gráfica

Caso 1.1. Dado t 20 ∈ (0, M 2 ) se deduce que G 2 (t 20 ) <M1 y aplicando la igualdad de la

expresión (30):

3 ⎡1 ⎛ t ⎞3 ⎛ t ⎞ 2 ⎤ 3 ⎡1 ⎛ t ⎞3 ⎛ t ⎞2 ⎤
G1 (t10 ) = − M 1 ⎢ ⎜⎜ 1
⎟⎟ − ⎜⎜ 1
⎟⎟ ⎥ = − M 2 ⎢ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ = G2 (t 20 )
2 3
⎢⎣ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎥⎦
M M 2 ⎢⎣ 3 ⎝ M 2 ⎠ ⎝ M 2 ⎠ ⎥⎦

(31)

20
Operando:
3 2
1 ⎛⎜ t10 ⎞⎟ ⎛⎜ t10 ⎞⎟ 2 G 2 (t 20 )
− = −
3 ⎜⎝ M 1 ⎟⎠ ⎜⎝ M 1 ⎟⎠ 3 M1

donde:

2 G2 (t 20 )
k=−
3 M1
(32)
t10
z=
M1
(33)
Obteniendo la siguiente ecuación cúbica:
z 3 − 3z 2 − 3k = 0
(34)
Una vez resuelta la ecuación cúbica, utilizaremos los valores (a,m,b) para calcular t10 y

X 10 = a1 + t10 (b1 − a1 ) .

Caso 1.2. Dado t 20 ∈ (M 1 ,1) se deduce que G 2 (t 20 ) >M1 y de manera análoga al caso
anterior planteamos la siguiente ecuación:

⎛ 3 ⎞ ⎡⎢ 1 ⎛ 1 − t1 ⎞ ⎛ 1 − t1 ⎞ ⎤⎥
3 2

1 − (1 − M 1 )⎜ − ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = G 2 (t 20 )
⎝ 2 3
⎠ ⎢⎣ ⎝ 1 − M 1⎠ ⎝ 1 − M 1⎠ ⎥ ⎦
(35)
2
1 ⎛ 1 − t1 ⎞ ⎛ 1 − t1 ⎞ 2 1 − G2 (t 20 )
Operando: ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = −
3 ⎝1 − M1 ⎠ ⎝ 1 − M1 ⎠ 3 (1 − M 1 )

Donde:
1 − t1
z=
1 − M1
(36)
2 1 − G 2 (t 20 )
k=−
3 (1 − M 1 )
(37)

21
Se obtiene la siguiente ecuación cúbica:
1 3
z − z2 = 0
3
(38)
Esto nos permitiría obtener un valor para z 0 , y a partir de este valor obtener un valor

para t10 y X 10 = a1 + t10 (b1 − a1 ) .

Caso 1.3. Dado t 20 ∈ (M 2 , M 1 ) puede ocurrir que G 2 (t 20 ) sea menor o mayor que M1.

En el caso en que G 2 (t 20 ) < M1 operamos como en el caso 1.1, y cuando G 2 (t 20 ) >M1

operamos como en el caso 1.2.

Solución caso 2

Proposición 3: Cuando M1<M2 ⇒ G1 (t10 ) > G 2 (t 20 ) ∀t ∈ (0,1) . Véase la grafica:

Figura 11

Proposición 4

- Si 0<t<M1 ⇒ G2 (t ) < G1 (t ) < G1 ( M 1 ) < M 1

- Si M2<t<1 ⇒ G2 (t ) > G2 ( M 2 ) = M 2 > M 1
- Si M1<t< M2 ⇒ G 2 (t ) <> M 1 véase la zona critica de la gráfica

22
Caso 2.1.

Dado t 20 ∈ (0, M 1 ) se deduce que G 2 (t 20 ) <M1 y aplicando la igualdad de la expresión

(30):

3 ⎡1 ⎛ t ⎞3 ⎛ t ⎞2 ⎤
− M 1 ⎢ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥ = G2 (t 20 )
2 ⎢⎣ 3 ⎝ M 1 ⎠ ⎝ M 1 ⎠ ⎥⎦

(39)
3 2
1 ⎛ t1 ⎞ ⎛ t1 ⎞ 2 G2 (t 20 )
operando: ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = −
3 ⎝ M1 ⎠ ⎝ M1 ⎠ 3 M1

Donde
⎛ t ⎞
z = ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ M1 ⎠
(40)
2 G2 (t 20 )
k=−
3 M1
(41)
Se obtiene la siguiente ecuación cúbica:
z 3 − 3z − 3k = 0
(42)

Esto nos permitiría obtener un valor para z 0 , y a partir de este valor obtener un valor

para t10 = z 0 M 1 y X 10 = a1 + z 0 M 1 (b1 − a1 ) .

Caso 2.2.
Dado t 20 ∈ (M 2 ,1) se deduce que G2 (t 20 ) >M1 y aplicando la igualdad de la expresión
(39) obtenemos la expresión (43). Este caso se resuelve de manera similar al caso 1.2.

⎛ 3 ⎞ ⎡⎢ 1 ⎛ 1 − t1 ⎞ ⎛ 1 − t1 ⎞ ⎤⎥
3 2

1 − (1 − M 1 )⎜ − ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = G 2 (t 20 )
⎝ 2 3
⎠ ⎢⎣ ⎝ 1 − M 1⎠ ⎝ 1 − M 1⎠ ⎥ ⎦
(43)

23
 Caso 2.3

Dado t 20 ∈ (M 1 , M 2 ) puede ocurrir que G 2 (t 20 ) sea menor o mayor que M1. En el caso

en que G 2 (t 20 ) < M1 operamos como en el caso 2.1, y cuando G 2 (t 20 ) >M1 operamos

como en el caso 2.2.

Una vez expuestos todos los posibles casos con sus correspondientes planteamientos
se presenta en el cuadro 3 una síntesis de todos los resultados obtenidos:

M1<M2 M2<M1 Valor de k Valor de z Cúbica Valor estándar Valor real

0<t<M2 0<t<M1 0
2 G2 (t 2 ) t0 z 3 − 3 z 2 − 3k = 0 t10 = z0 M1 X 10 = a1 + t10 (b1 − a1 )
k=− z= 1
3 M1 M1

1 − t1 1 3 t10 = 1 − z0 (1 − M1 ) X10 = a1 + [1 − z0 (1 − M1 )](b1 − a1 )

M1<t<1 M2<t<1 0
2 1 − G2 (t 2 ) z = z − z2 = 0
k=− 1 − M1 3
3 (1 − M 1 )
M2<t<M M1<t<M2
G 2 (t 20 ) < M1 ⇒ CASO1

G 2 (t 20 ) >M1 ⇒ CASO 2

Cuadro 3

9. La distribución Biparabolica Generalizada

Para construir la Biparabolica generalizada, introduciremos un nuevo parámetro α ,

tomaremos como función de densidad generadora en el intervalo [0,1]

(
p ( x ) = a x 2α − 2 x α )
(44)
Que será la función generadora de densidad:
1
∫
0
( )
a x 2α − 2 x α dx = 1 , de donde se deduce que a =
( 2α + 1)(α + 1)
− 3α − 1
En el caso en que α = 1 tendríamos la distribución biparabolica. Por lo tanto, la
función generadora de densidad será:

p ( x) =
( 2α + 1)(α + 1) 2α
− 3α − 1
(
x − 2 xα )
(45)

24
Valor esperado de x
(2α + 1)(3α + 2)
E ( x) =
2(α + 2)(3α + 1)
(46)
Valor esperado de x n

[ ]
E xn =
(2α + 1)(α + 1) ⎡
3α + 1 ⎢
3α + n + 1 ⎤
⎥
⎣ (2α + n + 1)(α + n + 1) ⎦
(47)
Definimos la función de densidad g (t ) en el intervalo [0,1] tomando como generadora
a la función p (x ) de la expresión (1).

⎧ (2α + 1)(α + 1) ⎛ ⎛ t ⎞ 2α α ⎞
⎪ ⎜ ⎜ ⎟ − 2⎛⎜ t ⎞⎟ ⎟ 0≤t≤M
⎪⎪ − 3α − 1 ⎜⎝ ⎝ M ⎠ ⎝ M ⎠ ⎟⎠
g (t M , p (• α ) ) = ⎨
2α α
⎪ (2α + 1)(α + 1) ⎛⎜ ⎛ 1 − t ⎞ ⎛ 1 − t ⎞ ⎞⎟
⎪ ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ M ≤ t ≤1
⎪⎩ − 3α − 1 ⎜⎝ ⎝ 1 − M ⎠ ⎝ 1 − M ⎠ ⎟⎠

(48)

Podemos comprobar que cuando α = 1 se obtiene la distribución biparabolica.

Utilizando la expresión presentada en Van Dorp y Kotz (2003):
E (t / M ) = ( 2 M − 1) E ( x / α ) + (1 − M )

M 6α 2 + 7α + 2
E (t ) =
6α 2 + 14α + 4
(49)
Se comprueba que si estuviésemos en el intervalo (a,m,b) el valor esperado de x,
x−a
t= , sería:
b−a

E ( x) =
(7α + 2)a + 6α 2 m + (7α + 2)b
2
6α + 14α + 4
(50)

25
 6α 2
Luego la ponderación de la moda sería: 2
6α + 14α + 4
Con respecto a la varianza

Var(t M , α ) =
(148α 4
) (
+ 244α 3 + 40α 2 M 2 − 148α 4 + 244α 3 + 40α 2 M + 82α 4 + 247α 3 + 247α 2 + 96α + 12 ) ( )
4(3α + 1) (α + 2) (2α + 3)(α + 3)
2 2

(51)
Con el objeto de obtener conclusiones acerca de la distribución generalizada se
presentan las figuras 12.a, 12.b, 12.c, 12.d, 12.e, 12.f, 12.g, 12.h, y 12.i, , que recogen
funciones de densidades para valores concretos de M y α.
1,2

0,8

0,6

0,4

0,2

0
1
24
47
70
93
116
139
162
185
208
231
254
277
300
323
346
369
392
415
438
461
484
507
530
553
576
599
622
645
668
691
714
737
760
783
806
829
852
875
898
921
944
967
990
Figura 12.a
M=0,4 α =0,08
700

600

500

400

300

200

100

0
1
25
49
73
97
121
145
169
193
217
241
265
289
313
337
361
385
409
433
457
481
505
529
553
577
601
625
649
673
697
721
745
769
793
817
841
865
889
913
937
961
985

Figura 12.b
M=0,4 α =90

26
 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4

0
2
4
6
8
10
12
14
16

0,2
0,4
0,6
0,8
1,2
1,4

0
1
1 1 24

24 24 47

47 47 70

70 93
70
93 116
93
116 139
116
162
139 139
185
162 162
208
185 185
231
208 208
254
231 231
277
254 254
300
277 277
323
300 300
346
323 323 369
346 346 392
369 369 415
392 392 438
415 415 461

M=0,8
M=0,2
438 438 484
M=0,4

27
461 507

α
461

α
α

484 484 530

Figura 12.e
Figura 12.c

Figura 12.d
=3

553

=20

=0,4
507 507
530 530 576

553 553 599

622
576 576
645
599 599
668
622 622
691
645 645
714
668 668
737
691 691
760
714 714
783
737 737
806
760 760
829
783 783 852
806 806 875
829 829 898
852 852 921
875 875 944
898 898 967
921 921 990

944 944
967 967
990 990
 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4

0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1

0
1
2
3
4
5
6
7
8
24
1 24
47
24 47
70
47 70
93
70 93
116
93 116
139
116 139
162
139 162
185
162 185
208
185 208
231
208 231
254
231 254
277
254 277
300
277 300
323
300 323
346
323 346
369
346 369
392
369 392
415
M=0,5

M=0,2
M=0,5
392 415

28
438
α

α
α
415 438
461
438 461
Figura 12.f

Figura 12.g

Figura 12.h
484

=10
=10
=0,7

461 484
507
484 507
530
507 530
553
530 553
576
553 576
599
576 599
622
599 622
645
622 645
668
645 668
691
668 691
714
691 714
737
714 737
760
737 760
783
760 783
806
783 806
829
806 829
852
829 852
875
852 875
898
875 898
921
898 921
944
921 944
967
944 967
990
967 990

990
 8

0
1
24
47
70
93
116
139
162
185
208
231
254
277
300
323
346
369
392
415
438
461
484
507
530
553
576
599
622
645
668
691
714
737
760
783
806
829
852
875
898
921
944
967
990
Figura 12.i
M=0,8 α =10
Como se observa en los gráficos 12.a y 12.i la distribución biparabolica generalizada,
puede adoptar la forma de la distribución uniforme, a medida que α tiende a 0, o
puede ser una distribuciones degenerada con toda la masa concentrada en un punto,
figura 12.b, a media que α tiende a infinito. Para valores de α entre 1 y 10 la
distribución adopta formas parecidas a la distribución normal, con la diferencia de que
la distribución biparabolica generalizada puede ser asimétrica, figura12.c y figura
12.d. Para valores de α entre 0 y 1 pero próximos a 0,5 la distribución es parecida a
una biparabolica muy suavizada, figura 12.e y figura 12.f, con α =10 podemos ver
como la similitud con la normal es bastante acentuada, grafica 12.g, y se desdibuja a
medida que aumenta la asimetría en las gráficas 12.h y 12.i.

A modo de conclusión, destacaremos que, como se ha afirmado anteriormente, la

distribución biparabolica se convierte en la distribución más conveniente en el ámbito
del PERT. Los creadores de este método quisieron sustituir la distribución Normal
por la distribución Beta básicamente por dos razones: En primer lugar, porque la
distribución beta el recorrido de l variable esta limitado, no presenta colas infinitas
como es el caso de la distribución normal, y por eso es más adecuada para la
valoración ya que tanto el tiempo de terminación de una tarea como el flujo de caja
son, obviamente, variables acotadas. En segunda lugar, la distribución beta puede
presentar asimetría, en contra de lo que le ocurre a la distribución normal que siempre
es simétrica.

29
Por otro lado, se conoce que la beta del PERT clásico tiene la misma varianza y
curtosis que la distribución normal. Es evidente que la intención fue utilizar una
distribución acotada y con posibles asimetrías que fuese lo más parecida posible a la
distribución normal. La distribución biparabolica, como se puede comprobar en la
figura 12 anterior, reúne las dos condiciones mencionadas y su parecido con la normal
se manifiesta claramente. Por otra parte, es posible conseguir que tenga la misma
varianza que la distribución normal (1/36), igualando la expresión (51) a 1/36 lo que
conduciría a resolver la siguiente ecuación sexta:

− 18α 6 − 165α 5 + (1332M 2 − 1332M + 157)α 4 + (2196M 2 − 2196M + 1240)α 3 +

+ (360M 2 − 360M + 1414)α 2 + 576α + 72 = 0
(52)

3,5

2,5

alfa

1,5

0,5

0
03

06

09

12

15

18

21

24

27

3
33

36

39

42

45

48

51

54

57

6
63

66

69

72

75

78

81

84

87

9
93

96
M

0,

0,

0,
0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

Figura 13

Se puede comprobar que para cada valor M ∈ (0,1) , existe un solo valor de α>0 que
verifica la ecuación (52), la figura 13 recoge la relación entre M y α. Los valores de α
entre 2,2 y 3,2 dan lugar a biparabolicas generalizadas que adoptan formas similares a
la distribución normal.

30
10. Aplicación practica
Se toma como punto de partida el caso práctico desarrollado por Alonso y Lozano,
(1985), trabajo que ha sido reiteradamente citado en la aplicaciones del método que
nos ocupa, Un simple representación gráfica en un diagrama de dispersión nos permite
ver que en principio la variable ingresos/Ha, puede tener capacidad para explicar el
valor de las tierras.

50000
Ingresos/Hectárea

40000

30000

20000

10000

0
0 100000 200000 300000 400000 500000
Valor de la Finca

En la Tabla 1, tenemos recogidos en las columnas (1) y (2), los valores de las fincas y
los ingresos por hectárea, y en las columnas (3) y (4) dichos datos estandarizados. Al
aplicar la distribución biparabolica en el método de las dos funciones de distribución
se plantea un análisis algebraico que fue resuelto en el apartado correspondiente y que
en este apartado llevaremos a la practica. En primer lugar hay que tener en cuenta que
dado un valor determinado del índice t 20 debemos encontrar el valor del activo t10 que
cumple la condición:
(
G1 (t10 ) = G2 (t 20 ) ⇒ t10 = G1−1 G 2 (t 20 ) )
Y desestandarizando el valor resultante será: X 10 = a1 + t10 (b1 − a1 )
Si partimos de los valores para el índice aportados por el experto, cuadro 4:

VALORES DEL INDICE

Pesimista 20000 1
Optimista 50000 0
Más probable 31466 0,3822
Cuadro 4

31
Y de los valores para el valor del activo, cuadro 5:

VALORES DEL ACTIVO

Pesimista 250000 1
Optimista 500000 0
mas probable 289575 0,1583
Cuadro 5

Se observa que la moda del activo, M1, es inferior a la moda del índice, M2. Por tanto
nos encontramos en el primer caso descrito en el cuadro 3. El siguiente paso es hallar
el valor de G2 (t 20 ) , y para ello se diferencian tres casos:

3 ⎡1 ⎛ t ⎞3 ⎛ t ⎞ 2 ⎤
- cuando t 20 ∈ (0, M 2 ) : − M 1 ⎢ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥ = G2 (t 20 )
2 ⎢⎣ 3 ⎝ M 1 ⎠ ⎝ M 1 ⎠ ⎥⎦

⎛ 3 ⎞ ⎡⎢ 1 ⎛ 1 − t1 ⎞ ⎛ 1 − t1 ⎞ ⎤⎥
3 2

- cuando t 20 ∈ (M 1 ,1) : 1 − (1 − M 1 )⎜ − ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = G 2 (t 20 )
⎝ 2 3
⎠ ⎢⎣ ⎝ 1 − M 1⎠ ⎝ 1 − M 1⎠ ⎥ ⎦

- cuando t 20 ∈ (M 2 , M 1 ) dependerá de si G 2 (t 20 ) < M1 o G 2 (t 20 ) >M1 aplicándose el

caso 1 o el caso 2 respectivamente.

La columna (5) de la tabla 1 recoge el valor de G 2 (t 20 ) que se ha calculado de

manera diferente según nos encontremos en el caso 1 o en el caso 2. Se presenta de
manera explicita en la columna (6) el caso al que corresponde cada valor. Resolviendo
la ecuación cúbica correspondiente a cada caso obtenemos el valor de z que se recoge
en la columna (6), escogiéndose solo aquel valor que se encuentra entre 0 y 1 y que es
inferior a la moda del activo. Deshaciendo el cambio obtenemos el valor para el activo
t10 y que se recoge en la columna (8) de forma estandarizada y en la columna (9)
desestanzarizado. En la tabla 2 se obtienen los residuos, restando al valor real del
activo que se ofrece en el ejemplo el valor obtenido mediante la aplicación del método
de las dos funciones de distribución.

32
 (1) (4)
Valor de la (2) (3) Ingresos (5) (6) (7) (8) (9)
Finca Ingresos /HaValor Estandarizad Estandarizados G(t0) CASO z t Valor estimad
400000 30810 0,6 0,360333333 0,51710714 2 0,847427 0,28672069 321680,174
450000 38587,5 0,8 0,619583333 0,81045109 2 0,516938 0,56489329 391223,321
400000 38587,5 0,6 0,619583333 0,81045109 2 0,516938 0,56489329 391223,321
450000 47400 0,8 0,913333333 0,98905881 2 0,119756 0,89920137 474800,344
300000 30870 0,2 0,362333333 0,51971545 2 0,845001 0,28876266 322190,665
400000 37472,5 0,6 0,582416667 0,77484446 2 0,565837 0,523735 380933,749
400000 34590 0,6 0,486333333 0,67198619 2 0,690203 0,41905613 354764,034
350000 25725 0,4 0,190833333 0,28277518 1 0,833533 0,13194827 282987,068
336000 30870 0,344 0,362333333 0,51971545 2 0,845001 0,28876266 322190,665
350000 31600 0,4 0,386666667 0,55109452 2 0,815252 0,31380239 328450,598
275000 25942,5 0,1 0,198083333 0,2932389 1 0,86907 0,13757378 284393,445
300000 25942,5 0,2 0,198083333 0,2932389 1 0,86907 0,13757378 284393,445
300000 37920 0,2 0,597333333 0,78943361 2 0,546259 0,5402138 385053,45
400000 39514 0,6 0,650466667 0,83809154 2 0,476018 0,59933565 399833,912
300000 34360 0,2 0,478666667 0,66316352 2 0,699981 0,41082599 352706,498
400000 39514 0,6 0,650466667 0,83809154 2 0,476018 0,59933565 399833,912
350000 34360 0,4 0,478666667 0,66316352 2 0,699981 0,41082599 352706,498
380000 44010 0,52 0,800333333 0,94417987 2 0,274398 0,7690392 442259,801
250000 29340 0 0,311333333 0,45191147 2 0,90561 0,23774806 309437,016
350000 34760 0,4 0,492 0,67845226 2 0,685465 0,42304411 355761,027
320000 33007 0,28 0,433566667 0,60959906 2 0,75699 0,36284152 340710,379
300000 26519 0,2 0,2173 0,32081962 1 0,965866 0,15289659 288224,147
250000 22752 0 0,091733333 0,13721403 1 0,382994 0,06062795 265156,988
350000 33741 0,4 0,458033333 0,63900355 2 0,726174 0,38877934 347194,836
350000 34760 0,4 0,492 0,67845226 2 0,685465 0,42304411 355761,027
300000 32274 0,2 0,409133333 0,57945757 2 0,787483 0,33717556 334293,89
325000 34360 0,3 0,478666667 0,66316352 2 0,699981 0,41082599 352706,498
295000 32274 0,18 0,409133333 0,57945757 2 0,787483 0,33717556 334293,89
300000 29340 0,2 0,311333333 0,45191147 2 0,90561 0,23774806 309437,016
368000 34360 0,472 0,478666667 0,66316352 2 0,699981 0,41082599 352706,498

Tabla 1

33
Valores OBSERVADOS Valores ESTIMADOS e e^2 abs e
REALES REALES REALES REALES REALES
400000 321680,174 78319,8265 6.133.995.219,07 78.319,83
450000 391223,321 58776,6787 3.454.697.953,13 58.776,68
400000 391223,321 8776,67865 77.030.088,13 8.776,68
450000 474800,344 -24800,3437 615.057.047,64 24.800,34
300000 322190,665 -22190,6646 492.425.594,28 22.190,66
400000 380933,749 19066,2507 363.521.916,71 19.066,25
400000 354764,034 45235,9663 2.046.292.644,83 45.235,97
350000 282987,068 67012,9315 4.490.732.991,57 67.012,93
336000 322190,665 13809,3354 190.697.744,88 13.809,34
350000 328450,598 21549,4021 464.376.730,87 21.549,40
275000 284393,445 -9393,44525 88.236.813,66 9.393,45
300000 284393,445 15606,5548 243.564.551,16 15.606,55
300000 385053,45 -85053,4499 7.234.089.344,14 85.053,45
400000 399833,912 166,08765 27.585,11 166,09
300000 352706,498 -52706,4981 2.777.974.939,33 52.706,50
400000 399833,912 166,08765 27.585,11 166,09
350000 352706,498 -2706,49808 7.325.131,83 2.706,50
380000 442259,801 -62259,8008 3.876.282.801,88 62.259,80
250000 309437,016 -59437,0158 3.532.758.841,27 59.437,02
350000 355761,027 -5761,02738 33.189.436,42 5.761,03
320000 340710,379 -20710,3792 428.919.808,68 20.710,38
300000 288224,147 11775,8531 138.670.715,06 11.775,85
250000 265156,988 -15156,9876 229.734.271,59 15.156,99
350000 347194,836 2805,16395 7.868.944,79 2.805,16
350000 355761,027 -5761,02738 33.189.436,42 5.761,03
300000 334293,89 -34293,8897 1.176.070.872,47 34.293,89
325000 352706,498 -27706,4981 767.650.035,58 27.706,50
295000 334293,89 -39293,8897 1.544.009.769,72 39.293,89
300000 309437,016 -9437,01575 89.057.266,27 9.437,02
368000 352706,498 15293,5019 233.891.201,13 15.293,50
40.771.367.282,71 835.028,75
Tabla 2

En la tabla 3 se comparan los residuos de la tabla 2, mediante la desviación absoluta

media, obtenidos con el uso de la distribución biparabolica en el método de las dos
funciones de distribución, con los residuos obtenidos mediante la aplicación de otros
métodos. Véase García, García y Trinidad.

34
 RESIDUOS

Valores ObservadosNormal Beta TriangularError mínimoSTSP Regresión STSPRegresión LineaBiparabolica

250000 36733,89 22596,28 14632,47 5565,66 11962,21 3112,05 16411,13 78319,82648
350000 109299,05 52831,88 60296,22 62623,24 70286,86 70246,9 62358,68 58776,67865
275000 32291,96 23965,76 16537,96 14704,01 5439,64 6702,12 14194,49 8776,67865
300000 57291,96 1034,24 8462,04 10295,99 19560,36 18297,88 10805,51 24800,3437

300000 51972,02 3730,54 3600,42 4127,44 17425,73 13131,86 6688,72 22190,66458

250000 24060,17 77046,1 70189,07 76057,26 48163,36 62147,12 63456,04 19066,25073
300000 25939,83 27046,1 20189,07 26057,26 1836,64 12147,12 13456,04 45235,96628
400000 112374,67 60804,35 67414,42 58213,74 89412,77 74680,21 76046,69 67012,93153
300000 11820,99 39691,55 33091,56 42428,26 11173,53 25857,45 24381,77 13809,33543
336000 47820,99 3691,55 2908,44 6428,26 24826,47 10142,55 11618,23 21549,4021
350000 55084,55 4275 10752,35 239,26 31133,94 17601,02 20405,3 9393,44525
300000 1135,12 51295,61 44931,5 57451,06 26291,2 38438,69 34407,73 15606,55475
295000 6135,12 56295,61 49931,5 62451,06 31291,2 43438,69 39407,73 85053,44993
320000 12100,75 37353,86 31112,89 45294,16 14327,39 25007,11 19642,09 166,08765
350000 35327,4 13420,36 7302,71 23147,96 7667,61 1584,48 5116,42 52706,49808
300000 20384,73 68536,4 62522,73 79771,26 49049,2 57131,34 49303,86 166,08765
350000 29615,27 18536,4 12522,73 29771,26 950,8 7131,34 696,14 2706,498075
325000 4615,27 43536,4 37522,73 54771,26 24049,2 32131,34 24303,86 62259,80085
368000 47615,27 536,4 5477,27 11771,26 18950,8 10868,66 18696,14 59437,01575
400000 77492,83 29562,65 35537,68 17767,74 48463,21 40807,63 49053,71 5761,027375
350000 25924,07 21842,4 15895,93 34051,26 3372,54 10715,74 2160,26 20710,37925
350000 25924,07 21842,4 15895,93 34051,26 3372,54 10715,74 2160,26 11775,85305
400000 50893,12 5738,79 11229,55 13075,01 17691 14977,55 28469,78 15156,98755
300000 53236,41 97959,8 92544,21 117863,26 87013,99 89032,5 74725,82 2805,16395
450000 90603,9 46523,31 51826,76 24994,49 56007,46 54986,03 70507,56 5761,027375
400000 40603,9 3476,69 1826,76 25005,51 6007,46 4986,03 20507,56 34293,88973
400000 32054,16 11134,21 5986,42 34919,06 3596,28 3316,33 13891,43 27706,49808
400000 32054,16 11134,21 5986,42 34919,06 3596,28 3316,33 13891,43 39293,88973
380000 29434,93 68293,65 63901,18 103026,26 68555,69 63604,99 38214,51 9437,01575
450000 9282,15 26312 22489,05 69299,26 29825,35 23982,78 7577,5 15293,50192
1189122,67950044,49882517,971180141,83 831300,72850239,59 832556,39 835028,7498
Desviación Ab
Media 39637,42 31668,15 29417,27 39338,06 27710,02 28341,32 27751,88 27834,29166
Tabla 3

35
Se observa que la distribución biparabolica ofrece una desviación absoluta media algo
superior a la obtenida mediante el uso de la distribución STSP y el uso de la regresión.
Sin embargo, se ha de tener en cuenta que la distribución STSP es una distribución
tetraparametrica y la regresión hace uso del conjunto total de datos, mientras que la
distribución biparabolica es una distribución triparametrica y aun así presenta una
menor desviación media que mediante el uso de otras distribuciones como la Normal,
la Triangular, la Beta, el método de error mínino y la regresión STSP

11. Conclusiones
1. La distribución biparabolica es una distribución que reparte la densidad de
forma continua, en el sentido que la moda no supone un punto de discontinuidad para
la derivada de la función de densidad
2. La distribución biparabolica es la distribución más adecuada para su uso en el
ámbito del PERT, de entro todas las distribuciones que pueden obtenerse a partir de
las tres estimaciones habituales del experto, pesimista, mas probable y optimista, en el
sentido de que es la que tienen mas varianza y solo le supera en moderación la
distribución Trapezoidal CPR.
3. La distribución biparabolica generalizada es una distribución que se puede
obtener a partir de las tres estimaciones habituales del PERT, esta definida en un
dominio acotado, tiene forma similar a la distribución normal y puede presentar
asimetrías por todo ello se puede afirmar que satisface las intenciones que perseguían
los creadores de PERT con el uso de la distribución Beta, y refiriéndonos a esta ultima
presenta la ventaja de que conocemos , explícitamente, su función de distribución, por
lo que resulta adecuado para ser utilizada en el MDFD.
4. Como puede observarse en las figuras 12.a-12.i la distribución biparabolica
puede adoptar casi la forma de una distribución uniforme (12.a), de una distribución
casi-degenerada (con toda la masa concentrada en un punto) (12.b) pasando por
formas similares a la normal (12.g), otras formas que recuerdan una normal en la que
se ha forzado la asimetría (12.c),(12.d), (12.h) y (12.i), una distribución que recuerda
la trapezoidal en la que se han suavizado las artistas, (12.e) y una distribución
cuadrática (12.f). En conclusión, la distribución biparabolica presenta una gran
versatilidad.

36
5. La aplicación en el MDFD presenta dificultades pues es necesario resolver una
ecuación cúbica, a pesar de ello, en el caso practico tiene el mejor comportamiento de
entre todas las distribuciones triparametricas empleadas.

12. Futuras líneas de investigación

1. Obtener una expresión analítica de la curtosis de la distribución Biparabolica

Generalizada y tratar de encontrar el valor de α ( o los valores de α) que dan una
distribución BG con la misma curtosis y varianza que la distribución normal.

2. Tratar de resolver mediante un programa informático el MDFD en el caso de

la distribución BG.

3. Construir distribuciones cuya función generadora de densidad sea una

ecuación cúbica y puedan ser determinadas a través de los tres valores habituales.
Ejemplo: p ( x / a, b, c, d )
i) p (0 / a, b, c, d ) = 0 ⇒ d = 0
ii) p ( x / a, b, c, d ) tiene un máximo en el punto (1,0)
iii) p ( x / a, b, c, d ) tiene un punto de inflexión en x = 1 / 2
De ii) y iii) se deduce que c=0
1
a b
iv) ∫ (ax 3 + bx)dx = 1 ⇒ + =1
0
4 3

De i), ii), iii) y iv) se deduce que p ( x / a, b, c, d ) = −4 x 3 + 6 x 2 (53)

A partir de (53) se podría construir una Distribución bicúbica y a partir de ella una
bicubica generalizada.

4. Aplicación de la distribución biparabolica generalizada para obtener el valor

del VAN y calcular el VAN penalizado.

37
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