Determinación del volumen de la Mezquita de Samarra, utilizando

integrales definidas

N° de página: 19

1
 Introducción
En una clase de matemática de NM, abordamos las integrales definidas en la
cual aprendí que se aplica en la determinación de puntos y curvas, calculando
de esa manera la longitud de un objeto sólido, asimismo, después de investigar
un poco más sobre las integrales definidas, comprendí que también se pueden
aplicar para hallar el volumen por medio de métodos como es el método de
discos. Al estar indagando sobre figuras que a simple vista no se pueda
calcular el volumen, me encontré con arquitecturas interesantes reconocidas
por todo el mundo como la gran mezquita de Samarra localizado en Irak. Por
otro lado, lo que me atrajo y lamo mi atención fue el tipo de estructura que
poseía, y preguntándome si sería posible calcular el volumen de la gran
Mezquita. Después de la experiencia vivida surge la siguiente pregunta ¿Cómo
se podrá determinar el volumen de la Mezquita utilizando integrales definidas?

Mi interés por aplicar las matemáticas en la vida real no solo me llevo a

investigarlo y dejarlo como un conocimiento adquirido, sino aplicarlo y poder
comprobarlo con algún método o propiedades matemáticos. Por ello el
propósito de mi exploración es demostrar el funcionamiento de las integrales
definidas para calcular el volumen de la gran Mezquita de Samarra.

Dicha exploración se aborda en dos capítulos y una reflexión, en el primer

capítulo se incluirá el marco teórico, donde se evidenciará lo necesario para
desarrollar la parte matemática, seguidamente en el segundo capítulo se
utilizará el método de discos, aplicando las integrales definidas, haciendo uso
también de la aplicación GeoGebra para hallar el volumen de la gran mezquita
de Samarra (Irak). Finalmente, después del desarrollo matemático y obtención
de resultados realizare las conclusiones finales de mi investigación

2
 CAPITULO I
MARCO TEÓRICO
1.1 Integrales definidas:

La integral definida es una rama de las matemáticas siendo un concepto

fundamental para el análisis y cálculo matemático, brinda el proceso de
integración o anti derivación. En nuestro contexto es muy común en la
ingeniería y también en la ciencia, fundamentalmente para hallar las áreas y
volúmenes de solidos en revolución y de regiones geométricas.
Según (Stewant, 2008) define a las integrales definidas como: Si f es una
función continúa definida para a ≤ x ≤ b, dividida el intervalo [ a , b ] en n
( b−a)
subintervalos de igual ancho ∆ x= . Haga que x 0 ( ¿ a ) , x 1 , x 2 , … , x n (¿ b)sean
n
¿ ¿ ¿
los puntos extremos de estos subintervalos y elija x 1 , x 2 , … , x n como los puntos
muestran, de modo que x i se encuentre en el i−ésimo subintervalo [ x i−1 , x 1 ].
¿

Entonces la integral definida de f ( x ), desde a hasta b es:

b n

∫ f ( x ) dx=lim
n→∞
∑ f ( x i) ∆ x
a i=1

Donde:

∫ : Signo de integracion
a : Limite inferior de la integración

b : Limite superior de la integracion

f ( x ) :Integrando o funcion integrar

d ( x ) : Diferencial de x , siendo la variable que se integra

3
 Figura 1: Integral definida

Nota. GeoGebra, elaboración propia

La integral definida de f(x) en el intervalo [a, b] es igual al área limitada

entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x =
b

1.2 Propiedades de las integrales definidas:

Las integrales definidas contienen diferentes propiedades según la

situación que se presenta, por esa razón se mencionara solo 4 propiedades
fundamentales que ayudaran en cálculo del volumen.
Recopilado y adaptado, de Stewart (2008) y Aguilar et al., (2009)

- La integral de una función constante f ( x )=c es la constante multiplicada

por la amplitud del intervalo

∫ c dx=c( b−a)
a

- c es una constante de la función y también f es integrable en [a , b] ,

entonces:
b b

∫ cf ( x ) dx=c ∫ f ( x ) dx
a a

- Si f y g son integrales en [ a , b ] ,se puede decir que:

b b b

∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx
a a a

4
- Si f es integrable en los tres intervalos cerrados definidos por a , b , c ; se le
llama propiedad de aditividad del intervalo, entonces:

b c b

∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx con c ∈[a , b]

a a c

1.3 Método de discos:

Según Rogawski (2016) Cuando se rota la región limitada por dos graficas
respecto a un eje, los segmentos que son perpendiculares al eje generan
discos coronas circulares. El volumen V de solido de revolución es la
integral de las áreas de estos discos o coronas circulares. Entonces el
volumen del sólido esta dado por:

b b
V =π ∫ r dx=π ∫ f (x ¿¿ 2)dx ¿
2

a a

Según la figura 2 se puede decir que la región entre y=f (x )y el eje x,

rotada respecto al eje x. Sección vertical transversal: una circunferencia de
radio R=f (x )y área π R 2=πF ¿:

Figura 2. Solido rotado al eje x

Nota. Rogawski (2016), pág. 320

5
 Capitulo II
Con el uso de artículos históricos encontrados por la web, obtuve una imagen
más clara de la gran mezquita de Samarra, la cual se puede observar una
estructura interesante e imposible de hallar el volumen a simple vista, es por
ello que para calcular el volumen, se utilizaron diversas funciones identificadas
en el GeoGebra y aplicar el método de discos.

Figura 3: Gran Mezquita de Samarra (Irak)

Nota:
https://1.bp.blogspot.com/W3JV0pYfJ6o/XTVSD3crA1I/AAAAAAAAEu0/G30IsUsky3k_
Y11WQ5VLXxn3x1S_CLoKQCLcBGAs/s1600/AIS52.jpg
Figura 4. Delimitación de funciones de la gran mezquita de Samarra

Nota. GeoGebra, elaboración propia.

6
En la imagen 3, se llega a observar a la gran mezquita de Samarra compuesta
por 14 particiones y respecto a estas particiones salen las siguientes funciones
que se observar en la tabla 1.

Puntos extremos Función Puntos extremos Función

(C, D) (−0.05 x +2.82 ) (J, K) (−1.05 x+ 7.93 )
(D, E) (−1.78 x+ 3.85 ) (K, L) (−0.03 x +1.3 )
(E, F) ( 0 x +2.43 ) (L, M) (−1.36 x +11.48 )
(F, G) (−1.72 x+7.02 ) (M, N) (−0.01 x+ 0.78 )
(G, H) (−0.02 x+ 2.03 ) (N, O) (−1.34 x +13.19 )
(H, I) (−1.26 x +7.39 ) (O, P) (−0.14 x +1.81 )
(I, J) (−0.01 x+ 1.55 ) (P, Q) (−4.13 x + 40.38 )
Tabla 1. Puntos extremos de cortes y sus respectivas funciones

Así mismo es importante la identificación de las coordenadas de los puntos

para el objetivo de la integración.

Tabla 2. Coordenadas de los puntos de corte

Puntos (x , y ) Puntos (x , y )
C (0 , 2.82255) K (6.53275 , 1.10022)
D (0.59442 , 2.7918) L (7.67234 , 1.06461)
E (0.79919 , 2.42678) M (7.92162 , 0.7263)
F (2.66883 , 2.41787) N (9.33721 , 0.71739)
G (2.92702 ,1.97272) O (9.5 , 0.5)
H (4.30699, 1.94601) P (9.66662 , 0.47701)
I (4.6453, 1.51867) Q (9.77112 , 0.04557)
J (6.14101 ,1.50976)

7
Dichas coordenadas se muestran con más de dos decimales para que el
cálculo del volumen sea lo más exacto. A continuación, se procederá a calcular
el volumen con las funciones obtenidas de la tabla 1, mediante el método de
los discos.

2.1. Volumen de la región de la función (figura 3), a partir de

x=0 hasta x=0.59442

Figura 5. Función y= (−0.05 x +2.82 )

Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.1.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la primera función

b
V =π ∫ r dx
2

0.59442
V =π ∫ [−0.05 x+2.82] dx
2

0.59442
V =π ∫ 2
0.0025 x −0.282 x+ 7.9524 dx
0

)|
0.59442

(
3 2
0.0025 x 0.282 x
V =π − +7.9524 x
3 2 0

V =π ¿

V =π
[( 0.0025 ( 0.2100294718 ) 0.282 ( 0.3533351364 )
3
−
2
+4.73 −
3
−
2 )(
0.0025 ( 0 ) 0.282 ( 0 )
+0 )]
V =π
[( 0.00052507367 0.09964
3
−
2
0 0
+ 4.73 − − +0
3 2 )( )]
8
 V =π [ ( 0.00017502455−0.04982025423+ 4.73 ) ]

V =π [ ( 0.000175−0.04935+4.73 ) ]

Redondeando:
V =4.68 π

Comprobando:

Nota. Casio fx−9860 G SD , elaboración propia

2.2. Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=0.59442hasta

x=0.79919
Figura 6. Función y= (−1.78 x +3.85 )

Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.2.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la segunda función

b
V =π ∫ r dx
2

0.79919

∫
2
V =π [−1.78 x +3.85 ] dx
0.59442

0.79919
2
V =π ∫ [ 3.17 x 2−13.71 x+ 14.82 ] dx
0.59442

)|
0.79919

(
3 2
3.17 x 13.71 x
V =π − +14.82 x
3 2 0.59442

V =1.40 π

9
2.3. Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=0.79919 hasta
x=2.66883

Figura 7. Función y= ( 0 x +2.43 )

Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.3.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la tercera función

b
V =π ∫ r dx
2

2.66883

∫
2
V =π [ 0 x +2.43 ] dx
0.79919

2.66883
V =π ∫ 5.90 dx
0.79919

2.66883
V =π ( 5.90 x )|0.79919
V =11.04003724 π

2.4. Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=2.66883 hasta

x=2.92702

Figura 8. Función y= (−1.72 x +7.02 )

10
 Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.4.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la cuarta función

b
V =π ∫ r dx
2

2.92702

∫
2
V =π [−1.72 x+ 7.02 ] dx
2.66883

2.92702
V =π ∫ 2
2.96 x −24.15 x +49.28 dx
2.66883

)|
2.92702

(
3 2
2.96 x 24.15 x
V =π − + 49.28 x
3 2 2.66883

V =1.262496 π
2.5 Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=2.92702hasta
x=4.30699

Figura 9. Función y= (−0.02 x +2.03 )

Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.5.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la quinta función

b
V =π ∫ r 2 dx
a

4.30699

∫
2
V =π [ −0.02 x +2.03 ] dx
2.92702

4.30699
V =π ∫ 2
0.0004 x −0.0812 x+ 4.1209 dx
2.92702

11
 )|
4.30699

(
3 2
0.0004 x 0.0812 x
V =π − + 4.1209 x
3 2 2.92702

V =5.28873 π
2.6. Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=4.30699hasta
x=4.6453

Figura 10. Función y= (−1.26 x +7.39 )

Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.6.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la sexta función

b
V =π ∫ r dx
2

4.6453

∫
2
V =π [ −1.26 x +7.39 ] dx
4.30699

4.6453
V =π ∫ 2
1.5876 x −18.6228 x +54.6121 dx
4.30699

)|
4.6453

(
3 2
1.5876 x 18.6228 x
V =π − +54.6121 x
3 2 4.30699

V =1.0412649 π
2.7. Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=4.6453hasta
x=6.14101

Figura 11. Función y= (−0.01 x +1.55 )

12
 Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.7.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la séptima función

b
V =π ∫ r dx
2

6.14101

∫
2
V =π [−0.01 x +1.55 ] dx
4.6453

6.14101
V =π ∫ 0.0001 x 2−0.031 x+2.4025 dx
4.6453

)|
6.14101

(
3 2
0.0001 x 0.031 x
V =π − +2.4025 x
3 2 4.6453

V =3.3477571 π
2.8. Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=6.14101 hasta
x=6.53275

Figura 12. Función y= (−1.05 x +7.93 )

Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.8.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la octava función

b
V =π ∫ r dx
2

6.53275

∫
2
V =π [−1.05 x +7.93 ] dx
6.14101

6.53275
V =π ∫ 1.1025 x 2−16.653 x+ 62.8849 dx
6.14101

13
 )|
6.53275

(
3 2
1.1025 x 16.653 x
V =π − +62.8849 x
3 2 6.14101

V =0.64362082 π
2.9 Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=6.53275 hasta
x=7.67234

Figura 13. Función y= (−0.03 x +1.3 )

Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.9.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la novena función

b
V =π ∫ r 2 dx
a

7.67234

∫
2
V =π [ −0.03 x +1.3 ] dx
6.53275

7.67234
V =π ∫ 2
0.0009 x −0.078 x +1.69 dx
6.53275

)|
7.67234

(
3 2
0.0009 x 0.078 x
V =π − +1.69 x
3 2 6.53275

V =1.34642607 π
2.10. Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=7.67234 hasta
x=7.92162

Figura 14. Función y= (−1.36 x +11.48 )

14
 Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.10.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la décima función

b
V =π ∫ r dx
2

7.92162

∫
2
V =π [ −1.36 x +11.48 ] dx
7.67234

7.92162
V =π ∫ 1.8496 x 2−31.2256 x +131.7904 dx
7.67234

)|
7.92162

(
3 2
1.8496 x 31.2256 x
V =π − +131.7904 x
3 2 7.67234

V =0.19372589 π
2.11. Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=7.92162hasta
x=9.33721

Figura 15. Función y= (−0.01 x +0.78 )

Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.11.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la onceava función

b
V =π ∫ r dx
2

15
 9.33721

∫
2
V =π [−0.01 x +0.78 ] dx
7.92162

9.33721
V =π ∫ 2
0.0001 x −0.0156 x +0.6084 dx
7.92162

)|
9.33721

(
3 2
0.0001 x 0.0156 x
V =π − +0.6084 x
3 2 7.92162

V =0.68124490 π
2.12. Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=9.33721 hasta
x=9.5

Figura 16. Función y= (−1.34 x+13.19 )

Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.12.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la doceava función

b
V =π ∫ r dx
2

9.5

∫
2
V =π [−1.34 x +13.19 ] dx
9.33721

9.5
V =π ∫ 1.7956 x 2−35.3492 x+173.9761 dx
9.33721

)|
9.5

(
3 2
1.7956 x 35.3492 x
V =π − +173.9761 x
3 2 9.33721

V =0.05336341 π
2.13. Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=9.5 hasta
x=9.66662

16
 Figura 17. Función y= (−0.14 x+ 1.81 )

Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.13.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la treceava función

b
V =π ∫ r dx
2

9.66662

∫
2
V =π [−0.14 x+1.81 ] dx
9.5

9.66662
V =π ∫ 2
0.0196 x −0.5068 x +3.2761 dx
9.5

)|
9.66662

(
3 2
0.0196 x 0.5068 x
V =π − +3.2761 x
3 2 9.5

V =0.03655384 π
2.14. Volumen de la región de la función (figura 4), a partir de x=9.66662 hasta
x=9.77112

Figura 18. Función y= (−4.13 x+ 40.38 )

Nota. Elaboración propia en GeoGebra

2.14.1. Aplicación del método de discos para el cálculo de la catorceava

función

17
 b
V =π ∫ r dx
2

9.77112

∫
2
V =π [−4.13 x+ 40.38 ] dx
9.66662

9.77112
V =π ∫ 2
17.0569 x −333.5388 x+1630.5444 dx
9.66662

)|
9.77112

(
3 2
2.96 x 24.15 x
V =π − + 49.28 x
3 2 9.66662

V =0.00769489769 π
Luego de haber desarrollado cada procedimiento matemático de las 14
particiones mediante el método de discos, se sumará todos los resultados
obtenidos, para que finalmente se pueda saber el volumen total de la Gran

PUNTOS Función Volumen

EXTREMOS
(C, D) (−0.05 x +2.82 ) 4.68 π
(D, E) (−1.78 x+ 3.85 ) 1.40 π
(E, F) ( 0 x +2.43 ) 11.04003724 π
(F, G) (−1.72 x+7.02 ) 1.262496 π
(G, H) (−0.02 x+ 2.03 ) 5.28873 π
(H, I) (−1.26 x +7.39 ) 1.0412649 π
(I, J) (−0.01 x+ 1.55 ) 3.3477571 π
(J, K) (−1.05 x+ 7.93 ) 0.64362082 π
(K, L) (−0.03 x +1.3 ) 1.34642607 π
(L, M) (−1.36 x +11.48 ) 0.19372589 π
(M, N) (−0.01 x+ 0.78 ) 0.68124490 π
(N, O) (−1.34 x +13.19 ) 0.05336341 π
(O, P) (−0.14 x +1.81 ) 0.03655384 π
(P, Q) (−4.13 x + 40.38 ) 0.00769489769 π
Suma total 34.80177212 π

Mezquita de Samarra (Irak). (Tabla 3)

Tabla 3. Resultados de los volúmenes de cada función

18
Después se aplica una multiplicación básica para hallar en u3

V =π . ∑ volumenes resueltos de cada partición

3
V =34.80177212 π=109.2775645 u

De esa manera la Gran mezquita de Samarra tiene como volumen:

3
109.2775645 u

Capítulo 3

Conclusión

En conclusión, se afirma que la integral definida por medio de la formula

b b
V =π ∫ r 2 dx=π ∫ f (x ¿¿ 2)dx ¿ puede ser utilizada para calcular el volumen de un
a a

objetivo sólido, monumentos o como es el caso realizado en esta presente

exploración, la cual es el cálculo aproximado del volumen de la Gran Mezquita
de Samarra.

En otro punto, el método de discos, que fue utilizado para calcular el volumen,
fue una buena elección ya que al ser fácil de entender la simbología que utiliza
en su fórmula, es una buena estrategia para que hallemos el volumen de
cualquier solido en revolución y esto se comprueba en todo el proceso que se
hiso en el capítulo 2, así mismo el calculo de la integral como método de disco
fue importante para que se integre a lo largo de un eje “paralelo”, al eje de
revolución , viéndose esto en la aplicación del GeoGebra

Al haber concluido con el tema abordado y haber respondido la pregunta de

investigación, las ampliaciones que considero que se podría abordar para

19
próximas exploraciones matemáticas, sería el cálculo de los pesos de un un
objeto y diferenciarlo con el volumen del mismo objeto y de esa forma
comprobar la diferencia que existe

BIBLIOGRAFIA:

Aguilar, A., Bravo, F., Gallegos, H., Cerón, M. y Reyes, R. (2009). Matemáticas
simplificadas (2a ed.). México, DF: Pearson educación
Rogawski (2016) CÁLCULO UNA VARIABLE (2a ed.). Reverté (pág. 320)
Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable (6 ed.). México D.F., Santa Fe,
México: Cengage Learning Editores, S.A.

20
21