TRABAJO PRÁCTICO 3:

DERIVADAS
ANÁLISIS MATEMÁTICO 1

UTN – Facultad Regional Haedo

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TRABAJO PRÁCTICO 3: DERIVADAS

Tasa de Variación Media o Razón de Cambio promedio

La tasa de variación media, TVM, de una función, f(x), en un intervalo [x1 , x2],
es el cociente incremental:
𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) ∆𝑓
𝑇. 𝑉. 𝑀. = =
𝑥2 − 𝑥1 ∆𝑥

Ej. 3-01Calcular la tasa de variación media de la función f(x)=x 2 – 5x entre x=1 y x=3.
Interpretar geométricamente.

Ej. 3-02: una piedra se cae desde un edificio de altura 150 m. Según la ley de caída libre la
distancia recorrida por la piedra está dada por s(t) = 4,9 t 2, donde t se mide en segundos y
s en metros. Hallar la velocidad media de la piedra enlos intervalos [1,1,5]; [1,1.1]; [1, 1.01]

Cálculo de función derivada por definición

La derivada de una función es el límite del cociente incremental, cuando el incremento

de la variable independiente tiende a cero:

𝑓 (𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑓
𝑓 ′ (𝑥 ) = lim = lim con 𝐷𝑜𝑚𝑓′ ⊆ 𝐷𝑜𝑚𝑓
∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥

Ej. 3-03Obtener la función derivada de las siguientes funciones, aplicando la definición.

Determinar el dominio de la función derivada en cada caso:
2 1
a )f ( x )  x 2  2x b)f ( x )  c)f ( x )  x d )f ( x ) 
3x  1 x
e)f ( x )  sen( x ) f )f ( x )  ln x g)f ( x )  e x h ) f ( x )  cos x2 

Cálculo de derivada, por definición,en un punto (razón de cambio instantánea o

puntual)

Ej.3-04 Aplicando la definición de derivada en un punto calcular f '( xo ) en el punto

indicado:

a) f ( x )  2 x 2 en x0  2 b) f ( x )  sen x en x0   / 2
1
c) f ( x )  ln x en x0  1 d) f ( x )  en x0  0,5
x

Ej.3-05A partir de la definición de derivada de f en un puntode abscisa x = a,establecer

quién es “f ” y “a” en cada caso:

1
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a) lim
1 h 1
, b) lim
2  h  8
3
, c) lim
x9 1
, d ) lim
cos x  1
h 0 h h  0 h x 1 x 1 x 3 x  3

Derivadas Laterales - Derivabilidad y Continuidad

Teorema: Si una función y=f(x) es derivable en un punto x0 , entonces es continua en

dicho punto.

Ej.3-06 Demostrar que la función f ( x)  x  6 es continua en x = 6 y no es derivable en en

dicho punto. Encontrar una fórmula para f´. Graficar f y f’ en un mismo par de ejes.

Ej.3-07 a) Graficar la función f ( x)  x. x y demostrar que es continua en su dominio

b) ¿Para cuáles valores de x es derivable f?
c) Encontrar una fórmula para f´
d) Graficar f ‘ junto con el gráfico de f.

Ej. 3-08: a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función en su dominio.

Graficar la función y su derivada

x  3 x  1
 2
f ( x)   x 1  x  2
x  2 x2

b) Estudiar continuidad y derivabilidad en x=0 para:

 x
 x0
g ( x)   2  e 1 x
 0 x0

Ej.3-09 a) Determinar los valores de “a” y “b” para que la función g(x) sea continua y
derivable en [-2; 3] Siendo

2ax  5 x2
g ( x)   2
bx  1 x2

b) Determinar los valores de “a” y “b” para que la función h(x) sea continua y derivable
para todos los reales. Una vez calculados dichos valores determinar la función derivada de
h(x) y graficar ambas funciones.
ax 2  2 x x 1
h( x )  
bx  1 x 1

c)Determinar “a” y“b” en función de c para que la función sea derivable en x = c:

2
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x 2 x  c
f ( x)  
ax  b x  c

d) Determinar “a” y“b” en función de c para que la función sea derivable en x = c:

ax 2  b x  c

f ( x)   1
x x c


Ej.3-10 Dada la gráfica de las siguientes funciones, indicar

 Los intervalos de positividad y negatividad de la función derivada, en relación al

signo de la pendiente de la recta tangente a la curva.

 Indique en cada caso, además, si existe algún punto donde la derivada sea nula o
no exista.

a) b)

c) d)

3
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e) f)

Cálculo de derivadas por reglas

Ej.3-11Derivar aplicando reglas de derivación:

x3  x2  1
a ) f ( x)  x  3 x  4
5 4
b) f ( x )  x  x  x 3 2 4 3
c) f ( x) 
5
x2 1 x m x2
d ) f ( x)  2ax   3
e) f ( x )    2 f ) f ( x)  e x  2 ln x
b x m b n
g ) f ( x)  senx. cos x h) f ( x)  (3x 2  5)( x  1) i ) f ( x)  xe x
j ) f ( x)  3x( x  senx) k ) f ( x)  tgx l ) f ( x)  ctgx
ax ln x senx
m) f ( x )  n) f ( x )  o) f ( x ) 
ax x x
1 x senx
p) f ( x)  2 x cos ecx q ) f ( x)  r ) f ( x)  3
1 x x 2
Ej.3-12Derivar las siguientes funciones compuestas, aplicando propiedades y reglas:

a) f ( x)  (2 x 2  3) 2 b) f ( x)  x 2  a 2 c) f ( x)  cos x
d) f ( x)  sen x 2
e) f ( x)  ln cos x f) f ( x)  cos(x3  3x)
g) f ( x)  ln sen 2 x h) f ( x)  eln x i) f ( x)  ln( x )
2

j) f ( x)  sen(cos x) k) f ( x)  2tg (e3x ) l)

f ( x)  ln 2x  log 2  log 2x
ll) f ( x)  e sh x
1  senx n) f ( x)  ln Th 2 x
m) f ( x)  ln
1  senx
e x  e x p) f ( x)  e ( e q) f ( x)  ln(ln x)
x
)
o) f ( x) 
2

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r) f ( x)   ln cos x s) f ( x)  log(x 2  senx) 1 x

t) f ( x) 
1 x

Ej. 3-13:Supongamos que las funciones f y g y sus derivadas tienen los siguientes valores
en x=2 y x=3.
x f(x) g(x) f’(x) g’(x)
2 8 2 1/3 -3
3 3 -4 2 5

Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los valores dados de x:

a) f(x) . g(x) = x=3

d) f (x)2  g(x)2 x=2
b) f(x) / g(x) = x=3 e) (fog) (x) = ; x=3

c) f(g(x))= x=2 f) (gof) (x) = ; x=3

Rectas Tangente y Normal, Aplicaciones

Ej.3-14 Encontrar la ecuación de la tangente a la curva en el punto dado:

x 1
a) y  x (1;1) , b) y  (0;0) , c) y  2 (2; 14 )
1 x x

Ej.3-15a) Si f ( x)  3x 2  5 x encontrar la ecuación de la recta tangente a la parábola dada

en el punto (2;2). Graficar

b) Determinar la ecuación de la recta normal de la función h(x) en el punto de abscisa x=1

 x2
 2 si x  3
h( x )    x  6 x  8
 2 x 3  x si x  3

Ej.3-16 Encontrar los puntos de la curva y  x 3  x 2  x  1 donde la tangente es horizontal.

Ej.3-17Demostrar que la curva y  6 x 3  5 x  3 no tiene recta tangente con pendiente 4.

Ej.3-18 ¿En qué punto sobre la curva y  1  2e x  3x la recta tangente es paralela a la

recta 3x  y  5 ?
1
Ej.3-19Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y  en el punto (-1; ½ ).
1 x2

Ej.3-20 ¿Para qué valores de x la gráfica de f ( x)  x  2.senx tiene una tangente

horizontal?
5
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Ej.3-21Encontrar la pendiente de la recta tangente a f ( x)  2  5. ln 2 (3x) en x0  e

3 .

Ej.3-22¿La recta normal a la parábola y  x  x 2 en el punto (1;0) se cruza con la parábola

una segunda vez? Justifique su respuesta. Grafique.

Ej.3-23 Hay dos tangentes a la curva y  4 x  x 2 que pasan por el punto (2;5). Encontrar
las ecuaciones de ambas.

bx  4
Ej. 3-24Determinarb tal que la recta tangente a la función h( x)  en el punto de
x2
intersección con el eje de ordenadas sea paralela a la recta y= -5/2x+4. Hallar la ecuación
de dicha recta tangente y graficar todo en un mismo par de ejes cartesianos.

Ej.3-25 Encontrar a , b y la recta normal en x  1, si f ( x )  x 3  4ax 2  bx  4 y la

recta tangente en x  1 es 2x  y  5  0

Derivación Logarítmica

Ej.3-26: Aplicando derivación logarítmica derivar las funciones:

a ) f ( x)  x x b) g ( x)  x ln x c)h( x)  (senx) x
d )i( x)  e ( x e)k ( x)  (Chx) x 1
x
)

f ) p( x)  (2 x 2 ) 3 x 1
g) g ( x)  (4 x  x)
2 Cos ( 3 x )

3 x 1
Ejercicio 3-27: Determina la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación y  (1  2 x) 4

en el punto de abscisa x=0.

Derivación en forma Implícita

Ej.3-28: Derivar respecto de x las siguientes expresiones que definen a “y” como función o
relación de “x” en forma implícita:

a )b 2 x 2  a 2 y 2  a 2 b 2 b) y 3  3 y  2ax  0 c) y  cos(x  y )
d ) cos(xy )  x e) x y  xy  x  y  0
2 2 2 2
f ) 3 x. y  xy 3  3 y

Ej.3-29 Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y 2  5 x 4  x 2 en el punto

(1;2).

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Ej.3-30 a) Encontrar una ecuación de la recta tangente a la curva y 2  x 3  3x 2 en el punto

(1;-2). b) ¿En cuáles puntos tiene tangente horizontal esta curva?

Ej.3-31 Demostrar que la normal a la curva x 3  y 3  3xy en ( 32 ; 32 ) pasa por el origen.

Ej. 3-32:Determina los puntos de la curva x  xy  y  27 en los que la tangente es

2 2

horizontal, y aquellos en los cuales la tangente es vertical.

Ej.3-33 Encontrar todos los puntos de la curva x y  xy  2 donde la pendiente de la

2 2

recta tangente es -1.

Derivada de Función Inversa

Ej.3-34 Derivar aplicando propiedades y reglas:

1 a
a ) f ( x )  arcsen( 2 x  3) b) f ( x )  arctg( tg x ) c ) f ( x )  x arcsen x
ab b

Ej.3-35 Obtener g´(2) sabiendo que g(x) es la inversa de f ( x)  2 x  ln x

Derivada Segunda

Ej.3-36 Encontrar la derivada segunda de las siguientes funciones:

1
a) y  b) y  x. ln x c) y  x 2 senx  2 x cos x d ) y  xe x
1 x 2

Ej.3-37 Encontrar el punto de la curva en el que su derivada segunda es nula:

1
a) y  x 3  2 x b) y  x  c) y  x 2 ln x d ) y  x 2 e  x
x

Ej.3-38 Determinar si existe f " (0) para f ( x )  x x . Justificar.


x
3
x  x0
Ej.3-39 Dada h :    / h( x)   2

ax  bx  c x  x0
i) Indicar cuáles son las condiciones que se deben cumplir para que exista h”( x 0 ).
ii) Determinar a, b, c en función de x 0 de forma que exista h”( x 0 ).

Ej.3-40Encontrar un polinomio de segundo grado P tal que P(2) = 5; P´(2) = 3 y P”(2) = 2

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Aplicaciones Varias del Concepto de Derivadas

Resuelve las siguientes situaciones problemáticas, aplicando el concepto de derivada:

FÍSICA: CINEMÁTICA

Ej.3-41:La posición de un resorte en movimiento vertical está dada por f (t )  4. cos(2t ) .

Encontrar la posición del resorte cuando tiene:
a) velocidad cero; b) velocidad máxima; c) velocidad mínima.

Ej.3-42: La gráfica muestra la curva que describe laposición

de un automóvil en función del tiempo. Usar la
forma de la gráfica para explicar la respuesta a las
siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la velocidad inicial del automóvil?
b) ¿El automóvil viaja más rápido en A o en B?
c) ¿Qué sucedió entre C y D?

S(t) C  D

B

A
t

FÍSICA: CINEMÁTICA PARA MOVIMIENTO CIRCULAR

Ej.3-43: La posición a través del tiempo, de una partícula que realiza un movimiento
circular, está dada por la ecuación (t)= ½ t2. ¿Cuál es la velocidad (t) y la aceleración
a(t) angulares al cabo de 7 segundos?

FÍSICA: ELECTRICIDAD ESTÁTICA

Ej.3-44: La cantidad de carga Q, en coulombs © que ha pasado por un punto de un

alambre hasta el tiempo t (medido en segundos) se expresa con Q  t 3  2t 2  6t  2 .
i) Encontrar la corriente cuando: t = 0,5 seg ; t =1seg.
ii) La unidad de corriente es el ampere (1 A =1C/s);¿cuándo es mínima la
corriente?

BIOLOGÍA: CRECIMIENTO BACTERIANO

Ej.3-45: Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función

p(t) = 5000+1000t2, siendo t el tiempo medido en horas. Se pide:
i) La velocidad media del crecimiento,
ii) La velocidad instantánea de crecimiento,
iii) La velocidad de crecimiento instantáneo para t=10 horas.

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Ej. 3-46: Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de
bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que
representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada
106 0t2
por: f ( t )  
106.e t  2 si t  2
Se pide:
a) Verificar que la población es función continua del tiempo.
b) Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0;2] y [0;4].
c) Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4 meses.

QUÍMICA: LEY DE BOYLE – VOLUMEN Y PRESIÓN DE UN GAS

Ej.3-47: La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante
P.V=Cdonde P=P(t)es la presión, V=V(t)el volumen y Cuna constante.
Si la presión está dada por la expresión: P(t) = 20 + 2t con P en cm de Hg ,t en seg ; y el
volumen inicial es de 50 cm3. Determinar la razón de cambio instantáneo delvolumen V
con respecto al tiempo t a los 10 segundos.

Verdadero, Falso

Ej.3-48: Responder con verdadero o falso. Justificar las respuestas.

a) Si f es continua en a entonces f es derivable en a.
b) Una ecuación de la recta tangente a la parábola y  x 2 en (-2;4) es y  4  2 x( x  2)
c) Si f´(r) existe, entonces lim f ( x)  f (r )
xr

d) La tangente a una curva en un punto no puede cortar a la curva en otro punto.

e) Si f ´(x)  g´(x)  x  f ( x)  g ( x)  x .
f) Si y   5  y´ 5 4 .
g) La derivada de un producto es igual al producto de las derivadas.
senx  1
h) La expresión lim es la derivada de f ( x)  senx cuando x   2 .
x 2 x  
2

DIFERENCIALES

Ej.3-49Hallar las diferenciales de las siguientes funciones:

1 x 
a) y = arctg (x/a) b) y = x e x d) y = ln 
c) y = ln sen x 
1 x 
Ej.3-50 Dadala función y  x2 , completar el siguiente cuadro:

x0 x y dy y  dy
1 0,1
1 0,001
1 0,00001

Ej.3-51 Calcular y ; dy para y  3 x si a ) x0  8, x  01

, ; b) x0  64, x  01
,
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Ej.3-52 Encontrar la aproximación lineal de la función f ( x)  3 1  x , en a = 0, y utilizarla

3
para hallar aproximaciones de los números 3
0,95 y 1.1
Ej.3-53 Sea f una función tal que f(1) = 2, y cuya derivada se sabe que es f ´(x)  x 3  1 ,
Usar una aproximación lineal para estimar el valor de f(1,1).

Ej.3-54Calcular en forma aproximada usando aproximación lineal y verificar con

calculadora:
a) 82 b) 127 c) e 0, 03 d) tg 46º e) sen 29º f) ln(2,82)

Ej.3-55Calcular en forma aproximada la variación del volumen de un cubo cuando su

arista x aumenta en un 1%.

Ej.3-56Hallar la variación del área de un círculo si su radio es de 30 cm, y se mide dicho

radio con un error del 10%.

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ALGUNAS RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

Ej. 3-01: -1

Ej. 3-02 en [1,1.5] vm = 12.25 m/s, en [1, 1.1] vm = 10.29 m/s; en [1, 1.01] vm = 9.849m/s

Ej. 3-03:

6 1 1
a )f ' ( x )  2x  2 ; b )f ' ( x )  ; c)f ' ( x )  ; d )f ' ( x ) 
(3x  1) 2 2 x 2x x
e)f ' ( x )  cos x ; f )f ' ( x )  1 ; g )f ' ( x )  e x ; h )f ' ( x )   12 sen x2 
x

Ej.3-04 a ) f '(2)  8 ; f '( / 2)  0 ; c ) f '(1)  1 ; d ) f '(0,5)  4

Ej.3-05
a ) f ( x)  x a  1, b) f ( x)  x 3 a  2, c) f ( x)  x 9 a  1 , d ) f ( x)  cos x a  3

1 si x  6
Ej.3-06: f ´( x)  
 1 si x  6
2 x si x  0
Ej.3-07 f ´( x)  
 2 x si x  0

Ej. 3-08:

a) f es continua en R salvo en x = -1 donde tiene una discontinuidad esencial de salto finito

D f '  R  {1,2} En x = -1 f no es derivable pues no es continua. En x = 2 las derivadas
laterales son distintas: f '  (2)  4 f ' (2)  1

1 x < -1
f ’ (x) = 2x -1< x< 2
1 x>2

b) g es continua en x = 0 y no derivable. f '  (0)  1 / 2 f '  (0)  0

Ej.3-09: a) a  2; b  1

b) a = -1, b = 0

c) a  2c; b  c 2 ;

d) a  1 /(2c 3 ) b  3 /(2c)
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Ej. 3-11:

1 3x 2  2 x
2 3
a ) f ' ( x )  5 x 4  12 x 3 ;b) f ' ( x)    ;c ) f ' ( x ) 
2 x 33 x 4 4 x 5
2x 1 1 2x 2
d ) f ' ( x)  6ax 2   2 ;e) f ' ( x)   2 ; f ) f ' ( x)  e x 
b x m n x
g ) f ' ( x)  cos x  sen x;h) f ' ( x )  9 x  6 x  5 ;i ) f ' ( x)  e ( x  1)
2 2 2 x

 x 
j ) f ' ( x )  3 x  senx   xcos x  ;k ) f ' ( x )  sec 2 x
 2 x 
2a 1  ln x
l ) f ' ( x )   cos ec 2 x ;m) f ' ( x)   ;n) f ' ( x) 
a  x 2
x2
cos x .x  senx 2senx  x cos x  2
o) f ' ( x )  ; p) f ' ( x)  ;q ) f ' ( x) 
x 2 2
sen x 1  x 2
r ) f ' ( x) 
x 3
 2 cos x  3 x 2 senx
;
x 3
 2
2

Ej.3-12:


a) f ' ( x)  8x 2 x 2  3  b) f ' ( x) 
x
c) f ' ( x)  
sen x
x a 2 2
2 x
d) f ' ( x)  sen(2x) e) f ' ( x)  tgx f)
f ' ( x)   (3x 2  3).sen( x 3  3x)
g) f ' ( x)  2 cot gx h) f ' ( x)  1 1
i) f ' ( x) 
x ln x 2
j) f ' ( x)   senx. cos(cos x) k) f ' ( x)  6e3 x sec2 e3 x   l) f ' ( x) 
ln10  1
x ln10
Ch x .e Sh x
1 2
ll) f ' ( x)  m) f ' ( x)  n) f ' ( x) 
2 x cos x Sh 2 x.Ch 2 x
e  e x p) f ' ( x)  e x e e 
x x
1
o) f ' ( x)  q) f ' ( x) 
2 x ln x
r) f ' ( x)  tgx s) 1
t) f ' ( x) 
2 x  cos x 1  x 1  x2
f ' ( x)  2
x  senx ln10

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 10
Ej. 3-13: a) -8π + 15b) (-8π-15)/16 c) -1 d) e) no se puede f) 10π
3 68

Ej.3-14: a) y  12 x  12 b) y  x c) y  14 x  34

Ej.3-15: a) f ´(2)  7 , yt  7 x  12
b) y = -9x+28/3

Ej.3-16: P(1;0) , Q(  13 ; 32
27 )

Ej.3-18: P ln 3; 7  3. ln 3

Ej.3-19: yt  12 x  1

Ej.3-20: x / x  23   2k ; x  43   2k ; k  

Ej.3-21: mt  30 / e

Ej.3-22 Si, la recta normal cruza a la parábola por segunda vez en (-1;-2)

Ej.3-23: yt  2 x  1 , yt  2 x  9

Ej.3-24: b=3; y=-5/2x-2

Ej.3-25: a  1
4 , b 1 , yt   12 x  52

Ej.3-26
 ln x 
a) f ' ( x)  x x (1  ln x);b) f ' ( x)  x ln x  2 ; c) f ' ( x)  senx  ln senx  x cot gx
x

 x 
d ) f ' ( x)  e x  x x 1  ln x  ;e
x

e) f ' ( x)  Chx
x 1
ln Chx  x  1Thx
 6 x  2  2 3 x 1
f ) p' ( x)   3 ln( 2 x 2 )  (2 x )
 x 
 cos(3x) 
g) g ' ( x)    3sen(3x) ln( 4 x 2  x)  2 (8 x  1) (4 x 2  x) cos(3 x )
 4x  x 

Ej.3-27: y = -2 x +1

Ej. 3-28:

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b2 x 2a sen( x  y )
a ) y'   ; b) y '  ; c ) y'   ;
a2 y 3(1  y 2 ) 1  sen( x  y )
1  y sen( xy ) y 2  2 xy  2 x
d ) y'   ; e) y'  2
x sen( xy ) x  2 y  2 xy

Ej.3-29: yt  92 x  52

Ej.3-30: a) yt   94 x  14 b) 2 ; 2  2 ;  2
Ej. 3-32: tangente horizontal (3,6) (-3,-6), tangente vertical (6,3), (-6,-3)

Ej.3-33: P(1;1) ; Q(-1;-1)

Ej.3-35: g’(2) = 1/3

1  2x 2 1
Ej.3-36: a ) y"  ; b ) y"  ; c ) y"   x 2 sen x  2 x cos x  2 sen x ; d ) y"  e x ( 2  x )
1  x 2 
5
2
x
Ej.3-37
 32
a ) (0;0); b)no hay ; c) (e ; 32 e 3 );


 2

d)P1 2  2 ; 2  2 e ( 2   2) 

 
 2

y P2  2  2 ; 2  2 e  ( 2   2) 



Ej.3-38 no existe

Ej.3-39: ii ) a  3x0 , b  3.x02 , c  x03

Ej.3-40: P( x)  x 2  x  3

Ej.3-41:
k k
a) t  con k  N 0 f ( )  (1) k 4
2 2
3 3 
, b) t    k , k  N 0 f    k   0
4 4 
 1 
c) t   k f    k   0
4 4 

Ej.3-42: a ) v  0 , b) en B , c) está en reposo : v  0

Ej.3-43: (7)=’(7)= = 7 rad/seg ; a(7)=’’(7)= 1 rad/seg2

Ej.3-44: i) Q' (0,5seg )  194 A , Q' (1seg )  5 A , ii )Q' (t )es mín. para t  23 seg

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Ej.3-45: i) Vm=p/t= 2000 t + 1000 t ii) V’(t)=2000t iii)20000 bact/h

106 (e 2  1)
Ej. 3-46: b1) TVM f(t)=0 en [0;2] b2) TVM(f(t))= c) f ‘(4) = 106.e2
4
Ej.3-47: V(t) = 1000/ (20+2t) ; V’(10) = -2000 / (20+2.10)2 = -1,25 cm3/seg (disminuye) ;

Ej.3-48: a), b), d ), e), f ), g ) F , c), h) V

Diferenciales

a 2
Ej.3-49: a ) dy  2 dx ; b) dy  e x (1  x )dx ; c ) dy  cot gx dx ; d ) dy  dx
a x
2
(1  x 2 )
Ej.3-51: a ) y  0,00829885 ; dy  0,0083... ; b) y  0,002082249 ; dy  0,002083...

Ej.3-54:

a) 82  9,05..b) 127  11, 27;c)e 0,03  1,03;d )tg 46º  1,03;e)sen 29º  0,48; f ) ln 2.82  1,037

Ej.3-55: v  0,03x 3

Ej.3-56: A  180 (cm)

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