LATINO PREPARACIÓN PSU/SGM

PARA IR LEYENDO Y ESTUDIANDO

I.- NUMEROS:
NÚMEROS NATURALES, CARDINALES Y ENTEROS

Y bien, a trabajar...

Números Naturales

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} o sea del 1 al infinito

Dentro de los naturales tenemos los llamados:

Números Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}, los cuales se pueden representar
algebraicamente como 2n. ¿Por qué? Por ser todos ellos múltiplos de 2. Observa que todos
podrían escribirse del siguiente modo:

2·1,
2·2,
2·3,
2·4,
2·5,
2·6, ....
o sea 2·n.

Números Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...} ¿Cómo se representan algebraicamente?
Tenemos dos opciones (2n + 1) ó (2n - 1).

Veamos esta última:

1 = 2·1 - 1
3 = 2·2 - 1
5 = 2·3 - 1
7 = 2·4 - 1
9 = 2.5 – 1

Estas representaciones algebraicas las utilizaremos permanentemente, no las olvides.

Números Primos: Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y
por sí mismo. (o es aquel que tiene solo 2 divisores: el 1 y el mismo nº)

Por ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3.

El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12. El 12 es un
número compuesto.

Los números naturales mayores que 1 que no son primos se llaman números compuestos.

El 2 es el único número primo que es par.

OJO: El 1 NO es un número primo.

1
 La Criba de Eratóstenes
La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto
sean múltiplos de algún número. Obtengamos, como un ejercicio, los 150 primeros números
primos, en la siguiente tabla, siguiendo los pasos indicados:

Tacha el número 1, ya que no se considera primo ni compuesto.

Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos. o sea, el 4, el 6, el 8, etc.
Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus múltiplos.
Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos.
Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números.
Los números encerrados son los números primos.
Los restantes corresponden a los números compuestos, con excepción del 1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

Orden de Operación

Es muy importante que al operar no te olvides que existe un orden de operación que se debe
respetar y es el siguiente:
1º Paréntesis
2º Potencias
3º Multiplicación y División
4º Suma y Resta

Por Ejemplo: 4 + 5 · 7

El típico error es comenzar el ejercicio efectuando la suma de 4 y 5, pero como ya sabemos que
existe un orden establecido, lo correcto es hacer primero el producto 5 · 7, o sea

4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39

Otro ejemplo: 57 - 5·(8 - 6)^3 (El símbolo ^ significa elevado a ...). Resolvamos en el orden
adecuado:
57 - 5 · 2 ^ 3 = 57 - 5 · 8 = 57 - 40 = 17
Ejercicios para practicar:

1) 8 + 4·2 - 15:3 + 2
2) (8 + 4)·2 - 15:3 + 2
3) 8 + 4·2 - 15:(3 + 2)
4) (8 + 4)·2 - 15 : (3 + 2)
Respuestas: 1) 13; 2) 21; 3) 13; 4) 21

2
Estudiemos ahora los números cardinales:
Números Cardinales

(INo) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} o sea del 0 al infinito

Como subconjunto de los números cardinales, tenemos a los números dígitos.

Números Dígitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Números en potencia de 10

Todo número puede ser expresado en potencia de diez. Veamos el siguiente ejemplo:
739 = 7·100 + 3·10 + 9·1 = 7·102 + 3· 101 + 9·100 = 7 centenas + 3 decenas + 9 unidades.
Observa que 1 = 100 esto tiene su demostración, pero la dejaremos para cuando veamos
potencias.

Te corresponde a ti ahora:
8.529 =
Con el número 0 se debe tener algún cuidado al operar con él, especialmente en la división,
donde se da lo siguiente:

0 : 6 = 0, piensa ----> 0 manzanas repartida entre 6 amigos, ¿cuántas le corresponden a cada

uno? Obviamente que 0.

3 : 0 = ...... y aquí ya existe un problema, por lo que al dividir por cero se dice que esta operación
NO ESTÁ DEFINIDA.
7.935 : 0 = No está definida.

Mínimo Común Multiplo y Máximo Común Divisor

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos que es
común a cada una de estas cantidades.

Ejemplo: Determinemos el m. c. m. entre 6; 8 y 12. Utilizando la famosa tabla en la que vamos

dividiendo los números dados por los números primos comenzando desde el 2 (cuando hay
algún par). Cuando la división no da exacta se "baja" el número.

6 8 12 :2
3 4 6 :2
3 2 3 :2
3 1 3 :3
1 1

El m.c.m. es 2·2·2·3 = 24
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el número mayor que los divide a
todos.
Ejemplo: Determinemos el m. c. d. entre 18 y 24.
Determinemos los divisores de 18, o sea números que dividen al 18.
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Determinemos ahora los divisores de 24, o sea números que dividen al 24.
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Si observas verás que hay varios números que son divisores comunes (los de color), pero el
máximo, o sea el mayor es 6

3
 Números Enteros
Los Numeros Enteros, más conocido como el conjunto zeta, Z. Este conjunto surge como
necesidad de crear nuevos números que solucionarán diversas situaciones de la vida cotidiana.

Por ejemplo: Para anotar las temperaturas inferiores a 0º (temperatura de solidificación del
agua). En una competencia, los puntos en contra.
También para señalar cantidades opuestas, como ser +1997 (1997 D.C.) con -436 (436 A.C.)

Estos nuevos números son los Números Negativos y al unirlos con los Números Naturales y el
cero formamos el conjunto de los Números Enteros.
Z = {.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}
En la recta numérica:
Si un número entero está en la recta numérica a la derecha de otro es un número mayor, por
ejemplo, el -2 está a la derecha de -3, luego -2 > -3.

Valor Absoluto: Corresponde a la distancia que existe entre un número y el 0, en la recta

numérica. Así: El valor absoluto de 5 es 5, pues hay 5 unidades de distancia entre el 0 y el 5.

El valor absoluto de -3 es 3, pues hay 3 unidades de distancia entre el 0 y -3.

Luego el valor absoluto de un número es siempre positivo o cero.

Más adelante, cuando trabajemos con sistemas de coordenadas, veremos la utilidad de tener
claro lo que se refiere al valor absoluto. Con el conjunto Z se trabaja especialmente durante 8º
básico, allí se forma la base para poder aplicarlos luego en cualquier situación matemática, pero
no a todos se le hace fácil captar este conjunto y para un buen número de alumnos comienza el
"sufrimiento" al no obtener los logros esperados en la asignatura.

Divisibilidad
Un número es divisible por:

• 2 cuando su última cifra es par.

• 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

• 4 cuando sus dos últimas cifras son múltiplo de 4 o las dos últimas son 0.

• 5 cuando su última cifra es 0 o 5.

• 6 cuando es divisible por 2 y por 3.

• 8 cuando el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8.

• 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

• 10 cuando termina en 0.

• 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras de los lugares pares menos la suma de las
cifras de las posiciones impares es múltiplo de 11.

• 25 cuando el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25.

4
• 100 cuando termina en 00.Por 2: Cuando su último dígito es 0 ó par.

Múltiplos
El conjunto de los múltiplos de p con p e Z, está dada por:

M(p) = {p·k / k e Z}

Por ejemplo: M(2) = {.... -4, -2, 0, 2, 4 ....}

M(-3) = {.... -6, -3, 0, 3, 6, ....}

Operatoria en Z
Veamos los siguientes ejemplos:
5 + 7 = 12
5 - 7 = -2, o lo que es lo mismo: 5 + (-7) = -2
-5 + 7 = 2
-5 - 7 = -12, o lo que es lo mismo: -5 + (-7) = -12

Si observas adecuadamente verás que siempre se conserva el signo del número mayor y que si
los números son de signos iguales se suman, mientras que si son de signos distintos se restan.

Si al sumar dos números enteros resulta 0, entonces decimos que uno es el inverso aditivo ( u
opuesto) del otro.

Si tienes muchas dificultades con la operatoria en el conjunto de los Enteros, te sugiero bajarte a
tu computador el programa Tosix (está en la portada del curso) y practicarlo bastante. Está en
Inglés, pero lo único que debes saber es que Plus te indica sumar y que Times te ordena
multiplicar.

Y hablando de multiplicar o de producto, allí el trabajo con los signos es distinto a lo

anteriormente visto para la suma.
4 · 3 = 12
4 · -3 = -12
-4 · 3 = -12
-4 · -3 = 12

Lo que nos señala que debemos respetar la siguiente regla de los signos para la multiplicación o
producto.

+·+=+
+·-=-
-·+=-
-·-=+

Estas reglas son bastante importante cuando hay que solucionar operaciones como las
siguientes: 5 + (-3) - (-6) = 5 - 3 + 6 = 2 + 6 = 8.

¡Cuidado! hay alumnos que cometen el siguiente error al efectuar 5 - 3 + 6. Suman el 3 con el 6 y
les queda 5 - 9 = -4. La equivocación está en tomar el 3 como positivo cuando en realidad es un
número negativo, como puedes ver en el planteamiento del ejercicio.

Para la división se aplica la misma regla de los signos que para la multiplicación.

Así: -8 : -2 = 4 6 : -2 = -3

5
 Uso de Paréntesis

Los paréntesis indican el orden en que las operaciones deben ser efectuadas.

Ejemplo: {-5 - [-4 - (-7 + 2)]}

Primero resolvemos el paréntesis redondo (-7 + 2) lo que da -5.

Luego el paréntesis cuadrado [-4 - - 5] y resulta -1.

Finalmente, el paréntesis llave {-5 - 1}, siendo el resultado final igual a -6.

Lo que viene depende exclusivamente de ti, debes ejercitar y por sobre todo entender lo que
estés haciendo, aunque te resulte tedioso o difícil, el éxito final dependerá de que cada clase o
guía que desarrolles sea un éxito.

NÚMEROS RACIONALES

Números Racionales

Al dividir dos números enteros, no siempre resulta otro número entero. Esto llevó a la necesidad
de ampliar el conjunto Z y dar paso a un nuevo conjunto, llamado de los Números Racionales y
simbolizado por Q. Este conjunto incluye a Z y IN. Su definición es:

Q es el conjunto de los números de la forma a/b, siendo a y b números enteros, con b

distinto de 0.

Obvio que b debe ser distinto de cero, ya habíamos visto que la división por 0 no está definida.

Analicemos el elemento 3/8 perteneciente al conjunto Q

Esta fracción indica que un entero ha sido dividido en 8 partes equivalentes y que se han
considerado 3 partes de ella. (Ver figura)

En la fracción 3/8 el 3 recibe el nombre de numerador y el 8 de denominador

Si efectuamos la división 3 : 8, obtenemos como resultado exactamente 0,375

3 : 8 = 0,375
0//
y los nombres al efectuar esta operación son: el 3 se llama dividendo, el 8 divisor, el 0,375
cuociente y el 0 resto.

Ahora la pregunta: ¿cómo representar 5/3? La respondemos un rato más, basados en los
números mixtos.

6
Número Mixto

La fracción 5/3 se puede escribir como un número mixto, o sea un número con una parte entera
y otra fraccionaria.

5/3 = 1 2/3, esto resulta de efectuar la división 5:3 = 1

2//

Aquí está la representación que da respuesta a la pregunta anterior, o sea un entero dos tercios
El procedimiento para transformar un número mixto en fracción es:

Fracción propia

Son aquellas cuyo numerador en menor que el denominador. En la recta numérica se ubican
entre el 0 y el 1

Por ejemplo, 2/3; 5/7; 12/37

Fracción impropia
Son aquellas cuyo numerador en mayor que el denominador, por lo tanto son mayores que 1.
Para ubicarlas en la recta numérica se necesita transformarlas a número mixto.

Al convertirlas en número mixto, el entero que se obtiene nos indica entre qué números enteros
está la fracción impropia, y la fracción que nos resulta se ubica entre dichos números.

Por ejemplo, 7/3.

7/3 = 21/3

Amplificación
Amplificar una fracción es multiplicar su numerador y denominador por un mismo número natural.
La fracción obtenida es equivalente a la original.

Ejemplo 2/5

Amplifiquemos 2/5 por 7. Entonces debemos multiplicar el numerador y el denominador por 7

quedando la fracción como 14/35. Luego 2/5 y 14/35 son fracciones equivalentes.

Simplificación

Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador de una fracción por un mismo
número natural, para lo cual el numerador y el denominador deben ser múltiplos de ese número.
De lo contrario, no se puede simplificar la fracción.

Si una fracción no se puede simplificar, decimos que se trata de una fracción irreductible. Como
ser 3/7.

Ejemplo: 30/42 la podemos simplificar por 2, por 3, por 6. Lo más conveniente es por 6 así queda
de inmediato irreductible. Al simplificarla se obtiene 5/7

7
Orden en Q

Esto se refiere a establecer cuándo un elemento de Q es mayor, menor o igual que otro
elemento. Aquí se nos presentan dos casos:

a) Si los denominadores son iguales, resulta fácil, será mayor la fracción que tenga el numerador
mayor.

Por ejemplo:

8/25, 3/25, 16/25, 4/25, 26/25

Ordenadas de menor a mayor quedan así:

3/25<4/25<8/25<16/25<26/25

b) Si los denominadores son distintos, habrá que igualarlos. Esto se realiza obteniéndo el m.c.m.
entre los denominadores de las fracciones.

Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor 2/3, 1/6 y 5/8

Con los denominadores 3, 6 y 8 obtenemos como m.c.m. al 24.

A continuación, debemos obtener una fracción equivalente para cada una de las anteriores, pero
con denominador 24.

Amplificamos 2/3 por 8 obteniéndose 16/24.

Amplificamos 5/8 por 3, que queda equivalente con 15/24 ;

y 1/6 la amplificamos por 4, obteniéndose 4/24

Al ordenar de menor a mayor resulta 4/24, 15/24 y 16/24. O sea

1/6 < 5/8 < 2/3

Otro método es efectuando productos cruzados de la siguiente manera:

¿Cuál fracción es menor 7/9 ó 11/7?

Ya que 49 es menor que 99, entonces 7/9 < 11/7

8
 OPERATORIA EN Q

Siempre antes de operar, debemos revisar si todas las fracciones son irreductibles, si no lo son
es conveniente simplificar.

Suma y Resta:

a) Fracciones con el mismo denominador: se suman (cuando es suma) los numeradores y se

conserva el denominador.

Ejemplo: 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3

b) Fracciones con distinto denominador: lo primero es obtener fracciones equivalentes, basados

en el mcm de los denominadores y luego resolver como en la situación anterior.

Ejemplo: 2/3 + 1/4 - 5/8 =

El m.c.m. entre 3, 4 y 8 es 24, por la tanto las fracciones equivalentes son:

16/24 + 6/24 - 15/24 = 37/24

Otro método para resolver adiciones y sustracciones es el siguiente:

Multiplicación: Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los

denominadores entre sí.

Ejemplo:

División: Para dividir fracciones multiplicamos la primera fracción por el inverso multiplicativo de
la segunda fracción.

Ejemplo:

Otro método es multiplicando en forma cruzada, de la siguiente manera:

9
Mitad de un racional

En múltiples ocasiones hemos tenido que utilizar el término mitad. Todos tenemos claro que su
significado es dividir algo en dos partes iguales, pero cuando trabajemos con fracciones,
especialmente en los problemas verbales, lo anotaremos de otro modo. Veamos:

La mitad de 3/7 es 3/7 : 2, que al resolver resulta 3/7 · 1/2 = 3/14.

La mitad de 11/5 es 11/5 : 2, o sea 11/5 · 1/2 que es igual a 11/10.

Vemos que al resolver, siempre terminamos multiplicando por 1/2, por esto definiremos:

MITAD: Multiplicar por 1/2

Luego, la mitad de la mitad de 7/13 es 1/2 · 1/2 · 7/13 = 7/52.

Doble de un racional

El doble de 5/7 es dos veces 5/7, o sea 5/7 + 5/7, pero es mucho mejor traducirlo a 5/7 · 2 = 10/7

O sea, el doble nos indica que debemos multiplicar por 2.

Doble: Multiplicar por 2

Luego el doble de 1/3 es 1/3 · 2 = 2/3

Fracción de Fracción

Ya estamos claros con la mitad y el doble, pero ¿qué debemos hacer si nos piden, por ejemplo,
las tres cuartas partes de 2/5?

Representemos 2/5:

Ahora representemos las tres cuartas partes de 2/5:

10
Viendo lo recién representado en el entero obtenemos:

El resultado obtenido corresponde al producto 3/4 · 2/5, por lo tanto:

La fracción de una fracción corresponde al producto entre ellas

Ejemplos:

1. Determinar los 6/5 de 3/7

Super fácil: 6/5 · 3/7 = 30/21, simplificando por 3 resulta 10/7

2. Determinar los 2/3 de los 5/9 de 4/7

Igual de fácil 2/3 · 5/9 · 4/7 = 40/189

Fracciones a decimales

Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el númerador por el denominador.

Así si queremos convertir a decimal tenemos que efectuar la división 1 : 8

1 : 8 = 0,125 o sea un decimal exacto

Efectuemos ahora la transformación de a forma decimal.

_
2 : 3 = 0,66666...= 0,6 o sea un decimal periódico

Convirtamos a decimal la fracción

_
1 : 6 = 0,166666...= 0,16 o sea un decimal semi periódico

Decimales a fracción

Para transformar un decimal a fracción, sólo vamos a considerar los casos que corresponden a
la PAAM

Decimal exacto: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 10; dependiendo
la cantidad de ceros, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar.

Ejemplo: 0,4 = 4/10 = 2/5

0,36 = 36/100 = 9/25

3,2 = 32/10 = 16/5

11
Decimal Periódico: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 9; dependiendo
la cantidad de nueves, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar.
_
Ejemplo: 0,4 = 4/9
__
0,17 = 17/99

Caso especial es cuando la parte entera no es cero, en ese caso se debe restar a todo el
número la parte entera como lo indican los siguientes ejemplos:
_
2,7 = (27 - 7) / 9 = 20/9
_
12,3 = (123 - 12) / 9 = 111/9

Adición

Comenzaremos indicando que los elementos de la adición son:

sumando + sumando = suma

Para sumar decimales los sumandos deben ubicarse, de tal forma, que coincidan las columnas
de posición de la parte entera y los de la parte decimal.

En la suma, la coma debe colocarse manteniendo el lugar correspondiente.

Si un sumando no tiene parte decimal, debe ubicarse de acuerdo a las columnas de la parte
entera.

Ejemplos:

1. 0,037 + 0,94
0, 0 3 7
+ 0, 9 4
0, 9 7 7

2. 21,7 + 0,071
2 1, 7
+ 0, 0 7 1
2 1, 7 7 1

3. 23 + 1,096
23
+ 1, 0 9 6
2 4, 0 9 6

12
Sustracción

Es la operación inversa de la adición y sus elementos son:

minuendo - sustraendo = resta o diferencia

Es importante recordar que siempre el minuendo debe ser mayor que el sustraendo.

Para resolver operaciones de sustracción de decimales, además de colocar ordenadamente los

números de acuerdo a su columna de posición, es conveniente igualar el número de cifras
decimales del minuendo y el sustraendo, mediante ceros.

Lo mismo se realiza cuando uno de ellos es entero.

Ejemplos:

1. 0,42 - 0,003
0, 4 2 0
- 0, 0 0 3
0, 4 1 7
2. 15 - 0,271
1 5, 0 0 0
- 0, 2 7 1
1 4, 7 2 9

3. 0,253 - 0,86 ¡Cuidado!

0, 8 6 0
- 0, 2 5 3
- 0, 6 0 7
Multiplicación de decimales
Sus elementos son:
factor · factor = producto
Al multiplicar dos números decimales, lo más conveniente es efectuarla como si fueran números
enteros y luego, en el resultado, separar tantos dígitos como cifras decimales había en total en
los factores.
Ejemplo:

0,07365 · 0,053 lo vamos a multiplicar como si fuera 7.365 · 53 lo cual da 390.345.

Ahora contamos la cantidad de cifras decimales de los factores 0,07365 y 0,053, siendo de 5 y 3,
respectivamente, o sea en total 8 cifras decimales.

Al aplicar la cantidad de cifras obtenidas al resultado 390.345, obtenemos como resultado final
0,00390345.
Se debe tener especial cuidado al multiplicar cantidades que terminan en cero ya que no nos
debemos olvidar de agregar, al resultado final, los ceros que contiene la cifra.

Ejemplo 0,0582 · 7300

582 · 73 = 42.486

Agregamos los ceros al resultado obtenido, resultando 4.248.600.

Ahora contamos la cantidad de cifra decimales contenidas en el ejercicio, siendo 4 cifras.

Luego el resultado final es 424,8600; o mejor 424,86.

13
División de decimales

La división tiene como elementos:

dividendo : divisor = cuociente

Cuando el divisor no cabe exactamente en el dividendo, queda un resto o residuo.

Para dividir números decimales tendremos que utilizar generalmente la amplificación

Efectuemos la división 36 : 0,5

Esto es lo mismo que decir , fracción que podemos amplificar por 10 (basados en que 0,5 tiene
un solo decimal).

Resulta, entonces,

Efectuamos esta sencilla división 360 : 5 . Luego el resultado final de 36 : 0,5 es 72.

Si queremos comprobar que nuestro resultado está bién, debemos multiplicar 72 · 0,5 y obtener
36.

Otro ejemplo:

3764 : 0,04

En este caso debemos amplificar por 100, ya que 0,04 tiene dos decimales.

Ya no es necesario transforma la expresión en fracción, para darse cuenta de que la división a

efectuar es 376.400 : 4, dando como resultado 94.100.

Pero, ¿cómo debemos operar cuando ambos son decimales?

Dividamos 0,512 : 1,6.

Para amplificar debemos observar cuál de las dos cantidades tiene mayor cantidad de
decimales. En este caso es el 0,512 y él es el que determina que se debe amplificar por 1.000. (3
decimales, 3 ceros)

Al amplificar resulta 512 : 1600, cuyo resultado es 0,32.

Las divisiones con decimales tiene mucha aplicación en la vida cotidiana, como en lo siguiente:

Se tiene una barra de fierro de 1,5 metros de largo y de ella se quieren obtener pernos de 0,075
metros de largo. ¿Cuántos pernos salen? (Resp. 20)

Cuando tenemos multiplicaciones o divisiones de decimales por 10, 100, 1.000..., es decir, por
potencias de 10, sólo necesitamos correr la coma de acuerdo a los ceros de esa potencia.

Debemos hacerlo hacia la derecha ----->, si multiplicamos.

Debemos hacerlo hacia la izquierda <------, si dividimos.

14
NÚMEROS IRRACIONALES Y REGULARIDADES NUMÉRICAS

Estimaciones y aproximaciones

Para estimar o aproximar cantidades decimales se utiliza el redondeo o el truncamiento.

Redondear un número decimal significa buscar otro número mayor o menor que se aproxime a
él, pero que tenga menos cifras decimales.
Si la cifra es menor que 5 no se considera y si es mayor o igual que 5, aumenta en una unidad la
cifra anterior.

Ejemplo: Redondear a una cifra decimal

a) 3,52 se redondea a 3,5 por ser la centésima menor que 5.
b) 5, 28 se redondea a 5,3 por ser la centésima mayor que 5.
c) 17,475 se redondea a 17,48 por ser la milésima igual a 5.

El número 6,1835 puede ser redondeado a 6,184; o a 6,18; o a 6,2.

Truncar un número decimal es eliminarle cifras, sin redondearlo. Esto tiene el objetivo de poder
trabajar con operaciones más simplificadas.

Ejemplo: El número decimal 31,639 lo podemos truncar a 31,63 o a 31,6 o a 31, según las cifras
que se desean truncar.

Números Irracionales

Los números irracionales fueron descubiertos en la escuela que tenía el matemático griego
a
Pitágoras. Son inconmensurables (no medibles) y no pueden expresarse de la forma .
b
El problema se les presento a los pitagóricos, cuando trataron de medir la hipotenusa de un
triángulo isósceles que se formaba en un cuadrado al dividirlo en dos partes por una de sus
diagonales.

1
Los geómetras no conocían un número que elevado al cuadrado fuera 2. Actualmente podemos
obtener su valor con una calculadora.

2 = 1, 41421356237...

15
¿Cómo ubicar 2 en la recta numérica?

Para hacerlo, debemos construir un triángulo isósceles de lado 1

unidad sobre la recta numérica, como lo indica la figura

luego con un compás se hace centro en 0 y con la medida de la hipotenusa se traza una curva
que intercepte al eje x, quedando ubicada la raíz de 2 como se puede apreciar en la figura.

Si queremos ubicar otra raíz, por ejemplo, la raíz de 13 el triángulo debe tener catetos de
medidas 3 y 2 respectivamente y seguir el mismo procedimiento anterior.

CUADRADOS MÁGICOS
Un cuadrado mágico consiste en una distribución de números en filas y columnas, formando un
cuadrado, de forma que los números de cada fila, columna y diagonal suman lo mismo. A esta
suma se le denomina constante mágica y se simboliza por K.
Los cuadrados mágicos se clasifican de acuerdo con el número de celdas que tiene
cada fila o columna. Así, uno con 5 celdas se dice que es de quinto orden o también se utiliza la
notación 5x5. En general nxn.
No existen cuadrados mágicos de orden 2 (2x2)
Ejemplo: En el siguiente cuadrado mágico la suma en forma horizontal, vertical y diagonal es
192.

100 16 76

40 64 88

52 112 28

En el siguiente la suma es 15
8 1 6

3 5 7

4 9 2

Si queremos determinar la constante de un cuadrado mágico debemos utilizar la fórmula

n(n2 +1)
K=
2

16
 POTENCIAS DE BASE POSITIVA Y EXPONENTE ENTERO.
Luisa te pide que le calcules cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para calcularlo
dibujaremos su árbol genealógico:

Operación Resultado
Padres 2 = 21 2
Abuelos 2·2 = 22 4
Bisabuelos 2·2·2 = 23 8
Tatarabuelos 2·2·2·2 = 24 16

En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Para abreviar,
en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 24 y lo llamaremos potencia.

24 se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".

52 se lee "5 elevado a 2" o también "2 elevado al cuadrado".

43 se lee "4 elevado a 3" o también "4 elevado al cubo".

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que
multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

En la potencia 24, la base es 2 y el exponente es 4

17
Algunas potencias especiales.
Cuadrados perfectos

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Los utilizaremos bastante y no

estaría demás memorizarlos.
Aquí están los cuadrados de los primeros 15 números naturales.

Número Cuadrado
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100
11 121
12 144
13 169
14 196
15 225

Potencias de base 10 y exponente positivo

Las potencias en base 10 son muy fáciles de calcular. Así:

102 = 100; 104 = 10.000; 107 = 10.000.000; 1011 = 100.000.000.000

El resultado de la potencia 10n es igual a la unidad seguida de n ceros.

Potencias de exponente negativo

Si n es un número natural se define

a-n = 1 / an

(a/b)-n = (b/a)n

Calculemos las siguientes potencias: 3-5, 5-3, (3/4)-2, (2/5)-3

3-5 = 1 / 35 = 1/243

5-3 = 1 / 53 = 1 / 125

(3/4)-2 = (4/3)2 = 16/9

(2/5)-3 = (5/2)3 = 125/8

18
 Potencias de base 10 y exponente negativo

Las potencias de base 10 y exponente negativo son fáciles de calcular. Así por ejemplo,

10-2 = 1 / 102 = 1 / 100 = 0,01

10-3 = 1 / 103 = 1 / 1000 = 0,001

10-5 = 1 / 105 = 1 / 10000 = 0,00001

Producto de potencias de igual base

Si queremos multiplicar dos potencias de la misma base, por ejemplo, 43 · 45 hacemos el

siguiente razonamiento:
43 = 4 · 4 · 4 y 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4, luego
8 3+5
43 · 45 = (4 · 4 · 4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) = 4 = 4

En general:

El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo
exponente es la suma de los exponentes de los factores

am · an = am+n

La regla anterior es cierta cualquiera que sea la base y los exponentes m y n, tanto si son
positivos como negativos.

División de potencias de igual base

De manera similar al producto, se puede deducir la siguiente regla general que es válida tanto
para exponentes positivos como negativos:

El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo
exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor.

am : an = am-n

Por ejemplo,

45 : 43 = (4 · 4 · 4 · 4 · 4) : (4 · 4 · 4) = 42 = 45-3

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20