Divisibilidad
Divisibilidad
Divisibilidad
er grado
APRENDEMOS
DIVISIBILIDAD
Por ejemplo, los 20 primeros múltiplos de 4 son 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60,
64, 68, 72 y 76.
Es importante saber lo siguiente:
y El número 0 solamente tiene un múltiplo, que es el mismo 0. Los demás números naturales tienen
infinito número de múltiplos.
y El número 0 es múltiplo de todos los números.
y Todos los números son múltiplos de 1.
¿Qué es la división exacta de dos números naturales?
Al dividir dos números naturales, puede suceder que su resto sea 0. Esto es posible cuando el dividendo
es múltiplo del divisor. En ese caso podemos decir que estamos ante una división exacta. Si el resto
es otro número mayor que 0, la división no es exacta. Esto significa que el dividendo no es múltiplo
del divisor. En consecuencia, división exacta es aquella que tiene de resto 0.
Un ejemplo de división exacta es la siguiente:
56 ÷ 8 = 7
En el caso anterior, podemos hablar de división exacta porque el resto es 0, y 56 contiene 7 veces al
número 8. Esto último supone que 56 es múltiplo de 8.
Por el contrario, 56 ÷ 9 = 6,22 no es una división exacta porque el resto es 2. Lo que también significa
que 56 no es múltiplo del número 9.
¿Qué son los divisores de un número?
Los divisores de un número natural son aquellos números naturales que lo pueden dividir exactamente
dejando como cociente otro número natural y como resto cero. Ser divisor es recíproco a ser múltiplo.
Por ejemplo, si 28 es múltiplo de 4, entonces 4 es divisor de 28.
divisor de
Un número a es divisor de un número b si la división de b entre a es es
exacta.
127
Matemática 1.er grado
¿Cómo podemos saber fácilmente si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la
división?
Para saber si un número es divisible por otro sin hacer la división, es necesario que aprendamos los
siguientes criterios de divisibilidad.
Un número es
Criterio de divisibilidad
divisible entre
2 si el número termina en 0, 2, 4, 6 y 8.
3 si sumamos sus cifras y resulta múltiplo de 3.
4 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
5 si el número termina en 0 o 5.
8 si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
9 si sumamos sus cifras y resulta múltiplo de 9.
10 si el número termina en 0.
si a la suma de las cifras de posición par se le resta la suma de las cifras de
11
posición impar y se obtiene 0 o un múltiplo de 11.
128
Matemática 1.er grado
129
60 2 72 2 108 2
30 2 36 2 54 2
15 3 18 2 27 3
5 5 9 3 9 3
1 3 3 3 3
1 1
Entonces,
60 = 22 . 3 . 5
72 = 23 . 32
108 = 22 . 33
Luego, para calcular el m. c. m., consideramos los factores con el mayor exponente, ya sean comunes
o no comunes.
m. c. m. (60, 72, 108) = 23 . 33 . 5 = 1080
Para calcular el m. c. d., consideramos solo los factores comunes con el menor exponente.
m. c. d. (60, 72, 108) = 22 . 3 = 12
ANALIZAMOS
2 Diego coloca tarjetas en filas y columnas, de tal manera que forma rectángulos con ellas. Considera
que Diego tiene 12 tarjetas en total. A partir de estos datos, dibuja todas las posibilidades de
formar rectángulos con las tarjetas.
RESOLUCIÓN
Según los datos, Diego tiene 12 tarjetas y quiere formar rectángulos poniéndolas en filas y
columnas. Así:
TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS
TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS
2.a posibilidad: 6 × 2 = 12
TARJETAS TARJETAS TARJETAS TARJETAS
3.a posibilidad: 1 × 12 = 12
130
Matemática 1.er grado
3 Pablo utilizó como criterio de divisibilidad entre 4 la afirmación de que todo número que termina
en dicha cifra es múltiplo de 4. Él dio como ejemplos los números 524, 9164, 184 y 204.
Según Pablo, el número 634 también es múltiplo de 4. ¿Estás de acuerdo con Pablo? ¿Por qué?
RESOLUCIÓN
Los números que señaló Pablo, efectivamente, son divisibles entre 4 porque en todos ellos las
dos últimas cifras son múltiplos 4 (según el criterio de divisibilidad).
No obstante, no es posible estar de acuerdo con Pablo, porque no es suficiente que la última
cifra sea 4. El criterio de divisibilidad es el siguiente: un número es divisible por 4 cuando sus dos
últimas cifras son múltiplos de 4.
Por lo tanto, el número 634 no es múltiplo de 4, porque sus dos últimas cifras (34) no son múltiplo
de 4. Por consiguiente, el criterio de Pablo es incorrecto.
PRACTICAMOS
1 David tiene una colección de 24 adornos, guardados cada uno en una cajita cuadrada semejante.
Para ordenarlos en una mesa, debe colocarlos de tal manera que formen un rectángulo. Escribe
todas las posibilidades que existen para realizar dicha tarea.
131
Matemática 1.er grado
3 Del problema anterior, ¿cuántas vueltas habrán dado cada una de las ruedas al coincidir los
puntos señalados en rojo?
a) La azul 3 vueltas y la amarilla 2 vueltas.
b) La azul 2 vueltas y la amarilla 3 vueltas.
c) La azul 8 vueltas y la amarilla 12 vueltas.
d) La azul 12 vueltas y la amarilla 8 vueltas.
6 La alarma de un reloj A suena cada 9 minutos y la del reloj B, cada 21. Si acaban de coincidir
dando la señal, ¿cuánto tiempo pasará para que ambos relojes vuelvan a coincidir?
a) 21 min
b) 30 min
c) 63 min
d) 189 min
7 Tres amigas, Carolina, Anita y Juanita, hacen labor de voluntariado en un hospital para niños. Cada
una de ellas tiene un régimen de asistencia diferente. Carolina asiste cada 2 días; Anita, cada 3
días; Juanita, cada 4. Si el 11 de noviembre se encontraron las tres amigas en el hospital, ¿en qué
fecha volverán a encontrarse?
a) 20 de noviembre.
b) 23 de noviembre.
c) 02 de diciembre.
d) 11 de diciembre.
132
8 Ernesto tiene una cantidad récord de canicas: 556. ¿Podrá agrupar todas sus canicas en bolsitas
de 5 canicas cada una? ¿Por qué?
Sí No
Porque
10 Cuando a Carlos le preguntan por la edad de su padre, responde de la siguiente manera: “Mi padre
tiene más de 40 años y menos de 50. Además, su edad es un múltiplo de 3 y 7 a la vez”. ¿Cuántos
años tiene el papá de Carlos?
a) 37 años. c) 49 años.
b) 42 años. d) 48 años.
Seguimos practicando
11 Explica la diferencia entre un número primo y un número compuesto. Da dos ejemplos de cada
caso.
12 Marca con un aspa todos los números compuestos y escríbelos en la línea respectiva.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
133
Matemática 1.er grado
a) 6 divisores.
b) 9 divisores.
c) 15 divisores.
d) 45 divisores.
14 Marisol desea colocar cerámicos de forma cuadrada en una habitación de 3,6 m de ancho y 4,2 m
de largo. Marisol no quiere desperdiciar y le pide al albañil que utilice cerámicos de la mayor
extensión posible por lado para que cubran exactamente el piso de esta habitación. ¿Cuál será la
longitud de los cerámicos?
a) 30 cm
b) 40 cm
c) 50 cm
d) 60 cm
15 Del problema anterior, ¿cuántas cajas de cerámicos debe comprar Marisol si en cada una
vienen 6?
134