Capítulo II

“Texto álgebra”
(Rees Spark)
E–1
1° D
Integrantes:
UTP0150659 Adán Mendoza Emilio Javier
UTP0151547 Alvarado Rosas Maximiliano
UTP008800 Amaro Xilotl Miguel Ángel
UTP0149322 Anzaldo Pichardo Fernanda Patricia
 Índice

2: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTOR1ZACION 20

2.1 El producto de dos binomios, 20

2.2 El cuadrado de un multinomio, 22
2.3 El proceso de factorización, 23
2.4 Factores de binomios del tipo an + bn, 27
2.5 Factorización por agrupación, 29
2.6 Trinomios que son reductibles a la diferencia de dos
cuadrados, 30
 Introducción

En este capítulo se expondrán algunos métodos que

permiten efectuar mentalmente muchos de los pasos
explicados en el Pr. 1.7. De este modo se puede, para
muchos tipos de productos, abreviar el proceso de
multiplicación. De igual modo se expondrán algunos
métodos para factorizar ciertos tipos de multinomios. Para la
computación eficaz y rápida en álgebra se requiere ser hábil
en cada uno de estos procedimientos.
 EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS
 
Empleando el método del Pr. 1.7 para obtener el producto de
los binomios , se tiene:

(2.1)
Observando el resultado de la derecha puede notarse que:
-El primer término del resultado es el producto de los dos
primeros términos de los binomios.
-El término intermedio es la suma algebraica de los productos
obtenidos al multiplicar el primer término de cada binomio por el
segundo término del otro
-El tercer término es el producto de los dos segundos términos de
los binomios.
 
Ejemplo 1:
Si se emplea el método anterior para obtener el producto de
y , se observa que: (a), el producto de los dos primeros
términos, es ; (b), la suma algebraica del primer término de
cada binomio por el segundo término del otro es ; (c), el
producto de los dos segundos términos, es — 15. Por
consiguiente,
Este procedimiento puede expresarse por medio del
siguiente diagrama, fácil de recordar, en el cual las flechas
conectan los términos que deben multiplicarse.
 
Se puede obtener el cuadrado del binomio x + y escribiendo
primero y luego aplicar el anterior procedimiento al producto
de la derecha. Se obtiene así:
(2.2)
Si se expresa la fórmula (2.2) por medio de palabras se tiene:
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer
término, más el doble producto del primero por el segundo,
más el cuadrado del segundo.
 
Debe notarse que, si el signo entre los términos es negativo,
como en , entonces el producto de los dos términos es
negativo y se tiene
(2.3)
 
Ejemplo 2: Encontrar el cuadrado de
Solución:

Ejemplo 3: Encontrar el cuadrado de

 
Igualmente puede emplearse (2.1) con el fin de obtener una
fórmula para el producto de la suma por la diferencia de dos
números. Expresando este producto en la forma (x + y) (x — y)
y aplicando (2.1) se tiene:

Por consiguiente:

De esta manera se observa que el producto de la suma por la

diferencia de dos números es igual a la diferencia de sus
cuadrados.
 
Ejemplo 4:
Encontrar el producto de y
Solución:

 
Ejemplo 5:
Encontrar el producto de 23 * 17
Solución:
 EL CUADRADO DE UN MULTINOMIO
Empleando el método del Pr. 1.7 se puede comprobar la
siguiente proposición. El cuadrado de un multinomio es igual a
la suma de los cuadrados de cada término, más la suma
algebraica del doble producto de cada término por cada uno de
los que le suceden.
 
Ejemplo 1:
Encontrar e cuadrado de
Solución:
Ejercicios: BINOMIOS Y MULTINOMIOS
Encontrar los productos indicados en los problemas 1 a 92
usando los métodos expuestos en las Secciones 2.1 y 2.2.

1: (x + 2) (x + 3) 5: (3x - 1) (x + 2) 9: (7x - 1) (x + 2)

2: (b + 1) (b + 1) 6: (x - 3) (2x - 1) 10: (3a - 2) (2a + 3)

3: (3y + 1) (y + 2) 7: (4b + 1) (b + 2) 11: (8m — 5) (2m + 4)

4: (2x + 1) (x + 2) 8: (3c - 2) (2c + 3) 12: (5h + 3) (4h - 5)

13: (4a — 7) (5a + 2) 21: (2w + 7z) (3w — 2z)

14: (2r + 2s) (3r + 3s) 22: (5i - 3j) (7i + 2j)

15: (7i - 5) (3i + 2) 23: (10x — 5y) (5x + 2y)

16: (8a + 3c) (a + 5c) 24: (7a + 6b) (9a – 8b)

17: (2m — 3n) (4m — 2n) 25: (x + 2y)2

18: (12x – 3y) (6x - 5y) 26 (2x - 3)2

19: (6c – 3d) (2c - 7d) 27: (a + 3b)2

20: (3r - 5y) (2r - 7y) 28: (3x + 2)2

29: (3a - 1)2

30: (3m — 2n)2 37: (4u - 2v)2

31: (3m — 4n)2 38: (2i + 7j) 2

32: (6a – 4b)2 39: (6z — 5 w)2

33: (2a – 3b)2 40: (3a + 2b)2

34: (2x + 5y)2 41: (7 + 2) (7 - 2)

35: (4r — 3s)2 42: (18) (22)

36: (5h + 3 k)2

EL PROCESO DE FACTORIZACIÓN
Para factorizar un multinomio es necesario encontrar primero
dos o más multinomios o un monomio y uno o más
multinomios, cuyo producto
sea el multinomio dado. En este párrafo se expondrán los tipos
mas usuales de multinomios.

1. Multinomios que tienen un factor común.

2. La diferencia de dos cuadrados.
3. Trinomios que son cuadrados perfectos.
4. Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos.
Los últimos tres tipos pueden factorizarse empleando las
formulas (2.1) a (2.4).
Multinomios que tienen un factor común. Si cada termino de un
multinomio es divisible por un mismo monomio, el multinomio
se puede factorizar dividiéndolo por el monomio de acuerdo
con el método del P. (1 .9 ) . El polinomio se expresa entonces
como el producto del divisor por el cociente obtenido. Al aplicar
este procedimiento a ax + ay — az se obtiene
 
equivale a multiplicar por 1.

Por el método Pr 1.9

ax+ ay – az = a(x+y-z)

Realizando las divisiones indicadas (2.5)

 
Ejemplo 1:
Factorizar la expresión
Solución: Nótese que todos los términos son divisibles por 3x.
Por ello, utilizando la ecuación (2.5), tendremos:

Ejemplo 2:
Factorícese la expresión (a + b) (a — b) + 3a(a + b) + (a + b)2
solución: Adviértase que cada término de la expresión es
divisible por a + b.
  
En consecuencia, según la ecuación (2.5), tendremos:

 
Frecuentemente un multinomial puede ser factorizado por uno
de los métodos siguientes:
Diferencia de dos cuadrados. Intercambiando los miembros de
(2.4), se tiene:
De donde se observa que los factores de la diferencia de los
cuadrados de dos números son respectivamente, la suma y la
diferencia de los dos números.

 
Ejemplo 3:
Factorice la expresión
solución: Anotaremos que la expresión consiste en la diferencia
de dos términos que son cuadrados. Utilizando la ecuación (2.6)
y la regla que de ella se deduce tendremos:
 
Ejemplo 4:
Factorizar la expresión
solución: Debido a que la expresión consiste en la diferencia de
dos términos, cada uno de los cuales es cuadrado, se puede
aplicar la ecuación (2.6) y la regla que de ella se deduce:

En los ejemplos que se ponen a continuación se aplica el

método anterior a expresiones que son la diferencia de dos
cuadrados, pero en las cuales por lo menos uno de los
términos no es el cuadrado de un monomio.
 
Ejemplo 4:
Factorizar la expresión es la diferencia de los cuadrados de 4x
y de 3y + z. Por tanto, los dos factores son la suma y la
diferencia de estos números.

 
Ejemplo 6:
Factorizar
solución:
(2a - 3b)2 - (c + d)2 = [(2a - 36) + (c + d)][(2a - 36) - (c +
d)}
TRINOMIOS QUE SON CUADRADOS PERFECTOS.
De las fórmulas (2.2) y (2.3), se tiene
x2 + 2 xy + y* = (x + y)2 (2.7)
x2 — 2 xy + y2 = (x — y)2 (2.8)
Los trinomios de la izquierda en (2.7) y .(2.8) son cuadrados
perfectos y en cada caso se observa que dos de los términos
son cuadrados perfectos y positivos y que el tercer termino es
el doble producto de la raíz cuadrada de los otros dos.
Además, que, si el término del doble producto es positivo, el
trinomio es el cuadrado de la suma de las dos raíces
cuadradas, y que si el término del doble producto es negativo,
el trinomio es el cuadrado de la diferencia de las dos raíces
cuadradas.
 
Ejemplo 7:
Factorizar la expresión
solución: nótese primero que y -30x =
Por tanto, según (2.8) tendremos
 
Ejemplo 8:
Factorizar
Adviértase que Por consiguiente , según (2.7) tendremos
.

 
Ejemplo 9:
Factorice la expresión
Los términos pueden ser reconocidos como la suma de los
cuadrados de 3x + y y z + w, menos el doble del producto de 3x
+ y y z + w; por ello empleamos la ecuación (2.8)
 

TRINOMIOS FACTORIZABLES QUE NO SON CUADRADOS

PERFECTOS.
Consideraremos un trinomio del tipo . Si entonces según la
ecuación (2.1) p= ac r= bd y q= ad+ be
A estos últimos productos los denominamos productos
cruzados.
 
Ejemplo 10:
Factorizar
Solución: Se sabe que los términos de son los primeros
términos de los factores de ese trinomio y que los factores son
sus segundos términos. Pero estos factores se deben
ordenarse de tal modo que la suma algebraica de los productos
cruzados sea 11x. La ordenación deseada es , ya que la suma
del producto cruzado es
 
    
 
9. 19. 28.
10. 29.
11. 30.
12.
13. 21.
14.
15.
16. 26.
17. 27.
18.
   
31.
32.
33.
37.
34.
38.
35.
36.
39.
40.
   
51.

56.

57.

58.
   
59. 66.

60.

61. 68.

62. 69.

63. 70.

64. 71.

65. 72.
   
FACTORES DE BINOMIOS DEL TIPO a+ b
En este capítulo nos ocuparemos de aquellos factores cuyos
coeficientes son números racionales y los exponentes son
enteros. Aquellas expersiones cuyos factores no llenan estos
requisitos se llaman irreductibles.
 
Corrientemente la suma de dos cuadrados es irreductible,
aunque expresiones comoque son la suma de dos cubos,
pueden ser factorizados por los métodos que aquí se indican.
Los binomios del tipo an + 6n se pueden dividir en las cuatro
clases siguientes:
1. La suma o diferencia de dos cubos. Si se divide x3 + y8 por x
+ y,por el método del Pr. 1.9, se obtiene el cociente
 x2 — xy + y2. Por tanto:

Se observa que el primer factor de la suma de los cubos de dos

números es la suma de los dos números. El segundo factor es el
cuadrado del primer número menos el producto del primer
número por el segundo más el cuadrado del segundo número.
Análogamente, un factor de la diferencia de los cubos de dos
números es la diferencia de los números. Y el otro factor es el
cuadrado del primer número, más el producto del primer
número por el segundo, más el cuadrado del segundo número.
Binomios del tipo xn — yn para n mayor que 3 y divisible por
2 .En este caso se expresa xn — yn en la forma (xn/2) 2 —
(yn/2) 2. En esta forma el binomio es la diferencia de dos
cuadrados y se puede factorizar mediante el empleo de (2.6). Si
n/2 es divisible por 2, se aplica nueva-mente el procedimiento
anterior y se continúa así hasta donde sea posible.
Binomios del tipo xn ± yn para n mayor que 3 y divisible por 3.
En este caso xn ± y n se puede expresar como (xn/3) 3 ± (yn/3)
3. Por tanto, los binomios de este tipo se consideran como la
suma o la diferencia de dos cubos y pueden aplicarse las
fórmulas (2.10) o (2.11).
Binomios del tipo xn + yn para n mayor que 3 y no divisible por
3 ni por 2. Si n es divisible por 2 o por 3, la expresión se
factoriza por los anteriores métodos.
Sin embargo, si n no es múltiplo de 2 ni de 3,la expresión se
puede factorizar por medio de las siguientes fórmulas. Estas se
dan sin demostración, pero se pueden comprobar, mediante
divisiones laboriosas, para cualquier valor entero positivo de n.
Si no es divisible por 2.
Ya que ninguno de los binomios de la última expresión se
puede expresar como la diferencia de dos cuadrados, se
aplica el método del
Ejemplo 5 y se continúa factorizando hasta obtener
  

 
 

1. +27
1. -1
2. -64
 
 
 FACTORIZACION POR AGRUPACIÓN
Frecuentemente un multinomio que contiene cuatro o más
términos se puede reducir a una forma factorizable mediante
una adecuada agrupación de sus términos y posterior
factorización de los grupos. Si esto es posible, el multinomio se
puede factorizar por medio de alguno de los métodos
anteriores. Se ilustrará el procedimiento con algunos ejemplos.
Ejemplo 1:
Factorizar la expresión ax — bx — ay + by.
Solución:
ax — bx — ay + by — (ax — bx) — (ay — by)
se han agrupado los dos primeros y los dos últimos términos.
= x(a — b) — y (a — b)
se ha sacado x como factor común del primer grupo y como
factor común del segundo.
FACTORIZACION POR AGRUPACION 29

(a - b){x - y)
se ha sacado a — b como factor común. 

Ejemplo 2:
Factorizar la expresión x —
Solución:
x — y — x2 + y2 = (x — y)
y - x2 + y2. - 0X2 - £2)
Se han agrupado los dos primeros y los dos últimos términos, 
= (x — y) — (x — y)(x + t/)  = (x - y)[ 1 - (x + y)]
= (x - y)( 1 - x - y)
se ha f acto rizado x2 — y2 se ha sacado x — y como factor
común se ha simplificado el último factor 

El siguiente ejemplo ilustra cómo puede reducirse una

expresión a la diferencia de dos’ cuadrados mediante una
agrupación adecuada de sus términos.
Ejemplo 3:
Factorizar la expresión 9c2 — 4a2 + 4a& — fe2.
Solución:
9c2 — 4a2 + 4a6 — 62 = 9c2 — (4a2 — 4áb + b2) por Pr. 1.4
= 9c2 — (2a — 6)2 por ec. (2.8)
= [3c + (2a — 6)][3c — (2a — b)] por ec. (2.6)
= (3c + 2 a — b) (3c — 2a + b)
 
 TRINOMIOS QUE SON REDUCTIBLES A LA DIFERENCIA
DE DOS CUADRADOS
 
Si se puede convertir un trinomio en un cuadrado perfecto,
mediante la adición de un término que sea cuadrado perfecto,
entonces se puede expresar el trinomio como una diferencia de
cuadrados. Por ejemplo, el trinomio sería un cuadrado perfecto si
el término intermedio fuera
 
Por tanto, si se adiciona y se sustrae , se obtiene

=(
=( (
=(()
 
Debe observarse que este método se aplica únicamente si al
agregar un cuadrado perfecto al trinomio éste se convierte en
cuadrado perfecto. Por ejemplo, se convierte en cuadrado
perfecto cuando se le sustrae . Sin embargo, se tiene
=(
que por ser suma de dos cuadrados no es factorizable.
 
 
 Conclusión

El trabajo elaborado se ha hecho con la

intención de poder repasar algunos temas
que con el paso del tiempo ya se han visto,
sin embargo, con ese mismo paso del
tiempo se pueden olvidar.
 COMPENDIO
 
5. con

10.

6.

11. 4

13.
 
14.

--------------------------------------------------------
1.

3.

11.

14.
 
11. Resta 8x-3y-6 de 5x+4y-1 = -3x+y-7

7. De resta

--------------------------------------------------------
5.

4.
 
3.

9.
 
11.