Problemas Aritméticos y Geométricos/Magnitudes y Números

Reales

Números reales
Los números reales son todos los números que se ubican en la recta numérica, se
clasifican en dos subconjuntos racionales e irracionales. Los números reales se
pueden expresar en forma decimal mediante un número entero, un decimal
exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.

A continuación describiremos los subconjuntos de los números reales:

Es necesario recordar que nuestro sistema de numeración tiene como base 10

números que se llaman dígitos, los dígitos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

1. Números Naturales (N). Son los números que nos sirven para contar, son los
primeros que conocemos, también se les llama enteros positivos: {1, 2, 3, 4, …}

2. Enteros (Z). Son todos los números naturales con sus negativos y el cero:
{…, -4, -3, -2, 1, 0, 1, 2, 3, …}

3. Racionales (Q). Son todos los números que pueden escribirse en forma de
𝑚
fracción 𝑛 , donde 𝑚 y 𝑛 son números enteros y 𝑛 es distinto de cero, es decir,
𝑚
{ | 𝑚, 𝑛 ∈ Ζ 𝑦 𝑛 ≠ 0}
𝑛

Los números racionales tienen parte decimal exacta o periódica, por ejemplo,
todos los enteros son racionales, hay fracciones cuyo valor es exacto y se
representa como un número decimal, pero hay otras que su parte decimal es
infinita, pero se repite, a esto le llamamos infinita periódica y re representa con un
barra sobre el dígito:
1
= 0.3333333333333 ⋯ = 0. 3̅ Decimal periódico infinito
3
1
= 0.5 Decimal finito
2

4. Irracionales (I). Son los números que no pueden representarse en forma de

fracción y tienen parte decimal infinita no periódica, por ejemplo:
(√2, √3, 𝜋 … )

Los números reales se ubican en la recta numérica, en el centro se ubica el cero,

del lado derecho del cero se ubican los números positivos y del lado izquierdo los
números negativos. La escala que se utiliza es la de los números enteros, entre
cada número hay una distancia de 1 unidad.

1
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Los números reales también pueden representarse mediante un diagrama de

Venn. Donde el universo son los número reales y la unión de todos los
subconjuntos es el conjunto de los números reales.

Dentro de los números reales también tenemos a otros dos subconjuntos, los
números primos y los números compuestos.

Números primos. Son los números naturales que solo tienen dos divisores positivos el 1
y el mismo número. Los números primos menores que cien son:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

Números compuestos. Son los números naturales que tienen más de 2 divisores.

Por ejemplo, el número 4 es un número compuesto porque se puede dividir entre 1, 2 y 4.

El número 1 no se considera primo, ni compuesto. Es la unidad que divide a todos los

números.

Convertir números fraccionarios a decimales y viceversa

Para convertir lo único que hacemos es realizar la división, en ocasiones con

punto decimal, generalmente utilizando el algoritmo de la división, algunas
fracciones son fáciles de convertir, para otras solo se necesitan hacer las
operaciones.

Ejemplos:
1 4 20 10
1. 4 = 0.25 3. 5 = 0.8 5. = = 3. 3̅
6 3
1 10 5
2. = 0.5 4. =5 6. 8 = 0.625
2
2

2
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Para convertir de decimales a fracciones, buscamos una fracción equivalente, lo
primero es escribir el número sin puntos decimales y después se divide por la
cantidad formada por un 1 y seguida de tantos ceros como se tengan del punto
decimal hacia la derecha.
25
0.25 =
100

En este caso, del punto decimal para la derecha hay 2 dígitos, eso quiere decir
que el denominador de la fracción será 100, lo que sigue es simplificar la fracción,
para ello utilizaremos los números primos, es decir, dividir por 2, 3, 5, 7, y así
sucesivamente.
25
0.25 =
100

En el caso de 0.625, después del punto decimal hay 3 dígitos, entonces la fracción
queda como:
625 125 25 5
0.625 = = = =
1000 200 40 8

Operaciones con números enteros

Suma y resta con números enteros

1. Números con mismo signo

Se suman los números en valor absoluto y al resultado se le agrega el signo de los
números.

Ejemplos:

1. 3 + 4 = 7
2. (−2) + (−8) = −10

2. Números con signos diferentes

Se restan los números en valor absoluto, y al resultado se le asigna el signo del
número con mayor valor absoluto.
Ejemplos:
1. (−5) + 9 = +(9 − 5) = 4
2. (−10) + 7 = −(10 − 7) = −3

Multiplicación y división con números enteros

Se utilizan las reglas de los signos para la multiplicación y para la división:

3
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Ejemplos:
1. (−5)(4) = −20
2. (7)(−5) = −35
3. (−2)(−8) =
16
4. (9)(2) = 18

Suma y resta con fracciones

Para ello se utilizan las siguientes fórmulas:

𝑎 𝑐 𝑎𝑑+𝑏𝑐 𝑎 𝑐 𝑎𝑑−𝑏𝑐
+ = − =
𝑏 𝑑 𝑏𝑑 𝑏 𝑑 𝑏𝑑

2 4 (2)(3)+(5)(4) 6+20 26
1. + = (5)(3)
= =
5 3 15 15
2 4 (2)(3)−(5)(4) 6−20 −14
2. − = (5)(3)
= =
5 3 15 15

Multiplicación y división con fracciones

Se utilizan las siguientes fórmulas:

𝑎 𝑐 𝑎𝑐 𝑎 𝑐 𝑎𝑑
× = ÷ =
𝑏 𝑑 𝑏𝑑 𝑏 𝑑 𝑏𝑐
2 1 2×1 2
1. (− ) × = − =−
5 7 5×7 35
8 3 8×3 8
2. (− ) × (− ) = = =4
3 2 3×2 2
15 8 15×8 8 8
3. ( ) × ( ) = = = =1
4 30 4×30 4×2 8
1 8 1×8 2
4. ( ) × (− ) = − =−
4 5 4×5 5
1 8 1×5 5
5. ( ) ÷ (− ) = − =−
4 5 4×8 32
2 1 2×7 14
6. (− ) ÷ ( ) = − =−
5 7 5×1 5
8 3 8×2 16
7. (− ) ÷ (− ) = =
3 2 3×3 9

4
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15 8 15×30 450 225
8. ( ) ÷ ( ) = = =
4 30 4×8 32 16

Jerarquía de operaciones

Recordar que las operaciones se realizan en orden, primero se desarrollan las

potencias y se calculan las raíces, después las multiplicaciones y divisiones y al
final las sumas y restas, todo de izquierda a derecha. Si tenemos signos de
agrupación, estos también se quitan de adentro hacia afuera, el orden para el uso
es: paréntesis ( ), llaves { } y corchetes [ ].

Ejemplos:

1. Realice la siguiente operación 5 − {2 + 4(10 − 5) − 1} =

5 − {2 + 4(10 − 5) − 1} =
5 − {2 + 4(5) − 1} =
5 − {2 + 20 − 1} =
5 − {22 − 1} =
5 − {21} =
5 − 21 = −16

2. Realice la siguiente operación 8 − 2[5 − {2 + 4(10 − 5) − 1}] =

8 − 2[5 − {2 + 4(5) − 1}] =

8 − 2[5 − {2 + 20 − 1}] =
8 − 2[5 − {22 − 1}] =
8 − 2[5 − {21}] =
8 − 2[5 − 21] =
8 − 2[−16] =
8 + 32 = 40

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Ejemplos de Problemas

1. Juan juega todos los días a las cartas, esta semana ha ganado y perdido. El
lunes Juan perdió $10.00; el martes ganó $50.00; el miércoles perdió $25.00; el
jueves perdió $30.00; el viernes ganó $12.00; el sábado perdió $5.00 y el domingo
ganó $40.00. ¿Cuántos pesos le quedaron a Juan al final de la semana?
Solución:

Cada vez que Juan gana ese dinero se convierte en un número positivo y cada
vez que pierde se convierte en un número negativo:
−10 + 50 − 25 − 30 + 12 − 5 + 40 = 32
Al final de la semana Juan se quedó con $32.00.

2. La señora Magdalena hace tamales para sus cuatro hijos, les comenta que le
debe tocar a cada uno la misma cantidad de tamales al igual que a ella. Si ella
elaboró 260 tamales, ¿cuántos tamales le corresponde a cada hijo?
Solución:

Son 4 hijos y la mamá, entonces los tamales se deben repartir entre 5 personas.
𝟐𝟔𝟎
= 𝟓𝟐
𝟓

Así que le tocan 52 tamales a cada hijo.

3. Para preparar 5 hot cakes se necesita una ¼ del contenido de una caja de 1L
de leche, ¿Cuántos litros se necesitarán para preparar 35 hot cakes?
Solución:

Para preparar 35 hot cakes se necesitan

𝟑𝟓
= 𝟕 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒆𝒄𝒉𝒆
𝟓
7
Es decir, se necesitan 4 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 de leche.

4. Joanna se gasta un tercio del dinero que le dan sus papás en libros y un noveno
en accesorios para decorar sus libretas.
a) ¿Qué fracción del dinero se ha gastado Joanna?
b) Si sus papás le dieron $1800.00, ¿cuánto dinero se gastó? ¿Cuánto dinero le
sobró?
Solución:

a) Se suman las fracciones:

1 1 3+1 4
+ = =
3 9 9 9

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4
Se gastó 9 del dinero.

4
b) Para saber cuánto dinero se gastó se obtienen de $1800.00 los 9 :

4
$1800 (9) = $200(4) = $800
Se gastó $800.00 y le sobró $1800.00 − $800.00 = $1000.00

Razones
Las razones se utilizan para comparar cantidades o describir la relación entre
ellas. Por ejemplo, una razón puede utilizarse para comparar el salario con los
días trabajados; también, puede utilizarse para relacionar el número de
estudiantes en un curso.
Las razones generalmente se representan como “a es a b” ó “a:b” donde “a” y “b”
son los valores que se están comparando:
Existen dos tipos de razones, aritmética y geométrica.
Razón aritmética: Es cuando la comparación se realiza mediante una resta, al
primer término se le llama antecedente y al segundo consecuente.
Razón geométrica: Es cuando la comparación se realiza mediante una división.
Esta razón se representa mediante una fracción, donde el numerador es el
antecedente y el denominador el consecuente.
Ejemplo 1. Si en una escuela hay 200 estudiantes y 105 son mujeres, entonces la
105 21
razón queda como 200 = 40, es decir, por cada 40 personas se tienen 21mujeres,
este es un ejemplo de razón geométrica.
Ejemplo 2. Roberto mide 179 cm y su hermano Paolo mide 183 cm. La diferencia
entre ambos es de 4 cm, por lo que debemos decir que Paolo es 4 cm más alto
que Roberto o que Roberto mide 4 cm menos que Paolo, este es un ejemplo de
razón aritmética.
Ejemplo 3. Un paquete de galletas contiene 12 galletas de nuez y 24 galletas de
avena. ¿Cuál es la razón entre las galletas de nuez y las de avena?
La razón entre las galletas de nuez y las de avena las podemos hallar mediante la
división:
𝑔𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑒𝑧 12 1
= =
𝑔𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑛𝑎 24 2
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Se lee como “12 es a 24” ó 12:24, es decir, por cada galleta de nuez hay 2 galletas
de avena. También se puede escribir con la notación 1:2, “uno es a dos”.
De la misma forma, podemos comparar la cantidad de galleta de avena en
relación con las galletas de nuez:
𝑔𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑛𝑎 24
= =2
𝑔𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑒𝑧 12
Se lee como “24 es a 12” y se denota como 24:12, es decir, por “Por cada 2
galletas de avena hay 1 galleta de nuez”.
Dicha fracción también puede simplificarse como 2/1, y establecer que 2 es a 1 o
2:1.
Ejemplo 4. Juan invitó a un grupo de amigos a una reunión en su casa para
celebrar la llegada de su primer bebé. Incluyéndolo, hay un total de 20 personas,
12 de las cuales son mujeres. ¿Cuál es la razón entre mujeres y hombres, la razón
entre mujeres y el total de asistentes, y la razón entre el número de hombres y el
total de personas?
 La razón entre el número de mujeres y el número de hombres en la reunión:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 12 6 3
= = =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 8 4 2
Esto lo podemos escribir como 3 es a 2 o 3:2.
 La razón entre el número de mujeres y el número de personas invitadas a la
reunión.
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 12 6 3
= = =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎𝑠 20 10 5
Lo que podemos escribir como 3 es a 5 o 3:5.
 La razón entre el número de hombres y el número total de personas:

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 8 4 2
= = =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎𝑠 20 10 5
Lo que podemos escribir como 2 es a 5 o 2:5.

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Proporciones
Una proporción es una igualdad de dos razones:
𝒂 𝒄
= o bien 𝒂: 𝒃 ∶: 𝒄: 𝒅
𝒃 𝒅

Se lee “a es a b como c es a d”.

Ejemplos:
5 15
 5 es a 20 como 15 es a 60, se escribe: 20 = 60
1
Observe que al simplificar las fracciones obtenemos que es igual a 4, que es
la razón de proporcionalidad. También es necesario observar que los
productos cruzados son iguales:
5 × 60 = 20 × 15
10 20
 10 es a 8 como 20 es a 16, la proporción queda como: = 16
8
5
Al simplificar obtenemos 4. Los productos cruzados también son iguales.
10 × 16 = 8 × 20
Entonces en una proporción, el producto cruzado es igual, es decir,
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 .
Ejemplos:
 ¿Qué valor debe tener a en la siguiente proporción?
𝑎 5
=
6 30
Los productos de los extremos son iguales:
30𝑎 = 6 × 5 = 30
30
𝑎= =1
30
Entonces 𝑎 = 1.
 Hallar el valor de “d” es la siguiente proporción.
5 20
=
9 𝑑

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Los productos de los extremos son iguales:
5𝑑 = 20 × 9
180
𝑑= = 36
5
Por lo tanto, la 𝑑 = 36.

Proporción directa o regla de tres simple o regla de tres directa

Se tiene una proporción directa cuando al aumentar una cantidad la otra aumenta
en la misma proporción, o al disminuir una cantidad la otra disminuye en la misma
proporción. Y se calcula con la expresión:
𝑎 c 𝑏𝑐
= 𝑎=
b d 𝑑
Ejemplo1: 3 litros de leche permiten preparar 24 gelatinas. ¿Cuántos litros
necesito preparar 40 gelatinas?
Solución:

3 litros  24 gelatinas
x litros  40 gelatinas
𝑥 3 3 ∙ 40
= 𝑥= =5
40 24 24

Por lo tanto x = 5 litros.

Ejemplo 2: Roberto vende 3 quesadillas por $25.00, ¿cuántas quesadillas

venderá por $450.00?
Solución:

3 Quesadillas  $25.00
𝑥 Quesadillas  $450.00

𝑥 3 450(3)
= 𝑥= = 54
450 25 25

Por lo tanto 𝑥 = 54 quesadillas.

El cálculo de porcentaje es un ejemplo específico de proporción directa:

Si el 100% se representa con la unidad:

10
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100% = 1
50% = 0.5
Y así podemos convertir de porcentaje a decimales
𝑎%∗1 𝑎
Es decir, 𝑥 = 100% = 100

Por ejemplo:
20
1. 20% es igual a: 𝑥 = = 0.2
100
25
2. 25% es igual a: 𝑥 = 100 = 0.25
150
3. 150% es igual a: 𝑥 = 100 = 1.5

Proporción inversa o inversamente proporcional o regla de tres inversa

Se tiene una proporción inversa cuando al aumentar una cantidad la otra

disminuye en la misma proporción, o al disminuir una cantidad la otra aumenta en
la misma proporción. Y se calcula con la expresión:
𝑎 c 𝑐𝑑
= 𝑎=
b d 𝑏
Ejemplo 1: 20 albañiles levantan una construcción en 400 horas, ¿cuánto
tardarán 10 albañiles en levantar la misma construcción?
Solución:

20 albañiles  400 horas

10 albañiles  x horas

20 ∗ 400 8000
𝑥= = = 800
10 10

Por lo tanto, x = 800 horas.

Ejemplo 2: Un invernadero tiene suficiente agua para regar a 210 plantas durante
45 días. ¿Cuántos días podrá regar con la misma cantidad de agua a 450 plantas?
Solución:

210 plantas  45 días

450 plantas  x días

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210 ∗ 45
𝑥= = 21
450
Por lo tanto, x = 21 días.

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