UNA PROPUESTA

DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA

MATEMÁTICA EN EDUCACIÓN PRIMARIA

MÓDULO I - ARITMÉTICA

ENCUENTRO NO. 3
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Ejecutado por: MINED, UNI, UNAN-MANAGUA, UNAN-LEÓN Y FUNDACIÓN

UNO

24 de marzo 2018
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MÓDULO I - ARITMÉTICA
Encuentro No. 3
Números Primos y Compuestos

Introducción
En este encuentro abordaremos temas importantes de la aritmética y que son claves para
el desarrollo posterior de esta ciencia, además encontraremos propiedades y cualidades de
los números que los hacen sorprendentes.

Los números primos constituyen en cierto modo, como los átomos en el estudio de la
química, a partir de los átomos se forman las moléculas y los compuestos químicos, así
que a partir de los números primos se originan los números compuestos y muchas
cantidades importantes para la matemática y otras ciencias.

Contenido
3. Números Primos y Compuestos
3.1. Descomposición en factores primos.
3.2. Máximo Común Divisor
3.3. Mínimo Común Múltiplo
3.4. Divisibilidad

Objetivos:
Conozca las definiciones y propiedades de los números primos y compuestos.
Use correctamente los métodos de descomposición en factores primos.
Determine el máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo
(MCM) de números dados.
Aplique las diferentes propiedades y reglas de divisibilidad.

3. Los Números Primos – Definiciones:

 Un número primo, es un número entero mayor que uno, que tiene exactamente dos
factores, el 1 y el mismo. También se define como un número entero positivo que no
puede expresarse como producto de dos número positivos más pequeños que él.

 Los números primos son aquellos que tienen la propiedad de poseer únicamente dos
divisores: el 1 y el mismo número. El 1 es divisor de todo número, pero no es un
número primo.

Por ejemplo, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... son números primos porque sus únicos
factores son el 1 y ellos mismos.

¿Cómo saber cuándo un número es primo…?

¿Cuántos números primos existen…?

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 2

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La cantidad de números primos es infinita. Euclides fue el primero en demostrarlo,

después lo demostraron Euler y Chebichev.

Para encontrar una lista de los números primos se puede utilizar el método conocido con
el nombre de la CRIBA DE ERATÓSTENES.

Eratóstenes, nació en Cirene hoy Libia en el norte de África (276. 194 a. c.), fue bibliotecario
de la Biblioteca de Alejandría. A la muerte de Calímaco – uno de sus profesores - alrededor
del 240 a. c., se convirtió en el tercer bibliotecario de Alejandría. Se dice que la biblioteca
contenía cientos de miles de papiros y rollos de vitela (pergaminos) sin descifrar.
Eratóstenes diseñó un algoritmo que le permitió encontrar los primeros números primos
que hay del 1 al 100.
1 2 3 4 5 6
A continuación se muestra una variante de la
7 8 9 10 11 12
Criba de Eratóstenes, en la cual escribimos
13 14 15 16 17 18
los números en bloques de 6 en 6, se tacha
19 20 21 22 23 24
el 1, después los múltiplos del 2, del 3, y
25 26 27 28 29 30
del 6 verticalmente, los múltiplos del 5 y 7 31 32 33 34 35 36
se tachan en diagonal, los que quedan 37 38 39 40 41 42
son los primero números primos. 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
Otras Fórmulas para obtener números primos 55 56 57 58 59 60
Hasta 1536 se pensaba que la fórmula 2p-1, 61 62 63 64 65 66
podía generar sólo números primos, cuando p 67 68 69 70 71 72
es primo, pero ese Año Hudalricus Regius, 73 74 75 76 77 78
demostró que 211 - 1 = 2047, era un número 79 80 81 82 83 84
compuesto, puesto que es producto de 23 y 89. 85 86 87 88 89 90
Sin embargo, muchos números primos cumplen 91 92 93 94 95 96
esa condición. 97 98 99 100 101 102

Números primos de Mersenne, Marin Mersenne (1588-1648) monje francés, muy famoso en su
época, afirmó que los números de la forma, 2n – 1, eran primos, para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19,
31, 67, 127 y 257 y compuestos para los restantes números. Hasta 1999 se han descubierto
38 números de Mersenne, el último es 26972593 – 1, descubierto por el GIMPS (Great Internet
Mersenne Prime Search).

Números Primos de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) creyó haber encontrado una fórmula que generaba los
números primos, mediante la expresión, Fi = 2n + 1, siendo n = 2i , esta fórmula genera
números primos para i = 0, 1, 2, 3 y 4,

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 3

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más tarde Leonhard Euler (1707-1783) descubrió que F5 no es primo, en 1880, se demostró
que F6 tampoco lo es, en 1970 se demostró que F7 tampoco lo era, en 1980 se demostró para
F8 y en 1990 para F9.

Existen otras algunas fórmulas para obtener números primos, conocidas como fórmulas de
Euler.
 P ( x ) = 2x2 + 3 , genera números primos desde x = 0, hasta x = 2.
 Q ( x )= x 2 + x +17 , genera números primos desde x = 0, hasta x = 15.
 R(x) = x 2 + x + 41 , genera números primos desde x = 0, hasta x= 40.

Ejemplo: Probaremos la segunda fórmula de Euler, Q (x) = x2 + x + 17, 0 ≤ x ≤ 15

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Q(x) 17 19 23 29 37 47 59 73 89 107 127 149

: Un buen ejercicio es probar las otras fórmulas dadas anteriormente. ¡Inténtalo!

Números Primos y sus familiares:

 Números Primos Gemelos, son los primos que están separados por un número par,
por ejemplo, 3 y 5. Trata de encontrar otros números Primos Gemelos.

 Números Primos Contiguos, sólo hay tres números primos contiguos: 3, 5 y 7.

 Coprimos ó primos entre sí, se dice que dos números son Coprimos, cuando no son
divisibles entre sí, es decir el máximo común divisor de dichos números es el 1.

Ejemplo: 8 y 15 son primos entre sí o primos relativos, porque su único divisor

común es 1, pues 8 es divisible por 2 pero 15 no lo es, y 15 es divisible por 3 y 5
pero 8 no lo es. Luego su único divisor común es 1. Otros ejemplos de números
primos entre sí son:
a) 7 y 8 b) 13 y 15 c) 12 y 25

 Escribir otras parejas de números que sean Primos Relativos o Coprimos.

3.1. Número Compuesto

A los números que no son primos se les llama compuestos, porque siempre se pueden
descomponer en sus factores primos, es decir, se pueden factorizar.

Son números compuestos: 6, 10, 12, 35, 99, 144, 2000, etc.

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 4

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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Teorema: Todo número natural C > 1, primo o compuesto, se puede expresar de

la siguiente manera: C= p1a1 × p 2 a 2 × p3a 3 × ... × p n a n , donde p1, p 2, p3, ..., p n , son
divisores primos de C y los exponentes a1, a 2, a 3, ..., a n son números naturales.

En otras palabras: Todo natural C, distinto de 0, 1, se puede expresar en la

forma,

Descomposición de un número Compuesto en sus factores primos (Regla)

Se divide el número dado por el menor de sus divisores primos, el cociente se divide
también por el menor de sus divisores primos y así sucesivamente con los demás cocientes
hasta llegar a un cociente primo, que se dividirá por sí mismo.

Ejemplo: Descomponer en sus factores primos los número 204 y 900

204 2 900 2
102 2 450 2
51 3 225 3
17 17 75 3
1 1 204 = 22 × 3 × 17 25 5 900= 22 × 32×52
5 5
1 1
Ejemplo. Comprobar la descomposición en factores primos de cada uno de los siguientes
números:
a) 468 = 22×32 × 13 ×1 b) 1450= 2 × 52 × 29 ×1
c) 800 = 25 × 52 × 1 d) 1200 =24 × 3× 52×1

¿Cuántos divisores tiene un número compuesto?

El Teorema Fundamental de la Aritmética nos permite determinar cuántos divisores tiene

un número, escribiendo su descomposición en factores o factorización canónica,
C= p1a1 × p 2 a 2 × p3a 3 × ... × p n a n , el número “C” tendrá “D” divisores que se obtienen
de la expresión, D = (a1 +1)(a2 +1)(a3+ 1)…..(an+ 1). D es el resultado de multiplicar cada
uno de los exponentes aumentado en uno.

Ejemplos:
a) El número 60 al descomponerlo en sus factores primos obtenemos: 60=22 × 3 × 5, tendrá:
D= (2+1)(1+1)(1+1) = 3 × 2 × 2 = 12 divisores, desarrollando los factores tendremos: 20, 21,
22, 31, 51, 2×3, 22×3, 2×5, 22×5, 3×5, 2×3×5, 1 2 4
22×3×5. 3 6 12
Escribamos todos los factores primos de 60. 5 10 20
15 30 60

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 5

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b) El número 144 al descomponerlo se puede escribir como 144=24 × 32, que tendrá
D=(4+1)(2+1)=5×3=15 divisores, que se originan de: 20, 21,22, 23, 24, 30, 31,32. Veamos:
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48
9 18 36 72 144

c) El número 720=24×32×5, se puede afirmar que este número tendrá

(4+1)(2+1)(1+1)=5×3×2= 30 divisores, que serán: 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, a los cuales
agregamos las combinaciones entre ellos.

Encontremos los factores primos de 720, que se origina de: 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 50, 51.
Veamos:
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48
9 18 36 72 144
5 10 20 40 80
15 30 60 120 240
45 90 180 360 720

3.2 - MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD)

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que los divide a
todos exactamente. Se puede definir también como el número más grande posible que
divide a dos o más números exactamente.

Por ejemplo, entre el 8 y el 12, el mayor número que los divide exactamente es el 4.
Entre el 30 y el 60, el mayor número que los divide exactamente es el 30.
Entre el 10 y el 15, el número mayor que los divide exactamente es el 5.

Métodos para hallar el MCD.

I- Cuando los números son pequeños puede hallarse el MCD simplemente fijándonos en
el número menor, si este divide a todos los demás, será el MCD.

Ejemplos:
a) El MCD entre: 4, 16, 20, se observa que el 4 (el más pequeño) divide exactamente al
16 y al 20, el MCD es el 4.

b) El MCD entre 20, 40, 80, es el 20 (el mas pequeño) y divide exactamente al 40 y al 80.
Cuando no es fácil obtener el MCD, se puede hallar usando los siguientes métodos:

II – Por divisiones Sucesivas, este método está fundamentado en el siguiente teorema.

Teorema: El Máximo Común Divisor, del Dividendo y del Divisor en una división
inexacta es igual al mcd del divisor y el residuo.

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 6

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Ejemplo 1. Hallar por divisiones sucesivas el MCD de: 1431 y 212

1431 212 212 159 159 53 El MCD = 53, luego,=

1272 6 159 1 159 3 53 divide exactamente
159 53 0
a 1431 y a 212. Pruébelo!
Ejemplo 2. Hallar por divisiones sucesivas el MCD de: 2227 y 2125
2227 2125 2125 102 102 85 85 17
2125 1 204 20 85 1 85 5 El MCD corresponde al 17.
102 0085 17 0

III – MCD por sustracciones sucesivas:

Definimos por recurrencia una sucesión de pares de números enteros, en la que cada
término se obtiene del anterior aplicando la siguiente regla:
(x, y) → (x-y, y) , si x ≥ y
(y, x) → (x, y-x ), si x < y

Ejemplo 1: Hallar el MCD de los números 270 y 1 575 por sustracciones sucesivas.

(1575, 270) → ( 1575-270, 270 )→ (1305, 270) → (1305-270, 270) → (1035, 270) → (765, 270)
→ (495, 270), → (270, 225) → (225, 45) →(180, 45) → ( 135, 45), →(90, 45) →(45,45) ,
concluimos que el MCD es 45.

Ejemplo 2: Hallar el MCD de los números 1164 y 3686, por sustracciones sucesivas.

(3686, 1164) → (2522, 1164,) → (1358, 1164) → (1164, 194) →( 970, 194 ) →
(776, 194 ) , → (582, 194 ) →(388 , 194,) → (194 ,194 ) : El MCD es 194.

Para ambos ejemplos debe verificar que el número obtenido cumple con la definición de
MCD.

III – MCD por descomposición factorial de varios números.

Se descomponen los números dados en sus factores primos. El MCD se forma con el
producto de los factores primos comunes con su menor exponente.

Ejemplo 1. Hallar el MCD de 98, 294, 392, 1176. Descomponemos cada uno de los
números en sus factores primos.
98 2 294 2 392 2 1176 2
49 7 147 3 196 2 588 2
7 7 49 7 98 2 294 2
1 7 7 49 7 147 7
1 7 7 21 7
1 3 3
1

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 7

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Escribimos cada número como el producto de sus factores primos, así:

98 = 2 x 7 2  El MCD, es el producto de los

2
294 = 2 x 3 x 7  factores primos comunes con su
 menor exponente.
392 = 2 3 x 7 2 
3 2 
MCD = 2 x 72 = 98
1176 = 2 x 3 x 7 

3.3. MINIMO COMUN MÚLTIPLO (MCM)

El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números es el menor múltiplo (distinto
de cero) que contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos.
El MCM, es el número más pequeño por el cual dos o más números se pueden dividir en
forma exacta o el múltiplo más pequeño que tienen dos números en común.

Por ejemplo, 36 es un múltiplo que contiene exactamente al 6 y el 9, pero el 18 es el menor

múltiplo que contiene al 6 y al 9.

El MCM entre el 36 el 18 es el 18, observemos que los múltiplos de cada uno de estos
números son:
36 : 36, 72, 108, …..
18: 18, 36, 54, 72, ….
El 18 es el menor múltiplo común a ambos números.

Métodos para hallar el mínimo común múltiplo

I- Cuando se trata de hallar el MCM de números pequeños, estos se pueden hallar
fácilmente, observando si el número mayor contiene exactamente a los demás. Si es así el
mayor será el MCM de los otros números.

Ejemplo: Encontrar el MCM de 2, 6, 18 y 36

Tomemos el número mayor 36 y dividamos este por cada uno de los otros números,
podremos confirmar que 36 es divisible por el 2, el 6, el 18, por lo tanto 36 es el MCM de
los números dados.

II - Mínimo Común Múltiplo por descomposición factorial.

El MCM de varios números escritos en sus factores primos es igual al producto de los
factores primos comunes y no comunes afectados por su mayor exponente.
14 28 30 120 2 
Ejemplo 1. 
Hallar el MCM de los números 7 14 15 60 2 
14, 28, 30 y 120 1 7 5 30 2 

 MCM = 23 x 3 x5 x 7 = 840
1 1 15 3 
Escribimos los números y los 
descomponemos simultáneamente, 5 5

el MCM es el producto de los factores 1 7 
primos no comunes y no comunes con su mayor exponente.

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 8

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Ejemplo 2: Determinar el MCM de los números 72, 108 y 60.

72 60 108 2 

36 30 54 2 
18 15 27 2 
 el MCM= 23 × 33 ×5 = 1080
9 5 9 3 
3 5 3 3 

3 
1 1 1 
5 
III - Mínimo Común Múltiplo por el Máximo Común Divisor, está fundamentado en el
siguiente teorema:

Teorema: El MCM de dos números es igual a su producto dividido por su máximo

común divisor. Si a, b son los números, entonces axb=mcm(a,b)xmcd(a,b).

Ejemplo 1: Determinar el MCM de los números siguientes: 436 y 327.

Primero: Encontremos el MDC de 436 y 327, por cualquiera de los métodos

estudiados. ( 436, 327) → (327, 109) → (218, 109) → (109, 109), el MCD es 109.

Segundo: Multipliquemos los números dados 436 x 327 = 142 572

Tercer: El producto anterior lo dividimos por el mcd. 142 572 ÷ 109= 1 308
 Comprobemos este resultado.

ACTIVIDAD PRÁCTICA
1) ¿Cuántos divisores tienen los siguientes números compuestos?:
a) 700 b) 1 048 c) 1 640

2) Hallar todos los divisores simples y compuestos de los números siguientes:

a) 420 b) 972 c) 659

3) Hallar por divisiones sucesivas el MCD de los números:

a) 78, 130 y 143 Rta. 13 b) 465, 651 y 682 Rta. 31

4) Encontrar el MCM por medio del MCD de:

a) 10108 y 15162 Rta. 30324 b) 930 y 3100 Rta. 9300

5) Hallar el MCM de: a) 1058, 1587, 5290 Rta. 15870 b) 14, 28, 30, 120 Rta. 840

6) Hallar por divisiones sucesivas el MCD de los números: 1560, y 5400. Rta. 120.

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 9

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Algunas aplicaciones prácticas del MCD y el MCM.

Ejemplo 1: Una cerca de 24 m y otra de 18 m de largo deben ser construidas con piezas
prefabricadas de la misma longitud. Existen piezas de 1m, 2 m., 3 m., 6 m. y 9 m. ¿Cuál es la
pieza más larga posible que se puede utilizar para ambas cerca y cuantas piezas se necesitaran en
total?

Solución:
La primera cerca mide 24 m. La segunda cerca mide 18 m. Como quieren que se utilice la pieza
más grande, necesitamos saber cuál es máximo común divisor entre estas longitudes.

El MCD entre 24 y 18, escribimos estos números en sus factores primos, 24= 23 ×3 , 18= 2× 32,
el MCD= 2x3 = 6. Luego se debe utilizar piezas de 6m. con lo cual se necesitan,
Para la de 24 m: 24÷6 = 4, para la de 18 m: 18 ÷6 = 3, se usaran 4+3= 7 piezas de 6 metros.

Ejemplo 2:
Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada 4 segundo,
a las 6:00 p.m. de la tarde los tres han coincidido. ¿Cuántas veces volverán a coincidir en
los siguientes 5 minutos?

Solución:
Los faros se encienden cada 12, 18 y 4 segundos respectivamente, lo que queremos
averiguar cada cuantos segundo ello coincidirán, en otros palabras necesitamos saber cuál
es el mcm entre estas cantidades, usando la regla descrita anterior mente se puede
comprobar que, el MCM= 22 × 32 = 4×9 = 36.
Los tres faros coincidirán cada 36 segundos, como nos dicen que en los siguientes 5
minutos cuantas veces coincidirán, calculemos: en 5 minutos hay 5× 60=300 segundos,
luego 300 ÷ 36 = 8,333, coincidirán 8 veces.

3.4 - Criterios de Divisibilidad

La divisibilidad es la parte de la Aritmética que estudia las condiciones o criterios para que
los números sean divisibles por otros.
Enunciamos a continuación algunos criterios de divisibilidad para números pequeños,
algunos de los cuales son conocidos por nosotros en los primeros años de secundaria.

Divisibilidad por 2. Un numero N es divisible por 2, si y solo si termina en cero o en

número par. Es decir si termina en 0, 2, 4, 6 u 8, etc. Por ejemplo 58 es divisible por 2 pero
47 no lo es.

Divisibilidad por 3. Un entero N es divisible por 3, si y solo si la suma de las cifras de N es

divisible por 3.

Por ejemplo, 228 es divisible por 3 ya que 2+2+8 = 12, que es múltiplo de 3; sin embargo
343 no lo es, puesto que 3+4+3= 10, que no es múltiplo de 3.

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 10

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Divisibilidad por 4. Un entero N es divisible por 4, si y solo si el número formado por las
dos ultimas cifras de N, es divisible por 4, también es divisible por 4 el número cuyas dos
últimas cifras son ceros.

Por ejemplo 3128 es divisible por 4 ya que 28 lo es; sin embargo 411 no lo es pues 11 no lo
es. 400, 200 son divisibles por 4, porque sus dos últimas cifras son ceros.

Divisibilidad por 5. Un entero N es divisible por 5, si y solo si termina en 0 o 5. Por ejemplo

2515 es divisible por 5 pero 417 no.

Divisibilidad por 6 . Un entero N es divisible por 6, si y solo si N es divisible por 2 y por 3,

esto quiere decir que debe cumplir con las reglas de divisibilidad del 2 y del 3. Por
ejemplo 43674 es divisible por 6, pues es múltiplo de 2 porque termina e cifra par; es
divisible por 3 porque al sumar sus cifras da 24 que es múltiplo de 3.

Divisibilidad por 7 . Un numero N es divisible por 7, si al quitar el dígito de las unidades,

multiplicarlo por dos y luego restando este producto del número que quedó al quitar la
unidad, se obtiene un múltiplo de 7.

Por ejemplo, 5 236 es divisible entre 7; al quitar el digito de las unidades que es 6 y
multiplicarlo por 2 , obtenemos 12 , entonces restando este producto al número que
quedó, 523 – 12 = 511, a su vez 511 será divisible por 7 ; si con este numero efectuamos
operación similar a la anterior , así: 51-1x2 = 51-2= 49 que es múltiplo de 7 ; luego 511 y
5236 son divisibles por 7.

Divisibilidad por 8 . Un entero N es divisible por 8, si y solo si el número formado por

las ultimas tres cifras de N, es divisible por 8, también son divisibles por 8 los números
cuyas tres últimas cifras son ceros. 8 000, 23 000, son divisibles por 8.
Por ejemplo 27 256 es divisible por 8 pues 256 lo es; sin embargo 23 420 no es divisible por
8 ya que 420 no lo es.

Divisibilidad por 9. Un entero N es divisible por 9, si y solo si la suma de las cifras de N

es divisible por 9.

Por ejemplo 23985 si es divisible por 9 ya que 2+3+9+8+5=27, que es múltiplo de 9; sin
embargo 386754 no es múltiplo pues 3+8+6+7+5+4=33, que no es múltiplo de 9.

Divisibilidad por 10. Un entero a es divisible por 10 si y solo si sus últimas cifras ceros.
Por ejemplo 29853780 es divisible por 10 pero 38475 no lo es.

Divisibilidad por 11. Un entero N es divisible por 11, si y solo si la diferencia de la suma de
las cifras en posición impar menos la suma de las cifras en posición par de N es divisible
por 11 o igual a cero (empezando de izquierda a derecha).

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 11

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Por ejemplo 82 817 053 es divisible por 11 ya que (3+0+1+2)−(5+7+8+8) =6−28=−22, que es
divisible por 11. 27 038 es divisible por 11, ya que (8+0+2)−(3+7)=10−10 = 0.

Divisibilidad por 12. Un número N es divisible por 12 si y solo si N es divisible por 3 y por
4, es decir debe cumplir con las reglas de divisibilidad del 4 y el 3. Por ejemplo 771 084 si es
divisible por 12 ya que es múltiplo de 4 y de 3 (verificar las reglas); sin embargo, 438 no lo
es ya que es múltiplo de 3 pero no de 4.

Investigar: ¿Cuándo un número entero será divisible por 13, 17 , 19 o 21?

Ejercicios:
1) Dado el número N = 2495, cuál es el menor dígito que debe colocarse en la
casilla para que N sea divisible por 3.

2) Dado el número N= 304251, cuál es el menor dígito que debe colocarse en la

casilla para que N sea divisible por 9

3) Dado el número N= 294, cuál es l menor dígito que debe colocarse en la

casilla para que N sea divisible por 11.

4) Dado el número N= 4 05, cuál es el menor dígito debe colocarse en la casilla

para que N sea divisible por 11.

5) Es el número 17 568 es divisible por 6? Explique

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Averiguar si los números dado es primo ó no.

a) 191 b) 179 c) 853 d) 391.

2. Encontrar todos los divisores de: a) 25 230 b) 1 008 c) 1 525.

3. Encontrar el MCD y MCM de los números anteriores.

4. Encontrar el MCD de : a ) ( 44 : 531) b ) (132 : 64 ) c ) ( 248 :122 )

5. Encontrar el MCD y MCM de 342, 980, 1236.

6. ¿Cuál es el menor número entero que debe agregarse a 5 005 005 para convertirlo
en un número divisible por 7 007? Razona tú la solución. Rta. 5 000

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 12

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APLICANDO NUESTROS CONOCIMIENTOS:

Lea cuidadosamente y analiza cada uno de los siguientes problemas luego resuelva
detallando el procedimiento realizado:

1. En un restaurante se elaboran panes de 12, 15 y 18 cm de longitud, se quiere hacer trozos

iguales y tan grandes como sea posible, tomando en cuenta los tamaños que elaboran. ¿Cuál
será la longitud de cada trozo? Y cuantos panes se obtendrán con los panes que se
elaboraban antes? Razone su respuesta.

2. Se tienen tres recipientes de bebida en los que hay 184 litros, 253 litros y 345 litros,
respectivamente. Se quiere envasar el contenido de los tres recipientes en recipientes de
igual capacidad. Cuál será la mayor capacidad en litros de los envases, de forma que no
sobre ni falte ningún litro? ¿Cuántos envases se necesitan? .

3. Se tiene un terreno de forma rectangular cuyas longitudes son 24m por 36 m. y se quiere
dividir en parcelas cuadradas de la mayor área posible para así sembrar un mismo número
de árboles. ¿Cuál es la mayor área posible de cada parcela y cuántos árboles se sembrarían
si en cada parcela se plantan 2 árboles cada metro cuadrado?

4. Se quiere alumbrar un terreno de forma trapezoidal cuyos lados miden 140 metros, 133
metros, 210 metros y 182 metros. Se desea colocar postes a lo largo del perímetro de manera
que cada vértice tenga un poste, además que exista la misma distancia entre postes
consecutivos y ésta sea el mayor entero posible. ¿Cuántos postes se necesitan para alumbrar
dicho terreno?

5. En un árbol de Navidad hay bombillas rojas, azules y blancas. Las rojas se encienden
cada 15 segundos, las azules cada 18 y las blancas cada 30 segundos. ¿Cada cuántos
segundos coinciden las tres bombillas encendidas? ¿Cuántas veces se encienden a la vez
durante una hora?

Respuestas:
1 2 3 4 5
23 litros 144 m2, 90 segundos.
3 cm. 91 postes
34 envases 1 728 árboles 40 veces

Otros problemas:
1. Tenemos un tablero de madera de 50 cm de largo por 35 cm de ancho, y lo queremos
dividir haciendo cuadraditos del mayor tamaño posible. ¿Qué lado tendrán dichos
cuadraditos?
Los cuadraditos serán de 5 cm de lado.

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 13

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2. Un comerciante va a comprar mercancía a unos almacenes cada 42 días y otro va cada

70 días. Si coincidieron el día 15 de septiembre, ¿al cabo de cuántas semanas volverán
a coincidir?.
Volverán a coincidir al cabo de 30 semanas.
3. En un terreno rectangular de 280 m de largo por 18 m de ancho se quiere poner una
valla alrededor, de forma que los postes estén todos a igual distancia y con la mayor
separación posible entre ellos. ¿A qué distancia deberemos colocar unos de otros?
Debemos colocarlos a 2 m de distancia unos de otros.

4. Un ciclista da una vuelta completa a una pista cada 54 segundos, y otro lo hace
cada 72 segundos. Si parten juntos de la línea de salida:
a. ¿Al cabo de cuánto tiempo volverán a coincidir?
b. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista en ese momento?
a. Volverán a coincidir al cabo de 216 segundos, es decir, al cabo de 3 minutos y 36 segundos.
b. 216 : 54 = 4 vueltas habrá dado el primer ciclista 216 : 72 = 3 vueltas habrá dado el segundo ciclista
5. Para la campaña de Navidad, queremos envasar dos bebidas diferentes en botellas
iguales. Pero, para abaratar los costes, el número de botellas utilizadas debe ser el
mínimo posible. De la primera bebida tenemos 770 litros, y de la segunda, 234 litros.
¿Cuántas botellas utilizaremos?

“Excelente maestro es aquel que, enseñando poco, hace nacer en el alumno un gran deseo
de aprender”. Arturo Graf

Módulo I, Encuentro No. 3 Aritmética 14