Modelo de Transportación

Modelo de Transportación.
El problema del transporte o distribución es un problema de redes

especial en programación lineal que se funda en la necesidad de
llevar unidades de un punto específico llamado Fuente u Origen
hacia otro punto específico llamado Destino.
El método del transporte es una aplicación singular de la

programación lineal cuyo objetivo es determinar el esquema de
transporte que minimice el coste total de este, conocidos los costes
unitarios desde el origen i hasta el destino j. Además, se sabe que el
producto está disponible en una determinada cantidad bi en cada
uno de los m orígenes, y es necesario que sea llevado a cada uno de
los n destinos posibles en una cantidad demandada dj.
La formulación de un problema de transporte, siguiendo un modelo
de programación lineal será:
Donde:
— Z: función de costes totales que se desea minimizar.

— cij: coste de transportar una unidad de producto desde el
origen i (i=1, 2,..., m) hasta el destino j (j=1, 2,..., n).
— xij: cantidad transportada de producto desde el origen i hasta
el destino j.
— bi: cantidad disponible de producto en cada origen i.
— dj: cantidad demandada de producto en cada destino j.
Los problemas de transporte pueden ser resueltos mediante el
Algoritmo del Simplex. Sin embargo, dadas las peculiaridades de
este problema han aparecido otros algoritmos específicos que
facilitan el proceso.
Obtención de la solución inicial.
Pueden emplearse cuatro métodos: Método de la esquina noroeste,
Método del mínimo de filas, Método del mínimo de columnas y el
Método de Vogel.
Si la solución factible contiene (m+n-1) variables básicas, se
denomina no degenerada, y si está formada por menos de (m+n-1)
variables básicas será degenerada.
Método de la esquina noroeste

Se empieza por el elemento de la esquina superior izquierda (x11) y
se elige entre el menor valor de su disponibilidad (b1) y su demanda
(d1), es decir, x11=Min (b1, d1). Se repite este proceso hasta
completar el valor de la fila (disponibilidad) o de la columna
(demanda), hasta alcanzar una solución inicial factible.
Entre las ventajas de su implementación se encuentra la rapidez y
facilidad de este método, siendo su principal inconveniente que no
tiene en cuenta los costes derivados del transporte en la asignación
de rutas.
Método del mínimo de filas

Se elige la casilla de menor coste unitario de la primera fila, y se
asigna el valor de esa casilla como el menor entre su disponibilidad
y su demanda, hasta completar la fila o la columna
correspondiente.
Método del mínimo de columnas
Es similar al método anterior, pero como su propio nombre indica,
el procedimiento comienza por la primera columna.
Método de Vogel
Es el método que genera una solución inicial factible más próxima a

la óptima. Para aplicar este procedimiento se siguen los siguientes
pasos:
a) Se calculan las diferencias en valor absoluto entre los dos
menores costes unitarios, para cada fila y columna, eligiendo
aquella de mayor valor.
b) En la fila o columna seleccionada, se elige la variable con
menor coste unitario, y se asigna su valor hasta satisfacer la
demanda o agotar la disponibilidad, no teniéndose en cuenta, una
vez que ha sido completada, esa fila o columna en las siguientes
iteraciones.
c) Se continúa con el proceso hasta alcanzar una solución
inicial factible.
Prueba de optimalidad
Una vez que se ha alcanzado una solución inicial, se debe
comprobar que es la óptima, es decir, si cumpliendo los
condicionantes establecidos de disponibilidad de cada origen i y de
demanda de cada destino j, la solución actual es la que genera el
menor coste total de transporte. Para ello, se aplica el denominado
Algoritmo Stepping-Stone o Algoritmo del escalón, cuyos principios
se fundamentan en el Algoritmo de Simplex o Algoritmo de
Dantzingg.
Como se trata de un problema que sigue el principio de ahorro, es

decir, la minimización de los costes, se alcanzará la solución
óptima cuando el rendimiento marginal de las variables no básicas
(las que no forman parte de la ruta de transporte) sea no negativo.
Por lo tanto, si alguna de estas variables no básicas tuviera un
rendimiento marginal negativo, se incluiría dentro de la solución,
ya que este hecho permitiría reducir el coste de la distribución de
productos.
Para realizar la prueba de optimalizad siguiendo el Algoritmo

Stepping-Stone, se parte de la solución inicial factible alcanzada
por alguno de los métodos desarrollados con anterioridad.
Métodos de optimización del modelo.
Los problemas de toma de decisiones se pueden clasificar en

dos categorías: modelos de decisión determinísticos y
modelos de decisión probabilísticos. En los modelos
determinísticos, las buenas decisiones se basan en sus
buenos resultados. Se consigue lo deseado de manera
"determinística", es decir, libre de riesgo. Esto depende de
la influencia que puedan tener los factores no controlables,
en la determinación de los resultados de una decisión y
también en la cantidad de información que el tomador de
decisión tiene para controlar dichos factores.
Aquellos que manejan y controlan sistemas de hombres y

equipos se enfrentan al problema constante de mejorar (por
ejemplo, optimizar) el rendimiento del sistema. El problema
puede ser reducir el costo de operación y a la vez mantener
un nivel aceptable de servicio, utilidades de las operaciones
actuales, proporcionar un mayor nivel de servicio sin
aumentar los costos, mantener un funcionamiento rentable
cumpliendo a la vez con las reglamentaciones
gubernamentales establecidas, o "mejorar" un aspecto de la
calidad del producto sin reducir la calidad de otros
aspectos. Para identificar la mejora del funcionamiento del
sistema, se debe construir una representación sintética o
modelo del sistema físico, que puede utilizarse para
describir el efecto de una variedad de soluciones
propuestas.
Optimización
La humanidad hace tiempo que busca, o profesa buscar, mejores

maneras de realizar las tareas cotidianas de la vida. A lo largo de
la historia de la humanidad, se puede observar la larga búsqueda
de fuentes más efectivas de alimentos al comienzo y luego de
materiales, energía y manejo del entorno físico. Sin embargo,
relativamente tarde en la historia de la humanidad, comenzaron a
formularse ciertas clases de preguntas generales de manera
cuantitativa, primero en palabras y después en notaciones
simbólicas. Un aspecto predominante de estas preguntas generales
era la búsqueda de lo "mejor" o lo "óptimo". Generalmente, los
gerentes buscan simplemente lograr alguna mejora en el nivel de
rendimiento, es decir, un problema de "búsqueda de objetivo". Cabe
destacar que estas palabras normalmente no tienen un significado
preciso.
La Programación Matemática, en general, aborda el problema de

determinar asignaciones óptimas de recursos limitados para
cumplir un objetivo dado. El objetivo debe representar la meta del
decisor. Los recursos pueden corresponder, por ejemplo, a
personas, materiales, dinero o terrenos. Entre todas las
asignaciones de recursos admisibles, queremos encontrar la/s que
maximiza/n o minimiza/n alguna cantidad numérica tal como
ganancias o costos.
El objetivo de la optimización global es encontrar la mejor solución
de modelos de decisiones difíciles, frente a las múltiples soluciones
locales.
Programación Lineal (PL)
La programación lineal muchas veces es uno de los temas

preferidos tanto de profesores como de alumnos. La
capacidad de introducir la PL utilizando un abordaje
gráfico, la facilidad relativa del método de solución, la gran
disponibilidad de paquetes de software de PL y la amplia
gama de aplicaciones hacen que la PL sea accesible incluso
para estudiantes con poco conocimiento de matemática.
Además, la PL brinda una excelente oportunidad para
presentar la idea del análisis what-if o análisis de hipótesis
ya que se han desarrollado herramientas poderosas para el
análisis de post optimalidad para el modelo de PL.
La Programación Lineal (PL) es un procedimiento

matemático para determinar la asignación óptima de
recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra
su aplicación práctica en casi todas las facetas de los
negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la
producción. Problemas de transporte, distribución, y
planificación global de la producción son los objetos más
comunes del análisis de PL. La industria petrolera parece
ser el usuario más frecuente de la PL. Un gerente de
procesamiento de datos de una importante empresa
petrolera recientemente calculó que del 5% al 10% del
tiempo de procesamiento informático de la empresa es
destinado al procesamiento de modelos de PL y similares.
Qué es una función: una función es una cosa que hace
algo. Por ejemplo, una máquina de moler café es una
función que transforma los granos de café en polvo. La
función (objetivo) traza, traduce el dominio de entrada
(denominado región factible) en un rango de salida con dos
valores finales denominados valores máximo y mínimo.
Cuando se formula un problema de toma de decisiones

como un programa lineal, se deben verificar las siguientes
condiciones:
1. La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se

debe verificar que todas las variables estén elevadas a la
primera potencia y que sean sumadas o restadas (no
divididas ni multiplicadas);
2. El objetivo debe ser ya sea la maximización o

minimización de una función lineal. El objetivo debe
representar la meta del decisor; y
3. Las restricciones también deben ser lineales. Asimismo,

la restricción debe adoptar alguna de las siguientes formas
( £, ³, O =, es decir que las restricciones de PL siempre
están cerradas).
Por ejemplo, el siguiente problema no es un problema de

PL: Max X, sujeta a < 1. Este problema tan sencillo no tiene
solución.
Como siempre, se debe tener cuidado al categorizar un

problema de optimización como un problema de PL. ¿El
siguiente problema es un problema de PL?
Max X2
sujeta a:
X1 + X2 £ 0
X12 - 4 £ 0
Aunque la segunda restricción parece "como si" fuera una

restricción no lineal, esta restricción puede escribirse
también de la siguiente forma:
X1 ³ -2, y X2 £ 2.
En consecuencia, el problema es de hecho un problema de
PL.

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El problema del transporte o distribución es un problema de redes

El método del transporte es una aplicación singular de la

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Método de la esquina noroeste

Método del mínimo de filas

Es el método que genera una solución inicial factible más próxima a

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1. La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se

2. El objetivo debe ser ya sea la maximización o

3. Las restricciones también deben ser lineales. Asimismo,

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