ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD TRES
SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

Presentado a:
Robinson Junior Conde

Tutor(a)

Entregado por:

Juan Pablo Tasco Sarmiento

Código: 1095829821

Leidy Milena Diaz Guarin

Código: 1098705206

Julian Andrés Rodríguez Ramirez.

Código: 1095922763

Oscar Alberto Torres

Código: 91538669

Grupo: 100412_12

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
02 Marzo 2020
 INTRODUCCIÓN

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que hay una o varias variables independientes de
las que dependen otras variables dependientes, y en la que intervienen derivadas. Generalmente, a
la variable independiente se la llamará x y a la variable dependiente Y. La construcción de
modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los
aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con
frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas
desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales.
 OBJETIVOS

Aplicar las técnicas y procedimientos correspondientes para determinar la solución de ciertos

tipos de ecuaciones diferenciales, que aparecen con frecuencia al estudiar fenómenos
relacionados con diferentes áreas de la Ingeniería.

Objetivos Específicos

 Comprobar que una función es solución de una ecuación diferencial.

 Determinar los elementos que proporciona una ecuación desde el punto de vista.
 Construir modelos sencillos de problemas específicos que se presentan en otras
disciplinas a través de ecuaciones diferenciales.
 Comprobar que una función es solución de una ecuación diferencial.
 PASO 2
ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE
INDIVIDUAL
Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante Rol a Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1.

desarrollar
Oscar Alberto Torres Evaluador El estudiante desarrolla el ejercicio a en
todos los 3Tipo de ejercicios.
Julián Andrés Rodríguez Entregas El estudiante desarrolla el ejercicio b en
Ramírez todos los 3Tipo de ejercicios
 Leidy Milena Díaz Compilador El estudiante desarrolla el ejercicio c en
todos los 3Tipo de ejercicios
Juan Pablo Tasco Sarmiento Alertas El estudiante desarrolla el ejercicio d en
todos los 3Tipo de ejercicios
Ejemplo:
Desarrollo el ejercicio a en todos los 3
Tipo de ejercicios.
 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA

PASO 3
EJERCICIOS INDIVIDUALES
A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE

POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES

El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se

empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas
soluciones ya se conocen, con el fin de ver  lo que está ocurriendo.

Para una ecuación dada:

y , , + p ( x ) y , + q ( x ) y=0

se representa primero p ( x ) y q ( x ) por series de potencias en potencias de x (o de ( x−x 0 ) si se

desea obtener soluciones de potencias de x−x 0 ¿. En muchas ocasiones p ( x ) y q ( x )son
polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una
solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.

∞
y= ∑ am x m=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ …
m=0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:

 ∞
y , = ∑ m am x m−1=a1 +2 a2 x+ 3 a3 x 2 +…
m=1

∞
y , ,= ∑ m ( m−1 ) am x m−2=2 a2 +3∗2 a3 x+ 4∗3 a4 x 2 +…
m=1

Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de x y la suma

de los coeficientes de cada potencia de x que se presente se iguala a cero, empezando con los
términos constantes, los términos que incluyen a x, los términos que incluyen a x 2 etc. Se
obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los
coeficientes desconocidos en y.

De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Oscar Alberto Torres

a. y ´ ´ + 2 y ´ + y=0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓNMATEMÁTICA

y´ ´+ 2 y´ + y Se desea dar solución a la ecuación

diferencial a partir del concepto de la serie de
potencias
Por lo tanto, se debe aplicar la siguiente
Primera derivada : fórmula:
∞
∞
y ´=∑ n c n x n−1 y=∑ cn x n
n=1
n=0
Segunda derivada:
∞ y será derivada dos veces ya que la ecuación
y ´ ´=∑ n(n−1) c n x n−2 diferencial es de segundo orden
n =2
y´ ´+ 2 y´ + y Luego se sustituyen las derivadas halladas en
la ecuación diferencial original
∞ ∞ ∞

n =2
( n=1
)
∑ n(n−1)c n x n−2 +2 ∑ n c n x n−1 +∑ n cn x n−1
n=1

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

∑ n(n−1)c n x n−2 +2
n =2
( n=1
)
∑ n c n x n−1 +∑ n cn x n−1
n=1
Y se la propiedad ∑ f ( n)=∑ f (n+k ) para
n=k n=0
que el exponente x sea el mismo en todas
∞ ∞ ∞
las sumatorias entonces se iguala al
∑ n(n−1)c n x n−2 + ∑ 2 n c n x n−1 +∑ n c n xn −1
mayor exponente de n y luego la
n =2 n=1 n=1

∞ ∞ ∞
expresión general se iguala a cero como
n +2−2 n+1−1 n
lo indica la ecuación diferencial
∑ (n+2)(n+1)c n+2 x + ∑ 2(n+1)c n +1 x +∑ cn x =0
n=0 n =0 n=0

∞ ∞ ∞

∑ ( n+2 )( n+1 ) cn +2 x n +∑ 2(n+ 1)c n+1 xn +∑ cn xn =0

n=0 n=0 n =0

∞
Se factoriza el termino x n
∑ [(n+ 2)(n+ 1) c n+2 ¿ +2 ( n+1 ) c n+1 +cn] x n=0 ¿
n=0

( n+2 ) ( n+1 ) c n+2=¿-2 ( n+1 ) c n+1−cn Y se encuentra la expresión el subíndice

mayor c n+ 2
−2 ( n+1 ) c n+ 1−cn
c n+ 2=
( n+ 2 )( n+1 )
−2 c 1−c 0 −2 c1−c 0 Se le dan valores a n y se encuentra la
Con n=0 ; c 2= =
( 2 )( 1 ) 2 solución general

c 0−4 c 1
Con n=1 ; c 3=
6

y=c 0+ c1 x+ c 2 x 2+ c 3 x 3 +c 4 x 4

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

JULIAN ANDRES RODRIGUEZ RAMIREZ

b. y ' ' −x 2+ y ' =0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓNMATEMÁTICA
 ∞
y '=∑ nc n x n−1
n=1 Lo primero que se hace es suponer que y es
∞ igual a la sumatoria de una serie de potencias
y ' '=∑ n(n−1)c n x n−2 de x y luego se deriva de acuerdo con la
n=2
ecuación que tenemos y se sustituye en la
∞ ∞
ecuación diferencial.
∑ n(n−1)c n x n−2−x 2 +∑ nc n xn −1 =0
n =2 n=1

∞ ∞
Se obtiene una ecuación con dos sumatorias
∑ n ( n−1 ) c n x n−2=∑ ¿¿ las cuales necesitan juntarse para después
n =2 n=0
poder igualar el coeficiente general a 0. Para
∞ ∞ ∞
n−1 n juntar dos sumatorias ambas deben empezar o
∑ ncn x =∑ nc n x =∑ ¿ ¿
tener el mismo valor de índice (n) y los
n =1 n=1 n=0
exponentes de la x también deben ser iguales.

∞ Para esto se hace uso de la siguiente

2
−x + ∑ ¿ ¿ propiedad:
n=0
∞ ∞

∑ f ( n )=∑ f (n+k )
n=k n=0
∞
2
−x + ∑ ¿ ¿ El siguiente paso es igualar los coeficientes a
n=0
0 pero en este paso debemos tener cuidado al
tener términos a fuera de la sumatoria como
−x 2+ 2 c2 +c 1 + ( 6 c 3 +2 c 2 ) x + ( 12 c 4 +3 c 3 ) x 2 en este caso el −x 2 porque esta variable tiene
coeficiente -1 y dentro de la sumatoria hay
∞
otro termino que también tiene x entonces al
+∑ ¿ ¿
n=3
igualar a 0 tenemos que igualar todo el
coeficiente completo de la x entonces lo que
se necesita aquí es desarrollar los primeros
términos de la sumatoria para después sumar
el −x 2 con el termino de x que corresponda
de adentro y lo podemos igualar a 0.

2 c 2+ c 1+ ( 6 c 3+2 c 2 ) x+ ( 12c 4 + 3 c3 −1 ) x 2 Se factorizan y se igualan todos los términos

a 0.
∞
+∑ ¿ ¿ Ya se obtuvo la relación de recurrencia entre
n=3
los coeficientes remplazando la n por el valor
que dice la sumatoria.
−c 1 Luego se sustituyen por los valores ya
2 c 2+ c 1=0 :c 2=
2 obtenidos.
 −1
∗−c1
−c 2 3 c
6 c 3 +2 c 2=0 :c 3= = = 1
3 2 3!
1
−1
3 2
∗c 1 c
1−3 c 3 4 3
12 c 4 +3 c 3−1=0: c 4= = = 1
12 3! 4!

¿
c n+ 2=−¿ ¿

−1 2 2
∗ c − c
−c 4 5 3 1 3 1
n=3 , c 5= = =
5 4! 5!

−1 2 2
∗− c c
−c 5 6 3 1 3 1
n=4 , c6 = = =
6 5! 6!
−1 2 2
∗ c1 − c1
−c 7 3 3
n=5 , c7 = 6 = =
7 6! 7!

y=c 0+ c1 x+ c 2 x 2+ c 3 x 3 +c 4 x 4 +c 5 x5 + c6 x 6+ c 7 x 7
2 2 2 2
c c c c
c1 2 c1 3 3 1 4 3 1 5 3 1 6 3 1 7
y=c 0+ c1 x− x +3 x + x − x + x− x
2 3! 4! 5! 6! 7!

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Leidy Milena Díaz Guarin

 c. . y ' ' −2 x=0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓNMATEMÁTICA

y=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a 3 x 3+ ..+ an x n Buscamos llevar la ecuación a la solución

General ,mediantes series de potencia con la
n
y=∑ ai xi siguiente ecuación en la cual su solución de series
i =0 polinómicas de la siguiente forma
n
Reemplazamos la serie de potencia en la ecuación
y ' =∑ i∗ai x n−1 diferencial
i=0

n
y =∑ i(i−1)∗ai x i−2
''

i=0 Llevamos la derivada a la segunda, así como lo

tenemos en la ecuación original
n

∑ i ( i−1 )∗ai x i−2−2 x=0 Remplazamos en la ecuación

i=0

∑ i ( i−1 )∗ai x i−2−2 x=0 Debemos llevar a cero la ecuación para que la
i=0

ecuación cumplas todas las condiciones del

polinomio
0 ( 0−1 ) a0 x +1 ( 1−1 ) a1 x +2 ( 2−1 ) a2 +3 ( 3−1 ) a 3 x +4 ( 4−1 ) a4 x + …+i ( i−1 ) ai x i−2−2 x=0
−2 −1 2

2 a2 +6 a3 x +12 a4 x 2+ …+i ( i−1 ) ai xi−2−2 x=0 Después de expandir la ecuación nos queda

a 0=c 1 donde c 1 ∈ R

a 1=c 2 donde c 2 ∈ R

a 2=0
Después del resultados , hacemos una separación
a 1 ∥i >3=0 de términos real
6 a 3=2

1
a 3=
3
1 La Función queda definida como una función de
y= x 3 +c 2 x+ c1 , donde c 1 , c2 ∈ R
3 familia de curvas
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Juan Pablo Tasco Sarmiento

d. y '−9 xy =0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
RAZÓN O EXPLICACIÓN
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
∞
Se presenta el polinomio y su derivada
y=∑ an X n
n=0

∞
y ´=∑ n an X n−1
n=1

∞ ∞
n−1 Remplazando en la ecuación inicial
∑ n an X −9 X ∑ an X n=0
n =1 n=0

∞ ∞
Incluimos el 9 X en la sumatoria
∑ n an X n−1−∑ 9 an X n+1=0
n =1 n=0

∞ ∞
Se utiliza una propiedad de sumatorias para hacer
∑ f ( n )=∑ f (n+k ) equivalentes los límites de cada expresión
n=k n=0

∞ ∞
La ecuación da como resultado
∑ (n+1)an+1 X −∑ 9 a n X n+1=0
n

n=0 n=o

∞ ∞
Se extrae el primer término para equiparar el orden
a 1+ ∑ (n+1)an+1 X n −∑ 9 a n X n+1=0 de X en la sumatoria
n =1 n=o

∞ ∞
a 1+ ∑ (n+2)an+ 2 X n +1−∑ 9 an X n+1=0
n=0 n=o
 ∞
Las dos sumatorias se unen en una sola expresión
a 1+ ∑ [ ( n+2 ) an+2 −9 an ] X n +1=0
n=0

n=0 Para cumplir con la igualdad el polinomio debe

valer cero en todos sus coeficientes
⇒ a 1+ ( 2 a2−9 a 0 ) X=0

⇒ a 1=0

9
a 2 = a0
2

( n+2 ) a n+2−9 a n=0 Determinación de los demás coeficientes

9 9η Los términos de subíndice impar son cero

a n+2= an = a0
n+2 n!
∞ ∞
92n Los de Subíndice par
y=∑ an X n=∑ a0 X 2 n
n=0 n=0 2 n !
9 2
x Solución determinada por medio del Teorema de
y=e 2 +C ,C ∈ R Taylor

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa m sujeta a un resorte o el de un

circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

d2 x dx d2 q dq
m 2 + β + kx=f (t) L 2 + β + kq=E (t)
dt dt dt dt

Es una función que representa una fuerza externa f (t) o un voltaje E ( t ) en ecuaciones
diferenciales se resuelve este problema para funciones f (t) continuas. Sin embargo, no es raro
encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy
comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación
diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa
herramienta para resolver problemas de este tipo
 La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de
ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función y (t) está definida para t ≥ 0 y la integral impropia converge para s> s0 .
Entonces la transformada de Laplace y (t) existe s> s0 y está dada por:

∞
L { y ( t ) }=∫ e−st y ( t ) dt
0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Oscar Alberto Torres

a. L { π + cos 3 t }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMÁTICA

 L { π }+ L { cos 3 t } Aplicar la propiedad de la suma

1 Aplicar la definición
L { π }=
s
s
L { cos 3 t }= 3
s +9

1 s Transformada de Laplace
L { π + cos 3 t }= + 3
s s +9
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

JULIAN ANDRES RODRIGUEZ RAMIREZ

b. L {2t + πe3 t }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

L { 2t + πe3 t } Usar la propiedad de linealidad de la transformada

de Laplace: para las funciones f(t), g(t) y
¿ 2 L {t } +πL { e 3 t } constantes a, b:
∞ ∞
L {a∗f (t )+b∗g(t) }=a∗L {f (t)}+b∗L {g(t )}
¿ ∫ e−st 2 tdt−∫ e−st πe3 t dt
0 0

∞
Calcular la integral indefinida:
∫ e−st 2 tdt= s22 ∞
0

∞
∫ e−st 2 tdt= s22 (−s e−st t−e−st )+C
∫ e−st 2 tdt= s22 (−s e−st t−e−st )+C
0

0 Sacar la constante.
∞
Aplicar integración por sustitución u=-st
2∗∫ e−st tdt
0
Usar la tabla de las transformadas de Laplace
∞ u
e udu 1
2∗∫ 2 L {t }=
0 s s2
∞
2∗1 1
2 ∫
eu udu L {e at }=
s 0 s−a

2∗1 u
2
( e ( u )−eu )
s Reemplazar los valores obtenidos en la ecuación
2∗1 −st general y realizar operaciones básicas.
2
( e (−st )−e−st )
s
2 −st
2
( e (−st )−e−st ) +C
s
2
¿
s2
 ∞
−st 3t πe 3
∫e πe dt= 2
s
0

∞
πe 3
∫ e−st πe 3 t dt= s 2
(−s e−st t−e− st )+C
0

πe 3
¿ 2
s

2 πe3
¿ −
s2 s2 Finalmente se simplifica.
3
2−πe
¿
s2

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Leidy Milena Díaz Guarin

c L {t 2 −sin πt }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

 f ( t ) , g ( t ) donde a , b son constantes Se verifica por propiedad de linealidad para la

función constante que se define como
L { a∗f ( t )+ b∗g (t) }=a∗L { f ( t ) } +b∗L { g(t) }

L(t 2−sin πt) De la ecuación original nos queda de la siguiente

manera
Expandimos

L { t 2 } −L {sin πt }

n! Aplicamos para el 1 termino los siguiente

L { t 2 } Aplicamos L { t n }=
S n+1
Al reemplazar nos queda
 2
L {t2 }=
s3
a Aplicamos para el 2 termino los siguiente
L { sin πt } Aplicamos L { sin(at ) }=
s +a2
2

Al reemplazar nos queda

π
L { sin πt }=
s +π2
2

2 π Uniendo términos nos queda como Solución

L { t 2 −sin πt }= 3
− 2 2
s s +π

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Juan Pablo Tasco Sarmiento

d. L { sinh 2t }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

Transformada de la Laplace del Seno Hiperbólico

L { sinh 2t }
de 2 t.

e x −e− x Para resolver se usa la definición del Seno

sinh x=
2 Hiperbólico y en este caso x es 2 t

e 2t −e−2 t Resultado
L { 2 }
1 Haciendo uso de las propiedades se resuelve
{ L e2 t −e−2 t }
2 sacando el número 2 de los corchetes.
Se calcula la transformada por separado de cada
1 exponencial usando esta fórmula, siendo a
L { e 2t }=
s−a equivalente al 2 que acompaña el Seno
Hiperbólico y la letra t para este ejercicio
1 1 1 Se simplifica haciendo resta de fracciones de
(
. −
2 s−2 s +2 ) forma cruzada
 1 ( s+2 ) −(s−2) Se reducen términos semejantes
.
2 s 2−22
1 4 Simplificar
.
2 s2−4

2 Transformada del Seno Hiperbólico de 2 t

2
s −4

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES

DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE
Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

y , −3 y=e 2 t
{ y ( 0 )=1 }
Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial

L { y , −3 y }=¿❑ L { e 2t } ¿
1
L { y , } −3 L { y }=
s−2
1
sY ( s )− y ( 0 )−3 Y ( s )=
s−2
1
sY ( s )−1−3 Y ( s )=
s−2
s−1
Y ( s )=
( s−2 ) (s−3)
 −1 2
Y ( s )= +
s−2 (s−3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: y ( t )

1
L−1 { Y ( s) }=−L−1 ( s−2 )+2 L ( s−31 )
−1

2t 3t
y ( t ) =−e +e

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Oscar Alberto Torres

a. y ' ' −2 y ' =et sin t ; y ( 0 )=0 , y ' ( 0 )=0.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

  L ( y ' ' −2 y ' )=L( et sin t ) Aplicar latransformada de Laplace

a ambos lados de laecuación

L ( y ' ' ) −L¿ Aplicar latransformado de Laplace

a cada término de la ecuación

L ( y ' ' ) =s 2 y ( s )−sy ( 0 )− y ' (0) Aplicar la definición

1
L ( e t sin t ) = 2
(s−1) + 1
1 Reemplazar los valores iniciales
s2 y ( s ) −sy ( 0 ) − y ' ( 0 ) = 2
(s−1) +1 y ( 0 )=0 , y ' ( 0 ) =0
 1
s2 y ( s ) −s (0)−0=
( s−1)2 +1
1
s2 y ( s ) =
(s−1)2+ 1
1 1 Despejar y ( s)
y ( s )= 2 2
= 2 2
s ( (s−1) +1 ) s (s −2 s +2)

1 s2 ( s2 −2 s+2) A B Ds+C Calcular la transformada

2 2
= + 2+ 2
s (s −2 s+ 2) s s ( s −2 s+ 2) inversa por fracciones parciales

A (s2 )(s 2−2 s +2) B( s 2)(s2−2 s+2) (Ds+C )(s 2)( s 2−2 s+ 2)
+ +
s s2 ( s2−2 s+2)

1= As ( s2−2 s+2 ) + B ( s2−2 s+2 ) +( Ds+C)( s2 )

1= A (0) ( 02−2 ( 0 ) +2 ) + B ( 02 −2 ( 0 )+ 2 ) +( D( 0)+C )(02 )Tomar s=0 y sustituir en la ecuación

1=2 B Despegar B

1
B=
2

1 Sustituir B en la ecuación
1= As ( s2−2 s+2 ) + ( s2 −2 s+2 )+(Ds+C)(s 2)
2 1= As ( s2−2 s+2 ) + B ( s2−2 s+2 ) +(Ds+C)( s2 )
1 Desarrollar las operaciones
1= A s3 −2 A s2 +2 As+ s 2−s +1+ D s 3+ C s 2
2

1 Agrupar por términos semejantes

( )
1=s3 ( A+ D ) + s2 −2 A+ + C +s ( 2 A−1 ) +1
2 y factorizar por factor común
( A+ D ) =0 D=− A Igualar los términos a 0 y despejar
1 −1
−2 A + +C=0 C= +2 A
2 2
−1 1 −1 1
C=
2
+2
2
C= ()
2
+1 C=
2
1
2 A−1=0 A=
2
1 1 1 −1 Sustituir los valores en la
A= , B= ,C= , D=
2 2 2 2
1 1 −1 1 ecuación de fracciones parciales
s+
2 2 2 2
+ 2+ 2
s s ( s −2 s +2)

1 1 1−s
+ 2+ 2 =¿
2 s 2 s s −2 s+2

1 1 1 −1+ s Calcular la inversa y aplicar la definición

L
−1
[ + −
(
2 s 2 s2 2 (s 2−1)2 +1 )]
1 1
L−1 [ ] = h (t)
2s 2

1 1
L−1
[ ] 2s 2
= t
2

1−s
L
−1
[ ( −1
2 2
2 ( s −1) +1
=
2 )]
−1 ( t
−e cos t )

1 1 1 Solución final
y= ht + t 2− (−e t cos t )
2 2 2

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

JULIAN ANDRES RODRIGUEZ RAMIREZ

b. y ' ' + y ' +2 y=x ; y ( 0 )=2 , y ' ( 0 ) =2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

y ' ' + y ' +2 y=x Use la transformada de Laplace para resolver el

  {
y ( 0 )=2 , y ' ( 0 )=2 } problema de valor inicial.
Aplicando la Transformada de Laplace a ambos
L { y ' ' + y ' +2 y }=L { x }
lados de la ecuación diferencial.
L { y ' ' } + L { y ' } +2 L { y }=L { x }
Usar la tabla de las transformadas de Laplace

L { y ' ' } =s 2 y ( s )−sy ( 0 )− y ' (0) Reemplazar los valores obtenidos en la ecuación
general y también los valores iniciales dados para
L { y ' }=sy ( s )− y (0) y (0) y y´ (0).

L { y }= y ( s ) Luego organizamos la ecuación de modo que los

y(s) queden agrupados
1
L { x }=
s2
1
s2 y ( s ) −sy ( 0 ) − y ' ( 0 ) + sy ( s )− y ( 0 ) +2 y ( s )=
s2
1
s2 y ( s ) −2 s−2+sy ( s ) −2+ 2 y ( s )=
s2
1
s2 y ( s ) + sy ( s )+ 2 y ( s )−2 s−4=
s2
1 Luego factorizamos a fin de hallar el resultado,
s2 y ( s ) + sy ( s )+ 2 y ( s )= + 2 s+ 4
s2 despejamos y simplificamos la ecuación.
Tomar la fracción parcial
( s2 + s+2 ) y ( s )= 12 +2 s +4 3 2
s 2 s + 4 s +1 9 s +15 1 1
: 2
+ 2−
s ( s +s +2 ) 4 (s +s +2) 2 s 4 s
2 2
1
2
+2 s+ 4
s Crear un modelo para la fracción parcial usando el
y ( s )= 2
s + s+ 2 denominador s2 ( s 2 +s +2 ).
1 a0 a1
L−1 { y ( s ) }=L−1 { s2
+2 s+ 4

s 2+ s +2
} Para s2sumar las fracciones parciales

Para s2 + s+2sumar las fracciones

+ .
s s2

parciales
3
2 s + 4 s +1 2
a 3 +a2
L−1 { y ( s ) }=L−1
{ s 2 ( s2 + s+2 ) } 2
s

s + s+ 2

2 s3 + 4 s2 +1 a0 a 1 a3 +a2 s
Multiplicar la ecuación por el denominador
= + 2+ 2
s2 ( s2 +s +2 ) s s s + s+ 2 Simplificamos la ecuación resultante.
Resolvemos los parámetros desconocidos
sustituyendo las raíces reales del denominador: 0
s 2 ( 2 s3 +4 s 2+ 1 )( s 2+ s+ 2 )
s 2 ( s 2+ s+ 2 ) 1
Para la raíz del denominador 0: a 1=
2
a0 s 2 ( s2 + s+2 )
¿ Sustituir s=0 en la ecuación
s
1
2 2
+ a1 s 2 ( s2 + s+2 ) s ( a3 + a2 ) ( s +s +2 ) Desarrollamos 1=2 a1 resolviendo para a 1 :a1 = .
s
2
+
s2 s 2 +s +2
Sustituir las soluciones a los parámetros
 conocidos, desarrollar la ecuación, extraer las
variables de las fracciones y agrupar los elementos
2 s 3+ 4 s2 +1=a0 s ( s 2+ s+ 2 ) +a1 ( s 2 +s +2 ) + s2 ( a3 +a2 )
s
de acuerdo a las potencias de s, para así igualar los
coeficientes de términos similares en ambos lados
para crear una lista de ecuaciones.
2∗03 +4∗02+ 1
Resolver sistema de ecuaciones:
¿ a0∗0∗( 02 +0+ 2 ) 9 15 −1
a 3 = , a2 = , a 0 =
4 4 4
+a 1 ( 0 2+ 0+2 ) +0∗( a 3 ∗0+a2 )
s

1. Sustituir las soluciones a los parámetros de

la fracción parcial para obtener el resultado
1 final, simplificamos la ecuación resultante
2 s 3+ 4 s2 +1=a0 s ( s 2+ s+ 2 ) + ( s 2 +s +2 ) + s2 ( a3 +a2 )
s
y usamos la propiedad de linealidad de la
2
transformación inversa de Laplace: para las
3 2 3 2 s2 s 3 2 funciones f(s), g(s) y constantes a ,b:
2 s + 4 s +1=a0 s +a0 s +2 a0 s+ + +1+a3 s +a2 s
2 2
L−1 { a∗f ( s ) +b∗g( s) }=a∗L−1 { f ( s) } +b∗L−1 { g (s) }.
1 1
(
2 s 3+ 4 s2 +1=s 3 ( a0 +a3 ) + s 2 a0 +a 2+
2 ) (
+ s 2a 0+ +1
2 )
Aplicar la regla de la transformada inversa:

1 Si L−1 { f ( s ) } =f ( t ) entonces L−1 { f ( s−a ) } =e at f (t )

{
2 a0 + =0
2
1
1
a0 +a 2+ =4
2
a 0+ a3=2

−1 1 9
s+
15
Por lo tanto, L
−1

{( ) }
s+

s+
1
2
2
2
+
7
4
=e
−1
2
t
L−1
{ }
s
s 2+
7
4

4 2 4 4
+ +
s s2 s2 + s+2 2. Usar la propiedad de multiplicación
constante de la transformada inversa de
9 s+15 1 1
¿ L−1
{ 2
+ 2−
4 ( s +s +2) 2 s 4 s } Laplace: para una función f(t) y una
constante a: L−1 { a∗f (t) }=a∗L−1 { f (t) }

√7

¿L −1

{(
9
4
∗s +

1
s+ +
2
2

)
1
2
7
4
+
21
8
1
( )
s+ +
2
∗1
2
1
+ 2−
7 2s
4
4
1
s
}
2 −1
√7
L
{ ( )}
s+ √
2 7
2

2
2

3. Usar la propiedad de multiplicación

1 constante de la transformada inversa de
¿
9 −1
4
L
{( ) }s+

1
s+ +
2
2
2
7
4
21
+ L−1
8 1
1

s+ +
2
2
7
4{(
+ L−1
1
2s
)
2

}
−L−1
1Laplace: para una función f(t) y una
4constante
s { } { }
a: L−1 { a∗f (t) }=a∗L−1 { f (t) }
 21 1 −1 1
9
¿ ¿e
4
−1
2
t
∗cos √
( )
2
7t
+
8
∗2 −1 t
√
¿ e 2 sin
7 t t 1 2 L s2
2 ( )
+ − H (t )
2 4
{}
√7
4. Usar la propiedad de multiplicación
constante de la transformada inversa de
−1
t
√7 t Laplace: para una función f(t) y una
9
−1
t
√ 7t
3 √ 7 ¿ e 2
sin ( )
2 t 1 constante a: L−1 { a∗f (t) }=a∗L−1 { f (t) }
4
2
¿ ¿ e ∗cos
2
+( ) 4
+ − H (t )
2 4
1
L
−1 1
{ }
4s
=L
−1 4
s{ }
∗1
1 −1 1
= L
4 s
=¿ {}

Usar la tabla de transformadas inversas de

Laplace:

s
1.
L−1
{ }
s2 +
7
=cos ( at )=cos ( √27 t )
4

√7
2. L
−1

{ ( )}
s2 +
2
√7
2
2
=sin ( √27 t )

( n) !
L−1 { }
s
n+1
=t n

1 −1 1 1 t
3.
2
L
s 2 {}
= t=
2 2

Usar la tabla de las transformadas inversas de

−1 a
Laplace: L
s {}
=aH ( t ) donde H (t) es la función

escalón de Heaviside.
 1
4. H (t )
4

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Leidy Milena Díaz Guarin

c. y ' ' + y ' =7 ; y ( 0 ) =1 , y ' ( 0 )=0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

L { y ' ' }+ L { y ' } =L {7 } Debemos llevar la ecuación de manera sencilla

para poder trabajar por propiedades

S2 y ( s ) −Sy ( 0 )− y ' ( 0 ) + [ Sy ( s ) − y ( 0 ) ] −7=0 Por Propiedad tenemos lo siguiente

Como conocemos los valores

S2 y ( s ) −S (1 ) −o+ [ Sy ( s )−1 ] −7=0 y ( 0 )=1 , y ' ( 0 )=0

S2 y ( s ) + Sy ( s )−s−8=0 Solo sería reemplaza en la ecuación

[ S2 + S ] y ( s ) =8+ s
8+ s Levando la ecuación a la Transformada de
L−1 { y (s ) }=L−1
{ }
s 2 +s Laplace nos queda

No tiene solución.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Juan Pablo Tasco Sarmiento

d. y ' ' − y ' + y=cos ( t ) ; y ( 0 ) =1 , y ' ( 0 )=0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMÁTICA

L { y ´ (t) }=SY ( S )− y (0) Se determina la transformada de la

L { y ´ (t) }=SY ( S )− y (0) derivada

S S Transformada de Laplace del Coseno

cos ( t )= 22
=¿ ¿
S +w (S+ jw)( S− jw )
S Reemplazando en la ecuación
S2 Y ( S ) −Sy ( 0 ) − y ´ ( 0 )−( SY ( S ) − y ( 0 ) ) +Y ( S )= 2
S +1
S
S2 Y ( S ) −S−(SY ( S )−1)+Y ( S )= 2
S +1
S
S2 Y ( S ) −S−SY ( S )+ 1+ Y ( S ) = 2
S +1
S
S2 Y ( S ) −SY ( S ) +Y ( S )= 2
+ S−1
S +1

S Despejando Y ( S )
Y ( S ) ( S 2−S +1 )= 2
+ S−1
S +1

S S−1
Y ( S )= 2 2
+ 2
( S +1)(S −S+1) S −S+1
Se convierte a fracciones simples el
primer termino
1 1 S 1
Y ( S )= 2
− 2 + 2 − 2
S −S+1 S +1 S −S+1 S −S+1

−1 S
Y ( S )= 2
+ 2
S +1 S −S+1
Se descompone a fracciones simples el
segundo termino
−1 S
Y ( S )= +
S 2 +1
( S− 12 − j √23 )( S− 12 + j √23 )
1 1
j j
Y ( S )=
−1
+S √3 − √3
S 2 +1 1 3
( S− + j √
2 2 ) (S− 12 − j √23 )
 Por medio de la propiedad de la derivada
para la transformación todo pasa a
1 √3 1 √3
y ( t ) =−sen ( t ) + j {1 −( 2 + j 2 )t
√3
e −j
1 −(2 − j 2 ) t
√3
e ´ } dominio temporal

−1
√3 t ´
y ( t ) =−sen ( t ) +
√3{
−2 2 t
e . sen
2 ( )}
−1 −1
√ 3 + √ 2 2 e 2 t . cos √ 3 t
y ( t ) =−sen ( t )− {√ −1
3
e 2
t
. sen ( )
2 2 √3 2 ( )}
1
−1
t
−1
√ 3 t −e 2 t .cos √3 t Función
y ( t ) =−sen ( t ) +
√3
e 2
. sen (2 ) (2 )
PASO 4
EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA

A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los

aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las
características del problema que se ha planteado y buscar el método de
solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden
seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

Problema: Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de

x y ' ' +2 y ' =xy con y (1)=1 y en y ' (1)=0.

1 2 2 3 x4 x5 x5
A. 1+ x+ x − x +9 −44 −5 …
2 3! 4! 5! 5!

1 2 4 3 x4 x5
B. 1+ x+ x + x +10 −40 +…
2 3! 4! 5!
4 5 5
1 2 2 3 x x x
C. 1+ x − x + 9 −44 −5 …
2 3! 4! 5! 5!

4 3 x4
2 x5 x5
D. 1+ x+ x − x + 9 −22 −15 …
3! 4! 5! 5!
 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
∞
Por el teorema de Taylor se supone una respuesta
  y=∑ an x n=a0 + a1 x +a2 x 2+ a3 x 3 +… de este tipo
n=0

y n (0)
con a n=
n!

y 0 (1) 1 Se halla la constante a 0 con y (1)=1

a 0= = =1
0! 1

y ' (1) 0 Se halla la constante a 1 con y ' (1)=0

a 1= = =0
1! 1

x y ' ' +2 y ' =xy Haciendo x=1 y reemplazando y (1)=1 y en

y ' (1)=0
(1) y ' ' + 2 ( 0 )=(1)(1)

y ' ' =1

y ' ' (0) 1 1

a 2= = =
n! 2! 2
dy Derivando implícitamente la ecuación diferencial
( x y ' ' +2 y ' =xy )
dx con respecto a x

y ' ' + xy ' ' ' +2 y ' ' = y + xy ' Haciendo x=1 y reemplazando y (1)=1 y en
y ' (1)=0 , y ' ' (1)=1
( 1 ) + ( 1 ) y ' ' ' +2(1)=(1)+(1)( 0)

1+ y ' ' ' +2=1

y ' ' ' +2=1−2−1

y ' ' ' =−2

y' ' ' ( 0) −2 −2

a 3= = =
3! 3! 3!
dy '' Derivando implícitamente la ecuación diferencial
( y + x y ' ' ' +2 y '' = y+ x y ' )
dx con respecto a x

y ' ' ' + y ' '' + xy ' ' ' '+2 y ' ' ' = y ' + y ' + xy ' ' Haciendo x=1 y reemplazando y (1)=1 y en
y ' (1)=0 , y ' ' (1)=1 , y ' ' ' =−2
−2−2+ (1 ) y ' '' ' + 2 (−2 ) =0+0+(1)( 1)
 y ' ' ' ' −8=1

y ' ' ' ' =9

y ' ' ' ' (0) 9 9

a 4= = =
4! 4! 4!

y=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a 3 x 3+ … Reemplazando los valores de las constantes

halladas

1 2 9
y=1+ ( 0 ) x + x 2− x 3+ x 4 + …
2 3! 4! Se llega a la respuesta

PASO 5

EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA

SITUACIÓN PLANTEADA.
Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar
toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra
de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas
utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el
proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error
o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución.
Situación y solución planteada:
Situación y solución planteada:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN OBSERVACIONES, ANEXOS,

PLANTEADA GUIA MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN
PLANTEADA
Situación problema: La ecuación
diferencial que modela un circuito
eléctrico RLC dispuesto en serie es:
 Las ecuaciones diferenciales no deben tener
t términos con integrales, por lo tanto, se deriva
di 1
L + Ri + ∫ i ( τ ) dτ =E(t) toda la expresión
dt c 0 t
di 1
L + Ri + ∫ i ( τ ) dτ =E(t)
dt c 0
Utilizando la transformada de
Laplace encuentre i ( t ) ,si L=0.05 H ; d2i di 1 d 3 −t
L 2 + R + i = [ 50 [ t e ] ]
R=1 Ω ; c=0.02 F y E ( t )=50 [ t 3 e−t ] V e dt dt c dt
i ( 0 )=0
d2i di 1 2 −t 3 −t
L 2
+ R + i=50[3t e −t e ]
dt dt c
Solución planteada:
Despejando la derivada mayor
1. Se reemplazan los valores
t
di 1
0.005 +i+
dt
∫ i ( τ ) dτ=50 [ t 3 +e−t ]
0.02 0
d 2 i R di 1
+ +
50 2 −t 3 −t
i= [3 t e −t e ]
2
dt L dt LC L

2. Se divide por 0.005 Transformando por las propiedades y tablas de

Laplace
t
di
+200 i+ 1000∫ i ( τ ) dτ=10000 t 3−10000 e−t 2 R 1 50 6
dt 0 s I ( s )−s i ( 0 )−i ' (0)+ ( s I ( s )−i ( 0 ) ) +
L LC
I (s)=
L [( ( ) )
s +1
3
−

3. A cada término se le halla la

transformada de Laplace R
( s I ( s )−0 ) + 1 I ( s)= 50 6 6
s2 I ( s )−s(0)−( 0)+
L [( )
LC L ( s +1 ) 3
−
( s +1

I ( s ) 30000 10000
sI ( s ) +i ( 0 ) +200 I ( s ) +1000 = 2 −
s−1 s2 I ( s ) + R s I ( s ) + 1 I (s )= 50 6 6
s s
L LC L [( ) ]
( s+1 ) 3
−
( s+1 ) 4
4. Se agrupan los términos de I(s)
R 1 50 6 6
(
I ( s)
s2 +200 s +1000
s ) 3
=10000 2 −
1
s s−1 ( )
( s ¿ ¿ 2+
L
s+
LC
) I (s)=
L [( ( ) )
s+1
3
−
( s+1 ) 4
¿
]
5. Se factoriza el numerador del
lado izquierdo y se despeja I(s). Se 6 6
reescribe el resultado para aplicar
Transformada inversa. I ( s) =
50 [( ( ) )
s +1 3
−
( s +1 )4 ]
∗1

L R 1
s 2+ s+
L LC
10000 s 3 1
I ( s) = 2
s(s+ 100) s (
2
−
s−1 ) Reemplazando los valores L=0.05 H ; R=1 Ω ;
c=0.02 F
 1 3 1 6 6
I ( s ) =10000
[ − +
(s +100) ( s+100 ) s−1
2 2
] I ( s) =
50 [( ( ) )
s+1 3
−
]
( s+ 1 )4
∗1

0.05 1 1
6. Se aplica la transformada s 2+ s+
0.05 (0.05)( 0.02)
inversa para hallar i(t)
6000 6000
i ( t )=20000 [ t e−100t −3 ( t−1 ) e−100 (t−1 )−e−t ] I ( s) = − 2
(s +20 s +1000) ( s+1 ) (s +20 s +1000) ( s+1 )4
2 3
Con esto se obtiene finalmente la
corriente en función del tiempo.

PASO 8
TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS
Nombre Estudiante Ejercicios Enlace video explicativo
sustentados
Oscar Torres Ejercicios a https://youtu.be/IoOtlWP4dsM

Julian Andres Rodriguez Ejercicios B https://youtu.be/AsRq5OgLF54

Juan Pablo Tasco Ejercicios d https://www.youtube.com/watch?v=l2iC6vb6l6I

Sarmiento
 CONCLUSIONES

Como estudiante de la UNAD, se obtuvo conocimientos esenciales en cuando al desarrollo de

ejercicios relacionados con serie de potencias y la transformada de Laplace. Así mismo de ver la

funcionalidad de este tipo de cálculos y ecuaciones para futuras toma de decisiones en la práctica

profesional.
 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 123-130).
Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?
docID=11017467
Montoya, W. (2015). Criterios de Convergencia de Series Infinitas. UNAD. [Videos].
Disponible en http://hdl.handle.net/10596/7220
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 157-165).
Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?
docID=11017467