ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD TRES
ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y
TRANSFORMADA DE LAPLACE

OMAR LEONARDO LEYTON

Tutor(a)

Entregado por:

Paola Andrea Gongora

Código: xxxxx

Katherine Andrea Gonzalez

Código: xxxxx

Virley Francisco Gomez

Código: xxxxx

Andrés Duran Valenzuela

Código: 1075265138

Sebastian Francisco Córdoba

Código: xxxxx

Grupo:36

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
FECHA
BOGOTÁ D.C.
2019
 INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales se constituyen como una herramienta fundamental en

las matemáticas frente a la búsqueda de respuestas técnicas en los fenómenos de la
naturaleza, o en incógnitas en diferentes ramas de estudio como la ingeniería,
buscando aproximar y estudiar el comportamiento de diversos sistemas. En esta
unidad final del curso analizaremos ejercicios referentes a ecuaciones diferenciales
por el método de series de potencia y transformados de Laplace, partiendo desde el
conocimiento matemático identificando las técnicas logrando definir y clasificar los
modelos para la solución de ecuaciones diferenciales de un rango complejo.
 OBJETIVOS

- Utilización y apropiación de técnicas anunciadas en la unidad para la

solución de los ejercicios planteados.

- Identificar y solucionar ejercicios utilizando la transformada de Laplace con

su correspondiente análisis

- Resaltar los principios y propiedades de las series de Taylor como

aproximación y respuesta de una función.
 PASO 2
ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE
INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:

 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA

PASO 3
EJERCICIOS INDIVIDUALES
A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE

POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se
empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas
soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo.

Para una ecuación dada:

𝑦 ,, + 𝑝(𝑥)𝑦 , + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0

se representa primero 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) por series de potencias en potencias de 𝑥 (o de (𝑥 − 𝑥0 ) si se

desea obtener soluciones de potencias de 𝑥 − 𝑥0 ). En muchas ocasiones 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) son
polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una
solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.

y = ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯
𝑚=0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:

 ∞

y = ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 𝑚−1 = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2 + ⋯

,

𝑚=1

y ,, = ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚−2 = 2𝑎2 + 3 ∗ 2𝑎3 𝑥 + 4 ∗ 3𝑎4 𝑥 2 + ⋯

𝑚=1

Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de 𝑥 y la suma

de los coeficientes de cada potencia de 𝑥 que se presente se iguala a cero, empezando con los
términos constantes, los términos que incluyen a 𝑥, los términos que incluyen a 𝑥 2 etc. Se
obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los
coeficientes desconocidos en 𝑦.

De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. 𝑦 , − 𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓNMATEMÁTICA
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

b. 𝑦 , = 2𝑥𝑦

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓNMATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c. 𝑦 ,, + 𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓNMATEMÁTICA

y = ∑∞
n=0 Cnx
n Esta expresión se puede definir como una serie de
potencias del tipo
∞
Hallamos la primera derivada
𝑦 ′ = ∑ nCnx n−1
n=1
∞
Segunda derivada
𝑦 = ∑ n(n − 1)Cnx n−2
′

n=2
∞ ∞
Sustituimos los resultados en la función
n−2 n
∑ n(n − 1)Cnx + ∑ Cnx = 0
n=2 n=0
∞ ∞
Igualamos los índices y exponentes basándonos en
∑ f(n) = ∑ f(+k) esta formula
n=k n=0
 ∞ ∞
Tenemos exponentes iguales por esto juntamos las
∑ n(n + 2)(n + 1)Cn + 2𝑥 + ∑ Cnx n = 0
𝑛
dos funciones
n=0 n=0
∞ ∞
Igualamos a 0 el coeficiente general
∑[n(n + 2)(n + 1)Cn + 2𝑥 𝑛 + ∑ Cn]x n = 0
n=0 n=0

𝑛(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑐𝑛 + 2 + 𝑐𝑛 = 0 Despejamos Cn+2

𝐶𝑛 Hallamos los coeficientes por formula general

𝐶𝑛 + 2 =
(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)

𝑦 ′′ + 𝑦 = 0 Sustituimos n=0
∞

𝑦 = ∑ 𝐶𝑛𝑥 𝑛
𝑛=0

𝐶𝑛
𝐶𝑛 + 2 = −
(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)
𝑐0 1 Ahora sustituimos n=1
𝑛 = 0, 𝑐2 = − = − 𝐶0
(0 + 2)(0 + 1) 2
𝑐1 1 Ahora sustituimos n=2
𝑛 = 1, 𝑐3 = − =− 𝐶
(1 + 2)(1 + 1) 3.2 1
𝑐2 1 Ahora sustituimos n=3
𝑛 = 2, 𝑐4 = − =− 𝐶
(2 + 2)(2 + 1) 4.3 2
1
= (− 𝐶0 )
2
𝑐3 1 Sacamos los coeficientes resultantes
𝑛 = 3, 𝑐5 = − =− 𝐶
(3 + 2)(3 + 1) 5.4 3
1
= (− 𝐶)
3.2 1
1 1 1 Los coeficientes se agrupan en pares e impares
𝐶2 = − 𝑐0 ; 𝐶3 = − 𝑐1 ; 𝐶4 = − 𝑐0 ; 𝐶5
2 3! 4!
1
= − 𝑐1 ;
5!
𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 3 + 𝐶4 𝑥 4 + 𝐶5 𝑥 5 +… Sustituimos los coeficientes en sumatoria
 1 1 1 Sustituimos los coeficientes en la expresión
𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑥 − 𝐶0 𝑥 2 − 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶0 𝑥 4
2 3! 4!
1 Y observamos que los coeficientes están alternados
− 𝐶1 𝑥 5 … … .. los agruparemos hasta el coeficiente 9!
5!
1 1 1 1 Factorizamos 𝐶0 y 𝐶1
𝑦 = (𝐶0 − 𝐶0 𝑥 2 + 𝐶0 𝑥 4 − 𝐶0 𝑥 6 − 𝐶0 𝑥 8
2 4! 6! 8!
1 1
+ ⋯ . ) + (𝐶1 𝑥 − 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶1 𝑥 5
3! 5!
1 1
− 𝐶1 𝑥 7 + 𝐶1 𝑥 9 … )
7! 9!
1 1 1 1 Posteriormente con la siguiente formula
𝑦 = 𝐶0 (1− 2 𝑥 2 + 4! 𝑥 4 − 6! 𝑥 6 + 8! 𝑥 8 ) + 𝐶1 (𝑥 −
1 1 1 1 representamos cada sumatoria
𝑥 3 + 5! 𝑥 5 − 7! 𝑥 7 + 9! 𝑥 9 )
3!
∞
(𝑛 − 1)𝑛 2𝑛 Con las siguientes formulas podemos representar
𝑦 = 𝐶0 ∑ 𝑥 coseno de x y seno de x de una serie de potencias
(2𝑛)!
n=0
∞
(−1)𝑛 2𝑛+1
+ 𝐶1 ∑ 𝑥
(2𝑛 + 1)!
n=0
∞
(−1)𝑛 2𝑛 Tenemos que las constantes resultantes son
cos 𝑥 ∑ 𝑥 arbitrarias
(2𝑛)!
n=0
∞
(−1)𝑛 2𝑛+1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∑ 𝑥
(2𝑛 + 1)!
n=0

Tenemos 𝑦 = 𝐶0 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶1 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝑥 Resultado final

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d. 𝑦 ,, − 9𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA
 ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e. 𝑦 , = 3𝑥 2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓNMATEMÁTICA

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa 𝑚 sujeta a un resorte o el de un

circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

𝑑2 𝑥 dx 𝑑2 𝑞 dq
m 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡) L 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑞 = 𝐸(𝑡)

Es una función que representa una fuerza externa 𝑓(𝑡) o un voltaje 𝐸(𝑡) en ecuaciones
diferenciales se resuelve este problema para funciones 𝑓(𝑡) continuas. Sin embargo, no es raro
encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy
comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación
diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa
herramienta para resolver problemas de este tipo
La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de
ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función 𝑦(𝑡) está definida para 𝑡 ≥ 0 y la integral impropia converge para 𝑠 >
𝑠0 . Entonces la transformada de Laplace 𝑦(𝑡) existe 𝑠 > 𝑠0 y está dada por:

∞
ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)𝑑𝑡
0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. ℒ{1}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

b. ℒ{𝑡}
 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN
EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c. ℒ{𝑒 𝑘𝑡 }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA
∞
ℒ[𝑓(𝑡)] = ∫0 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 Identificamos la ecuación dela transformada de la
place
∞
Tenemos que t es nuestro exponencial {𝑒 𝑘𝑡 } y luego
ℒ{𝑒 𝑘𝑡 } = ∫ 𝑒 𝑘𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0
lo remplazamos
∞
Tenemos dos exponenciales por lo que los podemos
ℒ{𝑒 𝑘𝑡 } = ∫ 𝑒 𝑘𝑡−𝑠𝑡 𝑑𝑡
0
igualar sumando los exponentes
∞
Factorizamos la ecuación
∫ 𝑒(𝑘 − 𝑠)𝑡 𝑑𝑡
0
∞
1 Realizando la integral sabemos que la e esta
𝑒(𝑘 − 𝑠)𝑡 𝑑𝑡 ∫
𝑘−𝑠 0
elevado a una constante multiplicada por t

1 1 Calculamos el límite de la expresión

lim 𝑒(𝑘 − 𝑠)𝑡 − 𝑒 (𝑘−𝑠)(0)
𝑡___∞ 𝑘 − 𝑠 𝑘−𝑠
1 1 Operando sabemos que lo números elevados a 0 es
lim 𝑒 (𝑘−𝑠)(𝑡) −
𝑘 − 𝑠 𝑡___∞ 𝑘−𝑠 igual a 1
 1 Tenemos que (k-s) es menor que 0 debido a que el
−
𝑘−𝑠 limite vale 0 (k-s>0) por esto quitamos el limite

(𝑘 − 𝑠 > 0) Posteriormente tenemos que este es el dominio de

nuestra transformada y eliminaremos el limite
cuando esta condición se cumpla
1 Finalmente nos cambia el signo por el denominador
ℒ{𝑒 𝑘𝑡 } = −
−𝑘 + 𝑠 de la fracción
1 resultado
ℒ{𝑒 𝑘𝑡 } = −
−𝑘 + 𝑠

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d. ℒ{1𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑡}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e. ℒ{1 cos 𝑘𝑡}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA
 EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE
Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

𝑦 , − 3𝑦 = 𝑒 2𝑡
{ }
𝑦(0) = 1
Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial

ℒ{𝑦 , − 3𝑦} = ℒ{𝑒 2𝑡 }

1
ℒ{𝑦 , } − 3ℒ{𝑦} =
𝑠−2
1
𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) − 3𝑌(𝑠) =
𝑠−2
1
𝑠𝑌(𝑠) − 1 − 3𝑌(𝑠) =
𝑠−2
𝑠−1
𝑌(𝑠) =
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)

1 2
𝑌(𝑠) = − +
𝑠 − 2 (𝑠 − 3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: 𝑦(𝑡)

1 1
ℒ −1 {𝑌(𝑠)} = −ℒ −1 ( ) + 2ℒ −1 ( )
𝑠−2 𝑠−3
𝑦(𝑡) = −𝑒 2𝑡 + 𝑒 3𝑡
3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑑𝑦
a. + 𝑦 = 𝑡𝑒 −𝑡 ; 𝑦(0) = 1
𝑑𝑡

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑑𝑦
b. + 2𝑦 = 𝑡𝑒 −2𝑡 ; 𝑦(0) = 0
𝑑𝑡

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑑𝑦
c. 4 𝑑𝑡 + 𝑦 = 𝑡𝑒 −𝑡 ; 𝑦(0) = −1

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

4y ′′ + y = te−t Podemos reducir o simplificar la ecuación y

escribirla de la siguiente forma

𝐿[4𝑦 ′ + 𝑦] = 𝐿[𝑡𝑒 −𝑡 ] Aplicamos las propiedades de la transformada de la

place para derivar
4𝐿[𝑦] + 𝐿[𝑦] = 𝐿[𝑡𝑒 −𝑡 ]
𝐿[𝑦 ′ ] = 𝑆𝐿[𝑦] − 𝑦0
4𝑆𝐿 + 1 + 𝐿 = 𝐿[𝑡𝑒 −𝑡 ]
𝑦[𝑦] = 𝐿 ∗
Para este caso 𝑦(0) = −1 entonces tenemos:

𝐿[𝑦 ′ ] = 𝑆𝐿 − 1 ∗∗
Remplazamos aplicando la propiedad de la
ecuación y despejamos
4𝑆𝐿 + 1 + 𝐿 = 𝐿[𝑡𝑒 −𝑡 ]

1 Factorizamos y aplicamos propiedades de la place

𝐿(4𝑆 + 1) =
(𝑠 + 1)2 básicamente lo que multiplica a s pasa a dividir

1 Aproximamos términos y sacamos la transformada

𝐿=
(𝑠 + 1)2 (4𝑠 + 1) inversa de la place

1 1 Hallamos la inversa de la place y resolvemos

𝐿 = 𝐿−1 ∗ 𝐿−1
(𝑠 + 1)2 (4𝑠 + 1)
1 −𝑡 Resultado final
𝐿(𝑦) = 𝑡𝑒 −𝑡 ∗ 𝑒 4
4
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d. 𝑦 ,, − 4𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑡); 𝑦(0) = 1, 𝑦 , (0) = −1

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e. 2𝑦 ,, − 4𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑡); 𝑦(0) = −1, 𝑦 , (0) = −1

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA
 PASO 4
EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA

A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes

respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características
del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más
apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando
la respuesta correcta de las 4 alternativas.

Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de 𝑦 ′ = 𝑦 2 − 𝑥

con la condición inicial 𝑦 = 1 en 𝑥 = 0.
1 4 𝑥4 𝑥5
A. 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 3! 𝑥 3 + 14 + 66 +⋯
2 4! 5!

1 4 𝑥4 𝑥5
B. 1 + 𝑥 2 + 3! 𝑥 3 + 14 + 66 +⋯
2 4! 5!

𝑥 1 4 𝑥5 𝑥6
C. 1 + + 𝑥 3 + 4! 𝑥 4 + 14 + 66 +⋯
2 3 5! 6!
4𝑥 14 66
D. 1 + + 𝑥3 + 𝑥4
2 3 4!

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA
 PASO 5

EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA

SITUACIÓN PLANTEADA.
Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar
toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra
de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas,
resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o
respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores
encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y
solución planteada:

Situación y solución planteada:

La ecuación diferencial que modela un circuito eléctrico RLC dispuesto en

serie es:

𝑑𝑖 1 t
𝐿 + 𝑅𝑖 + ∫ i(τ)dτ = E(t)
𝑑𝑡 𝑐 0

Utilizando la transformada de Laplace encuentre i(τ), si L = 0.005H; R = 1 Ω ;

c=0.02 F y E(t) = 100[1 − U(t − 1)]v e i(0) = 0

EJERCICIO Y SOLUCIÓN OBSERVACIONES, ANEXOS,

PLANTEADA MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN
PLANTEADA
Solución

1. Se reemplazan los valores

t
𝑑𝑖 1
0.005 + 𝑖 + ∫ i(τ)dτ
𝑑𝑡 0.02 0
= 100[1 − U(t − 1)]
2. se divide por 0.005
t
𝑑𝑖
+ 200𝑖 + 10000 ∫ i(τ)dτ
𝑑𝑡 0
= 20000 − 20000U(t − 1)

3. A cada término se le halla la

transformada de Laplace

𝐼(𝑠)
𝑠𝐼(𝑠) − 𝑖(0) + 200𝐼(𝑠) + 10000
𝑠
20000 20000 −𝑠
= − 𝑒
𝑠 𝑠

4. Se agrupan los términos de I(s)

𝑠 2 + 200𝑠 + 10000
𝐼(𝑠) ( )
𝑠(𝑠 + 100)2
20000
= (1 − 𝑒 −𝑠 )
𝑠
5. Se factoriza el numerador del
lado izquierdo y se despeja I(s). Se
reescribe el resultado para aplicar
Transformada inversa.

20000𝑠
𝐼(𝑠) = 2
(1 − 𝑒 −𝑠 )
𝑠(𝑠 + 100)

1 𝑒 −𝑠
𝐼(𝑠) = 20000 [ − ]
(𝑠 + 100)2 (𝑠 + 100)2

6. Se aplica la transformada
inversa para hallar i(t)

𝑖(𝑡) = 20000[𝑡𝑒 −100𝑡

− (𝑡 − 1)𝑒 −100(𝑡−1) 𝑈(𝑡
− 1)]
 PASO 8
TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS
Nombre Estudiante Ejercicios Enlace video explicativo
sustentados

Andrés Duran C de todos los https://www.youtube.com/watch?v=3BjMDeIcxdw&t=8s

Valenzuela tipos de
ejercicios.
 CONCLUSIONES

- El análisis y solución de ecuaciones diferenciales fortalece nuestra capacidad

matemática y técnica como herramienta fundamental en la solución y
explicación de los fenómenos propios de la ingeniería y la vida cotidiana.

- Por medio del trabajo de esta unidad se consolidan de manera teórica y

práctica, los recursos matemáticos relacionados con series de potencia y
transformada de Laplace como solución de ecuaciones diferenciales.

- El contexto de la transformada de Laplace se constituye como la herramienta

de pasar de ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas y realizar en
contexto los procedimientos matemáticos más prácticos.
 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

- García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria.

(pp. 123-130). Recuperado
de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11
017467
- Montoya, W. (2015). Criterios de Convergencia de Series Infinitas.
UNAD. [Videos]. Disponible en http://hdl.handle.net/10596/7220
- García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria.
(pp. 157-165). Recuperado
de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=1
1017467
- García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria.
(pp. 179-185). Recuperado de
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=1101
7467