ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD DOS
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Presentado a:
YENIFER ELIZABETH GALINDO

Tutor(a)

Entregado por:

JOHANNA FERNANDA AGUIRRE NIETO

Código: 1031169357

XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx

XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx

XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx

XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx

Grupo: 100412_68

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
FECHA
08 DE MAYO.
2020
INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS
 PASO 2
ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE
INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante Rol para Grupo de ejercicios a desarrollar

desarrollar paso 1.
David Leonardo Cediel Alertas El estudiante desarrolla los
Gutierrez ejercicios a en todos los tres
tipos propuestos.
Johanna Fernanda Entregas El estudiante desarrolla los
Aguirre ejercicios b en todos los tres
tipos propuestos.
El estudiante desarrolla los
ejercicios c en todos los tres
tipos propuestos.
El estudiante desarrolla los
ejercicios d en todos los tres
tipos propuestos.
El estudiante desarrolla los
ejercicios e en todos los tres
tipos propuestos.
 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA

PASO 3
EJERCICIOS INDIVIDUALES
A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE

POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES

El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se

empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas
soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo.

Para una ecuación dada:

y , , + p ( x ) y , + q ( x ) y=0

se representa primero p ( x ) y q ( x ) por series de potencias en potencias de x (o de ( x−x 0 ) si se

desea obtener soluciones de potencias de x−x 0 ¿. En muchas ocasiones p ( x ) y q ( x )son
polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una
solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.

∞
y= ∑ am x m=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ …
m=0
Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:

∞
y = ∑ m am x m−1=a1 +2 a2 x+ 3 a3 x 2 +…
,

m=1

∞
y = ∑ m ( m−1 ) am x m−2=2 a2 +3∗2 a3 x+ 4∗3 a4 x 2 +…
,,

m=1

Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de x y la suma

de los coeficientes de cada potencia de x que se presente se iguala a cero, empezando con los
términos constantes, los términos que incluyen a x, los términos que incluyen a x 2 etc. Se
obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los
coeficientes desconocidos en y.

De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓNMATEMÁTICA

 
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

b.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓNMATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓNMATEMÁTICA

y ' ' −2 x=0 Ecuación diferencial de segundo orden,

Solución: Usamos la siguiente ecuación de sumatoria para el

procedimiento:
∞
y=∑ c n x n
n=0

Después calculamos la segunda derivada la

función anterior.
Paso 1: Calculamos la primera derivada:
Calculamos el término general, bajamos el
exponente, le restamos uno al exponente al derivar.
En la derivada recorremos el índice:
∞
y '=∑ nc n x n−1
n=1

Paso 2: Derivamos la expresión anterior:

Volvemos a bajar el exponente, le restamos uno
nuevamente al exponente al derivar, de igual forma
recorremos el índice:
∞
y ' '=∑ n(n−1)c n x n−2
n=2

Paso 3: Sustituimos valores en la ecuación dada:

∞

∑ n(n−1) c n x n−2−2 x=0

n =2

∞
x=∑ cn x n
n=0

∞ ∞

∑ n(n−1) c n x n−2−2
n =2
(∑ )
n=0
c n x n =0

Paso 4: Unir las sumatorias, para esto deben iniciar

con los mismos índices:
Para este procedimiento tenemos en cuenta la
siguiente regla:
∞ ∞

∑ f ( n )=¿ ∑ ¿ ¿ ¿
n=k n=0

∞ ∞

(
∑ (n+2)(n+1) c n+2 x n −2 ∑ c n x n =0
n=0 n=0
)
Paso 5: Sumamos:
 ∞

∑ [(n+ 2)(n+ 1)c ¿¿ n+2¿−2 cn] x n=0 ¿ ¿

n=0

(n+ 2)(n+1) c n+2−2 cn=0

Paso 6: Buscar la fórmula de concurrencia que nos

permite evaluar los coeficientes, despejamos la C
que tiene mayor índice:
(n+ 2)(n+1)c n+2−2 cn
2cn
C n+2=
( n+2)( n+1)

Paso 7: Dar diferentes valores a n

2 c(0) 2c (0 ) 2c (0)
n=0 C2 = = =
(0+2)(0+1) (2)(1) 2

2 c(1) 2c (1 ) 2 c(1)
n=1C 3= = =
(1+2)(1+1) (3)(2) 6

2 c(2) 2 c(2) 2 c (2)

n=2C 4 = = =
(2+2)(2+ 1) ( 4 ) (3) 12
2 c(2) 2 c (2) 2 c (2)
n=3 C5= = =
(3+2)(3+1) ( 5 ) (4) 20
2 c (2 ) 2c (2 ) 2 c (2)
n=4 C 6= = =
(4+ 2)(4+1) (6 ) (5) 30

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d.
 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN
EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓNMATEMÁTICA

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa m sujeta a un resorte o el de un

circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

d2 x dx d2 q dq
m 2
+ β + kx=f (t) L 2
+ β + kq=E (t)
dt dt dt dt

Es una función que representa una fuerza externa f (t) o un voltaje E ( t ) en ecuaciones
diferenciales se resuelve este problema para funciones f (t) continuas. Sin embargo, no es raro
encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy
comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación
diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa
herramienta para resolver problemas de este tipo

La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de

ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función y (t) está definida para t ≥ 0 y la integral impropia converge para s> s0 .
Entonces la transformada de Laplace y (t) existe s> s0 y está dada por:

∞
L { y ( t ) }=∫ e−st y ( t ) dt
0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. Escriba aquí la ecuación .

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

 
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

b. Escriba aquí laecuación .

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d.
 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN
EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES

DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE
Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

y , −3 y=e 2 t
{ y ( 0 )=1 }
Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial

L { y , −3 y }=¿❑ L { e 2t } ¿
 1
L { y , } −3 L { y }=
s−2
1
sY ( s )− y ( 0 )−3 Y ( s )=
s−2
1
sY ( s )−1−3 Y ( s )=
s−2
s−1
Y ( s )=
( s−2 ) (s−3)

−1 2
Y ( s )= +
s−2 (s−3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: y ( t )

1
L−1 { Y ( s) }=−L−1 ( s−2 )+2 L ( s−31 )
−1

y ( t ) =−e 2t +e 3t

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

 
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

b.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d.
 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN
EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

PASO 4
EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA
A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los
aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las
características del problema que se ha planteado y buscar el método de
solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden
seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

PASO 5

EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA

SITUACIÓN PLANTEADA.
Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar
toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra
de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas
utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el
proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error
o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución.
Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN OBSERVACIONES, ANEXOS,

 PLANTEADA GUIA MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN
PLANTEADA
Solución

PASO 8
TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS
Nombre Estudiante Ejercicios Enlace video explicativo
sustentados
Ejemplo: a de todos los https://youtu.be/l8Mfcl_VLYM
Adriana González tipos de
ejercicios.
CONCLUSIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS