MATEMATICAS

Aritmética, algebra, y trigonometría

1º OPERACIONES ARITMETICAS:

INDICE:
1. Estudio del sistema decimal
2. Suma o Adición
3. Resta o Sustracción
4. Multiplicación
5. División
6. Potenciación
7. Radicación
8. Logaritmación
Escala numérica corta:
En la escala numérica corta las cifras se numeran
de derecha a izquierda, esta numeración orden 1 unidades
determina el orden de cada cifra, agrupando las 1 periodo orden 2 decenas
cifras de tres en tres, formamos los periodos, para orden 3 centenas
cada orden de las cifras dentro de cada periodo se
nombran del siguiente modo: orden 4 unidades
 Unidad, decena y centena para el primer 2 periodo orden 5 decenas de mil
periodo. orden 6 centenas
 Unidad de mil, decena de mil, centena de
mil para el segundo periodo. orden 7 unidades
 Unidad de millón, decena de millón y 3 periodo orden 8 decenas de millón
centena de millón para el tercer periodo. orden 9 centenas
 Unidad de billón, decena de billón y
centena de billón para el cuarto periodo. orden 10 unidades
4 periodo orden 11 decenas de billón
orden 12 centenas

Siguiendo el mismo procedimiento se puede nombrar un número indeterminado de cifras

llamando a cada periodo: mil, millón, billón, trillón, cuatrillón, quintillón, sextillón, septillón,
octillón, etc.

Por ejemplo, el número

Se leerá:
trescientos ochenta y cuatro trillones
seiscientos veintiséis billones
cuatrocientos treinta y tres millones
ochocientos treinta y dos mil
setecientos noventa y cinco

Se clasifica así

Se representa

Téngase en cuenta que en el sistema anglosajón la coma se empleaba para separar grupos de tres
cifras, y el punto para separar los decimales, punto decimal, no coma decimal como en español.
 Escala numérica larga:
En la escala larga las cifras se
numeran de derecha a izquierda, el orden 1 unidades
orden de cada cifra es el lugar que 1 clase orden 2 decenas
ocupa en ese orden. orden 3 centenas
1 periodo
orden 4 unidades
Las cifras se agrupan de tres en tres
2 clase orden 5 decenas de mil
de derecha a izquierda, cada uno de
estos grupos de tres cifras se orden 6 centenas
denomina clase, y se numeran
también de derecha a izquierda. orden 7 unidades
3 clase orden 8 decenas
Agrupando las cifras de seis en seis orden 9 centenas
de derecha a izquierda, o lo que es lo 2 periodo de millón
orden 10 unidades
mismo, cada dos clases, se forman
4 clase orden 11 decenas de mil
los periodos, que se numeran
orden 12 centenas
igualmente de derecha a izquierda.
orden 13 unidades
Hecha esta división, tenemos que el
orden dentro de cada clase se 5 clase orden 14 decenas
denominan: unidad, decena y orden 15 centenas
3 periodo de billón
centena, la segunda clase dentro de orden 16 unidades
cada periodo se denomina de mil, el 6 clase orden 17 decenas de mil
segundo periodo son millones, el orden 18 centenas
tercero de billones, etc. En principio
esta clasificación puede continuar
indefinidamente.

Según esto y a la vista del esquema, el nombre de las cifras de izquierda a derecha sería:

 Unidad, decenas y centenas, para la primera clase del primer periodo.

 Unidad de mil, decenas de mil y centenas de mil, para la segunda clase del primer periodo.
 Unidad de millón, decena de millón, centena de millón, para la primera clase del segundo
periodo.
 Unidad de mil de millón, decena de millar de millón, centena de millar de millón, para la
segunda clase del segundo periodo.

Este ciclo de seis cifras dividido en dos clases de tres cifras cada una que se denominan: millón,
billón, trillón, cuatrillón, quintillón, sextillón, septillón, octillón, etc. puede nombrar cualquier
cantidad por muchas cifras que pueda tener, aunque en la práctica solo suele utilizarse hasta
cuatrillón, no nombrándose con todas sus cifras cantidades superiores, ya que en estos casos se
suele emplear la notación científica

Por ejemplo, el número:

Se leerá:
quince mil novecientos treinta y seis cuatrillones
quinientos treinta y cinco mil ochocientos noventa y siete trillones
novecientos treinta y dos mil trescientos ochenta y cuatro billones
seiscientos veintiséis mil cuatrocientos treinta y tres millones
ochocientos treinta y dos mil setecientos noventa y cinco

Se clasifica así

Se representa:

Para una explicación más en profundidad sobre la lectura de los números, léase la
página: Nombres de los números.

La base del sistema decimal es 10.

La numeración:
Es la parte de la Aritmética que enseña a expresar y a escribir los números.
La numeración puede ser hablada y escrita

Numeración hablada es la que enseña a expresar los números

Numeración escrita es la que enseña a escribir los números
Suma o Adición
La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir o agrupar varias cantidades en
una sola.
Para esto, las diferentes cantidades se van añadiendo la una a la otra. Está representada por el
signo + (más).
Veamos algunos ejemplos de sumas simples:
3+5=8 si tenemos tres unidades y le añadimos cinco más, resultaran ocho.
1+8=9 si tenemos la unidad y le añadimos ocho más, resultaran nueve.
Ahora, también podríamos tener sumas más complicadas, es decir, entre cantidades más grandes,
como por ejemplo el caso de 349 + 183
11
349+
183
512 Hemos ordenado la operación de tal manera que las unidades, las decenas y las
centenas queden en un mismo orden.
Una vez realizado esto, sumamos las unidades: 9 + 3= 12, colocamos el 2 y el
1 lo llevamos al siguiente orden.
11
349+
183
532 Ahora sumamos el orden de las decenas: 4 + 8 = 12, pero como llevábamos 1:
12 + 1 =13. Colocamos entonces el 3 y el 1 lo llevamos al siguiente orden.
11
349+
163
532 Finalmente sumamos el orden de las centenas: 3 + 1 = 4, pero como
llevábamos 1: 4 + 1 = 5.
Colocamos el 5 donde corresponde y nos quedara el resultado final: 532
Resta o Sustracción
La resta o sustracción es una operación que tiene por objeto quitarle una parte determinada a una
cantidad. Está representada por el signo - (menos).
Veamos algunos ejemplos de restas simples:
8-5=3 si tenemos ocho unidades y le quitamos cinco, nos quedaran tres.
9-1=8 si tenemos nueve unidades y le quitamos la unidad, quedaran ocho.
Puede darse el caso de restas más difíciles, o mejor dicho, entre cantidades más grandes, como
por ejemplo el caso de 342 - 163
2 3 12
342-
163
519 Ordenamos la operación de manera similar al caso de la suma. Al hacer
esto nos damos cuenta que las unidades no se pueden restar: 2 - 3 no se puede,
entonces el número que sigue al 2 le prestara una unidad, el 2 pasara a ser 12 y
el 4 que presto se convierte en 3. Ahora 12 - 3 =9.
2 13
3 42-
1 63
5 79 Ahora tendríamos que restar en el orden de las decenas, pero no se puede restar
3 - 6, entonces el número que sigue le prestara una unidad, el 4, que
primero se había convertido en 3, ahora pasara a ser 13, el 3 que seguía
quedara como 2. 13 - 6 =7.
2
342-
163
179 Finalmente restamos el orden de las centenas, recordemos que el 3 paso a ser
2, entonces: 2 - 1 = 1. Colocamos el 1 donde corresponde y nos quedara el
resultado final: 179.
Multiplicación

La multiplicación es una operación que tiene por objeto hallar el resultado o producto de sumar
un número (multiplicando) tantas veces como lo indica otro (multiplicador).
Por ejemplo, queremos multiplicar 4 x 5.
4x5 En esta operación 4 es el multiplicando y 5 el multiplicador.
4x5 Entonces se nos pide sumar el numero 4 consigo mismo 5 veces.
4 x 5 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
Existen las llamadas tablas de multiplicar que nos ayudan a conocer los resultados de las
multiplicaciones. Es muy importante recordar estas tablas.
Ahora, también podríamos tener sumas más complicadas, es decir, entre cantidades más grandes,
como por ejemplo el caso de 863 x 487
42
863x
487
6041 Primero multiplicamos 863 x 7. Empezamos por las unidades, así 3x7 =21,
coloco el 1 y llevo 2, luego hacemos 6x7 = 42 más 2 que llevaba 44, coloco 4
c y llevo 4, finalmente 8x7 = 56 más 4 que llevaba 60.
52
863x
487
6041
6904 Ahora multiplicamos 863 x 8, es decir, trabajamos las decenas, así 3x8 =24,
coloco el 4 y llevo 2, luego hacemos 6x8 = 48 más 2 que llevaba 50, coloco 0
y llevo 5, finalmente 8x8 = 64 más 5 que llevaba 69.
21
863x
487
6041 +
6904
3452
420281 Finalmente multiplicamos el orden de las centenas: 863 x 4. Así tendremos 3x4
= 12, coloco el 2 y llevo 1, luego hacemos 6x4 = 24 más 1 que llevaba 25,
coloco el 5 y llevo 2, finalmente 8x4 = 32 más dos que llevaba 34. Véase el
orden en que hemos puesto los resultados parciales, dejando un espacio. Ahora
que están los resultados parciales ordenados, sumamos.
División

La división es la operación inversa a la multiplicación que tiene por objeto, dado el producto de
dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
Por ejemplo, queremos dividir 20 ÷ 5.
20 ÷ 5 En esta operación 20 es el dividendo y 5 el divisor.
20 ÷ 5 Necesitamos saber qué número multiplicado por 5 nos da 20.
20 ÷ 5 El número que cumple esa condición es 4. Entonces: 20 ÷ 5 = 4
Puede darse el caso de divisiones más difíciles, o mejor dicho, entre cantidades más grandes,
como por ejemplo el caso de 745 ÷ 12
745 ÷ 12 Como no podemos hacer directamente 745 entre 12, utilizaremos en principio
los dos primeros dígitos del dividendo (en este caso de 745)
745 ÷ 12
72 6
2 Ahora hacemos 74 ÷ 12 = 6
Pero 12 x 6 = 72, y restamos este resultado del 74 que teníamos.
745 ÷ 12
72 62
25
24
1 Bajamos el 5 que aún no habíamos empleado, quedando 25. Acto seguido
dividimos 25 ÷ 12 = 2
Pero 12 x 2 = 24, y restamos este resultado del 25 que teníamos.
El cociente o resultado será 62 y el residuo será 1
Es muy importante saber las tablas de multiplicar también para realizar estas operaciones.
Potenciación
Una potencia es una multiplicación sucesiva, donde un número (base) se multiplica por sí mismo
la cantidad de veces que lo indica otro número (exponente). Por lo general se representa bn,
donde b es la base y n el exponente
Ahora voy a resolver la siguiente potencia: 54.
54 En esta operación 5 es la base y 4 el exponente.
54 Tenemos que multiplicar 5 por sí mismo 4 veces.
4
5 5 x 5 x 5 x 5 = 625
Algunos ejemplos de potenciación:
22 = 2 x 2 = 4
43 = 4 x 4 x 4 = 64
75 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 16807
Tenemos también dos casos especiales:
a) Cuando el exponente es cero:
Si el exponente es cero, no importara cual sea la base, el resultado siempre será 1.
Ejemplos:
50 = 1
110 = 1
1230 = 1
b) Cuando el exponente es uno:
Si el exponente es 1, el resultado será la base.
Ejemplos:
01 = 0
31 = 3
431 = 43
Radicación
Es una de las operaciones inversas de la potenciación y se representa por n√, donde n es el grado
del radical, √ es el signo radical y dentro de este último ira un número denominado cantidad
subradical.
Se buscara un número que elevado a un exponente igual al grado del radical me dé como
resultado la cantidad subradical.
Veamos el caso de 2√25:
√25 El grado 2 se omite, es decir, cuando no encontremos grado este es 2.
√25 Buscamos un número que elevado a potencia 2 nos de 25.
√25 Se cumple: 52 = 25, entonces la respuesta será 5.
Algunos ejemplos se detallan a continuación:
3
√27 = 3 Porque 33 = 27
3
√64 = 4 Porque 43 = 64
4
√81 = 3 Porque 34 = 81
Podemos profundizar más el tema, podemos ver el método para resolver una raíz cuadrada (grado
2).
Logaritmación
La logaritmación es otra operación inversa a la potenciación en la cual, a diferencia de la
radicación, se busca el exponente al cual debo elevar un número (denominado base del logaritmo)
para llegar a otro número incluido también en la operación.
Por ejemplo, queremos resolver log3 9.
log3 9 El subíndice 3 representa la base del sistema (base del logaritmo).
log3 9 Necesitamos saber a qué potencia debemos elevar 3 para tener 9.
log3 9 El número que cumple esa condición es 2: 32 = 9. La respuesta es 2.
Algunos ejemplos sobre logaritmación:
log7 49 = 2 Porque 72 = 49
log3 243 = 5 Porque 35 = 243
log2 256 = 8 Porque 28 = 256
Tenemos un caso especial en los logaritmos de base 10, también llamado logaritmos vulgares. En
ellos la base del logaritmo se omite.
Por ejemplo:
log 1 = 0 Porque 100 = 1
log 10 = 1 Porque 101 = 10
log 100 = 2 Porque 102 = 100

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
En esta parte del curso de aritmética se incluye todo lo referente a múltiplos, divisores, números
primos, mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
INDICE
 Múltiplos y Divisores
 Caracteres de Divisibilidad
 Números Primos
 Máximo Común Divisor
 Mínimo Común Múltiplo

Múltiplos y Divisores
a) Múltiplos:
Decimos que un número es múltiplo de otro cuando se puede dividir entre este.
Por ejemplo, 8 es múltiplo de 2, porque si dividimos 8÷2 nos da resultado exacto.
A continuación presentamos algunos ejemplos:
20 es múltiplo de 5, porque 20÷5 nos da resultado exacto
28 es múltiplo de 7, porque 28÷7 nos da resultado exacto
81 es múltiplo de 3, porque 81÷3 nos da resultado exacto
b) Divisores:
 El divisor, también llamado factor o submúltiplo, es lo inverso al múltiplo.
Por ejemplo, 4 es divisor de 24, ya que 24 se puede dividir entre 4.

Algunos ejemplos de divisores:

5 es divisor de 20, porque 20 se puede dividir entre 5
7 es divisor de 28, porque 28 se puede dividir entre 7
3 es divisor de 81, porque 81 se puede dividir entre 3
Caracteres de Divisibilidad
Evaluaremos algunas técnicas para conocer, por simple inspección, si un número es divisible por
otro.
a) Divisibilidad por 2:
Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o número par.
Ejemplo:
Podemos decir que 1184 es divisible por 2, ya que termina en número par.
b) Divisibilidad por 3:
Un número será divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos nos de múltiplo de 3.
Ejemplo:
Tenemos 6345, entonces hacemos 6+3+4+5= 18, y como 18 es múltiplo de 3,
concluimos que 6324 es divisible por 3.
c) Divisibilidad por 4:
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4
Ejemplo:
El número 4548 es divisible por 4, porque sus dos últimas cifras forman 48 que es
múltiplo de 4.
d) Divisibilidad por 5:
Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco.
Ejemplo:
El número 530 es divisible por 5, ya que termina en 0.
Otro ejemplo seria el caso de 1995, número que también es divisible por 5, pues termina
en 5.
e) Divisibilidad por 6:
Un número es divisible por 6 cuando es divisible a la vez por 2 y por 3.
Ejemplo:
Digamos que tenemos el número 2484. Como termina en número par podemos decir
que es divisible por 2. Además al sumar sus cifras 2+4+8+4= 18 vemos que es divisible
por 3. Como es divisible a la vez por 2 y por 3, concluimos que es divisible por 6.
f) Divisibilidad por 7:
Ejemplo:
Para saber si el número 2058 es divisible por 7, haremos lo siguiente 2058
Primero seleccionamos el último digito y lo multiplicamos por 2 2058 x 2 = 16
Ahora el resultado lo restamos de la parte del número que no hemos utilizado, es decir, restamos
16 de 205. 2058 x 2 = 16
16
189
Seleccionamos el último digito de lo que nos va quedando (de 189) y lo multiplicamos por 2
2058 x 2 = 16
16
189 x 2 = 18
El resultado lo restamos de la parte del número que no hemos utilizado, en este caso, restamos 18
de 18. 2058 x 2 = 16
16
189 x 2 = 18
18
----
Si el residuo al final es cero (como en este caso) o múltiplo de siete, el número será divisible por
7.
f) Divisibilidad por 8:
Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
Ejemplo:
El número 86064, es divisible por 8, ya que sus últimas tres cifras forman 064 que es
igual a decir 64, y este número es múltiplo de 8.
g) Divisibilidad por 9:
Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos da como resultado múltiplo
de 9.
Ejemplo:
El número 7893 es divisible por 9, ya que 7+8+9+3= 27 y dicho número es múltiplo
de 9.
Números Primos
Un número primo es aquel que solamente es divisible por sí mismo y por la unidad.
Algunos ejemplos son:
El número 2, solo es divisible por 2 y por 1
El número 3, solo es divisible por 3 y por 1
El número 17, solo es divisible por 17 y por 1
A continuación una tabla de números primos entre 1 y 150:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
Máximo Común Divisor
El máximo común divisor (o simplemente MCD) de dos o más números es el mayor número que
divide a todos exactamente.
Tenemos una forma práctica para encontrarlo.
84 - 24 - 60 Queremos hallar el MCD de 84, 24 y 60

Buscamos un número que divida exactamente a todos los números

(trabajaremos con 2) y efectuamos las divisiones, los resultados los ponemos
abajo.

Buscamos un número que divida exactamente a 42, 12 y 30 (trabajaremos

con 2) y efectuamos las divisiones. Los resultados los ponemos abajo.

Ahora buscamos un número que divida exactamente a 21, 6 y 15 (resulta

ser el número 3), efectuamos las divisiones y ponemos los números abajo.
Como no hay ningún número que divida exactamente a 7, 2 y 5 lo dejamos
ahí. Para terminar debemos multiplicar 2 x 2 x 3 = 12 y ese es el MCD
Si a la hora de querer hallar el MCD no encontramos ningún divisor común, el MCD será igual a
la unidad: MCD = 1. Si por ejemplo queremos hallar el MCD de 21, 11 y 16, vemos que no
tienen ningún divisor común a los tres, entonces su MCD = 1.
Mínimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo, o simplemente MCM, de dos o más números es aquel número que
contiene exactamente a cada uno de ellos.
Tenemos una forma práctica para hallarlo:
15 - 30 - 18 Queremos hallar el MCM de 15, 30 y 18

Buscamos un número que divida exactamente a todos los números, o en

todo caso a la mayor cantidad posible. Tenemos al número 3 que puede
dividir a todos, los resultados los ponemos abajo.

Buscamos un número que divida exactamente a 5, 10 y 6 o a la mayor

cantidad posible de ellos (trabajaremos con 2 que puede dividir a 10 y a 6)
y efectuamos las divisiones. Los resultados los ponemos abajo.
 Ahora buscamos un número que divida exactamente a 5, 5 y 3 o a la
mayor cantidad posible de ellos (resulta ser el número 5), efectuamos las
divisiones y ponemos los números abajo.

Finalmente, buscamos un número que divida exactamente a 3 (los otros

dos números ya fueron reducidos a su mínima expresión). Este número es 3.
El resultado del MCM será el producto de todos los números que hemos ido encontrando: MCM
= 3 x 2 x 5 x 3 = 90
Encontráremos algunos casos especiales en el MCM, por ejemplo:
a) Si los números dados son primos:
Para hallar el MCM multiplico directamente todos los números.
Por ejemplo: 3, 5 y 7 son números primos, entonces su MCM = 3 x 5 x 7 = 105
b) Si el mayor de los números es múltiplo de los otros:
El MCM será el número mayor
Por ejemplo, si tenemos 2, 4 y 16, vemos que 16 es múltiplo de 2 y de 4, entonces
MCM = 16

NUMEROS ENTEROS
Rápidamente nuestro sistema numérico quedo limitado, pues no nos permitía representar
numéricamente muchas cosas, como por ejemplo, una deuda, una temperatura bajo cero o un
saldo en contra. Para solucionar este problema aparecen los números enteros, mismos que pueden
ser positivos o negativos.
INDICE:
 Números Enteros Positivos y Negativos
 Comparación
 Adición y Sustracción
 Multiplicación
 División
 Potenciación
 Radicación
Números Enteros Positivos y Negativos
a) Números Enteros Positivos:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los
enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos
anteponerle el signo +.
El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8
El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24
Los números 11, +32, +7, 35 son enteros positivos (no es necesario anteponer +).
b) Números Enteros Negativos:
Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y
necesariamente debemos anteponerle el signo -.
El número -8 es un entero negativo.
El número -24 es un entero negativo.
Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran
necesariamente el signo -.
c) Valor Absoluto:
El valor absoluto será la distancia que haya entre determinado número al origen de la recta
numérica. En la práctica el valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin importar el
signo positivo o negativo.
Para hallar el valor absoluto de -33: |-33| = 33
Para hallar el valor absoluto de +15: |+15| = 15
Comparación de Números Enteros
Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:
a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Ejemplo:
4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo.
+3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.
b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad.
Ejemplo:
+5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3.
16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8.
+13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.
c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad.
Ejemplo:
-2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5.
-11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que 13
Adición y Sustracción de Números Enteros
Tendremos dos posibilidades, las cuales son:
a) Si tenemos números de igual signo:
Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las
cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.
Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11
35 +46 +11 En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11
35 +46 +11 Lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92+92 = 92
El resultado también será positivo.
Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21
-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21
-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61
-61 El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.
b) Si tenemos números de signos diferentes:
Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el
resultado llevara el signo del número mayor.
Si: 35 -46
35 -46 En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.
35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 - 35 = 11
-11 Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también
negativo.

Otro ejemplo: -12 +28

-12 +28 En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.
-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16
+16 = 16 Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también
positivo
Multiplicación de Números Enteros
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es
proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos
hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley
de Signos:
(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo
(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número
negativo
(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número
negativo
(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo
Ejemplo:
Queremos multiplicar -20 x 5
-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.
-20 x + 5 En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.
20 x 5 = 100 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 20 x 5 = 100
-20 x 5 = -100 Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número
negativo
Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números
enteros o con signo que se nos presente.
División de Números Enteros
Cuando tengamos que dividir números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a
dividir los números sin importarnos el signo que estos tengan.
Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo
a la siguiente Ley de Signos (que es prácticamente la misma que la que utilizamos en
multiplicación):
(+) ÷ (+) = (+) El resultado de dividir dos números positivos es un número positivo
(+) ÷ (-) = (-) El resultado de dividir un número positivo entre otro negativo es un
número negativo
(-) ÷ (+) = (-) El resultado de dividir un número negativo entre otro positivo es un
número negativo
(-) ÷ (-) = (+) El resultado de dividir dos números negativos es un número positivo
Ejemplo:
Queremos dividir -80 ÷ -5
-80 ÷ -5 En esta operación tanto -80 como -5 son números negativos.
80 ÷ 5 = 16 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 80 ÷ 5 = 16
-80 ÷ -5 = +16 Como tenemos dos números negativos dividiéndose, el resultado será
número positivo
-80 ÷ -5 = 16 Recordando siempre que cuando un número es positivo no es necesario
ponerle signo
El mismo procedimiento se empleara para cualquier caso de división de números enteros o con
signo que se nos presente.
Potenciación de Números Enteros
Ya hemos definido previamente lo que es la potenciación, por lo cual en esta sección nos
orientaremos a definir que signo llevara la respuesta de una potencia.
Si el exponente es un número positivo (recordando que cuando no tiene signo es número positivo
también), podemos afirmar que de acuerdo al signo de la base y si el exponente es número par o
impar, tendremos:
(+)impar = (+) Cualquier número positivo elevado a exponente impar tiene resultado
positivo
(+)par = (+) Cualquier número positivo elevado a exponente par tiene resultado
positivo
(-)impar = (-) Cualquier número negativo elevado a exponente impar tiene resultado
negativo
(-)par = (+) Cualquier número negativo elevado a exponente par tiene resultado
positivo
Ejemplos:
163 = 16 x 16 x 16 = 4096
-142 = -14 x -14 = 196
-173 = -17 x -17 x -17 = -4913
Pasará diferente si el exponente es negativo. Cuando encontremos un exponente negativo
haremos lo siguiente:
5-3 En este caso encontramos exponente negativo: -3
1
53 Lo que debemos hacer en estos casos es colocar 1 sobre la misma base
elevada ahora a exponente positivo
1
125 Resolvemos la potencia abajo y el resultado será un número f
 fraccionario (veremos más acerca de números fraccionarios más
adelante)
Radicación de Números Enteros
Recordemos que la radicación es una de las operaciones inversas de la potenciación y se
representa por n√, donde n es el grado del radical, √ es el signo radical y dentro de este último ira
un número denominado cantidad subradical.
Nosotros buscamos un número que elevado a un exponente igual al grado del radical me dé como
resultado la cantidad subradical, misma que podrá ser un número positivo o negativo.
Al resolver nos podemos ver en cualquiera de los siguientes casos:
impar
√ (+) = (+) Raíz impar de un número positivo dará otro número positivo
√ (+) = (+) y (-)
par
Raíz par de un número positivo dará un número positivo y otro
negativo.
√ (-) =
par
no se puede Raíz par de un número negativo no se puede determinar
impar
√ (-) = (-) Raíz impar de un número negativo dará otro número negativo
Veamos el caso de 2√25:
√25 El grado 2 se omite, es decir, cuando no encontremos grado este es 2.
√25 Buscamos un número que elevado a potencia 2 nos de 25.
√25 Se cumple: 52 = 25, entonces la respuesta será 5 (respuesta positiva)
√25 Se cumple: -52 = 25, entonces la respuesta será -5 (respuesta negativa)
√25 = 5 y -5 Se tiene dos respuestas en este caso, una positiva y otra negativa.

NUMEROS FRACCIONARIOS
Los números fraccionarios surgen de la necesidad de representar cantidades inexactas. Podríamos
dar muchas definiciones sobre lo que es un número fraccionario, fracción o quebrado, pero
básicamente una fracción es una forma de representar una división inexacta
INDICE
 Fracciones: Simplificación y Fracciones Equivalentes
 Comparación
 Adición y Sustracción
 Multiplicación
 División
 Potenciación
 Radicación
Fracciones: Simplificación y Fracciones Equivalentes
a) ¿Qué son las fracciones?:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad inexacta, por lo general vienen de
una división inexacta.
Ejemplo:
8÷5 El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
8÷5=8
5 El resultado de esta división inexacta lo podemos representar como un número
fraccionario
Ahora, este número fraccionario, o simplemente fracción tendrá sus partes definidas:
8 ~> es el numerador
5 ~> es el denominador
Además cabe resaltar que la raya o división central representa el operador matemático de
división.
b) Números Mixtos:
Cuando el numerador sea mayor que el denominador, tendremos la posibilidad de representar la
fracción como número mixto, es decir, una parte entera y otra parte fraccionaria. Veamos
nuevamente nuestro caso:
8÷5 El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
8÷5=8
5 El resultado de esta división inexacta lo podemos representar como un número
fraccionario o también como número mixto.
8=1 3
5 5 Para representarlo como número mixto debemos realizar la división. De ella el
cociente o resultado será la parte entera y el residuo será el numerador de la
parte fraccionaria
8=1 3
5 5 Nótese que el denominador no cambia. Este número se leerá como 1 entero
(parte entera) y tres quintos (parte fraccionaria).
Claro que también podría darse el caso de que tengamos un número mixto y lo tengamos que
llevar a su forma fraccionaria.
Veamos el siguiente caso:
3 5
9 Tenemos tres enteros (parte entera) y cinco novenos (parte fraccionaria)
3 5
9 Para empezar, debemos multiplicar la parte entera por el denominador de la
parte decimal, para nuestro caso haremos: 3 x 9 = 27
3 5
9 Al resultado que teníamos le añadimos (en otras palabras le sumamos) el
numerador, para nuestro caso será: 27 + 5 = 32
3 5 = 32
9 9 El número que hemos encontrado, es decir, el 32 será el numerador de nuestra
fracción. Nótese también que el denominador no cambiara.
b) Fracciones Equivalentes:
Hablamos de fracciones equivalentes cuando tenemos fracciones que valen exactamente lo
mismo aunque se escriban de diferente manera. Existen básicamente dos formas de hallar
fracciones equivalentes y son por simplificación y por ampliación.
En este primer ejemplo veremos una simplificación:
4
6 En esta fracción podemos observar que tanto el número 4 como el número
6 son divisibles entre 2.
4 ~> ÷2 ~> 2
6 ~> ÷2 ~> 3 Entonces dividimos a ambos números entre 2 (siempre debemos dividir a
ambos entre el mismo número) y hallamos su equivalente.
Es muy recomendable simplificar siempre las fracciones para tener una mejor presentación.
Pero ahora veamos un ejemplo de ampliación:
3
4 En esta fracción no se puede simplificar, pero si se podrá ampliar de acuerdo
a lo que nos convenga.
3 ~> x3 ~> 9
4 ~> x3 ~> 12 Podemos multiplicar a ambos números por un mismo número (por ejemplo 3)
y hallamos una fracción equivalente.

Comparación de Números Fraccionarios

En el caso ideal de comparación se tienen fracciones de igual denominador, entonces la de mayor
numerador será la mayor.
Ejemplo:
4y5 La mayor de ellas es 5 porque tiene igual denominador pero mayor numerador.
7 7 7
Pero por lo general nos encontraremos con fracciones de diferentes denominadores, entonces
tendremos que hacer un par de multiplicaciones para determinar cuál es mayor, cual es menor, o
si son iguales:
3 y 5
4 6 En este caso nosotros debemos determinar cuál de estas fracciones representa
mayor cantidad.
3 y 5
4 6 Multiplicaremos en forma cruzada los numeradores con los denominadores.
Así tendremos: 3 x 6 = 18 y 5 x 4 = 20
3 y 5
4 6
18 <20 Vemos que he colocado los resultados abajo de las fracciones y los he
comparado. En este caso en particular resulta que el número 20 es mayor que el
número 18
3 < 5
4 6
18 <20 Entonces lo mismo se repetirá en la fracción y 5 es mayor que 3
6 4
Adición y Sustracción de Números Fraccionarios
Los números fraccionarios nos ofrecen la ventaja de poder trabajar sumas y restas al mismo
tiempo. Para resolver una suma o resta debemos seguir los siguientes pasos:
3+5-2
4 3 9 En este ejemplo tenemos suma y resta a la vez. Lo primero que
debemos hacer es hallar el mínimo común múltiplo de los
denominadores.
3+5-2
4 3 9 El mínimo común múltiplo de 4, 3 y 9 es 36.
Este número pasara a ser el denominador de la respuesta.
3+5-2=
4 3 9 36 Ahora tenemos que dividir el mínimo común múltiplo entre el primer
denominador, es decir, 36 ÷ 4 = 9
3+5-2=
4 3 9 36 Ese resultado que nos va dando lo multiplicamos ahora por el primer
numerador, es decir, 9 x 3 = 27
3 + 5 - 2 = 27+
4 3 9 36 El 27 que nos da lo colocamos en el numerador y como después viene
el signo más (+) en nuestra operación también lo colocamos
3 + 5 - 2 = 27+
4 3 9 36 Ahora trabajaremos de manera similar para la segunda fracción.
Dividimos el mínimo común múltiplo entre el segundo denominador:
36 ÷ 3 = 12
3 + 5 - 2 = 27+
4 3 9 36 Ese resultado que nos va dando lo multiplicamos ahora por el segundo
numerador, es decir, 12 x 5 = 60
3 + 5 - 2 = 27+60-
4 3 9 36 Colocamos el 60 en el numerador y colocamos el signo que viene a
continuación, es decir, menos (-)
3 + 5 - 2 = 27+60-
4 3 9 36 Repetimos el mismo trabajo para la tercera fracción. Primero dividimos
el mínimo común múltiplo entre el tercer denominador: 36 ÷ 9 = 4
3 + 5 - 2 = 27+60-
4 3 9 36 El resultado que nos da lo multiplicamos ahora por el tercer numerador,
es decir, 4 x 2 = 8
3 + 5 - 2 = 27+60 -8
4 3 9 36 Finalmente colocamos 8 en el numerador. Solo nos faltara resolver la
operación que se presenta en el numerador: 27 + 60 -8 = 79
3 + 5 - 2 = 79
4 3 9 36 El resultado de la operación será el que dejo indicado. En este caso no
se puede simplificar, pero si deseamos podríamos llevarlo a número
mixto.

Multiplicación de Números Fraccionarios

Cuando tengamos que multiplicar dos o más números fraccionarios, simplemente debemos
multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores.
Si por ejemplo tenemos:
2x3x5 tendremos que multiplicar: 2 x 3 x 5 = 30
5 4 3 5 x 4 x 3 60
Claro que aun podríamos simplificar:
30 = 1 (hemos dividido, tanto al numerador como al denominador entre 30)
60 2
Pero para ahorrarnos la simplificación, podríamos ir simplificando antes de multiplicar, ya que
podemos simplificar cualquier numerador con cualquier denominador:
2x3x5
5 4 3 Esta es la operación original
2x3x5
5 4 3 Puedo simplificar el numerador 2 con el denominador 4, para ello divido a
ambos entre 2.
1x3x5
5 2 3 Ahora simplifico el numerador 3 con el denominador 3, para ello divido a
ambos entre 3.
1x1x5
5 2 1 Finalmente podemos simplificar el numerador 5 con el denominador 5, para
ello dividimos a ambos entre 5.
1x1x1=1
1 2 1 2 Resolvemos la multiplicación (multiplicamos todos los numeradores y todos
los denominadores) y llegamos a la misma respuesta simplificada
División de Números Fraccionarios
Cuando tengamos que dividir números fraccionarios en realidad lo que se nos pide es hacer una
multiplicación cruzada.
Ejemplo:
2÷3=8 (hemos multiplicado 2 x 4 para hallar el numerador 8)
5 4 15 (hemos multiplicado 5 x 3 para hallar el denominador 15)
También podemos convertir la división a multiplicación, para esto cada vez que veamos una
operador ÷ lo podremos reemplazar por un operador x siempre y cuando invirtamos la fracción
que viene después del operador. Veamos el ejemplo anterior:
2÷3= 2x4=8 (hemos cambiado el operador ÷ por el operador x, y además
5 4 5 3 15 hemos invertido la fracción que venía después del ÷)
Lo más recomendable es llevarlo a multiplicación ya que así la operación la podemos hacer
directamente sin importar la cantidad de fracciones que tengamos y además podemos simplificar
antes de multiplicar. Por ejemplo:
4÷3÷2÷1 (si la queremos resolver por multiplicación cruzada lo tendremos
5 2 5 3 que hacer de dos en dos y además no puedo simplificar antes)
4x2x 5x 3 (ahora lo he convertido a multiplicación, puedo resolver todo
5 3 2 1 directamente y además podemos simplificar antes)
Solamente podemos simplificar antes de operar en la multiplicación
Potenciación de Números Fraccionarios
En la potenciación de números fraccionarios, o simplemente fracciones, tendremos que observar
una condición y esta es que la fracción debe estar entre paréntesis para que la potencia la afecte a
toda ella.
Si por ejemplo tenemos:
(4)3 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64
3 33 3 x 3 x 3 27
Pero si lo tenemos sin paréntesis:
43 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64
3 3 3 3
En los dos ejemplos anteriores observamos claramente el efecto del paréntesis y la necesidad de
su empleo en la potenciación de fracciones.
Radicación de Números Fraccionarios
En este caso el radical afectara tanto al numerador como al denominador.
Ejemplo:
3
√8 = 3√8 = 2 (porque 2 x 2 x 2 = 8)
27 3√27 3 (porque 3 x 3 x 3 = 27)

FRACCIONES DECIMALES
Los números fraccionarios se pueden representar también como números decimales. En esta
sección estudiaremos a fondo cuales son y como se trabaja con ellos.
INDICE:
 Fracciones Decimales
 Adición y Sustracción
 Multiplicación
 División
 Potenciación
 Conversión de Fracción a Decimal
 Conversión de Decimal a Fracción
Fracciones Decimales
a) ¿Qué son las fracciones decimales?:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad inexacta, y que presentan una
parte entera y una parte decimal, mismas que se encuentran separadas por la coma decimal (,).
Ejemplo:
0,65 Este número es una fracción decimal o simplemente un decimal pues encontramos la
coma decimal
0,65 La parte entera se encontrara a la izquierda de la coma decimal, en este caso será 0.
0,65 La parte decimal se encuentra a la derecha de la coma decimal, en este caso será 65.
Existen dos clases de decimales:
 Finitos
 Infinitos.
c) Decimales Finitos:
Cuando la parte decimal tiene un final determinado y no va mas allá, decimos que se trata de un
decimal finito.
El ejemplo anterior nos decía que teníamos 0,65.
Aquí vemos que la parte decimal termina con el número 65 y no sigue por lo tanto se trata de un
decimal finito.
c) Decimales Infinitos:
Son aquellos en los que la parte decimal no tiene un final determinado. Dentro de ellos tenemos
dos que son muy importantes y son:
c.1) Decimales Periódicos Puros:
En ellos se repite siempre el mismo número o periodo.
Ejemplo:
0,161616...... En la parte decimal se repite infinitas veces el 16
0,16 Entonces 16 es el periodo, el decimal se puede escribir así.
c.2) Decimales Periódicos Mixtos:
Encontramos una parte que no se repite y otra que se repite infinitas veces.
0,143333..... En la parte decimal el 14 no se repite y el 3 se repite.
0,143 Podemos escribirlo también así.
Adición y Sustracción de Decimales
Podemos sumar y restar decimales de una manera simple y directa siempre y cuando los
ordenemos de acuerdo a la coma decimal. Por ejemplo, digamos que queremos sumar 18,36 con
1,172:
18,36 +
1,172 Vemos como ordenamos la coma decimal de manera tal que quede a la misma
altura en ambos términos.
18,360+
1,172 Inclusive si queremos podemos añadir un cero de manera que ambos términos
tengan tres decimales.
18,360+
1,172
19,532 Finalmente sumamos como siempre lo hemos hecho y colocamos la coma
decimal en el mismo orden en que se encontraba previamente. La respuesta
será: 19,532
Veamos ahora el caso de una resta, por ejemplo 5 - 1,976:
5 -
1,976 Ordenamos la operación de acuerdo a la coma decimal. Como el número 5 no
tiene parte decimal lo ponemos sobre la parte entera.
5,000 -
1,976 En la resta o sustracción es muy recomendable añadir ceros a la parte decimal
de manera que ambos términos tengan los mismos decimales.
5,000 -
1,976
3,024 Finalmente restamos como ya sabemos colocando la coma decimal en el
mismo orden que le correspondía. Obtendremos por respuesta en este caso: 3,024
Multiplicación de Decimales
En la multiplicación de decimales no importara la cantidad de decimales que se tengan, no será
necesario ni recomendable completar con ceros, simplemente tenemos que empezar a realizar la
multiplicación sin importarnos la cantidad de decimales que se tengan. Si por ejemplo
quisiéramos multiplicar 3,87 x 18,9:
387x
189 Nótese que hemos omitido las comas decimales en los números que voy a
multiplicar.
387x
189
3483
3096
387
421443 En este segundo paso hemos realizado la multiplicación de 387 x 189 sin
importarnos para nada las comas decimales y hemos llegado a un resultado
igual a 421443. Ahora que tengo este resultado recién me voy a preocupar de
 las comas decimales para poder expresar mi respuesta dentro del campo de
estos números.
421,443 Como tengo en total tres decimales (dos en 3,87 y uno en 18,9) mi
respuesta llevara tres decimales y será: 421,443

División de Decimales
Para dividir números decimales debemos tener exactamente la misma cantidad de decimales en el
dividendo como en el divisor. Por ejemplo:
18,36 ÷ 0,09 En este caso podemos dividir porque tenemos dos decimales tanto en el dividendo
como en el divisor
1836 ÷ 009 Entonces al cumplir esta condición omitimos las comas decimales
1836 ÷ 9 Como los ceros ahora no tienen sentido también los omitimos
1836 ÷ 9
18 204
--36
36
-- Realizamos la división, primero dividimos 18 entre 9, que resulta ser 2, no nos
queda nada y bajamos el 3, ahora dividimos 3 entre 9 y como no se puede
colocamos 0 y bajamos el 36; finalmente hacemos 36 entre 9 que nos da 4
y no quedara nada. Entonces la respuesta final será 204 (nótese que la respuesta
en este caso es entera)
Claro que también puede darse el caso que tengamos fracciones con diferente cantidad de
decimales.
Ejemplo:
14,1 ÷ 0,12 En este caso el dividendo tiene un solo decimal y el divisor tiene dos.
14,10 ÷ 0,12 Completare con ceros para que ambos tengan igual cantidad de decimales.
1410 ÷ 012 Ahora ya puedo omitir las comas decimales
1410 ÷ 12 Y también puedo omitir los ceros que no me sirven.
1410 ÷ 12
12 117
21
12
90
84
6 Procedo a efectuar la división, primero dividiré 14 entre 12, lo cual me
resulta 1 y me quedan 2. Ahora bajo el 1 y divido 21 entre 12 que será 1 y
me quedan 9. Finalmente bajo el 0 y divido 90 entre 12 que resulta ser 7, pero
me queda 6 como residuo.
1410 ÷ 12
12 117,
21
12
90
84
 60 Pero podremos seguir trabajando ya que no es lo mas recomendable dejar
residuo cuando estemos trabajando con decimales (en realidad en ningún caso es
recomendable dejar residuo).

Para seguir trabajando colocamos la coma decimal en el cociente o respuesta.

Al hacer esto automáticamente coloco un cero al lado del residuo.
1410 ÷ 12
12 117,5
21
12
90
84
60
60
-- Ahora que ya empezamos a trabajar con la parte decimal podemos seguir
dividiendo. En este caso tendremos 60 entre 12, lo cual nos da 5 y no deja
ningún residuo. Finalmente la respuesta será 117,5.
Para que se note mejor el trabajo se ha dejado indicado en rojo el trabajo de
la parte decimal.
Recuerda que cuando tengas residuo debes aumentar la coma decimal y automáticamente se
coloca cero al costado de ese residuo.
Potenciación de Decimales
Simplemente debemos observar la definición fundamental de potencia, misma que dice que: Una
potencia es una multiplicación sucesiva, donde un número (base) se multiplica por si mismo la
cantidad de veces que lo indica otro número (exponente). Por lo general se representa bn, donde b
es la base y n el exponente.
Entonces si tenemos un número cualesquiera elevado a una potencia, significara que debemos
multiplicarlo por si mismo la cantidad de veces que la potencia lo indique.
Ejemplo:
(3,11)3 = 3,11 x 3,11 x 3,11
(3,11)3 = 3,11 x 3,11 x 3,11
(3,11)3 = 9,6721 x 3,11
(3,11)3 = 30,080231
Conversión de Fracción a Decimal
Podemos convertir una fracción a decimal si dividimos el numerador entre el denominador. Esto
lo podemos realizar para cualquier fraccionario que tengamos.
Por ejemplo, queremos convertir a decimal la fracción 5
2
5 ÷ 2 Empezaremos a dividir el numerador entre el denominador
5÷2
4 2,5
10
10
-- Dividimos y tenemos que me da como resultado 2 y tenemos un residuo de 1. Podemos
llevarlo a decimal añadiendo la coma decimal y colocando cero al lado del residuo (en
rojo).
Una vez realizado esto seguimos trabajando y tendremos 10 entre 2 que me da 5 y no
queda ningún residuo.
La fracción propuesta es igual al decimal 2,5

Veamos otro ejemplo, queremos convertir a decimal la fracción 2

3
2÷3 Empezaremos a dividir el numerador entre el denominador
20 ÷ 3
0, En este caso no se puede resolver 2 entre 3, entonces empezamos colocando 0,
(ya esta la coma decimal) y añadimos un cero al 2.
20 ÷ 3
18 0,66
20
18
2 Empezamos a dividir, 20 entre 3 nos dará 6 con residuo 2, como ya hemos
colocado la coma decimal anteriormente se coloca un cero automáticamente al
lado del residuo y volvemos a dividir 20 entre 3 lo cual nos dará 6 con residuo 2.
Podemos darnos cuenta que se repetirá siempre lo mismo entonces decimos que es un
decimal periódico puro y es 0,6
Conversión de Decimal a Fracción
En este caso tendremos tres posibilidades, una para cada tipo de decimal estudiado en el apartado
1.
a) Decimales Finitos:
Veamos un ejemplo:
1,17 En este ejemplo queremos llevar 1,17 a fracción
1,17 Vemos que este número tiene dos decimales
117
100 Entonces colocaremos todo el número sin coma decimal como númerador y en el
denominador colocaremos un 1 seguido de dos ceros (uno por cada decimal)
Se coloca el número sin coma decimal como numerador y en el denominador se coloca 1 seguido
de tantos ceros como decimales tenga el número en su forma decimal.
b) Decimales Periódicos Puros:
Veamos un ejemplo:
2,283 Tenemos este decimal en el cual se repite el periodo 283.
2,283 El periodo (o lo que se repite) son tres números.
2 283
999 En este caso separamos la parte entera de la parte decimal. A la parte decimal la
colocamos como numerador sobre un denominador formado por tres 9 (uno por cada
decimal). Nótese que es un número mixto.
2281
999 Podríamos llevar ese numero mixto a fracción para así obtener la fracción
equivalente a 2,283
Se formara primero un Número Mixto, se separa la parte entera y la parte decimal ira como
numerador y en el denominador se colocaran tantos nueves como decimales tenga el periodo del
decimal.
c) Decimales Periódicos Mixtos:
Veamos un ejemplo:

5,246 Tenemos un decimal periódico mixto, en el 2 es la parte que no se repite y 46 es la

parte que se repite infinitas veces.
5,246 Son dos los decimales que se repiten.
5,246 Es un solo decimal el que no se repite.
5 246 -2
990 Separamos la parte entera de la decimal. En el numerador restare toda la parte decimal
menos la parte que no se repite. En el denominador colocare un 9 por cada número que se
repite y un 0 por cada número que no se repite.
5 244
990 Efectuamos la resta y llegamos a este número mixto que se presenta. Podemos aún
simplificar la parte fraccionaria.
5 122
495 Una vez simplificado podríamos llevarlo a su forma fraccionaria aún, para lo cual
seguiremos el procedimiento de llevar un número mixto a fracción
2597
495

NUMEROS IRACIONALES
Los números irracionales son aquellos que representan un decimal infinito y este no tiene
ninguna relación ni periodo en particular. Principalmente provienen de radicales inexactos.
INDICE:
 Números Irracionales
 Adición y Sustracción
 Multiplicación
 División
 Potenciación
 Operaciones Combinadas con Radicales

Números Irracionales
Al resolver una raíz cuadrada inexacta, como por ejemplo √2, encontraremos una respuesta
decimal 1,4142135623730950488016...... Que como vemos será infinita y en la cual no
encontramos ninguna relación ni periodo definido. Este tipo de números son conocidos como
Números Irracionales.
Es mucho mas sencillo decir simplemente √2, que decir todo el número decimal, es más, es más
exacto y preciso decir √2 que decir todo el número decimal (finalmente este decimal no será más
que una aproximación).

Adición y Sustracción de Irracionales

Podemos sumar y restar números irracionales solamente cuando el radical que tengamos sea el
mismo en los términos que me dispongo a sumar y restar. Lo explicaremos mejor mediante
ejemplos:
Ejemplo 1:
3√2 +5√2 - √2 En este caso se me pide realizar una operación combinada de suma y
resta
3√2 +5√2 - √2 Podremos sumar y restar ya que todos los términos tienen √2
Ejemplo 2:
3√3 +5√2 - √5 Aquí también se me pide realizar una operación combinada de suma y
resta
3√3 +5√2 - √5 Sin embargo no será posible porque los tres radicales son diferentes.
Pero, ¿cómo se pueden realizar estas operaciones?
Volvamos al Ejemplo 1:
3√2 +5√2 - √2 Ya sabemos que podremos sumarlo y restarlo sin ningún problema.
3√2 +5√2 - 1√2 Debemos saber que cuando tengamos el radical solo siempre habrá un
"1"
3√2 +5√2 - 1√2 Para resolver este ejercicio bastara con sumar los números fuera de los
radicales.
3√2 +5√2 - 1√2 Tendré que resolver 3 + 5 - 1 = 7 y la parte radical no cambiara.
3√2 +5√2 - 1√2 = 7√2
Veamos ahora otro ejemplo:
4√7 -2√7 + √7 Como todos los términos tienen √7 podré sumar y/o restar sin problema
4√7 -2√7 + 1√7 Hemos añadido un "1" donde no había numero con el radical.
4√7 -2√7 + 1√7 = 3√7
Multiplicación de Irracionales
Existe una propiedad de los números irracionales, y en general de los radicales, que nos
dice: n
√a.b = n√a n√b (y viceversa)
Esto significa que si tengo dos números multiplicándose dentro de una raíz, puedo extraer la raíz
de cada uno de ellos y luego multiplicarlos; o también que si tengo dos raíces de igual grado
multiplicándose puedo multiplicar los números y obtener la raíz después.
Ejemplo 1:
√9.4 = √9. √4 = 3. 2 = 6
=> Primero tenia dentro de la raíz cuadrada 9x4, entonces saque raíz cuadrada a cada uno de los
números para finalmente multiplicarlos.
Ejemplo 1:
√12.3 = √12. √3 = √36 = 6
=> En este caso no me convenía hacer lo del ejemplo anterior, por eso multiplique 12x3 primero
y luego saque la raíz cuadrada a este resultado.
División de Irracionales
La propiedad nos dice que: n
√a ÷ n√b = n√a÷b (y viceversa)
Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, dará lo mismo si las resolvemos
por separado y después las dividimos, que si primero las dividimos y luego extraemos la raíz.
Ejemplo1:
3
√27 ÷ 3√8 = 3 ÷ 2 = 1,5
=> Primero hemos extraído las dos raíces cúbicas para luego dividir los resultados.
Ejemplo 2:
3
√64 ÷ 3√8 = 3√64÷8 = 3√8 = 2
=> Ahora hemos resuelto primero la división de las cantidades subradicales y dejamos al ultimo
la raíz cúbica.

Potenciación de Irracionales
Lo único que debemos hacer es pasar el grado del radical a dividir al exponente. Veamos algunos
ejemplos:
Ejemplo 1:
3
√66 = 66/3 = 62 = 36
=> Como vemos el grado del radical (en este caso 3) paso a dividir al exponente (en este caso 6).
El resultado de esta división (para nosotros 6÷3 = 2) será el nuevo exponente para la cantidad
subradical (en este caso 6). Finalmente hemos realizado la potenciación
Ejemplo 2:
(√4)6 = 46/2 = 43 = 64
=> En este caso hemos hecho lo mismo que en el caso anterior, haciendo la aclaración de que
cuando un radical no tiene grado, este es 2.
Operaciones Combinadas con Radicales
En algunos casos parece que no se puede resolver una operación de suma y/o resta entre números
irracionales, en estos casos dependerá de nosotros darle la forma correcta ala ejercicio.
Por ejemplo, tenemos: 3√2 + √50 - √98
Aparentemente no lo podemos resolver, todos los radicales son diferentes, pero nosotros
podremos utilizar las propiedades de la multiplicación para darle la forma que nos ayude a
resolverlo.
√50 la podemos escribir como √25.2 porque 25. 2 = 50.
Resolveremos la parte que tiene raíz cuadrada exacta, es decir, √25 = 5
La parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos igual: √2
Finalmente nos quedara que: √50 = √25.2 = √25 √2 = 5√2
Lo mismo hacemos para √98:
√98 = √49.2 = √49 √2 = 7√2
Reemplazamos los valores obtenidos:
3√2 + √50 - √98
3√2 + 5√2 - 7√2
3√2 + 5√2 - 7√2 = 1√2
El número "1" que nos queda podemos colocarlo o no según nuestra conveniencia.

RAZONES Y PROPORCIONES
Las razones y las proporciones son el resultado de comparar dos cantidades. Veremos cada una de
ellas y además veremos su aplicación más conocida: la regla de tres.
INDICE
 Razones y Proporciones
 Magnitudes Proporcionales
 Regla de Tres Simple
 Regla de Tres Compuesta

Razones y Proporciones
a) Razón o Relación:
Se llaman así al resultado de comparar dos cantidades, la primera de ellas llamada
antecedente y la segunda llamada consecuente. Estas cantidades las presentaremos en forma
fraccionaria (aunque no es exactamente una fracción), de la siguiente manera:
antecedente
consecuente
Por ejemplo si tenemos la razón de 7 a 4, el antecedente será 7 y el consecuente será 4.
Nuestra razón quedara: 7
4
b) Proporciones:
Las llamamos así cuando tenemos una pareja de razones que son iguales.
Por ejemplo, tenemos: las razones 2 es a 3 y 6 es a 9.
Se escribirán: 2 y 6
3 9
Entonces las comparo (como si se tratara de fracciones comunes):
2 6 Recordemos que en comparación de fracciones multiplico cruzado
3 9 Tenemos entonces que 2 x 9 =18 y 6 x 3 = 18
Como los resultados son iguales (en ambos casos es 18) podemos afirmar que son fracciones
equivalentes, pero además están formando una proporción. La proporción se lee 2 es a 3 como 6
es a 9.
En las proporciones encontramos los extremos y los medios. Extremos para nuestro caso son 2 y
9 (en rojo), mientras que los medios son 6 y 3 (en azul).

Magnitudes Proporcionales
Las magnitudes proporcionales pueden ser de dos clases:
a) Magnitudes Directamente Proporcionales:
Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra también debe
ser multiplicada por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra
también debe ser dividida por el mismo número.
Por ejemplo si tenemos: 7
4
Se quiere formar una proporción, entonces tendremos que multiplicar o dividir por el mismo
número tanto a 7 como a 4:
7 ~> x4 ~> 28
4 ~> x4 ~> 16
Hemos formado: 7 = 28 Nótese que en este caso ambas cantidades aumentan
4 16
Son magnitudes directamente proporcionales:
- El tiempo y las unidades de trabajo realizadas (a mayor tiempo, mayor trabajo realizado)
- La cantidad y el precio (a mayor cantidad, mayor precio)
- El peso y el precio (a mayor peso, mayor precio)
- El tiempo de trabajo y el sueldo de un trabajador (a mayor tiempo, mayor sueldo)
- El espacio con la velocidad (recorremos mayor distancia si vamos a mayor velocidad)
- El espacio con el tiempo (recorremos mayor distancia en mayor tiempo)
b) Magnitudes Inversamente Proporcionales:
Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra queda dividida
por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra debe ser multiplicada
por el mismo número.
Por ejemplo si tenemos: 4
7
Queremos formar una proporción (empleando el criterio de magnitudes inversamente
proporcionales:
4 ~> ÷4 ~> 1 Nótese que mientras una cantidad aumenta la otra disminuye
7 ~> x4 ~> 28
Son magnitudes inversamente proporcionales:
- El número de obreros y el tiempo para realizar una obra (mas obreros, menos tiempo)
- Las horas de trabajo y los días que se trabaja (mas horas, menos días)
- La velocidad y el tiempo (a mayor velocidad, menor tiempo en recorrer una distancia)

Regla de Tres Simple

La regla de tres simple se apoya en los criterios de las magnitudes proporcionales, entonces
tendremos dos clases:
a) Regla de Tres Simple Directa:
Esta se utiliza para magnitudes directamente proporcionales.
Por ejemplo, si tenemos que 5 libros me cuestan 26 soles, queremos saber cuanto costaran 15
libros
Supuesto 5 libros ~> S/. 26
Pregunta 15 libros ~> x
Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar cruzado los datos que si tenemos:
Supuesto 5 libros ~> S/. 26
Pregunta 15 libros ~> x 15 x 26 = 390
Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que aún no habíamos empleado:
Supuesto 5 libros ~> S/. 26
Pregunta 15 libros ~> x 390 ÷ 5 = 78
Finalmente decimos que 15 libros nos costaran 78 soles.
b) Regla de Tres Simple Inversa:
Esta se utiliza para magnitudes inversamente proporcionales.
Por ejemplo, si 4 obreros hacen una pequeña construcción en 12 días, ¿cuántos días demoraran 6
obreros?
Supuesto 4 obreros ~> 12 días
Pregunta 6 obreros ~> x
Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar directamente los datos que si tenemos:
Supuesto 4 obreros ~> 12 días
Pregunta 6 obreros ~> x 4 x 12 = 48
Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que aún no habíamos empleado:
Supuesto 4 obreros ~> 12 días
Pregunta 6 obreros ~> x 48 ÷ 6 = 8
Finalmente decimos que 6 obreros completaran su trabajo en 8 días.
Regla de Tres Compuesta
Es una aplicación sucesiva de la regla de tres simple. Debemos tener mucho cuidado al ver si
estamos trabajando con regla de tres simple o regla de tres compuesta, por ello es recomendable
hacerlo por partes.
Ejemplo:
Si 3 hombres avanzan 80 metros de una obra en 15 días, ¿cuantos días necesitaran 5 hombres
para avanzar 60 metros de la misma obra?
Distinguimos en nuestro ejemplo:
Supuesto 3 hombres ~> 80 metros ~> 15 días
Pregunta 5 hombres ~> 60 metros ~> x
Podemos decir que la relación entre cantidad de hombres y días trabajados esta formando una
regla de tres simple inversa (a mayor cantidad de hombres menos días), entonces podríamos
decir:
3 x 15
5
Además sabemos que la cantidad de hombres y la cantidad de trabajo avanzada forman una regla
de tres simple directa (a mayor cantidad de hombres, mas trabajo se puede realizar, entonces:
3 x 15 x 60 = 2700 = 6,75
5 x 80 400
Entonces decimos que el trabajo se realizara en 7 días (hemos redondeado)
INTRODUCCION AL ALGEBRA
Veremos en primera instancia que y cuales son expresiones algebraicas, evaluaremos sus
propiedades y veremos unos ejercicios.
INDICE
 Expresiones Algebraicas
 Grados Relativo y Absoluto
 Polinomios Completos
 Polinomios Ordenados
 Polinomios Homogéneos
 Ejercicios

Expresiones Algebraicas
Expresiones algebraicas son todas aquellas que tienen una parte numérica y una parte literal. Por
ejemplo, la expresión 8a3b2c es una expresión algebraica, en este caso un monomio, el cual tiene
como parte numérica al número 8 y como parte literal a3b2c. Nótese que los exponentes se
consideran parte literal.
Profundizando un poco más en lo mencionado líneas arriba, existen básicamente dos tipos de
expresiones algebraicas, y son:
Monomios y Polinomios

a) Monomios:
Es una sola expresión algebraica. Ejemplos de monomios son:
4 2
4x y Como se puede ver es una sola expresión con parte numérica y parte
literal
8a3b2c En este caso la letra c no tiene exponente, cuando esto suceda se asume
que dicho exponente es 1, así: 8a3b2c1
m2n3 En este caso aparentemente no hay una parte literal, cuando esto suceda
nosotros sabremos que hay un 1, así: 1m2n3
b) Polinomios:
Son dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte literal) que se están sumando o
restando. Ejemplos de polinomios son:
3x2y +5x3y2 Este es un polinomio de dos términos o binomio. Aunque las partes
literales aparentemente son iguales, estas son diferentes, pues los
exponentes no son iguales.
3x4 +xyz -2y2z Ahora tenemos un polinomio de tres términos o trinomio.
3 2 2 3
a -a b +2ab -5b Otro ejemplo de polinomio.

Grados Relativo y Absoluto

En toda expresión algebraica encontraremos grados relativos (están en relación a cada una de las
letras de la expresión algebraica) y un grado absoluto (referido a toda la expresión).
a) En un monomio:
a.1) Grado Relativo: Veamos unos ejemplos para comprenderlo mejor:
3 2
4a b En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos grados relativos, uno
con respecto a la letra a y otro con respecto a la letra b. En ambos casos el
grado relativo no será otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. La
parte numérica no tiene ninguna importancia.
GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
x5y3z En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1: x5y3y1
GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)
a.2) Grado Absoluto: Trabajaremos en los mismos ejemplos del caso anterior para
comprender mejor:
4a3b2 El Grado Absoluto de un monomio, no es otra cosa que la suma de los
exponentes de todas y cada una de las letras. En este caso sumaremos el
exponente de la letra a con el exponente de la letra b:
GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)
x5y3z Recordamos que el exponente de la letra y es 1: x5y3y1
GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)
b) En un polinomio:
b.1) Grado Relativo: Veamos un ejemplo para ver mejor como se halla el Grado Relativo:
4a b +5a5b En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que
3 2

tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces
tendremos dos grados relativos.
4a3b2 +5a5b1 Antes de seguir trabajando completo los exponentes que "no se ven"
4a3b2 +5a5b1 Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el
exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la
letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5)
GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
4a3b2 +5a5b1 Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que
afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el
mayor como Grado Relativo (en este caso 2).
GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
Nótese que los grados relativos no son necesariamente del mismo término, en el caso que hemos
visto uno de los grados relativos salió del primer término y otro del segundo.
b.2) Grado Absoluto: Sigamos con el mismo ejemplo:
4a3b2 +5a5b Este ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado
Absoluto.
4a3b2 +5a5b1 Completo los exponentes que "no se ven" con 1.
4a3b2 +5a5b1 Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el
primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.
4a3b2 +5a5b1 Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1,
mismos que sumados dan 6.
4a3b2 +5a5b1 Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor,
en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.
GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)

Polinomios Completos
Nosotros podemos decir que un polinomio es completo con respecto a una letra cuando contiene
todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo. Por ejemplo, si
nos dan el polinomio: 6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5, y nos dicen que evaluemos si este es completo,
nosotros debemos observar los exponentes.
Para facilitarnos las cosas hemos completado los exponentes: 6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0
Como podemos observar, al término en el cual la letra x no tenía exponente le hemos colocado el
1 que correspondía.
Cuando encontremos un número solo (como en el ejemplo encontramos el número 5), a este se le
llama término independiente y se asume que lleva la misma letra que los demás términos elevado
a exponente 0.
Observemos los exponentes, encontramos que el más alto es 5 (en el término +3x5), y estarán
también el 4, el 3, el 2, el 1 y el 0. Es decir, entre el 5 y el 0 estarán todos los números
consecutivos, entonces nosotros afirmamos que se trata de un polinomio completo.
Polinomios Ordenados
En el ejemplo anterior hemos visto los exponentes del polinomio están todos los números
consecutivos entre el 0 y el 5, pero están en completo desorden.
El polinomio era (luego de completarlo): 6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0
Empezaba con exponente 3, luego bajaba a exponente 1, subía a exponente 5, bajaba a exponente
2, subía a exponente 4 y finalmente bajaba a exponente 0.
Veamos ahora el siguiente polinomio: 5a2 +3a3 -a5 +a8
Evidentemente no es un polinomio completo, pero veamos como van sus exponentes. Empieza
con exponente 2, luego sube a exponente 3, sube a exponente 5 y finalmente sube a exponente 8.
Es decir, los exponentes van subiendo; si esto sucede nosotros decimos que se trata de un
polinomio ordenado ascendente.
Lógicamente también puede haber un polinomio ordenado en forma descendente:
5x6 +3x5 -2x2 +x, el cual, después de completarlo quedaría: 5x6 +3x5 -2x2 +x1
Nótese que los exponentes van bajando, será entonces un polinomio ordenado descendente.
Existe un tipo muy especial de polinomio que comparte las características de un polinomio
completo y de un polinomio ordenado, a este se le conoce como polinomio completo y ordenado.
Por ejemplo:
x6 +3x5 -2x4 +3x3 -x2 +6x -1, que es lo mismo que decir, x6 +3x5 -2x4 +3x3 -x2 +6x1 -1x0
En este último ejemplo observamos, primero que están todos los exponentes consecutivos del 0 al
6; pero además que estos exponentes están ordenados en forma ascendente ya que siempre van
subiendo. Por lo tanto, nosotros decimos que estamos frente a un polinomio completo y
ordenado.
Polinomios Homogéneos
Recordemos que un polinomio esta formado por dos o más términos que se están sumando o
restando. Así podemos decir que el siguiente: 3a2b + 5ab2 -3abc, es un polinomio de tres
términos:
El primero de ellos es 3a2b,
El segundo es +5ab2
El tercero es -3abc.
Ahora voy a sumar los exponentes de cada término:
Primer término: 3a2b1, sumados los exponentes 2 +1 =3
Segundo término: +5a1b2, sumados los exponentes 1 +2 = 3
Tercer término: -9a1b1c1, sumados los exponentes 1 +1 +1 = 3
Observamos que en todos los casos el resultado de la suma de los exponentes de cada término es
el mismo (para nuestro ejemplo es 3), entonces nosotros podemos decir que se trata de un
polinomio homogéneo.
Ahora, existe también un polinomio que reúne características de un polinomio completo, de un
polinomio ordenado y de un polinomio homogéneo. A este se le llama polinomio completo,
ordenado y homogéneo.
Por ejemplo:
2a4 -3a3b + a2b2 +5ab3 -b4
El polinomio anterior se puede escribir también de la siguiente manera:
2a4b0 -3a3b1 + a2b2 +5a1b3 -a0b4
Hemos completado los términos donde no había una de las letras con esta elevada a exponente 0,
y hemos colocado el exponente 1 en donde no había exponente.
Veamos primero para la letra a: están todos los exponentes consecutivos del 4 al 0, y además
están ordenados. Ahora para la letra b: también están todos los exponentes consecutivos del 0 al 4
y además están ordenados. Podemos afirmar que se trata de un polinomio completo y ordenado.
Evaluemos ahora la suma de los exponentes término por término: para el primer término será 4
+0 =4; para el segundo 3 +1 =4; para el tercero 2 +2 =4; para el cuarto 1 +3 =4; para el quinto y
último 0 +4 =4. Vemos que todos los resultados son iguales, podemos afirmar que se trata de un
polinomio homogéneo.
Finalmente el polinomio: 2a4 -3a3b + a2b2 +5ab3 -b4, es un polinomio completo, ordenado y
homogéneo.
Ejercicios
Hallar los grados relativos y el grado absoluto de los siguientes monomios:

Solución: Solución: Solución:

3a1b2c3d4 2m1n3 x1y1z1
a) 3ab2c3d4 GR(a) = 1 b) 2mn3 GR(m) = 1 c) xyz GR(x) = 1
GR(b) = 2 GR(n) = 3 GR(y) = 1
GR(c) = 3 GR(z) = 1
 GR(d) = 4
GA = 10 GA = 4 GA = 3

Hallar los grados relativos y el grado absoluto de los siguientes polinomios:

Solución: Solución:
4x2y1 -5x1y3 +3x1y1z1 b3 -2a2b2 +3a3c1
GR(x) = 2 GR(a) = 3
a) 4x2y -5xy3 +3xyz b) b3 -2a2b2 +3a3c
GR(y) = 3 GR(b) = 3
GR(z) = 1 GR(c) = 1
GA = 4 GA = 4

Determinar que características tienen los siguientes polinomios:

a) 3x2 +5x4 -3x +2 -x3 P. Completo b) 2a4 -3a2 +a P. Ordenado

c) 3a4 +a2b2 - 5xy3 P. Homogéneo d) 5 +3x +2x3 -x5 P. Ordenado

e) 3a4 -a3b +2a2b2 +5ab3 -b4 P. Completo, Ordenado y Homogéneo

f) 3x5 +x4 -2x3 +3x2 -x +1 P. Completo y Ordenado

OPERACIONES CON MONOMIOS

Ahora que ya sabemos que y cuales son las expresiones algebraicas empezaremos a trabajar con
ellas. Veamos lo referente a los monomios.
INDICE:
 Términos Semejantes
 Suma y Resta de Monomios
 Multiplicación de Monomios
 División de Monomios
 Potenciación de Monomios
 Radicación de Monomios
Términos Semejantes
Antes de pasar a evaluar las diferentes operaciones con monomios, conviene ver este concepto, el
de los términos semejantes.
Observemos la siguiente pareja de expresiones algebraicas: a) 4x2y3 b) 2x2y3
Vemos que en ambas expresiones se repite la parte literal, en ambos monomios hay x2, así mismo,
en ambos monomios hay y3.
Cuando la parte literal en dos monomios sea igual, entonces estaremos hablando de términos
semejantes.
No importara el orden de las letras en la parte literal, así, los monomios: 6a3b2c , cb2a3 , también
representan términos semejantes pues en ambos encontramos a3, b2 y c1.
Suma y Resta de Monomios
Para poder sumar o restar monomios estos deberán ser términos semejantes. Veamos el caso
siguiente:
Digamos que queremos sumar los monomios: a) 3m2n b) 6m2n
Primero que nada deberemos evaluar si son términos semejantes: vemos primero que m2 esta en
ambos monomios, y vemos luego que n1 también esta en ambos monomios, llegando a la
conclusión que son términos semejantes y por ende se podrán sumar:
3m2n + 6m2n pero solamente sumaremos la parte numérica
3m2n + 6m2n en este caso sumo 3 + 6 = 9
9m2n será el monomio respuesta (nótese que la parte literal sigue igual)
Muy similar será el trabajo en la resta, por ejemplo digamos que queremos restar: 5x 4y3 -x4y3
Evaluaremos primero si son términos semejantes. Observamos que en ambos casos habrá el
termino x4 y también el termino y3, por lo tanto serán términos semejantes. Procedemos a la resta:
5x4y3 -1x4y3 ahora restare solamente la parte numérica (colocamos el 1 para verlo más
claramente)
5x4y3 -1x4y3 en este caso resto 5 - 1 = 4
4x4y3 será el monomio respuesta
En el caso de que encontremos que los términos no son semejantes, no se podrán sumar ni restar
los términos, por ejemplo, 3a2b +2a3b, no son términos semejantes, mientras que en uno de ellos
encontramos a2 en el otro encontramos a3; la respuesta de esta suma quedaría solamente como:
3a2b +2a3b

Multiplicación de Monomios
Para multiplicar monomios no será necesario que sean términos semejantes. Podremos
multiplicar entre ellos a cualquier monomio. Por ejemplo, se desea multiplicar: a) 5x2y5 b)
2x3y2z
Debemos tratar por separado a la parte numérica y a la parte literal. Primero evaluemos la parte
numérica:
(5x2y5)(2x3y2z) la parte numérica es algo que ya conocemos y que no cambiara, 5x2 =
10
En la parte literal debemos tomar especial cuidado con las letras que se repiten en los términos
pues los exponentes se sumaran. Primero vemos que se repite la letra x, y luego la letra y:
(5x2y5)(2x3y2z) primero para la letra x, sumamos los exponentes 2+3 = 5
(5x2y5)(2x3y2z) ahora sumamos los exponentes de la letra y, 5+2 = 7
(5x2y3)(2x3y2z) finalmente la letra z no se repite por lo cual solo la colocare tal como
esta
Atención con la respuesta: 10x5y7z
Recordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los
exponentes de las letras que se repiten.
División de Monomios
Para dividir polinomios tampoco es necesario que sean términos semejantes. Por ejemplo yo
podré dividir los monomios, 81a2b3c4d5 entre 3b2c2 (nótese que en el divisor deberán estar las
mismas letras que en el dividendo, de ninguna manera podría dividirse, por ejemplo, 81a2b3c4d5
entre 3x2y2)
Entonces tenemos: 81a2b3c4d5 ÷ 3b2c2
Primero dividiremos la parte numérica como tradicionalmente lo hacemos, es decir: 81÷3 = 27
Ahora en la parte literal, restaremos los exponentes de las letras que se repiten, en este caso, la
letra b y la letra c:
81a2b3c4d5 ÷ 3b2c2 en este caso restamos 3 - 2 = 1
81a2b3c4d5 ÷ 3b2c2 en este caso restamos 4 - 2 = 2
Entonces la respuesta será: 27a2bc2d5 (el exponente 1 de la letra b no lo he puesto por no ser
necesario)
Cabe resaltar que en algunos casos la letra "desaparecerá", esto ocurrirá cuando su exponente
resulte 0 (cero). Por ejemplo en: 5a2b2 ÷ ab2 (al restar los exponentes para la letra b dará como
resultado 0: 2 - 2 = 0)
El resultado para este caso seria: 5a
Potenciación de Monomios
Recordemos siempre que un monomio tiene una parte numérica y otra parte literal. Primero
trabajaremos la parte numérica como siempre lo hemos hecho, es decir, aplicando la definición de
potencia. Luego trabajaremos con la parte literal, en la cual multiplicaremos el exponente de cada
letra por el exponente de la potencia dada.
En el ejemplo: (3x2y)4, se nos pide elevar el monomio 3x2y a potencia 4
Tal como hemos dicho primero haremos la parte numérica: 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Y ahora pasaremos a la parte literal: (x2y1)4 = x2x4y1x4 = x8y4
Finalmente la respuesta será: 81x8y4
Otro ejemplo, podría ser: (ab2c3d4)5
Recordemos que cuando no vemos la parte literal, en realidad hay un 1 (uno), 15 = 1
En la parte literal tendremos: (a1b2c3d4)5 = a1x5b2x5c3x5d4x5 = a5b10c15d20
Finalmente la respuesta será: a5b10c15d20
Radicación de Monomios
Al igual que en la potenciación, en el caso de la radicación debemos trabajar por separado la
parte numérica y la parte literal. A la parte numérica le sacaremos la raíz correspondiente; y en la
parte numérica dividiremos el exponente de cada letra entre el grado del radical (en una raíz
cuadrada el grado del radical es dos, en una raíz cúbica el grado del radical es tres, y así
sucesivamente).
En el ejemplo, √(16x4y6), se nos pide sacar la raíz cuadrada del monomio 16x4y6
Empezaremos por la parte numérica: √16 = 4
Ahora, en la parte literal: √x4y6 = x4÷2y6÷2 = x2y3 (el grado del radical es 2)
Finalmente la respuesta será: 4x2y3
El ejemplo, ³√(27a9b3), nos pide sacar la raíz cúbica del monomio 27a9b3
Empezaremos por la parte numérica: ³√27 = 3
Ahora, en la parte literal: ³√a9b3 = a9÷3y3÷3 = x3y1 (el grado del radical es 3)
Finalmente la respuesta será: 3a3b

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Una vez que ya hemos trabajado con los monomios, debemos saber también como trabajar con
los polinomios. En esta sección encontrarás lo referente a este tema.
INDICE:
 Términos Semejantes
 Suma y Resta de Polinomios
 Multiplicación de Polinomios
 Potenciación de Polinomios
 Productos Notables
 División
 Cocientes Notables

Términos Semejantes
Antes de pasar a evaluar las diferentes operaciones con polinomios, conviene revisar nuevamente
los términos semejantes.
Observemos la siguiente pareja de expresiones algebraicas: a) 4x2y3 b) 2x2y3
Vemos que en ambas expresiones se repite la parte literal, en ambos monomios hay x2, así mismo,
en ambos monomios hay y3.
Cuando la parte literal en dos términos sea igual, entonces estaremos hablando de términos
semejantes.
No importara el orden de las letras en la parte literal, así, los monomios: 6a3b2c , cb2a3 , también
representan términos semejantes pues en ambos encontramos a3, b2 y c1.

Suma y Resta de Polinomios

En un polinomio podremos sumar o restar solamente los términos semejantes, todo lo demás
quedara exactamente igual.
Digamos que queremos sumar los polinomios siguientes:
P1: 5x2y +3xy2
P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3
Entonces la suma será:
P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3
(Como se puede ver he añadido el número 1 en el término que no lo tenía para facilitar la
operación)
Ahora debemos ver si hay términos semejantes:
P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3
(Hemos marcado con rojo los términos que tienen x2y, hemos marcado con azul los términos con
xy2)
Operamos los términos con x2y: 5x2y -2x2y = 3x2y
Operamos los términos con xy2: 3xy2 +1xy2 = 4xy2
Introducimos los resultados parciales en nuestro polinomio respuesta:
P1 + P2: 3x2y +4xy2 +3x3 -4y3 (esta es la respuesta)
Para realizar una resta, el procedimiento es similar, pero debemos tener mucho cuidado con los
signos. Digamos que ahora quiero restar P1 -P2:
P1 - P2: 5x2y +3xy2 -(3x3 -2x2y +1xy2 -4y3) Nótese que P2 lo he puesto entre paréntesis
P1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3 Ahora vemos como hemos cambiado el signo a todo
P2
Ahora recién buscamos los términos semejantes y realizamos las operaciones:
P1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3
P1 - P2: 7x2y +2xy2 +3x3 -4y3 (esta es la respuesta)
Multiplicación de Polinomios
En la multiplicación de polinomios tendremos que multiplicar todos los términos entre ellos.
Evaluemos el siguiente ejemplo en el cual queremos multiplicar P1xP2:
P1: 5x2y +3xy2
P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3
Entonces:
P1xP2: (5x2y +3xy2)(3x3 -2x2y +xy2 -4y3)
P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3) He colocado con rojo el numero 1 donde puede
necesitarse.
Ahora tendré que multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los
términos del segundo polinomio:
P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)
(5x2y1)(3x3) = 15x5y1 (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario
ponerlo)
(5x2y1)(-2x2y1) = -10x4y2
(5x2y1)(+1x1y2) = 5x3y3
(5x2y1)(-4y3) = -20x2y4
Hacemos lo mismo con el segundo término del primer polinomio:
P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)
(+3x1y2)(3x3) = +9x4y2
(+3x1y2)(-2x2y1) = -6x3y3
(+3x1y2)(+1x1y2) = +3x2y4
(+3x1y2)(-4y3) = -12x1y5 (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario
ponerlo)
Ahora acomodamos la respuesta:
P1xP2: 15x5y1 -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12x1y5
P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5 (eliminamos los 1
innecesarios)
Ahora vemos si hay términos semejantes que podamos sumar o restar:
P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5
Tenemos que simplificar los términos semejantes:
Operamos los términos con x4y2: -10x4y2 +9x4y2 = -1x4y2
Operamos los términos con x3y3: +5x3y3 -6x3y3 = -1x3y3
Operamos los términos con x2y4: -20x2y4 +3x2y4 = -17x2y4
Ahora si, presentamos la respuesta:
P1xP2: 15x5y -1x4y2 -1x3y3 -17x2y4 -12xy5
Recordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los
exponentes de las letras que se repiten.
Potenciación de Polinomios
La potenciación de polinomios se apoya en el concepto fundamental de potencia, mismo que se
define:
bn = b x b x b x b x................... x b
Lo cual quiere decir que multiplicare una base (b) por si misma una cantidad n de veces (n es el
exponente).
Entonces para resolver el siguiente ejemplo: (3a3b + 5b3)2
Tendré que efectuar la siguiente multiplicación: (3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3)
Ya que el exponente 2 me indica que lo debo multiplicar por si mismo dos veces.
Finalmente tendremos:
(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6
(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6
(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +30a3b4 +25b6
Productos Notables
Existen algunas respuestas características para algunos casos en los que debemos multiplicar,
estos son los productos notables. Los principales son:
a) Cuadrado de la suma de dos cantidades:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble
producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Por ejemplo: (5x +7)2 = (5x)2 + 2(5x)(7) + (7)2
El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2
El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70x
El cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49
Finalmente la respuesta será: (5x +7)2 = 25x2 + 70x + 49
b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el
doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Por ejemplo: (5x -7)2 = (5x)2 - 2(5x)(7) + (7)2
El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2
El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70x
El cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49
Finalmente la respuesta será: (5x -7)2 = 25x2 - 70x + 49
c) Diferencia de Cuadrados:
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo término.
Por ejemplo: (4a +7y3)(4a -7y3) = (4a)2 - (7y3)2
El cuadrado del primer término es: (4a1)2 = 16a2
El cuadrado del segundo término es: (7y3)2 = 49y6
Finalmente la respuesta será: (4a +7y3)(4a -7y3) = 16a2 - 49y6
d) Cubo de la suma de dos cantidades:
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del
cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el
cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
Por ejemplo: (2a + 4b)3 = (2a)3 +3(2a)2(4b) +3(2a)(4b)2 + (4b)3
El cubo del primer término es: (2a1)3 = 8a3
El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(2a1)2(4b) = 48a2b
El triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(2a)(4b1)2 = 96ab2
El cubo del segundo término es: (4b1)3 = 64b3
Finalmente la respuesta será: (2a + 4b)3 = 8a3 + 48a2b + 96ab2 + 64b3
e) Cubo de la diferencia de dos cantidades:
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del
cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el
cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.
Por ejemplo: (4a - 2b)3 = (4a)3 -3(4a)2(2b) +3(4a)(2b)2 - (2b)3
El cubo del primer término es: (4a1)3 = 64a3
El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(4a1)2(2b) = 96a2b
El triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(4a)(2b1)2 = 48ab2
El cubo del segundo término es: (2b1)3 = 8b3
Finalmente la respuesta será: (4a - 2b)3 = 64a3 - 96a2b + 48ab2 - 8b3
División de Polinomios
La división de polinomios es, tal vez, la operación más complicada dentro de las expresiones
algebraicas. Debemos tener mucho cuidado al resolverlas.
Básicamente tenemos dos casos:
a) División de un polinomio entre un monomio:
En este caso tendremos que dividir cada uno de los términos del polinomio entre el monomio.
Vamos a resolver un ejemplo: (4x2y -2xy2 + 8x3) ÷ 2x

Haremos: 4x2y ÷ 2x1 = 2x1y

Luego: -2x1y2 ÷ 2x1 = -1y2
Luego: 8x3 ÷ 2x1 = 4x2
Finalmente la respuesta será: 2xy -1y2 + 4x2
c) División de dos polinomios:
En este caso lo mejor es ir directamente a un ejemplo:
(x4 +4x3 +x2 -x) ÷ (x2 + x), mismo que completando los grados seria: (x4 +4x3 +x2 -x1) ÷ (x2 +
x1)
Acomodémoslo como una división tradicional:
x4 +4x3 +x2 -x1 ÷ x2 + x1 (seleccionamos el primer término del dividendo y del
divisor)
Dividimos los términos seleccionados: x4÷ x2 = x2 (la respuesta será parte del cociente)
Multiplicamos la respuesta por el divisor: x2 (x2 + x) = x4 +x3
A la respuesta le cambiamos el signo: -x4 -x3 (esto se sumara o restara con el divisor)
x4 +4x3 +x2 -x1 ÷ x2 + x1
-x4 -1x3 x2
3x3 +x2 -x1 (seleccionamos el primer término de lo que va quedando
y del divisor)
Dividimos los términos seleccionados: 3x3÷ x2 = 3x1 (la respuesta será parte del cociente)
Multiplicamos la respuesta por el divisor: 3x1 (x2 + x) = 3x3 +3x2
A la respuesta le cambiamos el signo: -3x3 -3x2 (esto se sumara o restara con el divisor)
x4 +4x3 +x2 -x1 ÷ x2 + x1
-x4 -1x3 x2 +3x
3x3 +x2 -x1
-3x3 -3x2
-2x2 -x1 (seleccionamos el primer término de lo que va quedando
y del divisor)
Dividimos los términos seleccionados: -2x2÷ x2 = -2 (la respuesta será parte del cociente)
Multiplicamos la respuesta por el divisor: -2 (x2 + x) = -2x2 -2x1
A la respuesta le cambiamos el signo: +2x2 +2x1 (esto se sumara o restara con el divisor)
x4 +4x3 +x2 -x1 ÷ x2 + x1
-x4 -1x3 x2 +3x -2 (será el cociente o respuesta)
3x3 +x2 -x1
-3x3 -3x2
-2x2 -x1
+2x2 +2x1
x1 (será el residuo)
Cocientes Notables
Existirán algunos casos en los cuales podemos dividir dos polinomios fácilmente pues sus
respuestas son conocidas:
a) Primer caso: (an +bn) ÷ (a + b)
En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un numero impar.
Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x5 + y5) ÷ (x + y)
Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por
x5-1 = x4
A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).
En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x3), pero
además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x3y
Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que
este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.
(x5 + y5) ÷ (x + y) = x4 -x3b + x2y2 -xy3 +y4
b) Segundo caso: (an -bn) ÷ (a - b)
En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un número
par o impar.
Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x6 - y6) ÷ (x - y)
La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en la
respuesta todos los términos se estarán sumando (es decir todos los signos serán más).
(x6 + y6) ÷ (x + y) = x5 +x4b + x3y2 +x2y3 +xy4+y5
c) Tercer caso: (an -bn) ÷ (a + b)
En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par.
Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x4 - y4) ÷ (x + y)
Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por
x4-1 = x3
A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).
En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x2), pero
además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x2y
Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que
este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.
(x4 - y4) ÷ (x + y) = x3 -x2b + xy2 -y3

FACTORIZACION
La factorización de expresiones algebraicas consiste en buscar el origen de las mismas, en
descomponerlas. Veremos las principales técnicas.
INDICE:
 Factor Común Monomio
 Factor Común Polinomio
 Factorización por Agrupación de Términos
 Factorización de Trinomios por método del aspa simple
Factor Común Monomio
Este método busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio. Este
factor resultara ser un monomio, mismo que debemos encontrar.
Dado un polinomio cualquiera, lo primero que tendremos que hacer para hallar el Factor Común
Monomio será encontrar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de la parte numérica de todos los
términos.
Dado el siguiente polinomio: 8x4 -4x2y + 16x5y2
Hallaremos el M.C.D. de la parte numérica: 8x4 -4x2y + 16x5y2
Entonces el M.C.D. de 8, 4 y 16 es: 4 (este numero será la parte numérica del monomio que
busco)
Ahora observo mi polinomio: 8x4 -4x2y + 16x5y2
Me doy cuenta que la letra x se repite en los tres términos, entonces buscare la que tenga menor
exponente, misma que resulta ser x2 (la tomo como parte literal del monomio que busco)
Como no hay otra letra que se repita en todos los términos, empiezo a construir mi monomio.
Recuerdo que la parte numérica era 4 y la parte literal era x2, entonces será: 4x2
El monomio que he encontrado dividirá a todos y cada uno de los términos del polinomio, así:
8x4 ÷ 4x2 = 2x2
-4x2y ÷ 4x2 = -y
16x5y2 ÷ 4x2 = 4x3y2
Construimos el polinomio: (2x2 -y +4x3y2)
Ahora presentamos el monomio por el polinomio: 4x2(2x2 -y +4x3y2)

Factor Común Polinomio

En este caso también se busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un
polinomio, pero ahora este factor será otro polinomio.
Veamos el siguiente ejemplo:
5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)
Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor
común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x2 + 3x
+7)
Finalmente la respuesta será: (x -y)(5x2 + 3x +7)
En algunos casos debemos "jugar" con el numero 1, por ejemplo en: 5a2(3 +b) +3 +b
Que yo puedo escribirlo como: 5a2(3 +b) +1(3 +b)
Entonces la respuesta seria: (3 +b) (5a2 +1)

Factorización por Agrupación de Términos

En la factorización por agrupación de términos hacemos una mezcla de las anteriores técnicas de
factorización.
Dado un polinomio cualesquiera debemos primero formar grupos de términos con características
comunes (de preferencia de dos términos cada grupo) y a cada uno de estos grupos le sacaremos
el Factor Común Monomio.
Veamos el ejemplo: 5x4y + 3x2y -9xy -15xy2
De acuerdo a las características lo podría agrupar: 5x4y + 3x3y -9y -15xy2
El primer grupo es: 5x4y -15xy2 Y su Factor Común Monomio: 5xy (x3 -3y)
El segundo grupo es: 3x3y -9y Y su Factor Común Monomio: 3y (x3 -3y)
Entonces: 5x4y + 3x2y -9xy -15xy2 = 5xy (x3 -3y) +3y (x3 -3y)
Y ahora aplicamos Factor común Polinomio, ya que nos damos cuenta que el polinomio (x3 -3y)
se repite.
La respuesta finalmente será: (x3 -3y) (5xy +3y)
Factorización de Trinomios por método del aspa simple
El método del aspa simple, se emplea para trinomios (polinomios de tres términos) de la forma
siguiente:
Ax2n + Bxn + C o Ax2m + Bxmyn + Cy2n
* En ambos casos, A, B, C, m, n son números reales diferentes de cero (0).
Veamos el siguiente ejemplo:
8x2 -2x -3 Tenemos un trinomio de la primera forma.
2
8x -2x -3 Ahora jugaremos con los números. Se busca dos números que
multiplicados den por resultado 8, y otros dos números que multiplicados
den por resultado -3.
8x2 -2x -3
4x -3
2x 1
8x2 -3 Hemos escogido los números 4 y 2, de manera que (4x)(2x) = 8x2, además
hemos escogido los números -3 y 1, de manera que (-3)(1) = -3
8x2 -2x -3
4x -3
2x 1 Ahora debemos verificar si cumplen una condición adicional. Para esto,
primero debemos multiplicar en aspa los números que ya tenemos, es
decir, (4x)(1) y (2x)(-3)
8x2 -2x -3
4x -3 -6x
2x 1 +4x
8x2 -3 -2x Una vez obtenidos los resultados parciales: (4x)(1) = 4x, y (2x)(-3) = -6x,
procedemos a sumarlos o restarlos según corresponda y el resultado de
esta operación deberá ser el término de primer grado, en este caso, -2x.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado
incógnita o variable, y que se verifica (se cumple), para determinado valor numérico de ella.
INDICE:
  Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
 Resolución de ecuaciones con signos de colección
 Resolución de ecuaciones con productos indicados
 Resolución de Problemas

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador
inverso, mismo que observamos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x - 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para
llevar el -3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el operador inverso (el inverso de -3 es +3,
porque la operación inversa de la resta es la suma).
Tendremos: 2x = 53 +3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que esta multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo
pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es la
división).
Tendremos ahora: x = 56 ÷ 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Resolvamos otro ejemplo:
-11x -5x +1 = -65x +36
-11x -5x +65x = 36 -1Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos
independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era
necesario).
49x = 35 Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.
x = 35 = 5
47 7 Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.
Resolución de ecuaciones con signos de colección
Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de colección o
agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos
de adentro hacia afuera las operaciones.
Veamos el siguiente ejemplo:
2x -[x -(x -50)] = x - (800 -3x)
2x -[x -x +50] = x -800 +3x Primero quitamos los paréntesis.
2x -[50] = 4x -800 Reducimos términos semejantes.
2x -50 = 4x -800 Ahora quitamos los corchetes.
2x -4x = -800 +50 Transponemos los términos, empleando el criterio
de operaciones inversas.
-2x = -750 Nuevamente reducimos términos semejantes
x = -750 = 375
-2 Despejamos x pasando a dividir a -2, luego
simplificamos.
CUIDADO!!!
Para suprimir los signos de colección debemos tener en cuenta que:
a) Si tenemos un signo + antes del signo de colección no afecta en nada a lo que este dentro de
este signo de colección. Por ejemplo: +(3x -5) = 3x - 5
b) Si por el contrario, tenemos un signo - antes del signo de colección, este signo afectara a todo
lo que este dentro del signo de colección. Todos los términos dentro del signo de colección
cambiarán de signo. Por ejemplo: -(3x -5) = -3x + 5

Resolución de ecuaciones con productos indicados

Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos indicados y luego se
sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas). Observemos un
ejemplo:
5(x -3) -(x -1) = (x +3) -10
5x -15 -x +1 = x +3 -10 Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente
limitamos los paréntesis, nótese que al eliminar el
paréntesis en -(x -1), se cambio de signo por efecto
del signo " - " exterior.
5x -x -x = 3 -10 +15 -1 Llevamos los términos semejantes a un lado de la
igualdad, y los términos independientes al otro lado
(empleamos operaciones inversas.)
3x = 7 Reducimos términos semejantes en ambos lados
de la igualdad.
x=7
3 Despejamos x pasando 3 a dividir.
Para resolver los productos indicados hemos empleado los criterios de multiplicación de un
monomio por un polinomio
Resolución de Problemas
Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las
operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).
Veamos un problema característico:
Jorge es 3 años menor que Álvaro, pero 7 años mayor que Miluska. Si la suma de las edades de
los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?
Digamos que las edades de los tres son:
j edad de Jorge
a edad de Álvaro
m edad de Miluska
Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Jorge más 3 años (Jorge es tres años menor
que Álvaro):
a=j+3
También sabemos que la edad de Miluska es igual a la edad de Jorge menos 7 años (Jorge es 7
años mayor que Miluska):
m = j -7
Ahora tenemos que:
edad de Jorge: j
edad de Álvaro: j +3
edad de Miluska: j -7
La suma de las tres edades es 38:
j + j +3 + j -7 = 38
Resolviendo está última ecuación tendremos:
j = 14 (esta es la edad de Jorge)
Finalmente:
edad de Jorge: j = 14 años
edad de Álvaro: j + 3 = 17 años
edad de Miluska: j - 7 = 7 años

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una inecuación es una desigualdad que tiene por lo menos un valor desconocido o incógnita y
que se cumple para ciertos valores de ella.
INDICE:
 Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita
 Casos Especiales
 Resolución de Problemas

Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita

Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que hemos
empleado en la lección anterior para la resolución de ecuaciones. Veremos algunos ejemplos para
tener las cosas más claras.
Resolver la inecuación 4x - 3 > 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en este caso >),
entonces para llevar el -3 al otro lado de la desigualdad, le aplicamos el operador inverso (el
inverso de -3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Tendremos: 4x > 53 +3
4x > 56
Ahora tenemos el número 4 que esta multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo
pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es
la división).
Tendremos ahora: x > 56 ÷ 4
x > 14
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14.
Resolvamos otro ejemplo:
-11x -5x +1 < -65x +36
-11x -5x +65x < 36 -1 Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad
y los términos independientes al otro lado de la desigualdad
(hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).
49x < 35 Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.
x < 35 = 5
47 7 Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.
Casos Especiales
En los casos en los que me quede signo negativo en el lado de la incógnita, tendremos que
realizar un pequeño arreglo en el problema o ejercicio, mismo que veremos en una manera
práctica.
2x -[x -(x -50)] < x - (800 -3x)
2x -[x -x +50] < x -800 +3x Primero quitamos los paréntesis.
2x -[50] < 4x -800 Reducimos términos semejantes.
2x -50 < 4x -800 Ahora quitamos los corchetes.
2x -4x < -800 +50 Transponemos los términos, empleando el criterio
de operaciones inversas.
-2x < -750 Nuevamente reducimos términos semejantes
2x > 750 No puede quedar signo negativo en la parte de la
incógnita, entonces cambiamos de signo a todo, y
además cambiamos el sentido de la desigualdad.
x = 750 = 375
2 Despejamos x pasando a dividir al 2, luego
simplificamos.

Resolución de Problemas
No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si nos
encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las
operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).
Veamos un problema sencillo como ejemplo:
Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene actualmente
Ximena?
Tenemos entonces:
x edad de Ximena
x+5 edad de Ximena en 5 años
Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro de cinco años,
Ximena tendrá no menos de 18 años).
x + 5 > 18
Resolvemos la inecuación:
x + 5 > 18
x > 18 -5
x > 13
Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero no podemos
determinar exactamente su edad.

SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de ecuaciones es el conjunto de dos o más ecuaciones cuya resolución significa hallar
los valores que satisfacen al mismo tiempo dichas ecuaciones.
INDICE:
 Ecuaciones de Primer Grado con dos variables
 Sistemas de Ecuaciones con dos variables
 Método de Reducción
 Método de Sustitución
 Método de Igualación
 Sistemas Incompatibles

Ecuaciones de Primer Grado con Dos Variables

Veamos las siguientes ecuaciones:
a) 7x +5y -24 = 0
b) a + 5b = -85
c) 13x = 7 - 11y
En todos los ejemplos anteriores (ecuaciones a, b y c) observamos que se tienen dos variables o
incógnitas, mismas que están representadas por letras diferentes.
Entonces todas ellas son Ecuaciones de Primer Grado con Dos Variables.
Una ecuación con dos variables tiene infinitas soluciones dentro de los números reales, es decir,
una combinación infinita de respuestas cumplirá con las condiciones de la ecuación.
Si tenemos solamente una ecuación de este tipo no podemos determinar el valor exacto de cada
una de las variables.
Tendremos, eso si, la opción de tener el valor de una de las variables o incógnitas en función de la
otra. Veamos a continuación como podríamos resolver el primero de los ejemplos:

Hallamos el valor de x Hallamos el valor de y

7x +5y -24 = 0 7x +5y -24 = 0

7x = 24 -5y 5y = 24 -7x

x = 24 -5y y = 24 -7x
7 5

Como podemos apreciar las respuestas quedaran en función de la otra variable o incógnita y no se
podrá hallar un valor numérico exacto.
Sistemas de ecuaciones con dos variables
Para resolver ecuaciones con dos variables, necesariamente debemos tener dos ecuaciones. Estas
dos ecuaciones en conjunto forman el sistema de ecuaciones con dos variables o incógnitas.
Por ejemplo, las siguientes ecuaciones individualmente no podrían ser resueltas, sin embargo, en
conjunto si podrían ser resueltas, y de esta manera podríamos hallar el valor tanto de la variable
"x" como de la variable "y":
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4
A continuación veremos los diferentes métodos de resolución de este tipo de ecuaciones.
Método de Reducción
En este método buscamos que en ambas ecuaciones una de las variables tenga coeficientes
opuestos (mismo valor, pero con diferente signo) para que sea eliminada al sumarlas.
Nos remitimos a nuestro ejemplo original:
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4 Este es el sistema de dos ecuaciones con dos variables que
queremos resolver.
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4 Nos damos cuenta, que para la variable "y", tanto en la primera
como en la segunda ecuación, el coeficiente es múltiplo de 3.
-4x - 6y = -10
5x + 6y = 4 Para hacer que la variable "y" tenga coeficientes opuestos,
multiplicamos a todos los términos de la primera ecuación por -2
-4x - 6y = -10
5x + 6y = 4
1x = -6 Sumamos (o restamos según sea el caso) la primera ecuación con la
segunda ecuación.
1x = -6 ó x = -6 Hemos encontrado el valor de la variable "x"
2x + 3y = 5
2(-6) + 3y = 5 Seleccionamos una de las ecuaciones y en ella reemplazamos el
valor de la variable "x"
-12 + 3y = 5
3y = 5 + 12
3y = 17 Nótese que el valor de "x" (que en este caso era -6) lo hemos
multiplicado por el coeficiente de esta misma letra. El trabajo que viene a continuación es similar
al de cualquier ecuación de primer grado.
y= 17
3 Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

Método de Sustitución
Para resolver un sistema de ecuaciones con este método debemos despejar una de las variables en
una de las ecuaciones, y reemplazar la expresión obtenida en la otra ecuación.
Veamos el mismo ejemplo anterior:
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4 De mi sistema de dos ecuaciones con dos variables escojo una de ellas, como
por ejemplo, la primera de ellas.
2x + 3y = 5 En mi ecuación escojo una variable para despejar.
2x + 3y = 5
3y = 5 -2x Como he escogido la variable "y", entonces dejo los términos con "y" a
un lado y llevo los demás al otro lado.
y = 5 -2x
3 Hallamos el valor de la variable "y"
5x + 6(5 -2x) = 4
3 Reemplazamos el valor obtenido para "y" en la segunda ecuación
(recordemos que estará multiplicando al coeficiente)
5x + 10 - 4x = 4
5x - 4x = 4 - 10
1x = -6
x = -6 Resolvemos el producto, llevamos los términos que tienen variable "x" a un
lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad.
Reducimos términos semejantes. Al realizar todo este trabajo obtendremos el
valor de la variable "x"
5(-6) + 6y = 4 Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
y= 17
3 Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

Método de Igualación
Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones y luego igualarlas.
Apreciemos el trabajo en el mismo ejemplo:
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4 Voy a trabajar por separado la primera ecuación y la segunda
ecuación. En ambas buscare el valor de "y"
2x + 3y = 5
3y = 5 -2x
y = 5 -2x
3 Hemos resuelto para "y" la primera ecuación. El resultado o valor
obtenido, lo emplearemos más adelante.
5x + 6y = 4
6y = 4 -5x
y = 4 -5x
6 Ahora hemos resuelto para "y" la segunda ecuación. El resultado o
valor obtenido, lo emplearemos más adelante.
5 -2x = 4 -5x
3 6 Procedemos a igualar ambas ecuaciones. Ahora atención: los
términos que están dividiendo pasaran a multiplicar
6(5 -2x) = 3(4 -5x)
30 -12x = 12 -15x
15x -12x = 12 - 30
3x = -18
x = -18 = -6
3 Resolvemos la ecuación como si se tratase simplemente de una
ecuación de primer grado. Hallaremos el valor numérico de la
variable "x"
5(-6) + 6y = 4 Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
y= 17
3 Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Tenemos una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, cuando la variable o incógnita
está elevada al cuadrado (elevada a exponente 2).
INDICE:
 Ecuaciones Cuadráticas
 Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Incompletas
 Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización
 Resolución de Ecuaciones Cuadráticas completando cuadrados
 Formula General para la Resolución de Ecuaciones Cuadráticas

Ecuaciones Cuadráticas
Veamos las siguientes ecuaciones:
a) 7x2 +5x -24 = 0
b) x2 + 5x = -85
c) 13x2 = 7
d) 4x2 - 4x = 0
En todos los ejemplos anteriores (ecuaciones a, b, c y d) observamos que se tiene a la variable o
incógnita elevada al cuadrado (exponente 2) en alguno de sus términos. Entonces todas ellas son
Ecuaciones de Segundo Grado o Ecuaciones Cuadráticas.
Una ecuación cuadrática tiene, por lo general, dos respuestas o raíces, que cumplirán las
condiciones mismas de la ecuación.
En general, una ecuación cuadrática tiene la forma: ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c son números reales; y x es la incógnita o variable.
Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Incompletas
En algunas ecuaciones cuadráticas, no encontraremos alguno de los términos. Veamos en los
siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
Resolver: 4x2 - 16 = 0
En este primer ejemplo falta el término que contiene solamente a la variable "x" o variable de
primer grado, entonces debemos proceder de la siguiente manera:
4x2 - 16 = 0
4x2 = 16 Pasamos el -16 al otro lado de la igualdad empleando operaciones
inversas.
x2 = 16 = 4
4 Pasamos el 4 a dividir al otro lado de la igualdad.
√x = √4
2
Ahora sacamos la raíz cuadrada en ambos términos (para eliminar el
exponente de "x")
x = ±2 Tendremos dos respuestas, una la raíz positiva y otra la raíz negativa.
Ejemplo 2:
Resolver: 5x2 + 3x = 0
En este segundo ejemplo, nos falta el término numérico o término independiente. Entonces
procedemos de la siguiente manera:
5x2 + 3x = 0
x(5x + 3) = 0 Factorizamos de acuerdo a nuestras posibilidades. En este caso la letra "x"
(empleamos factor común monomio).
x(5x + 3) = 0 Igualamos a 0 (cero) cada uno de los factores; tanto el primero, como el
segundo
x=0 Para encontrar la primera respuesta o raíz igualamos el primer factor a 0 (cero).
5x + 3 = 0
x = -3
5 La otra respuesta viene de igualar el segundo factor a 0 (cero). En este caso
hemos tenido que resolver una ecuación de primer grado, para lo cual hemos
empleado operaciones inversas.

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización

Para resolver una ecuación cuadrática por factorización, primero debemos llevar todos los
términos a un lado de la igualdad y en el otro lado dejar simplemente un 0 (cero).
Una vez realizado esto debemos elegir un método de factorización adecuado.
Ejemplo:
8x2 -16x = 2x +5 Ecuación Cuadrática a resolver.
2
8x -16x -2x -5 = 0 Llevamos todos los términos a un lado de la igualdad.
8x2 -18x -5 = 0 Reducimos términos semejantes.
2
8x -18x -5 = 0 Buscaremos un método de factorización adecuado para la primera
parte.
8x2 -18x -5 = 0
4x 1
2x -5
8x2 -5 Emplearemos el método de factorización por aspa simple.
Buscamos primero dos números que multiplicados me den 8, y
luego dos números que multiplicados me den -5. Para el primer
caso escogemos (4x)(2x) = 8x2, y luego (1)(-5) = -5
8x2 -18x -5 = 0
4x 1 2x
2x -5 -20x
aaaaaaaaa-18x Verificamos que la suma o diferencia de los productos cruzados
cumpla con la condición de ser igual al segundo término, es
decir, igual a -18x.
(4x +1) (2x -5) = 0 Procedemos a colocar los factores.
(4x +1) = 0 (2x -5) = 0
4x + 1 = 0 2x - 5 = 0
4x = -1 2x = 5
x = -1 x=5
4 2 Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y
resolvemos las ecuaciones para hallar las raíces o resultados.
Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Completando Cuadrados
Para resolver una ecuación cuadrática con este método debemos completar un binomio al
cuadrado y luego despejar utilizando nuestros principios matemáticos.
Veamos un ejemplo:
x2 + 6x + 5 = 0
x2 + 6x + 5 +4= 0 +4 Hemos sumado 4 en ambos lados de la igualdad.
2
x + 6x + 9 = 4 Observamos que a la izquierda: (x +3)2 = x2 + 6x + 9
(x +3)2 = 4 Además en el término de la derecha 22 = 4
(x +3)2 -22 = 0 Llevaremos todos los términos a un solo lado de la igualdad,
mientras que al otro lado dejaremos simplemente 0 (cero).
[(x +3) -2] [(x +3) +2] = 0
(x +3 -2) (x +3 +2) = 0
(x +1) (x +5) = 0 Factorizamos. Observe que en el primer factor se respetan todos
los signos, mientras que en segundo factor se cambia el signo
solo al término independiente (número).
(x +1) = 0 (x +5) = 0
x +1 = 0 x +5 = 0
x = -1 x = -5 Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y
resolvemos las ecuaciones para hallar las raíces o resultados.
Fórmula General para la Resolución de Ecuaciones Cuadráticas
Habíamos dicho que una ecuación cuadrática tiene la forma: ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c son números reales; y x es la incógnita o variable.
Entonces para hallar directamente las raíces podemos aplicar la fórmula:
x = -b ± √(b2 -4ac)
2a
Trabajemos un ejemplo:
3x2 -2x -5 = 0 En mi ecuación original pongo los valores de a, b y c
x = -b ± √(b2 -4ac)
2a
x = -(-2) ± √[(-2)2 -4(3)(-5)
2(3) Reemplazo los valores en la fórmula general.
x = 2 ± √(4 +60)
6 Resuelvo las potencias y productos.
x = 2 ± √64
6 Resuelvo la operación dentro del radical (en este caso una suma).
x=2±8
6 Resolvemos el radical y dejamos todo listo para hallar las dos
raíces o respuestas.
x=2+8 x= 2 -8
6 6 Una de las raíces será para el caso de la suma, mientras que la
otra será para el caso de la resta.
x = 10 = 5 x= -6 = -1
6 3 6 Finalmente hallamos los valores para "x".

ALGEBRA Y TIGONOMETRIA
Teorema fundamental del álgebra: Introducción
Cualquier ecuación de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solución ya sea un número real o un número
complejo.
Posiblemente extrañe un poco que exista preocupación en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no
algebraicas que no tienen ninguna solución.
El teorema que dice que toda ecuación algebraica tiene por lo menos una solución, a pesar de ser uno de los más
importantes postulados de las matemáticas permaneció mucho tiempo sin demostración.
En vista de su importancia se le conoce con el nombre de Teorema Fundamental del Álgebra.
Jean Le Rond d'Alembert fué el primero en demostrarlo.
Sin embargo, había un punto defectuoso en su demostración, y era que d'Alembert asumía como verdadero un
resultado de Cálculo diferencial que no había sido demostrado y que no tuvo demostración hasta un siglo después
de escribir d'Alembert la suya.
Los exigentes y rigurosos matemáticos no permiten que sucedan cosas como éstas, así que se considera como el
primer "demostrador" de este teorema a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien asombraba a sus colegas; escribió
no una, sino cuatro demostraciones diferentes de este teorema, ninguna de las cuales es elemental.
Desarrollo: El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:
Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos , tiene exactamente n raíces no forzosamente distintas, es
decir, contadas con su orden de multiplicidad.
Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo)
X3 - 2X2 - 4X + 8 = (X-2)2(X+2)
tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raices.
En otras palabras, todo
P(X) = anXn +an-1 Xn-1 + ... + a1 X + a0
se puede factorizar completamente, así :
an(X – z0) (X – z1) ... (X – zn) , con los zi complejos, y an ≠ 0.
Los números complejos fueron inventados justamente para encontrar raíces de polinomios reales:i es por
construcción una raíz de X2+1.
Lo extraordinario del teorema es que no hace falta inventar un número para cada polinomio real que se quiera
factorizar, porque con todas las combinaciones lineales entre i e 1 (es decir con los a + bi) se puede factorizar todos
los polinomios reales, y también complejos.
Esa propiedad significa que el cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado: no se puede salir de él
buscando raices de polinomios, que es la operación algebraíca por excelencia.
Se tardaron dos siglos para completar la prueba de este teorema, del diecisiete al diecinueve.
Figuras destacadas en está labor fueron d'Alembert y Gauss, este último encontró distintas pruebas.
En algunos países el teorema lleva el nombre de teorema de d'Alembert – Gauss (o en el orden inverso, o con un
solo apellido).
Hoy en día la prueba más elegante está basada en la inducción, y su primer paso es demostrar que un polinomio no
constante (es decir de grado superior o igual a uno) debe tener una raíz, gracias al teorema de Liouville aplicado a
la función inversa del polinomio, que es una función holomórfica, es decir derivable en el sentido complejo.
Luego se factoriza la función P por X - r, done r es la raíz que acabamos de encontrar, y se repite la operación con el
cociente P/(X-r), que es un polinomio de grado menor al de P.
Existen pruebas puramente algebraicas, que no emplean herramientas tan elaboradas (y posteriores al teorema).
Álgebra De Wikipedia, la enciclopedia libre.
Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala)‫( ججج‬yebr) (al-dejaber), con
el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados
(algebrista era el médico reparador de huesos).
Históricamente, el álgebra era la ciencia de las reducciones y las comparaciones; por reflejo en las matemáticas el
álgebra es el dominio relativo a la resolución de las ecuaciones polinomiales, es decir de la forma P(X) = 0, donde
P es un polinomio:
Para P de grado 1, se tuvieron que inventar las fracciones y los números negativos, y se adoptó la representación de
una recta para el conjunto de todos los números reales.
Para P de grado 2, se tuvieron que inventar las raíces cuadradas, y se pensó en números imaginarios para
ecuaciones del tipo x2 = -1, que contradicen la regla de los signos. + números complejos
Para P de grado 3, se descubrió que era imprescindible emplear los números complejos para resolverlas, aún
cuando la solución encontrada fuese a fin de cuentas real.
Se vislumbró también el vínculo entre la trigonometría y ciertas ecuaciones de tercer grado.
Para P de grado 4, se empezaron a manipular las raíces con maestría, evidenciando la noción de grupo de
permutaciones.
El quinto grado fue la causa de una gran desilusión, pues se demostró que no se podía resolver el caso general
mediante raíces (cuadradas, cúbicas...).
Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado
alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los
 grupos,
 anillos,
 cuerpos
 y sus extensiones,
espacios vectoriales (álgebra lineal) , y parte de la geometría, la relacionada con los polinomios de segundo grado
de dos variables, es decir las cónicas:
 elipse,
 parábola,
 hipérbola,
 círculo,
ahora incluidas en el álgebra bilineal.

El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la matemáticas como:

 la lógica (álgebra de Boole),
 el análisis
 y la topología (álgebra topológica).
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra"
Álgebra abstracta De Wikipedia, la enciclopedia libre.
El álgebra abstracta es el campo de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas como la de:
 grupo,
 anillo
 y cuerpo.
El término "álgebra abstracta" es usado para distinguir este campo del "álgebra elemental" o del álgebra de la
"escuela secundaria" que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que
conciernen a los: números reales
y números complejos.
Históricamente las estructuras algebraicas han surgido en algún otro campo distinto a la mera álgebra, han sido
axiomatizadas, y luego estudiadas de propio derecho en el álgebra abstracta.
A causa de ello, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de la matemática.
Algunos ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación binaria son los:
 Semigrupos
 Monoides
 grupos
Otros ejemplos más complejos son:
 anillos y cuerpos
  módulos y espacios vectoriales
 álgebras asociativas y álgebras de Lie
 rejillas y álgebras de Boole
En Álgebra Universal, todas esas definiciones y hechos son coleccionados y aplicados a todas las estructuras
algebraicas por igual.
Todas las clases mencionadas de objetos, junto con la noción apropiada de homomorfismo, forman categorías, y la
teoría de categorías nos provee frecuentemente del formalismo para comparar las diferentes estructuras
algebraicas.
Álgebra asociativa De Wikipedia, la enciclopedia libre.
En matemáticas, un álgebra asociativa es un espacio vectorial (o más generalmente un módulo) que también permite
la multiplicación de vectores de manera:
 distributiva
 y asociativa.
Son así álgebras especiales.

Tabla de contenidos

1 Definición
2 Ejemplos
3 Homomorfismos de álgebra
4 Generalizaciones
5 Coálgebras
Definición
Un álgebra asociativa sobre un cuerpo K se define como un espacio vectorial sobre K junto con una multiplicación
K-bilineal A x A -> A (donde la imagen de (x, y) se escribe como xy) tal que la ley asociativa valga:
(x y) z = x (y z) para todo x, y y z en A.
La bilinealidad de la multiplicación se puede expresar como
(x + y) z = x z + y z; para todo x, y, z en A,
x (y + z) = x y + x z; para todo x, y, z en A,
a (x y) = (a x) y = x (a y); para todo x, y en A y a en K.
Si A contiene un elemento identidad, es decir un elemento 1 tales que 1x = x1 = x para todo x en A, entonces
llamamos a A un álgebra asociativa con uno o unitaria (o unital).
Tal álgebra es un anillo y contiene una copia del cuerpo de base K en la forma {a1: a en K}.
La dimensión del álgebra asociativa sobre el cuerpo K es su dimensión como espacio K-vectorial.
Ejemplos
Las matrices cuadradas n-por-n con las entradas del cuerpo K forman un álgebra asociativa unitaria sobre K.
Los números complejos forman un álgebra asociativa unitaria de 2 dimensiones sobre los números reales
Los cuaterniones forman un álgebra asociativa unitaria 4-dimensional sobre los reales (pero no un álgebra sobre los
números complejos, puesto que los números complejos no conmutan con los cuaterniones).
Los polinomios con coeficientes reales forman un álgebra asociativa unitaria sobre los reales.
Dado cualquier espacio de Banach X, los operadores lineales continuos A : X → X forman un álgebra asociativa
unitaria (que usa la composición de operadores como multiplicación); esto es de hecho un álgebra de Banach.
Dado cualquier espacio topológico X, las funciones continuas valoradas en los reales (o los complejos) en X forman
un álgebra asociativa unitaria real (o compleja); aquí sumamos y multiplicamos las funciones punto a punto.
Un ejemplo de un álgebra asociativa no unitaria viene dado por el conjunto de todas las funciones f: R -> R cuyo
límite cuando x se acerca a infinito es cero.
Las álgebras de Clifford son útiles en geometría y física.
Las álgebras de incidencia de conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos son álgebras asociativas
unitarias son consideradas en combinatoria.
Homomorfismos de álgebra
Si A y B son álgebras asociativas sobre el mismo cuerpo K un homomorfismo de álgebras h:
A -> B es una transformación K-lineal que también es multiplicativa en el sentido que h(xy) = h(x) h(y) para todo x,
y en A.
Con esta noción de morfismo, la clase de todas las álgebras asociativas sobre K se convierte en una categoría.
Tome por ejemplo el álgebra A de todas las funciones continuas real-valuadas R -> R, y el B = R. ambos son
álgebras sobre R , y la función que asigna a cada función continua f el número f(0) (evaluación en 0) es un
homomorfismo de álgebras de A a B.
Generalizaciones
Se pueden considerar álgebras asociativas sobre un anillo conmutativo R: éstas son módulos de R junto con una
función R-bilineal que da una multiplicación asociativa. En este caso, una R-álgebra unitaria A se puede
equivalentemente definir como un anillo A con un homomorfismo de anillos R→A.
Las matrices n-por-n con las entradas en los números enteros forman un álgebra asociativa sobre los números
enteros y los polinómios con coeficientes en el anillo Z/nZ (véase aritmética modular) forman un álgebra asociativa
sobre Z/nZ
Coálgebras
Un álgebra asociativa unitaria sobre K se basa en un morfismo A x A→ A que tiene 2 entradas (multiplicador y
multiplicando) y una salida (el producto), así como un morfismo K→A que identificaba los múltiplos escalares de la
identidad multiplicativa. Estos dos morfismos pueden ser dualizados con dualidad categorial invirtiendo todas las
flechas en los diagramas conmutativos que describen los axiomas del álgebra; esto define una estructura de
coalgebra.
Algebra conmutativa De Wikipedia, la enciclopedia libre.
En Álgebra abstracta, el álgebra conmutativa es el campo de estudio de los anillos conmutativos, sus ideales,
módulos y álgebras.
Es una materia fundacional tanto para la geometría algebraica como para la teoría algebraica de números.
Se considera que el fundador real de la materia, en la época en la que se llamaba teoría de ideales, es David
Hilbert.
Parece que él piensa sobre ella (alrededor del 1900) como un enfoque alternativo a la entonces de moda teoría de
funciones complejas.
Este enfoque sigue cierta "línea" de pensamiento que considera que los aspectos computacionales son secundarios
respecto a los estructurales.
El concepto adicional de módulo, presentado de alguna manera en el trabajo de Kronecker, es técnicamente una
paso adelante si lo comparamos con trabajar siempre directamente en el caso especial de los ideales.
Este cambio es atribuido a la influencia de Emmy Noether.
Dado el concepto de esquema, el álgebra conmutativa es pensada, comprendida, de forma razonable, bien como la
teoría local o bien la teoría afín de la Geometría algebraica.
El estudio general de anillos sin requerir conmutatividad se conoce como Álgebra no-conmutativa; es materia de la
Teoría de anillos, Teoría de la representación y en otras áreas como la teoría de las Álgebras de Banach.

Álgebra de incidencia
Un conjunto parcialmente ordenado es localmente finito cuando cada intervalo cerrado [a, b] es finito.
Para cada poset localmente finito y cada cuerpo de escalares hay un álgebra de incidencia, que es un álgebra
asociativa definida como sigue.
Los miembros del álgebra de incidencia son las funciones f que asigna a cada intervalo [a, b] un escalar f(a, b).
En este conjunto subyacente se definen la adición y la multiplicación por escalar punto a punto, y la
"multiplicación" en el álgebra de incidencia es una convolución definida por

El elemento identidad multiplicativa del álgebra de incidencia es

Un álgebra de incidencia es finito-dimensional si y solamente si el poset subyacente es finito.

La función ζ de un álgebra de incidencia es la función constante ζ(a, b) = 1 para cada intervalo [a, b].
Se puede mostrar que ese elemento es inversible en el álgebra de incidencia (con respecto a la convolución definida
arriba).
(Generalmente, un miembro h del álgebra de incidencia es inversible si y solamente si h(x, x) ≠ 0 para cada x.)
El inverso multiplicativo de la función ζ es la función de Möbius μ(a, b); cada valor de μ(a, b) es un múltiplo
integral de 1 en el cuerpo base.

Tabla de contenidos

1 Ejemplos
2 La característica de Euler
3 Álgebras de incidencia reducidas
4 Literatura
Ejemplos
En caso que el poset localmente finito sea el conjunto de todos los números enteros positivos ordenados por
divisibilidad, entonces su función de Möbius es μ(a, b) = μ(b/a), donde el segundo "μ" es la clásica función de
Möbius introducida en teoría de números en el siglo diecinueve.
El poset localmente finito de todos los subconjuntos finitos de algún conjunto E están ordenados por inclusión.
Aquí la función de Möbius es:

whenever S y T son subconjuntos finitos de E con S ⊆ T.

La función de Möbius en el conjunto de números enteros no negativos con su orden usual es:

Estos corresponde a la secuencia (1, -1, 0, 0, 0...) de coeficientes de la serie de potencias formal de 1 - z, y la función
ζ en este caso corresponde a la secuencia de los coeficientes (1, 1, 1, 1...) de la serie de potencias formal (1 - z)-1 =
1 + z + z2 + z3 +....
La función δ en esta álgebra de incidencia corresponde similarmente a la serie de potencias formal 1.
Ordene parcialmente el conjunto de todas las particiones de un conjunto finito diciendo σ ≤ τ si σ es una partición
más fina que τ.
Entonces la función de Möbius es:

donde n es el número de bloques en la partición más fina σ, r es el número de bloques en la partición más gruesa τ, y
ri es el número de bloques de τ que contiene exactamente i bloques de σ.
La característica de Euler
Un poset es acotado si tiene menor y mayor elementos, que llamamos 0 y 1 respectivamente (no deben ser
confundidos con el cero y el uno del cuerpo base. En este párrafo, tomamos Q).
La característica de Euler de un poset finito acotado es μ(0,1); es siempre un número entero.
Este concepto se relaciona con la clásica característica de Euler.
Álgebras de incidencia reducidas
Cualquier miembro de un álgebra de incidencia que asigna el mismo valor a cualesquiera dos intervalos que sean
isomorfos el uno al otro como posets es un miembro del álgebra de incidencia reducida.
Álgebras de incidencia reducidas iluminan la teoría de las funciones generatrices.
Literatura
Las álgebras de incidencia de posets localmente finitos fueron tratadas en un número de papers por Gian-Carlo
Rota comenzando en 1964, y por muchos otros "combinatorialistas" posteriormente.
El paper de Rota de 1964 era:
On the Foundations of Combinatorial Theory I: Theory of Möbius Functions, Zeitschrift für
Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, volumen 2, páginas 340-368.
Álgebra geométrica De Wikipedia, la enciclopedia libre.
En matemáticas, álgebra geométrica es un término aplicado a la teoría de las álgebras de Clifford y teorías
relacionadas, siguiendo un libro del mismo título por Emil Artin.
Este término también ha tenido reciente uso en los tratamientos de la misma área en la literatura física.
En David Hestenes et al. álgebra geométrica es una reinterpretación de las álgebras de Clifford sobre los reales (lo
que se afirma como una vuelta al nombre y a la interpretación originales previstos por William Clifford).
Los números reales se utilizan como escalares en un espacio vectorial V.
Desde ahora en adelante, un vector es algo en V mismo.
El producto externo (producto exterior, o producto cuña) ∧ se define tal que se genere el álgebra graduada (álgebra
exterior de Hermann Grassmann) de Λn Vn de multivectores.
El álgebra geométrica es el álgebra generada por el producto geométrico (el cual es pensado como fundamental)
con (para todos los multivectores A, B, C)
Asociatividad
Distributividad sobre la adición de multivectores: A(B + C) = A B + A C y {A + B)C = A C + B C
La contracción para cualquier "vector" (un elemento de grado uno) a, a2 es un escalar (número real)

Llamamos esta álgebra un álgebra geométrica .

El punto distintivo de esta formulación es la correspondencia natural entre las entidades geométricas y los
elementos del álgebra asociativa.
La conexión entre las álgebra de Clifford y las formas cuadráticas vienen de la propiedad de contracción.
Esta regla también da al espacio una métrica definida por el naturalmente derivado producto interno.
Debe ser observado que en álgebra geométrica en toda su generalidad no hay restricción ninguna en el valor del
escalar, puede muy suceder que sea negativa, incluso cero (en tal caso, la posibilidad de un producto interno está
eliminada si se requiere ).

El producto escalar usual y el producto cruzado tradicional del álgebra vectorial (en ) hallan sus lugares en el
álgebra geométrica como el producto interno:

(que es simétrico) y el producto externo:

con:

(que es antisimétrico).
Relevante es la distinción entre los vectores axiales y polares en el álgebra vectorial, que es natural en álgebra
geométrica como la mera distinción entre los vectores y los bivectores (elementos de grado dos).
El i aquí es la unidad pseudoscalar del 3-espacio euclidiano, lo que establece una dualidad entre los vectores y los
bivectores, y se lo llama así debido a la propiedad prevista i2 = -1.

Un ejemplo útil es , y generar , un caso del álgebra geométrica llamada álgebra del espacio-tiempo por
Hestenes.

El tensor del campo electromagnético, en este contexto, se convierte en simplemente un bivector donde
la unidad imaginaria es el elemento de volumen, dando un ejemplo de la reinterpretación geométrica de los "trucos
tradicionales".

Boosts en esta métrica de Lorentz tienen la misma expresión que la rotación en el espacio euclidiano, donde
es, por supuesto, el bivector generado por el tiempo y las direcciones del espacio implicadas, mientras que en el
caso euclidiano es el bivector generado por las dos direcciones del espacio, consolidando la "analogía" casi hasta
la identidad.
Vínculos externos
http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/introduction/intro/intro.html
http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/
http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/ptIIIcourse/course99/
http://carol.wins.uva.nl/~leo/clifford/
http://modelingnts.la.asu.edu/GC_R&D.html

Álgebra graduada
En matemáticas, en particular en álgebra abstracta, un álgebra graduada es un álgebra sobre un cuerpo, o más en
general R-álgebra, en la cual hay una noción consistente del peso de un elemento.
La idea es de que los pesos de los elementos se sumen, cuando se multiplican los elementos.
Aunque se tiene que permitir la adición 'inconsistente' de elementos de diversos pesos.
Una definición formal sigue.
Sea G un grupo abeliano. un álgebra G-graduada es un álgebra con la descomposición en suma directa
tal que

Un elemento del i-ésimo subespacio Ai se dice elemento de grado i homogéneo o puro.

Los ejemplos importantes de álgebra graduadas incluyen las álgebras tensoriales TV de un espacio vectorial V así
como las álgebras exteriores ΛV que son ambas Z-graduadas.
Las álgebras de Clifford y las super álgebras son ejemplos de álgebras Z2-graduadas.
Aquí los elementos homogéneos son pares (grado 0) o impares (el grado 1).
Las álgebras graduadas también se utilizan mucho en
1. álgebra comutativa,
2. geometría algebraica,
3. álgebra homologica y
4. topología algebraica.

Álgebra libre
En álgebra abstracta, el álgebra libre es el análogo no conmutativo del anillo de polinomios.
Sea R un anillo.
El álgebra libre en n indeterminadas, X1..., Xn, es el anillo generado por todas las combinaciones lineales de los
productos de las variables.
Este anillo es denotado por R<X1..., Xn>.
A diferencia de un anillo polinómico, las variables no conmutan.
Por ejemplo X1X2 no es igual a X2X1.
Sobre un cuerpo, el álgebra libre en n indeterminadas se puede construir como el álgebra tensorial de un espacio
vectorial n-dimensional.
(Para un anillo de coeficientes más general, la misma construcción funciona si tomamos el módulo libre en n
generadores.)

Este artículo es, por ahora, sólo un esbozo. Ampliándolo

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Álgebra lineal De Wikipedia

El Álgebra Lineal es la rama de las matemáticas que concierne al estudio de: vectores,
espacios vectoriales,
transformaciones lineales,
y sistemas de ecuaciones lineales.
Los espacios vectoriales son un tema central en las matemáticas modernas; por lo que el álgebra lineal es usada
ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional.
El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de
las ciencias naturales y en las ciencias sociales.

Tabla de contenidos

1 Historia
2 Introducción Elemental
3 Algunos Teoremas Útiles
4 Generalización y temas relacionados
Historia
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años 1843 y 1844.
En 1843, William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones.
En 1844, Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre.
Introducción Elemental
El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de vectores en el 2º y 3er cuadrante del plano cartesiano.
Aquí, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud o magnitud y dirección. Los vectores pueden ser
entonces utilizados para representar ciertas magnitudes físicas, como las fuerzas, y pueden ser sumados y
multiplicados como magnitudes escalares, formando entonces el primer ejemplo real de espacio vectorial.
Hoy día, el Álgebra Lineal se ha extendido al considerar n-espacio, puesto que los más útiles resultados de los
cuadrantes segundo y tercero pueden ser extendidos de forma n-dimensional en el espacio.
Pero podemos considerar que el álgebra lineal investiga y abarca espacios infini-dimensionales.
Aunque a mucha gente le resulta imposible la visualización mental de los vectores de más de tres dimensiones (y aún
éstos), es decir, en un n-espacio, o n-múltiplos, son útiles representando información.
Puesto que los vectores, como n-múltiplo, son considerados listas ordenadas de n componentes, se puede resumir y
manipular información eficientemente en esta estructura.
Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u óctuples para representar el
Producto Interno Bruto (on interior, del inglés inner) para 8 diferentes países.
Se puede simplemente mostrar el PIB en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por
ejemplo:
Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia,
utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.
Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, es
parte del álgebra abstracta, y podemos integrar todo esto en un campo.
Algunos ejemplos contundentes en este grupo son la inversión lineal de aplicaciones o matrices, y el anillo de
aplicaciones lineales de un espacio vectorial.
El Álgebra Lineal también tiene un papel importante en el cálculo y en la descripción de derivadas de alto grado (o
nivel) en el análisis vectorial y en el estudio de los productos de tensor (en física, buscar momentos de torsión) y sus
aplicaciones alternativos.
Un espacio vectorial se define sobre un campo, tal como el campo de los números reales o en el de los números
complejos.
Los operadores lineales afectan al espacio vectorial de otro (o en sí mismo), de forma compatible con la suma o
adición y la multiplicación o producto escalar en uno o más espacios vectoriales.
Si la base de un espacio vectorial está definida, cada transformación está definida y cada transformación lineal
puede ser representada por una tabla de números llamada matriz.
El estudio detallado de las propiedades y los algoritmos actuando como matrices, incluyendo determinantes y
eigenvectores (también denominados autovectores), se consideran parte del álgebra.
Se pueden resolver problemas lineales de matemáticas -o aquellos que exhiben un comportamiento de de linealidad.
Por ejemplo, en el cálculo diferencial se hace un estupendo trabajo en la aproximación lineal de funciones.
La distinción entre problema no lineal y otro lineal es muy importante en la práctica.
Algunos Teoremas Útiles
Todo espacio lineal tiene un origen;
Teorema Fundamental del Álgebra
Generalización y temas relacionados
Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de las
matemáticas:
En la teoría del módulo, que remplaza al campo en los escalares por un anillo;
En el álgebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número
de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor;
En la teoría del espectro de los operadores de control de matrices infi-dimensionales, aplicando el análisis
matemático en una teoría que no es puramente algebraica.
En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.

Este artículo es, por ahora, sólo un esbozo.

Álgebra sobre un cuerpo De Wikipedia, la enciclopedia libre.

En matemáticas, un álgebra sobre un cuerpo K, o una K -álgebra, es un espacio vectorial A sobre K equipado con
una noción compatible de multiplicación de elementos de A.
Una generalización directa admite que K sea cualquier anillo conmutativo. (algunos autores utilizan el término
"álgebra" como sinónimo de "álgebra asociativa", pero Wikipedia no.
Observe también los otros usos de la palabra enumerados en el artículo 'álgebra'.)

Tabla de contenidos

1 Definiciones
2 Características
3 Clases de álgebra y de ejemplos
4 Vea también
Definiciones
Para ser exactos, sea K un cuerpo, y sea A un espacio vectorial sobre K.
Suponga que nos dan una operación binaria A × A → A, con el resultado de esta operación aplicado a los vectores x
y y en A escrita como xy.
Suponga además que la operación es bilineal, es decir:
(x + y)z = xz + yz;
x(y + z) = xy + xz;
(a x)y = a (xy); y
x(b y) = b (xy);
para todos los escalares a y b en K y todos los vectores x, y, y z.
Entonces con esta operación, A se convierte en un álgebra sobre K, y K es el cuerpo base de A.
La operación se llama "multiplicación".
En general, xy es el producto de x y de y, y la operación se llama multiplicación.
Sin embargo, la operación en varias clases especiales de álgebra toma diversos nombres.
Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier anillo conmutativo K:
Necesitamos un módulo A sobre K
Y una operación bilineal de multiplicación que satisfaga las mismas identidades que arriba; entonces A es una K-
álgebra, y K es el anillo bajo A.
Dos álgebras A y B sobre K son isomorfas si existe una K biyección - función lineal f: A → B tal que f (xy) = f(x)f(y)
para todo x, y en A.
Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de
sus elementos.
Características
Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de A × A a A es determinada totalmente por la
multiplicación de los elementos de la base de A. Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para A, los
productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un
operador bilineal en A, es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.
Así, dado el cuerpo K, cualquier álgebra se puede especificar salvo un isomorfismo dando su dimensión (digamos
n), y especificar los n3 coeficientes de estructura ci,j,k, que son escalares.
Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en A vía la regla siguiente:

donde e1,...en una base de A.

El único requisito en los coeficientes de la estructura es que, si la dimensión n es un número infinito, entonces esta
suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación).
Observe sin embargo que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.
En física matemática, los coeficientes de estructura se escriben a menudo ci,jk, y se escribe usando la convención de
adición de Einstein como ei ej = c i,jk ek.
Si se aplica esto a vectores escritos en notación de índice, entonces se convierte en
(xy)k = c i,j k xi yj.
Si K es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si A es un módulo libre sobre K.
Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un conjunto generador de
A; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber
solamente las constantes de estructura no especifica el álgebra módulo isomorfismo.
Clases de álgebra y de ejemplos
Un álgebra conmutativa es una en que la multiplicación es conmutativa;
Un álgebra asociativa es una en que la multiplicación es asociativa.
Éstas incluyen las clases más familiares de álgebra.
Álgebras asociativas:
El álgebra de todas las matrices n-por-n sobre el cuerpo (o anillo conmutativo) K. Aquí la multiplicación es
multiplicación ordinaria de matrices.
Las álgebra grupo, donde un grupo sirve de base del espacio vectorial y la multiplicación del álgebra amplía la
multiplicación del grupo.
El álgebra conmutativa K[x] de todos los polinomios sobre K.
Las álgebras de funciones, tales como el R-álgebra de todas las funciones continuas real-valoradas definidas en el
intervalo [0, 1], o la C-álgebra de todas las funciones holomórficas definidas en algún conjunto abierto en el plano
complejo. Éstas son también conmutativos.
Las álgebras de incidencia se construyen sobre ciertos conjuntos parcialmente ordenados.
Las álgebras de operadores lineales, por ejemplo en un espacio de Hilbert.
Aquí la multiplicación del álgebra viene dada por la composición de operadores. Estas álgebras también llevan una
topología; se definen muchas de ellas en un espacio subyacente de Banach que las convierte en un álgebra de
Banach.
Si una involución se da también, obtenemos
B-estrella-álgebras
y C-estrella-álgebras.
Éstas se estudian en análisis funcional.
Las clases más conocidas de álgebras no-asociativas son las que son casi asociativas, es decir, en que una cierta
ecuación simple obliga las diferencias entre diversas maneras de asociar la multiplicación de elementos.
Éstos incluyen:
Álgebra de Lie, para las cuales requerimos la identidad de Jacobi z ( xy ) + (yz) x + (zx) y = 0 y anticonmutatividad:
xx = 0.
Para estas álgebra el producto se llama el corchete de Lie y se escribe [ x,y ] en vez de xy.
Los ejemplos incluyen:
Espacio euclidiano R3 con la multiplicación dada por el producto vectorial (con K el cuerpo Rnúmeros reales);
Álgebra de los campos vectoriales en una variedad diferenciable (si K es R o los números complejos C) o una
variedad algebraica (para el general K);
Cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie usando el conmutador como corchete de Lie.
De hecho cada álgebra de Lie se puede construir de esta manera, o es una subálgebra de un álgebra de Lie así
construida.
Álgebra de Jordan, para las cuales requerimos (xy)x2 = x(yx2) y también xy = yx.
Cada álgebra asociativa sobre un cuerpo de característica distinta de 2 da lugar a un álgebra de Jordan definiendo
una nueva multiplicación x*y = (1/2)(xy + yx).
En contraste con el caso del álgebra de Lie, no toda álgebra de Jordan se puede construir de esta manera.
Las que si se pueden se llaman especiales.
Álgebras alternativas, para las cuales requerimos que (xx)y =x(xy) y (yx)x = y(xx). Los ejemplos más importantes
son los octoniones (un álgebra sobre los reales), y generalizaciones de los octoniones sobre otros cuerpos.
(todas las álgebras asociativas son obviamente alternativas.)
Salvo isomorfismo las únicas álgebras alternativas reales finito-dimensionales son:
 los reales,
 los complejos,
 los cuaterniones
 y los octoniones.
Álgebras potencia-asociativas, para las cuales requerimos que xmxn = xm+n, donde m ≥ 1 y n ≥ 1.
(aquí definimos formalmente xn+1 recurrentemente como x (x n).)
Los ejemplos incluyen todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, y los sedeniones.
Más clases de álgebra:
Las álgebras de división, en las cuales el inverso multiplicativo existe o la división puede ser realizada.
Las álgebras finito-dimensionales de división sobre el cuerpo de los números reales se pueden clasificar bien.
Álgebras cuadráticas, para las cuales requerimos xx=re + sx, para algunos elementos r y s en el cuerpo de base, y e
una unidad para el álgebra.
Los ejemplos incluyen todas las álgebras alternativas finito-dimensionales, y el álgebra de las matrices reales 2-por-
2.
Salvo un isomorfismo las únicas álgebras reales alternativas, cuadráticas sin divisores de cero son los reales, los
complejos, los cuaterniones, y los octoniones.
Las álgebras de Cayley-Dickson (donde K es R, que comienzan con:
C (una álgebra conmutativa y asociativa);
Los cuaterniones H (una álgebra asociativa);
Los octoniones (un álgebra alternativa);
Los sedeniones (un álgebra potencia-asociativa, como todas las álgebras de Cayley-Dickson).
Las álgebras de Poisson se consideran en la cuantización geométrica.
Tienen dos multiplicaciones, haciéndolas álgebras conmutativas y álgebras de Lie de diversas maneras.
Vea también
Álgebra de Clifford
Álgebra geométrica
Álgebra tensorial De Wikipedia, la enciclopedia libre.
En matemáticas, el álgebra tensorial es (dentro del álgebra abstracta) una construcción de un álgebra asociativa
T(V) partiendo de un espacio vectorial V.
Si tomamos vectores de base para V, se convierten en variables que no conmutan en T(V), ni sujetos a ninguna
restricción (más allá de la asociatividad, de la ley distributiva y las K-linealidades, donde V está definido sobre el
cuerpo K).
Por lo tanto, T(V), mirada en términos que no son intrínsecos, se puede ver como el álgebra de polinomios en n
variables que no conmutan sobre K si V tiene dimensión n.
Otras álgebras de interés tales como el álgebra exterior aparecen como cocientes de T(V), como relaciones
impuestas por generadores.
La construcción de T(V) es una suma directa de partes graduadas Tk para k = 0, 1, 2,...; donde Tk es el producto
tensorial de V con sí mismo k veces, y T0 es K como espacio vectorial unidimensional.
La función de multiplicación en Ti y Tj mapea a T i + j y es la yuxtaposición natural de los tensores puros,
ampliados por bilinealidad.
Es decir, el álgebra tensorial es representante de las álgebras con tensores covariantes que se forman de V y de
cualquier rango.
Para tener el álgebra completa de tensores, contravariantes así como covariantes, se debe tomar T(W) donde W es
la suma directa de V y de su espacio dual - esto consistirá en todos los tensores TIJ con los índices superiores J e
índices inferiores I, en la notación clásica.
Uno también se puede referir a T(V) como el álgebra libre sobre el espacio vectorial V. De hecho,el [{funtor]] que
lleva una K-álgebra A a su espacio K-vectorial subyacente está en un par de funtores adjuntos con T, que es su
adjunto izquierdo. El punto de vista de álgebra libre es útil para construcciones como la de un álgebra de Clifford o
un álgebra envolvente universal, donde la pregunta sobre la existencia se puede resolver comenzando con T(V) e
imponiendo después las relaciones requeridas.
La construcción se generaliza facilmente al álgebra tensorial de cualquier módulo M sobre un anillo conmutativo.
Álgebra de Boole De Wikipedia, la enciclopedia libre.
En matemáticas y computación, el Álgebra de Boole, o Retículas booleanas, son estructuras algebráicas que
"capturan la esencia" de las operaciones lógicas Y O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección
y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole , matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un
sistema lógico a mediados del siglo XIX. Específicamente, el álgebra de Boole fue un intento de utiulizar las técnicas
algebráicas para tratar expresiones de la lógica proposicional.
Hoy en día el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en diseño electrónico.
Se aplicó por primera vez en circuitos de conmutación eléctrica biestables por Claude Shannon en 1938.
Los operadores del álgebra de Boole pueden representarse de varias formas.
A menudo se representan simplemente como AND(Y), OR(O) y NOT(NO).
En la descripción de circuitos también se emplean NAND(no Y), NOR(no O) y XOR(O exclusivo).
En matemáticas a menudo se utiliza + en lugar de OR y . en lugar de AND (debido a que estas operaciones son de
alguna manera análogas a la suma y el producto en otras estructuras algebraicas) y NOT se representa como una
línea sobre la expresión que se pretende negar.
En este artículo se empleará la notación común con para el operador AND, para el operador OR y ¬ (o ~)
para el operador NOT.
Definición
Un álgebra de Boole es una retícula (A, , ) (considerada como una estructura algebráica) con las siguientes
cuatro propiedades adicionales:
(a Acotada inferiormente:
Existe un elemento 0, tal que a 0 = a para todo a perteneciente a A.
(b Acotada superiormente:
Existe un elemento 1, tal que a 1 = a para todo a perteneciente a A.
(c Distributiva:
Para todo a, b, c pertenecientes a A, (a b) c = (a c) (b c).
(d Con complemento:
Para cualquier a perteneciente a A existe un elemento ¬a perteneciente a A tal que a ¬a = 1 y a ¬a = 0.
De esos axiomas se desprende que el elemento mínimo 0, el elemento máximo 1, y el complemento ¬a de un
elemento a estás únicamente determinados.
Como cualquier retícula, un Álgebra Booleana A, , ) da lugar a un conjunto parcialmente ordenado (A, ≤)
definiendo
a ≤ b si y sólo si a = a b
(que equivale a b = a b).
De hecho, puede definirse un álgebra de Boole como una retícula distributiva A, ≤) (considerada como un conjunto
parcialmente ordenado) con elemento mínimo 0, elemento máximo 1, en la que cada elemento x tiene un
complemento ¬x tal que
x ¬x = 0 and x ¬x = 1
Aquí y se usan para denotar el mínimo (intersección) y el máximo (unión) de dos elementos.
De nuevo, si existe el complemento está únicamente determinado.
Ejemplos
El álgebra de Boole más importante tiene sólo dos elementos, 0 y 1, y se define por las reglas
0 1 0 1
---- ----
 0|0 1 0|0 0
1|1 1 1|0 1
Tiene aplicaciones en la lógica, donde 0 se interpreta como "falso", 1 como "verdadero", como "y", como
"o", y ¬ es "no".
Las expresiones que involucran variables y operadores booleanos representan proposiciones, y se puede demostrar
que dos expresiones son equivalentes usando los axiomas citados anteriormente si y sólo si las correspondientes
proposiciones son´lógicamente equivalentes.
El álgebra de Boole de dos elementos también se utiliza para diseño de circuitos en ingeniería electrónica; aquí 0 y
1 representan los dos posibles estados en circuitos digitales, típicamente un voltaje alto y una bajo.
Los circuitos se describen mediante expresiones que contienen variables, y dos de estas expresiones son iguales si y
sólo si los correspondientes circuitos tienen el mismo comportamiento de entrada y salida.
Además, cada posible conportamiento de entrada-salida puede ser expresado mediante una expresión booleana.
El álgebra de Boole de dos elementos también es importante en la teoría general de las álgebras de Boole, porque
una ecuación que implica varias variables es cierta en todas las álgebras booleanas si y sólo si es cierta en un
álgebra booleana de dos elementos(lo cual siempre puede ser chequeado utilizando el algoritmo trivial de fuerza
bruta).
Esto puede aplicarse para demostrar que las siguientes leyes
(Teoremas del consenso)
son válidos en todas las álgebras booleanas:
(a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c)
(a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c)
El conjunto de partes de un conjunto dado S forma un álgebra de Boole con las dos operaciones = unión and
= intersección.
El elemento mínimo 0 es el conjunto vacío y el elemento máximo 1 es el propio conjunto S.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de S que son finitos o cofinitos es un álgebra de Boole.
Para todo número natural n, el conjunto de todos sus divisores positivos forma una retícula distributiva si definimos
a ≤ b como a divide a b.
Esta retícula es un álgebra de Boole se y sólo si n es libre de cuadrados.
El elemento mínimo 0 de este álgebra es el número natural 1; el elemento máximo 1 de este álgebra booleana 1 es el
número natural n.
Otros ejemplos de álgebras de Boole surgen de losespacions topológicos: si X es un espacio topológico, entonces la
colección de todos los subespacios de X que son tanto abiertos como cerrados forman un álgebra booleana con las
operaciones
V = unión y = intersección.
Si R es un anillo y definimos el conjunto de idempotentes centrales como
A = { e en R : e2 = e y ex = xe para todo x en R }
entonces el conjunto A se convierte en un álgebra booleana con las operaciones e f = e + f − ef y e f = ef.

Divisor de cero De Wikipedia, la enciclopedia libre.

En álgebra abstracta, un elemento no nulo a de un anillo A es un divisor de cero por la izquierda si existe un
elemento no nulo b tal que ab = 0.
Los divisores de cero por la derecha se definen análogamente.
Un elemento que es tanto un divisor de cero por la izquierda como por la derecha recibe el nombre de divisor de
cero.
Si el producto es conmutativo, entonces no hace falta distinguir entre divisores de cero por la izquierda y por la
derecha.
Un elemento no nulo que no sea un divisor de cero ni por la izquierda ni por la derecha recibe el nombre de regular.
Ejemplos
El anillo Z de los enteros no tiene divisores de cero, pero en el anillo Z2 (donde la suma y el producto se realizan
componente a componente), se tiene que (0,1) × (1,0) = (0,0), así que tanto (0,1) como (0,1) son divisores de cero.
En el anillo cociente Z/6Z, la clase del 4 es un divisor de cero, ya que 3×4 es congruente con 0 módulo 6.
Un ejemplo de divisor de cero en el anillo de matrices de 2×2 es la siguiente matriz:

porque, por ejemplo,

Propiedades
Los divisores de cero por la izquierda o por la derecha nunca pueden ser unidades, porque, si a es invertible y ab =
0, entonces 0 = a-10 = a-1ab = b.
Todo elemento idempotente no nulo a≠1 es divisor de cero, ya que a2 = a implica que a(a - 1) = (a - 1)a = 0.
Los elementos nilpotentes no nulos del anillo también son divisores de cero triviales.
En el anillo de las matrices de n×n sobre algún campo, los divisores de cero por la izquierda y por la derecha
coinciden; son precisamente las matrices singulares no nulas.
En el anillo de las matrices de n×n sobre un dominio de integridad, los divisores de cero son precisamente las
matrices no nulas de determinante cero.
Si a es un divisor de cero por la izquierda y x es un elemento arbitrario del anillo, entonces xa es cero o bien un
divisor de cero.
El siguiente ejemplo muestra que no se puede decir lo mismo de ax.
Considérese el conjunto de matrices de ∞×∞ sobre el anillo de los enteros, donde cada fila y cada columna contiene
un número finito de entradas no nulas.
Éste es un anillo con el producto usual de matrices.
La matriz

es un divisor de cero por la izquierda y B = AT es, por tanto, un divisor de cero por la derecha.
Pero AB es la matriz identidad y, por tanto, no puede ser un divisor de cero.
En particular, concluimos que A no puede ser un divisor de cero por la derecha.
Un anillo conmutativo con 0≠1 y sin divisores de cero recibe el nombre de dominio de integridad o dominio integral.
Ecuación De Wikipedia, la enciclopedia libre.
Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que tomen las variables
implicadas en cada expresión.
Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones se denominará inecuación

Historia de las ecuaciones

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a
la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru walmuqābalah, reducción y cotejo).
La cosa era la incógnita.
La primera traducción fué hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X
española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Méjico,
Ximénez/Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a la cosa ( x) y así sigue.
Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situación fue
completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2.
En efecto, la ecuación general de tercer grado:
... ax3 + bx2 + cx + d = 0
requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad.
Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia.
Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado
o cúbicas.
Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco
como nunca se ha dados en la historia.
La mayoría de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interés compuesto y de seguros.
Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico, los grandes algebristas italianos constituían en su
mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de
cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como en las cátedras de Universidad, a las
que aspiraban y algunas veces ocupaban.
Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sí competencias para la solución de
problemas.
(Algo muy similar a lo que hacían los hindúes siglos antes).
Para hacer doblemente difícil su deporte, algunas veces hacían apuestas que depositaban en manos de un tercero.
El ganador se lo llevaba todo.
En esta atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica.
La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicó un
compendio de álgebra, la "Suma Aritmética".
Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los
matemáticos no podrían todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos.
El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el
hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia.
Habiendo encontrado la solución general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada x3 + nx = h.
Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las
competencias.
Pero en sus últimos días confío su solución a un estudiante, Antonio Fior, quien la utilizó en una disputa de álgebra
con un rival, Nícolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padecía este defecto.
En la época de la contienda con Fior, Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces solucionadores de
ecuaciones de Italia, y había ideado un arma secreta propia:
Una solución general para las cúbicas del tipo x3 + mx2 = h
Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos específicos del tipo x3 + px + q = 0, le respondió con
ejemplos del tipo x3 + mx2 = n.
Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente,
ocho días antes de finalizar el plazo, Tartaglia había encontrado una solución general para las ecuaciones del tipo
x3 + px = q y en dos horas resolvió todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabó el tiempo y llego
el día de hacer el cómputo, Tartaglia había solucionado los problemas de Fior y éste no había solucionado los de
Tartaglia.
Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte: Gerolamo
Cardano, hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino.
Cardano era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes, un médico que visitaba a sus enfermos y un escritor
científico de cuya pluma emanaron montañas de libros.
Fue también un jugador inveterado, siempre balanceándose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre salía bien
parado.
El Santo Padre lo pensionó solucionándole así sus problemas económicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo
de Tartaglia la solución de la ecuación cúbica.
Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia, la publicó unos cuantos años después, en 1545, en
un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna" (Gran Arte).
Tartaglia, que había estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de su vida maldiciendo a Cardano por
su estafa.
No obstante, el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia.
También en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matemático: el alborotador y blasfemo Lodovico
Ferran que murió a la edad de 43 años, envenenado por su propia hermana.
Así como Tartaglia había solucionado la cúbica, de la misma forma Ferran, cuando todavía estudiaba con Cardano,
solución de las de cuarto grado o cuárticas (con fórmulas mas complicadas que las de tercer grado).
Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su "Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generales de
las cúbicas y las cuárticas, divulgando los dos avances del álgebra más trascendentales desde la muerte de
Diofanto, 1300 años antes.
En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunció las leyes que los
rigen.
También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó ficticio o sofisticado.
Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo, que es incluso más difícil de comprender que un número negativo
propiamente, ya que ningún número real multiplicado por sí mismo da un número negativo.
En la actualidad los matemáticos llaman a la raíz cuadrada de un número negativo número imaginario; cuando
dicha cantidad se combina con un número real, el resultado se llama número complejo.
Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones.
En gran parte debido a Cardano, las Matemáticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento
enormemente enriquecidas.
El éxito de los matemáticos italianos produjo un gran efecto.
Era la primera vez en que la ciencia moderna había sobrepasado las conquistas de los antiguos.
Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportación había consistido solamente en entender el trabajo
de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no habían tenido éxito en conquistar, fueron
resueltas.
Y esto sucedió en el siglo XVI, un siglo antes de la invención de nuevas ramas de las matemáticas:
Geometría analítica
y
Cálculo diferencial e Integral
que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua.
Después de esto, no hubo matemático importante que no intentara extender las conquistas de los italianos
resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y más alto grado en forma análoga a los italianos, es decir, encontrando una
fórmula general o como se dice actualmente, resolverlas por radicales.
El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen (1651- 1708) creyó haber encontrado un método general de
solución.
Su método estaba basado en la transformación de una ecuación a otra más simple; pero esta sola transformación
requería de algunas ecuaciones auxiliares.
Más tarde, con un análisis más profundo se demostró que el método de transformación de Tschimhausen, en efecto,
da la solución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para una ecuación de quinto grado se
necesita resolver primero una ecuación auxiliar de sexto grado, cuya solución no era conocida.
El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo "Reflexiones sobre la solución de ecuaciones
algebraicas" publicado en 1770-1771, ( con más de 200 páginas) críticamente examina todas las soluciones de las
ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en
propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores.
Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y medio habían pasado y nadie
durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por
radicales, esto es, de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de:
suma,
resta,
multiplicación,
división,
exponenciación
y raíces con exponentes enteros positivos,
Que pueden expresar la solución de una ecuación en términos de los coeficientes, esto es, fórmulas similares a
aquélla por la que se había resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas encontradas por los
italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados.
Los matemáticos pensaron que sus fracasos se debían principalmente a su propia incapacidad para encontrar una
solución.
Lagrange dice en sus memorias:
"El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es uno de esos problemas
que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos".
Lagrange avanzó bastante en la teoría de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su época y
descubriendo nuevas relaciones entre esta teoría y otras como la teoría de las permutaciones.
Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema permaneció sin solución y constituía, en palabras
del mismo Lagrange,
"Un reto para la mente humana".
Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de
un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 - 1829), en el cual se daba una prueba de que si los
coeficientes de una ecuación se tomaban simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresión algebraica
con dichos coeficientes que fuera solución de la ecuación correspondiente.
Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los más grandes matemáticos de todos los países para resolver ecuaciones
de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla razón de que éste problema
simplemente no tiene solución.
Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para ecuaciones de grado
mayor no existen tales fórmulas
Pero eso no es todo aún.
Un resultado extremadamente importante en la teoría de las ecuaciones algebraicas esperaba todavía ser
descubierto.
El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que sí se pueden resolver por
radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la
realidad.
Resumiendo, después del descubrimiento de Abel la situación era la siguiente:
Aunque la ecuación general de grado mayor que 4 no se podía resolver por radicales, hay un número ilimitado de
ecuaciones de grado mayor a cuatro que sí se pueden resolver por radicales.
La pregunta era
¿cuáles ecuaciones sí se pueden resolver por radicales y cuáles no?
o en otras palabras:
¿qué condiciones debe cumplir una ecuación para que pueda ser resuelta por radicales?
La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matemático
francés Evariste Galois. (1811-1832).
A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de las
matemáticas y en particular dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teoría de las ecuaciones
algebraicas en un pequeño manuscrito titulado
"Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales",
que fue escrito en treinta y un páginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto
a la edad mencionada de 20 años.
En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales cualquier ecuación de
cualquier grado.
El problema resultó ser más difícil y más profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creación de
nuevos conceptos, importantes no sólo para el álgebra sino también para las matemáticas en general.
Para la solución práctica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente:
Quedó claro que una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun en los casos particulares
en que existe, era de poca utilidad práctica a causa de las operaciones sumamente complicados que se tenían que
hacer.
(Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo).
En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente
diferentes, que son:
(a En el problema de la existencia de raíces (soluciones).
(b En el problema de saber algo acerca de las soluciones, sólo trabajando con sus coeficientes.
(c En el cálculo aproximado de las raíces o soluciones de una ecuación.
Véase también
Ecuación de segundo grado
Ecuación de tercer grado
Ecuación de cuarto grado y Ecuación química

Álgebra de Heyting De Wikipedia, la enciclopedia libre.

En matemáticas, las álgebras de Heyting son conjuntos parcialmente ordenados especiales que constituyen una
generalización de las álgebras de Boole.
Las álgebras de Heyting se presentan como modelos de la lógica intuicionista, una lógica en la cual la ley del
tercero excluido no vale, en general.
Las álgebras completas de Heyting son un objeto central de estudio en topología sin puntos.

Tabla de contenidos

1 Definiciones formales
2 Propiedades
3 Ejemplos
4 Referencias
Definiciones formales
Un álgebra de Heyting H es un reticulado acotado tal que para todo a y b en H hay un mayor elemento x de H tal
que a ^ x ≤ b.
Este elemento se llama el pseudo-complemento relativo de a con respecto a b, y es denotado a=>b (o a ⇒b).
Una definición equivalente puede ser dada considerando las funciones fa: H → H definidos por fa(x) = a^x, para
algún a (fijo) en H.
Un reticulado acotado H es un álgebra de Heyting sii todos las funciones fa son el adjunto inferior de una conexión
de Galois monótona.
En este caso los adjuntos superiores respectivos ga son dados por ga(x) = a=>x, donde => se define como arriba.
Un álgebra completa de Heyting es un álgebra de Heyting que es un reticulado completo.
En cualquier álgebra de Heyting, uno puede definir pseudo-complemento ¬x de un cierto elemento x haciendo ¬x =
x=>0, donde 0 es el menor elemento del álgebra de Heyting.
Un elemento x de un álgebra de Heyting se llama regular si x = ¬¬x.
Propiedades
Las álgebras de Heyting son siempre distributivas.
Esto se establece a veces como axioma, pero de hecho se sigue de la existencia de pseudo-complementos relativos.
La razón es que siendo ^ el adjunto inferior de una conexión de Galois, preserva todos los supremos existentes.
Distributividad es precisamente la preservación de los supremos binarios por ^.
Además, por un argumento similar, la ley distributiva infinita siguiente se sostiene en cualquier álgebra completa de
Heyting:
x ^ VY = V{x ^ y : y en Y},
para cualquier elemento x en H y cualquier subconjunto Y de H.
No toda álgebra de Heyting satisface las dos leyes de De Morgan.
Sin embargo, las proposiciones siguientes son equivalentes para todas las álgebras de Heyting H:
H satisface ambas leyes de De Morgan.
¬(x ^ y) = ¬x v ¬y, para todo x, y en H.
¬x v ¬¬x = 1 para todo x en H.
¬¬(x v y) = ¬¬x v ¬¬y para todo x, y en H.
El pseudo-complemento de un elemento x de H es el supremo del conjunto {y : y ^ x=0} y pertenece a este conjunto
(es decir x ^ ¬x=0).
Las álgebras booleanas son exactamente esas álgebras de Heyting en las cuales x = ¬¬x para todo x, o,
equivalentemente, en el cual x v ¬x = 1 para todo x.
En este caso, el elemento a = > b es igual al ¬a v b.
En cualquier álgebra de Heyting, el menor y mayor elementos 0 y 1 son regulares. Además, los elementos regulares
de cualquier álgebra de Heyting constituyen un álgebra booleana.
Ejemplos
Cada conjunto totalmente ordenado que es un reticulado acotado es también un álgebra completa de Heyting, donde
¬0 = 1 y ¬a = 0 para todo a con excepción de 0.
Cada topología proporciona un álgebra completa de Heyting en forma de su reticulado de abiertos.
En este caso, el elemento A => B es el interior de la unión de Ac y B, donde Ac denota el complemento del conjunto
abierto A.
No todas las álgebras completas de Heyting son de esta forma.
Estos temas se estudian en topología sin puntos, donde las álgebras completas de Heyting también se llaman marcos
o locales.
El álgebra de Lindenbaum de la lógica intuicionista proposicional es un álgebra de Heyting.
Se define como el conjunto de todas los fórmulas de la lógica proposicional, ordenado via el condicional lógico:
para cualesquiera dos fórmulas F y G tenemos F≤G sii F |= G.
En esta etapa ≤ es simplemente un preorden que induce un orden parcial que es el álgebra deseada de Heyting.
Referencias en ingles:
F. Borceux,Handbook of Categorical Algebra 3, In Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 53,
Cambridge University Press, 1994.
G. Gierz, K.H. Hoffmann, K. Keinel, J. D. Lawson, M. Mislove and D. S. Scott, Continuous Lattices and Domains, In
Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 93, Cambridge University Press, 2003.

Álgebra de Lie De Wikipedia, la enciclopedia libre.

En matemáticas, un álgebra de Lie (nombrada así por Sophus Lie) es una estructura algebraica cuyo uso principal
reside en el estudio de objetos geométricos tales como grupos de Lie y variedades diferenciables.

Tabla de contenidos

1 Definición
2 Ejemplos
3 Homomorfismos, subálgebras e ideales
4 Clasificación de las álgebras de Lie
5 Temas relacionados
Definición
Un álgebra de Lie g (la notación tradicional es , pero aquí usaremos consistentemente negrita) es un espacio
vectorial sobre un cierto cuerpo F (típicamente los números reales o complejos) junto con una operación binaria
[·, ·] : g × g -> g,
llamado el corchete de Lie, que satisface las propiedades siguientes:
es bilineal, es decir,
[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] y [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] para todo a, b en F y todo x, y, z en g.
satisface la identidad de Jacobi, es decir, [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 para todo x, y, z en g.
[x, x] = 0 para todo x en g.
Observe que las primeras y terceras propiedades juntas implican [x, y] = − [y, x] para todo x, y en g ("anti-
simetría").
Observe también que la multiplicación representada por el corchete de Lie no es, en general, asociativa, es decir,
[[x, y], z] no necesariamente es igual a [x, [y, z]].
Ejemplos
Cada espacio vectorial se convierte en un álgebra de Lie abeliana trivial si definimos el corchete de Lie como
idénticamente cero.
El espacio euclidiano R3 se convierte en un álgebra de Lie con el corchete de Lie dado por el producto vectorial.
Si se da un álgebra asociativa A con la multiplicación * , se puede dar un álgebra de Lie definiendo [x, y] =
x * y − y * x. esta expresión se llama el conmutador de x y y.
Inversamente, puede ser demostrado que cada álgebra de Lie se puede sumergir en otra que surja de un álgebra
asociativa de esa manera.
Otros ejemplos importantes de álgebras de Lie vienen de la topología diferencial: los campos vectoriales en una
variedad diferenciable forman un álgebra de Lie infinito dimensional; para dos campos vectoriales X y Y, el corchete
de Lie [X, Y] se define como:
[X, Y] f = (XY − YX) f
para cada función f en la variedad (aquí consideramos los campos vectoriales como operadores diferenciales que
actúan sobre funciones en una variedad).
(La generalización adecuada de la teoría de variedades debiera determinar ésta como el álgebra de Lie del grupo
de Lie infinito dimensional de los difeomorfismos de la variedad).
El espacio vectorial de los campos vectoriales izquierdo-invariantes en un grupo de Lie es cerrado bajo esta
operación y es por lo tanto un álgebra de Lie de dimensional finita.
Uno puede pensar alternativamente en el espacio subyacente del álgebra de Lie de un grupo de Lie como el espacio
tangente en el elemento identidad del grupo.
La multiplicación es el diferencial del conmutador del grupo, (a,b) |-> aba−1b−1, en el elemento identidad.
Como ejemplo concreto, consideremos el grupo de Lie SL(n, R) de todas las matrices n-por-n a valores reales y
determinante 1.
El espacio tangente en la matriz identidad se puede identificar con el espacio de todas las matrices reales n-por-n
con traza 0 y la estructura de álgebra de Lie que viene del grupo de Lie coincide con el que surge del conmutador de
la multiplicación de matrices.
Homomorfismos, subálgebras e ideales
Un homomorfismo φ : g -> h entre las álgebra de Lie g y h sobre el mismo cuerpo de base F es una función F-lineal
tal que [φ(x),φ(y)] =φ([x, y]) para todo x y y en g. que la composición de tales homomorfismos es otra vez un
homomorfismo, y las álgebras de Lie sobre el cuerpo F, junto con estos morfismos, forman una categoría.
Si tal homomorfismo es biyectivo, se llama un isomorfismo, y las dos álgebras de Lie g y h se llaman isomorfas.
Para todos los efectos prácticos, las álgebras de Lie isomorfas son idénticas.
Una subalgebra del álgebra de Lie g es un subespacio lineal h de g tal que [x, y] ∈ h para todo x, y ∈ h. i.e. [h,h] ⊆
h.
La subalgebra es entonces un álgebra de Lie.
Un ideal del álgebra de Lie g es un subespacio lineal h de g tales que [a, y ] ∈ h para toda a ∈ g y y ∈ h. i.e. [g, h] ⊆
h.
Todos los ideales son subalgebras.
Si h es un ideal de g, entonces el espacio cociente g/h se convierte en una álgebra de Lie definiendo [x + h, y + h] =
[x, y] + h para todo x, y ∈ g.
Los ideales son precisamente los núcleos de homomorfismos, y el teorema fundamental sobre homomorfismos es
válido para las álgebras de Lie.
Clasificación de las álgebras de Lie
Las álgebras de Lie reales y complejas se puede clasificar hasta un cierto grado, y esta clasificación es un paso
importante hacia la clasificación de los grupos de Lie.
Cada álgebra de Lie real o compleja finito-dimensional se presenta como el álgebra de Lie de un único grupo de Lie
simplemente conexo real o complejo (teorema de Ado), pero puede haber más de un grupo, aún más de un grupo
conexo, dando lugar a la misma álgebra.
Por ejemplo, los grupos SO(3)
(matrices ortogonales 3×3 de determinante 1)
y SU(2)
(matrices unitarias 2×2 de determinante 1),
ambos dan lugar a la misma álgebra de Lie, a saber R3 con el producto vectorial.
Un álgebra de Lie es abeliana si el corchete de Lie se anula, es decir [x, y] = 0 para todo x y y.
Más generalmente, un álgebra de Lie g es nilpotente si la serie central descendente
g ⊇ [g, g] ⊇ [[g, g], g] ⊇ [[[g, g], g], g] ⊇...
acaba haciéndose cero.
Por el teorema de Engel, un álgebra de Lie es nilpotente si y sólo si para cada u en g, la función ad(u): g -> g
definida por
ad(u)(v) = [u, v]
es nilpotente.
Más generalmente aún, un álgebra de Lie g es soluble si la serie derivada
g ⊇ [g, g] ⊇ [[g, g], [g, g]] ⊇ [[[g, g], [g, g]],[[g, g], [g, g]]] ⊇ ...
acaba haciéndose cero.
Una subálgebra soluble maximal se llama una subálgebra de Borel.
Un álgebra de Lie g se llama semi-simple si el único ideal soluble de g es trivial.
Equivalente, g es semi-simple si y solamente si la forma de Killing
K(u, v) = tr(ad(u)ad(v)) es no-degenerada; aquí tr denota el operador de traza.
Cuando el cuerpo F es de característica cero, g es semi-simple si y solamente si cada representación es totalmente
reducible, esto es, que para cada subespacio invariante de la representación hay un complemento invariante
(teorema de Weyl). Un álgebra de Lie es simple si no tiene ningún ideal no trivial.
En particular, un álgebra de Lie simple es semi-simple, y más generalmente, las álgebras de Lie semi-simples son
suma directa de simples.
Las álgebras de Lie complejas semi-simples se clasifican a través de sus sistemas de raíz.
Temas relacionados
super álgebra de Lie
Algebroide de Lie

Álgebra de Lie Ortogonal Generalizada: De Wikipedia, la enciclopedia libre.

 pertenece a (n+1) si A pertenece a (n) y V es un n-vector (columna).

pertenece a (n, m+1) si A pertenece a (n,m) y V es un (n+m)-vector.(incluyendo m = 0, por

supuesto).
El álgebra de Lobachevski es (n,1) (no álgebra de Lorentz como es usual en la literatura, una confusión con su
papel en el álgebra de Poincaré, aunque la expresión común es álgebra hiperbólica).

Notación Nueva!: pertenece a (n, m, 1) si A pertenece a (n, m) y V es un (n+m)-vector.

El álgebra euclidiana es (n, 0, 1)!.
El álgebra de Poincaré es (n, 1, 1).
En general, representa el álgebra de Lie del producto semidirecto de las traslaciones en el espacio Rn+m con SO(n,
m) que tiene a (n, m) como su álgebra de Lie.

Notación Nueva: pertenece a (n,m,l+1) si A pertenece a (n,m,l) y V es un (n+m+l)-vector.

En particular: pertenece a (n,m,2) si A pertenece a (n,m) y V y X son (n+m)-vectores.

El álgebra de Galileo es (n,0,2), asociado a un producto semidirecto iterado. (t es un "número", pero importante
da t si n>2. así que el tiempo es la parte conmutativa del grupo de Galileo).
Para completar, damos aquí las ecuaciones de estructura.
El álgebra de Galileo es expandida por T, Xi, Vi y Aij (tensor antisimétrico) conforme a:
[Xi, T] = 0
[Xi, Xj] = 0
[Aij, T] = 0
[Vi, Vj] = 0
[Aij, Akl] = δik Ajl - δil Ajk - δjk Ail + δjl Aik
[Aij, Xk] = δik Xj - δjk Xi
[Aij, Vk] = δik Vj - δjk Vi
[Vi, Xj] = 0
[Vi,T]=Xi
enlaces externos
Geometric Asymptotics by Victor Guillemin and Shlomo Sternberg (Gratis en AMS)
(http://www.ams.org/online_bks/surv14/)
cf. pg.188 (chIV-7. Periodic Hamiltonian Systems) MUY LENTO como cualquier libro imagen
(http://www.ams.org/online_bks/surv14/surv14-chIV.pdf)
Suma De Wikipedia, la enciclopedia libre.
La Suma o Adición es una operación aritmética definida en los naturales, enteros, racionales y reales.
Basicamente es la operacion donde se unen los valores de las cantidades para encontrar otra
Propiedades de la suma
Propiedad conmutativa:
si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a.
Propiedad asociativa:
a+(b+c) = (a+b)+c
Elemento neutro:
0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.
Elemento opuesto.
Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número -a tal que a + (-a) = (-a) + a = 0.
Este número -a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos como el de
los números naturales.
Estas propiedades pueden no cumplise en casos de sumas infinitas.
Notación
Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más).
Con esto, la suma de los números 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.
También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los términos, se indican
los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos.
Por ejemplo:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros números naturales.
2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.
En sumas largas e incluso sumas infinitas se emplea un nuevo símbolo, que se llama sumatorio y se representa con
la letra griega Sigma mayúscula (Σ).
Ver también acarreo
Trigonometría De Wikipedia, la enciclopedia libre.

GEOMETRÍA Y MÉTRICA

Antes de entrar en la trigonometria, es conveniente un cierto conocimiento geometrico de lo que se entiende por:

Puntos
Rectas
Angulos
Son conceptos basicos en el calculo trigonometrico.

Los conceptos de punto, recta y plano geométricos son puramente intuitivos, no pudiéndose
dar una definición geométrica rigurosa de ellos.

Sin embargo, a partir de la idea intuitiva de plano, puede definirse la recta como la intersección
de dos planos, y el punto como la intersección de dos rectas.

La propiedad característica del punto geométrico es que éste no tiene ninguna dimensión. Se
representa convencionalmente por medio de un punto ortográfico de la menor dimensión posible.
Cada punto se denomina mediante una letra mayúscula situada a uno de los lados del punto.

La recta geométrica se caracteriza por tener longitud infinita, pero sólo longitud.

Convencionalmente se representa por medio de un fino trazo de la longitud que convenga y se

nombra mediante una letra minúscula, o bien mediante dos letras mayúsculas situadas en dos
puntos cualesquiera de la recta (ya que dos puntos geométricos determinan siempre una recta).

La propiedad característica del plano geométrico es que posee una superficie ilimitada, aunque no
ocupa ningún volumen (sólo tiene superficie).

Se suele representar convencionalmente por medio de un paralelogramo de lados menores

inclinados.

Se nombra mediante una letra del alfabeto griego o bien mediante una letra mayúscula situada en
una de las zonas extremas.

Una importante propiedad que relaciona estos tres conceptos dice: una recta que tenga dos
puntos en un plano está toda ella contenida en él.

Otros conceptos importantes de la geometría son:

Semirrecta Porción de recta comprendida entre un punto cualquiera de la recta

(denominado origen) y el infinito.
Segmento Porción de recta comprendida entre dos de sus puntos. Uno de ellos es el origen
del segmento y el otro es el extremo del segmento
Vector Segmento orientado, es decir, con origen y extremo determinado. Un vector AB
queda definido por:

a) el origen o inicio del vector A;

b) el extremo o final del vector B;

c) el módulo o longitud del vector igual a la longitud del segmento AB;

d) la dirección, que es la de la recta AB sobre la que está situado el vector,

e) el sentido, que se dirige desde el origen A hacia el extremo B del vector.

Semiplano Porción de plano comprendida entre una recta AB contenida en él y el infinito.

Orientar una recta (o uno de sus segmentos) equivale a establecer una relación de orden total en el conjunto de sus
puntos, de tal modo que, dados tres de dichos puntos A, B y C, el B se halle entre A y C (los separa) si y sólo si se
cumple una de estas dos eventualidades: A precede a B y B a C; C precede a B y B a A.

A Tales de Mileto (siglo Vl a. C.) se atribuye la introducción en Grecia de los estudios

geométricos.
Estos estudios fueron perfeccionándose y alcanzaron su sistematización en el curso de tres siglos,
con los Elementos de Euclides.

El matemático Euclides (s. IV y III a. C.) vivió en Alejandría durante el reinado de Tolomeo I.

Su obra más célebre se titula Elementos y en ella se halla reunido cuanto se había conseguido
hasta entonces en la geometría griega.

Los principios que esta obra desarrolla, perfectamente sistematizados, han servido de base a la
geometría durante dos mil años.

Algunas propiedades y definiciones fundamentales son:

• Una recta es un conjunto de puntos.

• Una recta es un subconjunto del plano que la contiene.

• Una recta contiene un número infinito de puntos.

• Entre dos puntos de una recta está contenido un número infinito de puntos.

• Dos segmentos son consecutivos cuando tienen en común un extremo y ningún otro punto.

• Dos segmentos consecutivos son adyacentes cuando pertenecen a la misma

recta.

• En un plano hay un número infinito de rectas.

• Por un punto del plano pasa un número infinito de rectas.

• Por un punto del espacio pasan un número infinito de rectas.

• Por dos puntos de un plano pasa una recta y sólo una.

• Por definición, la distancia más corta entre dos puntos es la longitud del segmento que los
une.

Se llama haz propio (o simplemente haz) de rectas al conjunto de todas las rectas que pertenecen simultáneamente a
un punto y a un plano, es decir, rectas yacentes en un mismo plano y que pasan por un mismo punto; el punto se
denomina vértice o centro del haz..

ÁNGULOS
Definimos el ángulo como la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que parten de
un oriogen común.

Las dos semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo y el origen común a ambas se
denomina vértice.

Dos rectas que se cortan en el punto P forman un ángulo que se expresa mediante tres puntos:,

Uno en cada lado (a y b) y el tercero en el vértice.

Así, QPR es un ángulo de vértice P cuyos lados son PQ y PR

Como puede apreciarse dibujando dos semirrectas con un origen común, quedan determinados
dos ángulos:

1. uno interior que se llama convexo

2. otro exterior llamado cóncavo.

Aunque al hablar de un ángulo (si no se especifica lo contrario) se sobreentiende el interior.

Los ángulos se denominan mediante tres letras mayúsculas, dos de ellas situadas en los lados y
la tercera en el vértice.

También se denominan mediante una letra minúscula situada cerca del vértice o mediante la letra
mayúscula que designa el vértice.

En todo ángulo ABC, un lado BC puede llevarse sobre el otro BA efectuando un giro con
centro en el vértice O.

Según que el giro sea mayor o menor, será mayor o menor el ángulo correspondiente.

Al efectuar dicho giro, cada punto del lado móvil BC de ángulo describe un arco de centro en el
vértice del ángulo que se denomina arco correspondiente al ángulo dado.

Los ángulos y los arcos se miden por grados.

Un punto que realiza un giro completo (regresando al lugar original) recorre una circunferencia que por definición
tiene 360 grados o 2π radianes

Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos (sistema sexagesimal).

En el Sistyema Internacional de Unidades, los angulos de miden en radianes:

1 radian (rd) = 360º / (2 x π) = 57,295º

TIPOS DE ÁNGULOS

• Consecutivos. Tienen el vértice y un lado común.

 • Adyacentes. Tienen el vértice y un lado común y los
lados restantes situados en prolongación uno del otro.

• Llano. Tiene uno de sus lados como prolongación del

otro. Mide 180º.

• Recto. Es la mitad de un llano. Mide 90º.

• Agudo. Mide menos que un recto.

• Obtuso. Mide más que un recto.

• Complemetarios. Los que sumados (puestos

consecutivamente) miden un recto.

• Suplementarios. Los que sumados dan como resultado

un ángulo llano (180º); es decir, que puestos
consecutivamente son adyacentes. Los adyacentes son
suplementarios.

• Bisectriz de un ángulo. Es la semirrecta que pasa por

el vértice y divide al ángulo en dos partes iguales.

RECTAS EN EL PLANO

En el plano, dos rectas pueden tener dos (y por tanto

todos), uno o ningún punto en común. En el primer caso
son coincidentes, se cortan en el segundo y son paralelas en
el tercero.

Dos rectas que se cortan determinan cuatro ángulos

iguales dos a dos. Estos ángulos iguales son los opuestos
por el vértice, es decir, los que no son adyacentes. Dos rectas que se cortan en el punto
P forman un ángulo que se expresa
Cuando se cortan formando cuatro ángulos iguales, se mediante tres puntos:
dice que las dos rectas son perpendiculares. Cada uno de
estos ángulos mide un recto (90º = 360º/4). uno en cada lado (a y b)

Se entiende por mediatriz (o eje) de un segmento a la y el tercero en el vértice.

perpendicular por el punto medio del segmento dado. La
mediatriz de AB es el lugar geométrico de todos los puntos Así, QPR es un ángulo de vértice P
del plano que equidistan de AB. cuyos lados son PQ y PR

Distancia de un punto a una recta es la longitud del

segmento perpendicular trazado desde dicho punto a la recta, que está comprendido entre ambos.

Las rectas paralelas son equidistantes: todos los puntos de una de ellas están a la misma
distancia de la otra.
 Existen un número infinito de rectas paralelas a una recta dada. Por cualquier punto pasa una
sola recta, paralela a una recta dada.

TRIGONOMETRIA.

La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de la matemática que trabaja con:

1. Angulos
2. Triangulos
3. Funciones trigonométricas como seno y coseno

Posee muchas aplicaciones. Las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas:

 En astronomía para medir distancias a estrellas próximas

 En geografía para medir distancias entre puntos geográficos
 En sistemas de navegación por satélites (G P S)
 etc..

Indice de contenido:

1 Unidades angulares
2 Funciones seno y coseno
3 Función tangente
4 Fórmulas trigonométricas elementales
5 Teoremas

Unidades angulares
Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los

 grados,
 minutos
 segundos.

Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia.

Las equivalencias son las siguientes:

360° = un giro completo alrededor de una circunferencia

180° = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia

90° = 1/4 de vuelta

1° = 1/360 de vuelta, etc.

También se puede definir otra unidad angular, el radián, que en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y
directo que trabajar con grados.

La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende,
dividido por el valor del radio.
El valor de este ángulo es independiente del valor del radio;

Ejemplo: Al dividir una pizza en 8 partes iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la
pizza es chica, normal o familiar.

De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio
por el ángulo en radianes.
Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] × [Radio de la circunferencia]

Conocemos el perímetro de una circunferencia de radio r :

L=2×π×r π 3.1416 2 × π 6,2832

Si el radio ( r ) fuera igual a la unidad (si r = 1) L=2×π

entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 × π.

Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360°, entonces podemos definir una
equivalencia:

2 × π radianes = 360° y por tanto:

1 radián = 360°/(2 × π) = 57,29° (Nota: 57,3 como aproximacion valida)

a partir de esta igualdad, determinamos que:

Gra Equiv. radianes

90° = π/2 = 1,571

75º = π/2,4 = 1,308

60° = π/3 = 1,047

45° = π/4 = 0,785

30° = π/6 = 0,524

15º = π/12 = 0,262

0º = π/∞ = 0

Triangulo: Figura formada en unir tres puntos (conocidos por vertices) no alineados, con tres segmentos de
línia recta. Según la forma adquirida se denominan:

 acutanganlo,
 obtusangulo,
 escaléno,
 isòsceles,
 equilàtero,
 rectangulo.

Funciones seno y coseno Ver Figura:

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo

Consta de tres rectas conocidas por:

Cateto opuesto a

Cateto adyacente b

Hipotenusa c

Supongamos la hipotenusa:

En este caso c = radio

Este ejemplo lo usaremos para definir las funciones:

seno (α)

coseno. (β)

En un triángulo rectángulo:

1. El seno (sin) es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa, (c)

2. El coseno (cos) es la razón entre el cateto adyacente ( b) y la hipotenusa (c)

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1,
por lo que las relaciones quedan:

Segon Pitagoras la relacion de los lados de un angulo rectangulo es:

Cateto a=3
Cateto b = 4
Hipotenusa c=5

Nota: Esto fue utilizado por los constructures de la antigüedad para formar lo que se conoce por “esquadra” que
junto con el “compas” eran las herramientas de diseño.

De acuerdo con este calculo, la relacion de valores podria ser:

 C=1 b = 0,6 a = 0,8

Demostracion: c = √ ((0,6)2 + (0,8)2) = 1

Trigonometricamente:

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

sen α = cos β = (4.5)/(3.4) = (4.5)/1 = (4.5) = a

cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

rad Gra sen cos

0 0º 0 1

0,524 30º

0,785 45º

1.047 60º

1.571 90º 1 0

Como en el triángulo rectángulo se cumple que

a2 + b2 = c2, De la figura anterior ( radio = hipotenusa = 1)

sen α = a

cos α = b

c=1

entonces para todo ángulo α:

sin2(a) + cos2(α) = 1

Algunas identidades trigonométricas importantes son:

sen (90 - α) = cos α

cos (90 - α) = sen α

sen (180 - α) = sen α

cos (180 - α) = -cos α

sen 2α = 2 sen α cos α

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β

Función tangente

En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto
adyacente.

tan a = BC / AC = sen a / cos a

El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:

tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos

tan (π/2) = tan (90º) = +∞

tan (-π/2) = tan (-90º) = -∞

tan (0) = 0

tan (π/4) = tan (45º) = 1

tan (π/3) = tan (60º)=

tan (π/6) = tan (30º) =

Una identidad importante con la tangente es:

]
Fórmulas trigonométricas elementales

sen (α) = cateto opuesto / hipotenusa

cos (α) = cateto contiguo / hipotenusa

]
Véase también ( En Wikipedia )

Identidad trigonométrica

Funciones hiperbólicas

Fórmula de Euler

La Fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonhard Euler, establece que:

para todo número real x.

Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y sin, cos son funciones trigonométricas.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo,
dibujada por la función eix al variar x sobre los números reales.

Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje
positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes.

La fórmula solo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.

La demostración está basada en la expansión en serie de Taylor de la función exponencial ez (donde z es un número
complejo), y la expansión de sin x y cos x.

La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada
por Euler en 1748.

Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la
visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años mas tarde (ver Caspar Wessel).

La formula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría.

Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para
números complejos.

De las reglas de la exponenciación

(válidas para todo par de números complejos a y b), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como
la fórmula de De Moivre.

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y conseno como meras variaciones de la función
exponencial:

Estas fórmulas sirven así mismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos x.

Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas

para el seno y el coseno.

En las ecuaciones diferenciales, la función eix es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la
respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos.
La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler

En ingeniería y otras disciplinas, las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación
de funciones seno y coseno (véase análisis de Fourier), y estas son expresadas mas convenientemente como la parte
real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler.

Demostración de la fórmula de Euler utilizando el desarrollo en serie de Taylor:

La función ex (con x real) puede escribirse como:

y para x complejo se define mediante dicha serie. Si multiplicamos por i al exponente:

Reagrupando:

Para simplificar tendremos en cuenta que:

y generalizando para todo n:

Así,

reordenando términos y separando la suma en dos partes (lo que es posible por ser absolutamente convergente):

Si tomamos el desarrollo en serie de Taylor de cos(x) y sin(x):

Por lo tanto:

Identidad trigonométrica

En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas,
verificables para cualquier valor de las variables que se consideren (es decir para cualquier valor que pudieran
tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas.

Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de
sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades
trigonométricas.

Notación: Definimos cos2, sen2, etc; tales que sen2α es (sen (α))2.

Tabla de contenidos
]
1 De las definiciones de las funciones trigonométricas
2 Periodo, Simetría y corrimientos
3 Del Teorema de Pitágoras
4 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
5 Identidades del Ángulo Doble
6 Identidades del Ángulo Múltiple
7 Identidades para la Reducción de Exponentes
8 Identidades del Medio Ángulo
9 Pasaje de Producto a Suma
10 Pasaje de Suma a Producto
11 Funciones Trigonométricas Inversas
12 Fórmula de Euler
13 Teorema del seno
14 Teorema del coseno

]De las definiciones de las funciones trigonométricas

Periodo, Simetría y corrimientos

Son mas sencillas de probar en la cirfunferencia trigonométrica (tiene radio=1):

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo
período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase
diferente.

Dicho de otro modo:

Donde

Del Teorema de Pitágoras

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuado sencillas operaciones permite encontrar unas 24
identidades más, muy útiles para resolver problemas introductorios del tipo conocido el valor de la funcion seno,
obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos2, se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Se puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes.

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos.

La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.
De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios (expresados en grados sexagesimales):

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

Identidades del Ángulo Doble

Pueden obtenerse remplazando y por x (o sea sin(x + x) = sin(2x)) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras
para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien
aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.

]Identidades del Ángulo Múltiple

Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:

Identidades para la Reducción de Exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos2(x) y sin2(x).

Identidades del Medio Ángulo

Reemplazando x/2 por x en las anteriores, es posible resolver cos(x/2) y sin(x/2).

Multiplicando tan(x/2) por 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) y reemplazando sin(x/2) / cos(x/2) por tan(x/2).

El numerador es entonces sin(x) por la identidad del ángulo doble, y el denominador es 2cos2(x/2) - 1 + 1 que es
cos(x) + 1 por la identidad del ángulo doble.

La segunda identidad se obtiene multiplicando la primera por sin(x) / sin(x) y simplificando mediante la identidad
pitagórica.
Pasaje de Producto a Suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

Pasaje de Suma a Producto

Reemplazando x por (x + y) / 2 e y por (x – y) / 2 en las identidades de Producto a suma, se tiene:

Funciones Trigonométricas Inversas

Fórmula de Euler
Teorema del seno

«Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»

Teorema del coseno

«El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos
lados por el coseno del ángulo comprendido...»

Identidad trigonométrica

En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones

trigonométricas, verificables para cualquier valor de las variables que se consideren (es decir para
cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen
funciones trigonométricas.

Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas: se suele

usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral
resultante usando identidades trigonométricas.

Notación: Definimos cos2, sen2, etc; tales que sen2α es (sen (α))2.

Indice:

1 De las definiciones de las funciones trigonométricas

2 Periodo, Simetría y corrimientos
3 Del Teorema de Pitágoras
4 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
5 Identidades del Ángulo Doble
6 Identidades del Ángulo Múltiple
7 Identidades para la Reducción de Exponentes
8 Identidades del Medio Ángulo
9 Pasaje de Producto a Suma
10 Pasaje de Suma a Producto
11 Funciones Trigonométricas Inversas
12 Fórmula de Euler
13 Teorema del seno
14 Teorema del coseno
[

De las definiciones de las funciones trigonométricas

Periodo, Simetría y corrimientos

Son mas sencillas de probar en la cirfunferencia trigonométrica (tiene radio=1):

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales
que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo
período pero con un desplazamiento de fase diferente.

Dicho de otro modo:

donde

Del Teorema de Pitágoras

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuado sencillas operaciones permite

encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para resolver problemas introductorios del tipo
conocido el valor de la funcion seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni
calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos2, se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes.

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos

consecutivos.

La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca
correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios (expresados en grados

sexagesimales):

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

Identidades del Ángulo Doble

Pueden obtenerse remplazando y por x (o sea sin(x + x) = sin(2x)) en las identidades anteriores, y
usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o
de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.

Identidades del Ángulo Múltiple

Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:
Identidades para la Reducción de Exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos2(x) y sin2(x).

Identidades del Medio Ángulo

Reemplazando x/2 por x en las anteriores, es posible resolver cos(x/2) y sin(x/2).

Multiplicando tan(x/2) por 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) y reemplazando sin(x/2) / cos(x/2) por tan(x/2).

El numerador es entonces sin(x) por la identidad del ángulo doble, y el denominador es 2cos2(x/2)
- 1 + 1 que es cos(x) + 1 por la identidad del ángulo doble.

Pasaje de Producto a Suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.
Pasaje de Suma a Producto

Reemplazando x por (x + y) / 2 e y por (x – y) / 2 en las identidades de Producto a suma, se tiene:

Funciones Trigonométricas Inversas

Fórmula de Euler

Teorema del seno

«Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»

Teorema del coseno

«El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble
del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido...»
ETPC 7/11/87 FP Tecnología electronica R.Rafanell

INTEGRALES I DERIVADAS.
Apuntes de análisis y cálculo.
Integrales
Integral definida
Propiedades de la integral definida
Integrales indefinidas; técnica de integración.
Fórmulas fundamentales de integración
Funciones de varias variables
Límite de una función de dos variables
Continuidad de una función de dos variables
Derivadas parciales de una función de dos variables

Integrales
Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un
concepto sencillo, intuitivo:
¡ El de área !
Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo
puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a esto...
En este capítulo intentaremos solamente definir el área de algunas regiones muy especiales (figura 1):
aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una
función f tal que f (x) ³ 0, para todo x de [a, b].
Conviene denotar esta región por R(f, a, b) ...

figura 1
figura 2
El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f
sobre [a, b].
En realidad, la integral se definirá también para funciones f que no satisfacen la condición f (x) ³ 0, para
todo x de [a, b].
Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las
regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte ('área algebráica' de R(f, a, b)).
[Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x).
Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que,
pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.

Figura 24.
Para resolver este problema se procede como sigue.
Dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales.
Notamos la longitud de la primera parte por Dx1, la de la segunda por Dx2, y así sucesivamente hasta la
última, Dxn.
En cada parte elegimos los números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma

(28)

Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 24.

Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará Sn al área S.
Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes cada vez más
pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S.
La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por
subdivisiones 'cada vez más pequeñas'.
Suponemos no sólo que n crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor Dxi en la n-
ésima subdivisión tiende a cero.
Así:

(29)

El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (29)..., hemos obtenido una definición
rigurosa del concepto de área: es el límite (29).

Integral definida
[El límite (29) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por

La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el
límite superior.

Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal

[Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por

Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y

[Una tal función f (x) se llama primitiva de f (x).

[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso
F es derivable en todos los puntos de [a, b] y
F' = f
..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función

Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal

[Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces

(30)

Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral
definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el
cálculo diferencial y el integral.
Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven
automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x)
en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los
extremos superior e inferior del intervalo.
La diferencia (30) se acostumbra a escribir así:
Ejemplo: La igualdad muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2.
Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz,

Propiedades de la integral definida

[Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:

1.

2.

3.
, siendo c una constante

4.

5.
, cuando a < c < b
6. Primer teorema del valor medio:

, para al menos un valor x = x0 entre a y b.

7.
Si , se verifica .
Ejemplos

[1. Sea f (x) = c, una constante, y f (x) = cx; tendremos

2. Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2; tendremos

3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos

Integrales indefinidas; técnica de integración.

[Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F'(x) = f (x), decimos que f (x) es la
primitiva o integral indefinida de f (x).
La integral indefinida de una función no es única;...
Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante
cualquiera y que se denomina constante de integración.
La primitiva o integral indefinida de la función f (x) se representa por medio del símbolo

Por ejemplo: .
Fórmulas fundamentales de integración
Funciones de varias variables
[Si a cada punto (x, y) de una región del plano xy se la hace corresponder un número real z, diremos que z
es una función, z = f (x, y), de las variables independientes x e y.
El lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación z = f (x, y) es una superficie.
Análogamente se definen las funciones w = f (x, y, z, ...) de varias variables independientes aunque no
tengan una interpretación geométrica sencilla.
El estudio de las funciones de dos variables difiere notablemente del de las funciones de una variable.
Sin embargo, el cálculo de las funciones de tres o más variables es muy similar al caso de dos variables.

Límite de una función de dos variables

[Una función f (x, y) tiende al límite A cuando e , si dado un e > 0 tan pequeño como
queramos, existe un d > 0 tal que, para todos los pares de valores (x, y) que cumplan la desigualdad

(i)

se verifica: .
La condición (i) representa un intervalo reducido del punto (x0, y0), es decir, todos los puntos excepto el
propio (x0, y0), situados en un círculo de radio d y centro (x0, y0). (Ayres, 258)]

Continuidad de una función de dos variables

[Una función f (x, y) es continua en el punto (x0, y0) siempre que f (x0, y0) esté definida y, además,

Derivadas parciales de una función de dos variables

[Sea z = f (x, y) una función de las variables independientes x e y. Como x e y son independientes,
podremos (i) variar x manteniendo constante y y, (ii) variar y manteniendo constante x, (iii) variar x e y
simultáneamente.
En los dos primeros casos, z es una función de una sola variable y se puede hallar su derivada de acuerdo
con las expresiones clásicas que ya hemos visto.
Si x varía permaneciendo constante y, z es una función de x y su derivada con respecto a esta variable x,

se denomina primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a x.

Si lo que varía es y permaneciendo constante x, z es una función de y y su derivada con respecto a y

recibe el nombre de primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a y...

Las derivadas parciales anteriores admiten una interpretación geométrica muy sencilla.
Consideremos la superficie z = f (x, y) de la Fig. 56-1, y sean APB y CPB las intersecciones con dicha
superficie de los planos que pasando por P sean paralelos a los xOz e yOz, respectivamente.
Si hacemos variar a x permaneciendo constante y, el punto P se desplazará a lo largo de la curva APB y el
valor de dz/dx en el punto P es la pendiente de la curva APB en P.

Fig. 56-1.
Análogamente, si hacemos variar y permaneciendo constante x, P se moverá a lo largo de la curva CPD, y
el valor de dz/dx en P es la pendiente de la curva CPD en P.
Bibliografía:
Aleksandrov, A.D., Kolmogorov, A.N., Laurentiev, M.A., et al., (1985): La
Matemática: su contenido, métodos y significado. 3 vols., Madrid:
Alianza.