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Geometria Das Superfícies Máximas No Pseudo Espaço de Lorentz Minkowski
Geometria Das Superfícies Máximas No Pseudo Espaço de Lorentz Minkowski
Geometria Das Superfícies Máximas No Pseudo Espaço de Lorentz Minkowski
(Dissertação apresentada à Universidade Vale do Rio Verde – UNINCOR como parte das
exigências do Programa de Mestrado em Matemática e Estatística, área de concentração Geometria
Diferencial, para obtenção do título de Mestre em Matemática e Estatística.)
Orientador:
Prof. Dr. Irwen Valle Guadalupe
Três Corações
2007
2
SUMÁRIO
Página
RESUMO........................................................................................................................... 4
ABSTRACT....................................................................................................................... 4
INTRODUÇÃO................................................................................................................. 5
1 PRELIMINARES ........................................................................................................... 7
2 ESPAÇO TRIDIMENSIONAL EUCLIDIANO R 3 ....................................................... 11
3 ESPAÇO VETORIAL DE LORENTZ-MINKOWSKI L 3 .............................................. 13
3.1 Norma e base ortonormal ..............................................................................................14
3.2 Cone tipo tempo ........................................................................................................... 15
3.3 O produto vetorial no espaço L 3 .................................................................................. 18
4 GEOMETRIA DIFERENCIAL DE SUPERFÍCIES TIPO ESPAÇO EM R 3 E L 3 ......... 20
4.1 O plano tangente .......................................................................................................... 25
4.2 O vetor normal unitário ................................................................................................. 26
4.3 A primeira forma fundamental ....................................................................................... 30
5 A APLICAÇÃO NORMAL DE GAUSS E A SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL 34
5.1 A geometria da aplicação normal de Gauss ................................................................... 34
5.2 Curvatura normal e curvaturas principais ....................................................................... 40
5.3 A curvatura Gaussiana e a curvatura média em coordenadas locais ................................ 42
6 LINHAS DE CURVATURA E LINHAS ASSINTÓTICAS ........................................... 49
7 SUPERFÍCIES MÍNIMAS EM R 3 E MÁXIMAS TIPO ESPAÇO EM L 3 .................... 54
7.1 Catenóides ................................................................................................................... 56
7.1.1 Catenóide em R 3 . ..................................................................................................... 57
7.1.2 Catenóide de primeiro tipo em L 3 . ............................................................................ 61
7.1.3 Catenóide de segundo tipo em L 3 . ............................................................................ 65
7.1.4 Catenóide de terceiro tipo em L 3 . ............................................................................. 69
7.2 Helicóides .................................................................................................................... 71
7.2.1 Helicóide em R 3 . ...................................................................................................... 71
7.2.2 Helicóide de primeiro tipo em L 3 . ............................................................................. 75
7.2.3 Helicóide de segundo tipo em L 3 . ............................................................................. 78
7.2.4 Helicóide de terceiro tipo em L 3 . .............................................................................. 81
7.3 Superfícies de Enneper ................................................................................................. 82
7.3.1 Superfície de Enneper em R 3 . ................................................................................... 82
7.3.2 Superfície de Enneper de primeiro tipo em L 3 . .......................................................... 86
7.3.3 Superfície de Enneper conjugada de primeiro tipo em L 3 . .......................................... 89
7.3.4 Superfície de Enneper de segundo tipo em L 3 . .......................................................... 92
3
RESUMO
O objetivo deste trabalho é estudar inicialmente a geometria das superfícies mínimas no espaço
Euclidiano R 3 . Paralelamente será feito o mesmo estudo para as superfícies máximas tipo espaço
na métrica de Lorentz-Minkowski, L 3 . Após o estudo das aplicações de Gauss e a determinação
dos coeficientes da Primeira e Segunda Forma Fundamental, serão estudadas as curvaturas
gaussiana, média, normal e principais além das linhas de curvatura e assintóticas, comparando os
resultados obtidos para estas superfícies nos dois espaços. O software Mathematica será utilizado
como ferramenta com a finalidade de desenvolver uma rotina de programação que permita o
cálculo da geometria de qualquer superfície mínima em R 3 e máxima em L 3 .
ABSTRACT
The aim of this work initially is to study the geometry of the minimal surfaces in the Euclidian
space R 3 . Similarly, it will be made the same study for the maximal spacelike surfaces in the
Lorentz-Minkowski space, L 3 . After studying the Gauss map and the determination of the
coefficients of the first and second fundamental form, the Gaussian, mean, normal and main
curvatures besides the asymptotic and curvature lines, will be studied, comparing the obtained
results for those surfaces in the two spaces. The Mathematica software will be used as tool with the
purpose to develop a programming routine that allows the calculation of the geometry of any
minimal surface in R 3 and maximal in L 3 .
5
INTRODUÇÃO
A idéia de superfície mínima vem de 1760 com um problema proposto por Lagrange:
dada uma curva fechada simples C, qual a menor superfície que tem esta curva como fronteira?
Em 1762 Lagrange desenvolveu um algoritmo para o cálculo de variações que deu
lugar ao que hoje conhecemos por equação diferencial de Euler-Lagrange, onde tratou de
encontrar uma superfície de área mínima e contorno pré-fixado e como conseqüência estabeleceu a
equação que satisfaz o traço mínimo e cujas soluções definem o que conhecemos por superfícies
de curvatura média constante (nula no caso das superfícies mínimas).
f x, y : 1 f 2y f xx 2f x f y f xy 1 f 2x f yy 0 7. 1
Interessado mais em questões teóricas, Lagrange não se preocupou em encontrar
soluções concretas não triviais da equação (7.1). Foi Euler quem primeiro conseguiu rodar a curva
chamada catenária para se obter uma superfície mínima que chamou de alysseide, posteriormente
denominada catenóide por J. Plateau, cujas experiências em meados do século XIX que deram
uma nova importância às superfícies mínimas, quando imergiu arames moldados na forma de
curvas espaciais em uma solução de água, sabão e glicerina, percebendo que as superfícies
formadas pela fina película era a de menor área possível a ser formada por aquela determinada
curva (FIGURA 7.1), por ser a superfície que apresentava a menor energia potencial, resultado das
interações entre suas moléculas (DO CARMO, 2005)[6].
fechada dada.
Este trabalho tem por objetivo fazer um estudo comparativo das superfícies mínimas
3
no espaço tridimensional euclidiano, e de Lorentz-Minkowski, L 3 , também denominado
pseudo-espaço de Lorentz-Minkowski. Este último tem sua importância nas aplicações em Física,
onde sua maior expressão é na Teoria da Relatividade especial de Albert Einstein, onde é mais
comumente formulada. Nessa configuração as três dimensões usuais do espaço são combinadas
com uma única dimensão do tempo para formar uma variedade quadrimensional para representar
um espaço-tempo.
Inicialmente, define-se o espaço vetorial de um modo geral e algumas de suas
3
propriedades e logo após uma breve descrição do espaço tridimensional euclidiano e do
pseudo-espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski, L 3 .
Após esta breve descrição, inicia-se um estudo da geometria diferencial das
3
superfícies mínimas em e máximas tipo espaço em L 3 , definindo uma superfície regular
parametrizada e suas curvas coordenadas. Ainda no mesmo capítulo inicia-se a diferenciação dos
dois espaços, definindo o plano tipo espaço e o plano tangente à superfície além da primeira forma
fundamental.
A seguir, faz-se o estudo da aplicação normal de Gauss nos dois espaços definindo a
segunda forma fundamental e o cálculo das curvaturas: normal, Gaussiana, média e principais.
O capítulo seis apresenta as aplicações da primeira e segunda forma fundamentais na
3
determinação das linhas de curvatura e linhas assintóticas para as superfícies em e L3.
3
Inicia-se, então, o estudo específico das superfícies mínimas em e máximas em
3
L , onde determina-se todas as características geoméricas anteriormente definidas para as famílias
do catenóide, helicóide, superfícies de Enneper e superfícies de Scherk, cujos resultados são
comparados posteriormente para que se possa verificar as diferenças entre as duas métricas.
Finalizando, é apresentada uma sugestão de rotina de programação para o cálculo da
geometria das superfícies nas duas métricas, desenvolvida para o software Mathematica da
Wolfram Research Inc., software este utilizado durante o desenvolvimento deste estudo não só na
determinação dos cálculos mas também na construção das superfícies aqui mencionadas.
7
1 PRELIMINARES
Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita. Uma forma bilinear em V é uma
aplicação bilinear g : V V , isto é, para u, v, w Ve , , g satisfaz as seguintes
propriedades:
P1. gu v, w g u, w g v, w
P2. g u, v w g u, v g u, w
P3. g u, v g u, v
P4. g u, v g u, v
Definição 1.2 Seja V um espaço vetorial real. Um produto interno sobre V, caso
particular de forma bilinear, é uma função , :V V , que a cada par de vetores u, v associa
um número real, que satisfaz as seguintes propriedades:
P6. v, v 0, onde v, v 0 se, e somente se v 0
P7. u, v u, v , para todo .
P8. u v, w u, w v, w
P9. u, v v, u
8
n
Em a função definida por
n
u, v i 1
uivi u1v1 u2v2 . . . unvn (1.1)
n
onde u u1, u2, . . . , un , v v1, . . . , vn , é o produto escalar chamado de produto escalar
usual ou produto escalar euclidiano.
Pelo fato de ser um caso particular de forma bilinear, o produto escalar verifica
também as propriedades P1 a P5.
Demonstração:
(1) Seja e 1 , e 2 , . . . , e n uma base de V adaptada a W, isto é, tal que e 1 , . . . , e k seja uma
base de W. Temos que v W se, e somente se, v, e i 0 para 1 i k, ou seja, se e somente
se,
n
j 1
g ij v j 0 1 i k 1. 2
n
onde v j 1
vjej.
Logo, a igualdade (1.2) é um sistema de k equações lineares com n incógnitas. Mas,
pelo lema 1.1, as linhas da matriz g ij são linearmente independentes e, portanto, a matriz acima,
tem posto k. Assim, o espaço das soluções de (1.2) possui dimensão n k. Como o espaço solução
de (1.2) é exatamente W , segue que dim W n k.
(2) Seja v W. Então v W ou seja, v W . Logo W W . Porém pelo
item (1), estes dois subespaços possuem a mesma dimensão e assim sendo, são iguais.
10
Definição 1.7. Seja V um espaço vetorial com produto interno g, a norma ||v||, de um
vetor v V, será dada por:
||v|| g v, v . (1.4)
Lema 1.4 Um espaço vetorial com produto interno possui uma base ortonormal
(BOLDRINI et al1980[3]).
3
Seja o espaço vetorial tridimensional munido do produto escalar euclidiano
3 3
u, v i 1
u i v i onde u u1, u2, u3 e v v 1 , v 2 , v 3 são vetores de , e a norma euclidiana
||u|| u 21 u 22 u 23 2. 1
3
Assim sendo, diz-se que é um espaço normado. Esta aplicação já definida no
capítulo anterior, satisfaz, segundo Picado(2003, p.2)[16] aos seguintes axiomas de norma:
3
1. u 0 , ||u|| 0
3
2. u , , || u|| | | ||u||
3
3. u, v , ||u v|| ||u|| ||v|| (desigualdade triangular)
3
4. u, v , u, v ||u|| ||v|| (desigualdade de Cauchy-Schwarz)
e1 e2 e3
u v u1 u2 u3 2. 2
v1 v2 v3
3
onde e 1 , e 2 , e 3 é uma base ortonormal de .
Observação 2.1. O símbolo à direita de (2.2) não é um determinante, pois a primeira
linha contém vetores em lugar de escalares. Trata-se apenas de uma notação mais simples.
Geometricamente, pode-se ver que ||u v|| é a área do paralelogramo determinado
pelos vetores u, v, conforme Swokowski(1994, p.248)[19].
O produto vetorial, segundo Steimbruch, Winterle(1987)[18], goza das seguintes
propriedades:
3
1. u v v u , u, v .
2. u v u v u v, .
3. u v w u v u w
4. u v w u, w v u, v w
As propriedades (1) e (2) confirmam que o produto vetorial é uma função bilinear
12
3
Definição 2.2. Sejam os vetores u, v, w . Denomina-se produto misto dos três
3
vetores u, v, w ao número real u, v w definido por:
u1 u2 u3
u, v w det v1 v2 v3 2. 5
w1 w2 w3
Propriedades:
3
1. u, v w u v, w , u, v, w .
2. u, v w 0 se, e somente se, u, v, w são linearmente dependentes.
13
3
Definição 3.1. Seja x 1 , x 2 , x 3 |x 1 , x 2 , x 3 o espaço real 3-dimensional.
3
Dados x x1, x2, x3 e y y 1 , y 2 , y 3 em , definimos o pseudo produto escalar de x e y por
x, y 1 x1y1 x2y2 x3y3 3. 1
3
Chamaremos 1, , 1 de espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski e
3 3
denotaremos por L 1.
Observação 3.1 Como o pseudo produto escalar definido por (3.1) não é positivo
definido, este não pode ser, portanto, um produto interno.
1, se i j 1
vi, vj 1 1, se i j 2, 3
0, se i j
Teorema 3.1. (Naber, 1993 [14]) Suponha que u é um vetor tipo tempo e v 0 é um
3
vetor tipo tempo ou nulo. Seja e1, e2, e3 uma base ortonormal de L 3 com u 1
xiei e
3
v 1
yjej, i j, então:
3
a) 1
xiyi 0, neste caso, u, v 1 0, ou
3
b) 1
xiyi 0, neste caso, u, v 1 0
3
Demonstração: Pela suposição, temos u, u 1 2
x 2i x 21 0 e
3
v, v 1 2
y 2j y 21 0, assim,
u3v3 u 2i v 2j i, j 1, 2 e então temos que
|x 1 y 1 | x 2i y 2j 1/2
3. 3
Tem-se que, para qualquer t ,
2 2 2
0 ty 1 x1 ty 2 x2 ty 3 x3 y 2j t 2 2 xiyj t x 2i i, j 1, 2, 3 e i j.
assim, considerando uma equação quadrática em t, essa expressão não pode ter raízes reais
15
distintas, logo, o discriminante deve assumir um valor menor ou igual a zero, isto é,
2
4 xiyj 4 x 2i y 2j 0. Assim, x 2i y 2j xiyj 2
e temos que,
x 2i y 2j 1/2
|x i y j | 3. 4
Combinando (3.3) e (3.4) obtemos
|x 1 y 1 | |x i y j | |x 1 y 1 x2y2 x3y3| 3. 5
assim, em particular, x 1 y 1 0 e além disso, u, v 1 0. Supomos, por adição, que x 3 y 3 0.
Então, |x 1 y 1 | |x i y j | x i y j , logo, x i y j x1y1 0, isto é, u, v 1 0. Em outras palavras, se
x1y1 0, então u, v 1 0 e assim u, v 0
Lema 3.1. Dois vetores tipo tempo v e w em L 3 estão no mesmo cone tipo tempo se,
e somente se v, w 1 0.
Demonstração: Temos que, se v C u e w é tipo tempo, então w C u se, e
|a| ||v ||
Analogamente, sendo w um vetor tipo tempo, temos,
w, w 1 0
bu w, bu w 1 0
b 2 u, u 1 2b u, w 1 w, w 1 0
2
b 1 w, w 1 0
17
b2 w, w 1
|a| ||w||
Temos ainda,
v, w 1 au v , bu w
ab u, u 1 a u, w 1 b u, v 1 v,w 1
ab v,w 1
Sendo v, w 1 0, temos,
w, w 1 a 2 v, v 1 w, w 1 0
2
w, w 1 w, w 1 a v, v 1 0
Por outro lado,
2 2
v, w 1 v, av w 1
2 2
v, av w 1 v, av w 1
a v, v 1 v, w 1 a v, v 1 v, w 1
18
w, w 1 w, w 1 v, v 1 w, w 1 v, v 1 ||w||2 ||v||2
Visto que w, w 1 0, pois w é tipo espaço e v, v 1 0, pois v é tipo tempo, temos:
2
v, w 1 ||w||2 ||v||2 | v, w 1 | ||v|| ||w||
Evidentemente, a igualdade é válida se, e somente se, w, w 1 0, o que é
equivalente a w 0, resultando em w av. Logo, v e w são colineares.
(b) Se v e w estão no mesmo cone tipo tempo, então v, w 1 0, por isso:
| v, w 1 | ||v|| ||w||
| v, w 1 | | v, w 1 |
1 e 1
||v|| ||w|| ||v|| ||w||
v, w 1
e, portanto, existe um ângulo 0 tal que cosh cosh . Convém observar
||v|| ||w||
que cosh 1.
e1 e2 e3
u v u1 u2 u3 3. 4
v1 v2 v3
onde e 1 , e 2 , e 3 é uma base ortonormal de L 3 .
Rodrigues(2006, p.21)[17] demonstra que o produto misto de três vetores
u, v, w L 3 onde u u1, u2, u3 , v v1, v2, v3 e w w1 , w2 , w3 é dado por:
u1 u2 u3
u, v w 1 det v1 v2 v3 3. 5
w1 w2 w3
Propriedades:
1. u v v u
2. au bv w au w bv w
3. u v 0 se, e somente se u, v são linearmente dependentes.
4. u, u v 1 v, u v 1 0
19
u, z 1 v, z 1
5. u v, w z 1 det
u, w 1 v, w 1
6. u v w v, w 1 u u, w 1 v
onde u, v, w, z L 3 e a, b .
As propriedades acima descritas são também demonstradas por Rodrigues(2006,
p.22-26)[17].
20
L3
2 3
Definição 4.1. Uma superfície regular é uma aplicação X : U M M
ou M L 3 de um conjunto aberto U 2
para M tal que:
1. X é diferenciável, o que significa que se escrevermos
X u, v x u, v , y u, v , z u, v , u, v U, as funções x u, v , y u, v e z u, v têm
derivadas parciais contínuas de todas as ordens em U.
2
2. (Condição de regularidade) Para cada q U a diferencial dX q : M é um-a-um.
Para dar à condição (2) uma forma mais familiar, vamos calcular a matriz da
2
aplicação linear dX q nas bases canônicas e 1 1, 0 e e 2 0, 1 de com parâmetros u, v e
f1 1, 0, 0 , f 2 0, 1, 0 , f 3 0, 0, 1 de M com coordenadas x, y, z .
2
Definição 4.2 Seja X : U M uma superfície parametrizada, então,
fixando-se q u0, v0 U, as curvas
u X u, v 0 e v X u0, v
são chamadas curvas coordenadas de X em q (FIGURA 4.2).
Esta curva tem em X q o vetor tangente
x, y, z X Xu
u u u u
21
onde as derivadas são calculadas no ponto u 0 , v 0 e um vetor é indicado pelos seus componentes
na base f 1 , f 2 , f 3 (FIGURA 4.2).
dX x, y, z X Xv.
e2
v v v v
Assim, a matriz jacobiana da aplicação linear dX q na referida base é:
x x
u v
dX y y
q 4. 1
u v
z z
u v
A condição (2) pode agora ser expressa requerendo que dois vetores coluna desta
matriz sejam linearmente independentes; isto é; equivalentemente, que o produto vetorial
Xu Xv 0; ou ainda de outro modo, que um dos determinantes de ordem 2 da matriz dX q
Xu x, y, z a1, a2, a3 a
u u u
Xv x, y, z b1, b2, b3 b
v v v
Logo, X u Xv a b 0, pois a e b são linearmente independentes.
2
A imagem X é um plano em M (chamado plano tipo espaço). Esse plano passa
por p 0 e é perpendicular ao vetor tipo tempo a b.
4
2
z 0
-2
-4
-4
-2 -4
0 -2
0
y 2
2 x
4 4
2
Verifica-se que a aplicação X 1 : U L 3 dada por:
23
X 1 u, v u, v, 1 v2 u2 ,
2
u, v U, onde u, v, w L3; w 0 e U u, v L2; v2 u2 1 é uma
parametrização de S 21 .
De fato,
x2 y2 z2 u2 v2 1 v2 u2
u2 v2 1 v2 u2
1
Observa-se, ainda, que X 1 U é a parte aberta de S 21 sobre o plano uv. Sendo
v2 u2 1, a função 1 v2 u 2 tem derivadas parciais contínuas de todas as ordens. Então,
X 1 é diferenciável verificando a condição (1).
Analogamente, podemos definir parametrizações como a seguinte. Seja
2
X2 : U L 3 dada por:
X 2 u, v u, v, 1 v2 u2 .
Verificamos que X 2 é uma parametrização de S 21 .
De fato,
x2 y2 z2 u2 v2 1 v2 u2
u2 v2 1 v2 u2 1
Observa-se que X 1 U X 2 U cobre S 21 exceto o "equador " (FIGURA 4.4).
1.0
0.5
z 0.0
-0.5
-1.0
-1.0
-0.5
-1.0
0.0 -0.5
0.0
y 0.5
0.5 x
1.0 1.0
X 4 u, w u, 1 w2 u2 , w
X 5 v, w 1 w2 v 2 , v, w
X 6 u, w 1 w2 v 2 , v, w
Pode-se mostrar que a condição (2) de regularidade se verifica. Para isso, considere
X 1 u, v u, v, 1 v2 u2 . Assim, temos:
X1 u
X 1u 1, 0, ,
u 1 v2 u2
X1 v
X 1v 0, 1, ,
v 1 v2 u2
e1 e2 e3
1 0 u
X iu X 1v 1 v2 u2 u , v ,1
v 1 v2 u 2
1 v2 u2
0 1
1 v2 u2
Assim,
||X 1u X 1v ||2 u2 v2 1
1 v2 u2 1 v2 u2
u2 v2 1 v2 u2
2
1 v u2
1 0, pois v 2 u2 1
1 v2 u2
Logo, os vetores X 1u e X 1v são linearmente independentes.
z 0
-2
4
2
0 2
0
y -2
-2 x
-4
2
Definição 4.3 Seja X : U M uma superfície regular parametrizada. Um
vetor w M é chamado vetor tangente a X em q u0, v0 se w t 0 , onde
t X u t , v t é uma curva da superfície, tal que u t 0 , v t 0 u0, v0 .
3
Definição 4.5 Um plano em M M ou M L 3 é tipo espaço se a métrica
induzida é Riemanniana.
2
Definição 4.6 Uma superfície X : U M é chamada superfície tipo espaço
se o plano tangente em todo ponto é tipo espaço, isto é, v, v 0 ou v, v 1 0 para cada
v T q X.
3
Exemplo 4.3. Toda superfície (clássica) em é tipo espaço.
2
Exemplo 4.4 O plano X u, v p0 ua vb, u, v e p0 x0, y0, z0 L3, a
e b são vetores ortonormais de M L 3 , é uma superfície tipo espaço.
De fato, sejam a1, a2, a3 e b b 1 , b 2 , b 3 vetores tipo espaço de M. Temos,
Xu X a a1, a2, a3
u
Xv Y b b1, b2, b3
v
Logo, X é uma superfície tipo espaço.
0
-2
z
-2
0
-2
y
2 0
2 x
2
Pode-se mostrar que a aplicação X : U L3 , U u, v 2
, u, v
dada por:
X u, v 1 u2 v 2 , u, v ; u, v U
é uma parametrização de H 2 1 .
De fato,
2
x2 y2 z2 1 u2 v2 u2 v2
1 u2 v2 u2 v2
1
Para mais aplicações, é conveniente utilizar outras parametrizações de H 2 1 . Seja
2
U u, v ; u, v e seja X : U L 3 dada por:
X u, v cosh u cosh v, cosh u sinhv, sinhu
Evidentemente, X U H 2 1 . Pode-se mostrar que X é uma parametrização de
H2 1 .
De fato,
x2 y2 z2 cosh 2 u cosh 2 v cosh 2 u sinh 2 v sinh 2 u
cosh 2 u cosh 2 v sinh 2 v sinh 2 u
cosh 2 u sinh 2 u
1
Considerando esta última parametrização de H 2 1 , temos,
Xu sinhu cosh v, sinhu sinhv, cosh u
Xu, Xu 1 sinh 2 u cosh 2 v sinh 2 u sinh 2 v cosh 2 u
sinh 2 u cosh 2 v sinh 2 v cosh 2 u
sinh 2 u cosh 2 u
1 0
Xv cosh u sinhv, cosh u cosh v, 0
Xv, Xv 1 cosh 2 u sinh 2 v cosh 2 u cosh 2 v
cosh 2 u sinh 2 v cosh 2 v
cosh 2 u 0
Então, o pseudo espaço hiperbólico H 2 1 é uma superfície tipo espaço.
60
40
20
0
-20
-40
z -60
-60
-40 -60
-20 -40
0 -20
0
20
y 40
20
x
40
60 60
2
Pode-se mostrar que a aplicação X : 0 L 3 dada por
X u, v u2 v 2 , u, v
é uma parametrização de LC .
De fato,
2
x2 y2 z2 u2 v2 u2 v2
u2 v2 u2 v2
0
Considerando X u, v u2 v 2 , u, v , temos,
Xu 2u , 1, 0 u , 1, 0
2 u2 v2 u 2
v2
Xu, Xu 1
u21
2
u v2
u2 u2 v2
u2 v2
v2 0
2
u v2
Xv 2v , 0, 1 u , 0, 0
2 u2 v2 u 2
v2
Xu, Xu 1
v21
2
u v2
v2 u2 v2
u2 v2
29
u2 0
2
u v2
Logo, o cone tipo luz LC é uma superfície tipo espaço.
2 3
Seja X : U M M ou M L 3 uma superfície tipo espaço. Se X u e
X v são vetores tipo espaço do plano tangente T q X, então existe uma única direção normal a este
plano e, portanto, existem exatamente dois vetores unitários normais a X em q, como sendo o vetor
Nq Xu Xv q .
||X u X v ||
2
Se o domínio da superfície X é um aberto U então, variando u, v U temos
uma aplicação diferenciável N : U M , denominada aplicação normal de Gauss, definida por
N u, v X u X v u, v .
||X u X v ||
3
Se M , a imagem de N u, v está contida na esfera unitária, centrada na origem
(FIGURA 4.9).
3
FIGURA 4.9 Aplicação normal de Gauss para o espaço tridimensional Euclidiano .
assim, X u X v , pelo corolário (3.1), é um vetor tipo tempo. O vetor normal à superfície é
perpendicular ao plano tangente.
Conseqüentemente, o vetor unitário N q é um vetor tipo tempo de L 3 (FIGURA
4.10) cuja imagem N u, v está contida no pseudo espaço hiperbólico
H2 1 x, y, z L3; x2 y2 z2 1, x 0 .
2 3
Definição 4.7 Seja X : U M M ou M L 3 uma superfície regular
tipo espaço. A forma quadrática I q :TqX dada por
v I q v, v ||v||2 0;
v T q X, é chamada primeira forma fundamental da superfície regular X M em q X, aqui
denotada por I q .
Expressa-se a primeira forma fundamental na base Xu, Xv associada à
parametrização X u, v em q u0v0 (FIGURA 4.11). Visto que um vetor tangente
31
t X u t ,v t , t I x, x , com q u 0 , v 0 , temos:
I q t0 , t0 q
E u0, v0 Xu, Xu q
F u0, v0 Xu, Xv q 4. 3
G u0, v0 Xv, Xv q
2
u v, u v 1 Xu, X v 1 Xu, Xu 1 Xv, Xv 1 F2 EG.
Porém, como X u X v é tipo tempo, temos:
2 2
u v, u v 1 Xu, X v 1 Xu, Xu 1 Xv, Xv 1 Xu, Xu 1 Xv, Xv 1 Xu, X v 1 0
3
Logo, em qualquer M M ou M L 3 , a forma quadrática satisfaz
EG F2 ||X u X v ||2 0
Geometricamente, a primeira forma fundamental se apresenta como ferramenta para
se calcular medidas sobre a superfície (comprimento de curvas, ângulos de vetores tangentes, áreas
de regiões), sem fazer menção ao espaço ambiente que esta se encontra, (TENENBLAT,1990
[20]).
2
Exemplo 4.7 Seja X u, v p0 uw1 vw2 , u, v onde w1 e w2 são vetores
3
tipo espaço ortonormais de M , M ou M L 3 isto é, X descreve o plano tipo espaço
ortogonal a w1 w2 que passa por p 0 . Então, X u u, v w1 e X v u, v w2 . A primeira forma
fundamental é dada por:
E Xu, Xu ||w1 ||2 1
F Xu, Xv w1 , w2 0 (são ortonormais)
G Xv, Xv ||w2 ||2 1
I q a2E 2abF b2G
I q a2 b 2 , a, b
3
Exemplo 4.8 Consideremos em a superfície X u, v r cos u, r sin u, v ,
2 3
u, v que descreve o cilindro circular reto de raio r , S x, y, z ; x2 y2 1 . A
primeira forma fundamental de X u, v é dada por:
Xu r sin u, r cos u, 0
Xv 0, 0, 1
E Xu, Xu r 2 sin 2 u r 2 cos 2 u r2
F Xu, Xv 0
G Xv, Xv 1
I q a2E 2abF b2G
33
I q a2r2 b 2 , a, b ,r 0
Xu u , 1, 0
1 u2 v2
Xv v , 0, 1
1 u2 v2
E Xu, Xu 1
u2 1
1 u2 v2
u2 1 u2 v2
1 u2 v2
1 v2 0
1 u2 v2
F Xu, Xv 1 uv
1 u2 v2
G Xv, Xv 1 v2 1
1 u2 v2
v2 1 u2 v2
1 u2 v2
1 u2 0
1 u2 v2
Iq a 2 E 2abF b 2 G
1 v2 a2 2ab uv 1 u2 b2
2 2
1 u v 1 1 u v2 u2 v2 2
1 a 2 v 2 a 2 2abuv b 2 u 2 b 2
2
u v2 1
av bu 2 a 2 b 2
, a, b .
u2 v2 1
34
2 3
Seja X : U M M ou M L 3 uma superfície tipo espaço de M .
2
Definição 5.1: O sinal de uma superfície tipo espaço X : U M é:
1, se N, N 1
-1, se N, N 1
3
Definição 5.2 Seja X u, v uma superfície tipo espaço de M M ou M L3
orientada pelo vetor unitário normal N. Se X u, v tem sinal , isto é, sinal N, N , as superfícies
em M com o mesmo sinal são dadas por (AKUTAGAWA, NISHIKAWA, 1990 [1]):
S 2 1 , se 1
M 5. 1
2
H 1 , se 1
Nuu 0 Nvv 0 ;
em particular, dN q x u N u e dN q xv N v . Portanto, para provar que dN q é auto adjunta, é
suficiente mostrar que
Nu, xv xu, Nu
Para ver isto, derivamos N, x u 0 e N, x v 0, em relação a v e u,
respectivamente, e obtemos:
Nv, xu N, x uv 0,
Nu, xv N, x vu 0.
Assim,
Nu, xv N, x uv Nv, xu
e1 e2 e3
Xu Xv sinhu cosh v sinhu sinhv cosh u
cosh u sinhv cosh u cosh v 0
Xu Xv cosh 2 u cosh v, cosh 2 u sinhv, sinhu cosh u
||X u X v || | cosh 4 u cosh 2 v cosh 4 u sinh 2 v sinh 2 u cosh 2 u|
Logo, ||X u X v || EG F2
3
Rodrigues(2006)[17], demonstra que X u X v , X uu é o mesmo valor em quanto
em L 3 . Assim, podemos dizer que:
Xu Xv Xu X v , X uu
e ,X ,
||X u X v || uu EG F2
onde E, F, G são os coeficientes da primeira forma fundamental,
Analogamente, temos,
Xu Xv Xu X v , X uv
f ,X
||X u X v || uv EG F2
Xu Xv Xu X v , X vv
g ,X
||X u X v || vv EG F2
3
Exemplo 5.2 Consideremos em a superfície X u, v r cos u, r sin u, v ,
2 3
u, v que descreve o cilindro circular reto de raio r, S x, y, z ; x2 y2 1 . A
segunda forma fundamental de X u, v é dada por:
Xu r sin u, r cos u, 0
Xv 0, 0, 1
X uu r cos u, r sin u, 0
38
X vv 0, 0, 0
X uv 0, 0, 0
E r2; F 0; G 1
r sin u r cos u 0
Xu X v , X uu 1
e det 0 0 1
EG F2 2
r 1 0
r cos u r sin u 0
1 r 2 cos 2 u r sin 2 u
r
r
sin u cos u 0
Xu X v , X uv 1
f det 0 0 1
EG F2 1 1 0
0 0 0
0
sin u cos u 0
Xu X v , X vv 1
g det 0 0 1
2 1 1 0
EG F
0 0 0
0
II q a2e q 2abf q b2g q
II q a2 r 2ab 0 b2 0
II q a 2 r, a
Xu u , 1, 0
1 u2 v2
Xv v , 0, 1
1 u2 v2
X uu v2 1 , 0, 0
3
u2 v2 1 2
X vv u2 1 , 0, 0
3
u2 v2 1 2
X uv uv , 0, 0
3
2
u v2 1 2
E 1 v2 ;
2
1 u v2
39
F uv ;
1 u2 v2
G 1 u2
1 u2 v2
X u X v , X uu 1
e
2
EG F
u 1 0
1 u2 v2
v 0 1
1 det
2 1 u2 v2
1 v2 1 u2 uv
1 u2 v2 1 u2 v2 1 u2 v2 v2 1 0 0
3
u2 v2 1 2
1 v2 1 u2 v2 1 v2 1
3 3
1 u2 v2 1 2 u2 v2 1 2
2
u v2 1
v21
2
u v2 1
X u X v , X uv 1
f
2
EG F
u 1 0
1 u2 v2
1 v 0 1
det
2 1 u2 v2
1 v2 1 u2 uv
2 2 2 uv 0 0
1 u v 1 u v2 1 u2 v2 2
3
u v2 1 2
uv u2 v2 1 uv
3
3 2
1 u2 v2 1 2 u v2 1 2
u2 1 v2
uv
u2 v2 1
X u X v , X vv 1
g
EG F2
u 1 0
1 u2 v2
v 0 1
1 det
2 1 u2 v2
1 v2 1 u2 uv
1 u 2
v 1 2
u 2
v2 1 u2 v2 u2 1 0 0
3
u2 v2 1 2
1 u2 1 u2 v2 1 u2 1
3 3
1 u2 v2 1 2 u2 v2 1 2
u2 v2 1
2
u 1
u2 v2 1
40
k s0 n s0 , N u s0 , v s0 1
kn k s 0 cosh 5. 6
onde n s 0 é o vetor tipo espaço unitário normal à curva em s 0 e n, N 1 cosh , em que
n, N .
41
3
Observação 5.3: No caso da superfície tipo espaço X u, v em , temos uma
interpretação análoga para a curvatura normal k n e a segunda forma fundamental II q . Neste caso,
obtemos:
kn v II q k s 0 cos
onde cos n, N .
Da álgebra linear sabemos que dN é uma aplicação linear auto-adjunta. Então existe
uma base ortonormal e 1 , e 2 de T q X tal que dN e 1 k 1 e 1 e dN e 2 k2e2.
Além disso, k 1 e k 2 k1 k2 são o máximo e o mínimo da segunda forma
fundamental II q restrita ao círculo unitário de T q X, extremos da curvatura normal em q.
2
Exemplo 5.4 Consideremos a superfície X u, v r cos u, r sin u, v , u, v que
3
descreve o cilindro circular reto de raio r, S x, y, z ; x2 y2 1 . A curvatura normal do
cilindro é:
42
I q a2r2 b2
II q a2r
II q a 2 e 2abf b 2 g
kn
Iq a 2 E 2abF b 2 G
kn a2r , a, b .
2 2
a r b2
2 3
Definição 5.6: Seja X : U MM ou M L 3 uma superfície tipo
espaço de M. A curvatura Gaussiana K e a curvatura média H de X em q são as funções
K, H : U definidas por:
K det dN q 5. 8
1 tra dN
H 5. 9
q
2
onde tra é o traço da matriz da aplicação linear dN.
dN q e1 k1e1
5. 12
dN q e2 k2e2
k1 0
0 k2
Portanto, temos:
k1 0
K det k1k2
0 k2
1 tra k1 0 1
H k1 k2
2 0 k2 2
2 3
Teorema 5.1: Seja X : U M M ou M L 3 uma superfície tipo
espaço X de M. Então a curvatura Gaussiana K e a curvatura média H de X são dadas por:
eg f 2
K
EG F 2
H 1 eG 2fF gE
2 EG F 2
onde e, f, g são os coeficientes da segunda forma fundamental de X e E, F, G são os coeficientes
da primeira forma fundamental de X.
Demonstração: Vamos calcular K e H utilizando a base Xu, Xv associada à
parametrização X u, v de X.
Assim, temos que N, N .
Logo, N u , N Nv, N 0
Portanto, N u e N v pertencem a T q X, e assim podemos escrever:
Nu a 11 X u a 21 X v
5. 13
Nv a 12 X u a 22 X v
e, portanto,
dN a 11 u a 12 v N u a 21 u a 22 v N v
que pode ser escrito na forma matricial como
u a 11 a 12 u
dN
v a 21 a 22 v
Isto mostra que na base X u , X v , dN é dada pela matriz a ij , i, j 1, 2.
Para obter os valores de a ij em termos dos coeficientes da primeira e segunda forma
44
a 11 a 21 1 e f G F
2
a 12 a 22 EG F f g F E
a 11 a 21 1 Ge Ff fE Fe
2
a 12 a 22 EG F Gf Fg gE Ff
e daí decorrem as seguintes expressões para os coeficientes a ij da matriz sw dN na base
Xu, Xv :
45
fF eG
a 11
EG F2
eF fE
a 12
EG F2 5. 16
gF fG
a 21
EG F2
fF gE
a 22
EG F2
fF eG eF fE
Kq det dN q det EG F 2 EG F 2
gF fG fF gE
EG F 2 EG F 2
fF eG fF gE eF fE gF fG
2 2
EG F EG F EG F 2 EG F 2
fF eG fF gE eF fE gF fG
EG F 2 2
Logo,
ge f 2
K 5. 17
GE F 2
e ainda,
fF eG eF fE
Hq 1 tra a 1 tra EG F 2 EG F 2
ij
2 2 gF fG fF gE
EG F 2 EG F 2
1 fF eG fF gE
2 EG F 2 EG F 2
1 fF eG fF gE
2 EG F 2
Logo,
46
H 1 eG 2fF gE 5. 18
2 EG F 2
3
Forma genérica L3
I q a2E 2abF b2G a2E 2abF b2G a2E 2abF b2G
II q a2e 2abf b 2 g a2e 2abf b2g a2e 2abf b2g
II q
kn k cos k cosh
Iq
ge f 2 ge f 2 ge f 2
K
GE F 2 GE F 2 GE F 2
H 1 eG 2fF gE 1 eG 2fF gE 1 eG 2fF gE
2 EG F 2 2 EG F 2 2 EG F 2
k1, k2 H H2 K H H2 K H H2 K
3
QUADRO 5.1 Fórmulas para cálculo da geometria de superfícies em e L3.
2
Exemplo 5.6 Consideremos a superfície X u, v r cos u, r sin u, v , u, v que
3
descreve o cilindro circular reto de raio r, S x, y, z ; x2 y2 1 , vamos encontrar:
curvatura gaussiana K , curvatura média H e curvaturas principais k 1 e k 2 .
E r2; F 0; G 1
I q a2r2 b2
e r; f 0; g 0
II q a2r
kn a2r
a2r2 b2
ge f 2
K
GE F 2
K 0
H 1 eG 2fF gE 1 r
2 EG F 2 2 r2
H 1
2r
2
k H H2 K 1 1
2r 2r
1 1 ,
2r 2r
Logo, k 1 1 e k2 0.
r
Observa-se que K k1 k2 0 e k1 k2 H
2
av bu 2 a 2 b 2
Iq
u2 v2 1
e v2 1 ; f uv ; g u2 1
2
u v2 1 u2 v2 1 u 2
v2 1
av bu 2 a 2 b 2
II q
u2 v2 1
kn 1
2
u2 1 v2 1 uv
2
ge f u2 v2 1 u2 v2 1 u2 v2 1
K
GE F 2 1 u2 1 v2 uv
2
2
1 u 2
v 1 u2 v2 1 u2 v2
1
H 1 eG 2fF gE
2 EG F 2
v2 1 1 u2 2 2 uv2 uv u2 1 1 v2
2
1 u v 1 1 u2 v2
2
u v 1 1 u2 v2 u 2
v 2
1 1 u 2
v2
2 2 2
1 u 1 v2 uv
2
1 u v 1 u2 v2
2
1 u2 v2
1
k H H2 K 1 1 2
1
k1 k2 1
49
Definição 6.1: Se uma curva regular e conexa em X é tal que para todo q a
reta tangente a é uma direção principal em q, então dizemos que é uma linha de curvatura de
X.
3
Proposição 6.2: (Olinde Rodrigues) Seja X : U M M ou M L 3 uma
superfície parametrizada regular e t X u t ,v t , t I uma curva regular em X u, v .
Então, é uma linha de curvatura de X u, v (FIGURA 6.1) se, e somente se, existe uma função
t,t I, tal que para todo t I, temos:
dNt t t 0
dt
onde N t N u t , v t é o vetor normal de superfície em u t , v t , t I.
Geometricamente significa dizer que, como dN pode assumir qualquer direção, esta
pode estar na direção de t , e se isto ocorrer, ou seja, se dN é um múltiplo de t , e aí dN e
t são linearmente dependentes, é uma linha de curvatura.
Neste caso, a função t kn t é uma curvatura principal de X em u t , v t ,
para todo t I e k n é a curvatura normal na direção dx das linhas de curvatura.
Demonstração: Suponhamos que é uma linha de curvatura. Considerando
t kn t , vamos provar que para todo t, o vetor tangente a X em q u t , v t , definido
por:
w dNt t t
dt
é nulo.
50
k2 2 k
det E F G 0 6. 2
e f g
De fato:
e 2fx gx 2
Partindo de k n e derivando com respeito a x, temos,
E 2Fx Gx 2
2f 2gx e 2xf gx 2 2F 2Gx
kn 0
E 2Fx Gx 2 E 2Fx Gx 2
2
e 2xf gx 2 2F 2Gx
2f 2gx
E 2Fx Gx 2
2 f gx e 2xf gx 2
2 F Gx E 2Fx Gx 2
daí,
f gx e 2fx gx 2
6. 3
F Gx E 2Fx gx 2
é claro que e 2fx gx 2 e fx xf gx e E 2Fx gx 2 E Fx xF Gx
e fx x f gx
então, k n
E Fx x F Gx
e 2fx gx 2 f gx x f gx e 2fx gx 2 x f gx
kn x
E 2Fx Gx 2 F Gx x F Gx E 2Fx gx 2 x F Gx
Logo,
f gx e fx
kn x
F Gx E Fx
e fx F Gx f gx E Fx
eF eGx fFx fGx 2 fE fFx gEx gFx 2
x 2 gF fG x gE eG fE eF 0
2
De x gF fG x gE eG fE eF 0, fazendo CE 2BF AG 0
(equação diferencial da I forma fundamental) e voltando ao determinante (6.2), temos:
52
gF fG x 2 A gF fG
gE eG x B gE eG
fE eF 1 C fE eF
Assim, a equação diferencial das linhas de curvatura é:
CE 2BF AG 0
fE eF X u , X u gE eG X u , X v gF fG X v , X u 0
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0 6. 4
que finalmente se memoriza melhor resolvendo o determinante:
2 2
v uv u
det E F G 0 6. 5
e f g
3
Definição 6.2: Seja X : U M M ou M L 3 uma superfície e q U.
Uma direção assintótica de X em q é uma direção w T q X tal que a curvatura normal k n w 0
na direção w.
2
Definição 7.1 Uma superfície parametrizada regular X : U M será chamada
superfície mínima se a sua curvatura média é identicamente nula, isto é, H 0.
Tais superfícies no espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski foram estudadas por
Kobayashi (1983)[11] que as denominou superfícies máximas devido a curvatura Gaussiana K ser
sempre positiva, e posteriormente por Van de Woestijne (1990)[21] que classificou todas as
superfícies mínimas regradas, de revolução e de translação conhecidas, definindo-as como sendo
tipo espaço quando a forma quadrática EG F2 0 e caso contrário, denominou-as de superfícies
Lorentzianas.
Aledo, Galvez (2003)[2] e Lopes(2002)[13] mostram que a partir das representações
3
de Weierstrass sobre cada superfície em se obtêm as parametrizações dos diversos tipos de
superfícies que constituem cada família em L 3 .
Lopes (2003, p.57)[12] demonstra que:
40
z 20
0
4 -4
2 -2
0 0
-2 2
x 4
y
-4
55
20
10
0
z -10
-20
4
2
0 -4
-2 -2
x 0
-4 2
4 y
As parametrizações a seguir não serão demonstradas neste trabalho. Tais formas são
descritas por Do Carmo(2005)[5], Kobayashi(1983)[11], Lopes(2002)[12], Tenenblat(1990)[20],
Van de Woestijne(1990)[21] e Walrave (1995, p.460[22]).
7.1 Catenóides
3
7.1.1 Catenóide em
3
FIGURA 7.4 Catenóide em .
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu 1 sinh 2 u cos 2 v sinh 2 u sin 2 v
1 sinh 2 u
E cosh 2 u
F Xu, Xv sinhu cos v cosh u sin v sinhu sin v cosh u cos v
F 0
G Xv, Xv 0 cosh 2 u sin 2 v cosh 2 u cos 2 v
G cosh 2 u
I q a2E 2abF b2G
58
b) II Forma Fundamental:
EG F2 cosh 2 u cosh 2 u 0 cosh 4 u
EG F2 cosh 2 u
c) Curvaturas:
c.1) Curvatura Gaussiana:
eg f2 1 1
K
EG F2 cosh 4 u
K 1
cosh 4 u
3
Como em todas as superfícies mínimas possuem curvatura gaussiana K 0,
todos os seus pontos são hiperbólicos.
59
Kn b2 a2 , a, b .
a 2 b 2 cosh 2 u
c.4) Curvaturas Principais:
k2 2Hk K 0
k2 2 0 k 1 0
cosh 4 u
k2 1 0
cosh 4 u
k2 1
cosh 4 u
k1 1 e k2 1
cosh 2 u cosh 2 u
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
gE eG u v 0
1 cosh 2 u 1 cosh 2 u 0
2 cosh 2 u u v 0
uv 0
u 0ev 0
As linhas de curvatura do catenóide são as curvas coordenadas - meridianos e
paralelos.
3
FIGURA 7.5 Linhas de curvatura do catenóide em .
60
e) Linhas Assintóticas
2 2
eu 2fu v gv 0
2 2
1 u 1v 0
2 2
v u
v u
Para v u :
v u 1
dv 1
dt
dv dt dv dt
v t
Para v u :
v u 1
dv 1
dt
dv dt dv dt
v t
Para u v
u v 1
du 1
dt
du dt
u t
Para u v
u v 1
du 1
dt
du dt
u t
Retornando a X u, v u, cosh u cos v, cosh u sin v , temos as linhas assintóticas:
C1 t t , cosh t cos t , cosh t sin t
C2 t t , cosh t cos t , cosh t sin t
onde , , e .
61
3
FIGURA 7.6 Linha assintótica do catenóide em .
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu 1 1 sin 2 v cosh 2 u cos 2 v cosh 2 u
1 cosh u sin 2 v cos 2 v
E sinh 2 u
F Xu, Xv 1 0 sin v cosh u sinhu cos v cos v cosh u sinhu sin v
F 0
G Xv, Xv 1 0 sinh 2 u cos 2 v sinh 2 u sin 2 v
sinh 2 u cos 2 v sin 2 v
G sinh 2 u
I q a2E 2abF b2G
a 2 sinh 2 u 2ab 0 b sinh 2 u
I q a2 b 2 sinh 2 u, a, b .
b) II Forma Fundamental:
EG F2 sinh 2 u sinh 2 u sinh 4 u
EG F2 sinh 2 u
c) Curvaturas:
c.1) Curvatura Gaussiana:
eg f 2 1 1 0
K
EG F 2 sinh 2 u sinh 2 u 0
K 1
sinh 4 u
Como todas as superfícies máximas em L 3 possuem curvatura gaussiana K 0,
todos os seus pontos são elíticos.
c.2) Curvatura Média:
1 eG 2fF Eg 1 1 sinh 2 u 0 1 sinh 2 u
H
2 EG F 2 2 sinh 4 u
H 0
c.3) Curvatura Normal:
II q
Kn
Iq
Kn a2 b2 , a, b
a b 2 sinh 2 u
2
k K 1
sinh 4 u
k1 k2 1
sinh 2 u
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
1 sinh 2 u 1 sinh 2 u u v 0
2 sinh 2 u u v 0
uv 0
u 0ev 0
As linhas de curvatura do catenóide de primeiro tipo são as curvas coordenadas -
meridianos e paralelos.
64
e) Linhas Assintóticas
2 2
eu 2fu v gv 0
2 2
1 u 1v 0
2 2
v u
v u
Para v u :
v u 1
dv 1
dt
dv dt dv dt
v t
Para v u :
v u 1
dv 1
dt
dv dt dv dt
v t
Para u v
u v 1
du 1
dt
du dt
u t
Para u v
u v 1
du 1
dt
65
du dt
u t
Retornando a X u, v , temos as linhas assintóticas:
C1 t t , sin t sinh t , cos t sinh t
C2 t t , sin t sinh t , cos t sinh t
onde , , e .
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu 1 sin 2 v sinh 2 u sin 2 v cosh 2 u 0
sin 2 v cosh 2 u sinh 2 u
E sin 2 v
F Xu, Xv 1 sin v sinhu cosh u cos v sin v cosh u sinhu cos v 0
F 0
G Xv, Xv 1 cosh 2 u cos 2 v sinh 2 u cos 2 v 1
1 cos 2 v cosh 2 u sinh 2 u
G sin 2 v
I q a2E 2abF b2G
a 2 sin 2 v 2ab 0 b 2 sin 2 v
I q a2 b 2 sin 2 v, a, b
b) II Forma Fundamental:
EG F2 sin 2 v sin 2 v sin 4 v
EG F2 sin 2 v
c) Curvaturas:
c.1) Curvatura Gaussiana:
eg f 2 1 1 0
K
EG F 2 sin 2 v sin 2 v
K 1
sin 4 v
c.2) Curvatura Média:
1 eG 2fF Eg 1 1 sin 2 v 0 1 sin 2 v
H
2 EG F 2 2 EG F2
H 0
c.3) Curvatura Normal:
II q
Kn
Iq
Kn a2 b2 , a, b .
a 2
b sin 2 v
2
k K 1
sin 4 v
k1 k2 1
sin 2 v
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
1 sin 2 u 1 sin 2 u u v 0
2
2 sin u u v 0
uv 0
68
u 0ev 0
As linhas de curvatura do catenóide de segundo tipo são as curvas coordenadas -
meridianos e paralelos.
e) Linhas Assintóticas
2 2
eu 2fu v gv 0
2 2
1 u 1v 0
2 2
v u
v u
Para v u :
v u 1
dv 1
dt
dv dt dv dt
v t
Para v u :
v u 1
dv 1
dt
dv dt dv dt
v t
Para u v
u v 1
du 1
dt
du dt
u t
Para u v
69
u v 1
du 1
dt
du dt
u t
Retornando a X u, v cosh u sin v, sin v sinhu, v , temos as linhas assintóticas:
C1 t cosh t sin t , sin t sinh t , t
C2 t cosh t sin t , sin t sinh t , t
onde , , e .
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu 1 cos v sin u, cos v cos u, 0 , cos v sin u, cos v cos u, 0
2 2
cos v sin u cos v cos u 02 cos 2 v sin 2 u cos 2 v cos 2 u
E cos 2 v
F Xu, Xv 1 cos v sin u cos u sin v cos u cos v sin u sin v
F 0
G Xv, Xv 1 cos 2 u sin 2 v sin 2 u sin 2 v 1
G cos 2 v
EG F2 cos 2 v cos 2 v 0 cos 4 v
Como a forma quadrática EG F2 0, onde podemos concuir que a referida
superfície não é tipo espaço.
O quadro abaixo compara os resultados obtidos para a família de catenóides.
3
Parâmetros Primeiro tipo em L 3 Segundo tipo em L 3
E cosh 2 u sinh 2 u sin 2 v
F 0 0 0
2 2
G cosh u sinh u sin 2 v
e 1 1 1
f 0 0 0
g 1 1 1
K 1 1 1
cosh 4 u sinh 4 u sin 4 v
Kn a2 b2 a2 b2 a2 b2
a2 b 2 cosh 2 u a 2
b 2 sinh 2 u a 2
b 2 sin 2 v
k1 1 1 1
cosh 2 u sinh 2 u sin 2 v
k2 1 1 1
cosh 2 u sinh 2 u sin 2 v
QUADRO 7.1 Comparativo da família de catenóides.
71
7.2 Helicóides
2
Definição 7.2 Sejam X u, v e X u, v , u, v U , superfícies simples.
Dizemos que X e X são superfícies isométricas, se para todo u, v U os coeficientes da
primeira forma quadrática de X e X coincidem, isto é, E u, v E u, v , F u, v F u, v ,
G u, v G u, v .
3
7.2.1 Helicóide em
3
FIGURA 7.14 Helicóide em .
72
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu cosh 2 u
F Xu, Xv 0
G Xv, Xv cosh 2 u
I q a2E 2abF b2G
I q a2 b 2 cosh 2 u, a, b .
Comparando os resultados obtidos acima com aqueles obtidos para o catenóide em
3
, percebe-se que E C EH cosh 2 u, F C FH 0 e GC GH cosh 2 u, caracterizando,
então, que as superfícies são localmente isométricas.
b) II Forma Fundamental:
73
c) Curvaturas:
c.1) Curvatura Gaussiana:
eg f 2
K
EG F 2
K 1
cosh 4 u
c.2) Curvatura Média:
H 1 eG 2fF Eg
2 EG F 2
H 0
c.3) Curvatura Normal:
II q
Kn
Iq
Kn 2ab , a, b .
a 2
b 2 cosh 2 u
c.4) Curvaturas Principais:
k2 2Hk K 0
k1 1 e k2 1
cosh 2 u cosh 2 u
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
cosh 2 u v 2
cosh 2 u u 2
2 2
u v
v u
Para v u :
v t
74
Para v u :
v t
Para u v
u t
Para u v :
u t
Retornando a X u, v sinhu cos v, sinhu sin v, v , temos as linhas de curvatura:
C1 t sinh t cos t , sinh t sin t , t
C1 t sinh t cos t , sinh t sin t , t
onde , , e .
3
FIGURA 7.16 Linha de curvatura do helicóide em .
e) Linhas Assintóticas
2 2
eu 2fu v gv 0
u v 0
As linhas assintóticas do helicóide são as curvas coordenadas - meridianos e
paralelos.
3
FIGURA 7.17 Linhas assintóticas do helicóide em .
75
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu 1 sinh 2 u
F Xu, Xv 1 0
G Xv, Xv 1 sinh 2 u
I q a2E 2abF b2G
I q a2 b 2 sinh 2 u, a, b
Comparando os resultados obtidos para o catenóide e para o helicóide de primeiro
tipo em L 3 , percebe-se que a isometria entre a família de catenóides e a família de helicóides, tipo
a tipo, existe também no espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski (MILANI, SHOJAEIFA,
2006[13]).
76
b) II Forma Fundamental:
EG F2 sinh 4 u
EG F2 sinh 2 u
e 1 X u X v , X uu 1 0
EG F 2
f 1 X u X v , X uv 1 1
EG F 2
g 1 X u X v , X vv 1 0
EG F 2
II q a2e 2abf b2g
II q 2ab, a, b .
c) Curvaturas:
c.1) Curvatura Gaussiana:
eg f 2
K
EG F 2
K 1
sinh 4 u
c.2) Curvatura Média:
H 1 eG 2fF Eg
2 EG F 2
H 0
c.3) Curvatura Normal:
II q
Kn
Iq
77
Kn 2ab , a, b .
a2 b 2 sinh 2 u
c.4) Curvaturas Principais:
k2 2Hk K 0
k1 k2 1
sinh 2 u
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
1 sinh 2 u u 2
1 sinh 2 u v 2
0
2 2 2 2
sinh u u sinh u v
2 2
u v
u v
Para v u :
v t
Para v u :
v t
Para u v
u t
Para u v
u t
Retornando a X u, v v, cos v cosh u, cosh u sin v , temos as linhas de
curvatura:
C1 t t , cos t cosh t , cosh t sin t
C2 t t , cos t cosh t , cosh t sin t
onde , , e .
e) Linhas Assintóticas:
2 2
eu 2f u v gv 0
2u v 0
uv 0
u 0ev 0
As linhas assintóticas do helicóide de primeiro tipo são as curvas coordenadas -
meridianos e paralelos
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu 1 cos 2 v cosh 2 u cos 2 v sinhu 1
1 cos 2 v cosh 2 u sinh 2 u
E sin 2 v
F Xu, Xv 1 cos v cosh u sinhu sin v cos v sinhu cosh u sin v
F 0
G Xv, Xv 1 sin 2 v sinh 2 u sin 2 v cosh 2 u 0
sin 2 v sinh 2 u cosh 2 u
G sin 2 v
I q a2E 2abF b2G
a 2 sin 2 v 2ab 0 b 2 sin 2 v
I q a2 b 2 sin 2 v, a, b
b) II Forma Fundamental:
EG F2 sin 2 v sin 2 v sin 4 v
EG F2 sin 2 v
e 1 X u X v , X uu 1 0
EG F 2
f 1 X u X v , X uv 1 1
EG F 2
g 1 X u X v , X vv 1 0
EG F 2
II q a2e 2abf b2g
II q 2ab, a, b
c) Curvaturas:
c.1) Curvatura Gaussiana:
eg f 2
K
EG F 2
K 1
sin 4 v
c.2) Curvatura Média:
H 1 eG 2fF Eg
2 EG F 2
H 0
80
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
2 2 2 2
1 sin v u 1 sin v v 0
sin 2 u u 2
sin 2 u v 2
2 2
u v
u v
Para v u :
v t
Para v u :
v t
Para u v :
u t
Para u v :
u t
Retornando a X u, v cos v sinhu, cos v cosh u, u , temos as linhas de curvatura:
C1 t cos t sinh t , cos t cosh t , t
C2 t cos t sinh t , cos t cosh t , t
onde , , e .
81
e) Linhas Assintóticas
2 2
eu 2f u v gv 0
2 1 u v 0
u 0ev 0
As linhas de curvatura do helicóide tipo 2 são as curvas coordenadas - meridianos e
paralelos.
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu 1 1
F Xu, Xv 1 0
G Xv, Xv 1 u2 1
EG F2 1 u2 1 u2 1
Como a forma quadrática EG F2 0, esta não é uma superfície tipo espaço.
O quadro abaixo compara os resultados obtidos para a família de helicóides.
3
Parâmetros Primeiro tipo em L 3 Segundo tipo em L 3
E cosh 2 u sinh 2 u sin 2 v
F 0 0 0
2 2
G cosh u sinh u sin 2 v
e 0 0 0
f 1 1 1
g 0 0 0
K 1 1 1
cosh 4 u sinh 4 u sin 4 v
Kn 2ab 2ab 2ab
a2 b 2 cosh 2 u a2 b 2 sinh 2 u a2 b 2 sin 2 u
k1 1 1 1
cosh 2 u sinh 2 u sin 2 v
k2 1 1 1
cosh 2 u sinh 2 u sin 2 v
QUADRO 7.2 Comparativo da família de helicóides
3
7.3.1 Superfície de Enneper em
3
A superfície de Enneper em é a superfície parametrizada
3 3
X u, v u uv 2 , v v
u vu 2 , u 2 v 2 , u, v 2
.
3 3
De acordo com Do Carmo(2005, p.243)[5], a verificação de que a superfície de
Enneper é uma superfície mínima não apresenta maiores dificuldades. Ao se trocar u, v por
v, u , troca-se, na superfície x, y, z por y, x, z . Assim, ao se efetuar uma rotação positiva de
em torno do eixo Oz seguida de uma simetria no plano xy, a superfície permanece invariante.
2
83
3
FIGURA 7.26 Superfície de Enneper em .
a) I Forma Fundamental:
2
E Xu, Xu u2 v2 1
F Xu, Xv 0
G Xv, Xv u2 v2 1 2
b) II Forma Fundamental:
4
EG F2 u2 v2 1
2
EG F2 u2 v2 1
e 1 X u X v , X uu 2
EG F 2
f 1 X u X v , X uv 0
EG F 2
g 1 X u X v , X vv 2
EG F 2
II q a2e 2abf b2g
II q 2 a2 b 2 , a, b .
c) Curvaturas:
84
H 1 eG 2fF Eg
2 EG F 2
H 0
c.3) Curvatura Normal:
II q
Kn
Iq
2 a2 b2
Kn 2
, a, b .
a2 b2 u2 v2 1
c.4) Curvaturas Principais:
k2 2Hk K 0
k1 2 e k2 2
2 2 2
u v2 1 u 2
v2 1
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
2 2
2 u2 v2 1 2 u2 v2 1 uv 0
2
4 u2 v2 1 uv 0
uv 0
u v 0
3
As linhas de curvatura da superfície de Enneper em são as curvas coordenadas -
meridianos e paralelos.
3
FIGURA 7.27 Linhas e curvatura da superfície de Enneper em .
85
e) Linhas assintóticas
2 2
eu 2fu v gv 0
2 2
2u 2 v 0
2 2
2u 2v
v u
Para v u :
v t
Para v u :
v t
Para u v:
u t
Para u v:
u t
Retornando a X u, v u u3 uv 2 , v v3 vu 2 , u 2 v 2 , temos as linhas
3 3
assintóticas:
3 3
t 2 t 2
C1 t t t t , t t t ,
3 3
2 2
t t
3 3
t 2 t
C2 t t t t , t t
3 3
2 2 2
t , t t
onde , , e .
3
FIGURA 7.28 Linha assintótica da superfície de Enneper em .
a) I Forma Fundamental:
2
E Xu, Xu 1 u2 v2 1
F Xu, Xv 1 0
2
G Xv, Xv 1 u2 v2 1
I q a2E 2abF b2G
2
I q a2 b2 u2 v2 1 , a, b .
b) II Forma Fundamental:
4
EG F2 u2 v2 1
2
EG F2 u2 v2 1
e 1 X u X v , X uu 1 2
EG F 2
f 1 X u X v , X uv 1 0
EG F 2
g 1 X u X v , X vv 1 2
EG F 2
II q a2e 2abf b2g
II q 2 a2 b 2 , a, b .
87
c) Curvaturas:
c.1) Curvatura Gaussiana:
eg f2
K
EG F2
K 4
4
u2 v2 1
c.2) Curvatura Média:
H 1 eG 2fF Eg
2 EG F 2
H 0
c.3) Curvatura Normal:
II q
Kn
Iq
2 a2 b2
Kn 2
, a, b .
a2 b2 u2 v2 1
c.4) Curvaturas Principais:
k2 2Hk K 0
k1 k2 2
2
u2 v2 1
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
2 2
2 u2 v2 1 2 u2 v2 1 uv 0
2
4 u2 v2 1 uv 0
uv 0
u v 0
As linhas de curvatura da superfície de Enneper de primeiro tipo são as curvas
coordenadas - meridianos e paralelos.
88
e) Linhas assintóticas
2 2
eu 2fu v gv 0
2 2
2u 2v 0
2 2
2u 2v
v u
Para v u :
v t
Para v u :
v t
Para u v :
u t
Para u v :
u t
Retornando a X u, v u2 v2, u u3 uv 2 , v u2v v3 , temos as linhas
3 3
assintóticas:
3
2 2 t 2 2
C1 t t t , t t t , t t
3
3
t
t
3
3
2 2 t 2
C2 t t t , t t v2, t t
3
3
t
t
3
onde , , e .
89
É a superfície parametrizada
X u, v 2uv, v u2v v3 , u3 uv 2 u
3 3
a) I forma fundamental
2
E Xu, Xu 1 u2 v2 1
F Xu, Xv 1 0
2
G Xv, Xv 1 u2 v2 1
I q a2E 2abF b2G
2
I q u2 v2 1 a2 b 2 , a, b
90
b) II forma fundamental
4
EG F2 u2 v2 1
2
EG F2 u2 v2 1
e 1 X u X v , X uu 1 0
EG F 2
f 1 X u X v , X uv 1 2
EG F 2
g 1 X u X v , X vv 1 0
EG F 2
II q a2e 2abf b2g
II q 4ab, a, b
c) Curvaturas:
c.1) Curvatura Gaussiana:
eg f2
K
EG F2
K 4 , u2 v2 1.
2 4
u v2 1
c.2) Curvatura Média:
H 1 eG 2fF Eg
2 EG F 2
H 0
c.3) Curvatura Normal:
II q
Kn
Iq
Kn 4ab , a, b .
2
u2 v2 1 a2 b2
c.4) Curvaturas Principais:
k2 2Hk K 0
k1 k2 2 , u2 v2 1.
2 2
u v2 1
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
v u
Para v u :
91
v t
Para v u :
v t
Para u v
u t
Para u v
u t
Retornando a X u, v 2uv, v u2v v3 , u3 uv 2 u , temos as linhas
3 3
assintóticas:
3 3
2 t t 2
C1 t 2t t , t t t , t t
3 3
t
3 3
2 t t
C2 t 2 t t , t t t , t t
3 3
t
onde , , e .
e) Linhas assintóticas
2 2
eu 2fu v gv 0
u v 0
As linhas assintóticas da superfície de Enneper conjugada de segundo tipo são as
curvas coordenadas - meridianos e paralelos.
92
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu 1 4u 2
F Xu, Xv 1 0
G Xv, Xv 1 4u 2
I q a2E 2abF b2G
I q 4u 2 a 2 b 2 , a, b .
93
b) II Forma Fundamental:
EG F2 4u 2 4u 2 16u 4
EG F2 4u 2
e 1 X X v , X uu 1 2
u
4u 2
f 1 X u X v , X uv 1 0
EG F 2
g 1 X u X v , X vv 1 2
EG F 2
II q a2e 2abf b2g
II q 2 a2 b 2 , a, b
c) Curvaturas:
c.1) Curvatura Gaussiana:
eg f 2
K
EG F 2
K 1 , u 0.
4u 4
c.2) Curvatura Média:
H 1 eG 2fF Eg
2 EG F 2
H 0
c.3) Curvatura Normal:
II q
Kn
Iq
Kn a 2 b 2 , a, b .
2u a 2 b 2
2
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
2 4u 2 2 4u 2 u v 0
uv 0
u v 0
As linhas de curvatura da superfície de Enneper de segundo tipo são as curvas
coordenadas - meridianos e paralelos.
94
e) Linhas assintóticas
2 2
eu 2fu v gv 0
2 2
2u 2v 0
2 2
2u 2v
v u
Para v u :
v t
Para v u :
v t
Para u v
u t
Para u v
u t
Retornando a X u, v u3 uv 2 u, u u3 uv 2 , 2uv , temos as linhas
3 3
assintóticas:
3 3
t 2 t 2
C1 t t t 1, t 1 t , 2t t
3 3
3
2 2 t 2
C2 t t t , t t v2, t t
3
3
t
t
3
onde , , e .
95
É a superfície parametrizada
X u, v u2v v3 v, v u2v v3 , u2 v2
3 3
a) I forma fundamental
E Xu, Xu 1 4u 2
F Xu, Xv 1 0
G Xv, Xv 1 4u 2
I q a2E 2abF b2G
I q 4u 2 a 2 b 2 , a, b
96
b) II forma fundamental
EG F2 16u 4
EG F2 4u 2
e 1 X u X v , X uu 1 0
EG F 2
f 1 X u X v , X uv 1 2
EG F 2
g 1 X u X v , X vv 1 0
EG F 2
II q a2e 2abf b2g
II q 4ab, a, b
c) Curvaturas:
c.1) Curvatura Gaussiana:
eg f 2
K
EG F 2
K 1 , u 0.
4u 4
c.2) Curvatura Média:
H 1 eG 2fF Eg
2 EG F 2
H 0
c.3) Curvatura Normal:
II q
Kn
Iq
Kn ab , a, b .
u2 a2 b2
c.4) Curvaturas Principais:
k2 2Hk K 0
k1 k2 1 ,u 0.
2u 2
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
v u
Para v u :
v t
Para v u :
97
v t
Para u v
u t
Para u v
u t
Retornando a X u, v u2v v3 v, v u2v v3 , u2 v 2 , temos as linhas
3 3
assintóticas:
3 3
2 t 2 t 2
C1 t t t t , t t t , t
3 3
2
t
3 3
2 t 2 t
C2 t t t t , t t t ,
3 3
2 2
t t
onde , , e .
e) Linhas assintóticas
2 2
eu 2fu v gv 0
u v 0
As linhas assintóticas da superfície de Enneper conjugada de segundo tipo são as
curvas coordenadas - meridianos e paralelos.
98
a) I Forma Fundamental:
Para a parametrização desta superfície, Van de Woestijne utilizou a assinatura da
2
métrica dx dy 2 dz 2 .
E Xu, Xu 1 4v 2
F Xu, Xv 1 0
G Xv, Xv 1 0
EG F2 0, logo, a superfície de Enneper de terceiro tipo não é uma superfície tipo espaço.
O quadro seguinte compara os valores obtidos para as superfícies de Enneper.
99
3
Parâmetros Primeiro tipo em L 3 Conj. de 1 o . tipo em L 3
E u2 v2 1 2
u2 v2 1 2
u2 v2 1 2
F 0 0 0
G u2 v2 1 2
u2 v2 1 2
u2 v2 1 2
e 2 2 0
f 0 0 2
g 2 2 0
K 4 4 4
u2 v2 1 4 u2 v21 4 u2 v2 1 4
2 a2 b2 2 a2 b2 4ab
Kn
a2 b2 u2 v2 1 2
a2 b2 u2 v2 1 2
a2 b2 u2 v2 1 2
k1 2 2 2
u2 v2 1 2 u2 v2 1 2 u2 v2 1 2
k2 2 2 2
u2 v2 1 2 u2 v2 1 2 u2 v2 1 2
3
7.4.1 Superfície de Scherk em
3
FIGURA 7.42 Superfície de Scherk em .
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu sec 2 u
F Xu, Xv tan u tan v
G Xv, Xv sec 2 v
I q a2E 2abF b2G
I q a 2 sec 2 u 2ab tan u tan v b 2 sec 2 v , a, b .
b) II Forma Fundamental:
EG F2 sec 2 u tan 2 v
EG F2 sec 2 u tan 2 v
e 1 X u X v , X uu sec 2 u
EG F 2 sec 2 u tan 2 v
f 1 X u X v , X uv 0
EG F 2
g 1 Xu X v , X vv sec 2 v
EG F 2 sec 2 u tan 2 v
II q a2e 2abf b2g
II a 2 sec 2 u b 2 sec 2 v , a, b .
q
sec 2 u tan 2 v
c) Curvaturas:
c.1) Curvatura Gaussiana:
101
eg f2
K
EG F2
K sec 2 u sec 2 v
2
sec 2 u tan 2 v
c.2) Curvatura Média:
H 1 eG 2fF Eg
2 EG F 2
H 0
c.3) Curvatura Normal:
II q
Kn
Iq
Kn a 2 sec 2 u b 2 sec 2 v
a 2 sec 2 u 2ab tan u tan v b 2 sec 2 v sec 2 u tan 2 v
Tomando o ponto de sela q u, v 0, 0 , tem-se que:
2 2
Kn a b , a, b .
a2 b2
c.4) Curvaturas Principais:
k2 2Hk K 0
k1 sec u sec v e k sec u sec v
2
sec 2 u tan 2 v sec 2 u tan 2 v
No ponto q u, v 0, 0 , tem-se que
k1 1 e k2 1
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
2u v 0
u v 0
3
As linhas de curvatura da superfície de Scherk em são as curvas coordenadas -
meridianos e paralelos.
3
FIGURA 7.43 Linhas e curvatura da superfície de Scherk em .
102
e) Linhas assintóticas
2 2
eu 2fu v gv 0
sec 2 u u 2
sec 2 v v 2
u v
Para v u :
v t
Para v u :
v t
Para u v :
u t
Para u v:
u t
Retornando a X u, v cos v
u, v, log cos , temos as linhas assintóticas:
u
cos t
C1 t t ,t , log
cos t
cos t
C2 t t , t , log
cos t
onde , , e .
3
FIGURA 7.44 Linha assintótica da superfície de Scherk em .
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu 1 1 tanh 2 u 0
F Xu, Xv 1 tanh v tanh u
G Xv, Xv 1 1 tanh 2 v 0
I q a2E 2abF b2G
I q a2 1 tanh 2 u 2ab tanh v tanh u b2 1 tanh 2 v , a, b .
b) II Forma Fundamental:
EG F2 1 tanh 2 u tanh 2 v 0 nas condições impostas acima.
e 1 X u X v , X uu 1 tanh 2 u 1
EG F 2 1 tanh 2 u tanh 2 v
f 1 X u X v , X uv 1 0
EG F 2
g 1 Xu X v , X vv 1
tanh 2 v 1
EG F 2 1 tanh 2 u tanh 2 v
2 2
II q a e 2abf b g
a 2 tanh 2 u 1 b2 1 tanh 2 v
II q , a, b .
1 tanh 2 u tanh 2 v
c) Curvaturas:
104
eg f 2
K
EG F 2
K sech 2 u sech 2 v
2
tanh 2 u tanh 2 v 1
No ponto q u, v 0, 0 , tem-se que K 1.
c.2) Curvatura Média:
H 1 eG 2fF Eg
2 EG F 2
H 0
c.3) Curvatura Normal:
II q
Kn
Iq
a 2 tanh 2 u 1 b2 1 tanh 2 v
Kn
a2 1 tanh 2 u 2ab tanh v tanh u b2 1 tanh 2 v 1 tanh 2 u tanh 2 v
No ponto q u, v 0, 0 , tem-se que:
2 2
Kn a b , a, b .
a2 b2
c.4) Curvaturas Principais:
k2 2Hk K 0
k1 k2 sech u sech v
tanh u tanh v 1
d) Linhas de Curvatura:
2 2
fE eF u gE eG u v gF fG v 0
tanh 2 v 1 tanh v tanh u 2
v 0
2 2
1 tanh u tanh v
Em q u, v 0, 0 , tem-se: 2u v 0
u 0ev 0
As linhas de curvatura da superfície de Scherk de primeiro tipo são as curvas
coordenadas - meridianos e paralelos.
105
e) Linhas Assintóticas
2 2
eu 2fu v gv 0
tanh 2 u 1 u 2 tanh 2 v 1 v 2
0
tanh 2 u tanh 2 v 1 1 tanh 2 u tanh 2 v
Tomando-se q u, v 0, 0
2 2
u v 0
v u
Para v u :
v t
Para v u :
v t
Para u v:
u t
Para u v:
u t
Retornando a X u, v u, v, log cosh v , temos as linhas assintóticas:
cosh u
cosh t
C1 t t ,t , log
cosh t
cosh t
C2 t t , t , log
cosh t
onde , , e .
106
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu 1 1 coth2 u 0
F Xu, Xv 1 tanh v cothu
G Xv, Xv 1 1 tanh 2 v 0
2 2 2
EG F 1 coth u tanh v 0
O valor assumido por EG F2 0 indica que a superfície de Scherk de segundo tipo
não é uma superfície tipo espaço.
107
a) I Forma Fundamental:
E Xu, Xu 1 1 coth2 u
F Xu, Xv 1 cothv cothu
G Xv, Xv 1 1 coth2 v
Iq a2E 2abF b2G
Iq a2 1 coth2 u 2ab cothv cothu b2 1 coth2 v
b) II Forma Fundamental:
EG F2 1 coth2 u coth2 v 0
Logo, a referida superfície não é tipo espaço.
3
O quadro abaixo compara os valores obtidos para as superfícies de Scherk em e
tipo 1 em L 3 .
108
3
Parâmetros Tipo 1 em L 3
E sec 2 u sech 2 u
F tan u tan v tanh u tanh v
G sec 2 v sech 2 v
e sec 2 u sech 2 u
sec 2 u tan 2 v 1 tanh 2 u tanh 2 v
f 0 0
g sec 2 u sech 2 v
sec 2 u tan 2 v 1 tanh 2 u tanh 2 v
K 1 1
2 2 2 2
Kn a b , a, b a b , a, b
a2 b2 a2 b2
k1 1 1
k2 1 1
Calculadas para o ponto q u, v 0, 0
QUADRO 7.4 Comparativo da família de superfícies de Scherk.
109
Xuu {D[Xu[[1]],u],D[Xu[[2]],u],D[Xu[[3]],u]}
"Xuv "
Xuv {D[Xu[[1]],v],D[Xu[[2]],v],D[Xu[[3]],v]}
"Xvv "
Xvv {D[Xv[[1]],v],D[Xv[[2]],v],D[Xv[[3]],v]}
"Produto vetorial em L3 entre u {u1,u2,u3} e v {v1,v2,v3}"
Clear[CrossMinko,DotMinko,NormaMinko,vetor1,vetor2]
CrossMinko[vetor1_,vetor2_]: Simplify[{vetor1[[3]]*vetor2[[2]]-vetor1[[2]]*vetor2[[3]],
vetor1[[3]]*vetor2[[1]]-vetor1[[1]]*vetor2[[3]],vetor1[[1]]* vetor2[[2]]-vetor1[[2]]*vetor2[[1]]}]
"Produto escalar de vetor1 e vetor2 em L3"
DotMinko[vetor1_,vetor2_]: Simplify[-(vetor1[[1]]*vetor2[[1]]) vetor1[[2]]*vetor2[[2]]
vetor1[[3]]*vetor2[[3]]]
"Norma em L3"
NormaMinko[vetor1_,vetor2_]: Simplify[Sqrt[Abs[-(vetor1[[1]]*vetor2[[1]]) vetor1[[2]]*vetor2[[
vetor1[[3]]*vetor2[[3]]]]]
"Vetor normal da superfície X(u,v) no espaço L3"
"Xu "
Xu
"Xv "
Xv
" produto vetorial em L3 para Xu e Xv"
norma Simplify[CrossMinko[Xu,Xv]]
"Norma em L3"
norma Simplify[NormaMinko[norma,norma]]
"Vetor normal da Superfície X[u,v]"
"NX"
NX Simplify[CrossMinko[Xu,Xv]/norma]
"Verificação se o vetor normal é do tipo tempo"
"NT"
NT Simplify[DotMinko[NX,NX]]
"Coeficientes da primeira forma fundamental"
"Xu "
Xu
"Xv "
Xv
"E"
111
E1 DotMinko[Xu,Xu]
"F "
F1 DotMinko[Xu,Xv]
"G "
G1 DotMinko[Xv,Xv]
"Coeficientes da segunda forma fundamental"
"e "
L1 DotMinko[Xuu,NX]
"f "
M1 DotMinko[Xuv,NX]
"g "
N1 DotMinko[Xvv,NX]
"Determinação da I Forma Fundamental"
"PFF"
Simplify[PFF a^2*E1 2*a*b*F1 b^2*G1]
"Determinação da II Forma Fundamental"
"SFF"
Simplify[SFF a^2*L1 2*a*b*M1 b^2*N1]
"Verificação do sinal da forma quadrática Q EG-F^2"
"Q "
Simplify[E1*G1-F1^2]
Cálculo das curvatura "
"Curvatura Gaussiana "
"KG "
Simplify[KG (M1^2 - L1*N1)/((E1*G1 - F1^2)]
"Curvatura Média "
"KM "
Simplify[KM -1/2*((((L1*G1 - 2*M1*F1 E1*N1)/( E1*G1 - F1^2))]
"Curvatura Normal"
"KN "
Simplify[SFF/PFF]
"Curvaturas Principais"
"KP1 "
Simplify[KP1 KM Sqrt(KM^2 KG)]
"KP1 "
Simplify[KP1 KM - Sqrt(KM^2 KG)]
112
Convém ressaltar que o programa acima foi feito para ser utilizado com a
pseudo-métrica u1, u2, u3 , v1, v2, v3 u1v1 u2v2 u3v3. Para o uso de
u1, u2, u3 , v1, v2, v3 u1v1 u2v2 u 3 v 3 , como o feito em algumas superfícies aqui citadas,
torna-se necessário efetuar pequenas modificações em algumas linhas do programa.
ParametricPlot3D[heltocat[3Pi/10][
u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},
Boxed- False,Axes- False,AspectRatio- 1,ViewPoint-
{ 0.880, 0.000, -2.060}]
ParametricPlot3D[heltocat[2Pi/5][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},
Boxed- False,Axes- False,AspectRatio- 1,
ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}]
ParametricPlot3D[heltocat[Pi][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},Boxed-
False,Axes- False,AspectRatio- 1,ViewPoint- {0.880,
0.000, -2.060}]
CONCLUSÃO
BIBLIOGRAFIA
[1] AKUTAGAWA, K.; NISHIKAWA, S. The Gauss Map and Spacelike Surfaces with
Prescribe Mean Curvature in Minkowski 3-Space. Tôhoku Math. J., Tôhoku(Jp),
n. 42, p.67-82, 1990.
[3] BOLDRINI, J. L., et al. Álgebra Linear. 3 a . edição. São Paulo: Editora Harbra,
1980. 411 p.
[12] LOPES, C. M. C. Superfícies do tipo espaço com vetor curvatura média nulo em
L3 e L4. 2002. 98 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Instituto de
Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, São Paulo(SP).