Universidade Estadual do Maranhão – UEMA

Pró – Reitoria de Graduação - PROG

Centro de Educação, Ciências Exatas e Naturais – CECEN
Departamento de Matemática e Informática – DEMATI
Curso de Matemática Licenciatura – CMAT

ELMA MARREIROS NEVES

A CONJECTURA DE POINCARÉ: UMA ABORDAGEM ELEMENTAR

São Luís – MA
2015
 ELMA MARREIROS NEVES

A CONJECTURA DE POINCARÉ: UMA ABORDAGEM ELEMENTAR

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado na

Universidade Estadual do Maranhão - UEMA para
obtenção do título de licenciada em Matemática.

Orientador: Prof.º Ms. Carlos Cesar Pereira de

Almeida

São Luís - MA
2015
 ELMA MARREIROS NEVES

A Conjectura de Poincaré: Uma abordagem elementar

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado ao Curso de Matemática
Licenciatura da Universidade Estadual do
Maranhão como requisito parcial à
conclusão do curso.

Aprovada em _____ de ___________________ de ________.

BANCA EXAMINADORA:

_____________________________________________________
Profº. Ms. Carlos Cesar Pereira de Almeida
Professor Orientador
UEMA – Campus Universitário Paulo VI

_____________________________________________________
Profº. Ms. Francisco Pinto Lima
Professor Examinador
UEMA – Campus Universitário Paulo VI

______________________________________________________
Profº. Esp. Carlindo Lisboa Alves
Professor Examinador
UEMA – Campus Universitário Paulo VI
À minha família e amigos, pela
compreensão e apoio durante estes
anos.
Dedico
 AGRADECIMENTOS

Agradeço à Deus que me ajudou a superar diversos obstáculos até aqui.

A minha família, principalmente a minha mãe Maria e ao meu pai José, aos meus
irmãos Sílvia e João Pedro que estiveram ao meu lado durante esta jornada.
A todos meus professores pela paciência e compreensão diante de diversos
deslizes no decorrer do curso.
Ao meu orientador Prof.º Ms. Carlos Cesar Pereira de Almeida pelo apoio e
comprometimento para o desenvolvimento deste trabalho.
Aos amigos Jaerlyson, Ribamar Jr. e Gleycy pelos momentos únicos de
descontração.
As amigas que para mim são como irmãs Francilene e Lucinalva, com quem
compartilhei bons e maus momentos, durante estes últimos anos nossas conversas foram
fonte de forças para não desistir e continuar seguindo em frente superando uma
dificuldade atrás da outra. Não posso deixar de citar dona Lucinete (tia da lanchonete),
por todos os concelhos e também pelos lanches “pendurados”.
Obrigada a todos.
“Faz-se ciência com os fatos, como se faz uma casa com pedras; mas uma acumulação
de fatos não é ciência, assim como um monte de pedras não é uma casa.”
Poincaré

“Não há ramo da Matemática, por abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser
aplicado aos fenômenos do mundo real.”
Lobachevsky

“Complicações surgiram, continuaram e foram superadas.”

Capitão Jack Sparrow
 Resumo

O principal objetivo deste trabalho foi esclarecer as noções básicas do enunciado

da Conjectura de Poincaré, assim como sua demonstração pelo matemático russo Grigori
Perelman de forma elementar. A Conjectura de Poincaré afirma que qualquer variedade
fechada tridimensional, compacta, sem bordo e simplesmente conexa é homeomorfa à
esfera tridimensional. Este problema desencadeou inúmeras discussões e uma delas é a
sua importância em particular, para o estudo sobre a forma do universo. Neste trabalho,
nos restringiremos apenas aos conceitos elementares da conjectura.

Palavras-chave: Topologia, Geometria Diferencial

 Abstract

The main objective of this study was to clarify the basics of the statement of
the Poincaré Conjecture, as well as their demonstration by Russian mathematician Grigori
Perelman's elementary form. The Poincaré Conjecture states that any closed three-
dimensional variety, compact, without boundary and simply connected is homeomorphic
to the three-dimensional sphere. This issue sparked numerous discussions and one of
them is its importance in particular for the study of the shape of the universe. In this paper,
we restrict ourselves only to the elementary concepts of conjecture.

Keywords:Topology, Diferential Geometry

 SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 10

CAPÍTULO 1 .......................................................................................................................... 11

TOPOLOGIA .................................................................................................................. 11

CAPÍTULO 2 .......................................................................................................................... 12

VARIEDADES ................................................................................................................ 12

2.1 A importância das variedades ........................................................................... 13

2.2 Classificação de variedades ............................................................................... 14

2.3 Variedades equivalentes .................................................................................... 15

2.4 Classificação de variedades (superfícies) e dimensões superiores............... 16

2.5 Dimensões superiores......................................................................................... 17

2.6 Variedade simplesmente conexa....................................................................... 18

2.7 O universo é uma variedade simplesmente conexa? ...................................... 18

CAPÍTULO 3 .......................................................................................................................... 20

A CONJECTURA DE POINCARÉ ........................................................................... 20

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................... 23

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................... 24

APÊNDICE .............................................................................................................................. 26

FLUXO DE RICCI .................................................................................................... 26

 INTRODUÇÃO

A Conjectura de Poincaré é um dos problemas mais famosos da matemática

moderna, sendo considerado um dos sete problemas do Milênio. A Conjectura de
Poincaré surgiu posteriormente a sequência de uma outra conjectura formulada pelo
matemático francês Henri Poincaré em 1900 e que foi refutada pelo próprio Poincaré
em 1904.
A Conjectura de Poincaré tem como objeto de estudo as variedades
tridimensionais fechadas envolvendo conceitos topológicos e afirma que qualquer
variedade fechada de dimensão três, compacta, sem bordo e simplesmente conexa é
homeomorfa à esfera de dimensão três.
Diante deste complexo problema, surgiram diversos personagens de diversas
regiões do mundo seduzidos pelo problema e dispostos a se aventurar em busca de
respostas. No entanto ficava cada vez mais difícil a demonstração da conjectura, já
que surgiam inúmeras dificuldades e empecilhos que impediam sua solução.
Após todos os esforços para solucionar esse problema que permaneceu sem
solução durante cem anos desde sua formulação, surge um personagem que daria fim
ao ciclo de tentativas frustradas, o matemático russo Grigory Perelman que provou a
Conjectura de Poincaré utilizando o fluxo de Ricci.
O objetivo deste trabalho é esclarecer as noções básicas do enunciado da
Conjectura de Poincaré e de sua demonstração por Perelman de maneira elementar,
para promover a divulgação da conjectura e sua importância tanto na vida cotidiana
como na científica.
Neste trabalho apresentaremos os conceitos básicos de Topologia e
Geometria Diferencial necessários à compreensão do problema de Poincaré e dos
métodos utilizados por Perelman para solucionar o problema.

10
 CAPÍTULO 1

TOPOLOGIA

Apesar de utilizar os mesmos objetos que a Geometria, a Topologia desconsidera

a distância, a disposição dos pontos e mesmo os ângulos.
A Topologia é o ramo da Matemática que estuda as propriedades geométricas
das figuras (objetos) que não sofrem variação quando estas são submetidas a
deformações, torções sem se romper, transformando-se em outras, através de funções
contínuas reversíveis sendo equivalentes entre si. Essas propriedades (ou características)
são chamadas de invariantes topológicos especificadas como conexidade, orientabilidade,
compacidade e dimensionalidade. As deformações sofridas recebem o nome de
homeomorfismo, pelo qual é possível classificar as figuras (objetos) topologicamente.
A topologia é um tipo de abstração da geometria euclidiana, e também uma
estrutura natural para o estudo da continuidade. A geometria euclidiana é abstraída com
respeito a triângulos, círculos e quadrados como sendo o mesmo objeto básico. A entrada
da continuidade não diz na nossa mente que uma deformação contínua de um triângulo
em um quadrado ou em um círculo, ou em qualquer outra forma arbitraria.
Por outro lado, um disco com um furo no centro é topologicamente diferente de
um círculo ou quadrado, porque não podemos criar ou destruir o furo por deformação
contínua. Assim, usando métodos topológicos não podemos ser capazes de identificar
uma figura como sendo um triângulo ou quadrado. No entanto, somos capazes de detectar
a presença de características grosseiras, tais como furos ou o fato de que a figura é
constituída de partes disjuntas, etc. Desta maneira a topologia produz teoremas que
normalmente são qualitativos em natureza, eles podem afirmar, por exemplo, a existência
ou não-existência de um objeto. Eles não irão, em geral, dar os meios para sua construção.

11
 CAPÍTULO 2

VARIEDADES

Variedade é uma tradução de “Manifold” em inglês, e significa uma superfície

com várias dimensões.
Uma variedade é um espaço no qual podemos escrever a posição dos pontos
através de coordenadas e o número de coordenadas necessárias para localizar pontos
nesse espaço é chamado de dimensão da variedade.
Por exemplo, para localizar qualquer ponto na Terra precisamos de duas
coordenadas, latitude e longitude. Logo a Terra é uma variedade bidimensional.
Para variedades de dimensão baixa, como dimensão um e dois, nós temos
palavras específicas, tais como, para variedade de dimensão um chamamos de curva e
para variedade de dimensão dois chamamos de superfície.
Mesmo havendo várias distinções, é conveniente distinguir duas classes de
variedades mais básicas como variedade aberta e variedade fechada.
Pode-se dizer que uma variedade é aberta quando traçamos um caminho no qual
uma partícula pode se deslocar livremente indo em direção ao infinito, como é o caso do
cilindro, já para variedade fechada isso não acontece, pois se traçarmos um caminho
aleatório a partícula não poderá deslocar-se para infinito, tendo que voltar sobre si mesmo,
portanto é obrigado a se auto-acumular, um exemplo disso é o toro.

Figura 01: Viana, Marcelo. Conjectura de Poincaré para entender o universo. O cilindro à esquerda é uma
variedade aberta e o toro é uma variedade fechada, 2007.

12
 2.1 A importância das variedades

Quando queremos modelar um fenômeno natural, introduzimos um espaço que

descreve os estados possíveis do fenômeno que queremos modelar e uma lei de evolução
que descreva como é que o fenômeno evolui no decorrer do tempo. Na maioria dos
modelos, o espaço de estados é uma variedade.
Por exemplo, um dos modelos (sistemas físicos) mais simples da mecânica que
existem é o pêndulo simples, o estado do pêndulo é descrito por duas variáveis, ou seja,
se quisermos descrever os estados possíveis do pêndulo, precisamos primeiramente de
um número que descreva o ângulo que o pêndulo está fazendo com relação à vertical, esse
número é uma coordenada angular para descrever a posição do pêndulo que
representamos pela letra θ (teta), no entanto precisamos de uma segunda informação para
descrever o estado do pêndulo que é a velocidade com que o pêndulo está oscilando, ou
seja, a velocidade angular, que representamos pela letra ω (ômega).
Portanto, o espaço de estado do pêndulo corresponde a uma dupla (ângulo (θ),
velocidade (ω)), logo esse espaço de duplas pode ser representado como cilindro. Assim,
o espaço de estado do pêndulo simples é um cilindro.
Outra razão para explicar porque que é importante estudar as variedades e
entender que variedades existem é que vivemos dentro de uma variedade, o universo, que
de acordo com o modelo da mecânica relativística, é uma variedade de dimensão 4,
caracterizado por 3 coordenadas espaciais e 1 coordenada temporal (modelo da
relatividade), existem outros modelos, em particular na física quântica, com números de
dimensões maiores, e em teoria das cordas, que descreve o universo como ainda sendo
uma variedade, entretanto com dimensões maiores como 11, 12, etc., mas nos
restringiremos apenas ao modelo da relatividade por ser o mais aceito atualmente.
Muitos cientistas consideram que a maior pergunta em aberto na ciência atual é
se essa variedade na qual vivemos, o universo, é uma variedade aberta ou fechada.
Segundo os modelos físicos atuais esse problema depende de conhecer a quantidade de
massa (matéria) que o universo contém, ou seja, se a massa for suficientemente grande,
isso implica que o universo é fechado, caso contrário, o universo é aberto.
Esse tipo de problema, é um problema que matemáticos não podem resolver,
pois não é competência dos matemáticos determinar se o universo possui massa suficiente
ou não, o que os matemáticos podem fazer para colaborar é fornecer informação sobre
que tipos de variedades existem.

13
 Figura 02: JUNIOR, Antonio Carlos Martinho. Cosmologia. Nebulosa cabeça de cavalo.

2.2 Classificação de variedades

Só existem duas variedades de dimensão 1, são as curvas, a curva aberta que é

uma reta e a curva fechada que é um círculo.
Todas as curvas abertas transformam-se topologicamente em reta e todas as
curvas fechadas em círculos.

Figura 03: CUNHA, Marisa Ortegoza da. Devlin e os problemas do milênio, 2012.

14
 2.3 Variedades equivalentes

Existe uma noção que afirma que quando duas variedades são a mesma
variedade, chamamos de equivalência.
Dizemos que duas variedades são equivalentes se for possível fazer uma
correspondência entre os pontos de uma variedade e os pontos da outra, uma bijeção
contínua, ou seja, os pontos que estão próximos de um correspondem com os pontos
próximos a outro e reciprocamente. Por exemplo, a esfera e o elipsoide tem aspectos um
pouco diferentes, mas são superfícies equivalentes, portanto é possível realizar uma
correspondência entre os pontos da esfera e os pontos do elipsoide de forma que essa
correspondência seja contínua. Neste caso, existe um homeomorfismo entre a esfera e o
elipsoide, portanto essas variedades são superfícies equivalentes, sendo essencialmente a
mesma superfície.

Figura 04: Imagem internet. A esfera e o elipsoide.

No entanto a esfera e o toro não são equivalentes, pois não é possível fazer essa
correspondência contínua em um dos pontos de uma superfície e os pontos da outra, isso
não é fácil de demonstrar, mas podemos provar que o toro e a esfera são superfícies de
fato distintas, com propriedades distintas.

15
 Figura 05: Imagem internet. A esfera e o toro

2.4 Classificação de variedades (superfícies) e dimensões superiores

Em dimensão 1 existe a menos de equivalência uma única variedade fechada e

uma única variedade aberta, agora o passo seguinte é a dimensão 2.
O teorema da classificação de variedades afirma que existem duas sequências de
variedades fechadas de dimensão 2. Na primeira sequência temos a esfera, o toro, o bitoro,
o tritoro e assim sucessivamente, que são superfícies orientáveis. Existe uma outra
sequência de superfícies não-orientáveis, são um pouco mais difíceis de representar
porque nenhuma delas é um subconjunto do espaço tridimensional, então nessa
sequência, o primeiro elemento é o plano projetivo, onde consideramos uma meia esfera
e identificamos os pontos do equador, chamamos de antípodas, ou seja, são pontos
opostos em relação ao centro do equador e o segundo é a garrafa de Klein, um objeto
tridimensional. Nenhuma superfície não-orientável pode ser mergulhada no espaço
tridimensional.

Superfícies Orientáveis

Figura 06: Viana, Marcelo. Conjectura de Poincaré para entender o universo , 2007.

16
 Superfícies não orientáveis

Figura 07: Viana, Marcelo. Conjectura de Poincaré para entender o universo , 2007.

Os trabalhos de Gauss, Riemann e essencialmente Klein culminam com a prova

do teorema da classificação, diz que todas as superfícies existentes fechadas estão nessas
duas listas.
Então para dimensões 2, o problema da classificação tem uma solução completa
como acabamos de citar, essas duas sequências formam a lista de todas as superfícies
fechadas. Para o caso de dimensões 1 e 2, o problema tem solução e para o caso de
dimensão 3, é o que veremos a seguir.

2.5 Dimensões superiores

Em dimensões maiores que 3, não existe maneira de listar todas as variedades.

Essa afirmativa é provada com um teorema de existência. Esse teorema é de lógica
clássica e remonta ao teorema de Godel que diz que certos problemas em matemática são
indecidíveis para altas dimensões. A lista de variedades é muito complexa.
No entanto não impede que existam teoremas de classificação para certas classes
importantes de variedades de dimensão 4 e talvez bom o suficientemente para quaisquer
objetivos que tenhamos, inclusive a teoria de variedades de dimensão 4 é uma área de
pesquisa em matemática extremamente ativa, com diversos especialistas trabalhando com
motivações que vem essencialmente da física. Nem para 4 dimensões existe uma lista.

17
 2.6 Variedade simplesmente conexa

Uma variedade é simplesmente conexa quando caminhos fechados ou laços

começam e terminam no mesmo ponto.
Uma variedade como a esfera satisfaz essa propriedade, por isso é
simplesmente conexa.
Em uma variedade como o toro não satisfaz essa propriedade, o toro não é
simplesmente conexo, pois existe um laço que não se reduz a um só ponto, como mostra
a figura a seguir.

Figura 08: O’SHEA, Donal. A Solução de Poincaré: em busca da forma do universo, (2009).

2.7 O universo é uma variedade simplesmente conexa?

Um dos problemas em aberto em cosmologia é saber se o universo é

simplesmente conexo ou não.

18
 Figura 09: Imagem internet. The Physics of the Universe – Wormholes.

A figura (wormhole) acima representa um fenômeno que se realmente existir,

implicaria que o universo não é simplesmente conexo, esse fenômeno é conhecido como
wormhole, que significa um túnel de verme ou buraco de minhoca, caso exista esses
túneis no espaço-tempo ligando buracos negros a buracos brancos implicaria dizer que o
universo não é simplesmente conexo, pois se existir dois wormholes, poderíamos traçar
um caminho ligando-o a outro, não podendo ser encolhido sem sair do universo, o que
não é possível.
Essa conexão entre dois pontos muito afastados do universo no espaço-tempo
através de um túnel que presumivelmente permitiria viagens no tempo, se esse túnel
realmente existisse, uma viagem no tempo nos levaria ao passado. Esse modelo físico é
controverso, pois não há uma boa teoria física para afirmar que esse fenômeno exista,
entretanto seria um mecanismo que tornaria o universo não simplesmente conexo.

19
 CAPÍTULO 3

A CONJECTURA DE POINCARÉ

O matemático francês Jules Henri Poincaré (1854-1912) desenvolveu diversos

trabalhos em diferentes ramos da matemática, especialmente em Topologia.
A Conjectura de Poincaré é fundamental na topologia, também chamada
“geometria sem pormenores”, o ramo da Matemática que lida com as formas. Assim, em
topologia dois objetos são considerados idênticos se puderem ser transformados um no
outro sem dobrar ou rasgar, como se fossem feitos com uma massa elástica. Desta forma
uma superfície esférica é, para um topólogo, equivalente à superfície de um copo, porque
por deformação contínua a esfera transforma-se no copo, mas não se transforma em uma
xícara com uma alça. Da mesma forma que um toro é equivalente a uma xícara com uma
alça, mas diferente de uma xícara com duas alças. E assim sucessivamente. A
classificação de superfícies de dimensão superior (que não podem ser visualizadas em
três dimensões) revelou-se ser bastante complicada. Poincaré conjecturou que existe uma
única variedade de dimensão 3 simplesmente conexa fechada, ele conjecturou que o que
já foi visto sobre superfícies, que só existe uma superfície fechada simplesmente conexa,
a esfera, e que isso também seria verdade em dimensão 3. Em outras palavras, podemos
dizer que toda variedade fechada simplesmente conexa de dimensão 3 é equivalente a
esfera tridimensional. A esfera bidimensional, que conhecemos muito bem, é
caracterizada pelo conjunto das triplas (x, y, z); x 2
 y 2  z 2   1 , já a esfera

tridimensional é caracterizada pelo conjunto das quádruplas (x, y, z, w);

x 2
 y 2  z 2  w2   1 , e ao trocar o número 3 pelo 2 constata-se o que já foi dito, que a

única superfície fechada simplesmente conexa é a esfera, e a proposta de Poincaré afirma

que isso continua sendo válido em dimensão 3.
A primeira versão da conjectura saiu em um artigo de 1900 e um pouco depois
Poincaré concluiu que a formulação que ele havia dado era falsa, ele mesmo deu um
contra exemplo, modificou o enunciado da conjectura e tudo isso num artigo de 1904. De
1904 em diante essa conjectura, essa afirmação de Poincaré ficou como um problema em
aberto, certamente um dos três problemas mais famosos da matemática, junto com o
teorema de Fermat e a hipótese de Riemann, em torno do qual é justo dizer que se formou

20
uma boa parte da matemática do século XXI. A topologia nasceu por causa disso e a
geometria se desenvolveu por causa desse problema.
Poincaré é talvez o último dos matemáticos que estudava a matemática de todas
as áreas, ele trabalhava em geometria, álgebra, análise, eletromagnetismo, topologia,
equações diferenciais, mecânica celeste, teoria dos números, criou uma área que
chamamos de sistemas dinâmicos e é o autor do primeiro princípio da Relatividade
Restrita, o que é pouco conhecido no mundo da física. A Teoria da Relatividade é de
Einstein, mas quem formulou de maneira precisa o princípio da Relatividade, o axioma
central da Teoria da Relatividade foi Poincaré.
A formulação técnica da conjectura de Poincaré é para qualquer dimensão maior
que 2, toda variedade fechada com um tipo de homotopia da esfera é equivalente a esfera.
Essencialmente, é exatamente o mesmo enunciado de dimensão 3, o que ela diz é que
qualquer variedade que parece ser a esfera é a esfera.
As palavras parece e é precisam ser caracterizadas:
É: significa, é equivalente a
Parece: é ter o tipo de homotopia da esfera
Um dos problemas é o fato de que não há teoremas de classificação em geral,
em dimensão maior que 3, em dimensão 4 ou maior, porque há subproblemas de
classificação que em princípio admitem solução e que podem ser relevantes também. Um
desses subproblemas é o problema de classificação de todas as variedades fechadas com
o tipo de homotopia da esfera. A Conjectura de Poincaré em dimensão 5 ou maior foi
provada em 1960 pelo Steve Smalle no Rio de Janeiro e para quatro dimensões por
Michael Freedman (Medalha Fields em 1986).
Restava somente o caso tridimensional, para o qual o matemático William
Thurston, no final dos anos 70, propôs uma generalização. Tal como todas as superfícies
fechadas bidimensionais podem ser construídas combinando somente duas formas, a
esfera e o toro (a “alça”), também algo semelhante se passaria com as superfícies
tridimensionais, que poderiam ser todas construídas a partir não de duas, mas de oito
formas fundamentais. Só por ter proposto esta conjectura de geometrização, que
automaticamente inclui a conjectura de Poincaré em três dimensões, Thurston, neste
momento na Universidade de Cornel, foi igualmente agraciado com a Medalha Fields em
1986.
Richard Hamilton, da Universidade de Columbia, propôs no início dos anos 80
a aplicação ao estudo das formas de superfícies de uma técnica, chamada fluxo de Ricci,

21
baseada nas equações de geometria diferencial como as que se utilizam na Teoria da
Relatividade Geral. Este processo transforma uma superfície numa forma mais
homogênea, redistribuindo a sua curvatura. A estratégia foi formulada no início dos anos
80 pelo Richard Hamilton que propôs a seguinte ideia, começa com uma variedade
qualquer de dimensão 3 fechada e uma variedade arbitraria tem curvatura variada, com
lugares onde ela é mais curva, introduzir um mecanismo para aumentar a curvatura onde
ela é pequena e diminuir a curvatura onde ela é grande, tentar uniformizar a curvatura,
deformar a variedade uniformizando a curvatura com a ideia de que se a gente fizer isso
com cuidado ela evolua na direção de uma variedade com curvatura constante, e
variedade com curvatura constante é a esfera, essa é a ideia, levar, alterar a curvatura da
variedade para torna-la uniforme.
Hamilton teve sucesso a aplicar este processo a objetos simples, mas os
problemas surgiriam em objetos mais complicados que incluíssem pontos, chamados
singularidades, cuja curvatura fosse infinita. Os topólogos poderiam removê-las, mas não
havia garantias de que com este processo não se formassem singularidades novas. Seria
Perelman a resolver este problema em 2002, ao demonstrar uma série de desigualdades
que evidenciam que as singularidades acabam por se transformar todas em esferas ou
tubos, num tempo finito após o fluxo de Ricci ter começado. Os topólogos poderiam
assim removê-las e levar o fluxo de Ricci até o fim, revelando a essência topológica dos
espaços em questão e demonstrando as conjecturas de Poincaré e Thurston.
O grande entusiasmo causado pela prova de Perelman deve-se nem tanto ao
resultado em si, que pelo menos no caso da conjectura de Poincaré era bastante intuitivo
e que toda a gente dava como verdadeiro, mas mais ao método usado, tendo-se revelado
ligações profundas até então desconhecidas entre diferentes ramos da Matemática.

22
 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nosso trabalho objetivou-se em apresentar e esclarecer os conceitos básicos de

um problema do século XX e de grande importância para o desenvolvimento da
Matemática e áreas afins, a Conjectura de Poincaré.
Diversos personagens contribuíram para o desenvolvimento da Conjectura de
Poincaré, fornecendo subsídios importantes para estudos futuros. Esses subsídios
permitiram que o geômetra russo Grigori Perelman resolvesse esse problema, no entanto,
este foi apenas uma etapa a ser superada para que o seu objetivo principal fosse alcançado,
a Conjectura da Geometrização. A Conjectura de Poincaré trata do estudo das variedades
bidimensionais e tridimensionais, além da sua ligação com as teorias acerca da forma do
universo.
Nosso objetivo inicial foi alcançado e esperamos que a Conjectura de Poincaré,
desperte o interesse no meio acadêmico para que novos trabalhos sejam iniciados,
divulgando ainda mais a importância desse problema para o desenvolvimento de áreas
como Topologia, Geometria Diferencial, análise, dentre outras.

23
 BIBLIOGRAFIA

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Editora Edgard Blüncher, 2012.
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elementar de métodos e conceitos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 2000.
KREFTA, Silvana T. Aspectos históricos da Conjectura de Poincaré. 2009. 42 f.
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http://www.solucaomatematica.com.br/premio-para-a-resolucao-da-conjectura-de-
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http://pt.m.wikipedia.org/wiki/Conjectura_de_Poincar%C3%A9. Acesso em: 17 mar.
2015.
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Disponível em: http://w3.impa.br/~viana/out/cpcg.pdf. Acesso em: 25 mar. 2015.
O’SHEA, Donal. A Solução de Poincaré: em busca da forma do universo. São Paulo:
Editora Record, 2009.
CLAY MATHEMATICS INSTITUTE. Poincaré Conjecture (solved: Grigoriy
Perelman, 2002-3). Disponível em:
http://www.claymath.org/millenium/Poincare_Conjecture. Acesso em: 28 mar. 2015.

24
MATOS, E. R; NEVES, R. E.B. A geometria euclidiana e as geometrias não
euclidianas. Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação (Licenciatura em
Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2010.
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avesso.blogspot.com.br/2006/08/conjectura-de-poincar.html. Acesso em: 15 mar. 2015.

25
 APÊNDICE

FLUXO DE RICCI

O fluxo de Ricci é uma equação na qual a medida que o tempo passa é possível
alterarmos a métrica de acordo com a seguinte equação diferenciável.

g ij  2 Rij
t

Essa equação é uma “parente” de uma outra equação, a equação do calor, a

diferença é que a equação do calor é uma equação linear e essa é uma equação não-linear.
Essa equação faz o mesmo que a equação do calor, a equação do calor afirma
que se tivermos partes de um objeto com temperaturas diferentes, o que ocorre é que o
calor flui da região mais quente para a mais fria e depois de um tempo o objeto fica com
temperatura constante, uniforme.
O tensor de ricci é um velho conhecido da teoria da relatividade. A equação de
campo da teoria da relatividade geral é:
R
8 Tij  Rij  Gij
2
Nessa equação podemos observar a evidência de várias conexão com a física e a
matemática.
O fluxo de ricci não preserva o volume dos objetos, de fato ele tem tendência a
encolher os objetos, então alteramos a lei e acrescentamos um termo que chamamos de
constante cosmológica pra impedir que o universo colapse.

gij  2 Rij   gij
t
Então isso é chamado fluxo de ricci normalizado com um termo adicional pra
impedir a expansão no caso, a contração do universo no qual estamos trabalhando e é com
esse fluxo que se trabalha de fato.

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