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Geometria Analítica - ITA Vfinal
Geometria Analítica - ITA Vfinal
Geometria Analítica - ITA Vfinal
determina uma hipérbole. Com respeito ao centro C desta hipérbole podemos afirmar:
a) 𝐶 ∈ {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ /𝑥 /9 + 𝑦 /12 < 1}.
b) 𝐶 ∈ {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ /𝑥 /4 + 𝑦 /2 > 1}.
c) 𝐶 ∈ {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ /𝑥 /9 − 𝑦 /2 < 1}.
d) 𝐶 ∈ {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ /3𝑥 − 2𝑦 > 1}.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
3. (ITA 2022) Seja 𝐴 = (0, 1). Considere a reta r de equação 𝑦 = 1 − e seja s uma reta
passando pela
origem O e que intersecta r no 1º quadrante em um ponto P. Determine o ponto Q do 2º
quadrante que pertence a r e dista √2 de s sabendo que 𝐴𝑃𝑂 = 𝜃 e que 𝑡𝑎𝑛( 𝜃) = .
4. (ITA 2021) Considere a curva plana definida pela equação 9𝑥 + 4𝑦 + 36𝑥 + 24𝑦 + 36 = 0. O
ponto 𝑃 = (0, 0) é vértice de um retângulo circunscrito à curva. Então a equação da
circunferência circunscrita ao retângulo é:
a) (𝑥 + 2) + (𝑦 + 3) = 9.
b) (𝑥 + 3) + (𝑦 + 2) = 9.
c) (𝑥 − 2) + (𝑦 − 3) = 13.
d) (𝑥 + 2) + (𝑦 + 3) = 13.
e) (𝑥 + 3) + (𝑦 + 2) = 13.
5. (ITA 2021) Determine todos os pontos (𝑥; 𝑦) que pertencem à circunferência de centro (5; 0) e raio
5, que satisfazem a equaçمo:
3𝑥 − 𝑦 − 4 = 𝑥 − 7𝑥 − 5𝑦 − 4.
6. (ITA 2021) Os vértices da base de um triângulo isóceles PQR, inscrito numa circunferência
de centro 𝑂 = (5, 0), são 𝑃 = (4, 2√2) e 𝑄 = (8, 0). Se o vértice R pertence ao primeiro
quadrante, então a área do triângulo PQR é igual a:
a) √2(3 − √3).
b) √3(3 + √3).
c) √3(3 − √3).
d) √6(3 + √3).
e) √6(3 − √3).
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8. (ITA 2020) Os pontos 𝐵 = (1, 1 + 6√2) e 𝐶 = (1 + 6√2, 1) são vértices do triângulo
isósceles 𝐴𝐵𝐶 de base 𝐵𝐶, contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita
no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice 𝐴 são
a) (7√2, 7√2).
b) (√2, √2).
c) (1 + 7√2, 1 + 7√2).
d) (1 + √2, 1 + √2).
e) (1 + 6√2, 1 + 6√2).
10. (ITA 2020) Seja 𝜆 a circunferência que passa pelos pontos 𝑃 = (1, 1), 𝑄 = (13, 1) e 𝑅 =
(7, 9). Determine:
a) A equação de 𝜆.
b) Os vértices do quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 circunscrito a 𝜆, sabendo que 𝑅 é o ponto médio de 𝐴𝐵.
11. (ITA 2020) Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais 𝑘
para os quais a reta 𝑦 = 𝑘𝑥 intersecta a parábola 𝑦 = 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 é igual a (−∞, 2] ∪ [6, +∞),
determine os números 𝑎 e 𝑏.
12. (ITA 2019) Assinale a opção que identifica o lugar geométrico de todos os pares ordenados
(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ que tornam impossível o sistema linear
−𝑥 + 5𝑦 = 10
𝑆: .
+ 5𝑏 𝑥 + 10𝑎𝑏𝑦 = 1
a) Uma elipse
b) Uma reta
c) Uma parábola
d) Uma hipérbole
e) Um único ponto
13. (ITA 2019) Seja 𝛾 a circunferência de equação 𝑥 + 𝑦 = 4. Se 𝑟 e 𝑠 são duas retas que se
interceptam no ponto 𝑃 = (1, 3) e são tangentes a 𝛾, então o cosseno do ângulo entre 𝑟 e 𝑠 é
igual a
a) .
√
b) .
c) .
√
d) .
√
e) .
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14. (ITA 2019) Seja 𝐹 o foco da parábola de equação (𝑦 − 5) = 4(𝑥 − 7), e sejam 𝐴 e 𝐵 os
( ) ( )
focos da elipse de equação + = 1. Determine o lugar geométrico formado pelos
pontos 𝑃 do plano tais que a área do triângulo 𝐴𝐵𝑃 seja numericamente igual ao dobro da
distância de 𝑃 a 𝐹.
15. (ITA 2019) Determine o número complexo 𝑧 de menor argumento que satisfaz |𝑧 − 25𝑖| ≤
15.
16. (ITA 2018) Considere a definição: duas circunferências são ortogonais quando se
interceptam em
dois pontos distintos e nesses pontos suas tangentes são perpendiculares. Com relação às
circunferências 𝐶 : 𝑥 + (𝑦 + 4) = 7, 𝐶 : 𝑥 + 𝑦 = 9 e 𝐶 : (𝑥 − 5) + 𝑦 = 16, podemos
afirmar que
a) somente 𝐶 e 𝐶 são ortogonais.
b) somente 𝐶 e 𝐶 são ortogonais.
c) 𝐶 é ortogonal a 𝐶 e a 𝐶 .
d) 𝐶 , 𝐶 e 𝐶 são ortogonais duas a duas.
e) não há ortogonalidade entre as circunferências.
18. (ITA 2018) No plano cartesiano são dados o ponto 𝑃 = (0, 3) e o triângulo de vértices 𝐴 =
(0, 0), 𝐵 = (3, 0) e 𝐶 = (3, 2). Determine um ponto 𝑁 sobre o eixo dos 𝑥 de modo que a reta
que passa por 𝑃 e 𝑁 divida o triângulo 𝐴𝐵𝐶 em duas regiões de mesma área.
20. (ITA 2017) Considere a reta 𝑟: 𝑦 = 2𝑥. Seja 𝐴 = (3, 3) o vértice de um quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷,
cuja diagonal 𝐵𝐷 está contida em 𝑟. A área deste quadrado é
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
𝑟: 𝑦 = √2𝑥 + 𝑎 e 𝑠: 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐,
em que 𝑎, 𝑏, 𝑐 são reais. Sabendo que 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares entre si, com 𝑟 passando por
(0, 1) e 𝑠, por (√2, 4), determine a área do triângulo formado pelas retas 𝑟, 𝑠 e o eixo 𝑥.
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22. (ITA 2017) Considere dois círculos no primeiro quadrante:
23. (ITA 2017) O lugar geométrico dos pontos (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ tais que a equação, em 𝑧 ∈ ℂ,
𝑧 + 𝑧 + 2 − (𝑎 + 𝑖𝑏) = 0
24. (ITA 2016) Se a reta de equação 𝑥 = 𝑎 divide o quadrilátero cujos vértices são (0, 1),
(2, 0), (4, 0) e (6, 4) em duas regiões da mesma área, então o valor de a é igual a
a) 2√5 − 1.
b) 2√6 − 1.
c) 3√5 − 4.
d) 2√7 − 2.
e) 3√7 − 5.
𝜆 : 𝑥 + 𝑦 − 8𝑥 + 4𝑦 = 20
𝑒
𝜆 : 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 − 8𝑦 = 8.
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26. (ITA 2016) Se 𝑃 e 𝑄 são pontos que pertencem à circunferência 𝑥 + 𝑦 = 4 e à reta 𝑦 =
2(1 − 𝑥), então o valor do cosseno do ângulo 𝑃𝑂 𝑄 é igual a
a) − .
b) − .
c) − .
d) − .
e) − .
30. (ITA 2015) Considere os pontos 𝐴 = (0, −1), 𝐵 = (0,5) e a reta 𝑟: 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0. Das
afirmações a seguir:
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c) .
d) .
e) .
32. (ITA 2015) Considere uma circunferência 𝐶, no primeiro quadrante, tangente ao eixo 𝑂𝑥 e à
reta 𝑟: 𝑥 − 𝑦 = 0. Sabendo-se que a potência do ponto 𝑂 = (0,0) em relação a essa
circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de 𝐶 são, respectivamente, iguais a
a) (2, 2√2 − 2) e 2√2 − 2.
√ √
b) 2, − e − .
c) (2, √2 − 1) e √2 − 1.
d) (2, 2 − √2) e 2 − √2.
e) (2, 4√2 − 4) e 4√2 − 4.
I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento 𝐴𝐵, com comprimento 𝑙 fixado, cujos
extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência.
II. O lugar geométrico dos pontos (𝑥, 𝑦) tais que 6𝑥 + 𝑥 𝑦 − 𝑥𝑦 − 4𝑥 − 2𝑥𝑦 = 0 é um
conjunto finito no plano cartesiano ℝ .
III. Os pontos (2,3), (4, −1) e (3,1) pertencem a uma circunferência.
34. (ITA 2014) Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da
circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento,
a) .
√
b) .
√
c) .
√
d) .
√
e) .
35. (ITA 2014) A equação do círculo localizado no 1º quadrante que tem área igual a 4𝜋
(unidades de área) e é tangente, simultaneamente, às retas 𝑟: 2𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 e 𝑠: 𝑥 + 𝑦 − 4 =
0é
a) 𝑥 − + 𝑦− = 4.
b) 𝑥 − + 𝑦 − 2√2 + = 4.
c) 𝑥 − 2√2 + + 𝑦− = 4.
d) 𝑥 − 2√2 + + 𝑦− = 4.
e) 𝑥 − 2√2 + + 𝑦− = 4.
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36. (ITA 2014)
a) Determine o valor máximo de |𝑧 + 𝑖|, sabendo que |𝑧 − 2| = 1, 𝑧 ∈ ℂ.
b) Se 𝑧 ∈ ℂ satisfaz (a), determine 𝑧 .
37. (ITA 2013) Determine a área da figura plana situada no primeiro quadrante e delimitada
pelas curvas
(𝑦 − 𝑥 − 2)(𝑦 + − 2) = 0 e 𝑥 − 2x + 𝑦 − 8 = 0.
38. (ITA 2013) Sobre a parábola definida pela equação 𝑥 + 2xy + 𝑦 − 2x + 4y + 1 = 0 pode-
se afirmar que
a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox.
b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox.
c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.
d) a abscissa do vértice da parábola é 𝑥 = −1.
e) a abscissa do vértice da parábola é 𝑥 = − .
39. (ITA 2012) Sejam A = (0,0), B = (0,6) e C = (4,3) vértices de um triângulo. A distâncias do
baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a
a)
√
b)
√
c)
√
d)
e)
41. (ITA 2012) A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas 𝑟: 𝑥 − 3𝑦 +
3 = 0 e 𝑠: 3𝑥 + 𝑦 − 21 = 0, em unidades de área, é igual a
a)
b) 10
c)
d)
e)
42. (ITA 2012) Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (1, 1), o lugar geométrico dos
pontos que se encontram a uma distância d = 2 da bissetriz interna, por A, do triângulo ABC é
um par de retas definidas por
a) 𝑟 , : √2𝑦 − 𝑥 ± 2 4 + √2 = 0
√
b) 𝑟 , : 𝑦 − 𝑥 ± 2 10 + √2 = 0
c) 𝑟 , : 2𝑦 − 𝑥 ± 2 10 + √2 = 0
d) 𝑟 , : (√2 + 1)𝑦 − 𝑥 ± 2 + 4√2 = 0
e) 𝑟 , : (√2 + 1)𝑦 − 𝑥 ± 2 4 + √2 = 0
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43. (ITA 2011) Sejam m e n inteiros tais que = − é a equação 36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 =
0 representa uma circunferência de raio r = 1 cm e centro C localizado no segundo quadrante.
Se A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em
cm2, é igual a
√
a)
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
44. (ITA 2010) Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos A, B e C do plano xOy,
sendo B = (2,1) e C = (5,5). Das seguintes afirmações:
45. (ITA 2010) Considere as circunferências C1: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4 e C2: (x – 10)2 + (y – 11)2
= 9. Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2, isto e, r tangência C1 e C2 e intercepta o
segmento de reta 𝑂 𝑂 definido pelos centros O1 de C1 e C2 de C2. Os pontos de tangência
definem um segmento sobre r que mede
a) 5√3.
b) 4√5.
c) 3√6.
d) .
e) 9.
46. (ITA 2010) Determine uma equação da circunferência inscrita no triangulo cujos vértices
são 𝐴 = (1, 1), 𝐵 = (1, 7) e 𝐶 = (5, 4) no plano 𝑥𝑂𝑦.
47. (ITA 2008) Considere a parábola de equação y = ax2 + bx + c, que passa pelos pontos (2,
5), (- 1, 2) e tal que a, b, c formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine a
distância do vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto (2, 5).
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48. (ITA 2008) Dada a cônica λ: x2 - y2 = 1, qual das retas abaixo é perpendicular à λ no ponto
P = (2, √3)?
a) y = √3x - 1
√
b) y = 𝑥
√
c) y = 𝑥+1
√
d) y = - 𝑥−7
√
e) y = - 𝑥−4
49. (ITA 2007) Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas 2x = y, x =
2y e x = - 2y + 10. A área desse triângulo mede
a) 15/2.
b) 13/4.
c) 11/6.
d) 9/4.
e) 7/2.
50. (ITA 2007) Considere, no plano cartesiano xy, duas circunferências C1 e C2, que se
tangenciam exteriormente em P: (5, 10). O ponto Q: (10, 12) é o centro de C1. Determine o raio
da circunferência C2, sabendo que ela tangencia a reta definida pela equação x = y.
51. (ITA 2007) Sejam 𝐴: (𝑎, 0), 𝐵: (0, 𝑎) e 𝐶: (𝑎, 𝑎), pontos do plano cartesiano, em que 𝑎 é
um número real não nulo. Nas alternativas a seguir, assinale a equação do lugar geométrico
dos pontos 𝑃: (𝑥, 𝑦) cuja distância à reta que passa por 𝐴 e 𝐵, é igual à distância de 𝑃 ao ponto
𝐶.
a) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥𝑦 − 2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 + 3𝑎 = 0
b) 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥𝑦 + 2𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦 + 3𝑎 = 0
c) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 2𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦 + 3𝑎 = 0
d) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥𝑦 − 2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 − 3𝑎 = 0
e) 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥𝑦 − 2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 − 3𝑎 = 0
53. (ITA 2006) Os focos de uma elipse são F1(0, - 6) e F2(0, 6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x >
0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a
a) 22√10
b) 18√10
c) 15√10
d) 12√10
e) 6√10
54. (ITA 2006) Sabendo que 9y2 - 16x2 - 144y + 224x - 352 = 0 é a equação de uma hipérbole,
calcule sua distância focal.
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55. (ITA 2005) Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo ponto P = (3, 4). Se
t é a reta tangente a C por P, determine a circunferência C' de menor raio, com centro sobre o
eixo x e tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C.
56. (ITA 2005) Uma circunferência passa pelos pontos A = (0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8).
Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, são
a) (0, 5) e 6.
b) (5, 4) e 5.
c) (4, 8) e 5,5.
d) (4, 5) e 5.
e) (4, 6) e 5.
57. (ITA 2005) A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa
pelos pontos (1,0) e (0,-2) são, respectivamente,
a) √3 e .
b) e √3.
√
c) e .
√
d) √3 e .
√
e) 2√3 e .
58. (ITA 2004) Sejam os pontos A: (2, 0), B: (4, 0) e P: (3, 5+2√2).
59. (ITA 2004) Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ângulo de 60°. Seja C1
uma circunferência de 3 cm de raio, cujo centro O se situa em s, a 5 cm de r.
Determine o raio da menor circunferência tangente à C1 e à reta r, cujo centro também se situa
na reta s.
√𝟕
60. (ITA 2004) Considere todos os números z = x + iy que têm módulo ( ) e estão na elipse x2
𝟐
+ 4y2 = 4. Então, o produto deles é igual a
a) 25/9
b) 49/16
c) 81/25
d) 25/7
e) 4
61. (ITA 2004) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos (𝑥, 𝑦) do plano
que satisfazem a equação
𝑥 +𝑦 𝑥 𝑦 1
𝑑𝑒𝑡 40 2 6 1 = 288.
4 2 0 1
34 5 3 1
a) Uma elipse.
b) Uma parábola.
c) Uma circunferência.
d) Uma hipérbole.
e) Uma reta.
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62. (ITA 2003) A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos
coordenados e pelo conjunto
{(x, y) ∈ IR2: 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual a:
a) √6
b) 5/2
c) 2√2
d) 3
e) 10/3
63. (ITA 2003) Sabe-se que uma elipse de equação (x2/a2) + (y2/b2) = 1 tangencia internamente
a circunferência de equação x2 + y2 = 5 e que a reta de equação 3 x + 2y = 6 é tangente à
elipse no ponto P. Determine as coordenadas de P.
64. (ITA 2003) Considere a família de circunferências com centros no segundo quadrante e
tangentes ao eixo 𝑂𝑦. Cada uma destas circunferências corta o eixo 𝑂𝑥 em dois pontos,
distantes entre si de 4 𝑐𝑚. Então, o lugar geométrico dos centros destas circunferências é
parte:
a) de uma elipse.
b) de uma parábola.
c) de uma hipérbole.
d) de duas retas concorrentes.
e) da reta 𝑦 = −𝑥.
65. (ITA 2003) Determine o conjunto dos números complexos z para os quais o número
𝑧+𝑧+2
𝑊=
|𝑧 − 1| + |𝑧 + 1| − 3
pertence ao conjunto dos números reais. Interprete (ou identifique) este conjunto
geometricamente e faça um esboço do mesmo.
66. (ITA 2002) Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes
angulares 2 e 1/2, respectivamente, se interceptam na origem 0. Se B ∈ r e C ∈ s são dois
pontos no primeiro quadrante tais que o segmento𝐵𝐶é perpendicular a r e a área do triângulo
OBC é igual a 12×10-1, então a distância de B ao eixo das ordenadas vale
a) 8/5.
b) 4/5.
c) 2/5.
d) 1/5.
e) 1.
67. (ITA 2002) Considere o seguinte raciocínio de cunho cartesiano: "Se a circunferência de
centro C=(h,0) e raio r intercepta a curva y = +√𝑥, x > 0, no ponto A = (a,√𝑎) de forma que o
segmento 𝐴𝐶 seja perpendicular à reta tangente à curva em A, então x = a é raiz dupla da
equação em x que se obtém da intersecção da curva com a circunferência."
Use este raciocínio para mostrar que o coeficiente angular dessa reta tangente em A é √𝑎.
𝑥2 𝑦2
16
+ 9
=1
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√
a) −
b) −
√
c) −
√
d) −
√
e) −
69. (ITA 2001) Seja o ponto 𝐴 = (𝑟, 0), 𝑟 > 0. O lugar geométrico dos pontos 𝑃 = (𝑥, 𝑦) tais
que é de 3𝑟 a diferença entre o quadrado da distância de 𝑃 a 𝐴 e o dobro do quadrado da
distância de 𝑃 à reta 𝑦 = −𝑟, é:
a) uma circunferência centrada em (𝑟, −2𝑟) com raio 𝑟.
b) uma elipse centrada em (𝑟, −2𝑟) com semieixos valendo 𝑟 e 2𝑟.
c) uma parábola com vértice em (𝑟, −𝑟).
d) duas retas paralelas distando 𝑟√3 uma da outra.
e) uma hipérbole centrada em (𝑟, −2𝑟) com semieixos valendo 𝑟.
70. (ITA 2000) A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus
vértices os pontos A:(2, 1) e B:(3, -2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo
das abcissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são
a) (-1/2, 0) ou (5, 0).
b) (-1/2, 0) ou (4, 0).
c) (-1/3, 0) ou (5, 0).
d) (-1/3, 0) ou (4, 0).
e) (-1/5, 0) ou (3, 0).
71. (ITA 2000) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta 3x - y = 37 e tangentes à circunferência x2
+ y2 - 2x - y = 0. Se d1 é a distância de r1 até a origem e d2 é a distância de r2 até a origem,
então d1 + d2 é igual a
a) √12.
b) √15.
c) √7.
d) √10.
e) √5.
72. (ITA 1999) Pelo ponto C:(4, -4) são traçadas duas retas que tangenciam a parábola y=(x-
4)2+2 nos pontos A e B. A distância do ponto C à reta determinada por A e B é:
a) 6√12
b) √12
c) 12
d) 8
e) 6
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74. (ITA 1998) Considere o paralelogramo ABCD onde A= (0,0), B = (-1,2) e C = (-3,-4). Os
ângulos internos distintos e o vértice D πdeste paralelogramo são, respectivamente:
a) π/4, 3π/4 e D = (-2,-5)
b) π /3, 2 π /3 e D = (-1,-5)
c) π /3, 2 π /3 e D = (-2,-6)
d) π /4, 3 π /4 e D = (-2,-6)
e) π/3, 2π/3 e D = (-2,-5)
Então, o lugar geométrico dos pontos 𝑃, cuja soma dos quadrados das distâncias de 𝑃 a cada
um dos focos da hipérbole 𝐻 é igual ao triplo do quadrado da distância de 𝑃 ao vértice da
parábola 𝑇, é:
( ) ( )
a) A elipse de equação + = 1.
( ) ( )
b) A hipérbole de equação − = 1.
c) O par de retas dadas por 𝑦 = ±(3𝑥 − 1).
d) A parábola de equação 𝑦 = 4𝑥 + 4.
e) A circunferência centrada em (9, 5) e raio √𝟏𝟐𝟎.
77. (ITA 1997) Seja m ∈ │R+* tal que a reta x - 3y - m = 0 determina, na circunferência (x - 1)2 +
(y + 3)2 = 25, uma corda de comprimento 6. O valor de m é
a) 10 + 4√10
b) 2√3
c) 5√2
d) 6√10
e) 3
78. (ITA 1997) Seja A o ponto de intersecção das retas r e s dadas, respectivamente, pelas
equações x + y = 3 e x - y = -3. Sejam B e C pontos situados no primeiro quadrante com B ∈ r e
C ∈ s. Sabendo que d (A, B) = d (A, C) =√2, então a reta passando por B e C é dada pela
equação
a) 2x + 3y = 1
b) y = 1
c) y = 2
d) x = 1
e) x = 2
79. (ITA 1997) Considere os pontos A:(0, 0), B:(2, 0) e C:(0, 3). Seja P:(x, y) o ponto de
intersecção das bissetrizes internas do triângulo ABC. Então x+y é igual a
a)
√
b)
√
c)
√
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d) 5
e) 2
80. (ITA 1996) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência
(x - 1)2 + y2 = 4, então a equação da reta que contém A e B é dada por:
a) y = 2x - 3
b) y = x - 1
c) y = - x + 3
d) y = 3x/2 - 2
e) y = - (1/2) x + 2
81. (ITA 1996) São dadas as retas (r) x - y + 1 +√2= 0 e (s) x√3+ y - 2 +√3 = 0 e a
circunferência (C) x2 + 2x + y2 = 0.
82. (ITA 1996) Tangenciando externamente a elipse 𝐴 , tal que 𝐴 : 9x2 + 4y2 - 72x - 24y + 144
= 0, considere uma elipse 𝐴 , de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de å1 e
cujos eixos têm a mesma medida que os eixos de 𝐴 . Sabendo que 𝐴 está inteiramente
contida no primeiro quadrante, o centro de 𝐴 é:
a) (7, 3)
b) (8, 2)
c) (8, 3)
d) (9, 3)
e) (9, 2)
83. (ITA 1996) São dadas as parábolas p1: y = - x2 - 4x - 1 e p2: y = x2 - 3x + cujos vértices
são denotados, respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que contém V1 e V2,
então a distância de r até à origem é:
a)
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
√
84. (ITA 1995) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b >
0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por:
a) (- b, - b)
b) (2b, - b)
c) (4b, - 2b)
d) (3b, - 2b)
e) (2b, - 2b)
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85. (ITA 1995) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem coeficiente angular 2a e tangencia a
parábola y = x2 - 1 no ponto de coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as coordenadas de
dois pontos de t tais que c > 0 e c = -2d, então a/b é igual a:
a) - 4/15
b) - 5/16
c) - 3/16
d) - 6/15
e) - 7/15
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
Sendo r o raio de C2, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo destacado na
figura abaixo, obtemos:
(1 + 𝑟) = (1 − 𝑟) + 1
1 + 2𝑟 + 𝑟 = 1 − 2𝑟 + 𝑟 + 1
1
𝑟=
4
Resposta da questão 2:
[C]
Dessa forma, a hipérbole tem o centro da forma (3b, b) com a condição de que:
1−𝑏 > 0⇒𝑏 < 1
Dentre as alternativas, a única que satisfaz esta condição é a alternativa [C], pois:
( )
− <1⇒𝑏 − = <1
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Resposta da questão 3:
Dos coeficientes angulares das retas, obtemos:
𝑡𝑔 𝛼 = 𝑚
1 1
𝑡𝑔 𝛽 = − − =
4 4
Como 𝜃 = 𝛼 + 𝛽:
𝑡𝑔 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛽
𝑡𝑔 𝜃 = 𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) =
1 − 𝑡𝑔 𝛼 𝑡𝑔 𝛽
1
5 𝑚 +
= 4 ⇒𝑚 =1
3 1−𝑚 ⋅1
4
Resposta da questão 4:
[D]
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(𝑥 + 2) (𝑦 + 3)
+ =1
4 9
Sendo assim, trata-se de uma elipse de centro 𝐶(−2, −3), eixo maior igual a 6 e eixo menor
igual a 4. E a circunferência descrita pode ser observada abaixo:
Resposta da questão 5:
Condição de existência:
𝑦 ≤ 3𝑥 − 4
3𝑥 − 𝑦 − 4 ≥ 0
⇒ 𝑥 − 7𝑥 − 4
𝑥 − 7𝑥 − 5𝑦 − 4 ≥ 0 𝑦≤
5
⇒ 𝑦 + 4𝑦 = 0 ⇒ 𝑦(𝑦 + 4) = 0 ⇒ 𝑦 = 0 𝑜𝑢 𝑦 = −4
Se 𝑦 = 0:
𝑥 − 10𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 10) = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 10
Como (0, 0) não satisfaz a condição de existência, obtemos o ponto (10, 0).
Se 𝑦 = −4:
𝑥 − 10𝑥 = 4 ⋅ (−4) ⇒ 𝑥 − 10𝑥 + 16 = 0 ⇒ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = 8
Portanto, chegamos aos pontos (10, 0), (2, −4) e (8, −4).
Resposta da questão 6:
[E]
Raio da circunferência:
𝑟 = 𝑂𝑄 = 3
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𝑂𝑀 = 3 − √6 ⇒ 𝑂𝑀 = √3
Temos a figura:
𝑅𝑀 = 3 − √3
Resposta da questão 7:
[E]
Para que os vértices dados sejam vértices de um triângulo equilátero, devemos ter:
|𝑧 − 4| = |(𝑧 + 2) − 4| ⇒ |𝑧 + 2| ⋅ |𝑧 − 2| = |𝑧 − 2| ⇒ |𝑧 + 2| = 1
|𝑧 − (𝑧 + 2)| = |(𝑧 + 2) − 4| ⇒ |𝑧 + 1| ⋅ |𝑧 − 2| = |𝑧 − 2| ⇒ |𝑧 + 1| = 1
Resposta da questão 8:
[C]
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𝐵𝐶 = 1 + 6√2 − 1 + 1 − 1 + 6√2
𝐵𝐶 = 6√2 + −6√2
𝐵𝐶 = 2 ⋅ 6√2
𝐵𝐶 = 2 ⋅ 6 ⋅ 2
𝐵𝐶 = 12
Dessa forma,
𝐴𝐶 𝑀𝐶
=
𝐴𝑂 𝑇𝑂
𝐴𝐶 6
=
𝑎 3
𝐴𝐶 = 2𝑎
No triângulo 𝐴𝑀𝐶,
(2𝑎) = (𝑎 + 3) + 6
4𝑎 = 𝑎 + 6𝑎 + 9 + 36
3𝑎 − 6𝑎 − 45 = 0
𝑎 − 2𝑎 − 15 = 0
𝑎 = 5ou 𝑎 = −3
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Como 𝑎 > 0, 𝑎 = 5.
Então,
𝐴𝑀 = 8
Note que:
1 − 1 + 6√2
𝑚⃖ ⃗ =
1 + 6√2 − 1
−6√2
𝑚⃖ ⃗ =
6√2
𝑚⃖ ⃗ = −1
Logo,
𝑚⃖ =1⃗
1 + 1 + 6√2
𝑥 =
2
𝑥 = 1 + 3√2
1 + 6√2 + 1
𝑦 =
2
𝑦 = 1 + 3√2
⃖ ⃗: 𝑦 − 1 + 3√2 = 1 ⋅ 𝑥 − 1 + 3√2
𝐴𝑀
⃖ ⃗: 𝑦 − 1 − 3√2 = 𝑥 − 1 − 3√2
𝐴𝑀
⃖𝐴𝑀⃗: 𝑦 = 𝑥
Então,
𝐴(𝑥, 𝑥)
64 = 2 ⋅ 𝑥 − 1 + 3√2
32 = 𝑥 − 1 + 3√2
𝑥 − 1 + 3√2 = 4√2ou 𝑥 − 1 + 3√2 = −4√2
De 𝑥 − 1 + 3√2 = 4√2,
𝑥 = 1 + 7√2
De 𝑥 − 1 + 3√2 = −4√2,
𝑥 = 1 − √2 < 0
Resposta da questão 9:
[C]
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Logo,
𝑃(10, 0) e 𝑄(4, 0)
De 𝑐 : 𝑥 + 𝑦 + 4𝑥 − 10𝑦 + 13 = 0,
𝑦 − 10𝑦 + 13 = 0
−(−10) ± (−10) − 4 ⋅ 1 ⋅ 13
𝑦=
2⋅1
10 ± 4√3
𝑦=
2
𝑦 = 5 − 2√3 ou 𝑦 = 5 + 2√3
Logo,
𝑅 0, 5 − 2√3 e 𝑆 0, 5 + 2√3
1 1
𝑆 = ⋅ 10 ⋅ 5 + 2√3 − ⋅ 4 ⋅ 5 − 2√3
2 2
𝑆 = 5 ⋅ 5 + 2√3 − 2 ⋅ 5 − 2√3
𝑆 = 25 + 10√3 − 10 + 4√3
𝑆 = 15 + 14√3
Daí,
36 + (1 − 𝑏) = 𝑟 (𝑖𝑣)
(9 − 𝑏) = 𝑟 (𝑣)
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36 + 1 − 2𝑏 + 𝑏 = 81 − 18𝑏 + 𝑏
16𝑏 = 44
11
𝑏=
4
Assim, a equação de 𝜆 é:
11 625
(𝑥 − 7) + 𝑦 − =
4 16
Assim, temos:
Então,
25
7−𝑥 =
4
25
𝑥 = 7−
4
3
𝑥 =
4
3
𝑥 =𝑥 =
4
25
𝑥 −7=
4
25
𝑥 = +7
4
53
𝑥 =
4
53
𝑥 =𝑥 =
4
11 25
−𝑦 =
4 4
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11 25
𝑦 = −
4 4
7
𝑦 =−
2
7
𝑦 =𝑦 =−
2
𝐴 , 9 , 𝐵 , 9 , 𝐶 , − e𝐷 , − .
Resposta: a) (𝑥 − 7) + 𝑦 − =
b) 𝐴 , 9 , 𝐵 , 9 , 𝐶 , − e𝐷 , − .
Daí,
𝑘𝑥 = 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥 + (𝑎 − 𝑘)𝑥 + 𝑏 = 0
De 2𝑎 = 8,
𝑎=4
De 𝑎 = 4 e 𝑎 − 4𝑏 = 12,
4 − 4𝑏 = 12
4𝑏 = 4
𝑏=1
Resposta: 𝑎 = 4 e 𝑏 = 1.
Verificação:
Como 𝑎 = −5𝑏,
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−𝑥 + 5𝑦 = 10 𝑥 − 5𝑦 = 10 (𝑖)
𝑆: ⇔
10𝑏 𝑥 − 50𝑏 𝑦 = 1 10𝑏 ⋅ (𝑥 − 5𝑦) = 1 (𝑖𝑖)
Assim, o lugar geométrico de todos os pares ordenados (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ que tornam impossível o
sistema linear dado, é uma reta de equação 𝑎 = −5𝑏.
𝑑 , = (1 − 0) + (3 − 0)
𝑑 , = √10
No triângulo 𝑃𝑂𝐴,
2
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
√10
Daí,
𝑐𝑜𝑠 (2𝜃) = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠 (2𝜃) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠(2𝜃) = 1 − 2𝑠𝑒𝑛 𝜃
2
𝑐𝑜𝑠 (2𝜃) = 1 − 2 ⋅
√10
𝑐𝑜𝑠 (2𝜃) =
( ) ( )
Da equação + = 1,
𝐶(4,2), 𝑎 = 3 e 𝑏 = 2√2, logo,
3 = 2√2 +𝑐
𝑐=1
Como 𝐶(4,2) e 𝑐 = 1,
𝐴(3,2) e 𝐵(5,2)
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O ponto P possui abscissa x e ordenada y e S é a medida da área do triângulo ABP. Segue
que:
3 2 1
5 2 1 = 2𝑦 − 4
𝑥 𝑦 1
|2𝑦 − 4|
𝑆=
2
𝑆 = |𝑦 − 2|
𝑑 = (𝑥 − 8) + (𝑦 − 5)
Logo,
|𝑦 − 2| = 2 ⋅ (𝑥 − 8) + (𝑦 − 5)
(𝑦 − 2) = 4 ⋅ ((𝑥 − 8) + (𝑦 − 5) )
(𝑦 − 2) = 4 ⋅ (𝑥 − 8) + 4 ⋅ (𝑦 − 5)
(𝑥 − 8) (𝑦 − 6)
+ =1
3 4
Resposta: O lugar geométrico dos pontos formado pelos pontos 𝑃 do plano tais que a área do
triângulo 𝐴𝐵𝑃 seja numericamente igual ao dobro da distância de 𝑃 a 𝐹 é dado pela equação
( ) ( )
+ = 1, ou seja, é uma elipse.
O número complexo nas condições dadas que possui o menor argumento é intersecção entre a
circunferência de equação 𝑥 + (𝑦 − 25) = 225 e a reta 𝑦 = 𝑚𝑥, 𝑚 > 0. Note que a reta é
tangente à circunferência.
Então,
𝑥 + (𝑚𝑥 − 25) = 225
𝑥 + 𝑚 𝑥 − 50𝑚𝑥 + 625 = 225
𝑥 (1 + 𝑚 ) − 50𝑚𝑥 + 400 = 0
Como 𝑚 > 0,
4
𝑚=
3
Logo,
25 200
𝑥 − 𝑥 + 400 = 0
9 3
(𝑥 − 12) = 0
𝑥 = 12
De 𝑥 = 12 e 𝑦 = 𝑥,
𝑦 = 16
Assim,
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𝑧 = 12 + 16𝑖
Resposta: 𝑧 = 12 + 16𝑖
Do enunciado, temos:
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A reta s passa pelos pontos 𝐴 3, √3 , 𝐵(4, 0) e 𝐶(𝑥 , 𝑦 ), onde 𝐶 é o centro da circunferência
𝜆.
√3 − 0
𝑚 = ⇒ 𝑚 = −√3
3−4
𝑠: 𝑦 − 0 = −√3 ⋅ (𝑥 − 4)
𝑦 = −√3(𝑥 − 4)
Como 𝐶 ∈ 𝑠,
𝐶 = 𝑎, −√3(𝑎 − 4)
De 𝑚 = −√3, 𝐶𝐵𝐷 = 60°.
No triângulo 𝐶𝐵𝐷,
(𝑟 + 1) = (𝑟 + 2) + 4 − 2 ⋅ (𝑟 + 2) ⋅ 4 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 6 0°
1
𝑟 + 2𝑟 + 1 = 𝑟 + 4𝑟 + 4 + 16 − 2 ⋅ (𝑟 + 2) ⋅ 4 ⋅
2
2𝑟 + 1 = 4𝑟 + 20 − 4𝑟 − 8
2𝑟 = 11
11
𝑟=
2
𝑑 , =𝑟
11
(𝑎 − 3) + (−√3(𝑎 − 4) − √3) =
2
121
(𝑎 − 3) + −√3 ⋅ (𝑎 − 4 + 1) =
4
121
(𝑎 − 3) + √3 ⋅ (𝑎 − 3) =
4
121
(𝑎 − 3) ⋅ (1 + 3) =
4
11
(𝑎 − 3) =
4
𝑎−3= ou 𝑎 − 3 = −
De 𝑎 − 3 = ,
23
𝑎=
4
De 𝑎 − 3 = − ,
1
𝑎=
4
Página 28 de 49
√
𝜆 : Centro no ponto , − e raio igual a
√
𝜆 : Centro no ponto , e raio igual a
Da equação (𝑖),
3𝑦
𝑥=
2
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2𝑎 + 9
𝑦⋅ =3
2𝑎
6𝑎
𝑦=
2𝑎 + 9
Então,
6𝑎
𝑑=
2𝑎 + 9
1
𝑆 = ⋅𝑎⋅𝑑
2
3 1 6𝑎
= ⋅𝑎⋅
2 2 2𝑎 + 9
𝑎 ⋅ 6𝑎
3=
2𝑎 + 9
3 ⋅ (2𝑎 + 9) = 3 ⋅ 2𝑎
2𝑎 + 9 = 2𝑎
2𝑎 − 2𝑎 − 9 = 0
−(−2) ± (−2) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−9)
𝑎=
2⋅2
2 ± √76
𝑎=
4
2 ± 2√19
𝑎=
4
Como 𝑎 > 0,
2 + 2√19
𝑎=
4
1 + √19
𝑎=
2
√
Logo, 𝑁 = , 0 .
Calculando sua área, tem-se que essa será igual a um quarto da área do círculo menos a área
de um quadrado de lado √2, ou seja:
⋅
𝑆 ∩𝑆 = − √2 = −2
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Resposta da questão 20:
[C]
Num quadrado, as diagonais são iguais entre si e medem ℓ√2. A distância do ponto 𝐴 até a
reta 𝑟 é igual a metade da diagonal. Assim, pode-se escrever:
ℓ√2 |2 ⋅ 3 − 3| 6
𝑑 = = →ℓ=
2 √2 + 1 √10
𝑆=ℓ = →𝑆=
√
(0,1) ∈ 𝑟 ⇒ 𝑎 = 1
−√2
𝑟 ⊥ 𝑠 ⇒ 𝑏√2 = −1 ⇒ 𝑏 =
2
√2, 4 ∈ 𝑠 ⇒ 𝑐 = 5
Desenhando:
𝑟: 𝑦 = √2𝑥 + 1
−√2
𝑠: 𝑦 = 𝑥+5
2 √2 121
⇒ √2ℓ + ℓ = 5√2 + ⇒ℓ =
−√2 2 6
,0 ∈ 𝑟
2
5√2, 0 ∈ 𝑠
√ ℓ √
𝑆= =
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Sabendo que (𝑥 , 𝑦 , 𝑟 ) e (𝑥 , 𝑦 , 𝑟 ) são duas progressões geométricas com somas dos
termos iguais a e 21, pode-se escrever:
7 3 √𝑥
𝑥 +𝑦 +𝑟 = ⇒𝑥 +𝑦 = ⇒𝑦 =
4 2 2
3 𝑥 =1
√𝑥 3
𝑥 +𝑦 = ⇒𝑥 + = ⇒ 2𝑥 + 𝑥 = 3 ⇒ 1
2 2 2 𝑦 =
2
𝑥 + 𝑦 + 𝑟 = 21 ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 9 ⇒ 𝑦 = 2 3𝑥
𝑥 =3
𝑥 + 𝑦 = 9 ⇒ 𝑥 + 2 3𝑥 = 9 ⇒
𝑦 =6
Calculando:
𝑧 + 𝑧 + 2 − (𝑎 + 𝑖𝑏) = 0
𝑧 + 𝑧 + 2 = 𝑎 + 𝑖𝑏
Fazendo 𝑧 = 𝛼𝑖:
𝛼𝑖 + 𝛼𝑖 + 2 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑎 =2−𝛼 ⇒ 𝑎 = 2 − 𝑏 ⇒ 𝑏 = 2 − 𝑎 ⇒ (𝑏 − 0) = ⇒ 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (2,0).
𝑏=𝛼
Como o ponto E pertence à reta 𝐴𝐵, podemos escrever que 𝑃(𝑎, + 1).
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𝐴( ) = 10
Página 33 de 49
Determinando agora, a equação da reta 𝐴𝐶, temos:
3
𝑦 − 0 = − ⋅ (𝑥 + 2)
4
Finalmente, resolvendo um sistema com as equações da reta que passa pelos pontos 𝐴 e 𝐶 da
circunferência de equação 𝑥 + 𝑦 − 8𝑥 + 4𝑦 = 20, encontraremos as coordenadas do ponto 𝐶.
3
𝑦 = − ⋅ (𝑥 + 2)
4
𝑥 + 𝑦 − 8𝑥 + 4𝑦 = 20
Se 𝑥 = 0, então 𝑦 = 2
Se 𝑥 = , então 𝑦 = −
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Portanto, 𝑐𝑜𝑠(180° − 𝛼) = − .
Portanto,
1
𝑚 =− e m =3
2
e
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𝑡𝑔𝜃 = = = 7.
⋅ ⋅
25 50
3⋅4+4⋅ − 12 10
𝐴𝐻 = 𝑑A,r = 6 = 3 =
√3 + 4 5 3
Logo, 𝐶𝐻 = e BC = 5
[I] Verdadeira.
|2 ⋅ 0 − 3 ⋅ (−1) + 6| 9
𝑑(𝐴, 𝑟) = =
2 + (−3) √13
|2 ⋅ 0 − 3 ⋅ (5) + 6| 9
𝑑(𝐵, 𝑟) = =
2 + (−3) √13
[II] Falsa. A reta que passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵 é vertical, portanto não é perpendicular à reta 𝑟
que é oblíqua. Concluímos, então que 𝐵 não é simétrico de 𝐴 em relação à reta 𝑟.
[III] Verdadeira.
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5 + (−1)
𝑦 = =2
2
6 ⋅ √3 6 ⋅ √3
𝑥 = = 3√3 ou 𝑥 = − = −3√3
2 2
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Considerando 𝑟 o raio da circunferência, temos o centro no ponto 𝐶(2, 𝑟).
A distância do ponto 𝐶 à reta de equação 𝑥 − 𝑦 = 0, tangente á circunferência, é dada por 𝑟
(medida do raio).
|2 − 𝑘| 2
= 𝑟 ⇔ |2 − 𝑟| = 𝑟√2 ⇒ 2 − 𝑟 = 𝑟√2 𝑜𝑢 2 − 𝑟 = −𝑟√2 ⇒ 𝑟 = 𝑜𝑢 𝑟
√1 + 1 √2 + 1
2
= (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚)
1 − √2
Portanto, o raio da circunferência é: 𝑟 = = 2 ⋅ (√2 − 1) e o centro é o ponto 𝐶(2, 2 ⋅ √2 −
√
2).
[I] Verdadeira.
Vamos admitir os pontos médios da forma 𝑀(𝑥, 𝑦) e O a origem. Como os pontos A e B
estão sobre os eixos, concluímos que o triângulo AOB é retângulo de hipotenusa I, portanto,
𝑂𝑀 = .
Daí, temos:
𝐼 𝐼
𝑂𝑀 = 𝑥 +𝑦 = ⇒𝑥 +𝑦 =
2 4
[II] Falsa.
6𝑥 + 𝑥 𝑦 − 𝑥𝑦 − 4𝑥 − 2𝑥𝑦 = 0
𝑥 ⋅ (6𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑦 − 4𝑥 − 2𝑦) = 0
𝑥 ⋅ (4𝑥 − 𝑦 + 2𝑥 + 𝑥𝑦 − 4𝑥 − 2𝑦) = 0
𝑥 ⋅ ((2𝑥 + 𝑦) ⋅ (2𝑥 − 𝑦) + 𝑥 ⋅ (2𝑥 + 𝑦) − 2 ⋅ (2𝑥 + 𝑦)) = 0
𝑥 ⋅ (2𝑥 + 𝑦) ⋅ (2𝑥 − 𝑦 + 𝑥 − 2) = 0
𝑥 ⋅ (2𝑥 + 𝑦) ⋅ (3𝑥 − 𝑦 − 2) = 0
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Resposta da questão 34:
[D]
Portanto, 𝐷 ,3 .
√
𝑅 = 𝐴𝐷 = −1 + (3 − 4) = = .
Página 39 de 49
𝑚 ⋅ 𝑚 = 1 ⋅ (−1) = −1.
𝑦 =𝑦 e 𝑥 =𝑥 + 𝑘
2𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0
𝑥+𝑦−4=0
Portanto, 𝑃 ,
2
𝑠𝑒𝑛45° = ⇒ 𝑘 = 2√2
𝑘
Portanto, 𝑥 = + 2√2 e 𝑦 = .
𝑥 − 2√2 + + 𝑦− = 4.
|𝑧 − 2| = 1 ⇔ |𝑥 − 2 + 𝑦𝑖| = 1
⇔ (𝑥 − 2) + 𝑦 = 1
⇒ (𝑥 − 2) + 𝑦 = 1 ,
𝐴𝐶 = (2 − 0) + (0 − (−1)) = √5
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e, portanto,
𝐴𝐵 = √5 + 1.
𝐶𝐷 𝐶𝐵 2
= ⇔ 𝐶𝐷 =
𝑂𝐶 𝐴𝐶 √5
𝐵𝐷 𝐶𝐵 1
= ⇔ 𝐵𝐷 = .
𝑂𝐴 𝐴𝐶 √5
Portanto,
√ √
𝑧 =2+ + 𝑖= + 𝑖.
√ √
𝑦−𝑥−2= 0
𝑥 ou
(𝑦 − 𝑥 − 2) 𝑦 + − 2 = 0 ⇔ 𝑥
2 𝑦+ −2=0
2
𝑦=𝑥+2
⇔ ou .
𝑥
𝑦=− +2=0
2
A reta 𝑦 = 𝑥 + 2 intersecta o eixo das ordenadas no ponto 𝐴 = (0, 2) e o eixo das abscissas no
ponto 𝑄 = (−2, 0), enquanto que a reta 𝑦 = − + 2 = 0 intersecta o eixo das ordenadas no
ponto 𝐴 = (0, 2) e o eixo das abscissas no ponto 𝑃 = (4, 0).
𝑥 − 2𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 ⇔ (𝑥 − 1) + (𝑦 − 0) = 9,
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𝑦=𝑥+2
.
(𝑥 − 1) + 𝑦 = 9
Logo, sendo 𝐵 = (1, 3), a área pedida corresponde à soma das áreas do triângulo 𝐴𝐵𝑃 e do
segmento circular, definido pelo arco 𝑃𝐵 . Assim, como:
1 0 1 4 0
(ABP)
2 2 3 0 2
1
| 6 |
2
3 u.a.
π 32 3 2
(BP)
4 2
9 π 18
u.a.,
4
Segue-se o resultado
3+ = ⋅ (3𝜋 − 2) u.a.
Suponhamos que exista uma reta de equação 𝑦 = 𝑘, que seja simultaneamente tangente à
parábola e paralela ao eixo 𝑂𝑥. Desse modo, a equação
𝑥 + (2𝑘 − 2)𝑥 + 𝑘 + 4𝑘 + 1 = 0
𝛥 = 0 ⇔ (2𝑘 − 2) − 4 ⋅ 1 ⋅ (𝑘 + 4𝑘 + 1) = 0
⇔ 4𝑘 − 8𝑘 + 4 − 4𝑘 − 16𝑘 − 4 = 0
⇔ 𝑘 = 0.
Portanto, a parábola admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo 𝑂𝑥.
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Resposta da questão 39:
[B]
0+4+0 4
𝑥 = =
3 3
0+3+6
𝑦 = =3
3
Logo, 𝐺 ,3
√
𝑑= −0 +3 = +9=
𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0 𝑥=0
⇒ ⇒ 𝐵(0,1)
𝑥 + 7𝑦 − 7 = 0 𝑦=1
𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0 𝑥=7
⇒ ⇒ 𝐵(7,0)
𝑥 + 7𝑦 − 7 = 0 𝑦=0
Portanto:
3 0 7 3
Cálculo da área da base: 𝐴 = × ⇒𝐴 = 5𝑢. 𝑎.
2 1 0 2
Perímetro da base:
𝑑(𝐴, 𝐵) = (3 − 0) + (2 − 1) = √10𝑢. 𝑐
𝑑(𝐴, 𝐶) = (3 − 7) + (2 − 0) = √20𝑢. 𝑐
𝑑(𝐵, 𝐶) = (0 − 7) + (1 − 0) = √50𝑢. 𝑐
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𝐴 = √10 + √20 + √50 × 2 + 2 × 5
𝐴 = √10 + √20 + √50 × 2 + 10 𝑢𝑎.
b) 𝑉 =𝐴 ×ℎ ⇒𝑉 = 5 × 2 = 10𝑢𝑣.
Equação da bissetriz r
|𝑥 − 𝑦| |𝑦|
= ⇔ 𝑥 − 𝑦 = √2𝑦 ou x - y = -√2𝑦 (não convém, pois a reta r é cresente)
√1 + 1 √0 + 1
Considerando o lugar geométrico formado pelos pontos P (x, y) que se encontram a duas
unidades da reta r, temos a seguinte equação:
( √ )
= 2 ⇔ (1 + √2). 𝑦 = 𝑥 ± 2. 4 + 2. √2
( √ )
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Resposta da questão 43:
[D]
I(falsa)
A reta mediatriz do segmento BC passa pelo ponto M(7/2, 3) e tem seu coeficiente angular m =
-3/4
Portanto sua equação é y = -3/4 x + 45/8 (reta paralela a reta dada) logo o ponto A não
pertence á reta
Y = -3/4x + 11/2
II(verdadeira)
A distância entre os pontos B e C é 5 logo A pertence a uma circunferência com centro em B e
raio 5
III (Verdadeira)
A pertence à circunferência com centro em C(5,5) e raio 5 e também à circunferência com
√
centro em M(7/2, 3) ponto médio de BC e raio (altura do triângulo)
P1P2 = d
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d2 + 52 = 102 d= 5√3
O
y 2
P
10 2
P P
1
O
1
E o centro 𝐶(1 + 𝑟, 4) = ( , 4)
Logo, a equação da circunferência será:
𝑥− + (𝑦 − 4) = ⇒ 𝑥− + (𝑦 − 4) =
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Resposta da questão 50:
5 (29√2 + 3√29) / 49
𝑧+𝑧+2
𝑊=
|𝑧 − 1| + |𝑧 + 1| − 3
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É o conjunto dos números complexos cujos afixos são os pontos externos à elipse
representada acima.
a é raiz dupla:
S = 2a = 2h - 1
h = a + 1/2
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Resposta da questão 76:
[E]
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