Limites, Continuidade e Derivadas de Funções

INSTITUTO SUPERIOR
POLITÉCNICO E UNIVERSITÁRIO
ISPU
CURSO: ENGENHARIA CIVIL

ANO LECTIVO 04- DISCIPLINA: ANÁLISE MATEMÁTICA I
FICHA DE EXERCÍCIO II
Limites, Continuidade de Funções e Cálculo Diferencial.
1. Prove, a partir da definição de limites de funções, que:
2. Aplicando os teoremas sobre limites, calcule:
3. Calcule os seguintes limites:
4. Calcule os seguintes limites irracionais:
1
5. Calcule os
seguintes
limites quando
x∞:
6. Calcule os seguintes limites trigonométricos:
7. Calcule os seguintes limites notáveis:
2
8. Sendo , calcule .
9. Sendo , calcule .
10. Definida a função m, real de variável real, por , verifique que:

.
11. Calcule os seguintes limites laterais:
12. Sendo e
a. Esboce o gráfico de f e h.
b. Averigúe se existem ou não os limites seguintes:
13. Calcular os limites laterais das seguintes funções:
a) em x = 0;
b) em x = 1;
c) em x = 1;
d) em x = – 1
14. Sendo s uma função real de variável real tal que
(b é um parâmetro real)
3
Calcule b de modo que exista o .
15. Definidas as funções s e t, respectivamente, por:

e
a. Esboce os gráficos de s e t.
b. A partir do cálculo de limites laterais, mostre que nem s nem t têm limite
no ponto x =2.
c. Averigúe se existe .
16. Demostrar que as funções seguintes são contínuas em IR:
17. Dadas às funções: ;

e
a. Represente f, g e h graficamente;
b) Determine o domínio e o contradomínio de f, g e h.
c) Através do gráfico, indique os pontos de descontínuidade de f, g e h.
18. Construir o gráfico, estudar a continuidade e classificar os pontos de

descontinuidade de cada uma das seguintes funções nos pontos indicados:
a) ; em x = –1;
b) , em x = 2
c) , em x = 0
d) , em x = 0
e) , em x = 1
f) , em x = 1
g) , em x = – 1
h) , em x = 3
i) , em x = 3 e x = 1
j) , em x = 2
19. Seja dada a função definida por . Determina o valor
de a de modo que f(x) seja contínua em x = 0.
20. Dada a função definida por .
a) Demonstre que f é descontínua em x = 1 e classifique este ponto de

descontinuidade.
b) Determina o valor de m de modo que f(x) seja contínua em x = –2.
4
21. Qual deve ser o valor de k para que a função
Seja contínua.
22. Baseando da definição da derivada calcular a derivada das seguintes funções:
23. A partir da definição, calcular a derivada da função :

a) Num ponto arbitrário x;
b) No ponto x0 = 0;
c) E determine a equação da recta tangente à curva dada no ponto x = 1.
24. Obter a equação da recta tangente a curva de equação , no ponto x0 =

2.
25. Demostre que a função é contínua em x = 0, mas não derivável no

mesmo ponto.
26. Calcular a derivada das seguintes funções:
27. Calcular a derivada das seguintes funções trigonométricas:
28. Determinar os intervalos de monotonia das seguintes funções:
5
29. Determinar os extremos e pontos de inflexão das seguintes funções:
30. Fazer um estudo tão completo quanto possível das seguintes funções:
31. Considere as seguintes funções:
a. Indique o domínio de cada uma das funções;

b) Zeros das funções;
c) Determine as equações das assimptotas do gráfico das funções;
d) Determine os intervalos de variação, extrema e pontos de inflexão;
e) Esboce os gráficos das funções;
f) Qual é equação da recta tangente ao gráfico no ponto de abcissas x=1.
32. Um indivíduo dispõe de 20 metros de arame com os quais quer vedar um

pequeno parque de forma rectangular num terreno que tem à sua disposição.
Pretendendo obter a área máxima, que dimensões deve escolher para o parque?
33. A comissão de finalistas de uma escola secundária está a organizar um festival

desportivo para angariar fundos. Tendo alugado o pavilhão de um clube da
zona, calcularam que, vendendo por 150.000,00Mt cada bilhete, conseguiram
uma lotação de 500 pessoas. Porém, um estudo mais atento (baseado em
sondagens) levou–os a concluir que, por cada 10.000,00Mt que baixassem
àquele preço, teriam mais 50 pessoas a comprar a comprar o ingresso.
Bibliografias
 G. Baranenkov, B. Demidovitch, Problemas e Exercícios de Análise Matemática, 4ª Edição,
Editora Mir, 1977;
 Di pierro Neto, Scipione, Matemática 2º Grau, São Paulo: Scipione autores e Editores, 1984.
 Spiegel, Murray R., Calculo Avançado, Colecção Schaum, Editora McGraw – Hill do Brazil,
Ltda, 1971.

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2. Aplicando os teoremas sobre limites, calcule:

3. Calcule os seguintes limites:

4. Calcule os seguintes limites irracionais:

6. Calcule os seguintes limites trigonométricos:

7. Calcule os seguintes limites notáveis:

10. Definida a função m, real de variável real, por , verifique que:

11. Calcule os seguintes limites laterais:

13. Calcular os limites laterais das seguintes funções:

15. Definidas as funções s e t, respectivamente, por:

17. Dadas às funções: ;

18. Construir o gráfico, estudar a continuidade e classificar os pontos de

20. Dada a função definida por .

a) Demonstre que f é descontínua em x = 1 e classifique este ponto de

23. A partir da definição, calcular a derivada da função :

24. Obter a equação da recta tangente a curva de equação , no ponto x0 =

25. Demostre que a função é contínua em x = 0, mas não derivável no

26. Calcular a derivada das seguintes funções:

27. Calcular a derivada das seguintes funções trigonométricas:

28. Determinar os intervalos de monotonia das seguintes funções:

31. Considere as seguintes funções:

a. Indique o domínio de cada uma das funções;

32. Um indivíduo dispõe de 20 metros de arame com os quais quer vedar um

33. A comissão de finalistas de uma escola secundária está a organizar um festival

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