Artigos Matemáticos
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Sobre este e-book
Leandro Bertoldo
Membro Correspondente da Academia de Letras de Teófilo Otoni“A todo homem, Deus designou um lugar em Seu grande plano.” Ellen G. White.Leandro Bertoldo cursou as faculdades de Física (1981) e de Direito (2004) na Universidade de Mogi das Cruzes (UMC). Profissionalmente é Chefe de Seção Judiciário, Oficial Maior e Coordenador de Estagiários no Tribunal de Justiça do Estado de São Paulo. Por vocação é consultor, instrutor bíblico, apologista, cientista em exatas, pesquisador em história, conferencista e prolífero escritor.Até o presente momento proferiu mais de 2.500 palestras sacras. Publicou 93 livros, num total de 17.150 páginas impressas, com 37.000 exemplares distribuídos. Esse acervo representa apenas uma pequena parcela do seu legado para o mundo.A sua produção apresenta diferentes seguimentos e estilos literários, abrangendo pesquisas originais nas áreas da Física, Matemática, Química, Teologia, História, Biografia e Poesia. Seus livros são conhecidos em todo o Brasil e fora dele (EUA, Portugal, Espanha e Itália).Suas publicações estão disponíveis em dezenas plataformas digitais e livrarias nacionais e internacionais: Litteris Editora, Clube de Autores, Bibliomundi, Perse, Bookess, Mesa do Editor, Livrorama, Bubok, Xinxii, Kindle Direct, Kobo, Uiclap, Amazon, Livraria Cultura, Americanas.com, Mercado Livre, Estante Virtual, Submarino, Google Play e Apple.Nasceu no dia 3 de março de 1959, natural de São Paulo, SP. É filho do Mestre Geral de Obras, José Bertoldo Sobrinho (1926-2004) e da dona-de-casa, Anita Leandro Bezerra (1941-2010), ambos nascidos em Icó, CE. Seu irmão, Francisco Leandro Bertoldo (1961), nascido em Guarulhos, SP, é Oficial de Justiça em Itaquaquecetuba, SP.Em 25 de junho de 1992, contraiu matrimônio com a Professora e Secretária da Escola Modelo de Mogi das Cruzes, Daisy Menezes (1963). Posteriormente, tornou-se funcionária do Tribunal de Justiça do Estado de São Paulo. Ela tem se destacado como uma excelente pessoa, esplêndida e amigável. Sua presença é reconhecidamente agradável e alegre. Dedica o seu grande instinto maternal à família, pois não teve filhos. Está sempre disposta a ajudar os menos favorecidos. O casal se tornou dono dos amorosos cachorros: Fofa, Pitucha, Calma, Mimo e Serena.Sua filha, Beatriz Maciel Bertoldo (1982), fruto do primeiro casamento de Leandro com Francineide Maciel, é escritora e advogada em Mogi das Cruzes, SP. Casada com Vicente Alves dos Santos Júnior, tem um filho chamado Samuel Bertoldo Alves dos Santos (2016) e uma cachorrinha felpuda chamada Meiga (2014).O autor residiu no bairro de Belenzinho, São Paulo, SP. (1959-1961), Ibiá, MG. (1962-1964) e Mogi das Cruzes, SP. (1965-hoje). Realizou o curso primário na Escola Leonor de Oliveira Mello (1966-1971), o ginásio na Escola Estadual Dr. Deodato Wertheimer (1972-1975), o colegial na Escola Estadual Francisco Ferreira Lopes (1976-1978), faculdades de Física (1979-1981) e de Direito (2000-2004) na Universidade de Mogi das Cruzes (UMC).Há mais de 40 anos trabalha na área jurídica. Ingressou no judiciário paulista no dia 5 de julho de 1976, e fez carreira profissional no Fórum da Comarca de Mogi das Cruzes. Por oito anos (1976-1984) permaneceu lotado no Cartório do Distribuidor Judicial. Em 1984, com a oficialização dos cartórios judiciais do Estado de São Paulo, foi remanejado para o 2o Ofício Cível de Justiça. Galgou quase todos os cargos de sua evolução profissional. Foi Auxiliar de Escrevente (1976-1979), Escrevente Habilitado (1980-1983), Escrevente Judiciário (1984-1991), Chefe de Seção (1992-1999) e Oficial Maior (2000-hoje).Evangelizado pela colega de trabalho, Professora Célia Regina de Souza Xavier, converteu-se ao cristianismo em 1986, com o curso “Encontro com a Vida” e o livro “Caminho a Cristo”. Em seguida fez um curso bíblico mimeografado por Valdir Gonçalves Xavier, e assistiu às aulas presenciais ministradas pelo Ancião da igreja Pedro Bärg (1924-2017). Na primavera de 1987 foi batizado pelo Pastor Davi Augusto Marski na Igreja Adventista do Sétimo Dia central de Mogi das Cruzes, onde ocupou diversos cargos. Foi Vice-Diretor do Departamento de Temperança e Saúde, Secretário do Ministério Pessoal, Diretor Associado do Ministério Pessoal, Coordenador de Pequenos Grupos, Tesoureiro, Professor da Escola Sabatina, Promotor de Literatura, Promotor dos livros do Espírito de Profecia, Professor de Classe Bíblica, Coordenador de Classe Bíblica, Diretor de Classe de Discipulado e Ancião Ordenado (2006) pelo Pastor João Batista da Silva. Em parceria com Paulo César Mazanti (1967-2008), trabalhou no evangelismo pessoal voluntário de casa em casa durante doze anos.Graças ao seu treinamento científico, possui grande capacidade de avaliação e objetividade. É ativo e experiente, com mais de 40 anos dedicados à arte de escrever, fato que contribuiu com o desenvolvimento de suas aptidões intelectuais e visão de mundo. Seu currículo mostra outra grande paixão: a arte de ensinar.Há três décadas ensina, treina e apresenta as mais diversas doutrinas bíblicas em suas classes de estudos, que tem por principal objetivo difundir o conhecimento da Bíblia Sagrada. Em geral, a metodologia de suas aulas é teórico-expositiva, com o uso de “slides”, quadro-negro, com intervalo para perguntas e discussão sobre os temas apresentados ao público-alvo não adventista. Sua dedicação firmou sua reputação como excelente instrutor de Classe Bíblica e professor de Escola Sabatina.Possui uma biblioteca com 6.000 livros, tem boa formação cultural e sólida experiência em estudos bíblicos. É metódico, didático, lógico e claro em suas exposições. Devido ao seu empenho, suas classes alcançaram grande êxito e foram concorridas durante três décadas. Tudo como resultado de sua competência, dedicação, inovação, organização e preparo.Entre várias atividades, destacam-se os cursos de capacitação. Preparou doutrinariamente mais de duas centenas de interessados para o batismo, sendo que mais de 60 foram frutos do seu trabalho pessoal. Capacitou centenas de outras, muitas das quais se tornaram líderes nas igrejas da região.Convidado pelo missionário voluntário e fundador de igrejas, Edson Felix Oliveira, realizou quatro séries de conferências evangelísticas semestrais. A primeira para o grupo de Cezar de Souza (1999). A segunda (2012) e a terceira (2013) conferencias para o grupo do Jardim São Pedro. Todas foram muito bem-sucedidas e resultaram em batismos. Mais tarde, os grupos construíram duas grandes igrejas. A quarta conferencia foi realizada na Igreja do Jardim São Pedro (2018).Visando o seu aprimoramento e crescimento espiritual, a partir de outubro de 1992, fez o Curso de Teologia Sistemática, administrado pelo Pastor Samuel Rodrigues nas dependências da Escola Modelo. No biênio de 2013/2014 cursou com grande aproveitamento o EREM - Estudos em Religião e Escola Missionária, coordenada pelo Pastor Luiz Henrique Santos de Sena, nas dependências do Colégio Adventista de Mogi das Cruzes (CAMOC).Convidado pelo Secretário Geral e Professor Wilson Colares da Costa, em 2020 foi eleito Membro Correspondente da Academia de Letras de Teófilo Otoni.Seu prestígio é resultado de completa dedicação, ferrenha determinação, muito estudos, várias horas extras de atividades, grandes esforços pessoais, superação de incertezas e investimentos pessoais. Com frequência tem sido procurado por colegas para opinar sobre alguns assuntos polêmicos, sabedores de que encontrarão uma resposta consistente e bem fundamentada.Porém, seu sucesso não veio sem intrigas e oposições. Sofreu ataques insidiosos de falsos amigos. À medida que as suas incansáveis atividades ganhavam notoriedade e louvor, encontrou pessoas medíocres, desagradáveis e cobiçosas do sucesso alheio que, por puro despeito, manifestaram animosidade e colocaram empecilho em sua obra, visando desanimar, diminuir, defraudar e desprezar o valor que o seu trabalho merece. Todavia, nada disso abateu o seu ânimo de instrutor bíblico, palestrante, professor de escola sabatina e escritor. O talento do seu trabalho encontrou grandes defensores, o que fez declinar o sol dos encrenqueiros invejosos, que caíram no mais completo ostracismo.Seu interesse pela área de exatas vem desde a sua adolescência, quando começou a produzir várias pesquisas originais sobre temas da Física e da Matemática. No início da década de oitenta, quando era graduando no curso de Ciências Exatas e Tecnológicas na Universidade de Mogi das Cruzes desenvolveu muitas de suas monografias científicas, que resultaram na publicação de 38 livros.Quando assumiu a direção da Classe Bíblica sentiu a necessidade de material mais diversificado, quando então passou a realizar pesquisas bíblicas e a publicar os seus resultados, culminando na produção de 36 livros.Em exatas destacaram-se os livros: Teoria Matemática e Mecânica do Dinamismo (2002); Teses da Física Clássica e Moderna (2003); Colisões e Deformações (2015); Cálculo Seguimental (2005); Artigos Matemáticos (2006) e Geometria Leandroniana (2007), discutidos em cursos de bacharelado.Em Teologia sobressaíram-se os livros: Estudos Bíblicos Avançados (2006); Exercícios de Estudos Bíblicos (2008); Profecias Sobre o Tempo do Fim (2009); A Lei, o Sábado e o Domingo (2010) e Perguntas e Respostas (2011). Entre as suas obras mais vendidas está o livro: Estudos Bíblicos Avançados.Algumas igrejas realizaram com grande aproveitamento Classes Bíblicas com o livro Exercícios de Estudos Bíblicos, que continua sendo o melhor curso e o mais simples, objetivo e completo sobre temas bíblico-doutrinários.
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Artigos Matemáticos - Leandro Bertoldo
Dedicatória
Dedico esta obra à minha querida mãe
Anita Leandro Bezerra,
que com grande esforço, sabedoria e esmerada dedicação
foi bem sucedida em educar-me nos caminhos
da honestidade, da responsabilidade e do conhecimento.
Pensamento
Nada é realmente grande,
senão o que é eterno em suas propensões.
Ellen Gould White
Escritora, conferencista, conselheira
e educadora norte-americana.
(1827-1915)
PREFÁCIO
Os artigos apresentados nesta obra são resultados da intensa atividade intelectual desenvolvida pelo autor como pesquisador nas áreas da Física e da Matemática. Neste livro encontram-se reunidos uma parcela dos artigos matemáticos produzidos pelo autor entre 1978 a 1984, quando ainda era estudante colegial e universitário.
Os artigos estão sendo publicados da forma como foram originalmente produzidos, sem qualquer alteração significativa. É claro que eles não pretendem ser um texto completo sobre o assunto que aborda, mas procura apenas apresentar a tese central defendida pelo autor.
Estes artigos abrangem diversos campos da Matemática. Todos representando idéias, soluções e reflexões originais cogitadas pelo autor, e possuem um certo grau de inovação no mundo da Matemática.
As teses aqui apresentadas foram escritas e demonstradas numa linguagem algébrica elementar. Sendo que em alguns poucos casos, onde eram indispensáveis, os artigos foram ilustrados com gráficos ou figuras geométricas, com o único propósito de facilitar a visualização da tese que o autor defende no artigo considerado. Destarte, o conhecimento de Matemática exigido, para a perfeita compreensão de cada uma das teses defendidas neste livro, corresponde ao programa do Ensino Médio.
A obra que o leitor possui em mãos é constituída por trinta e seis artigos matemáticos, cada qual totalmente independente dos demais. Portanto, os artigos podem ser individualizados e estudados isoladamente.
Aqui o leitor encontrará idéias como: Distribuição de Combinações; Progressão Fatorial Especial; Produtos Invariáveis; Cálculo Variável; Pacotes de Classes Numéricas; Números Virtuais; Propriedades dos Números Primos; Teoria dos Grupos; Legitimação; Cálculo Modular; Modulação; Cálculo Seguimental; Geometria Seguimental.
É esperança do autor que esta obra possa de alguma forma ser útil a todos aqueles que estudam e apreciam a Matemática como um amplo e inesgotável campo de pesquisas científicas.
Leandro Bertoldo
leandrobertoldo@ig.com.br
SUMÁRIO
Artigo I: Cálculo Modular
Artigo II: Modulação
Artigo III: Soma de Uma Progressão
Artigo IV: Progressão Fatorial Especial
Artigo V: Produtos Invariáveis
Artigo VI: Tricais
Artigo VII: Prensão
Artigo VIII: Legitimação
Artigo IX: Diferença Sucessiva Entre Potências
Artigo X: Cálculo Variável
Artigo XI: Pacotes de Classes Numéricas
Artigo XII: Equação Sucessiva
Artigo XIII: Espiral Caracol
Artigo XIV: Números Virtuais
Artigo XV: Determinação do Raio a Partir do Arco
Artigo XVI: Selo na Adição
Artigo XVII: Selo de Multiplicação
Artigo XVIII: Razões Arcométricas
Artigo XIX: Fórmula de Juros Mensais
Artigo XX: Leandronização (I)
Artigo XXI: Arco Quadrilátero
Artigo XXII: Inclusões Geométricas
Artigo XXIII: Propriedades dos Números Primos
Artigo XXIV: Divisibilidade
Artigo XXV: Teoria dos Grupos
Artigo XXVI: Série do Quadrado Perfeito
Artigo XXVII: Série ao Cubo
Artigo XXVIII: Cálculo de Áreas de Algumas Figuras
Artigo XXIX: Valor Bia
Artigo XXX: Distribuição de Combinações
Artigo XXXI: Gráfico Quadriculado (I)
Artigo XXXII: Gráfico Quadricular (II)
Artigo XXXIII: Gráfico Quadricular (III)
Artigo XXXIV: Geometria Estética
Artigo XXXV: Cálculo Seguimental
Artigo XXXVI: Geometria Seguimental
Bibliografia
ARTIGO I
CÁLCULO MODULAR
1. Introdução
O cálculo modular é uma tese altamente científica e poderosa para a solução de vários problemas de engenharia. Verdade é que a generalidade desse cálculo permite sua aplicação nos mais diversos ramos do conhecimento humano.
O cálculo modular que apresento, pode ser considerado como uma importante inovação da matemática, desde o método matemático das fluxões de Newton, que originaria o cálculo diferencial e integral. Essa inovação não é somente caracterizada pelo cálculo em si; mas, pelo método que foi composto.
2. Fi de uma grandeza
Uma definição matemática implica que o "fi" de uma grandeza é a razão entre um valor posterior pelo valor anterior da referida grandeza.
De uma maneira geral, representando a grandeza por G e o seu fi por ϕG, onde ϕ (fi), corresponde à letra maiúscula do alfabeto grego; então, posso escrever que:
ϕG = valor posterior de G/valor anterior de G
Simbolicamente, posso escrever que:
ϕG = GB/GA
Deve-se observar que no presente artigo, a letra grega ϕ indica módulo ou fi de uma grandeza desconhecida.
3. Empregos do Cálculo Modular
O cálculo modular de Leandro é largamente empregado na física. Um dos exemplos mais simples é o seu emprego nas grandezas adimensionais, como o coeficiente de atrito; o coeficiente de restituição; certos coeficientes dinamoscópicos e tantos outros.
4. Funções
Quando dois fis estão relacionados de modo tal que o valor do primeiro é conhecido quando se expressa o valor da segunda, digo que o primeiro fi é uma função do segundo.
5. Grandezas fis e Constantes
Toda grandeza é fi quando apresenta um número ilimitado de valores. Já uma grandeza é uma constante, quando apresenta um valor fixo.
Os fis são indicados pelas últimas letras do alfabeto e as constantes pelas primeiras.
6. Fis Independentes e Dependentes
Um fi, à qual se podem atribuir valores arbitrariamente escolhidos, diz-se fi independente. O outro fi, cujo valor é determinado quando se dá o valor do fi independente, diz-se fi dependente ou função.
7. Notação das Funções
O símbolo f(x) é usado para indicar uma função de x. Para indicar distintas funções, basta simplesmente mudar a primeira letra como em T(x), d(x) etc.
8. Intervalo de um Fi
Com uma certa freqüência, emprega-se o símbolo (a, b) sendo a menor do que b, para caracterizar todos os números compreendidos no intervalo a e b, eles inclusive, a menos que o contrário seja estabelecido.
9. Fi Contínuo
Um fi x fia continuamente em um intervalo (a, b) quando x cresce do valor a, para o valor b, de tal modo a tomar todos os valores compreendidos entre a e b na ordem de suas grandezas; ou quando x decresce de x = b para x = a tomando sucessivamente todos os valores intermediários.
10. Unitésimo
Um fi v, que tende a "um, digo
unitésimo". E escreve-se:
lim v = 1 ou v → 1
Isto significa que os valores sucessivos de v se aproximam de um.
Se lim v = l, então lim v/l = 1, isto é, a razão entre o fi e o seu limite é um unitésimo.
ARTIGO II
MODULAÇÃO
1. Introdução
Vou investigar o modo pelo qual uma função muda de valor quando o fi independente sofre modulação.
2. Acréscimo Modular
O acréscimo modular de um fi que muda de um valor numérico para outro é a razão entre este segundo valor e o primeiro. Um acréscimo modular de x é indicado pelo símbolo ϕx, que se lê "fi de x".
Um acréscimo modular pode ser positivo se o fi cresce e negativo se decresce. Paralelamente, posso afirmar que:
a - ϕx indica um acréscimo modular de x;
b - ϕy indica um acréscimo modular de y,
c - ϕf (x) indica um acréscimo modular de f(x);
d - etc.
Se em y = f(x) o fi independente x toma um acréscimo modular ϕx, então ϕy indicará o correspondente acréscimo modular do fi dependente y.
O acréscimo modular ϕy é, pois, a razão entre o valor que a função toma em x . ϕx e o valor da função em x.
3. Comparação de Acréscimo Modulares
Primeiramente considere a seguinte função:
y = x²
Tomarei um valor inicial para x e darei a este valor um acréscimo modular ϕx. Evidentemente y receberá um acréscimo modular correspondente ϕy, e tem-se:
y . ϕy = (x . ϕx)²
ou
y . ϕy = x² . ϕx²
Dividindo a referida igualdade por: y = x², resulta que:
y . ϕy/y = x² . ϕx²/x²
Eliminando os termos em evidência:
ϕy = ϕx²
Dessa forma, obtém-se o acréscimo modular ϕy em termos de ϕx.
Para achar a diferença entre os acréscimos modulares, subtraem-se ambos os membros da última igualdade por ϕx; tem-se:
ϕy - ϕx = ϕx² - ϕx
4. Taxa de Acréscimos Modulares
Considere uma função contínua e os números reais x0 e x. A relação:
[f(x)/f(x0)] –