Corrigido 1
Corrigido 1
Corrigido 1
Eden
Amorim e Israel Vainsencher
Departamento de Matemaica da UFMG
26 de agosto de 2008
A K
atia, por muito mais motivos
do que caberiam nessa margem. . .
Pref
acio
. . . la Math
ematique est lart de donner
le m
eme nom `
a des choses diff
erentes.
(Henri Poincar
e, Science et Methode, 1908.)
5
tropical n
ao se reduz a uma simples adaptacao das mesmas demonstrac
oes.
No primeiro captulo, fazemos uma incursao pictorica, elementar,
para visualizar algumas curvas planas tropicais: retas e conicas.
Em seguida, descrevemos a noc
ao de ameba de uma curva plana
cl
assica, bem como o processo limite que resulta no esqueleto combinat
orio. A algebrizac
ao desse processo e introduzida por meio das
series de Puiseux e valorizac
ao. A estrutura de semi-anel tropical e
em particular de polin
omios tropicais s
ao apresentadas como prerequisito para uma primeira definic
ao formal de curva plana tropical.
Nas sec
oes finais desse captulo esbocamos a comparacao entre curva
plana cl
assica e sua tropicalizac
ao.
As principais ferramentas de natureza combinatoria sao exploradas no captulo 3: o polgono de Newton, subdivisoes, a condicao de
balanceamento. Definimos tambem o grau e o genero. A u
ltima secao
lista os tipos combinat
orios de c
onicas tropicais nao degeneradas.
O captulo 4 trata da teoria de intersecao de curvas planas tropicais. A principal novidade e a noc
ao de intersecao estavel, sem
paralelo no mundo cl
assico.
O pr
oximo captulo serve de base para o teorema de RiemannRoch, incluindo as definic
oes de divisores e equivalencia racional.
Como primeira aplicac
ao, apresentamos a estrutura de grupo de uma
c
ubica elptica tropical.
O captulo final contem uma exposic
ao do teorema de RiemannRoch tropical.
Entre as principais referencias que seguimos, mencionamos Grigory Mikhalkin [9, 10], Andreas Gathamann [5], Matthew Baker e Serguei Nourine,[1] e Vincius G. Ramos [12].
Desnecess
ario enfatizar que, por limitacoes de espaco, tempo e
competencia, muitos pontos centrais foram omitidos. Esperamos ao
menos instigar o leitor `
a tarefa de consultar a bibliografia e confirmar
a frase anterior. . .
Belo Horizonte, 26 de agosto de 2008.
Sum
ario
1 Bem-vindo ao plano tropical!
1.1 Reta tropical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 C
onica tropical? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
10
2 Curvas tropicais
2.1 Amebas e o mapa tropical
2.2 O semi-corpo tropical . .
2.3 Polin
omios tropicais . . .
2.4 Curvas tropicais planas .
2.5 Curvas algebricas cl
assicas
tropicais . . . . . . . . . .
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12
12
15
16
18
. . . . . . . . . . . .
21
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
versus
. . . .
3 Combinat
oria tropical
3.1 Polgono de Newton . . . .
3.2 Condic
ao de balanceamento
3.3 Multiplicidade e polgono de
3.4 Grau e genero . . . . . . . .
3.5 Retas e c
onicas . . . . . . .
4 B
ezout e Bernstein
4.1 Teorema de Bezout . .
4.2 Bezout tropical . . . .
4.3 Intersec
ao est
avel . . .
4.4 Teorema de Bernstein
.
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6
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Newton
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23
23
28
29
30
32
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35
35
36
39
40
SUMARIO
5 Divisores
5.1 Divisores e func
oes racionais . .
5.2 C
ubicas e a estrutura de grupo
5.3 Homeomorfismo entre e S 1 .
5.4 A estrutura de grupo . . . . . .
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42
42
43
45
46
6 O Teorema de RiemannRoch
6.1 Revis
ao do caso cl
assico . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Condic
oes de RiemannRoch . . . . . . . . . . . .
6.3 De volta a grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Teorema de RiemannRoch para Zgrafos . . . . .
6.5 RiemannRoch para Qgrafos . . . . . . . . . . . .
6.6 RiemannRoch para curvas tropicais generalizadas
.
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48
48
49
53
62
67
71
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A Grafos
76
B Breve hist
orico
79
Captulo 1
Bem-vindo ao plano
tropical!
1.1
Reta tropical
Uma reta tropical no plano real R2 e definida como o grafo mergulhado (veja o apendice, (A.1)) constitudo por um vertice trivalente
com arestas ilimitadas nas direc
oes (1, 1), (0, 1) e (1, 0), formando
um Y, como na figura 1.1.
qqqq
qqqq
q
q
q
qq
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq
qq
qqq
qq
q
Figura 1.1: Reta tropical
A exemplo do que ocorre na geometria analtica elementar, esperamos, intuitivamente, que retas tropicais
variem com dois graus de liberdade;
sejam determinadas por dois pontos de passagem;
encontrem-se, duas a duas, em um s
o ponto.
8
f.reta
f.reta.pontos
...
... .......
.
.
.
...............................
..............................F ...
..
..
..
..
..
..
.
..
....
.
.
.
.
................................
......
...
.F
.............................. ...
.. ..
..
..
..
...
.
.....
.
.
....
.
.
..............................
.
..
.........F
......................
.. ..
.. ..
. ..
.
f.inter.retas
10
1.2
C
onica tropical?
....
.
.
.
............................ .....
... .....
.........
.
.. .....
.
.
.
.................
...
...
...
...
..
Figura 1.4: Uma c
onica tropical
Observe que o caso do par de retas pode ser imaginado como uma
degenerac
ao da c
onica da figura 1.4, fazendo o comprimento de uma
das arestas limitadas tender a zero.
f.conicas
[SEC. 1.2: CONICA
TROPICAL?
11
Captulo 2
Curvas tropicais
2.1
Para entender o aspecto dos grafos apresentados no captulo anterior, vamos estudar as chamadas amebas de curvas planas. Considere
o mapa
Log :
(C )2
(z1 , z2 ) 7
R2
(x1 , x2 ) := (log |z1 |, log |z2 |).
(2.1)
...
......
.
.
.
.
.
.
......
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............................. ..
.... ..
... ..
.....
......q
q
...
........... .
.
.
.
.
... .. .....
............ ..................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....... ....
......................
.
..........
..
................
.
.
.....
... ..... ...
... .. ... ..
.. ..
q
Figura 2.1:Ameba da reta x + y = 1 e a de uma conica
As pernas ou tent
aculos horizontal/vertical provem das ima12
e.mapa.ameba
13
gens de pontos pr
oximos das intersec
oes com os eixos coordenados
(log 0 = ...!).
Exerccio 7. Mostre que se z12 + z22 = 1 ent
ao o limite de
para |z1 |, |z2 | e igual a 1.
log(|z1 |)
log(|z2 |)
.
.....
.
qqq
.
.
.
.
qqq
.....
.
.
q..qqqq
.
.
.
.
.
qqqq
.
.
.
q
.
.
.
.
q
.
.
.
.
q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............................................ .... qqqqq.q.................................. qqqqqqqq.q........................
... .
.... .
..qqq
.....
... ..
.
qq
.
q
....
qq
qq
qq
......qq
qq
.
.....
.
.
........................
..
..
..
q
Figura 2.2: Ameba da reta x + y = 1 degenerando a seu esqueleto
f.amebadegen
14
e.a
em que
cada coeficiente aq C;
o subconjunto dos racionais onde aq
inferiormente e
6=
0 e limitado
(K )2
(z1 , z2 ) 7
R2
(x1 , x2 ) := (v(z1 ), v(z2 )).
(2.3)
e.mapatrop
15
2.2
O semi-corpo tropical
adic
ao tropical :
multiplicac
ao tropical :
a b = max{a, b}, a, b R
a = a a R
=
a b = a + b, a, b R
a = a R
=
16
(R, ) e um mon
oide comutativo, ou seja, a adicao tropical e
associativa, comutativa, com elemento neutro . Observe
que nenhum elemento de R admite inverso aditivo;
(T, ) e um mon
oide, cujo elemento neutro e 0;
a multiplicac
ao se distribui sobre a adicao;
O elemento neutro da adic
ao, , satisfaz a = , a
T.
Alem disso, note que
(T, ) e de fato um grupo abeliano, com a divisao tropical
definida por a b = a b, se b 6= . Por isso, dizemos
que (T, , ) e um semi-corpo;
Temos a a = a, para todo a T, ou seja, T e idempotente.
2.2.1. Observa
c
ao. Por simplicidade de notacao, denotamos a
exponenciacao em T por ar ao inves de ar , ou seja, ar = r a
com a multiplicac
ao usual.
Exerccio 10. Escreva a tabela das operac
oes , para {1, 2, . . . , 5}.
Mostre que propriedades da aritmetica tropical realizam o sonho de
muitos alunos: (a b)n = an bn a, b T, n = 1, 2, . . . :-).
Definimos a topologia no semi-corpo tropical T atraves da identificac
ao com [, ): a base de abertos e dada por {x T; x > a} e
{x T; x < b}, para a, b T = R.
O espaco tropical afim de dimens
ao n e definido como o espaco
topol
ogico
Tn = [, )n
Exerccio 11. Defina uma noc
ao de m
odulo sobre um semi-anel e
mostra que Tn = [, )n e um Tm
odulo.
2.3
Polin
omios tropicais
Um polin
omio tropical e uma express
ao da forma
M
p(x) =
aj xj ,
jJ
(2.4)
e.poltrop
17
A
af
satisfazendo, para a, b T e f A,
? (a b) f = a (b f );
?? a f 6= b f se a 6= b;
? ? ? f = 0A ;
o T-cone e compatvel com as operacoes do semi-anel, isto e,
a (f g) = (a f ) g;
dados f, g, h A, se f g = f h, entao g = h ou f e divisor
de zero, isto e, existe f tal que f f = 0A .
A condic
ao ?? acima mostra que o semi-corpo tropical mergulha
na
algebra tropical, mediante o homomorfismo de semi-aneis A : T
A, definido por A (a) = a 1A = a. Em particular, vale 0A = e
1A = 0.
Outra
algebra tropical e a das func
oes regulares de Tn , denotada
n
n
por O(T ). Um elemento de O(T ), chamado de func
ao regular, e
da forma
Tn
T
x 7 f (x),
18
ex.1
2.4
Considere um polin
omio tropical f T[x, y], ou seja,
M
f=
aj xj1 y j2 = max{aj + j1 x + j2 y}
jJ
jJ
(2.5)
e.curva.trop
19
qqq
qq qqqqqqq
qqqq qqqqqqq
qqqq
qqqq
qqq
qqqq
qqqq
qqqq ............
qqq .. ....... . z
qqq...q
q
q
q
q
q
..
qqq qqq ...
qqqq .......... qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq ......
... qqqqq
q
..qq
qqqq ...
q..q...qq..q...q.q qqqqqqqq..........q qqqqqqqq ............................... .....
q
q
q
q
q
q
qqqqqq ..q..qq..qq..q..q..q..q..... ......... qqqqqq.q.............................y ......
qqqqqqq
..
qqq ........ .... qqq.............
qqqqqqqqqq
qqqq qqqqq...q...q......q.......q......q............................................................................... x = y
q
qqqq
q
q
.....
.....
qqqq qqqqqq qqqqqqqqqq
.....
.....
qqqq qqqqqqqqq
.....
..... .
qqqqqq
.... .
.................... x
Figura 2.3: Gr
afico da func
ao z = max(x, y, 0)
f.esq
Figura 2.4: Gr
aficos de func
oes tropicais de graus 2 e 3
f.esq2
20
Essa definic
ao, a princpio, difere da nocao classica de curva plana
pois n
ao consiste em soluc
oes para equac
oes polinomiais. Mas, considerando que em T o elemento anulador1 e , vamos agora interpretar uma curva tropical como conjunto das solucoes de f (x, y) =
. Mas antes, recomendamos o seguinte exerccio:
Exerccio 15. Baseado na definic
ao de curva tropical, qual seria a
definic
ao natural para superfcie tropical em T3 ?
Seja G(f ) R2 R o gr
afico da funcao f : R2 R e defina o
conjunto
G(f ) := G(f ) {(x, y, z)|(x, y) T (f ), z f (x, y)}
Esse conjunto coincide com a superfcie em T3 dada pelo polinomio
tropical z f (x, y). De fato, se (x, y, z) G(f ), entao temos que
z e algum mon
omio de f atingem o maximo em
z f (x, y) = max{z, f (x, y)}.
Se (x, y) T (f ) e z < f (x, y), ent
ao ao menos dois monomios de f
atingem o m
aximo, pela definic
ao de curva tropical.
Podemos ent
ao tomar T (f ) T2 como G(f ) {z = }. A
figura 2.5 mostra essa construc
ao.
Pelo exerccio (12) dado no final da secao anterior, vemos que
dois polin
omios tropicais distintos podem representar a mesma curva
tropical. Alem do caso onde os polin
omios tropicais representam a
mesma func
ao, h
a outras ambig
uidades, como ilustram os exerccios
a seguir.
Exerccio 16. Verifique que os pares de polin
omios definem a mesma
curva tropical:
(a) x2 x y x
(b) x y 2
q.uniao
x y 0;
2 x 2 y 4.
TROPICAIS
21
..
... .....
..
.
..
...
....
...
....
...
....
.
....
..
....
...
....
.
.
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.. .......
.. ......... ...
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...... ..... ...
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......
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......
....
.....
....
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...
......
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.. ... .. ... ..
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.. ... . ........
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.....
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...
........
..
......... ..
....
...
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...
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...
..
....
.... .................
...
.... ... .........
...
..............
...
..
..
..
.
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqqqqq
qqqqqq
2.5
f.esqbis
Curvas alg
ebricas cl
assicas versus
tropicais
associamos o polin
omio tropical
M
j
f T (x1 , x2 ) =
(v(aij ) xi
1 x2 ) =
(2.6)
i,j
A tropicalizac
ao de um polin
omio permite mostrar a equivalencia das definic
oes de curva tropical dadas ate agora: como imagem de
uma curva algebrica cl
assica pelo mapa Trop e como lugar geometrico
associado a um polin
omio tropical.
kap
22
Prova.
P
T (C) T (f T ). Seja (z1 , z2 ) com f (z1 , z2 ) =
aj z1i z2j = 0 e
(x1 , x2 ) = Trop (z1 , z2 ) = (v(z1 ), v(z2 )). Pela definicao da valorizac
ao, f (z1 , z2 ) = 0 implica que o maximo dentre os termos
v(aj z j ) = v(aj ) + j1 x1 + j2 x2 deve ocorrer para ao menos dois
deles. Como esses termos lineares s
ao os monomios do polinomio tropical f T calculados em (x1 , x2 ), temos que (x1 , x2 ) T (f T ).
T (f T ) T (C). Uma demonstrac
ao e feita em [7] e usa a caracterizac
ao de curva tropical que daremos no proximo captulo.
Exerccio 18. Desenhe as tropicalizac
oes das curvas cl
assicas
seguintes: (i) z1 + z2 = 1; (ii) z12 + z1 z2 + z22 + 2z1 3z2 = 1.
19. Exemplos de polin
omios cl
assicos f, g K[z1 , z2 ] distintos e com
mesma tropicalizac
ao.
Captulo 3
Combinat
oria tropical
3.1
Polgono de Newton
Dado um polin
omio tropical f T[x, y] com suporte J Z2 ,
considere o fecho convexo de J em R2 , chamado polgono de Newton associado a f , denotado por f . A construcao da curva tropical
T (f ) e realizada atraves de uma subdivis
ao de f , induzida por f
do modo que passamos a descrever.
Em geral, dado um polgono com vertices em Z2 , uma subdivis
ao de e uma famlia {i }ki=1 de polgonos convexos com vertices
em Z2 tal que i j e uma face comum de i e j (possivelmente
vazia) sempre que i 6= j e f = 1 k . Veja a figura 3.1. Uma
subdivis
ao e dita convexa ou coerente se existe uma funcao linear por
partes convexa : R tal que os polgonos sobre os quais e
linear afim coincidem com os polgonos da subdivisao.
Definimos o mapa de levantamento
f : J
j
R
aj
24
[CAP. 3: COMBINATORIA
TROPICAL
{(j, u) J R | u f (j)}.
Definimos a func
ao
ef : f R
como a extens
ao convexa do mapa J R dado por
e f }.
j 7 min{u | (j, u)
A func
ao ef e portanto linear por partes e convexa. Seu grafico
e f . A subdivisao
pode ser visto como a parte inferior do poliedro
de f induzida por f e definida pela projecao da parte nao linear
do gr
afico de ef sobre seu domnio f e e denotada por Subdivf .
Observe que, por construc
ao, esta subdivisao e convexa.
Na figura 3.1 no lado esquerdo est
a o grafico da funcao ef correspondente ao polin
omio tropical x2 3xy3.5x3y 2 3y1.5
(feito usando polgonos no maple). Nesse exemplo, a funcao f e dada
por
(x2 ) [2, 0] 7 1,
(3 x y ) [1, 1] 7 3
(3.5 y ) [1, 0] 7 3.5,
(3 y 2 ) [0, 2] 7 3
(3 y ) [0, 1] 7 3
(1.5 ) [0, 0] 7 1.5.
Consideremos os pontos v1 = [2, 0, 1], v2 = [1, 1, 3], . . . , v6 =
[0, 0, 1.5] no gr
afico de f . Para cada (x, y) no triangulo J : x + y =
f.subd
25
2, x, P
y 0,Ptemos ef (x, y) = min(v[3] | v[1] = x, v[2] = y) onde
v = ti vi , ti = 1, ti 0, combinac
ao convexa de v1 , . . . , v6 .
Temos tambem que a curva tropical T (f ) gera uma subdivisao de
T2 como segue. Dado u T2 defina o conjunto
Jf (u) := {j J | f (u) = aj uj }.
Em palavras, e o conjunto dos ndices correspondentes aos monomios
para os quais f (u) atinge seu valor m
aximo. Agora, dado um poliedro
em Subdivf , definimos
Vf = {u T2 | Jf (u) = J},
o conjunto dos pontos de T2 em que f (u) atinge seu maximo exatamente nos mon
omios com ndices em . Por serem definidos por
sistemas de inequac
oes lineares, esses conjuntos sao poliedros convexos (possivelmente ilimitados) em T2 .
{j}
Essa subdivis
ao de T2 e a subdivis
ao Subdivf estao intrinsecamente relacionadas.
3.1.1. Defini
c
ao. Dizemos que duas subdivisoes S e T de poliedros
em um espaco de dimens
ao n s
ao duais se existe uma correspondencia
biunvoca entre os poliedros (ou celulas) que as constituem satisfazendo as seguintes condic
oes: se e s
ao celulas de S e T respectivamente correspondentes, temos
dim + dim = n;
e geram espacos afins ortogonais (dizemos que e sao
ortogonais);
26
[CAP. 3: COMBINATORIA
TROPICAL
t.subdiv.dual
3.1.2. Teorema.
{j}
| j J} de T2 s
ao duais.
corresponde `
a celula Vf e naturalmente essa correspondencia inverte
a ordem da inclus
ao. A dualidade segue do fato que as equacoes
.......
... ......
.... ..........
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
....
.....
...
.
..............................................
..
.....
.
.
.......................
..
..
..
Figura 3.2: Dualidade
...
... ....
... ....
..
...
..
...
.
...
...
...
..
..
...
. .. ..
. ..
. .. ..
. ..
. .. ...
..
f.subduais
27
Considere o polin
omio tropical q(x, y) = xy2x2y1. Seu
polgono de Newton q e o quadrado unitario mostrado `a esquerda
da figura 3.3. Pela func
ao de levantamento, os vertices (0, 0) e (1, 1)
de q recebem o valor 1, enquanto (0, 1) e (1, 0) recebem o valor 2.
Assim, a subdivis
ao Subdivq de q e o tipo combinatorio da curva
T (q) ficam como na direita da figura 3.3.
(1, 0)
(1, 1)
(0, 0)
(1, 0)
...............................................
...
... ......
...
... .......
.....
...
..... ....
...
..... ...
...
. .
................................................
f.quad.newton
28
[CAP. 3: COMBINATORIA
TROPICAL
...
...
.
.
.
. .P.....2.........
.
.
.
...
...
.
.
.
.
P1 ...
...................
..
..
Figura 3.4: T (x y 2 x 2 y 1)
3.2
f.trop
Condi
c
ao de balanceamento
mi vi = 0,
(3.1)
i=1
e.equil
29
urva.tropical
q.eq.quad
q.eq.vert
.mult.vertice
3.3
(3.2)
30
[CAP. 3: COMBINATORIA
TROPICAL
P , i = 1, 2, 3. Ent
ao
m P
= m1 m2 |v1 v2 | = m2 m3 |v2 v3 | =
(3.3)
= m1 m3 |v1 v3 |,
onde v1 v2 denota a
area (orientada) do paralelogramo gerado; as
igualdades acima s
ao justificadas pela condicao de equilbrio (3.1)
aplicada ao vertice P .
Dizemos que uma curva tropical e n
ao singular ou lisa se possui
apenas vertices trivalentes e com multiplicidade 1.
Exerccio 23. Calcule a multiplicidade dos vertices das curvas dos
exerccios (21), p
ag.29. e 21.
q.quad.def
au.ilimitadas
3.4
Grau e g
enero
e.mult.vertic
31
q.grau
P V
32
[CAP. 3: COMBINATORIA
TROPICAL
3.4.3. Corol
ario.
g=
(d 1)(d 2)
3 2
(d d) d2 + 1 =
.
2
2
3.4.4. Observa
c
ao. O genero de uma curva tropical qualquer
e definido atraves de parametrizac
oes tropicais. Estas sao imersoes
do tipo G Rn , com G um grafo metrico, satisfazendo certas
condic
oes. O genero de e assim definido como o mnimo do genero
dentre todos grafos metricos que parametrizam . Veja [9].
Em particular, temos uma express
ao para o genero de uma curva
tropical simples, que e uma curva que possui apenas vertices trivalentes de multiplicidade 1 e vertices tetravalentes de multiplicidade 2
(ou seja, com polgono de Newton formado por triangulos primitivos
e paralelogramos de
area 1). Seu genero e dado por g = tx
2 + 1,
onde t e o n
umero de vertices trivalentes e x e o n
umero de arestas
ilimitadas.
Exerccio 28. Calcule o genero das curvas do exerccio 24.
Exerccio 29. Se e uma curva simples de grau d, mostre que seu
genero e dado pela f
ormula
g=
(d 1)(d 2)
p,
2
onde p e o n
umero de vertices tetravalentes, considerados os pontos
singulares de .
3.5
Retas e c
onicas
33
y =x+ab
y cb
x=ca
2
{(x, y) T | x + a = c y + b}, (vertical)
y cb
y =cb
{(x, y) T2 | y + b = c x + a}, (horizontal)
x c a.
{(x, y) T2 | x + a = y + b c},
.......................
....... .......
.. ..... .. ......
........................................
... ..................
.................. ......
.. .........................
.............................................
......................
.. .............
.. ..... .. ......
........................................
... ...........
....... .... .......
.. ......... .. ......
...........................................
f.conicascomb
34
[CAP. 3: COMBINATORIA
TROPICAL
Captulo 4
B
ezout e Bernstein
4.1
Teorema de B
ezout
O teorema de Bezout cl
assico fornece o n
umero de pontos de intersec
ao de duas curvas algebricas planas. Se f, g C[x, y] denotam
polin
omios n
ao constantes, sabemos que a intersecao das curvas
Cf = {(x, y) C2 | f (x, y) = 0}
Cg = {(x, y) C2 | g(x, y) = 0}
e finita se e s
o se mdc (f, g) = 1. Nesse caso, o n
umero de pontos
na intersec
ao e gr (f ) gr (g), produto dos graus. A exemplo do
que fazemos para contar razes de polin
omios a uma variavel, definese a noc
ao de multiplicidade de intersec
ao, mf g P , para cada ponto
P C2 . Ela e caracterizada pela seguinte lista de propriedades
naturais:
1. mf g P = mgf P ;
0
P 6 Cf Cg ;
2. mf g P =
P Ch Cf Cg ;
3. mf (gh) P = mf g P + mf h P ;
4. mf (g+hf ) P = mf g P ;
5. mxy (0, 0) = 1;
6. mf g P = mT f T g T 1 P ;
35
36
[CAP. 4: BEZOUT
E BERNSTEIN
Esta u
ltima condic
ao, invari
ancia por mudanca de coordenadas, T
denota uma transformac
ao T : C2 C2 da forma T (x, y) = (ax +
by + c, a0 x + b0 y + c0 ) com a, b, . . . , c0 C tais que ab0 a0 b 6= 0, o que
garante bijetividade. Definimos o polin
omio transformado T f (x, y) =
f (ax + by + c, a0 x + b0 y + c0 ).
Levando em conta as multiplicidades, o Teorema de Bezout classico
nos diz que, se Cf Cg e finita, ent
ao
X
mf g P gr (f ) gr (g).
P C2
Na soma, apenas um n
umero finito de pontos contribuem. Levando
em conta os chamados pontos no infinito (as direcoes assintoticas), a
desigualdade acima torna-se de fato uma igualdade. Veja [4] ou [14].
4.2
B
ezout tropical
4.2.1. Defini
c
ao. Sejam m, n as multiplicidades e u, v os vetores
inteiros primitivos das arestas de C e D, respectivamente, que se
encontram no ponto P . Ent
ao a multiplicidade de intersec
ao em P e
definida por
mCD P = m n |u v|.
(4.1)
Exerccio 34. Calcule as multiplicidades de intersec
ao dos pares de
retas tropicais da figura (1.3), p
ag.9.
35. Escolha um par de c
onicas tropicais transversais e calcule as multiplicidades de intersec
ao.
Podemos enunciar agora o teorema de Bezout tropical.
e.mult.inter
[SEC. 4.2: BEZOUT
TROPICAL
37
4.2.2. Teorema. Sejam C e D curvas tropicais de graus c e d respectivamente no plano tropical T2 . Se as duas curvas se encontram em
um n
umero finito de pontos, ent
ao o n
umero de pontos de intersec
ao,
contando multiplicidades, e igual a c d.
Prova. Vamos examinar v
arios casos.
C e D em posic
ao especial.
Isto significa exigir que os pontos de intersecao estao nas arestas ilimitadas na direc
ao horizontal para C e vertical para D. Nesse caso,
acil ver que ha exatamente c d
tendo em mente a observac
ao 3.4.1, e f
pontos de intersec
ao.
...
.
.
.
........
.
.................. .....
....................
..
..
.
.
......................
.
.
..
..........
.. ....
..........
.
C e D com intersec
ao transversal e em posic
ao geral. Veja a figura 4.1.
Para duas curvas C e D com intersec
ao transversal, mas em posicao
mais geral, vamos construir uma homotopia que as move para a
posic
ao especial descrita acima. Fixamos C e criamos uma homoao especial com C, consistindo
topia Dt , com D0 = D e D1 em posic
em uma translac
ao por um caminho linear por partes. Podemos supor
que esse caminho e tal que para nenhum valor de t ocorra encontro
de vertices de Dt e C e que, com excec
ao de um n
umero finito de
valores de t, C e Dt tenham intersec
ao transversal. Sejam t1 , . . . , tr
os valores de t para os quais C e Dt deixam de se encontrar transversalmente. No intervalo (ti , ti+1 ) as multiplicidades de intersecao e
o n
umero de pontos de intersec
ao permanecem inalterados. Vejamos
f.intcon
38
[CAP. 4: BEZOUT
E BERNSTEIN
j=1
Pela condic
ao de P
equilbrio emPP , temos
k
l
v (i) + i=1 w
~ (i) = 0.
i=1 ~
Portanto
!
k
l
X
X
(i)
(i)
0 = u
~v +
w
~
=
j=1
k
X
u ~v (j) +
j=1
j=1
l
X
uw
~ (j) =
j=1
= m0 m00
39
ESTAVEL
4.3
Interse
c
ao est
avel
4.3.2. Corol
ario. Quaisquer duas curvas de graus c e d no plano
tropical T2 se encontram estavelmente num conjunto bem definido de
c d pontos, contando multiplicidades.
..
..
.....
.....
.
.....
.....
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.......................
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........................
.....
...
.
f.intersestav
40
[CAP. 4: BEZOUT
E BERNSTEIN
....
....................
..
..
....
....
.....
.....
.....
.....
...............................
.........
..
...........................
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.....
.....
.....
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.....................
...
.
. ....
......
..... ...
........
..... ...............
.
........................ ...
... .
... ...
... ..
... ... ... ....
.
..
.... .................
... ...... ..
......... ...
... ..
.
.
... .
... ..
... ...
.. .....
.
. .
......... .
.......... .
..... .......... .... ...
............................ .... .....
.... ...
..... .
..
(ii)
.
...............
..
....
....
.....
.....
.....
.....
...............................
.........
..
...........................
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.....
.....
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.....................
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.....
...
.. ......
.
....
.. .
.
.....
.
.
.
.
........
.... .
...
4.4
Teorema de Bernstein
f.intersestav
41
1
1
1
(c + d)2 c2 d2 = c d.
2
2
2
Captulo 5
Divisores
5.1
Divisores e fun
c
oes racionais
[SEC. 5.2: CUBICAS
E A ESTRUTURA DE GRUPO
43
5.2
C
ubicas e a estrutura de grupo
Esta sec
ao e baseada no artigo [11], de Vigeland.
Uma curva tropical elptica, assim como no caso classico, e uma
c
ubica n
ao singular de genero 1. A figura 5.1 da um exemplo de curva
tropical elptica no plano
real e a subdivis
ao associada.
qq
qqqq
q
q
q
q
q
.......
... ......
qqqq
... ......
.. ......
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
.....
...
.....
q
...
q
q
qq
....
...
q
.............................................
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq
........
.
...............
... .......
q
q
q
q
q
.... ........
q
q
.
... .....
.....
.
.....
...
qqq
qqqqqqqq
.....
q
..... .....
...
q
.....
q
.
..... ...
...
q
.....
qqqqqqqqqqqqqq
.
.
q
.. .
...
.
.....................................................................................................
qqq
qq
...
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
q
.... .... ........................ ..........
q
.
.
.
.
q
...
..... .......... ......
qqqqqqqqqqqqqqqq
.... ....
.
.
.
.
q
.
.
.
..... ............ .......
... ......
...
q
qqqqq
.
......... .....
.
.
.
.
q
.
.
....
... .......
.
.. .
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq
..................................................................................................................................
qq qq
qq
qq qq
qq
q q
q
Figura 5.1: C
ubica tropical elptica
Vamos considerar a curva = T (f ) T2 , onde f (x, y) denota um
polin
omio c
ubico de suporte total. Assim, o polgono de Newton f
e o tri
angulo de vertices (0, 0), (0, 3) e (3, 0) e a subdivisao induzida
f.eliptica
44
[CAP. 5: DIVISORES
f.prop1
45
Um argumento an
alogo e usado no caso em que P e Q estao sobre
a aresta `2 . Supondo P e Q suficientemente proximos, tome a reta `
com centro em P , cuja intersec
ao com `1 e um ponto P 0 e com `3 um
0
ponto R. Assim existe reta ` passando por Q e com centro sobre a
aresta diagonal de `, cuja intersec
ao com `1 e um ponto Q0 . Como ja
0
0
sabemos que P Q , conclumos que P Q.
Podemos facilmente adaptar essa construcao para pontos sobre `3
e pontos sobre as arestas limitadas dos tentaculos, obtendo assim o
resultado.
5.3
Homeomorfismo entre e S 1
0
1 |OV1 |
=
L
= (Vi ) +
i |Ei |
L
mod L Z,
i = 1, . . . , n 1
(5.1)
e.dist
46
[CAP. 5: DIVISORES
5.4
A estrutura de grupo
Queremos agora obter um criterio geometrico para identificar pares de divisores da forma P + Q que sejam linearmente equivalentes.
Como no caso cl
assico, isso nos permitir
a obter a estrutura de grupo
em uma curva elptica tropical.
A demonstrac
ao do pr
oximo lema pode ser vista em [11].
l.eliptica
47
Captulo 6
O Teorema de
RiemannRoch
6.1
Revis
ao do caso cl
assico
(6.1)
LD
(6.2)
RR
[SEC. 6.2: CONDIC
OES
DE RIEMANNROCH
49
6.2
Condi
c
oes de RiemannRoch
Seja X um conjunto n
ao vazio, e seja Div X o grupo abeliano livre
sobre os elementos de X. Elementos de Div X sao chamados divisores
em X. As definic
oes de grau e divisor efetivo seguem analogas ao ja
definido anteriormente para curvas tropicais. Seja uma relacao de
equivalencia em Div X satisfazendo as seguintes propriedades:
Se D D0 , ent
ao gr D = gr D0 .
Se D1 D10 e D2 D20 , ent
ao D1 + D2 D10 + D20 .
Para cada D Div X, definimos o linear
|D| := {E Div X | E 0, E D},
e definimos a func
ao r : Div X {1, 0, 1, 2, . . . } declarando que
para cada inteiro s 0,
r(D) s |D E| =
6 E 0, gr E = s.
50
(6.3)
e.N
51
t.cond.RR
6.2.2. Teorema.[Condic
oes de RiemannRoch]
A f
ormula de RiemannRoch
r(D) r(K D) = gr D + 1 g
(6.4)
e v
alida para todo D Div X se, e somente se, as seguintes propriedades s
ao satisfeitas:
(RR1) Para todo divisor D Div X, existe N tal que exatamente
um dentre os sistemas lineares |D| e | D| s
ao n
ao vazios.
(RR2) Para todo D Div X com gr D = g 1, temos ambos |D| e
|K D| vazios ou ambos n
ao vazios.
Antes da demonstrac
ao, alguns lemas necessarios.
l.RR.b
bB
Como notac
ao para o pr
Poximo lema, definimos a parte positiva do
grau de um divisor D = i ai xi como a soma
P dos coeficientes nao
negativos em D, ou em smbolos: gr + (D) := ai 0 ai
l.RR.c
min
D0 D
N
gr + (D0 )
Prova.
Seja r0 (D) o lado direito da equacao acima e suponha,
por contradic
ao, ser r(D) < r0 (D). Por definicao, essa inequacao
e.RR.geral
52
53
gr + (D0 ) gr + ( D0 ) =
=
=
gr (D0 ) =
gr (D) g + 1.
6.3
De volta a grafos
54
6.3.1. Defini
c
ao. Uma func
ao racional sobre um grafo e uma
func
ao contnua f : R {} cuja restricao a cada aresta do
grafo e uma func
ao linear por partes com n
umero finito de partes
lineares.
Dado um ponto P e uma func
ao racional f definimos a ordem
de P em f , denotada por ord P f , como a soma das inclinacoes de f
em todos segmentos com orientac
ao partindo de P , ou inclinac
oes de
sada de f em P . Se P e uma extremidade de , a ordem de f e
definida como o oposto da inclinac
ao de um ponto da aresta ilimitada
suficientmentee pr
oximo a P .
Desse modo temos que ord P f e um inteiro. Dizemos que P e um
zero de f se sua ordem e positiva e e um p
olo se negativa. Observe que
ord P f = 0 para todos pontos em \V () onde f e localmente linear,
portanto em quase todo ponto. Assim fica bem definido o divisor
(mais precisamente, Zdivisor) associado a uma funcao racional f
como
X
(f ) = (f ) =
ord P f P.
P
f.inclina
d.RS
55
6.3.2. Defini
c
ao. Seja D um divisor de grau n de um curva tropical
.
1. O espaco de func
oes associado ao divisor D, denotado por
R(D), e constitudo pelas func
oes racionais em tais que (f ) +
D e efetivo.
2. Como (f ) + D tem grau n, definimos
S(D) := {(f, P1 , . . . , Pn ) | (f ) + D = P1 + + Pn }.
e
3. Se e um Zgrafo e D um Zdivisor, definimos R(D)
como o
espaco das func
oes f onde (f ) + D e um Zdivisor efetivo e
e
S(D)
:= {(f, P1 , . . . , Pn ) | P1 , . . . , Pn Z ; (f ) + D = P1 + + Pn }
o.RS
exo.poliedral
6.3.3. Observa
c
ao. Observe que o grupo das permutacoes de n
smbolos, Sn , age sobre as coordenas P1 , . . . , Pn em S(D), de modo
e
e
que R(D) = S(D)/Sn (e analogamente para R(D)
e S(D)).
Alem
disso, para esses espacos valem as seguintes propriedades:
todos s
ao vazios se grau D < 0.
e P ) R(D),
e
R(D P ) R(D) e R(D
para todo P .
e
Se D e um Zdivisor em um Zgrafo, temos R(D)
R(D) e
e
S(D) S(D).
Diferente do caso cl
assico, esses espacos nao tem estrutura de
espaco vetorial, mas e possvel mostrar que sao complexos poliedrais.
6.3.4. Defini
c
ao.[Complexo Poliedral]
(a) Sejam X1 , . . . , Xn poliedros convexos abertos em espacos vetoriais reais. Um complexo poliedral com celulas X1 , . . . , Xn
e um espaco topol
ogico X com mapas de inclusao contnuos
ao disjunta dos conjuntos ik (Xk )
ik : Xk X tal que X e a uni
e os mapas de mudanca de coordenadas ik 1 il sao lineares
(onde definidos) para todo k 6= l. Usualmente esquecemos os
mapas de inclus
ao ik e dizemos que as celulas Xk estao contidas
em X.
56
= 1 + ord P f
(N + p) p
= N (N + p)1 + p((N + p)1 1)
N (N + p)1 . (?)
p.RS.poliedro
57
58
6.3.8. Exemplo. Vejamos o espaco de funcoes para uma reta tropical. Lembrando da convenc
ao sobre os vertices das extremidades
59
60
inclinac
oes de f estabelecidas: inclinac
ao 1 nos segmentos entre V
e P e entre V e Q e inclinac
ao nula nos demais trechos. Assim
[0, ] [0, ] R parametriza essas configuracoes (sem restricoes
adicionais).
Finalmente, se P = Q, obtemos tres possibilidades, correspondendo `
a aresta onde esse zero duplo se encontra. Assim, temos f com
inclinac
ao 2 no segmento entre V e P e inclinacao nula nos demais
trechos. Logo, essas configurac
oes s
ao parametrizadas por [0, ] R.
6.3.9. Exemplo. Seja o Zgrafo metrico consistindo em dois ciclos
C1 e C2 de comprimento 1 conectados por uma aresta e de comprimento `(e) N (veja.............a. figura 6.2). Se P e Q s
ao os vertices determi..............
.... ..............
......... .................
..........
.....
........
....
.....
....
....
....
....
....
...
...
.
...
.
.
.
.
...
...
...
...
....
....
..
........................................................................................................
...
.
..
..
.
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...
...
.
.
..
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
....
....
....
....
....
....
...
...
.....
.....
..........
......
..........
......
...............................
...............................
f.exemplo.S
61
62
Z (n
ao necessariamente distintos) temos R(D P1 Pk )
n
ao vazio.
o.pi
6.3.11. Observa
c
ao. Temos r(D) = 1 se grau D < 0 e, noutro
caso, r(D) grau D. O mesmo vale para re(D), D um Zdivisor em
um Zgrafo.
6.3.12. Exemplo. C
alculo de r(D) sobre a reta tropical.
Voltando ao exemplo 6.3.8, vamos obter o valor de r(D) em cada
caso.
Para o divisor can
onico K, segue do fato de R(K) ser vazio que
r(K) = 1.
Para o divisor dado pelo vertice (finito) V da reta, temos r(V ) =
1. Para ver isso, observe que, para qualquer P , temos R(V P ) =
{0}, uma vez que sempre existe func
ao racional com um polo em
V e zero em P . Para completar, temos R(V P Q) = , pois
gr V P Q < 0.
J
a para o divisor 2V , o fato que que R(2V P Q) = {0} (lembrese que R(2V P ) est
a contido nesse) para quaisquer P e Q dados,
garante que r(2V ) = 2.
O mesmo pode ser feito usando a f
ormula de Riemann-Roch,
sabendo-se que r(K D) = 1 para todo divisor D sobre a reta.
Uma definic
ao alternativa para os n
umeros r(D) pode ser dada
atraves das projec
oes de S(D). Seja D um divisor de grau n e suponha
S(D) 6= . Para cada i {1, . . . , n}, consideramos os mapas
i :
S(D)
(f, P1 , . . . , Pn ) 7
i
(P1 , . . . , Pi )
f
E
acil verificar que r(D) coincide com o maior inteiro k tal que k e
sobrejetor.
6.4
Com as definic
oes dadas na sec
ao anterior, podemos agora enunciar o teorema de RiemannRoch para Zgrafos.
t.RRZ
63
6.4.2.PDefini
c
ao. Seja v um vertice de um Zgrafo . Um Zdivisor
D = i ai Pi em e vreduzido se a func
ao D : V \ {v} Z satisfaz:
D(P ) 0 para todo P ;
para todo conjunto n
ao vazio A V \ {v} existe um P tal
umero de vertices
que D < valext A (P ), onde valext A (P ) e o n
adjacentes a P fora de A.
64
p.div.red
6.4.3. Proposi
c
ao. Fixado um vertice v, para todo Zdivisor D em
existe um u
nico divisor vreduzido D0 tal que D0 D.
Prova. Para P V , seja d(P ) a dist
ancia entre P e v (o mnimo dentre os comprimentos dos caminhos ligando P a v) e d = maxP V d(P ).
Definimos para cada 0 k d o conjunto Sk := {P V | d(P ) = k}.
Consideremos os vetores
!
X
X
X
1 (D) =
D(P ),
D(P ), . . . ,
D(P )
P Sd
D(P ) < 0
P Sd1
D(P ) < 0
P S1
D(P ) < 0
!
2 (D) =
D(P ),
D(P ), . . . ,
P S1
P S0
D(P ) .
P Sd
2 (D) =
max
D0 D
1 (D 0 ) = 1 (D)
2 (D0 ),
onde o m
aximo e realizado seguindo a ordem lexicografica nos vetores. Vamos mostrar que o divisor D assim construdo e o divisor
vreduzido que procuramos.
Suponha que D(P ) < 0 para algum vertice P 6= v. Seja P 0
um vertice adjacente a P tal que d(P 0 ) < d(P ) e tome a funcao
caracterstica {P 0 } ({P 0 } (P 0 ) = 1 e {P 0 } (Q) = 0 para Q 6= P 0 ).
Construmos ent
ao o divisor
X
D0 = D + ({P 0 } ) = D +
Q val (P 0 )P 0 ,
{P 0 ,Q}EP 0
65
P A
66
= 1 +
(f (P ) f (Q)) +
{P, Q} EP
P Q
(f (P ) f (Q) + 1)
1,
{P, Q} EP
QP
t.ordem
#{{vk , vj } E | j < k} 1 =
= (vk ).
Se D(v0 ) 0, ent
ao D 0 temos re(D) 0. Se, por outro lado,
ao D e ent
ao re( D) 0. Finalmente, se
D(v0 ) 1, ent
re(D), re( D) 0, ent
ao 0 pelo lema 6.2.1, contradizendo o
lema 6.4.4.
c.ordem
.zponto.ciclo
67
6.4.6. Corol
ario. Um divisor D Div de grau g 1 pertence
a N se, e somente se, existe uma ordem total em V para a qual
D .
Enfim podemos demonstrar RR para Zgrafos (6.4.1):
Prova. Pelo teorema 6.2.2, basta verificar as condicoes de Riemann
Roch.
(RR1):
Seja D Div e suponha que re(D) 0. Entao, para todo N
temos re(D ) = 1 de onde segue (RR1). Se re(D) < 0, entao, pelo
teorema 6.4.5, para alguma ordem total temos re( D). Como,
ao (RR1).
pelo lema 6.4.4, N , segue a condic
(RR2):
suficiente mostrar que para todo D N vale K D N . Pelo
E
corol
ario 6.4.6, temos D para alguma ordem total em V . Seja
a ordem total em V definida por P Q Q P e o divisor
associado. Para todo P V temos
(P ) + (P )
(#{{P, Q} EP | Q P } 1) +
+ (#{{P, Q} EP | Q P } 1) =
= val P 2 = K(P ).
Portanto K D K = N .
6.5
68
69
d.reescala
6.5.3. Defini
c
ao. Dado um grafo metrico (, `) e um real positivo
, a mudanca de escala de por e o grafo metrico possuindo
a mesma combinat
oria de , mas no qual cada aresta e de e substituda por uma aresta de comprimento `(e).
o.reescala
6.5.4. Observa
c
ao. Note que todo divisor em corresponde a um
divisor em obtido por mudanca de escala da posicao dos pontos.
Tambem, a cada func
ao racional de associamos uma funcao racional
em mudando de escala os valores da funcao. Em particular, o
n
umero r(D) permanece constante por mudancas de escala. Porem,
para um Zgrafo, mudancas de escala podem alterar o valor de re(D),
pois s
ao acrescentados novos Zpontos.
70
p.reescala
6.5.5. Proposi
c
ao. Seja D um Zdivisor em um Zgrafo . Entao
existe um inteiro N 1 tal que r(D) = re(D) em toda mudanca de
escala de por um inteiro m
ultiplo de N .
Prova. re(D) r(D): basta observar que R(D P1 Pr(D) ) 6=
para qualquer escolha de Zpontos P1 , . . . , Pr(D) , por definicao, e
e P1 Pr(D) ) 6= . O resultado
pelo lema 6.5.2 segue que R(D
e v
alido para qualquer mudanca de escala.
re(D) r(D): Seja n := gr D e m := r(D) + 1 e vamos dividir em
dois casos.
Primeiramente, se n < m vale re(D) n m 1 = r(D), para
qualquer mudanca de escala.
Para n m, considere o mapa m : S(D) r , como definido
na observac
ao 6.3.11. Esse e um morfismo de complexos poliedrais,
e portanto sua imagem e fechada. Tambem, por definicao, m nao
e sobrejetor. Desse modo existe (P1 , . . . , Pm ) r \ m (S(D)) com
coordenadas racionais. Por construc
ao, temos S(D P1 Pm ) =
.
Agora tome N o mnimo m
ultiplo comum dos denominadores das
coordenadas dos pontos Pi . Assim, mudando a escala de por qualquer m
ultiplo de N , os pontos Pi passam a ser Zpontos nesse novo
e
grafo. Pela observac
ao 6.3.3, conclumos que S(DP
1 Pm ) = .
Por definic
ao, isso significa que re(D) m 1 = r(D) para essas mudancas de escala.
Agora podemos enunciar e demonstrar o
c.RRQ
6.5.6. Corol
ario.[RiemannRoch para Qgrafos] Seja D um Q
divisor em um Qgrafo de genero g. Ent
ao
r(D) r(K D) = gr D + 1 g.
Prova. Pela observac
ao 6.5.4, e suficiente provar essa afirmacao em
uma mudanca de escala de .
Como o grafo possui um n
umero finito de arestas e o divisor D
tem como suporte um n
umero finito de pontos, atraves de uma mudanca de escala, podemos considerar como um Zgrafo de arestas
71
maiores que 1 e D como um Zdivisor. Usando o lema 6.5.5, realizamos possivelmente mais duas mudancas de escala, para obter que
r(D) = re(D) e r(K D) = re(K D). O corolario segue entao do
teorema de RiemannRoch para Zgrafos.
6.6
p.RRM
6.6.1. Proposi
c
ao. Seja D um divisor em um grafo metrico de
genero g. Ent
ao
r(D) r(K D) = gr D + 1 g.
72
Mi
para i = 0, . . . , n
(0 , D0 , f, P1 , . . . , Pn ) 7 (0 , D0 , P1 , . . . , Pi )
e
pi : Mi M,
(0 , D0 , P1 , . . . , Pi ) 7 (0 , D0 ).
73
Q 7
R {}
min(d(P, ), d(Q, )), Q e
0,
c.c.
Para P
/ , a func
ao fP tem um p
olo simples em P e nenhum
74
outro zero ou p
olo fora de .
Se D = a1 P1 + + an Pn e definirmos f = a1 fP1 + + an fPn ,
ent
ao D+(f ) e um divisor equivalente a D sem zeros e polos fora de .
Alem disso, se D e efetivo, D + (f ) tambem e, pois, pela construcao,
todos p
olos de f s
ao cancelados por D.
o.div.can
6.6.3. Observa
c
ao. Usando a func
ao construda no lema anterior,
podemos mostrar que os divisores can
onicos de e sao equivalentes.
De fato, se PiP
denota o ponto de extremidade de da aresta ilimitada
ei , seja f = i fPi . Ent
ao f e nula no grafo e tem inclinacao 1
em cada aresta
ilimitada.
Se Qi e o vertice determinado por ei ,
P
P
ent
ao (f ) = Qi Pi , e portanto vale K + (f ) = K .
l.RbarR
o.RbarR
6.6.5. Observa
c
ao. Pelo lema 6.6.2 qualquer divisor efetivo P1 +
+ Pk em e equivalente a um divisor efetivo P10 + + Pk0 com
umero r pode ser pensado como o maior
suporte em . Assim, o n
inteiro k tal que R (D P1 Pk ) 6= para todos P1 , . . . , Pk em
(ao inves de P1 , . . . , Pk em ). Pelo lema 6.6.4 conclumos entao
que r (D) = r (D).
Finalmente temos o
75
6.6.6. Corol
ario. Seja D um divisor em uma curva tropical (generalizada) de genero g. Ent
ao
r(D) r(K D) = gr D + 1 g.
Prova. Seja o grafo metrico obtido de retirando-se as arestas
ilimitadas. Pelo lema 6.6.2 e pela observacao anterior, consideramos
supp D . Alem disso, lembrando 6.6.3 podemos substituir K
por K (que tambem tem suporte em ) na formula de Riemann
Roch. Finalmente, pela observac
ao 6.6.5 podemos substituir r (D)
e r (K D) por r (D) e r (K D), o que reduz nosso problema
ao caso de um grafo metrico. Mas aqui podemos usar a proposicao
6.6.1.
Ap
endice A
Grafos
d.grafo
grafo.metrico
A.1. Defini
c
ao. Um grafo e um par (V, E), onde:
V e um conjunto e seus elementos s
ao chamados de vertices.
E e um multiconjunto (ou seja, permite repeticao dos elementos
- ou atribuic
ao de multiplicidade) cujos elementos sao pares
n
ao ordenados de vertices. Esses elementos sao chamados de
arestas.
Um grafo e geometricamente representado como um conjunto de
pontos (vertices) ligados por curvas (arestas).
Dizemos que o vertices v, w V s
ao adjacentes em se {v, w}
E. Uma aresta do tipo {v, v}, ou seja, conectando um vertice a ele
mesmo, e dita ser um laco. Se V e E s
ao finitos, dizemos que G e um
grafo finito. O n
umero de vertices #V e chamado ordem do grafo e
o n
umero de arestas #E e seu tamanho.
A valencia de um vertice v e o n
umero de arestas que o conectam
a outros vertices, sendo que os lacos s
ao contados duas vezes. Em
smbolos: val (v) = #{{v, w} | {v, w} E}.
A.2. Defini
c
ao. Um grafo metrico e um par (, `) formado por um
grafo e uma func
ao ` : E R>0 . Para cada e E, o valor `(e)
e chamado o comprimento da aresta e e a funcao ` e chamada de
func
ao comprimento.
76
77
Dado um grafo metrico = {V (), E(), `}, identificamos o conjunto de vertices a um conjunto discreto de pontos 0 e cada aresta
ei e associada ao intervalo fechado da reta [0, `(ei )]. O grafo como
espaco topol
ogico e ent
ao a uni
ao disjunta
0
#E
G
[0, `(ei )]
i=1
m
odulo a identificac
ao das extremidades dos intervalos com pontos
de 0 , de acordo com as adjacencias estabelecidas pelas arestas do
grafo .
Como um objeto mergulhado em Rn , o grafo recebe a topologia
induzida desse espaco, que coincide com a topologia descrita acima.
Alem disso, uma metrica intrnseca e induzida no grafo pela metrica
dos intervalos [0, `(e)] e portanto independe de como o grafo e mergulhado em Rn .
d.ZQ.grafo
A.3. Defini
c
ao. Um Zgrafo (Qgrafo) e um grafo metrico (, `)
cujas arestas tem comprimento inteiro (racional). Os pontos com
dist
ancia inteira (racional) a partir dos vertices sao chamados de Z
pontos (Qpontos) e o conjunto desses pontos e denotado por Z
(Q ).
.genero.grafo
A.4. Defini
c
ao. O genero de um grafo , denotado por g (ou
apenas g, quando o grafo em quest
ao est
a fixado), e definido como
sendo o primeiro n
umero de Betti, ou seja
g = #E() #V () + n
onde n e o n
umero de componentes conexas de .
A.5. Observa
c
ao. Intuitivamente, o primeiro n
umero de Betti representa o m
aximo de cortes que se pode fazer num grafo sem criar
mais componentes conexas. Esse n
umero coincide com a intuicao de
genero, que seria o n
umero de buracos do espaco topologico.
Estendemos agora a definic
ao de grafos metricos de modo a abranger grafos com arestas ilimitadas:
78
curvagen
[CAP. A: GRAFOS
A.6. Defini
c
ao. Uma curva tropical generalizada e um grafo metrico
(, `) em que a func
ao comprimento tem como contradomnio o con` arestas de comprimento damos o nome de
junto R>0 {}. As
arestas ilimitadas. Cada aresta ilimitada possui uma extremidade
ligada a um vertice de valencia igual a 1, chamado extremidade do
grafo .
A.7. Observa
c
ao.
(a) Quanto `
a topologia desses conjuntos, as arestas ilimitadas sao
associadas ao intervalo [0, ] = R>0 {} e o vertice que e extremidade do grafo corresponde `
a extremidade do intervalo.
(b) O n
umero ciclom
atico, e portanto o genero de uma curva tropical generalizada, e definido pela mesma formula. Tendo em
vista que para cada aresta ilimitada existe um vertice de valencia
1, o n
umero ciclom
atico de uma curva tropical generalizada
coincide com o n
umero ciclom
atico de sua parte finita, ou seja,
o subgrafo formado somente pelos vertices e arestas finitas.
Ap
endice B
Breve hist
orico
... In other words, idempotent mathematics is an asymptotic version of the traditional
mathematics over the fields of real and complex numbers.[8]
A terminologia tropical e devida a Dominique Perrin, professor de Ciencia da Computac
ao do Institut delectronique et dinformatique Gaspard-Monge, em homenagem ao matematico brasileiro Imre
Simon (IME-USP).
O Prof. Simon foi pioneiro na utilizac
ao da estrutura de semi-anel
definida em N {} para tratar de quest
oes relativas a automatas.
Como costuma acontecer com muitas ideias matematicas interessantes, uma manifestac
ao do semi-corpo tropical apareceu tambem na
Fsica Qu
antica. Em linhas gerais, fixe h R, h > 0 e imagine a mudanca de vari
aveis x
u = h ln x. Defina a aplicacao h : R+ T.
Transportamos as operac
oes de soma e produto de R para T usando
h , i.e.,
u h v = h ln(exp(u/h) + exp(v/h)
u h v = u + v, 0 = = h (0), 1 = 0 = h (1).
Note que limh0 u h v = max{u, v}. Em Fsica, h desempenha
o papel da constante de Planck. Assim, T e interpretado como a
dequantizac
ao. Para mais referencias desse calibre, veja [8].
79
80
A noc
ao de curva algebrica tropical resulta da necessidade de lidar com invariantes discretos e explorar estruturas combinatorias.
O aluno que j
a viu o conceito de espaco topologico sabe que informac
oes importantes podem ser codificadas pelo grupo fundamental. Isso j
a permite, por exemplo, mostrar que R2 nao e homeomorfo
2
a R \ {(0, 0)}.
Grosso modo, curvas tropicais s
ao os parceiros combinatorios das
curvas algebricas cl
assicas.
Refer
encias
Bibliogr
aficas
BN
GMB
Ellis
fultinho
[4] W. Fulton,
ALGEBRAIC CURVES, An Introduction
to Algebraic Geometry,
reed. 2008,
disponvel em
http://www.math.lsa.umich.edu/ewfulton/CurveBook.pdf
4.1, 6.1
gat
gathkerber
kapr
[7] M. Einsiedler, M. Kapranov & D. Lind, Non-Archimedean amoebas and tropical varieties, J. Reine Angew. Math. 601 (2006),
139157. 6.1
81
82
REFERENCIAS
BIBLIOGRAFICAS
litvinov
[8] G. L. Litvinov, The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: a brief introduction. arXiv:math/0507014
J. Math. Sci. (N. Y.) 140 (2007), no. 3, 426444. 2.5.1, 2.5
mik1
mik2
[10]
vigeland
vin
rst
iv
Indice Remissivo
ameba, 12
tracos de, 13
aresta, 76
comprimento de, 76
ilimitadas, 78
abstrato, 49
canonico, 50, 53
efetivo, 42
espaco de funcoes de, 55
grau de, 42
linearmente equivalente, 43
principal, 43
Bezout
cl
assico, 35
tropical, 36
balanceamento, 28
dual
polgono, 29
subdivisao, 25
c
onica tropical, 10, 27
degenerada, 10
lisa, 33
singular, 34
coerente
subdivis
ao, 23
combinat
orio
tipo, 26
comprimento reticulado, 28
curva tropical
generalizada, 53, 78
grau de, 30
lisa, 30
n
ao singular, 30
equilbrio
condicao de, 28
espaco de funcoes
de um divisor, 55
est
avel
intersecao, 39
extremidade, 78
func
ao
convexa, 18
linear por partes, 18, 54
racional, 53
racional, zero de, 54
genero, 31
de grafo, 77
geral, 9
grafo, 76
dist
ancia
reticulada orientada, 45
divisor, 42
83
84
INDICE REMISSIVO
balanceado, 29
finito, 76
metrico, 76
mergulhado, 19
grau
de divisor, 42
intersec
ao
est
avel, 39
levantamento
mapa de, 23
liberdade
graus de, 9
Minkowsky
soma de, 41
mon
omio tropical, 18
multiplicidade
de aresta, 28
de intersec
ao, 36
de vertice, 29
ordem
de func
ao racional, 54
p
olo, 54, 56
cl
assico, 48
peso
de aresta, 28
polgono de Newton, 23
polin
omio tropical
grau de, 30
polin
omio tropical, 16
primitivo
vetor, 28, 34
racional
grafo, 29
INDICE REMISSIVO
4.1
85