LISTA 1

___________________________________________________________________________________
Mecânica Geral 2
Fábio Lacerda da Cunha
R.A.: 1279092
___________________________________________________________________________________
11.33 Uma motorista entra em uma autoestrada a 45km/h e acelera uniformemente até
99km/h. Pelo hodômetro do carro, o motorista sabe que percorreu 0,2km enquanto acelerava.
Determine (a) a aceleração do carro, (b) o tempo necessário para chegar a 99 km/h.
v 0=45 km/h=12,5 m/s

v f =99 km/h=27,5 m/s

∆ x=0,2 km=200 m

a)
v 2f −v 20 (27,5)2−(12,5)2
v 2f =v 20 +2. a . ∆ x → a= = →a=1,5 m/s 2
2. ∆ x ( 2 ) .(200)
b)
v f −v 0 ( 27,5 )−( 12,5)
v f =v 0 +a . t → t= = → t=10 s
a (1,5)

___________________________________________________________________________________
11.34 Um caminhão percorre 220m em 10s enquanto está sendo desacelerado a uma taxa
constante de 0,6m/s2. Determine (a) sua velocidade inicial, (b) sua velocidade final, (c) a
distância percorrida durante os primeiros 1,5s.
a)
1
x=x 0 +v 0 . t− .a . t 2
2
1
x −x0 + . a . t 2
2
v 0=
t
1
(220 )−( 0 ) + .(0,6) .(10)2
2
v 0=
(10)

v 0=25 m/s
b)
v f =v 0 +a . t=( 25 )−[ ( 0,6 ) . ( 10 ) ]
v f =19 m/ s
c)
1 1
2 ()
x=x 0 +v 0 . t− .a . t 2=( 0 ) + ( 25 ) . ( 1,5 )−
2
. ( 0,6 ) .(1,5)2

x=36,825 m
___________________________________________________________________________________
11.35 Considerando uma aceleração uniforme de 3m/s 2 e sabendo que a velocidade escalar de
um carro que passa por A é 50km/h, determine (a) o tempo necessário para que o carro
alcance B, (b) a velocidade do carro ao passar por B.
v 0=50 km/h=13,89 m/s

a=3,6 m/ s 2

∆ x=50 m

a)
1
∆ x=v 0 .t + . a .t 2 → ( 50 )=( 13,89 ) t+(1,5)t 2
2
( 1,5 ) t 2 +13,89 t−50=0→ t ' =2,77 s e t =-12
t=2,77 s
b)
v 2f =v 20 +2. a . ∆ x=(13,89)2 + ( 2 ) . ( 3,6 ) . ( 50 ) → v f = √552,9321
v f =23,51 m/s
___________________________________________________________________________________
11.36 Um grupo dc estudantes lança um modelo de foguete na direção vertical. Baseando-se
em dados registrados, eles determinam que a altitude do foguete foi de 89,6m ao final da
porção propulsada do voo e que o foguete aterrissou 16s depois. Sabendo que o paraquedas
de descida não se abriu e que o foguete caiu livremente até o chão depois de atingir sua
altitude máxima, e considerando que g = 9,81m/s 2, determine (a) a velocidade v 1 do foguete ao
final do voo propulsado, (b) a altitude máxima atingida pelo foguete.
a)
y= y1 + v 1 . t+(1/2). a . t 2
y − y 1−(1 /2).a . t 2
v1 =
t
(0)−(89,6)−(1/2).(−9,81).(16)2
v1 =
(16)

v1 =72,88 m/ s

b) v=0 e y = y max
v 2=v 21 +2. a .( y− y 1 )
0=(72,88)2 + ( 2 ) . (−9,81 ) .[ ( y max )−( 89,6 )]
(1.757,952 ) +(5.311,4944)
y max =
(19,62)
y max =360 m
___________________________________________________________________________________
11.37 Um corredor em uma corrida de 100m acelera uniformemente nos primeiros 35m e então
corre com velocidade constante. Se o tempo do corredor nos primeiros 35m é de 5,4s,
determine (a) sua aceleração, (b) sua velocidade final e (c) seu tempo para a corrida.
0 ≤ x ≤ 35 m, a=constante
35 m≤ x ≤ 100 m, v=constante
Em t=0, v=0.
Quando x=35m, t=5,4s

a)
1
x=x 0 +v 0 t+ . a . t 2 para 0 ≤ x ≤ 35 m
2
1
(35)=( 0 )+ ( 0 ) .(5,4)+ . a.(5,4)2
2
a=2,40 m/s 2
b)
v=v max para 35 m≤ x ≤ 100 m
v 2=v 20 +2 a ( x−x 0 ) → v 2max= ( 0 ) +2 a(x−0) para 0 ≤ x ≤ 35 m

v 2max=2. ( 2,4 ) . ( 35 ) → v max= √168

v max=12,96 m/ s
c)
x=x 0 +v 0 .(t−t 1) para 35 m≤ x ≤ 100 m
( 100 ) −( 35 ) +(69,984)
( 100 )= (35 )+ ( 12,96 ) . [ t 2−( 5,4 ) ] → t 2=
(12,96)
t 2=10,42 s
___________________________________________________________________________________
11.41 Dois automóveis A e B viajam no mesmo sentido em pistas adjacentes e, em t = 0, têm
suas posições e velocidades escalares mostradas na figura. Sabendo que o automóvel A tem
uma aceleração constante de 0,5m/s 2 e que B tem uma desaceleração de 0,3m/s 2, determine
(a) quando e onde A vai ultrapassar B, (b) a velocidade de cada automóvel naquele instante.

a A =0,5 m/ s2 e a B=−0,3 m/s2

v 0 , A =36 km/h=10 m/s
v 0 ,B =54 km/ h=15 m/s
t = t1, estarão juntos.

Veículo A:
v A =v 0 , A + a A . t
v A =10+ 0,5t Equação 1
 x A= x0 , A + v 0 , A . t+(1/2) . a A . t 2 → x A =(0)+ ( 10 ) t+(1/2).( 0,5)t 2
x A=10t +0,25 t 2 Equação 2

Veículo B:
v B=v 0 , B +a B . t
v B=15−0,3 t Equação 3
x B =x0 ,B + v 0 , B . t+(1/2). a B .t 2 → x B=(24)+ ( 15 ) t+(1/2).(−0,3) t 2
x B =24+15 t −0,15 t 2 Equação 4
a) Eq.’s 2 = 4:
10 t+ 0,25t 2=24 +15 t −0,15 t 2 →0,4 t 2−5 t−24=0
t ' =16,203 e t =-3,7
Eq. 2:
x A= (10 ) . ( 16,203 ) +0,25 ( 16,203 )2 → x A=227,6643
t=16,2 s e x A=227,66 m
b) t=16,203 s
Eq. 1:
v A =( 10 ) + ( 0,5 ) . ( 16,203 )=18,1015
Eq. 3:
v B=( 15 )−( 0,3 ) . (16,203 )=10,1391

v A =18,10 m/s e v B=10,14 m/s

___________________________________________________________________________________
11.42 Em uma corrida de barcos, o barco A está 36 m a frente do barco B e ambos estão
viajando a uma velocidade escalar constante de 168km/h. Em t = 0, os barcos aceleram a
taxas constantes. Sabendo que quando B ultrapassa A, t = 8 s e v A = 216 km/h, determine (a) a
aceleração de A, (b) a aceleração de B.

a)
v A ,0 =168 km/h=46,67 m/s
v A =216 km/h=60 m/s
v A =v A , 0+ a A t
v A −v A ,0
aA=
t
(60)−( 46,67)
aA=
(8)
a A =1,67 m/ s2
b)
x A= x A ,0 + v A ,0 . t+(1/2) . a A . t 2 , sendo que: x A , 0=36 m
 x B =x B ,0 + v B , 0 . t+(1/2). a B .t 2, sendo que: x A , 0=0 e v B ,0 =46,67 m/ s
Quando t=8s:
x A= x B

x A , 0+ v A , 0 . t + ( 0,5 ) . a A .t 2=x B ,0 + v B ,0 . t+(0,5). a B .t 2

x A , 0+ v A , 0 . t+ ( 0,5 ) . a A .t 2−x B ,0 +v B ,0 . t
a B=
0,5.t 2
( 36 ) + ( 46,67 ) . ( 8 )+ ( 0,5 ) . ( 1,6667 ) . ( 8 )2−( 0 )−(46,67).( 8)
a B= =2,7917
0,5.( 8)2
a B=2,79 m/ s2
___________________________________________________________________________________
11.47 O bloco deslizante A move para a esquerda com a velocidade constante de 6m/s.
Determine (a) a velocidade do bloco B, (b) a velocidade da porção D do cabo, (c) a velocidade
relativa da porção C do cabo em relação a porção D.

a)
x A +3 y B =constante
v A +3 v B =0 Eq. 1
a A +3 a B=0 Eq. 2
( 6 ) +3 v B=0→ v B=2 m/s ↑
b)
y B + y D =constante
v B +v D =0 → v B=−v D
v D =2 m/ s ↓
c)
x A + y C =constante
v A +v C =0 → v A=−v C → vC =−6 m/s
vC / D =v C −v D=(−6 )−( 2 )=−8 m/s
vC / D =−8 m/s ↑
___________________________________________________________________________________
11.48 O bloco B parte do repouso e se movimenta com uma aceleração constante. Sabendo
que depois do bloco deslizante A ter se deslocado 400mm, sua velocidade é 4m/s, determine
(a) a aceleração de A e B, (b) a velocidade e a variação de posição de B após 2s.
 x A +3 y B =constante
v A +3 v B =0 Eq. 1
a A +3 a B=0 Eq. 2
a) Eq. 2: a A +3 a B=0 , sendo aB é
constante e positivo e aA é constante
e negativo. E ainda, vB,0 = 0 e vA,0 = 0.
Então:
v 2A =( 0 )+ 2.a A . ( x A −x A , 0 )

v2A (4)2
aA= =
2 ∆ x A (2 ) .(0,4 )

a A =20 m/s 2 →
Substituindo o valor de aA na equação temos que:
a B=6,67 m/s2 ↓
b)

v B=( 0 )+ a B . t= ( 203 ). ( 2 )
v B=13,33 m/ s ↓

y B = y B ,0 + ( 0 ) + ( 12 ). a .t → y − y =( 12 ). ( 6,67) .(2)
B
2
B B,0
2

y B − y B ,0=13,34 m↓
___________________________________________________________________________________
11.49 O elevador mostrado na figura se movimenta para baixo com velocidade constante de
4,5m/s. Determine (a) a velocidade do cabo C, (b) a velocidade do contrapeso W, (c) a
velocidade relativa do cabo C em relação ao elevador, (d) a velocidade relativa do contrapeso
W em relação ao elevador.

a)
y C +2 y E =cte
vC +2 v E =0
v E =4,5 m/s
vC =−2 v E=(−2 ) . ( 4,5 ) =−9
vC =9 m/s ↑

b)
y W + y E=cte
vW + v E=0 → v W =−v E=−4,5
vW =4,5↑
c)
 vC / E =v C −v E=(−9 )−( 4,5 )=−13,5
vC / E =13,5 m/ s ↑
d)
vW / E =v W −v E =(−4,5 ) −( 4,5 ) =−9
vW / E =9 m/s ↑
___________________________________________________________________________________
11.55 O bloco B se movimenta para baixo com velocidade constante de 20mm/s. Em t = 0, o
bloco A é movimentado para cima com aceleração constante e sua velocidade é 30mm/s.
Sabendo que em t = 3s o bloco deslizante C teria se movimentado 57mm para a direita,
determine (a) a velocidade do bloco deslizante C em t = 0, (b) as acelerações de A e C, (c) a
variação da posição do bloco A após 5s.
3 y A + 4 y B + x C =constante
3 v A + 4 v B + v C =0 Eq. 1
3 a A + 4 aB + aC =0 Eq. 2
v B=20 mm /s ↓
v A ,0 =30 mm/s ↑

a) Eq. 1 em t=0:
vC ,0=−3 v A , 0−4 v B =(−3 ) . (−30 )−( 4 ) . ( 20 )=10
vC ,0=10 mm /s →
b)
1 x −x −v . t ( 57 )−( 0 ) −( 10 ) .( 3)
x C =x C ,0 + v C ,0 .t + . aC .t 2 → aC = C C , 0 2C , 0 =
2 ( 0,5 ) . t ( 0,5 ) .( 3)2
a C =6 mm/ s →
v B=cte→ a B=0
Substituindo na Eq. 2:
−4 a B−a C (−4 ) . ( 0 )−(6)
aA= = =−2 mm/s
3 (3)
a A =2 mm/ s ↑
c)
1 1
y A = y A , 0+ v A ,0 .t + . a A . t 2 → y A − y A , 0=(−30 ) . ( 5 ) + . (−2 ) . ( 5 )2=−175
2 2
∆ y A =175 mm ↑
___________________________________________________________________________________
11.73 Um elevador parte do repouso e sobe acelerando a uma taxa de 1,2m/s 2 até atingir a
velocidade escalar de 7,8m/s, que é então mantida. Dois segundos depois do elevador ter
começado a subir, um homem parado 12m acima da posição inicial do topo do elevador joga
uma bola para cima com uma velocidade inicial de 20m/s. Determine quando a bola vai atingir
o elevador.
 Em t=0:
vE=0; → 0 ≤ v E <7,8 m/ s
a E =1,2/s 2 ↑; → v E=7,8 m/s ; a=0
Em t=2s:
v B=20 m/ s ↑
g = -9,81m/s2

v E−v E , 0 ( 7,8 )−(0)

v E =v E ,0 + aE t → t= = → t 1=6,5 s
aE (1,2)
t1 é o tempo em vE atinge a velocidade de 7,8m/s.
v B −v B ,0 ( 0 )− (20 )
v B=v B , 0 +g . ( t−2 ) →t topo =
g
=
[
(−9,81 ) ]
+ (2 )=4,0387

t topo=4,04 s
ttopo é o tempo em que a bola atinge o ponto máximo (o topo) de sua trajetória.
0 ≤ t ≤ t 1:

y E= y E , 0+(1/2) . a E .t 2 → y E =(−12)+(0,5).(1,2).(4,0387)2
y E=−2,2133 m
t=t topo:

yB = ( 12 ) . ( 4,0387−2) . ( 20 )
y B =20,387 m
t={ (2 )+ ( 2 ) ¿; y B =0.
Em t=t1:
y E=(−12 ) + ( 0,5 ) . ( 6,5 ) . ( 7,8 ) → y E =13,35 m
A bola bate no elevador ( y B = y E) quando: t topo <t< t 1.
Para t ≥ t topo:
y B =( 20,387 ) −(0,5). g .(t−t topo )2
Então, quando yB=yE:
( 20,387 ) −( 0,5 ) . g . ( t−t topo )2=(−12)+(0,5).(1,2).t 2
2
( 20,387 ) −( 0,5 ) .(9,81). [ t−( 4,0387) ] =(−12)+(0,5).(1,2). t 2
5,505 t 2 −39,6196t + 47,619=0
t ' =5,6718 s e t 1,52511
Logo, escolhendo o menor valor:
t=1,525 s
___________________________________________________________________________________
11.97 Um aeroplano usado para jogar água sobre um incêndio florestal está voando
horizontalmente em linha reta a 315km/h a uma altitude de 80m. Determine a distância d na
qual o piloto deverá liberar a água tal que ela atinja o fogo em B.

v 0=315 km/h=87,5m/ s
Movimento Vertical:
gt2
y= y 0+ v y ,0 . t−
2
¿2 = y− y −v . t
0 y,0
2
−(9,81) t 2
=(−80 )−( 0 ) −( 0 ) .t
2

(160 )
t 2= →t= √ 16,30988787=4,03855 →t=4,04 s
( 9,81 )
Movimento horizontal:
x=x 0 +v x ,0 .t
d= ( 0 ) + ( 87,5 ) . ( 4,03855 )=353,3731441
d=353,4 m
___________________________________________________________________________________
11.100 Uma máquina que lança bolas de beisebol a uma velocidade horizontal v 0. Sabendo
que a altura h varia entre 0,8m e 1m, determine (a) o intervalo de valores de v0, (b) os valores
de α correspondentes a h = 0,8m e h = 1m.

a) Movimento Vertical:
gt2 ( 9,81 ) . t 2
y= y 0+ v y ,0 . t− → y =( 0 ) + ( 0 ) . t− → y=−( 4,905 ) .t 2
2 2
Movimento Horizontal:
x=x 0 +v . t → x =( 0 ) +v x ,0 .t → x=v 0 . t
Quando h=0,8m, y=
___________________________________________________________________________________
11.105 A areia é descarregada em A pela correia transportadora e cai no topo de uma pilha em
B. Sabendo que a correia transportadora forma um ângulo de 20° com a horizontal, determine
a velocidade v0 da correia.
v x ,0=v 0 cos 20o → v x , 0=0,9397 v 0
v y ,0=v 0 sen 20o → v x , 0=0,3420 v 0
Movimento Horizontal:
x=x 0 +v . t=( 0 ) +0,9397 v 0 . t
Em B:
x (9) 9,5776 s
t= = → t= equação 1
0,9397 v 0 ( 0,9397 ) . v 0 v0
Movimento Vertical:
gt2
y= y 0+ v y ,0 . t−
2
Em B:
( 9,81 ) . t 2
(−5,4 )=( 0 ) +0,3420 v 0 . t−
(2)
Usando a equação 1, temos que:
2
( 9,81 ) . 9,5776
9,5776 ( v0 ) →(−5,4 )=( 3,27554 )− (449,93772)
(−5,4 )=( 0,3420 ) v 0 .
( v0
−
) (2) 2
v0
( 449,93772 )
v 20= =211,789217 → v 0=√ 211,789217
(2,12446 )
v 0=14,55 m/s
___________________________________________________________________________________
11.136 Determine a velocidade escalar máxima que os carros da montanha-russa podem
atingir ao longo da seção circular AB da pista se o componente normal de sua aceleração não
pode exceder 3g.

v2 2
a n= → v =a n . ρ
ρ
( v max )2AB=3 g . ρ=( 3 ) . ( 9,81 ) . ( 24 ) =706,32
( v max ) AB=√ 706,32=26,57668
( v max ) AB=26,57 m/s
___________________________________________________________________________________
11.141 Um motorista que dirige ao longo de um trecho de reta de uma rodovia diminui a
velocidade de seu automóvel para uma taxa constante antes de sair da rodovia em direção a
uma rampa de saída circular com um raio de 168m. Ele continua a desaceleração com a
mesma taxa constante de tal forma que, 10s após ter entrado na rampa, sua velocidade
escalar diminuiu para 32km/h, uma velocidade escalar que ele, então, mantém. Sabendo que a
essa velocidade constante a aceleração total do carro é igual a um quarto de seu valor antes
de entrar na rampa, determine o valor máximo da aceleração total do carro.

v(10)=32 km/h=8,89 m/ s

a=√ a2t +a2n

v2
a n=
ρ

v=v 0 + at .t Eq. 1
Em t=10s:
v 210 1
v=cte → a=an= ; a= at
ρ 4
2 2 2
1 v 4v ( 4 ) . (8,89)
at = 10 → at = 10 = 1,881246
4 ρ ρ (168)
a t=−1,88 m/ s2 (desaceleração)
Usando esse valor da desaceleração na equação 1 (t=10s), temos:
v=v 0 + at .t → v 10=v 0 +a t .t → v 0=v10 −at . t=( 8,89 )−[ (−1,88 ) . ( 10 ) ] =27,7013489
v 0=27,7 m/s
Em t=0:
2 2
v 20
√
a max= a + 2
t
ρ ( ) √
= (−1,88)2+
(27,7)2
(168) [
=4,939

a max=4,94 m/s 2
]
___________________________________________________________________________________
11.143 Um jogador de golfe lança uma bola a partir do ponto A com uma velocidade inicial de
50m/s e um ângulo de 25° com a horizontal. Determine o raio de curvatura da trajetória descrita
pela bola (a) no ponto A, (b) no ponto mais alto da trajetória.

a)
v 2A v2
(a A )n= → ρA= A
ρA (a A )n

(50)2
ρA=
( 9,81 ) . cos 25 o

ρ A =281,19 m
b)
v2B v 2B
(a B )n= → ρ B= , mas: v B=(v A ) x =v A . cos 25 o
ρB ( aB )n
2
v A . cos 25 o [ ( 50 ) . cos 25o ]
ρ B= =
( aB )n (9,81)
ρ B=209,33 m
___________________________________________________________________________________
11.163 A rotação da haste OA em torno de O é definida pela relação θ=π (4 t 2−8 t), onde θ e t
são expressos em radianos e segundos, respectivamente. O cursor B desliza ao longo da
haste de tal modo que sua distância do ponto O é r =10+6 sen π . t, onde r e t são expressos em
metros e segundos, respectivamente. Quando t = 1s, determine (a) a velocidade do cursor, (b)
a aceleração total do cursor, (c) a aceleração do cursor em relação a haste.

r =10+6 sen π t
ṙ =6 π cos π t
r̈ =−6 π 2 sen π t
θ=π ( 4 t 2−8 t )
θ̇=θπ ( t−1 )
θ̈=θπ

Para t=1s:
r =10 m θ=−4 π rad
ṙ =−6 π m/ s θ̇=0
r̈ =0 θ̈=8 π rad /s2
a)
v B=ṙ e r +r θ̇ e θ → v B=(−6 π ) e r +r ( 0 ) e θ → v B =−(6 π m/s )e r
b)
a B=( r̈−r θ˙2 ) e r + ( r θ̈+2 ṙ θ̇ ) e θ=[ ( 0 ) −( 10 ) .(0)2 ] e r + [ ( 10 ) . ( 8 π ) + ( 2 ) . (−6 π ) .(0) ] e θ

a B=( 80 π m/s 2 ) eθ
c)
a B /OA =r̈ →a B /OA =0
___________________________________________________________________________________
11.164 A oscilação da haste OA em torno de O é definida pela relação θ=(2/ π ).( sen π .t ), onde
θ e t são expressos em radianos e segundos, respectivamente. O cursor B desliza ao longo da
haste de tal forma que sua distância do ponto O é r =25/(t +4 ), onde r e t são expressos em
milímetros e segundos, respectivamente. Quando t = 1s, determine (a) a velocidade do cursor,
(b) a aceleração total do cursor, (c) a aceleração do cursor em relação à haste.
___________________________________________________________________________________
11.165 A trajetória de uma partícula P é uma elipse definida pelas relações r =2/(2−cos θ) e
θ=π t, onde r é expresso em metros, t em segundos e θ em radianos. Determine a velocidade e
a aceleração da partícula quando (a) t = 0, (b) t = 0,5 s.

___________________________________________________________________________________
11.166 O movimento bidimensional de uma partícula é definido pelas relações r =2 a cosθ e
bt2
θ= , onde a e b são constantes. Determine (a) as intensidades da velocidade e a aceleração
2
em qualquer instante, (b) o raio de curvatura da trajetória. O que se pode concluir em relação à
trajetória da partícula?
___________________________________________________________________________________
11.169 Após a decolagem, um helicóptero sobe em linha reta em um ângulo constante de
rampa β. Seu voo é rastreado por um radar localizado no ponto A. Determine a velocidade
escalar do helicóptero em termos de d , β , θ e θ̇ .

r d tg β
o
= ou d senβ =r (senβ cosθ−cosβ senθ) ou r =d
sen (180 −β ) sen( β−θ) tgβ cosθ−senθ
−(tgβ senθ−cosθ) (tgβ senθ+cosθ )
ṙ =d tanβ 2
θ̇=d θ tanβ
(tgβ cosθ−senθ) ( tgβ cosθ−senθ)2
v r=v cos ⁡( β−θ), onde: v r=ṙ
 tgβ senθ+cosθ
d θ̇ tanβ =v ( cosβ cosθ +senβ senθ ) =v cosβ (tgβ senθ +cosθ)
( tgβ cosθ−senθ)2
d θ tgβ˙secβ
v=
(tgβ cosθ−senθ)2
v 2=v 2r + v2θ =( ṙ )2 +(r θ̇)2
Usando as expressões para r e ṙ:
2 1/ 2
(tgβ senθ+ cosθ)2
[
v= d θ̇ tgβ
tgβ senθ+ cosθ
(tgβ cosθ−senθ )2
=±
] d θ̇ tgβ
[
(tgβ cosθ−senθ) (tgβ cosθ−senθ)2
+1
]
1 /2
d θ̇tgβ tg 2 β+1
v=±
[
(tgβ cosθ−senθ) (tgβ cosθ−senθ)2 ]
d θ̇ tgβ secβ
v=
(tgβ cosθ−senθ)2
12.8 Se a distância de frenagem de um automóvel a 96km/h é de 45m em um piso nivelado,
determine a distância de frenagem desse automóvel a 96km/h quando ele está (a) subindo um
plano inclinado de 5° e (b) descendo um plano com inclinação de 3%. Considere que a força de
frenagem é independente da situação.

v 0=96 km/h=26,67 m/s, v f =0 e ∆ x=45 m

2 2 v 2f −v 20 (0)2 −(26,67)2
v =v +2. a . ∆ x → a=
f 0 = → a=−7,90 m/ s2
2. ∆ x ( 2 ) .( 45)
W a −( 7,9 )
F b=m . a= . a= .W =
g g ¿¿
a)
o
o W −F b +W sen 5
↗ ∑ F b=m . a→−Fb −W sen 5 = . a → a= .g
g W
a=−( 0,805 ) + sen 5o . ( 9,81 ) → a=−1,66 m/s 2
v 2f −v 20 (0)2−(26,67)2
∆ x= =
2. a ( 2 ) .(−1,66)
∆ x=214,19m
b)
3
tgβ = → β=1,71835 o
100
W (−F b +Wsenβ ) . g [ (−0,805 ) W −W sen(1,71835) ] . g
−F b +Wsenβ= .a → a= =
g W W
a=[ (−0,805 ) −sen ( 1,71835 ) ] . ( 9,81 ) → a=−8,19 m/s 2
v 2f −v 20 (0)2−(26,67)2
∆ x= =
2. a ( 2 ) .(−8,19)
∆ x=43,41 m
___________________________________________________________________________________
12.9 Um pacote de 20kg está em repouso sobre um plano inclinado quando uma força P é
aplicada sobre ele. Determine a intensidade de P no caso de serem necessários 10s para o
pacote percorrer 5m subindo no plano inclinado. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico
entre o pacote e o plano inclinado são ambos iguais a 0,30.

x 0=0 , v 0=0

a . t2
x=x 0 +v 0 . t+
2
Logo:
a . t2
x=
2

2 x (2 ) .(5)
a= = → a=0,1 m/ s2
t2 (10)2
+↖ ∑ F y =0 : N −P sen 50o −m. g .cos 20o=0
N=P sen 50o +m . g . cos 20o
+↗ ∑ F x =m. a : P cos 50o−m. g . sen 20o−μ . N=m. a
P cos 50o −m. g . sen 20o −μ . (P sen 50o +m . g . cos 20o )=m. a
m . a+m. g( sen 20o + μ . cos 20o )
P=
(cos 50o −μ . sen 50o )
Parado: a=0 e μ=μ s=0,4:
( 20 ) . ( 0 ) + ( 20 ) . ( 9,81 ) .[sen 20o +( 0,4). cos 20 o ]
P= → P=418,74 N
[cos 50o −( 0,4). sen 50o ]
Em movimento, com a=0,1 m/s 2 e μ=μ k =0,3 :
( 20 ) . ( 0,1 )+ ( 20 ) . ( 9,81 ) .[sen 20 o+(0,3).cos 20o ]
P=
[cos 50o −(0,3). sen 50o ]
P=301,26 N
___________________________________________________________________________________
12.11 Os dois blocos mostrados na figura estão originalmente em repouso. Desprezando as
massas das roldanas e o efeito do atrito nessas roldanas e entre o bloco A e a superfície
horizontal, determine (a) a aceleração de cada bloco, (b) a tração no cabo.
 x A +3 y B =cte , v A +3 v B =0 e a A +3 a B=0
a A =−3 aB Eq. 1
a)
A:
+← ∑ F x =m A . a A :−T =m A . a A
Usando a eq. 1, temos que:
T =3 m A . aB Eq. 2
B:
+↓ ∑ F y =mB . aB :W B−3 T =mB . a B
Substituído Eq. 2 e W =mB . g , temos que:
g ( 9,81 )
(m¿¿ B . g)−3 ( 3 m A . aB )=m B . a B → a B= = → a B=0,83136 m/ s2 ¿
mA 30
1+9 ( )mB ( )
( 1 ) +( 9 ) .
25

Substituindo esse valoe na Eq.1, temos:

a A =−3 ( 0,83136 ) → a A =−2,49407 m/s 2
Então:
a A =2,49407 m/ s2 →
a B=0,831m/s 2 ↓
b)
T =3 m A . aB =( 3 ) . ( 30 ) . ( 0,831 )
T =74,82 N
___________________________________________________________________________________
12.13 Os coeficientes de atrito entre a carga e o reboque de piso plano mostrado na figura são
μs =0,40 e μk =0,30. Sabendo que velocidade escalar do equipamento é 72km/h, determine (a) a
menor distância na qual o equipamento pode ser parado se a carga não pode se movimentar.
 v 0=72 km/h=20 m/s , F=F m=μ s N
+↑ ∑ F y =0 : N−W =0 → N =W ⟹ F m =μs W → F m=0,4 W
W 0,4 W . g
+→ ∑ F x =m . amax : Fmax =m . amax → 0,4 W = . amax → amax = =0,4 g
g W
a max=3,924 m/s2
a max=3,924 m/s2 →
v 2=v 20 +2. a . x
Lembrando que: v=0 , v 0=20 m/ s e a=−a max=−3,924 m/s 2
v 2−v 20 ( 0)2−(20)2
x= =
2. a (2 ) .(−3,924 )
x=50,97 m
___________________________________________________________________________________
12.14 Um trator-reboque está viajando a 96km/h quando o motorista aplica seus freiom.as.
Sabendo que as forças de frenagem do trator e do reboque são 1.600kg e 6.200kg,
respectivamente, determine (a) a distância percorrida pelo trator-reboque antes que ele pare,
(b) o componente horizontal da força no engate entre o trator e o reboque enquanto eles estão
desacelerando.

a) v 0=96 km/h=26,67 m/s

W total
+→ ∑ F x =¿ m .a :−( F br )trac −( F br )reb = .a ¿
g

a=
[−( F br )trac−( F br )reb ] . g = −[ ( 1.600 ) +( 6.200 ) ] . ( 9,81 ) → a=−5,205 m/s 2
W total ( 7.900 )+ ( 6.800 )
 v 2−v 20 (0)2−(26,67)2
v 2=v 20 +2. a . ∆ x → ∆ x= =
2. a ( 2 ) .(−5,205)
∆ x=68,31m
b)
W reb
+→ ∑ F x =¿ m reb . a :−( F br )reb + P eng= .a¿
g
W reb ( 7.900 )
Peng =( Fbr )reb + . a=( 6.200 ) + . (−5,205 )=2.008,409
g ( 9,81 )
Peng =2.008 N (tensão)
___________________________________________________________________________________
12.49 Um piloto de 54 kg pilota um jato de treinamento em um meio “loop” de 1.200 m de raio
de modo que a velocidade escalar do jato diminui a uma taxa constante. Sabendo que o peso
aparente do piloto no ponto A e C são 1.680 N e 350 N respectivamente, determine a força
exercida no piloto pelo assento do jato quando este jato está no ponto B.

A:
v 2A ( N A −W ) . ρ ( 1.680 )
+↑ ∑ F n=m. a n : N A −W =m. → v 2A =
ρ m
=( 1.200 ) .
( 54 )
−(9,81)
[ ]
v 2A =25.561,33 m 2 /s 2
C:
v 2C ( N C −W ) . ρ ( 350 )
+↓ ∑ F n=m. a n : N C +W =m. → v 2C =
ρ m
=( 1.200 ) .
( 54 ) [
+(9,81)
]
vC2 =19.549,78 m2 / s2
Sendo at=cte:
v 2C −v 2A ( 19.549,78 )−(25.561,33)
vC2 =v 2A + 2. at . ∆ s AC → at = = → a t=−0,79731m/s 2
2 ∆ s AC ( 2 ) .[ π . ( 1.200 ) ]
π
v 2B=v 2A +2. at . ∆ s AB =( 25.561,33 ) + ( 2 ) . (−0,79731 ) .
[( )
2
. ( 1.200 )
]
v 2B=22.555,54 m2 / s2
B:
v 2B ( 22.555,54 )
+← ∑ F n=m. a n : N B=m . =( 54 ) . =1.014,9994
ρ (1.200)
N B =1.015 N ←
Ou
+↓ ∑ Ft =m . at :W + P B=m .|at|→ PB =m.|a t|−W =( 54 ) . [ ( 0,79731 )−( 9,81 ) ]
PB =−486,6853 N => PB =487 N ↑

( F piloto )B =√ N 2B + P2B =√(1.014,9994)2 +(486,6853)2=√ ¿ ¿

( F piloto )B =1.126 N
( F piloto )B =1.126 N ↖25,6 o
___________________________________________________________________________________
12.50 Um bloco B de 250g se encaixa dentro de uma pequena cavidade aberta no braço OA,
que gira no plano vertical a uma taxa constante tal que v=3m/s. Sabendo que a mola exerce no
bloco B uma força de intensidade P=1,5N e desprezando o efeito do atrito, determine a
intervalo de valores de θ para os quais o bloco B faz contato com a face da cavidade fechada
para o eixo de rotação O.

+↙ ∑ F n=¿ m . an :¿

v2
P+m . g . senθ−Q=m.
ρ
Q ≥0:
m . v2
Q=P+ m. g . senθ− ≥0
ρ

1 v2 P (3)2
senθ ≥ . (
− → senθ ≥
g ρ m ) 1
. −
(1,5)
(9,81) (0,9) (0,25) [ ]
senθ ≥ 0,40775
24,1o ≤θ ≤ 155,9o
___________________________________________________________________________________
12.51 A curva em um circuito de velocidade tem raio de 300m e velocidade de segurança de
192km/h. (Ver no Problema Resolvido 12.5 para a definição da velocidade de segurança.)
Sabendo que o carro de corrida começa a derrapar na curva quando viaja a uma velocidade de
288km/h, determine (a) o ângulo de inclinação θ, (b) o coeficiente de atrito estático entre os
pneus e a estrada sob as condições prevalentes, (c) a velocidade escalar mínima para a qual o
mesmo carro poderia fazer a curva.
 W =m. g
v2
a=
ρ
∑ F x =m. a x
F+ Wsenθ=m. a . cosθ

v2
F=m .a . cosθ−Wsenθ=m. ( )
ρ
cosθ−m . g . senθ

m. v 2 . cosθ
F= −m . g . senθ Eq. 1
ρ
∑ F y =m. a y :N −Wcosθ=m. a . senθ → N =m . a. senθ+Wcosθ
v2
N=m. ( )
ρ
. senθ +m. g . cosθ

2
m . v senθ
N= +m. g . cosθ Eq. 2
ρ
a) v=192 km/h=53,33 m/s; F=0
Eq. 1:
m. v 2
0= . cosθ−m . g . senθ
ρ
v2 (53,33)2
tgθ= = =0,966512
ρ . g ( 300 ) .(9,81)
θ=44 o
b) v=288 km/h=80 m/ s
F
F=μ . N → μ=
N
Substituindo as eq. 1 e 2 em μ, temos:
m. v 2 . cosθ
−m. g . senθ 2
ρ v 2 . cosθ− ρ. g . senθ ( 80 ) cos ( 44 ) −( 300 ) . ( 9,81 ) . sen ( 44 )
μ= = 2 =
m. v2 senθ v senθ + ρ . g . cosθ ( 80 )2 sen ( 44 ) + ( 300 ) . ( 9,81 ) . cos ( 44 )
+ m. g .cosθ
ρ
μ=0,38998
μ=0,39
c)
F v 2 . cosθ−ρ . g . senθ 2 ρ . g .(senθ−μ cosθ )
F=−μ . N →−μ= = 2 →v =
N v senθ+ ρ. g . cosθ cosθ+ μ senθ
( 300 ) . ( 9,81 ) .[sen 44−( 0,38998 ) . cos 44]
v 2= → v=√ 1.230,794549
cos 44+ ( 0,38998 ) . sen 44
v=35,083
 v=35,1 m/s (126,3km/h)
___________________________________________________________________________________
12.55 Um pequeno colar D de 300g pode deslizar sobre a parte AB de uma haste que é
curvada, tal como mostra a figura. Sabendo que α =40o e que a haste gira em torno da vertical
AC a uma taxa constante de 5rad/s, determine o valor r para o qual o colar não deslizará sobre
a haste se o efeito do atrito entre a haste e o colar for desprezado.

+→ ∑ F n=m. a n :

0 v 2D
N . cos 40 =m.
r
2
m.g o (r θ̇ ABC )
o
cos 40 =m.
sen 40 r
g 1
v D =r θ̇ ABC
+↑ ∑ F y =0 :
r=
[(
θ̇ ABC ) ] tg 40 )
2 (. o

1
N . sen 40o−W =0
r=
[ ]( )
(9,81)
( 5) 2
.
tg 40o
m. g r =0,4676 m
N=
sen 40 o
r =468 mm
___________________________________________________________________________________
12.60 Uma mesa rotativa A é construída em um palco para uso em uma produção teatral.
Observa-se, durante um ensaio, que um baú B começa a deslizar sobre a mesa 10s depois
que ela começa a girar. Sabendo que o baú é submetido a uma aceleração tangencial
constante de 0,24m/s2, determine o coeficiente de atrito estático entre o baú e a mesa rotativa.

v B=v 0 +at . ∆ t=( 0 )+ ( 0,24 ) . (10 ) → v B=2,4 m/ s

∑ F=mB . a B : F=mB . ( aB )t +mB . ( a B )n

2
v 2B
2 2
F=mB . √(a ) +(a ) =mB . (a ) +
B t B n
√
ρ
+↑ ∑ F y =0 : N−W =0 → N =W =mB . g
2
B t ( )
Em t=10s:
F=μs N=μ s .mB . g
2
v 2B
√
μs . mB . g=mB . ( a ) +
2
B t
ρ ( )
 2 2 2

μs =
√ 2
mB . ( a ) +
B t

mB . g
v 2B
( )
ρ
=
√ ( )
2
( a B )t + ρ
g
√
v 2B

=
[ ]
2
(0,24) +
(2,4)2
(2,5)
( 9,81)
=0,236133

μs =0,236