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pc2 01jul2015gab
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( (t )).v(t ).K v My(t ) by (t )
2
x1(t ) y (t )
x 2(t ) y (t )
Figura 1
Solução:
( ).v.K v Mx1 bx1
2
x2 (t ) x1
( ).v.K v
b
x1 x1 2
M M
x2 (t ) x1
x1 b K
0 x1 v
x M M ( ).v
2 1 0 x2 0 2
y1 1 0 x1
y 0 1 x
2 2
b Kv 1 0
0
A M B M C D0
1
0 0
0 1
b) Obtenha a representação por diagrama de blocos do sistema com uma entrada ( (t ).v(t ) ) e duas
saídas y (t ) e y (t ) (1,5).
Solução:
F7D440 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS II
G(s) = C(sI-A)-1B +D
No matlab:
1
A figura apresenta as respostas do sistema para ( ).v
2 s
Step Response
12000
10000
8000
To: Out(1)
6000
4000
2000
Amplitude
0 8
x 10
3
2.5
2
To: Out(2)
1.5
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Time (seconds) 4
x 10
c) Qual a representação canônica controlável (inclusive diagrama de blocos) deste sistema considerando
que a saída é y(t) (1,0)?
1
F7D440 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS II
Solução:
Da função de transferência do item c:
y(t ) 0.005 y (t ) 50( ).v
2
ans = 0 1.0000
1.0000 -0.0050
>>det(ctrb(A1,B1))
ans = -1
obsv(A1,C1)
ans = 50 0
0 50
det(obsv(A1,C1))
ans = 2500
2
F7D440 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS II
e) Projete um sistema por realimentação de estados tal que o sistema final apresente um tempo de
acomodação menor que 1s e um sobre sinal menor que 5%, evitando os problemas de colisão da figura 2.
Apresente um diagrama de blocos do sistema realimentado. (3,0).
Solução:
O sobre sinal de menor que 5% implica em um coeficiente de amortecimento maior que 0.69.
Já o tempo de acomodação menor que 1s implica em um wn > 4/(0.69x1) >5.8 (critério de 2%).
Para que o sistema apresente o comportamento desejado, opta-se pelos seguintes pólos objetivo:
-10+j e -10-j.
K = 101.0000 19.9950
>>step(A1-B1*K,B1,C1,0)
3
F7D440 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS II
Step Response
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
Amplitude
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Time (seconds)
f) Modifique o projeto tal que o deslocamento y(t) tenda ao valor unitário para uma entrada degrau
unitário. Compare o valor final de y(t) nos dois casos (1,5).
Solução:
Modificando-se B1 para 2*B1:
>>step(A1-B1*K,2*B1,C1,0)
4
F7D440 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS II
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
0.6
Amplitude
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Time (seconds)
g) Para entrada degrau unitário e condições iniciais x1(0) =1 e x2(0)=1 obtenha as saídas do sistema
projetado no item f (1,5)?
Solução:
1
s 0 0 1 0 0
( s I ( A1 2 * B1 * K ))
1
0 s 0 0.005 202 40
1
1
s 1 1 s 40.005 1
( s I ( A1 2 * B1 * K )) 2
202 s 40.005
s 40.005s 202 202 s
1 s 40.005 1 0 1 s 40.005 1 0
X ( s) 2 2 * 2 1/ s
s 40.005s 202 202 s 1 s 40.005s 202 202
s 1
1 1 1 0
X ( s) 2 2 2
s 40.005s 202 s s 40.005s 202
s
5
F7D440 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS II
1 1 0 1 1
X (s) 2 s "2 2
2
s 40.005s 202 s 2
s 40.005s 202
s s
1 1
Y ( s ) 2 s "2 2
s 40.005s 202
s
4.5
4 0.02
3.5
3 0.015
Amplitude
Amplitude
2.5
2 0.01
1.5
1 0.005
0.5
0 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Time (seconds) Time (seconds)
Figura 2
BOA PROVA!