Livro1 2022 Fisica

P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 08:59 Página I
LIVRO
1 FÍSICA
CIÊNCIAS DA
Índice
NATUREZA E SUAS
TECNOLOGIAS
EDUARDO FIGUEIREDO
Coordenador e Professor
do Curso e Colégio Objetivo
Cinemática
NEWTON VILLAS BÔAS
RONALDO FOGO 1 – Fundamentos da Cinemática Escalar . . . . . . . . . . 1
CAIO SÉRGIO V. CALÇADA 2 – Movimento Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Professores do Curso e Colégio Objetivo
3 – Movimento Uniformemente Variado . . . . . . . . . . 51
4 – Movimento Vertical de
um Projétil sob Ação Exclusiva da Gravidade . . . 78
5 – Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 – Cinemática Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Termologia
1 – Termometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2 – Calorimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3 – Mudanças de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4 – Transmissão de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5 – Gases Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6 – Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 08:59 Página II
Eletrodinâmica
1 – Corrente e Tensão Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
2 – Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3 – Geradores Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4 – Receptores Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5 – Potência e Energia Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6 – Leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7 – Medidores Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Eletromagnetismo
1 – Campo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 08:59 Página 1
CAPÍTULO
Cinemática
1 FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA ESCALAR
R epouso e movimento são conceitos

relativos que dependem do referencial adotado.
Os malabaristas aéreos, em queda no ar,
estão em movimento em relação ao solo terrestre
e, na situação da foto, estão em repouso uns em
relação aos outros.
1. O que é Cinemática Exemplo 1

Um automóvel é considerado um ponto material em
Mecânica é a ciência que estuda os movimentos. Na uma viagem de São Paulo a Santos.
mecânica, existem dois capítulos importantes: Cinemá-
tica e Dinâmica.
A Cinemática é a parte da Mecânica que descreve o
movimento, por meio de funções matemáticas, sem in-
vestigar as suas causas.
A Cinemática usa conceitos da geometria associados
à ideia de tempo.
Cinemática = Geometria + Tempo
A Dinâmica estuda as leis da natureza que explicam
os movimentos, investigando os fatores que produzem ou Em uma viagem da cidade A até a cidade B, o automóvel é considerado um
alteram esses movimentos. ponto material.
O mesmo automóvel é tratado como corpo extenso ao
calcularmos o tempo gasto para ultrapassar um caminhão.
2. Ponto material – corpo extenso
Quando estudamos o movimento de um corpo, suas
dimensões (seu tamanho) podem ser relevantes ou não no
equacionamento do movimento. Isto posto, definimos:
Ponto material (ou partícula) é um corpo cujo ta-
manho é desprezível em comparação com as dis- Exemplo 2
tâncias envolvidas no movimento estudado. Quando um trem atravessa um túnel retilíneo, a dis-
tância a ser percorrida é a soma dos comprimentos do
Em outras palavras: se na hora de equacionar o mo-
trem e do túnel; nesse caso, o comprimento do trem é re-
vimento de um corpo o seu tamanho for irrelevante quan-
levante e ele é tratado como corpo extenso.
do comparado com as demais distâncias envolvidas, ele
será tratado como ponto material ou partícula.
Se, pelo contrário, o tamanho do corpo influir nos
cálculos ligados ao movimento estudado, ele será tratado
como corpo extenso.
1
Quando o mesmo trem viaja de São Paulo ao Rio de

Janeiro, ele é tratado como ponto material, pois o seu
comprimento é desprezível quando comparado com
400km (distância de São Paulo ao Rio de Janeiro).
Exemplo 3
A Terra em seu movimento de translação em torno do Exemplo
Sol é considerada um ponto material, pois o seu ta- As coordenadas dos pontos materiais A, B, C e D, re-
manho é desprezível quando comparado com a extensão presentados na figura, assumindo a posição de C como
de sua órbita. origem das coordenadas, são:
xA = 3cm; xB = –4cm; xC = 0; xD = –1cm.
Se um ponto material P estiver sempre em um plano,

Em sua translação em torno do Sol, a Terra é um ponto material.
a sua posição será definida por um par de coordenadas
(x; y).
A mesma Terra é considerada um corpo extenso,
quando estudamos o seu movimento de rotação, pois
agora suas dimensões não são mais desprezíveis, quando
comparadas com os deslocamentos envolvidos.
O conjunto de dois eixos perpendiculares, usado para

se definir a posição do ponto material no plano, é deno-
minado sistema cartesiano e as coordenadas (x; y) do
ponto material são denominadas coordenadas cartesia-
nas de posição.
A Terra gira em torno de seu próprio eixo; nesse movimento de rotação, a Exemplos
Terra é um corpo extenso.
As coordenadas cartesianas dos pontos materiais A,
No estudo da rotação de um corpo, o tamanho sem- B, C, D e E, representados na figura, são:
pre é relevante e o corpo é sempre tratado como corpo A (3cm; 2cm); B (2cm; –3cm); C (0; 4cm);
extenso, isto é:
D (–2cm; 0); E (0; 0)
Não existe rotação de ponto material.
No conceito de ponto material, não se faz menção à
massa do corpo e, portanto:
Ponto material tem massa e sua massa não é des-
prezível.
3. Posição de um ponto material

Se um ponto material P estiver sempre em uma reta,
sua posição ficará determinada pela medida algébrica x
do segmento OP, sendo O um ponto fixo pertencente à
reta.
A medida x é chamada coordenada do ponto P e o
ponto fixo O é denominado origem das coordenadas.
2
Se um ponto material P puder estar em qualquer Uma partícula está em repouso, para um dado
lugar do espaço, sua posição só ficará definida por um referencial, quando sua posição permanece inva-
terno (x; y; z) de coordenadas. riável, isto é, as três coordenadas cartesianas (x, y
e z) permanecem constantes no decurso do tempo.
Uma partícula está em movimento, para um da-
do referencial, quando sua posição varia no decur-
so do tempo, isto é, pelo menos uma das coorde-
nadas cartesianas está variando.
Exemplos
(I) Considere um carro em uma rua e um poste. O
velocímetro do carro marca 100km/h. O motorista do
carro está em repouso ou em movimento? A resposta
correta é: depende do referencial.
Se o referencial for a superfície terrestre, o poste
estará em repouso e o motorista estará em movimento a
100km/h.
O conjunto de três eixos perpendiculares entre si, Se o referencial for o carro, o motorista estará em re-
usado para se definir a posição do ponto material no es- pouso e o poste estará em movimento a 100km/h.
paço, é denominado sistema cartesiano triortogonal e (II) Considere um avião em pleno voo e um pas-
as coordenadas (x; y; z) do ponto material são as coor- sageiro dormindo em uma poltrona.
denadas cartesianas que definem a posição do ponto
Se o referencial for o avião, o passageiro estará em
material.
repouso, e, se o referencial for a superfície terrestre, o
É usual chamarmos x de abscissa (ou abcissa), y de
passageiro estará em movimento.
ordenada e z de cota ou altura.
4. Referencial ou
sistema de referência
O sistema cartesiano triortogonal deve ser fixado em
um local, em relação ao qual pretendemos estudar a posi-
ção do ponto material.
Esse local é chamado sistema de referência ou re-
ferencial.
Quando o referencial for omitido, vamos assumi-lo
como sendo a superfície terrestre.
5. Repouso – movimento
Repouso e movimento são conceitos relativos, isto
é, dependem do referencial adotado. Para o referencial A, ligado ao ciclista (parado em relação ao solo terrestre),
Não existe repouso absoluto nem movimento abso- o rapaz e a moça estão em movimento; para o referencial B, ligado ao trem,
luto. o rapaz está em repouso e a moça e o ciclista estão em movimento.
1. Você é um ponto material? Explique. 2. Ponto material tem massa?

Resolução Resolução
Depende das distâncias envolvidas no movimento realizado. Uma Ponto material é um corpo e todo corpo tem massa. Quando
pessoa é considerada um ponto material quando vai a pé de sua consideramos um corpo como ponto material, estamos
residência ao seu local de trabalho, suposto distante. desprezando o seu tamanho, mas não a sua massa.
A mesma pessoa deixa de ser um ponto material quando está fa-
zendo ginástica, pois os deslocamentos realizados, quando se faz 3. Um passageiro está dormindo na poltrona de um vagão de metrô,
ginástica, são da mesma ordem de grandeza das dimensões da que se desloca de uma estação para outra. O passageiro está em
pessoa. repouso ou em movimento?
3
Livro_Cinematica_Alelex 10/07/14 09:03 Página 4
Resolução 100m FEMININOS (PROVA FINAL)

Depende do referencial adotado. Se o referencial for o vagão, o
passageiro está em repouso; se o referencial for a Terra, o pas- Tempo de reação Tempo final
Lugar Nome
sageiro está em movimento. (segundo) (segundos)
1.o Kim Gevaert 0,144 11,06
4. (CEFET-SC-MODELO ENEM) – Observe a tira abaixo: 2.o Yekaterina Grigoryva 0,150 11,22
3.o Irina Khabarova 0,144 11,22
4.o Joice Maduaka 0,164 11,24
Considere as proposições a seguir:
(I) Na prova de 100m masculinos, o atleta Francis Obikwelu
partiu antes que os outros e por isso ganhou a corrida.
(II) O tempo de corrida da atleta Irina Khabarova foi maior que da
atleta Yekaterina Grigoryva.
O pensamento da personagem no último quadrinho traduz a rela- (III) O tempo médio de reação das mulheres é menor que o dos
tividade dos conceitos de repouso e movimento. A que podemos homens.
atribuir a dificuldade de Jon em perceber a rotação da Terra? (IV) O tempo médio de corrida dos homens é menor que o das
a) À grande distância das estrelas. mulheres.
b) Ao movimento diurno do Sol. Somente está correto o que se afirma em:
c) Ao fato de a Terra possuir uma velocidade de rotação variável. a) I e III b) I e IV c) II e III
d) Às dimensões do próprio planeta Terra. d) II e IV e) II, III e IV
e) Ao fato de estarmos acompanhando o movimento de rotação Resolução
da Terra. (I) FALSA. Para sabermos qual atleta partiu antes, devemos ana-
Resolução lisar a coluna “tempo de reação”; o atleta com menor tempo
Pelo fato de girarmos junto com a Terra, o gato está parado para de reação é o que partiu antes: Andrey Yepishin.
um referencial fixo no solo terrestre. (II) VERDADEIRA. O tempo de corrida é a diferença entre o tem-
Resposta: E po final e o tempo de reação.
5. (GAVE-MODELO ENEM) – No Campeonato da Europa de Atletis- Atleta Irina: 11,22s – 0,144s = 11,076s
mo em 2006, na Alemanha, Francis Obikwelu, atleta de nacio- Atleta Yekaterina: 11,22s – 0,150s = 11,070s
nalidade portuguesa, ganhou a medalha de ouro nas corridas de (III) VERDADEIRA. Tempo médio para as mulheres:
100 e de 200 metros.
As tabelas referem as marcas alcançadas, na prova final da corrida 0,144 + 0,150 + 0,144 + 0,164
TM = ––––––––––––––––––––––––––––– (s) = 0,150s
de 100 metros, pelos atletas masculinos e femininos que ficaram 4
nos quatro primeiros lugares. Numa corrida, considera-se tempo
de reação o intervalo de tempo entre o tiro de partida e o mo- Tempo médio para os homens:
mento em que o atleta sai dos blocos de partida. O tempo final 0,183 + 0,148 + 0,167 + 0,184
inclui o tempo de reação e o tempo de corrida. TH = ––––––––––––––––––––––––––––– (s) = 0,170s
4
100m MASCULINOS (PROVA FINAL)
Tempo de reação Tempo final Na realidade, não precisaríamos calcular o valor do tempo mé-
Lugar Nome dio porque a simples observação da tabela revela um tempo
(segundo) (segundos)
de reação menor para as mulheres.
1.o Francis Obikwelu 0,183 9,99
(IV) VERDADEIRA. De fato, como o tempo médio de reação dos
2.o Andrey Yepishin 0,148 10,10
homens é maior e o tempo médio final é menor, resulta que o
3.o Matic Osovnikar 0,167 10,14 tempo médio de corrida dos homens é menor.
4.o Ronald Pognon 0,184 10,16 Resposta: E
6. A respeito do objeto de estudo da Cinemática, assinale a opção (III) Quando um trem de comprimento L atravessa um túnel retilí-
falsa: neo de comprimento 4L, ele é considerado um ponto material.
a) A Cinemática usa os conceitos da geometria e mais a ideia de (IV)Quando um trem vai de São Paulo para o Rio de Janeiro e
tempo. pretendemos calcular sua velocidade média neste percurso, o
b) A Cinemática é o estudo geométrico do movimento sem trem pode ser considerado um ponto material.
investigar as suas causas. (V) Quando estudamos a rotação de um corpo, suas dimensões
c) A Cinemática estuda um movimento por meio de três funções são sempre relevantes e ele é tratado como corpo extenso
matemáticas: posição x tempo; velocidade x tempo e (isto é, não é um ponto material).
aceleração x tempo.
d) As grandezas fundamentais usadas no estudo da Cinemática 8. Uma garota em seu carro novo, com o velocímetro marcando
são: o comprimento L e o tempo T. 100km/h, colide com um poste.
e) No estudo da Cinemática, é importante o conceito de massa. A garota, ao prestar depoimento na delegacia, explica para o
delegado que o poste estava a 100km/h.
7. A respeito do conceito de ponto material, julgue as proposições a Esta argumentação, aparentemente absurda, tem algum con-
seguir: teúdo físico? Explique.
(I) Um corpo é considerado ponto material ou partícula quando
suas dimensões não interferem no estudo do movimento. 9. Considere a figura na qual um automóvel se desloca (em relação
(II) Um corpo é considerado ponto material quando sua massa é à Terra) com velocidade de valor 60km/h.
desprezível.
4
A respeito dos conceitos de repouso e movimento, considere as

proposições que se seguem:
I. Se A estiver parada em relação a B, então B estará parada em
relação a A.
II. Se B estiver em movimento em relação a C, então C estará
em movimento em relação a B.
III. Se A estiver parada em relação a B, e B estiver parada em
relação a C, então A estará parada em relação a C.
IV. Se A estiver em movimento em relação a B, e B estiver em
movimento em relação a C, então A estará em movimento em
relação a C.
Estão corretas:
a) apenas I e II; b) apenas I, II e III;
Complete com a palavra repouso ou movimento. c) apenas I, II e IV; d) apenas III e IV;
a) O motorista (M) em relação ao seu automóvel (A) está em e) I, II, III e IV.
................................, mas em relação ao poste (P) está em
.................................................. .
b) O cidadão (C) em relação ao poste (P) está em 13. Considere um sistema cartesiano triortogonal fixo em um
...................................., mas em relação ao automóvel (A) está referencial R.
em .................................................
c) O poste (P) está em .............................. em relação ao
automóvel (A).
10. (UFRJ) – Heloísa, sentada na poltrona de um ônibus, afirma que

o passageiro sentado à sua frente não se move, ou seja, está em
repouso. Ao mesmo tempo, Abelardo, sentado à margem da
rodovia, vê o ônibus passar e afirma que o referido passageiro
está em movimento.
A posição de um ponto material fica definida pelo terno de coor-

De acordo com os conceitos de movimento e repouso usados em denadas cartesianas de posição: x, y e z.
Mecânica, explique de que maneira devemos interpretar as afirma- Julgue as proposições a seguir:
ções de Heloísa e Abelardo para dizer que ambas estão corretas.
(I) A partícula somente estará em repouso, em relação a R, se as
três coordenadas, x, y e z, permanecerem constantes.
11. No esquema da figura, temos três partículas, A, B e C, que se mo- (II) A partícula somente estará em movimento, em relação a R, se
vem ao longo de uma mesma reta, com velocidades indicadas em as três coordenadas, x, y e z, estiverem variando.
módulo e sentido, em relação ao solo terrestre. (III) Se x e y forem constantes não nulas e apenas z estiver va-
riando, o ponto material estará em movimento, em relação a
R, ao longo de um reta paralela ao eixo z.
(IV)Se z for constante, não nula, e x e y estiverem variando, o
ponto material estará em movimento, em relação a R, em um
plano paralelo ao plano xy.
14. Os conceitos de repouso e movimento são relativos, pois depen-

dem do referencial adotado.
Considere as seguintes proposições: Dona Gertrudes, em seu carro novo, se projeta em cima de um
I) A está em movimento em relação a C. poste a 100km/h.
II) C está em movimento em relação a B. Tendo resistido ao evento ela vai prestar depoimento na delegacia
III) A está em movimento em relação a B. e afirmou que o poste estava com velocidade de 100km/h. Do
Assinale a alternativa correta. ponto de vista exclusivamente da Física podemos afirmar que:
a) Apenas II está correta. a) o argumento de Gertrudes é absurdo
b) Apenas I e II estão corretas. b) para um referencial no solo terrestre o poste tem velocidade
c) Apenas II e III estão corretas. de 100km/h.
d) I, II e III estão corretas. c) para um referencial no carro, Gertrudes está com velocidade
e) Apenas I está correta. de 100km/h.
d) para um referencial no carro, o poste está com velocidade de
100km/h.
12. Considere três partículas, A, B e C, que só podem mover-se ao e) em relação a qualquer referencial o poste está com velocidade
longo de uma mesma reta. de 100km/h.
5
6. Trajetória Uma questão importante sobre o conceito de traje-

tória é a seguinte:
Trajetória de um ponto material é o lugar geomé- A trajetória depende do referencial adotado?
trico das posições ocupadas pelo ponto material no A resposta é sim, pois a conceituação de trajetória
decurso do tempo, isto é, é a união de todas as po- envolve a noção de movimento, que, por sua vez, depen-
sições por onde o ponto material passou. de do referencial adotado.
Por exemplo, consideremos um trem com velocidade
No instante t1, o ponto material está na posição P1; constante em uma estrada reta e horizontal. Uma pessoa
no instante t2, em P2; no instante t3, em P3; ...; no instante está dentro do trem com uma pedra na mão.
tn, em Pn. Se, num dado instante, a pessoa abandonar a pedra,
A linha que une todas as posições P1, P2, P3, ......, Pn qual será sua trajetória?
é a trajetória. Em relação à pessoa no trem, a pedra cai pela ação
da gravidade e a sua trajetória é um segmento de reta
vertical.
Em relação a uma pessoa parada na beira da estrada,

vendo o trem passar, a pedra terá dois movimentos:
1) queda vertical pela ação da gravidade;
2) movimento horizontal acompanhando o trem.

O movimento resultante terá uma trajetória em forma
de um arco de parábola.
A união das posições ocupadas pela ficha de pôquer, lançada obliquamente,
corresponde à sua trajetória.
Observemos que, quando um ponto material está em

Em uma operação de soldagem, as fagulhas descrevem trajetórias parabóli- repouso, por extensão, dizemos que sua trajetória é um
cas, em relação ao solo, se desprezarmos o efeito do ar. ponto.
6
Trajetória depende do referencial adotado.
Desprezando-se o efeito do ar, o centro de massa do atleta, durante o salto,

tem trajetória parabólica em relação ao solo.
A trajetória do projétil, desprezando-se o efeito do ar, é parabólica em relação

ao solo terrestre e é um segmento de reta vertical em relação ao carrinho de
onde foi lançado e que manteve velocidade horizontal constante.
Quando um ponto material está em repouso, sua

trajetória é um ponto.
Em relação ao avião que se move horizontalmente com velocidade constante,

as bombas (desprezando-se o efeito do ar) têm trajetória vertical.
Os relâmpagos são rastros luminosos que evidenciam as trajetórias das par-

Numa festa com fogos de artifício, vemos as trajetórias mostradas pelos ras- tículas que participam da descarga elétrica entre uma nuvem e a superfície
tros luminosos nas fotos. terrestre.
7
7. Localização do ponto Como exemplo, consideremos um carro em movi-

material na trajetória: Espaço mento de São Paulo (SP) para o Rio de Janeiro (RJ).
Admitamos que a distância de SP ao RJ, ao longo da
Por meio das coordenadas cartesianas, aprendemos a trajetória, seja de 400km. Consideremos, ainda, a cidade
determinar uma posição genérica de um ponto material. de São José dos Campos (SJ), cuja distância ao RJ, ao
Vejamos agora como localizar o ponto material ao longo longo da trajetória, admite-se igual a 300km.
de sua trajetória. Isso é feito por uma única coordenada Tomando-se RJ como origem dos espaços e orien-
(ou abscissa), que é denominada espaço (ou abscissa tando-se a trajetória de RJ para SP, quando o carro estiver
linear). em SJ, seu espaço será s1 = 300km e, quando chegar a SP,
Consideremos a trajetória aberta L descrita pelo pon- seu espaço será s2 = 400km.
to material em relação a um certo referencial. Sobre L,
fixamos um ponto O, que chamamos de origem dos
espaços, ao qual atribuímos o valor zero para o espaço.
Para uma posição genérica do automóvel, o valor do

espaço corresponde à quilometragem marcada na beira
da estrada.
Assim, por exemplo, o carro passar pelo “km 20”,
significa que o espaço vale 20km, isto é, o carro está a
20km da origem dos espaços (marco zero da estrada).
Como o ponto material pode estar de um lado ou de Se tomarmos SJ como origem dos espaços e orien-
outro da origem (ver posições P1 e P2), para podermos de- tarmos a trajetória de RJ para SP, quando o carro está em
terminar, de maneira precisa, a sua posição, devemos RJ, seu espaço é s1’ = –300km; quando estiver em SJ, seu
orientar a trajetória, isto é, atribuir um sentido positivo pa- espaço será zero; e quando estiver em SP, seu espaço será
ra as medidas dos arcos de trajetória com origem em O. s2’ = 100km.
Assim, na figura, o arco OP1 tem medida algébrica Notas

positiva e o arco OP2 tem medida algébrica negativa. 1) O espaço s é um indicador de local (posição), isto
Seja P a posição do ponto material num instante é, o espaço s responde à pergunta: “onde está o móvel?”
genérico t. 2) O espaço s não indica a distância percorrida pelo
móvel, mas apenas onde ele se encontra.
Define-se: espaço (s), no instante considerado (t), 3) O espaço s pode ser positivo, negativo ou nulo.
como a medida algébrica (leva em conta o sinal) 4) Dizer que o espaço, num dado instante, é nulo sig-
do arco de trajetória OP. nifica apenas que, naquele instante, o móvel está posicio-
nado na origem dos espaços.
5) O valor absoluto do espaço só coincide com a dis-
tância do móvel até a origem se a trajetória for retilínea.
8
9. Origem dos
tempos; Espaço inicial
O instante t0 = 0 é denominado origem dos tempos,
instante inicial ou instante de referência.
Qualquer instante posterior a t0 será considerado po-
sitivo e qualquer instante anterior a t0 será considerado
negativo.
Tempo negativo significa um instante anterior à
origem dos tempos escolhida.
8. Lei do movimento:
Função horária dos espaços Exemplificando: consideremos uma bolinha partin-
do do repouso do teto de uma sala e passando diante dos
Quando um ponto material está em movimento, a sua olhos de uma pessoa escolhida como observador. Ad-
posição varia no decurso do tempo. A maneira como a mitamos que o instante escolhido como t0 = 0 seja o ins-
posição varia com o tempo é a lei do movimento. Como tante em que a bolinha passou diante dos olhos do
a posição é definida pelo espaço (s), a lei do movimento observador. Admitamos, ainda, que a bolinha gastou 2,0s
é dada pela função matemática que traduz a correspon- para ir do seu ponto de partida até os olhos do ob-
dência entre os valores do tempo (t) e os valores do espa- servador. Isto posto, dizemos que a bolinha partiu no
ço (s). instante t = –2,0s, isto é, 2,0s antes do instante escolhido
Essa função s = f(t) é denominada função horária como t = 0.
do movimento. A denominação equação horária, que No lançamento de um foguete, o instante t0 = 0 é o
também é utilizada para traduzir essa função, é impró- instante de partida do foguete.
pria, pois o termo equação refere-se a uma igualdade que Um pouco antes, começa uma contagem regressiva,
só é verdadeira para um número finito de valores das na qual se evidencia o conceito de tempo negativo.
variáveis.
Na função horária, as variáveis t e s têm unidades –10,0s ; –9,0s ; –8,0s; ...... ; –1,0s ; zero
que devem ser indicadas quando se representa a função. Define-se espaço inicial (s0) como sendo o valor as-
sumido pelo espaço na origem dos tempos.
Exemplos
Espaço inicial (s0) é o valor do espaço na origem
a) s = 8,0 + 3,0t (t em h e s em km)
dos tempos ( t = 0).
b) s = 3,0 – 2,0 t + 1,0t2 (SI)
c) s = 3,0 t3 – 2,0 (SI)
SI é o Sistema Internacional de Unidades. Exemplos
1) s = 3,0t2 (SI)
A função que relaciona o espaço com o tempo é de-
nominada função horária dos espaços ou equação t = 0 ⇒ s = s0 = 0
horária do movimento.
2) s = 10,0 + 4,0t + 2,0t2 (SI)
t = 0 ⇒ s = s0 = 10,0m
Notas
1) Quando o ponto material está em repouso, o seu 3) s = – 4,0 + 8,0t – 7,0t2 (CGS)
espaço permanece constante, podendo ser positivo, ne-
t = 0 ⇒ s = s0 = – 4,0cm
gativo ou nulo, dependendo de onde ele está parado.
2) No SI (Sistema Internacional de Unidades), o tem-
po é medido em segundos (s) e o espaço em metros (m). Notas
3) No sistema de unidades CGS (centímetro-gra- 1) O espaço inicial será nulo quando na origem dos
ma-segundo), o tempo é medido em segundos (s) e o tempos o móvel estiver posicionado na origem dos espa-
espaço em centímetros (cm). ços.
4) Quando a equação horária s = f(t) for uma relação 2) O espaço inicial indica apenas onde está o móvel
do 1.o grau, o movimento será chamado uniforme. no instante t = 0.
5) Quando a equação horária s = f(t) for uma relação 3) Não se pode confundir origem dos tempos (ins-
do 2.o grau, o movimento será chamado uniformemente tante t = 0, marcado em um relógio) com origem dos es-
variado. paços (posição em que s = 0, marcada na trajetória).
9
15. Considere um avião com velocidade constante em uma trajetória C para D: o espaço aumenta algebricamente de (2m) para
reta e horizontal, em relação à Terra. Num dado instante, o avião (5m) e o móvel se afasta da origem.
abandona uma bomba. Estude a trajetória da bomba em relação
ao avião e em relação à Terra, desprezando-se a resistência do ar. (MODELO ENEM) – Texto para as questões de 18 a 21.
Resolução O esquema a seguir representa o perfil de uma estrada, que vai
Tomando-se como referencial o avião, a bomba terá apenas o mo- ser percorrida por um carro.
vimento de queda vertical, imposto pela gravidade, e a trajetória
será um segmento de reta vertical.
O ponto A corresponde ao marco zero da estrada e é adotado como

origem dos espaços. A convenção de sinais para a medida do
espaço é indicada no desenho (de A para F). A medida dos arcos
entre os pontos sucessivos é sempre de 50km
(AB = BC = CD = DE = EF = 50km).
No instante t = 0, denominado origem dos tempos, o carro inicia
seu movimento, obedecendo à seguinte lei horária:
s = 50 + 50t2 (t em h; s em km)
No instante t1, o avião está na posição A1 e a bomba na posição
B1; no instante t2, as posições são A2 e B2; no instante t3, A3 e B3; Depois de uma hora de viagem, o movimento do carro passou a
no instante t4, A4 e B4; e assim sucessivamente. As posições Ai obedecer à seguinte lei horária:
e Bi estão sempre numa mesma vertical.
s = 100t (t ≥ 1,0h) (t em h; s em km)
Tomando-se como referencial a Terra, a bomba descreve a traje-
tória parabólica B1B2B3B4..., como resultado da superposição de Nota: o tempo t é medido desde a partida do carro.
dois movimentos parciais:
(1) movimento horizontal com a mesma velocidade do avião. 18. O ponto de partida do carro é o ponto:
(2) movimento vertical imposto pela ação da gravidade. a) A b) B c) C d) D e) E
Se tomássemos um referencial ligado à própria bomba, esta esta- Resolução
ria em repouso e sua trajetória seria um ponto. Como a partida se dá no instante t = 0, temos:
16. O espaço num dado instante t corresponde sempre à distância s0 = 50 + 50 . 02 (km) ⇒ s0 = 50km
percorrida pelo móvel até aquele instante?
Justifique, exemplificando. Esta posição corresponde, na figura, ao ponto B.
Resolução Resposta: B
Se o móvel partir da origem dos espaços e caminhar sempre no
mesmo sentido, durante um tempo t, então o valor absoluto do 19. O carro mudou o tipo de movimento (a lei horária) no ponto:
espaço, no instante t, coincidirá com a distância percorrida. a) A b) B c) C d) D e) E
Se o móvel, por exemplo, não partir da origem dos espaços ou se Resolução
durante o movimento houver inversão no sentido de movimento, Como a mudança do tipo de movimento se dá no instante t = 1,0h, te-
então o espaço será diferente da distância percorrida. mos:
Exemplificando: um corpo é lançado verticalmente para cima, sobe s1 = 50 + 50 . (1,0)2 (km) ⇒ s1 = 100km
até uma altura de 10m e retorna ao ponto de partida. Se adotarmos
como origem dos espaços o ponto de partida, ao retornar a este Esta posição corresponde, na figura, ao ponto C.
ponto, o espaço será zero e a distância percorrida será de 20m. Resposta: C
17. O que podemos concluir quando, em uma trajetória retilínea, 20. Após meia hora do início da viagem, o carro se encontra em uma
a) o espaço aumenta, em valor absoluto? posição na estrada entre
b) o espaço aumenta algebricamente? a) o quilômetro 12 e o quilômetro 13.
Resolução b) o quilômetro 50 e o quilômetro 60.
a) O valor absoluto do espaço representa a distância do móvel à c) o quilômetro 62 e o quilômetro 63.
origem dos espaços; se o valor absoluto do espaço aumentar, d) o quilômetro 0 e o quilômetro 1.
o móvel estará afastando-se da origem dos espaços. e) o quilômetro 30 e o quilômetro 31.
b) Se o espaço aumentar algebricamente, isto é, em valor relativo Resolução
(levando-se em conta o sinal), só podemos concluir que o móvel Para t = 0,5h, ainda é válida a primeira função horária. Assim:
se desloca no sentido adotado como positivo para a trajetória, s2 = 50 + 50 . (0,5)2 (km) ⇒ s2 = 62,5km
podendo estar aproximando-se ou afastando-se da origem. Resposta: C
21. O carro passa pelo ponto E da estrada após um tempo de viagem de:
a) 1,0h b) 2,0h c) 3,0h d) 4,0h e) 5,0h
Quando o móvel se desloca, no sentido positivo da trajetória, de: Resolução
A para B: o espaço aumenta algebricamente de (–6m) para O ponto E da estrada está numa posição tal que é válida a se-
(–3m) e o móvel se aproxima da origem. gunda função horária (ela é válida a partir do ponto C). Como o
B para O: o espaço aumenta algebricamente de (–3m) para (0) arco AE mede 200km, temos:
e o móvel se aproxima da origem.
O para C: o espaço aumenta algebricamente de (0) para (2m) 200 = 100tE ⇒ tE = 2,0h
e o móvel se afasta da origem. Resposta: B
10
22. A respeito do conceito de trajetória de um ponto material, julgue 26. (FUVEST) – Um marinheiro no topo de um mastro vertical abando-
as proposições a seguir: na uma luneta que está inicialmente a uma distância L do mastro e
(I) Trajetória pode ser definida como o caminho percorrido pelo a uma altura H da base do mastro no convés. Sabe-se que o navio
→
ponto material. se move com velocidade V0 constante relativamente à costa e que
(II) Trajetória é o lugar geométrico das posições ocupadas pelo a resistência do ar é desprezível. A distância entre a base do mastro
ponto material no decurso do tempo. e a luneta, no momento em que esta chega ao convés, é
(III) Trajetória não depende do referencial adotado.
2
(IV)Se o ponto material estiver em repouso, sua trajetória se reduz 2HV 0 2H
a um ponto. a) L2 + –––––– b) V0 –––
g g
23. Considere um helicóptero e um carro descrevendo trajetórias reti-
líneas, horizontais e paralelas com a mesma velocidade, relativa à 2H 2H
Terra, de modo que o helicóptero está sempre na vertical acima c) L + V0 ––– d) V0 ––– –L
do carro. g g
Num dado instante, uma bolinha de gude é abandonada do heli- e) L
cóptero. Despreze o efeito do ar.
Nota: g é o módulo da aceleração da gravidade.
27. Um carro tem equação horária dos espaços dada por:

s = 20,0t (SI) válida para t ≥ 0
Responda aos quesitos a seguir:
a) Construa o gráfico espaço x tempo.
b) Qual a trajetória descrita pelo móvel?
c) Qual a posição do móvel na origem dos tempos (t = 0)?
d) Se a trajetória for uma circunferência de comprimento c = 200m,
em que instantes o móvel passará pela origem dos espaços?
Assinale a alternativa correta para a trajetória descrita pela bo-
28. Uma bicicleta está em movimento com a relação espaço x tempo
linha.
dada por:
a) Para um referencial fixo no helicóptero, a trajetória da bolinha
s = 1,0t2 – 16,0 (SI) válida para t ≥ 0
é um ponto.
Analise as proposições que se seguem:
b) Em relação a qualquer referencial, a trajetória da bolinha é um
(01) O gráfico da função s = f(t) é parabólico.
segmento de reta vertical.
(02) A trajetória da bicicleta é parabólica.
c) Para um referencial fixo no solo terrestre, a trajetória da
(04) O espaço inicial vale 16,0m.
bolinha é um arco de parábola.
(08) No instante t = 4,0s, a bicicleta passa pela origem dos
d) Para um referencial fixo no carro, a trajetória da bolinha é um
espaços.
arco de parábola.
(16) Se a bicicleta estiver descrevendo uma trajetória circular de
e) Em relação ao carro, a trajetória da bolinha é um arco de
raio R = 8,0m e adotarmos para π o valor 3, então no instante
parábola e, em relação ao helicóptero, a trajetória da bolinha é
t = 8,0s a bicicleta estará passando pela origem dos espaços.
um segmento de reta vertical.
Dê como resposta a soma dos números associados às
proposições corretas.
24. A respeito do conceito de espaço (indicador de posição), julgue as
proposições a seguir.
29. Uma bicicleta percorre uma trajetória circular obedecendo à equa-
ção horária s = k t2, em que k é uma constante positiva.
(I) O espaço s é a medida algébrica do arco de trajetória que vai

da origem dos espaços até a posição do móvel.
(II) O espaço s é a distância da posição do móvel até a origem dos
espaços.
(III) O espaço s é a distância percorrida pelo móvel.
(IV)O espaço s não pode ser negativo.
Está correto apenas o que se afirma em:
a) I b) I e II c) III d) I e IV e) II e IV A trajetória é descrita no sentido horário e no instante t = 0 a
bicicleta está posicionada em A (origem dos espaços). No instante
25. Uma partícula em movimento tem a equação horária dos espaços t = T, a bicicleta passa pela primeira vez pela posição B e, portan-
dada por: s = 2,0 t2 – 18,0 (SI) C
Julgue as proposições que se seguem: to, de t = 0 a t = T a bicicleta percorreu uma distância –– , em que
(I) O gráfico da função s = f(t) é parabólico. C é o comprimento da circunferência. 4
(II) A trajetória da partícula é parabólica. Pedem-se:
(II) No instante t = 3,0s, o espaço é nulo e a partícula passa pela a) o valor de k em função de C e de T.
origem dos espaços. b) a posição da bicicleta no instante t = 2T.
(IV)Na origem dos tempos, a partícula está posicionada na origem c) a posição da bicicleta no instante t = 3T.
dos espaços. d) a posição da bicicleta no instante t = 4T.
11
30. (FUVEST-MODELO ENEM) – O gráfico representa o espaço (s)

em função do tempo (t) de dois carrinhos de autorama, A e B, que
descrevem uma mesma trajetória retilínea. A variação do espaço
para o carrinho A é linear, enquanto a do carrinho B segue uma
curva parabólica.
Qual o intervalo de tempo entre os dois encontros dos carrinhos?

a) 5s b) 10s c) 20s d) 40s e) indeterminado
31. (UFABC-MODELO ENEM) – Era 6 de agosto de 1945, 8h15min da

manhã, no Japão, quando o Enola Gay, um bombardeiro B-29 norte-
americano, lançou, contra a cidade de Hiroxima, o primeiro ataque
atômico da história da humanidade, despejando sobre a cidade uma
bomba atômica de 4500kg. A cidade foi arrasada, e 70 mil pessoas
morreram nos primeiros segundos após a explosão. Até hoje, o nú-
mero de mortos decorrentes dessa operação está sendo conta-
bilizado, e já ultrapassou 250 mil. Lançada a bomba, a tripulação do
B-29 assume tática evasiva, que permite seu retorno à base.
Supondo-se que a tripulação não realizasse a manobra evasiva e
mantivesse o voo em trajetória reta e horizontal com velocidade
constante e, levando-se em conta a resistência do ar sobre o
artefato nuclear, bem como o fato de que essa bomba não possuía
sistema próprio de propulsão, a situação que melhor descreve a 33. (UFPE-MODELO ENEM) – Um terremoto normalmente dá origem a
trajetória da bomba entre os instantes t0 (lançamento) e t (mo- dois tipos de ondas, s e p, que se propagam pelo solo com
mento da explosão) é: velocidades distintas. No gráfico abaixo, está representada a variação
no tempo da distância percorrida pelas ondas a partir do epicentro do
terremoto. Com quantos minutos de diferença essas ondas atingirão
uma cidade situada a 1500km de distância do ponto 0?
a) 1,0 b) 2,0 c) 3,0 d) 4,0 e) 5,0
34. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS-MODELO ENEM) – Numa linha

32. (FUND.CARLOS CHAGAS-MODELO ENEM) – Um trem todo
férrea as estações “Azambuja” e “Gaspar” distam 120km, uma
construído de acrílico transparente passa por uma estação ferro-
da outra. O gráfico abaixo representa o espaço, em função do
viária com velocidade constante. Um dos vagões está ocupado
tempo, para uma locomotiva que passa por “Azambuja”, no
por um cientista que faz experimentos de queda livre com uma
instante t = 2,0h, dirigindo-se para “Gaspar”.
bolinha. Essas experiências consistem em deixar a bolinha cair e
medir, a intervalos de tempo bem precisos, a posição da bolinha
com relação ao piso do trem. Na estação, um outro cientista
observava a atuação de seu colega. As figuras que melhor
indicam a trajetória da bolinha, como foi observada pelos dois
cientistas, no trem e na estação, respectivamente, são:
O intervalo de tempo entre a passagem pelas duas estações, em

horas, é igual a:
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
12
10. Conceito de Velocidade escalar média é a velocidade escalar cons-

velocidade escalar tante que o móvel deveria ter, durante todo o per-
curso, em um movimento fictício, para fazer o mesmo
Consideremos um automóvel viajando de São Paulo
trajeto, no mesmo tempo gasto no movimento real.
para o Rio de Janeiro. Estando o carro em movimento,
sua posição varia no decurso do tempo. Esta mudança de
posição pode ser lenta ou rápida. Para medirmos a
rapidez com que a posição varia, criou-se o conceito de
velocidade escalar.
Como a posição ao longo da trajetória é definida pela
grandeza física espaço (s), concluímos que a velocidade
escalar mede a rapidez com que o espaço varia.
Velocidade escalar é uma medida da rapidez com
que a posição (ou o espaço) varia.
11. Conceito de
velocidade escalar média
Retomemos o exemplo do automóvel viajando de
São Paulo para o Rio de Janeiro. Durante a viagem, cer-
tamente sua velocidade escalar não se manteve sempre
constante. Surge, então, a ideia de se definir uma veloci-
dade escalar média para o trajeto considerado. Assim,
O avião e o “Queen Elizabeth” cruzam o Atlântico com diferentes velocidades
se os 400km que separam São Paulo do Rio de Janeiro escalares médias. O avião gasta menos de 3,0h e o “Queen Elizabeth” gasta
forem percorridos pelo automóvel em 5,0 horas, con- mais de 3,0 dias.
cluímos que, em média, o automóvel percorreu 80km
em cada hora. Isto significa que, embora a velocidade
escalar do automóvel seja variável, ele teve uma veloci- 12. Definição de
dade escalar média de 80km por hora. velocidade escalar média
Consideremos um ponto material P, descrevendo
uma trajetória L, em relação ao referencial adotado. Seja
O a origem dos espaços e orientemos a trajetória confor-
me indicado na figura.
Sejam s1 e s2 os espaços que traduzem as posições P1

e P2 do ponto material P, nos instantes t1 e t2.
Representamos por ⌬s = s2 – s1 a variação de espaço
ocorrida durante o intervalo de tempo ⌬t = t2 – t1.
Define-se velocidade escalar média (Vm) entre os
instantes t1 e t2 como a razão entre a variação de espaço
(⌬s) e o correspondente intervalo de tempo (⌬t). Assim:
⌬s
Vm = –––
⌬t
13
m
u(V) = ––– = m . s–1
s
• No Sistema CGS (centímetro-grama-segundo),

temos:
u(L) = centímetro (cm)
u(T) = segundo (s)
cm
u(V) = ––– = cm . s–1
s
• Unidade prática:
u(L) = quilômetro (km)
u(T) = hora (h)
A velocidade escalar média de um corredor é calculada dividindo-se o seu
deslocamento escalar pelo intervalo de tempo gasto. km
Notas u(V) = ––– = km . h–1
h
(1) O valor absoluto de ⌬s só representa a distância
que o ponto material percorreu, se o móvel, no intervalo
de tempo considerado, não inverter o sentido de seu • Relações:
movimento. km 1000m 1 m
1 –––– = –––––– = ––– –––
(2) Se o móvel avançar e, em seguida, recuar, vol- h 3600s 3,6 s
tando ao ponto de partida, seguindo a mesma trajetória,
então ⌬s = 0 e Vm = 0. m cm
1 ––– = 102 ––––
Exemplo s s
Uma esfera é atirada verticalmente para cima: ela so-
be 1,0m, para, desce 1,0m e retorna ao ponto de partida.
A distância total percorrida foi de 2,0m, porém ⌬s = 0 e Se uma velocidade estiver expressa em km/h e qui-
⌬s sermos obter sua medida em m/s, basta dividir o número
Vm = ––– = 0. de km/h por 3,6.
⌬t
(3) Se o móvel voltar ao ponto de partida, através Exemplificando
de uma trajetória fechada, sem inverter o sentido de seu 36,0
movimento, então ⌬s não será nulo e sim igual à dis- V = 36,0km/h = –––– (m/s) = 10,0m/s
3,6
tância percorrida. Se, por exemplo, a trajetória fechada
for uma circunferência, percorrida sempre no mesmo 72,0
V = 72,0km/h = –––– (m/s) = 20,0m/s
sentido, ao completar uma volta teremos ⌬s = 2πR, em 3,6
que R é o raio da circunferência descrita. 108,0
V = 108,0km/h = ––––– (m/s) = 30,0m/s
3,6
13. Unidades de velocidade Se a velocidade estiver expressa em m/s e quisermos

⌬s obter sua medida em km/h, basta multiplicar o número
Da relação Vm = ––– , concluímos que a unidade de
⌬t de m/s por 3,6.
velocidade (uV) é a razão entre a unidade de ⌬s (unidade
de comprimento uL) e a unidade de ⌬t (unidade de tempo Exemplificando
uT). V = 5,0m/s = 5,0 . 3,6 (km/h) = 18,0km/h
V = 15,0m/s = 15,0 . 3,6 (km/h) = 54,0km/h
u(L) V = 25,0m/s = 25,0 . 3,6 (km/h) = 90,0km/h
u(V) = ––––
u (T)
• No Sistema Internacional, temos: n m/s

n km/h = ––––
3,6
u(L) = metro (m)
u(T) = segundo (s) n m/s = 3,6 n km/h
14
35. O movimento de um ponto material é definido pela função horária 37. Consideremos um ponto material descrevendo um trecho ABC de
dos espaços: trajetória, tal que os trechos AB e BC têm a mesma extensão d.
s = 3,0t2 – 12,0t + 4,0 (SI) Sejam V1 e V2 as velocidades escalares médias nos trechos AB e
BC, respectivamente.
Calcule a velocidade escalar média entre os instantes: Calcule a velocidade escalar média no trecho AC.
a) t1 = 0 e t2 = 2,0s Resolução
b) t1 = 0 e t3 = 4,0s
c) t1 = 0 e t4 = 6,0s
Resolução
a) t1 = 0 ⇒ s1 = 3,0 . 0 – 12,0 . 0 + 4,0 (m) = 4,0m
t2 = 2,0s ⇒ s2 = 3,0 . 4,0 – 12,0 . 2,0 + 4,0 (m) = –8,0m
⌬s –8,0 – 4,0
Vm = ––– = –––––––––– (m/s) ⇒ Vm = –6,0m/s
⌬t 2,0 – 0
Chamemos as distâncias percorridas AB e BC de d e sejam ⌬t1 e
b) t1 = 0 ⇒ s1 = 4,0m ⌬t2 os intervalos de tempo gastos nos percursos AB e BC, respec-
t3 = 4,0s ⇒ s3 = 3,0 . 16,0 – 12,0 . 4,0 + 4,0 (m) = 4,0m tivamente. Da definição de velocidade escalar média, temos:
⌬s 4,0 – 4,0 d d
Vm = ––– = –––––––––– (m/s) ⇒ trecho AB: V1 = –––– ⇒ ⌬t1 = ––––
Vm = 0 ⌬t1 V1
⌬t 2,0 – 0
c) t1 = 0 ⇒ s1 = 4,0m d d
trecho BC: V2 = –––– ⇒ ⌬t2 = ––––
t4 = 6,0s ⇒ s4 = 3,0 . 36,0 – 12,0 . 6,0 + 4,0 (m) = 40,0m ⌬t2 V2
⌬s 40,0 – 4,0 d d
Vm = ––– = –––––––––– (m/s) ⇒ Vm = 6,0m/s ⌬t1 + ⌬t2 = –––– + ––––
⌬t 6,0 – 0 V1 V2
36. Consideremos um ponto material descrevendo um trecho ABC de
AC 2d
trajetória. O trecho AB é percorrido com velocidade escalar média trecho AC: Vm = ––––––––– = ––––––––––––
V1 em um intervalo de tempo ⌬t1; o trecho BC é percorrido com ⌬t1 + ⌬t2 d d
–––– + ––––
velocidade escalar média V2 em um intervalo de tempo ⌬t2. V1 V2
Calcule a velocidade escalar média no trajeto AC.
Resolução Assim:
2
Vm = –––––––––– 2 V1 V2
1 1 ou Vm = –––––––––
––– + ––– V1 + V2
V1 V2
O resultado acima pode ser estendido para um número qualquer

(n) de intervalos de mesmo comprimento.
Da definição de velocidade escalar média, temos: n

Vm = –––––––––––––––––––––––––
1 1 1
AB ––– + ––– + … + –––
trecho AB: V1 = –––– ⇒ AB = V1⌬t1 V1 V2 Vn
⌬t1
BC Essa expressão nos permite escrever:
trecho BC: V2 = –––– ⇒ BC = V2⌬t2
⌬t2
1 1 1
––– + ––– + … + –––
1 V1 V2 Vn
AC = AB + BC = V1 ⌬t1 + V2 ⌬t2 –––– = –––––––––––––––––––––––––
Vm n
AC
trecho AC: Vm = ––––––––
⌬t1 + ⌬t2 Portanto, o inverso da velocidade escalar média, Vm, é igual à mé-
dia aritmética entre os inversos das velocidades escalares médias
V1 ⌬t1 + V2 ⌬t2 V1, V2 …, Vn.
Vm = ––––––––––––––
⌬t1 + ⌬t2
Diz-se, então, que Vm é a média harmônica entre V1, V2, …, Vn.
A velocidade escalar média é a média ponderada entre as velo-
cidades escalares médias de cada trecho, tomando-se como 38. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA-MODELO ENEM) –
pesos os correspondentes intervalos de tempo. Esse resultado Dentro da EPA (Environmental Protection Agency), uma agência
pode ser estendido para um número qualquer (n) de intervalos. norte-americana de proteção do meio ambiente, existe um servi-
ço que realiza testes padronizados de consumo de gasolina em
V1 ⌬t1 + v2 ⌬t2 + … + Vn ⌬tn diferentes automóveis.
Vm = ––––––––––––––––––––––––––––
⌬t1 + ⌬t2 + … + ⌬tn (fueleconomy.gov/feg/fe_test_schedules.shtml).
15
Em um dos testes, foi feito um gráfico da velocidade escalar x tem-

po (figura acima) para o trânsito urbano. Em relação a este gráfico
podemos dizer que: O ônibus faz um mesmo percurso de 10km às 7h da manhã e às
I) No intervalo de tempo aproximado entre 780s e 960s a velo- 7h da noite.
cidade escalar média do automóvel em teste foi de aproxi- Às 7h da manhã, o percurso foi feito em um tempo T1 e às 7h da
madamente 25km/h. noite, o percurso foi feito em um tempo T2.
II) No intervalo de tempo aproximado entre 180s e 340s a A diferença T2 – T1 vale:
velocidade escalar média do automóvel em teste foi exata- a) 10min b) 15min c) 30min d) 36min e) 60min
mente de 80km/h. Resolução
III) No intervalo de tempo aproximado entre 120s e 180s o auto- Para calcularmos o tempo de percurso precisamos conhecer o va-
móvel em teste esteve parado. lor da velocidade escalar média no horário em que o referido
Em relação a estas afirmações podemos dizer que: percurso aconteceu.
a) Todas estão incorretas. b) Apenas I e III estão corretas. Para tanto precisamos usar as duas tabelas: a primeira fornece a
c) Apenas II esta correta. d) Todas estão corretas. cada horário qual é o índice de congestionamento medido em km
e) Apenas III está correta. de lentidão; a segunda permite obter para cada índice de con-
Resolução gestionamento qual é a respectiva velocidade escalar média.
I. FALSA. A leitura do gráfico nos fornece uma velocidade esca- Assim, às 7h da manhã o gráfico II nos fornece um índice de
lar média aproximada de 40km/h. congestionamento de 50km de lentidão e o gráfico I nos dá uma
II. FALSA. No intervalo citado a velocidade escalar máxima é da velocidade escalar média de 25km/h.
ordem de 80km/h. Analogamente às 7h da noite gráfico II nos fornece um índice de
III) VERDADEIRA. O gráfico revela V = 0 no intervalo citado. congestionamento de 200km de lentidão e o gráfico II nos dá uma
Resposta: E velocidade escalar média de 10km/h.
39. (MODELO ENEM) – O gráfico I, apresentado a seguir, mede a O tempo de percurso é calculado pela definição de velocidade
velocidade escalar média de um ônibus em função da quantidade escalar média.
de km de lentidão em virtude do congestionamento, em um
⌬s ⌬s
determinado dia. Vm = ––– ⇔ ⌬t = –––
O gráfico II mostra a evolução do congestionamento com o ho- ⌬t Vm
rário, ao longo do dia.
10
7h da manhã: T1 = ––– (h) = 0,4h
25
10
7h da noite: T2 = ––– (h) = 1,0h
10
T2 – T1 = 1,0h – 0,4h
T2 –T1 = 0,6h = 0,6 . 60 min
T2 – T1 = 36 min
Resposta: D
40. (UESPI) – Uma partícula move-se ao longo do eixo dos x de acor- a) Calcule o tempo gasto por Fernanda para nadar os 6,0km.
do com a equação x = 26,0 + 4,0t2 (SI). A velocidade escalar b) Calcule a velocidade escalar média de Fernanda no percurso
média no intervalo de tempo entre t1 = 0 e t2 = 2,0 segundos é total da prova.
a) 5,0m/s b) 8,0m/s
c) 9,0m/s d) 10,0m/s 42. (FATEC-SP) – Um carro faz uma viagem de São Paulo ao Rio. Os
e) 20,0m/s primeiros 250km são percorridos com uma velocidade escalar
média de 100km/h. Após uma parada de 30 minutos para um
41. (UFRJ) – Numa competição, Fernanda nadou 6,0km e, em segui- lanche, a viagem é retomada, e os 150km restantes são percorri-
da, correu outros 6,0km. Na etapa de natação, conseguiu uma ve- dos com velocidade escalar média de 75km/h.
locidade escalar média de 4,0km/h; na corrida, sua velocidade A velocidade escalar média na viagem completa foi, em km/h,
escalar média foi de 12,0km/h. a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
16
43. (FUVEST) – Um passageiro, viajando de metrô, fez o registro de 48. (UERJ) – Ao se deslocar do Rio de Janeiro a Porto Alegre, um
tempo entre duas estações e obteve os valores indicados na avião percorre essa distância com velocidade escalar média V no
tabela. 1
primeiro –– do trajeto e 2V no trecho restante.
Chegada Partida 9
Vila Maria 0:00min 1:00min A velocidade escalar média do avião no percurso total foi igual a:
9 8 5 5
Felicidade 5:00min 6:00min a) –– V b) –– V c) –– V d) –– V
5 5 3 4
49. (UFSCar) – Três amigos, Antônio, Bernardo e Carlos, saíram de

suas casas para se encontrar numa lanchonete. Antônio realizou
metade do percurso com velocidade escalar média de 4 km/h e a
outra metade com velocidade escalar média de 6 km/h. Bernardo
percorreu o trajeto com velocidade escalar média de 4 km/h
durante metade do tempo que levou para chegar à lanchonete e
Supondo-se que a velocidade escalar média entre duas estações
a outra metade do tempo fez com velocidade escalar média de
consecutivas seja sempre a mesma e que o trem pare o mesmo
6km/h. Carlos fez todo o percurso com velocidade escalar média
tempo em qualquer estação da linha, de 15km de extensão, é
de 5 km/h. Sabendo-se que os três saíram no mesmo instante de
possível estimar que um trem, desde a partida da Estação Bosque
suas casas e percorreram exatamente as mesmas distâncias,
até a chegada à Estação Terminal, leva aproximadamente:
pode-se concluir que
a) 20min b) 25min c) 30min d) 35min e) 40min
a) Bernardo chegou primeiro, Carlos em segundo e Antônio em
terceiro.
44. (FUVEST) – Dirigindo-se a uma cidade próxima, por uma autoes-
b) Carlos chegou primeiro, Antônio em segundo e Bernardo em
trada plana, um motorista estima seu tempo de viagem, con-
terceiro.
siderando que consiga manter uma velocidade escalar média de
c) Antônio chegou primeiro, Bernardo em segundo e Carlos em
90km/h. Ao ser surpreendido pela chuva, decide reduzir sua veloci-
terceiro.
dade escalar média para 60km/h, permanecendo assim até a
d) Bernardo e Carlos chegaram juntos e Antônio chegou depois.
chuva parar, quinze minutos mais tarde, quando retoma sua
e) os três chegaram juntos à lanchonete.
velocidade escalar média inicial. Essa redução temporária aumenta
seu tempo de viagem, com relação à estimativa inicial, em
50. As cidades de Quito e Cingapura encontram-se pró-
a) 5 minutos. b) 7,5 minutos. c) 10 minutos.
ximas à linha do equador e em pontos diametralmen-
d) 15 minutos. e) 30 minutos.
te opostos no globo terrestre. Considerando-se o raio
da Terra igual a 6400 km, pode-se afirmar que um avião saindo de
45. (FATEC-SP) – Um carro se desloca entre duas cidades em duas
Quito, voando em média 800 km/h, chega a Cingapura em
etapas. Na primeira etapa, desloca-se com velocidade escalar
aproximadamente
média de 80km/h durante 3,5h . Após permanecer parado por 2,0
a) 16 horas. b) 20 horas. c) 24 horas.
horas, o carro percorre os 180km restantes com velocidade escalar
d) 32 horas. e) 36 horas.
média de 40km/h. A velocidade escalar média do carro no percurso
entre as duas cidades foi, em km/h, 1) O comprimento C de uma circunferência de raio R é dado
a) 40 b) 46 c) 64 d) 70 e) 86 por:
C = 2πR
46. (UNESP) – Sentado em um ponto de ônibus, um estudante ob- 2) Adote π = 3
serva os carros percorrerem um quarteirão (100 m). Usando seu
relógio de pulso, ele marca o tempo gasto por 10 veículos para
51. (MODELO ENEM) – Durante a fase de treinos e testes de fórmula
percorrerem essa distância. Suas anotações mostram:
1, foi feito um estudo do desempenho médio D de um
combustível (medido em km rodados para cada litro do
Veículo 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.° 7.° 8.° 9.° 10.° combustível) em função da velocidade escalar média Vm para um
novo modelo de carro.
Tempo (s) 12 5 16 20 9 10 4 15 8 13 O gráfico de D em função de Vm é apresentado a seguir:
Com os dados colhidos, determinar

a) os valores da maior e da menor velocidade escalar média;
b) quais veículos tiveram velocidade escalar média acima da velo-
cidade máxima permitida de 60 km/h.
47. Um carro percorre um trecho retilíneo de uma estrada ABC.

O trecho AB tem comprimento d e o trecho BC tem comprimento
2d.
No trecho AB, a velocidade escalar média do carro vale V e, no
trecho BC, vale 2V.
A pista de provas tem um comprimento total de 24,0km e formato

circular.
Considere as proposições a seguir:
I) Se a velocidade escalar média for de 96km/h, o carro consu-
mirá 4,0 litros de combustível para dar uma volta completa na
A velocidade escalar média do carro entre as posições A e C vale: pista.
II) Nas condições de desempenho máximo, o carro consumirá
4 3 8
a) V b) –– V c) –– V d) –– V e) 2V 3,0 litros de combustível para dar uma volta completa na pista.
3 2 5 III) Nas condições de desempenho máximo, o carro levará 6,0 min
para dar uma volta completa na pista.
17
IV) Se o carro estiver com velocidade escalar média de 300km/h Para velocidades no intervalo entre 20km/h e 120km/h, o desem-
para realizar 10 voltas na pista, o consumo de combustível penho D, medido em km/litro, em função de V, medido em km/h,
será de 480 litros. é dada pela função:
Somente está correto o que se afirma em: V2 3 5
a) I b) I e II c) I, II e III d) IV e) III e IV D = – –––– + –– V – ––
320 8 4
(MODELO ENEM) – Texto para as questões 52 e 53. Nas condições de desempenho máximo, isto é, menor consumo
de combustível nesta viagem, o tempo de percurso entre A e B
Nos Estados Unidos, a gasolina é vendida com preço fixado para será de:
uma unidade de volume chamada galão, que corresponde, a) 1,0h b) 1,5h c) 2,0h
aproximadamente, a 4 litros. Considere que, num dado posto de d) 2,5h e) 3,0h
gasolina, o galão é vendido a U$ 2,20 e que a cotação do dólar é
R$ 2,50. Dado: Para uma função do 2.o grau do tipo y = ax2 + bx + c, o
Sabe-se, ainda, que a densidade da gasolina é de 0,80g/cm3.
b
valor de y será máximo (a < 0) ou mínimo (a > 0) para x = – ––– .
52. Um dado carro tem um tanque de gasolina com capacidade de 2a
70 litros.
Determine a massa M de gasolina para encher o tanque (que
55. (MODELO ENEM) – Um carro percorre um trajeto ABC de uma
estava vazio) e o preço P que isto custa em reais.
rodovia, descrevendo uma trajetória retilínea, sempre no mesmo
a) M = 56kg e P = R$38,50 b) M = 56kg e P = R$96,25 sentido, partindo de A, passando por B e chegando a C.
c) M = 70kg e P = R$96,25 d) M = 70kg e P = R$38,50 As velocidades escalares médias, em cada trecho, estão rela-
e) M = 60kg e P = R$86,40 cionadas a seguir:
Trecho Velocidade escalar média
53. Admita que o referido carro gastou um tanque completo (70 litros)
em 8,0h com velocidade escalar média de 70km/h para ir de uma AB 40km/h
cidade A para uma cidade B ao longo de uma rodovia retilínea, BC 80km/h
sem paradas.
AC 60km/h
O desempenho d do carro nesse trajeto, medido em km/litro, isto
é, quantos quilômetros foram rodados com um litro de gasolina foi Considere as seguintes proposições:
de: I – Os tempos gastos para percorrer os trechos AB e BC são
a) 4,0 b) 6,0 c) 8,0 d) 10,0 e) 12,0 iguais.
II – A extensão do trecho BC é o dobro da extensão do trecho
54. (MODELO ENEM) – Uma pessoa pretende ir de carro de uma ci- AB.
dade A até uma cidade B percorrendo uma distância de 120km III – A velocidade escalar do carro nunca ultrapassou o valor de
com velocidade constante de módulo V, com menor gasto 80km/h.
possível de combustível. Responda mediante o código:
Despreze o tempo gasto pelo carro para acelerar de 0 a V e para a) somente I está correta.
frear de V até zero. Obviamente, o carro parte do repouso da b) somente II está correta.
cidade A e volta ao repouso ao chegar na cidade B. c) somente I e II estão corretas.
O desempenho do combustível D corresponde à distância que o d) somente I e III estão corretas.
carro percorre para cada litro de combustível que é gasto. e) somente II e III estão corretas.
14. Conceito de 15. Definição da

velocidade escalar instantânea velocidade escalar instantânea
A velocidade escalar média traduz a rapidez com que Seja uma trajetória L, descrita por um ponto mate-
o móvel se movimenta num dado intervalo de tempo, ou rial, em relação a um certo referencial. Em um instante t,
seja, num dado trecho da trajetória. Se o intervalo de o ponto material passa por uma posição P e, em um ins-
tempo considerado (⌬t) diminuir indefinidamente, tante t + ⌬t, o ponto material passa por uma posição P’.
tendendo para zero (⌬t → 0), a velocidade escalar média
tende para um valor que traduz a rapidez de movimento
num dado instante, ou seja, numa dada posição da
trajetória. Este valor é denominado velocidade escalar
instantânea.
Vale ressaltar que, em um automóvel, a indicação de
seu velocímetro traduz o valor absoluto da velocidade A velocidade escalar média entre P e P' (ou no
escalar instantânea. intervalo de tempo ⌬t) é dada por:
⌬s
Vm = –––
⌬t
Se fizermos ⌬t → 0 (⌬t tender a zero), a velocidade

escalar média Vm tende para a velocidade escalar no
A chita é o animal terrestre mais veloz, atingindo uma velocidade escalar instante t, isto é:
máxima de 110km/h.
18
A velocidade escalar instantânea é o limite da velo- Fazendo-se ⌬t tender a zero (⌬t → 0), a parcela a⌬t
cidade escalar média quando o intervalo de tempo tende a zero e obtemos a velocidade escalar instantânea
considerado tender a zero. no instante t:
V = 2 at + b
Em linguagem matemática:
⌬s
⌬s O cálculo do lim ––– que acabamos de fazer é
V = lim Vm = lim ––– ⌬t → 0 ⌬t
(⌬t → 0) (⌬t → 0) ⌬t
a função matemática denominada “derivada” da função
s = f (t). Assim, podemos definir:
Velocidade escalar instantânea é a derivada do es-

paço s = f (t) em relação ao tempo.
ds
Simbolicamente: V = –––
dt
Para uma função polinomial do tipo:
s = atn + bt + c
temos:
ds
V = ––– = natn–1 + b
dt
O trem-bala Exemplos
atinge a velocidade a) s = 8,0 + 3,0t (t em h; s em km)
escalar de 515km/h.
ds
V = ––– = 3,0km/h
Mostremos como se pode calcular esse limite, por dt
meio de um exemplo.
Consideremos um ponto material cujo movimento é b) s = 3,0 – 2,0t + 1,0t2 (CGS)
traduzido pela função horária dos espaços:
s = at2 + bt + c ds
V = ––– = –2,0 + 2,0t (CGS)
em que s é o espaço no instante t e a, b e c são constan- dt
tes (parâmetros do movimento).
Para calcularmos a velocidade escalar instantânea c) s = 3,0t3 – 2,0 (SI)
num instante t, calculemos inicialmente a velocidade ds
escalar média entre o instante considerado t1 = t e um V = ––– = 9,0t2 (SI)
instante posterior t2 = t + ⌬t. dt
Assim: s1 = at2 + bt + c
d) s = 4,0 + 2,0t (SI)
s2 = a (t + ⌬t)2 + b(t + ⌬t) + c
ds
Desenvolvendo-se o valor de s2, temos: V = ––– = 2,0m/s (constante)
dt
s2 = a(t2 + 2t⌬t + ⌬t2) + b(t + ⌬t) + c ou
s2 = at2 + 2at⌬t + a⌬t2 + bt + b⌬t + c Notas
Calculando-se ⌬s = s2 – s1, obtemos: 1.a) O valor da velocidade escalar instantânea no
⌬s = 2at⌬t + a⌬t2 + b⌬t instante t = 0 (origem dos tempos) é denominado velo-
Dividindo-se a expressão por ⌬t, obtemos a veloci- cidade escalar inicial (V0).
dade escalar média:
Nos exemplos citados acima, temos:
⌬s
Vm = ––– = 2at + a⌬t + b a) para t = 0: V0 = 3,0km/h
⌬t
19
b) para t = 0: V0 = –2,0 + 2,0 . 0 (cm/s)
V0 = –2,0cm/s
c) para t = 0: v0 = 9,0 . 02 ⇒ V0 = 0
d) para t = 0: V0 = 2,0m/s
VA > 0
2.a) O sinal da velocidade escalar instantânea deter- VB < 0
mina o sentido do movimento ao longo da trajetória:
V > 0 ↔ o móvel caminha no sentido positivo da tra- 3.a) A palavra instantânea pode ficar subentendida
jetória (s crescente). e falaremos apenas velocidade escalar.
V < 0 ↔ o móvel caminha no sentido negativo da 4.a) No ponto de inversão do sentido do movi-
trajetória (s decrescente). mento, a velocidade escalar anula-se.
56. Consideremos um ponto material cujo movimento é definido pela Determinar

função horária dos espaços: a) o espaço inicial.
s = 2,0t3 – 6,0t + 5,0(SI) b) a expressão da velocidade escalar em função do tempo.
Determinar c) a velocidade escalar inicial.
a) a velocidade escalar média entre os instantes t1 = 1,0s e Resolução
t2 = 3,0s. a) Fazendo-se t = 0 na função horária dos espaços, obtemos:
b) a expressão da velocidade escalar em função do tempo: V = f(t).
s0 = a . 0n – b . 0 + c ⇒ s0 = c
c) a velocidade escalar inicial.
d) a velocidade escalar para t = 2,0s. b) Temos: s = atn – bt + c
e) os instantes em que a velocidade escalar se anula. ds
Resolução Logo: V = ––– = nat(n–1) – b
a) Para: dt
t = t1 = 1,0s → s1 = 2,0 . (1,0)3 – 6,0 . 1,0 + 5,0 = 1,0 (m) c) Fazendo-se t = 0 na expressão da velocidade escalar, obtemos:
t = t2 = 3,0s → s2 = 2,0 . (3,0)3 – 6,0 . 3,0 + 5,0 = 41,0m
Assim: V0 = n . a . 0(n – 1) – b ⇒ V0 = –b
⌬s = s2 – s1 = 41,0 – 1,0 (m) = 40,0m
58. (UNIP-SP) – O gráfico a seguir representa a velocidade escalar de
⌬t = t2 – t1 = 3,0 – 1,0(s) = 2,0s um móvel em função do tempo.
O móvel inverte o sentido de seu movimento
⌬s 40,0m
Portanto: Vm = ––– = –––––– ⇒ Vm = 20,0m/s a) apenas uma vez. b) apenas duas vezes.
⌬t 2,0s c) apenas três vezes. d) apenas quatro vezes.
b) Temos: s = 2,0t3 – 6,0t + 5,0 (SI) e) apenas cinco vezes.
ds
Logo: V = ––– = 6,0t2 – 6,0 (SI)
dt
c) Para t = 0 → V0 = 6,0 . 02 – 6,0 (m/s) ⇒ V0 = –6,0m/s
d) Para t = 2,0s → V1 = 6,0 . (2,0)2 – 6,0 (m/s) ⇒ V = 18,0m/s

1
e) Na expressão V = 6,0t2 – 6,0, fazendo-se V = 0, obtemos:
6,0 t’ = 1,0 s
0 = 6,0t2 – 6,0 → t2 = ––– = 1,0 ⇒
6,0 t’’ = –1,0s
Observação: O valor negativo de t significa apenas um instante

anterior à origem do tempos adotada (instante t = 0). Resolução
Se considerarmos a função horária do movimento como válida a A inversão de movimento ocorre quando a velocidade escalar tro-
partir da origem dos tempos (t = 0), então t < 0 não terá significa de sinal e no ponto de inversão a velocidade escalar anula-se.
cado físico. De acordo com o gráfico dado, a velocidade escalar é nula nos
instantes 0, t2, t4 e t5. Porém, os pontos de inversão correspon-
57. O movimento de um ponto material é descrito pela função horária dem apenas às posições nos instantes t2 e t4, pois nos instantes
dos espaços: 0 e t5 a velocidade escalar é nula, porém não há troca de sinal da
s = atn – bt + c velocidade escalar a partir destes instantes.
em que s é o espaço no instante t e a, b, c e n são constantes, Resposta: B
com n ≥ 2 e inteiro.
20
59. No movimento de uma partícula, a relação espaço x tempo é dada 61. Considere a velocidade do som no ar com módulo igual a 340m/s.
por: O avião comercial Boeing 747 atinge 0,80 de velocidade Mach.
s = At2 + Bt + C Qual é o tempo mínimo necessário para percorrer os 5440km que
em que, A, B e C são parâmetros constantes, sendo A negativo e separam Lisboa de Nova Iorque?
B e C positivos. Apresente a resposta na forma hh:mm (horas e minutos).
Para que valores de t a velocidade escalar será positiva (espaço a) 5:30 b) 5:33 c) 5:45 d) 6:30 e) 6:35
crescente)? Resolução
Resolução Se o boeing 747 atinge 0,80 de velocidade Mach, a sua velocidade
tem módulo V dado por:
ds
V = ––– = 2At + B
dt V = 0,80 Vsom = 0,80 . 340m/s = 272m/s
V > 0 ⇒ 2At + B > 0 O tempo mínimo (menor distância percorrida: voo em linha reta)
2At > – B para percorrer 5440km é dado por:
Como A é negativo, ao dividirmos por 2A, o sentido da desigual- 5440 . 103

⌬s ⌬s
dade inverte-se. V = ––– ⇔ ⌬t = ––– = –––––––––– (s)
⌬t V 272
–B
t < –––
2A 20 . 103
⌬t = 20 . 103s = ––––––– h
3600
–B
Resposta: t < ––– 200h
2A ⌬t = ––––– (h)
36
60. Um móvel descreve uma trajetória retilínea com função horária
dos espaços dada por: 50 45 5
⌬t = ––– h = ––– h + ––– h
9 9 9
s = 60,0 + 40,0t – 4,0t2 (SI)
Determine 5
a) o instante t1 a partir do qual o móvel inverte o sentido de seu ⌬t = 5h + –– . 60 min
movimento. 9
b) o espaço s1 do ponto de inversão.
Resolução ⌬t 5h + 33 min
ds
a) V = ––– = 40,0 – 8,0t (SI) Resposta: B
dt
No ponto de inversão, V = 0
62. O avião voa a uma velocidade máxima de 2520km/h.
40,0 – 8,0t1 = 0
8,0t1 = 40,0 ⇒ t1 = 5,0s
b) t = t1 = 5,0s ⇒ s = s1
s1 = 60,0 + 40,0 . 5,0 – 4,0 . 25,0 (m)
s1 = 60,0 + 200 – 100 (m)
s1 = 160m
Respostas: a) 5,0s Qual é a designação da velocidade Mach correspondente?

b) 160m a) subsônica b) transônica
c) supersônica d) hipersônica
e) indeterminada
(MODELO ENEM) – Texto para as questões 61 e 62. Resolução
A velocidade do som tem módulo Vs dado por:
(PISA) – A velocidade Mach de um avião é a razão entre a sua
Vs = 340m/s = 340 . 3,6 km/h = 1224km/h
velocidade e a velocidade do som a uma determinada altitude e
temperatura.
Se a velocidade do Concorde tem módulo V = 2520km/h, a sua
Na tabela, encontram-se as designações das velocidades Mach e
velocidade Mach é dada por:
os valores correspondentes.
Designação da Velocidade Mach Velocidade Mach (M) V 2520
M = –––––– = ––––– ⇒ M 2,1
Subsônica M< 1 Vs 1224
Transônica M=1
De acordo com a tabela, para 1 < M < 5, a velocidade mach é cha-
Supersônica 1 < M< 5 mada supersônica.
Hipersônica M≥ 5 Resposta: C
21
63. (MACKENZIE-SP) – Em experiências efetuadas nos laboratórios 68. Em uma corrida com extensão de 100m, um atleta descreve uma
de Física de alta energia, observam-se determinadas partículas trajetória retilínea e, durante os seis primeiros segundos de seu
elementares com altíssimas velocidades. Entre os valores abaixo, movimento, a função horária dos espaços é dada por: s = 1,0t2 (SI)
certamente, a única velocidade possível para tais partículas é Após os seis segundos iniciais, a velocidade escalar do atleta é
a) 2 . 108m/s b) 4 . 108m/s c) 6 . 108m/s mantida constante, até cruzar a linha de chegada.
d) 8 . 108m/s e) 1. 109m/s O atleta cruza a linha de chegada com uma velocidade escalar de
a) 12,0m/s b) 11,0m/s c) 10,0m/s
64. (UNIFESP) – A função da velocidade em relação ao tempo de um d) 8,0m/s e) 6,0m/s
ponto material em trajetória retilínea, no SI, é v = 5,0 – 2,0t. Por
meio dela, pode-se afirmar que, no instante t = 4,0 s, a velocidade 69. (UEL-PR) – Um móvel passa pelo ponto P de uma trajetória reti-
desse ponto material tem módulo línea no instante t = 0. A velocidade escalar desse móvel está
a) 13 m/s e o mesmo sentido da velocidade inicial. representada no gráfico, em função do tempo.
b) 3,0 m/s e o mesmo sentido da velocidade inicial.
c) zero, pois o ponto material já parou e não se movimenta mais.
d) 3,0 m/s e sentido oposto ao da velocidade inicial.
e) 13 m/s e sentido oposto ao da velocidade inicial.
65. (VUNESP) – O gráfico corresponde ao movimento uniformemen-

te variado de um objeto.
No intervalo de tempo representado no gráfico, o instante em que

o móvel está mais afastado do ponto P é o instante
a) 1,0s b) 2,0s c) 3,0s d) 4,0s e) 5,0s
70. O gráfico a seguir representa o espaço s em função do tempo t

para o movimento de uma partícula que descreve uma trajetória
retilínea.
A partir do gráfico, é possível concluir que a velocidade escalar se
anulou no instante
a) 0, somente. b) 2s, somente.
c) 3s, somente. d) 4s, somente.
e) 2s e no instante 4s.
66. Uma partícula descreve uma trajetória retilínea e sua velocidade

escalar V varia com o tempo t conforme mostra o gráfico a seguir.
Para obtermos, graficamente, a velocidade escalar em um ins-

tante t, devemos traçar uma tangente ao gráfico s = f(t) no ins-
tante considerado e medirmos a declividade dessa reta (tg ␪).
Do exposto no texto, podemos concluir que a velocidade escalar
no instante t = 8,0s é igual a:
a) 10,0m/s b) 20,0m/s c) 30,0m/s
d) 40,0m/s e) 50,0m/s
Os instantes correspondentes aos pontos de inversão no sentido 71. Em uma corrida de 50m de extensão ao longo de uma pista reti-
do movimento da partícula são apenas línea, um atleta tem sua coordenada de posição (espaço) variando
a) t1, t3 e t5 b) t2 e t4 c) t3 e t5 com o tempo segundo a relação:
d) zero, t2 e t4 e) t1 e t3 s = 0,5t2 (SI)
Determine
67. Uma partícula está em movimento retilíneo obedecendo à seguin- a) o tempo gasto pelo atleta para percorrer os 50m.
te função horária dos espaços: s = 2,0t2 – 18,0 (unidades do SI), b) a velocidade escalar média do atleta nesta corrida.
válida para t ≥ 0. c) a velocidade escalar com que o atleta cruza a linha de chegada
a) Em que instante a partícula passa pela origem dos espaços? em km/h.
b) Calcule a velocidade escalar da partícula nesse instante. d) o gráfico da velocidade escalar em função do tempo.
22
72. Um projétil é lançado verticalmente para cima, a partir do solo

terrestre, no instante t = 0.
A altura h do projétil varia com o tempo t segundo a relação:
h = 20,0t – 5,0t2 (SI)
Determine
a) a velocidade escalar do projétil em função do tempo;
b) a velocidade escalar com que o projétil foi lançado para cima;
c) o instante t1 em que o projétil atinge sua altura máxima;
d) a altura máxima atingida pelo projétil;
A velocidade Mach de um avião é a razão entre a sua veloci-
e) o instante t2 em que o projétil retorna ao solo;
dade e a velocidade do som, a altitude e temperatura deter-
f) a velocidade escalar com que o projétil retorna ao solo.
minadas.
Considere a velocidade do som no ar com módulo igual a 340m/s.
73. (PISA-MODELO ENEM) – No dia 16 de novembro de 2004, o Quando o avião X-43A, em 16/11/2004, estabeleceu o recorde de
avião X-43A estabeleceu um novo recorde, atingindo a velo- velocidade, ele estava aproximadamente a
cidade Mach de 9,6, o que corresponde a uma velocidade 9,6 a) 340km/h b) 1224km/h c) 3264km/h
vezes maior do que a velocidade do som. d) 11750km/h e) 15000km/h
16. Conceito de aceleração escalar

Durante um movimento, a velocidade escalar do móvel pode variar no decurso do tempo. A mudança de velocidade
escalar pode ser lenta ou rápida.
Para medirmos a rapidez com que a velocidade escalar está variando, usamos o conceito de aceleração escalar.
A aceleração escalar mede a rapidez com que a velocidade escalar varia.
Uma grande aceleração escalar significa que a velocidade escalar varia rapidamente; uma pequena aceleração
escalar significa que a velocidade escalar varia lentamente.
Aceleração escalar nula (constante) significa que a velocidade escalar não varia.
A sequência de fotos mostra um astronauta sujeito aos efeitos de uma grande aceleração escalar.
A ideia de aceleração escalar média corresponde à

aceleração escalar constante que deveria ser mantida
pelo móvel, num movimento fictício, durante todo o
intervalo de tempo considerado, para ocorrer a mesma
variação de velocidade escalar, no mesmo intervalo de
tempo gasto no movimento real.
18. Definição de
Um avião a jato tem uma grande aceleração escalar durante a decolagem, o aceleração escalar média
que significa que sua velocidade escalar está variando rapidamente.
Consideremos um ponto material em movimento, em
relação a um certo referencial adotado.
Sejam V1 e V2 as velocidades escalares do ponto mate-
17. Conceito de
rial nos instantes t1 e t2. Representemos por ⌬V = V2 – V1 a
aceleração escalar média variação da velocidade escalar ocorrida durante o intervalo
Durante um movimento, entre dois instantes quais- de tempo ⌬t = t2 – t1.
quer t1 e t2, em geral, a velocidade escalar não varia sem-
pre da mesma maneira, isto é, a aceleração escalar não se Define-se aceleração escalar média (␥m) entre os
mantém constante. Surge, então, a ideia de se definir uma instantes t1 e t2 como a razão entre a variação da
aceleração escalar média para o intervalo de tempo con- velocidade escalar instantânea (⌬V) e o correspon-
siderado. dente intervalo de tempo (⌬t).
23
⌬V A aceleração escalar instantânea é a derivada da

␥m = ––– velocidade escalar instantânea V = f(t) em rela-
⌬t
ção ao tempo.
dV
␥ = –––
dt
19. Unidades de aceleração
⌬V Exemplos
Sendo ␥m = ––– , concluímos que a unidade de ace- a) s = 8,0 + 3,0t (t em h; s em km)
⌬t
leração é dada pela razão entre as unidades de velocidade ds
V = ––– = 3,0km/h
e de tempo. dt
dV
u(V) u(L)/u(T) u(L) ␥ = ––– = 0
u(␥) = ––––– = –––––––––– = –––––––– dt
u(T) u(T) [u(T)]2
b) s = 3,0 – 2,0t + 1,0t2 (Sistema CGS)
ds
V = ––– = –2,0 + 2,0t (Sistema CGS)
m dt
No SI: u(␥) = ––– = m . s–2
s2
dV
␥ = ––– = 2,0cm/s2 (constante)
dt
cm c) s = 3,0t3 – 2,0t2 (SI)
No CGS: u(␥) = ––– = cm . s–2
s2
ds
V = ––– = 9,0t2 – 4,0t (SI)
dt
dV
␥ = ––– = 18,0t – 4,0 (SI)
dt
m cm
––– = 102 –––
s 2 s2 Notas
1.a) O valor da aceleração escalar instantânea no
instante t = 0 (origem dos tempos) é denominado
aceleração escalar inicial (␥0).
20. Definição de
aceleração escalar instantânea Nos exemplos citados acima, temos:
A aceleração escalar média traduz a rapidez com que a) para t = 0 ⇒ ␥0 = 0
a velocidade escalar varia num dado intervalo de tempo.
Se o intervalo de tempo considerado tender a zero
(⌬t → 0), a aceleração escalar média tende para um valor b) para t = 0 ⇒ ␥0 = 2,0cm/s2
que é denominado aceleração escalar instantânea.
Assim, definimos: c) para t = 0 ⇒ ␥0 = 18,0 . 0 – 4,0 (m/s2)
Aceleração escalar instantânea (␥) é o limite da
␥0 = – 4,0m/s2
aceleração escalar média (␥ m) quando o intervalo de
tempo considerado (⌬t) tende a zero.
2.a) O sinal da aceleração escalar instantânea deter-
␥ = lim ␥m mina apenas se a velocidade escalar instantânea é cres-
⌬t → 0 cente ou decrescente:
⌬V ␥ > 0 ⇔ V crescente
Lembrando que ␥m = –––, podemos escrever: ␥ < 0 ⇔ V decrescente
⌬t
⌬V
␥ = lim ––– 3.a) A palavra “instantânea” pode ficar subentendida
⌬t → 0 ⌬t e podemos usar apenas a expressão aceleração escalar.
24
21. Quadro das relações de movimento respondendo à pergunta: como é o movi-

entre as grandezas cinemáticas mento? Grande velocidade escalar significa movimento
rápido; pequena velocidade escalar significa movimento
lento; velocidade escalar nula (constante) significa que
não há movimento.
c) A aceleração escalar ␥ é um indicador de mu-
dança no movimento (alteração da velocidade escalar)
respondendo à pergunta: como o movimento está mu-
dando? Grande aceleração escalar: a velocidade escalar
muda rapidamente; pequena aceleração escalar: a velo-
cidade escalar muda lentamente; aceleração escalar nula
(constante): a velocidade escalar não muda.
d) Derivar uma grandeza em relação ao tempo
significa medir a rapidez com que esta grandeza está
variando.
Assim:
A velocidade escalar é a rapidez com que a posi-
a) O espaço s é um indicador de posição responden- ção (espaço) varia.
do à pergunta: onde está o móvel? A aceleração escalar é a rapidez com que a veloci-
b) A velocidade escalar V é um indicador de rapidez dade escalar varia (é a velocidade da velocidade).
74. (CESGRANRIO) – Numa pista de prova, um automóvel, partindo Resolução

do repouso, atinge uma velocidade escalar de 108km/h em 6,0s.
Na figura, obtemos:
Qual a sua aceleração escalar média?
a) 4,0m/s2 b) 5,0 m/s2 c) 8,0m/s2 t1 = 6,0s ⇒ V1 = 6,0m/s
d) 9,0m/s2 e) 18,0m/s2
t2 = 16,0s ⇒ V2 = 10,0m/s
Resolução
V0 = 0 Portanto:
km 108 ⌬V 10,0 – 6,0

Vf = 108 ––– = ––––– (m/s) = 30,0m/s ␥ m = ––– = –––––––––– (m/s2) ⇒ ␥ m = 0,40m/s2
h 3,6 ⌬t 16,0 – 6,0
⌬V 30,0 – 0 Resposta: A
␥m = ––– = ––––––––– (m/s2) ⇒ ␥ m = 5,0m/s2
⌬t 6,0
76. Uma partícula desloca-se, em trajetória retilínea, com equação ho-
rária dos espaços dada, em unidades do SI, por:
Resposta: B
s = 1,0t3 – 3,0t2 + 3,0t
75. Abaixo, é fornecido o gráfico da velocidade escalar de um móvel,
em função do tempo. Calcule
a) a velocidade escalar e a aceleração escalar no instante t1 = 1,0s;
b) a aceleração escalar média entre os instantes t0 = 0 e
t1 = 1,0s.
Resolução
ds
a) V = ––– = 3,0t2 – 6,0t + 3,0 (SI)
dt
␥ = 6,0t – 6,0 (SI)
Para t1 = 1,0s ⇒
{␥ }
V1 = 0
1
=0
b) t0 = 0 ⇒ V0 = 3,0m/s
t1 = 1,0s ⇒ V1 = 0
⌬V 0 – 3,0
␥ m = ––– = –––––––– (m/s2) ⇒ ␥ m = –3,0m/s2
A aceleração escalar média, no intervalo de tempo de 6,0s a ⌬t 1,0 – 0
16,0s, é, em m/s2: Respostas: a) 0 e 0
a) 0,40 b) 0,50 c) 0,67 d) 2,0 e) 2,5 b) –3,0 m/s2
25
77. Uma partícula desloca-se, em uma trajetória retilínea, com equa- (MODELO ENEM) – Texto para as questões 79 e 80.
ção horária dos espaços dada por: (UFRJ) – Um fabricante de carros esportivos construiu um carro
que, na arrancada, é capaz de passar de 0 a 108km/h (30m/s) em
s = 2,0t3 – 16,0 10s, percorrendo uma distância d. A figura a seguir representa o
gráfico velocidade escalar-tempo do carro durante a arrancada.
válida em unidades do SI e para t ≥ 0.
No instante em que a partícula passa pela origem dos espaços,
sua aceleração escalar vale, em m/s2:
a) zero b) 6,0 c) 12,0 d) 24,0 e) 48,0
Resolução
1) s = 2,0t3 – 16,0 (SI)
t = t1 ⇔ s = 0
3 3
2,0t 1 – 16,0 = 0 ⇒ t 1 = 8,0 ⇒ t1 = 2,0s
2) V = 6,0t2 (SI)
␥ = 12,0t (SI)
t = t1 = 2,0s ⇒ ␥ 1 = 24,0m/s2 79. Calcule a aceleração escalar média do carro durante a arrancada,
em m/s2.
Resposta: D a) 1,0m/s2 b) 2,0m/s2 c) 3,0m/s2
d) 4,0m/s2 e) 5,0m/s2
Resolução
78. (UNIFOR-CE) – Uma partícula desloca-se ao longo de uma reta.
A aceleração escalar média do carro é calculada pela definição:
No gráfico a seguir está representada sua velocidade escalar (V)
⌬V
em função do tempo (t). Entre os instantes t = 0s e t = 10s, o valor ␥m = –––
de sua aceleração escalar anulou-se ⌬t
a) 1 vez. b) 2 vezes. c) 3 vezes.
Do gráfico dado:
d) 4 vezes. e) 5 vezes.
t1 = 0 …… V1 = 0
t2 = 10,0s …… V2 = 30,0m/s
V2 – V1 30,0 – 0
␥m = ––––––– = ––––––– (m/s2) ⇒ ␥m = 3,0m/s
2
t2 – t1 10,0 – 0
Resposta: C
80. Para percorrer a primeira metade da distância d, nessa arrancada,

o carro gastou:
a) 2,0s b) 3,0s c) 4,0s d) 5,0s
e) um tempo indeterminado, porém maior que 5,0s.
Resolução
Como a velocidade escalar é crescente, na primeira metade do
percurso a velocidade escalar média é menor do que na segunda
metade. Isto significa que o tempo gasto para percorrer a primeira
metade do percurso é maior do que para percorrer a segunda
metade.
Resolução
A aceleração escalar anula-se nos instantes em que a velocidade ⌬t1 + ⌬t2 = 10,0s
escalar apresenta um ponto de máximo ou de mínimo.
⌬t1 > ⌬t2
Analisando-se o gráfico, observamos três pontos de máximo e
dois pontos de mínimo. Portanto: ⌬t1 > 5,0s e ⌬t2 < 5,0s
Resposta: E Resposta: E
81. Um corpo abandonado em queda livre, nas proximidades da Terra, cai com aceleração escalar constante de 9,8m/s2.
Isto significa que
a) em cada segundo de movimento o corpo percorre 9,8m.
b) a velocidade escalar do corpo é constante e vale 9,8m/s.
c) em cada segundo de movimento sua velocidade escalar aumenta 9,8m/s.
d) em cada segundo de movimento a velocidade escalar aumenta (9,8)2 m/s.
e) em cada segundo quadrado o corpo percorre 9,8m.
82. (UNESP) – O fabricante informa que um carro, partindo do repouso, atinge 100 km/h em 10 segundos. A melhor estimativa para o valor da
aceleração escalar média nesse intervalo de tempo, em m/s2, é
a) 3,0 . 10–3 b) 2,8 c) 3,6 d) 9,8 e) 10,0
26
83. (UERJ) – Um móvel se desloca em movimento variado e sua 87. Uma partícula, em trajetória retilínea, tem equação horária dos
velocidade escalar em função do tempo está representada pelo espaços dada, em unidades do SI, pela relação:
arco de parábola abaixo. s = 1,0t3 – 12,0t + A (válida para t ≥ 0)
em que A é um parâmetro constante.
Determine
a) o valor de A para que a partícula pare na origem dos espaços;
b) a aceleração escalar da partícula no instante em que ela para.
88. Um automóvel tem sua velocidade escalar variando com o tempo

segundo o gráfico a seguir.
Determine
a) a aceleração escalar no instante t1 = 2,0s;
Entre os instantes t1 = 1,0s e t2 = 3,0s, a aceleração escalar média b) a aceleração escalar no instante t2 = 12,0s;
do móvel vale, em m/s2, c) a aceleração escalar média no intervalo entre t0 = 0 e
a) –15,0 b) –10,0 c) zero t3 = 20,0s.
d) 10,0 e) 15,0
84. Uma bicicleta se move durante 10,0s com equação horária dos
espaços dada por: (VUNESP) – As questões de números 89 e 90 baseiam-se nas
s = 0,5t2 (SI) informações:
a) Qual é a trajetória descrita pela bicicleta? Justifique sua A velocidade escalar v em função do tempo t de um trem urbano
resposta. entre as estações P e Q é dada pela função v = – 320t2 + 320t.
b) Calcule a velocidade escalar e a aceleração escalar no instante Nessa função, a velocidade escalar v está sendo medida em
t1 = 5,0s. km/h, e o instante t em minutos.
85. Uma partícula descreve uma trajetória retilínea com equação 89. Se o trem parte de P no instante t = 0, então o tempo de viagem
horária dos espaços dada, em unidades do SI, por até chegar a Q e parar nesta estação, em minutos, é igual a
s = 2,0t3 – 24,0t, válida para t ⭓ 0 a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
A aceleração escalar da partícula, no instante em que ela para,
vale 90. A velocidade escalar máxima atingida por esse trem durante a
a) zero b) 3,0m/s2 c) 6,0m/s2 viagem de P até Q, em km/h, é igual a
d) 12,0m/s 2 e) 24,0m/s 2
a) 100 b) 95 c) 90 d) 85 e) 80
Dado: A velocidade escalar será máxima quando a aceleração
86. O gráfico a seguir representa a velocidade escalar em função do escalar for nula.
tempo para um móvel que descreve uma trajetória retilínea.
91. Em um teste de retomada de velocidade de um automóvel, foram
anotados os seguintes dados:
Variação de Tempo Distância
Marcha
velocidade gasto percorrida
3.a 36km/h a 72km/h 8,0s 120m
4.a 72km/h a 108km/h 10,0s ?
a) Calcule a aceleração escalar média para as duas situações pro-

postas.
b) Sabe-se que quando a aceleração escalar é constante, a
velocidade escalar média entre dois instantes é dada pela
média aritmética entre as velocidades escalares nos referidos
instantes. Verifique se na 3.a marcha a aceleração escalar se
manteve constante.
c) Admitindo-se que na 4.a marcha a aceleração escalar se
O gráfico tem a forma de um arco de parábola e sua expressão manteve constante, calcule a distância percorrida nos 10,0s.
analítica é:
V = 20,0 – 10,0t + 2,5t2 (SI) (válida para t ≥ 0) 92. (MODELO ENEM) – Em um jogo de futebol entre Brasil e Norue-
Pedem-se: ga, o tira-teima mostrou que o jogador brasileiro Roberto Carlos
a) a aceleração escalar média entre os instantes t1 = 0 e t2 = 2,0s; chutou a bola diretamente contra o goleiro do time adversário. A
b) a aceleração escalar nos instantes t1 = 0, t2 = 2,0s e t3= 4,0s; bola atingiu o goleiro com velocidade de módulo igual a 108km/h
c) o intervalo de tempo em que a aceleração escalar é negativa; e este conseguiu imobilizá-la em 0,10s, com um movimento de
d) o intervalo de tempo em que a aceleração escalar é positiva; recuo dos braços. O módulo da aceleração escalar média da bola,
e) para justificar se a aceleração escalar média entre dois ins- durante a ação do goleiro, foi, em m/s2, igual a:
tantes t1 e t2 pode ser calculada pela média aritmética entre as a) 3,0 . 103 b) 1,1 . 103 c) 3,0 . 102
acelerações escalares nos instantes t1 e t2. d) 1,1 . 102 e) 3,0 . 101
27
93. (UNIRIO-MODELO ENEM) Caçador nato, o guepardo é uma espécie de mamífero que refor-
ça a tese de que os animais predadores estão entre os bichos
mais velozes da natureza. Afinal, a velocidade é essencial para os
que caçam outras espécies em busca de alimentação. O guepar-
do é capaz de, saindo do repouso e correndo em linha reta, che-
gar à velocidade escalar de 72,0km/h em apenas 2,0 segundos, o
que nos permite concluir, em tal situação, ser sua aceleração es-
calar média, em m/s2, igual a:
a) 10,0 b) 15,0 c) 18,0
d) 36,0 e) 50,0
22. Classificação dos movimentos c) Movimento circular: é aquele cuja trajetória está
contida em uma circunferência.
Nesse caso, a equação da trajetória, num sistema de
coordenadas Oxy, é do tipo:
De acordo com a forma da trajetória, os movimentos (x – a)2 + (y – b)2 = c2,
podem ser classificados em: em que a, b e c são constantes, sendo a e b as coor-
a) Movimento retilíneo: é aquele em que a trajetória denadas do centro da circunferência e c ⬆ 0, o raio da
está contida em uma reta. circunferência.
Nesse caso, a equação da trajetória, num sistema de Exemplos
coordenadas cartesianas Oxy, é do tipo:
y = ax + b,
com a e b constantes.
Exemplos
(x – 2)2 + (y –3)2 = 4 (SI) x2 + y2 = 4 (CGS)

a = 2m; b = 3m; c = 2m a = b = 0; c = 2cm
d) Outros movimentos: a trajetória pode assumir
uma infinidade de outras formas, entre as quais desta-
camos: trajetória elíptica, trajetória hiperbólica, trajetória
helicoidal etc.
b) Movimento parabólico: é aquele em que a traje-

tória está contida em uma parábola.
Nesse caso, a equação da trajetória, num sistema de
Se a função horária dos espaços s = f (t) for polino-
coordenadas Oxy conveniente (eixo Oy paralelo ao eixo
mial (função polinômio), de acordo com o seu grau, o
da parábola), é do tipo:
movimento poderá ser classificado em:
y = ax2 + bx + c, a) Movimento uniforme (MU): é aquele cuja fun-
com a, b e c constantes e a ⬆ 0. ção horária dos espaços s = f (t) é do 1.o grau em t, isto é,
Exemplos s = f (t) é uma função do tipo:
s = at + b,
com a e b constantes e a ≠ 0.
b) Movimento uniformemente variado (MUV): é
aquele cuja função horária dos espaços s = f (t) é do 2.o
grau em t, isto é, s = f (t) é uma função do tipo:
s = at2 + bt + c,
com a, b e c constantes e a 0.
28
Cumpre observar que, se o grau da função horária a) Movimento acelerado: é aquele em que o valor
dos espaços s = f(t) for maior do que 2, o movimento não absoluto da velocidade escalar instantânea aumenta.
recebe nome especial. Demonstra-se que isto ocorre quando a velocidade
Existem outros movimentos importantes, cuja fun- escalar instantânea (V) e a aceleração escalar instantânea
ção horária dos espaços s = f (t) não é do tipo polinomial, (␥) têm o mesmo sinal, isto é, V . ␥ > 0.
como, por exemplo, o movimento harmônico simples
(MHS). Se V > 0 e ␥ > 0, o movimento será progressivo e
acelerado.
Se V < 0 e ␥ < 0, o movimento será retrógrado e
acelerado.
b) Movimento retardado: é aquele em que o valor
Dependendo do sinal da velocidade escalar instan- absoluto da velocidade escalar instantânea diminui.
tânea, os movimentos classificam-se em: Demonstra-se que isto ocorre quando a velocidade
a) Movimento progressivo: é aquele em que a escalar instantânea (V) e a aceleração escalar instantânea
velocidade escalar instantânea é positiva. Isto ocorre (␥) têm sinais opostos, isto é, V . ␥ < 0.
quando o espaço (s) é crescente, ou seja, quando o mó-
vel caminha no sentido positivo adotado para a trajetória. Se V > 0 e ␥ < 0, o movimento será progressivo e
b) Movimento retrógrado: é aquele em que a retardado.
velocidade escalar instantânea é negativa. Isto ocorre Se V < 0 e ␥ > 0, o movimento será retrógrado e
quando o espaço (s) é decrescente, ou seja, quando o retardado.
móvel se movimenta em sentido contrário ao sentido
positivo adotado para a trajetória. Sinal Sinal Sinal
V Classificação
de V de ␥ de V . ␥
progressivo e
(+) (+) (+) aumenta
acelerado
VA > 0 ⇔ movimento de A é progressivo progressivo e

(+) (–) (–) diminui
VB < 0 ⇔ movimento de B é retrógrado retardado
retrógrado e
(–) (+) (–) diminui
retardado
retrógrado e
Quanto ao valor absoluto da velocidade escalar ins- (–) (–) (+) aumenta
acelerado
tantânea, podemos classificar os movimentos em:
O “dragster” em seu percurso final tem mo- Fotografia estroboscópica Na fotografia estroboscópica superior, o carrinho está em movimento acelerado e
vimento retardado em virtude da ação do pa- evidenciando um movimento a distância entre as fotos sucessivas está aumentando.
raquedas. acelerado na vertical. Na fotografia estroboscópica inferior, o carrinho está em movimento retardado e a
distância entre as fotos sucessivas está diminuindo.
29
Na foto da esquerda, o movimento do carro é progressivo e retardado. Na foto da direita, o movimento do carro é retrógrado e retardado.
94. Considere um ponto material movimentando-se segundo uma aumenta em valor absoluto, o ponto material se afasta da
função horária dos espaços dada por: origem dos espaços.
c) Se o espaço aumenta em valor relativo, ou seja, se o espaço
s = (a – b) t3 + (a + b) t2 + ct + d
é crescente, a velocidade escalar instantânea é positiva e o
em que s é o espaço, t é o tempo e a, b, c, d são parâmetros movimento é progressivo.
constantes. d) Se o espaço diminui em valor absoluto, o ponto material se
a) Qual a condição para que o movimento seja uniformemente aproxima da origem dos espaços.
variado? e) Se o espaço diminui em valor relativo, isto é, o espaço é de-
b) Qual a condição para que o movimento seja uniforme? crescente, a velocidade escalar instantânea é negativa e o mo-
Resolução vimento é retrógrado.
a) Para o movimento ser uniformemente variado, a função horá-
f) Se a velocidade escalar instantânea aumenta em valor abso-
ria dos espaços s = f(t), que é do tipo polinomial, deve ser do
luto, por definição, o movimento é acelerado e a velocidade
2.o grau em t e, para tanto, o coeficiente de t3 deve ser nulo e
escalar instantânea e a aceleração escalar instantânea têm o
o coeficiente de t2 deve ser diferente de zero.
mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
Assim: a – b = 0 e a + b ≠ 0.
g) Se a velocidade escalar instantânea aumenta em valor relativo,
Segue-se então que: a=b⬆0 isto é, se a velocidade escalar instantânea é crescente, a ace-
leração escalar instantânea é positiva e existem duas hipó-
b) Para o movimento ser uniforme, a função horária s = f(t), que teses:
é do tipo polinomial, deve ser do 1.o grau em t e, para tanto, os 1) Se V > 0 ⇒ o movimento é progressivo e acelerado
coeficientes de t3 e t2 devem ser nulos e o coeficiente de t
deve ser diferente de zero. 2) Se V < 0 ⇒ o movimento é retrógrado e retardado
Assim: a – b = 0 h) Se a velocidace escalar instantânea diminui em valor absoluto,
a+b=0 por definição, o movimento é retardado.
c⬆0 i) Se a velocidade escalar instantânea diminui em valor relativo,
Segue-se então que: a = b = 0 e c ⬆ 0 isto é, se a velocidade escalar instantânea é decrescente, a
aceleração escalar instantânea é negativa e existem duas
hipóteses:
95. Que podemos concluir quando, em um movimento de um ponto
1) Se V > 0 ⇒ o movimento é progressivo e retardado
material,
a) o espaço é constante? 2) Se V < 0 ⇒ o movimento é retrógrado e acelerado
b) o espaço aumenta em valor absoluto, em uma trajetória retilí-
nea? 96. (MODELO ENEM) – Um carro está descrevendo uma trajetória
retilínea com função horária dos espaços dada por:
c) o espaço aumenta em valor relativo?
d) o espaço diminui em valor absoluto, em uma trajetória retilí- s = 2,0t2 – 8,0t + 10,0 (SI)
nea?
e) o espaço diminui em valor relativo? Na origem dos tempos (t = 0), o movimento é
a) uniforme. b) progressivo e acelerado.
f) a velocidace escalar instantânea aumenta em valor absoluto? c) progressivo e retardado. d) retrógrado e acelerado.
g) a velocidade escalar instantânea aumenta em valor relativo? e) retrógrado e retardado.
h) a velocidade escalar instantânea diminui em valor absoluto? Resolução
i) a velocidade escalar instantânea diminui em valor relativo? V = 4,0t – 8,0 (SI)
Resolução ␥ = 4,0 m/s2
a) Se o espaço é constante, o ponto material ocupa sempre a
mesma posição e, portanto, está em repouso.
b) Em uma trajetória retilínea, o valor absoluto do espaço repre-
t=0 {V0 = –8,0m/s
␥0 = 4,0m/s2 }
O movimento é retrógrado porque a velocidade escalar é negati-
senta a distância do ponto material à origem; se o espaço
va.
30
O movimento é retardado porque a velocidade escalar e a acele- sitiva e é retardado porque V está diminuindo.
ração escalar têm sinais opostos. (II) O movimento é retrógrado porque a velocidade escalar é ne-
Resposta: E
gativa e é acelerado porque V está aumentando.
(III) O movimento é retrógrado porque a velocidade escalar é ne-
97. O gráfico a seguir representa o espaço em função do tempo para
um móvel que se desloca com aceleração escalar constante. gativa e é retardado porque V está diminuindo.
(IV)O movimento é progressivo porque a velocidade escalar é po-
sitiva e é acelerado porque V está aumentando.
99. (USS-RJ-MODELO ENEM)
Classifique o movimento para:

a) 0 ≤ t < t1
b) t > t1
Resolução Com relação à historinha acima, digamos que a limusine passe
No gráfico espaço x tempo, temos: por dois quebra-molas seguidos, nos instantes t1 e t2. Qual é o
1) Quando o espaço aumenta, a velocidade escalar é positiva e o gráfico que melhor descreve a velocidade do veículo no trecho
movimento é progressivo. considerado?
2) Quando o espaço diminui, a velocidade escalar é negativa e o
movimento é retrógrado.
3) Quando a curva tem concavidade para cima, a aceleração
escalar é positiva.
4) Quando a curva tem concavidade para baixo, a aceleração
escalar é negativa.
a) 0 ≤ t < t1
{ } V1 < 0 retrógrado
␥ > 0 retardado
b) t > t1
{ }
V>0
␥>0
progressivo
acelerado
98. A velocidade escalar de uma partícula varia com o tempo, confor-

me o gráfico apresentado a seguir.
Resolução
Antes de chegar ao primeiro quebra-molas (instante t1) o carro
deve frear e o módulo de sua velocidade vai diminuir.
Imediatamente após passar o primeiro quebra-molas o carro ace-
lera e o módulo de sua velocidade aumenta.
No gráfico, destacamos quatro secções distintas indicadas por Antes de chegar ao segundo quebra-molas (instante t2) o carro
I (0 ≤ t < t1), II (t1 < t < t2), III (t2 < t < t3) e IV (t3 < t < t4). volta a frear e o módulo de sua velocidade volta a diminuir. Ime-
Classifique, em cada secção, o movimento como progressivo ou diatamente após passar o segundo quebra-molas o carro volta a
retrógrado; acelerado ou retardado. acelerar e o módulo de sua velocidade volta a aumentar.
Resolução Esta sequência de eventos ocorre na opção A.
(I) O movimento é progressivo porque a velocidade escalar é po- Resposta: A
100. (FATEC-SP) – Considere as afirmações seguintes acerca de um d) somente a I e a II são corretas.

movimento retilíneo. e) somente a II e a III são corretas.
I. Num certo intervalo de tempo, se a aceleração escalar de um
corpo é positiva, o movimento é acelerado. 101. Um carro faz uma viagem de ida e volta de São Paulo para Cam-
II. Um corpo pode apresentar, simultaneamente, movimento pinas.
acelerado e velocidade escalar negativa. A trajetória está orientada de São Paulo para Campinas.
III. Um movimento é retardado se os sinais da velocidade escalar Considere na ida de São Paulo para Campinas, os seguintes
e da aceleração escalar forem opostos. intervalos de tempo:
Entre elas, intervalo de tempo T1: o velocímetro dá indicações crescentes
a) somente a I é correta.
intervalo de tempo T2: o velocímetro indica o mesmo valor
b) somente a II é correta.
c) somente a III é correta. intervalo de tempo T3: o velocímetro dá indicações decrescentes
31
Considere na volta de Campinas para São Paulo, os seguintes 105. Uma partícula descreve uma trajetória retilínea e o gráfico espaço
intervalos de tempo: x tempo, associado ao seu movimento, é dado a seguir.
intervalo de tempo T4: o velocímetro dá indicações decrescentes O gráfico tem a forma de um arco de parábola com vértice no
instante t = t2.
intervalo de tempo T5: o velocímetro indica o mesmo valor
intervalo de tempo T6: o velocímetro dá indicações crescentes
Complete a tabela a seguir:

Movimento Movimento
Intervalo Sinal da Sinal da
progressivo acelerado ou
de velocidade aceleração
ou retardado ou
tempo escalar escalar
retrógrado uniforme
T1 a) Como podemos classificar o movimento em todo o intervalo
de t = 0 a t = t4?
T2
b) Que podemos afirmar sobre a velocidade escalar e a
T3 aceleração escalar no instante t = t2?
c) Classifique o movimento no instante t = t1.
T4 d) Classifique o movimento no instante t = t3.
T5
106. A velocidade escalar de um móvel varia com o tempo de acordo
T6 com o gráfico abaixo.
102. Uma partícula lançada verticalmente para cima, a partir do solo

terrestre, tem altura h variando com o tempo t, segundo a relação:
h = 30,0t – 5,0t2 (SI)
No instante t1 = 4,0s, o movimento da partícula é
a) uniforme. b) progressivo e acelerado.
c) retrógrado e acelerado. d) progressivo e retardado.
e) retrógrado e retardado.
O movimento é
103. Um projétil é lançado verticalmente para cima e sua altura h, a par-
a) retardado no intervalo de tempo de t1 a t4.
tir do ponto de lançamento, varia com o tempo t segundo a
b) retardado no intervalo de tempo de t0 a t2.
relação:
c) retardado somente no intervalo de tempo de t3 a t4.
h = 10,0 + 40,0t – 5,0t2 (SI)
d) acelerado no intervalo de tempo de t2 a t3.
a) Classifique o movimento no instante t1 = 2,0s.
e) acelerado no intervalo de tempo de t1 a t2.
b) O que ocorre no instante t2 = 4,0s?
c) Classifique o movimento no instante t3 = 6,0s.
107. Considere um carro descrevendo uma trajetória retilínea com
velocidade escalar variando com o tempo segundo o gráfico a
104. Considere o gráfico espaço x tempo para o movimento de uma
seguir:
moto em trajetória retilínea.
As curvas são arcos de parábola.
A velocidade escalar será positiva ou negativa conforme o gráfico

V = f(t) esteja acima ou abaixo do eixo dos tempos, respectivamente.
A aceleração escalar será positiva, negativa ou nula conforme a
A velocidade escalar é positiva ou negativa conforme o espaço velocidade escalar seja crescente, decrescente ou constante
seja crescente ou decrescente, respectivamente. respectivamente.
A aceleração escalar é positiva ou negativa conforme a parábola Para cada intervalo de tempo citado, verifique o sinal da velocidade es-
tenha concavidade para cima ou para baixo, respectivamente.
calar V, o sinal da aceleração escalar ␥ e classifique o movimento como
Para cada intervalo de tempo citado, verifique o sinal da veloci- progressivo ou retrógrado e como acelerado, retardado ou uniforme.
dade escalar V, da aceleração escalar ␥ e classifique o movimento
como progressivo ou retrógrado e acelerado ou retardado. Progressivo Acelerado
Intervalo
Sinal de V Sinal de ␥ ou ou retardado
de tempo
retrógrado ou uniforme
Progressivo Acelerado
Intervalo
Sinal de V Sinal de ␥ ou ou 0 < t < t1
de tempo
Retrógrado Retardado
t1 < t < t2
0 < t < t1
t2 < t < t3
t1 < t < t2
t3 < t < t4
t2 < t < t3 t4 < t < t5
t3 < t < t4 t5 < t < t6
32
108. Um ciclista descreve uma trajetória retilínea e sua velocidade

escalar varia com o tempo segundo a relação:
V = A + Bt
em que A e B são parâmetros constantes, sendo A positivo e B

negativo.
Para que valores de t o movimento é
a) retrógrado?
b) retardado?
109. Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir do solo

terrestre e sua altura h, medida a partir do solo, varia com o tempo
t segundo a relação:
h = 20,0t – 5,0t2 (SI)
Analisando-se o gráfico, o movimento realizado pela motocicleta
a) Determine os instantes t1 e t2, com t1 < t2, em que o projétil
nos trechos I, II, III, IV, e V, foi, respectivamente
passa pela altura h = 15,0m.
a) acelerado, acelerado, retardado, retardado e acelerado.
b) Classifique o movimento nos instantes t1 e t2.
b) retardado, acelerado, acelerado, acelerado e retardado.
c) acelerado, retardado, acelerado, retardado e acelerado.
110. Uma partícula desloca-se em uma trajetória retilínea de modo que
d) retardado, acelerado, retardado, acelerado e retardado.
sua velocidade escalar varia com o tempo segundo a relação:
e) retardado, acelerado, acelerado, retardado e acelerado.
V = 1,0t2 – 4,0t + 4,0 (SI)
112. (UFPA-MODELO ENEM) – Uma criança brincando com um
Assinale a opção correta: caminhãozinho, carrega uma garrafa com água, que pinga
a) A partir do instante t = 2,0s, a partícula inverte o sentido de constantemente, e molha o chão da casa com pingos espaçados,
seu movimento. como se observa na ilustração abaixo.
b) No instante t = 2,0s, a velocidade escalar e a aceleração
escalar da partícula anulam-se.
c) No instante t = 1,0s, o movimento é progressivo e, no instante
t = 3,0s, o movimento é retrógrado.
d) No instante t = 1,0s, o movimento é acelerado e, no instante Considerando-se essa situação, você poderá concluir que, no
t = 3,0s, o movimento é retardado. trecho percorrido, o movimento do caminhão foi
e) A aceleração escalar da partícula é sempre positiva. a) uniforme durante todo o trecho.
b) acelerado e depois retardado.
111. (INEP-MODELO ENEM) – Uma fábrica de motocicleta, antes de c) retardado e depois acelerado.
lançar um novo modelo no mercado, realizou um teste de de- d) acelerado e depois uniforme.
sempenho, conforme o gráfico e) retardado e depois uniforme.
6) E 27) a)
7) I) VERDADEIRA. II) FALSA. III) FALSA.
IV) VERDADEIRA. V) VERDADEIRA.
8) Para um referencial fixo no solo terrestre, o poste está em
repouso e a garota está a 100km/h.
Para um referencial fixo no carro, o poste está em movimento
a 100km/h e a garota está em repouso.
Os conceitos de repouso e movimento são relativos e
dependem do referencial adotado.
9) a) repouso – movimento b) repouso – movimento
c) movimento
10) Os conceitos de repouso e movimento são relativos, isto é,
dependem do referencial adotado. Para o referencial fixo no b) A trajetória não está determinada; a equação horária não
ônibus (Heloísa), o passageiro está em repouso. tem nada que ver com a trajetória.
Para o referencial fixo na superfície terrrestre (Abelardo), o c) t = 0 ⇒ s = 0: o carro está na origem dos espaços.
passageiro está em movimento. d) Toda vez que o espaço for múltiplo de c.
11) B 12) B s = 0 …… t0 = 0
13) (I) VERDADEIRA. (II) FALSA. s = c = 200m ........... t1 = 10,0s (1 volta)
(III) VERDADEIRA. (IV) VERDADEIRA. s = 2c = 400m ......... t2 = 20,0s (2 voltas)
14) D .
.
22) I. FALSA. II. VERDADEIRA. .
III. FALSA. T IV. VERDADEIRA. s = nc = n . 200m ..... tn = n . 10,0s (n voltas)
28) (01) VERDADEIRA. (02) FALSA.
23) C 24) A
(04) FALSA. (08) VERDADEIRA.
25) I. VERDADEIRA. II. FALSA. 26)E
(16) VERDADEIRA.
III. VERDADEIRA. IV FALSA.
Resposta: 25
33
101) Movimento Movimento

C C Intervalo Sinal da Sinal da
29) a) s = k t2 ⇒ ––– = k T2 ⇒ k = –––––
de
progressivo acelerado ou
velocidade aceleração
4 4T2 ou retardado ou
tempo escalar escalar
retrógrado uniforme
C T1 Progressivo Acelerado V>0 ␥>0
b) t = T …… s1 = ––– ⇒ t = 2T …… s2 = 4s1 = C (posição A)
4 T2 Progressivo Uniforme V>0 ␥=0
C
T3 Progressivo Retardado V>0 ␥<0
c) t = T …… s1 = ––– T4 Retrógrado Retardado V<0 ␥>0
4
T5 Retrógrado Uniforme V<0 ␥=0
9C C T6 Retrógrado Acelerado V<0 ␥<0
t = 3T …… s3 = ––– = 2C + ––– (posição B)
4 4 102) C
C
d) t = T …… s1 = –––
103) a) t1 = 2,0s V1 = 20,0m/s
␥1 = –10,0m/s2 Progressivo e Retardado
4
b) t2 = 4,0s ⇒ V2 = 0
C O projétil atingiu o ponto mais alto de sua trajetória.
t = 4T …… s4 = 16 . ––– = 4C (posição A)
4

V3 = –20,0m/s
c) t3 = 6,0s ␥ = –10,0m/s2
3

Retrógrado e Acelerado
30) B 31) C 32) C 33) B 104) Progressivo Acelerado
34) C 40) B 41) a) 1,5h Intervalo
Sinal de V Sinal de ␥ ou ou
b) 6,0km/h de tempo
Retrógrado Retardado
42) C 43) D 44) A 45) B 0 < t < t1 V<0 ␥>0 retrógrado retardado
46) a) 25m/s e 5m/s 47) C 48) A 49) D t1 < t < t2 V>0 ␥>0 progressivo acelerado
b) 2.° e 7.°
t2 < t < t3 V>0 ␥<0 progressivo retardado
50) C 51) C 52) B 53) C 54) C
t3 < t < t4 V<0 ␥<0 retrógrado acelerado
55) C 63) A 64) D 65) C 66) C
67) a) 3,0s 68) A 69) C 70) B 105) a) Como o gráfico s = f(t) é parabólico, a função s = f(t) é do
2o grau e por isso o movimento é uniformemente variado
b) 12,0m/s
em todo o intervalo de t = 0 a t = t4.
71) a) 10s b) 5,0m/s A aceleração escalar será constante.
c) 36km/h d) b) No instante t = t2 (vértice da parábola), temos o ponto de
inversão no sentido do movimento. A velocidade escalar é
nula e a aceleração escalar é positiva porque a parábola
tem concavidade voltada para cima.
c) A velocidade escalar será positiva ou negativa conforme o
espaço seja crescente ou decrescente. A aceleração
escalar será positiva ou negativa conforme a parábola
dh tenha concavidade voltada para cima ou para baixo.
72) a) V = –––– = 20,0 – 10,0t (SI) No instante t1, temos:
dt V1 < 0 porque o espaço é decrescente;
␥ > 0 porque a parábola tem concavidade para cima.
b) V = V0 = 20,0m/s c) t1 = 2,0s d) hmáx = 20,0m
O movimento é retrógrado e retardado.
e) t2 = 4,0s f)V2 = –20,0m/s d) No instante t3, temos:
73) D 81) C 82) B V3 > 0 porque o espaço é crescente; ␥ > 0
83) B 84) a) Indeterminada 85) E O movimento é progressivo e acelerado.
b) 5,0m/s e 1,0m/s2 106) E
dV 107) Acelerado ou
86) a) –5,0m/s2 b) ␥ = ––– = –10,0 + 5,0t (SI) Intervalo Progressivo ou
dt Sinal de ␥ retardado ou
de tempo Sinal de V retrógrado
uniforme
t1 = 0 ⇒ ␥1 = –10,0m/s2
0 < t < t1 V>0 ␥>0 progressivo acelerado
t2 = 2,0s ⇒ ␥2 = 0
t1 < t < t2 V>0 ␥=0 progressivo uniforme
t3 = 4,0s ⇒ ␥3 = 10,0m/s2
t2 < t < t3 V>0 ␥<0 progressivo retardado
c) ␥ < 0 quando a velocidade escalar é decrescente:
t3 < t < t4 V<0 ␥<0 retrógrado acelerado
0 ≤ t < 2,0s
t4 < t < t5 V<0 ␥=0 retrógrado uniforme
d) ␥ > 0 quando a velocidade escalar é crescente: t > 2,0s t5 < t < t6 V<0 ␥>0 retrógrado retardado
␥1 + ␥2 A A
e) ␥m = ––––––– porque a função ␥ = f(t) é do 1.o grau. 108) a) t > – ––– b) t < – –––
2 B B
109) a) t1 = 1,0s (projétil subindo)
87) a) A = 16,0 88) a) 2,0m/s2
t2 = 3,0s (pojétil descendo)
b) 12,0m/s2 b) –1,0m/s2
c) 0,5m/s2
␥ progressivo e retardado
V1 = 10,0m/s
b) t1 = 1,0s 2
89) A 90) E 91) a) 1,25m/s2 (3.a) e 1,0m/s2 (4.a) 1 = –10,0m/s
b) Sim, pois Vm = média aritmética
␥ retrógrado e acelerado
V2 = –10,0m/s
c) 250m t2 = 3,0s 2
2 = –10,0m/s
92) C 93) A 100) E
110) B 111) D 112) B
34
CAPÍTULO
Cinemática
2 MOVIMENTO
UNIFORME
O balão está subindo verticalmente percorrendo

distâncias iguais em tempos iguais.
O seu movimento é retilíneo e uniforme, sua

velocidade escalar é constante e sua aceleração escalar é nula.
1. Definição A = s0
Em relação a um dado referencial, um movimento
O parâmetro A representa o espaço inicial s0.
é chamado uniforme quando a função horária dos
espaços s = f(t) é do primeiro grau.
Isto significa que a relação espaço-tempo é do tipo:
s = A + Bt
em que A e B são parâmetros constantes e B ≠ 0.
Notas
• Um ponto material pode estar em movimento uni-
forme em qualquer trajetória.
• Os movimentos uniformes mais estudados são o
A medida algébrica do arco OP0 é o espaço inicial s0.
retilíneo uniforme (MRU) e o circular uniforme (MCU).
• O tipo de movimento de um ponto material depen-
de do referencial adotado. Assim, um ponto material A velocidade escalar instantânea V é obtida por meio
pode ter movimento uniforme em relação a um certo da derivação da função s = f(t).
referencial e outro tipo de movimento, ou mesmo estar s=A+Bt
parado, em relação a outro referencial. ds
• Quando o movimento não é uniforme, ele é cha- V = ––– = 0 + B
mado de movimento variado. dt
B = V
2. Interpretação física O parâmetro B representa a velocidade escalar.
dos parâmetros A e B
3. Propriedades do
Se fizermos, na relação espaço-tempo, t = 0 (origem movimento uniforme
dos tempos), o valor assumido pelo espaço será o espaço
inicial s0. t = 0 ⇔ s = s0
s = A + Bt
s0 = A + B . 0 s = s0 + V t
35
movimento que se processa sempre da mesma forma no

que diz respeito à velocidade escalar (uniforme quanto à
velocidade escalar).
• O fato de a aceleração escalar ser constantemente
⌬s nula implica que a aceleração escalar média também seja
V = ––– = constante ≠ 0
⌬t nula em qualquer intervalo de tempo considerado.
␥m = ␥ = constante = 0
• O fato de a aceleração escalar ser nula implica que

o movimento uniforme não seja nem acelerado nem re-
tardado.
4. Classificação do
movimento uniforme
Se a velocidade escalar for positiva, o movimento
uniforme será progressivo.
Fotografia estroboscópica de um trator de brinquedo deslocando-se em
movimento uniforme. O intervalo de tempo entre as fotos sucessivas é de 0,5s. Se a velocidade escalar for negativa, o movimento
uniforme será retrógrado.
Quando o movimento é uniforme, o móvel percorre distâncias iguais em tem-

pos iguais.
A trajetória está orientada de A para B e os velocí-
Notas
metros dos carros X e Y indicam sempre o mesmo valor.
• O movimento uniforme pode ser definido por
O carro X está em movimento uniforme e progres-
qualquer uma das três propriedades enunciadas, ou seja:
sivo.
1) Movimento Uniforme é todo movimento cuja
O carro Y está em movimento uniforme e retrógrado.
relação espaço-tempo é do 1.º grau.
2) Movimento Uniforme é todo movimento cuja
velocidade escalar é constante (diferente de zero).
5. Gráficos do
3) Movimento Uniforme é todo movimento cuja movimento uniforme
aceleração escalar é nula.
• O fato de a velocidade escalar ser constante (não Como a relação espaço-tempo é do 1.º grau, o res-
nula) implica que a velocidade escalar média também se- pectivo gráfico será uma reta oblíqua em relação aos ei-
ja constante (para qualquer intervalo de tempo) e igual à xos do espaço e do tempo.
velocidade escalar instantânea: O espaço será crescente se o movimento for progres-
sivo e decrescente se o movimento for retrógrado.
⌬s
Vm = ––– = V = constante ≠ 0
⌬t
• O fato de a velocidade escalar ser constante (não

nula) implica que o móvel se movimente sempre no
mesmo sentido (não há inversão de movimento), per-
correndo distâncias iguais em intervalos de tempo
iguais.
⌬t1 = ⌬t2 = ⌬t3 ⇔ ⌬s1 = ⌬s2 = ⌬s3
• O fato de a velocidade escalar ser constante (não

nula) justifica a denominação movimento uniforme: Movimento Uniforme e Progressivo (fig. 1).
36
Movimento Uniforme e Retrógrado.
A área sob o gráfico V = f(t) entre dois instantes, t1 e

t2, mede o deslocamento escalar ⌬s entre esses instantes:
n ⌬s
Área = V (t2 – t1) = ––– . ⌬t = ⌬s
Movimento Uniforme e Retrógrado (fig. 2). ⌬t
Notas n
• No instante t = T, o móvel está passando pela ori- Área (V x t) = ⌬s
gem dos espaços.
• A tangente do ângulo ␣, indicado nas figuras, é
uma medida da velocidade escalar.
Como a aceleração escalar é constantemente nula, o
n ⌬s
tg ␣ = ––– = V > 0 (fig. 1) gráfico da relação ␥ = f (t) será uma reta coincidente com
⌬t
o eixo dos tempos.
–(– ⌬s) ⌬s
tg ␣ = – tg ␤ = –––––– = –––– = V < 0 (fig. 2)
⌬t ⌬t
• No gráfico espaço x tempo, a área sob o gráfico

não tem significado físico.
• Se não for feita nenhuma restrição, o gráfico se
estende para valores negativos do tempo.
6. Velocidade relativa
Como a velocidade escalar é constante e não nula, o Consideremos dois móveis, A e B, percorrendo uma
gráfico da relação velocidade escalar x tempo será uma mesma trajetória retilínea, com velocidades escalares,
reta paralela ao eixo dos tempos. respectivamente, iguais a VA e VB.
Define-se velocidade escalar relativa do móvel B,
em relação ao móvel A, como a grandeza VBA dada por:
VBA = VB – VA
Segue-se imediatamente que:
VAB = VA – VB
e
VBA = –VAB
Movimento Uniforme e Progressivo.
37
Exemplos a) Quando os móveis caminham no mesmo sentido,

o módulo da velocidade escalar relativa é dado pelo
módulo da diferença entre os módulos das velocidades
escalares de A e B:
| Vrel | = | VA | – | VB |
(Com | VA | > | VB |)
b) Quando os móveis caminham em sentidos opos-
tos, o módulo da velocidade escalar relativa é dado pela
soma dos módulos das velocidades escalares de A e B:
Para obtermos o módulo da velocidade escalar relati-

va entre dois corpos, A e B, utilizamos a seguinte regra
prática, que decorre imediatamente da definição de velo-
cidade escalar relativa: | Vrel | = | VA | + | VB |
1. A distância entre o Sol e a Terra é de 1,50 . 1011m e a velocidade Resolução

da luz no vácuo tem módulo igual a 3,0 . 108m/s. 1) Podemos calcular a velocidade escalar constante usando os
Quanto tempo a luz solar gasta para chegar até nós? instantes t1 e t3.
Resolução t1 = 8s ⇒ s1 = 10m
Sendo a velocidade escalar constante (M.U.), vem: t3 = 28s ⇒ s3 = 60m
⌬s ⌬s 60 – 10 50
V = Vm = ––– e, portanto, a distância percorrida pela luz (⌬s) é dada V = ––– = –––––––– (m/s) = ––– (m/s) = 2,5m/s
⌬t ⌬t 28 – 8 20
por: 2) Entre os instantes t1 e t2, temos:
⌬s = V . ⌬t
s2 – s1 20 – 10
na qual V é o módulo da velocidade da luz no vácuo (3,0 . 108m/s) V = –––––––– ⇒ 2,5 = ––––––––
e ⌬t é o intervalo de tempo pedido no problema. t2 – t1 t2 – 8
1,50 . 1011 = 3,0 . 108 ⌬t 2,5t2 – 20 = 10 ⇒ t2 = 12s

Resposta: C
⌬t = 5,0 . 102s
3. O espaço de um móvel varia com o tempo, conforme indica a
Resposta: 5,0 . 102s
tabela a seguir:
2. (MACKENZIE-SP) – Na fotografia estroboscópica de um mo- t(s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
vimento retilíneo uniforme descrito por uma partícula, foram des- s(m) –20 0 20 40 60 80
tacadas três posições, nos respectivos instantes t1, t2 e t3. Supondo que a regularidade na lei de formação da tabela se mante-
nha:
a) classifique o movimento.
b) obtenha a equação horária dos espaços.
c) que se pode afirmar sobre a trajetória?
Resolução
Se t1 for 8s e t3 for 28s, então t2 será: a) Como o móvel percorre distâncias iguais (20m) em intervalos
de tempo iguais (1,0s), concluímos que o movimento é unifor-
a) 4s b) 10s c) 12s d) 20s e) 24s
me.
38
Como o espaço é crescente, a velocidade escalar é positiva e d d

o movimento é progressivo. De (1): t1 = –––––––––– De (2): t2 = ––––
1,02 . 103 340
⌬s 20m
b) 1) V = ––– = ––––– = 20m/s De acordo com o texto:
⌬t 1,0s
t1 + t2 = 4,00
2) Para t = 0 ⇒ s = s0 = –20m Substituindo-se os valores de t1 e t2, vem:

Portanto: s = s0 + Vt ⇒ s = –20 + 20t (SI) d d
–––––––––– + ––––– = 4,00
1,02 . 103 340
c) A relação espaço-tempo não revela a trajetória do móvel.
d + 3d
Respostas: a) Movimento uniforme e progressivo. –––––––––– = 4,00
b) s = –20 + 20t (SI). 1,02 . 103
c) Indeterminada.
4d = 4,08 . 103
4. O gráfico abaixo representa o espaço de uma partícula em fun- d = 1,02 . 103m = 1,02km
ção do tempo.
Considere as proposições que se
Resposta: 1,02km
seguem:
(01) A trajetória da partícula é re-
tilínea.
(PISA-MODELO ENEM) – Texto para as questões de 6 a 8.
(02) A velocidade escalar da par-
tícula é crescente. ECOSSONDA
(04) O movimento é uniforme. O fundo dos oceanos tem sido cartografado com rigor devido à
(08) O movimento é progressivo. utilização de ecossondas. Inicialmente, emitem um impulso sono-
(16) O movimento é acelerado. ro que posteriormente é refletido (eco) pelo fundo do mar.
(32) A área sob o gráfico mede a
variação de espaço.
(64) A aceleração da partícula é nula.
Dê como resposta a soma dos números associados às proposi-
ções corretas.
Resolução
(01) Falsa: O gráfico espaço x tempo nada nos revela sobre a
trajetória.
(02) Falsa: Como a função s = f(t) é do 1.o grau, a velocidade
escalar é constante.
(04) Verdadeira: Quando o gráfico s = f(t) é uma reta oblíqua, o
movimento é uniforme.
(08) Verdadeira: Quando o espaço é crescente, o movimento é
progressivo (V > 0).
(16) Falsa: A aceleração escalar é nula; não é nem acelerado
nem retardado.
(32) Falsa: A área no gráfico espaço x tempo não tem significa- Conhecidos o intervalo de tempo que decorre entre a emissão do
do físico. impulso e a recepção do eco e a velocidade de propagação do
(64) Falsa: A aceleração escalar é nula; se a trajetória for curva, som, é possível determinar a profundidade do local por meio da
existe uma aceleração chamada centrípeta. fórmula seguinte:
Resposta: 12
⌬t
h = ––– x V em que
5. Um atirador ouve o ruído da bala atingindo o alvo 4,00 segundos 2
após dispará-la com velocidade de módulo igual a 1,02 . 103m/s. Su-
pondo-se que a velocidade do som no ar seja constante e tenha h é a profundidade, em metros (m);
módulo igual a 340m/s, qual a distância entre o atirador e o alvo? ⌬t é o intervalo de tempo entre a emissão do impulso e a recep-
Despreze a ação da gravidade sobre o movimento da bala. ção do eco, em segundos (s);
Resolução V é a velocidade escalar média de propagação do som na água,
em metros por segundo (m/s).
A velocidade escalar média de propagação do som na água é
aproximadamente 1450m/s.
6. Uma ecossonda emitiu um sinal sonoro às 14h 52min 56s e re-

cebeu o respectivo eco às 14 h 53 min. Qual é a profundidade do
mar nesse local?
a) 2,0km b) 2,9km c) 4,0km
A distância d é percorrida pela bala, em movimento uniforme, em d) 5,8km e) 6,0km
um intervalo de tempo t1. Resolução
A mesma distância d é percorrida pelo som, em movimento uni- 1) O intervalo de tempo entre a emissão do sinal sonoro e a
forme, em um intervalo de tempo t2. recepção do eco é dado por:
⌬t = 14h53min – (14h52min56s)
Assim: d = Vb . t1 = 1,02 . 103 . t1 (1)
d = Vs . t2 = 340 t2 (2) ⌬t = 4s
39
2) a profundidade h é dada por: 8. Complete com superior ou inferior, de modo a obter afirmações
⌬t verdadeiras.
h = ––– x V
2 O tempo decorrido entre a emissão de um sinal sonoro e a recep-
ção do eco de uma sonda colocada na Fossa das Marianas é
A divisão do tempo ⌬t por 2 se justifica porque no intervalo de
1. _________ ao triplo do tempo decorrido na Fossa do Mar Jônico;
tempo ⌬t o sinal sonoro percorreu uma distância 2h
correspondente a ida do sinal e a volta do eco. 2. _________ ao dobro do tempo decorrido em Litke Deep;
4 3. _________ ao dobro do tempo decorrido na Fossa Sandwich do
h = ––– . 1450 (m)
2 Sul.
lacuna 1 lacuna 2 lacuna 3
h = 2900m ⇒ h = 2,9km a) inferior – inferior – inferior
b) inferior – superior – superior
Resposta: B c) superior – superior – inferior
d) superior – inferior – superior
7. As fossas oceânicas são as regiões mais profundas dos oceanos. e) inferior – igual – inferior
Oceano/Mar Antártico Ártico Atlântico Resolução
Profundidade 7235m 5462m 8648m 2h 2h h
⌬t = ––– = ––––– = –––– (s)
Fossa Litke Deep, Fossa de V 1450 725
Localização
Sandwich do Sul Bacia Eurásia Porto Rico
10924
Mar 1) Fossa das Marianas: ⌬t1 = –––––– (s) 15,1s
Oceano/Mar Índico Pacífico 725
Mediterrâneo
Profundidade 7725m 10924m 5121m 5121
Fossa do Mar Jônico: ⌬t2 = ––––– (s) = 7,06s
Fossa Fossa do Mar 725
Localização Fossa de Java
das Marianas Jônico
⌬t1< 3 ⌬t2 (inferior)
Imagine uma ecossonda colocada na zona da fossa de Porto Rico
e que emite um sinal sonoro. Quantos segundos decorrem até a 2) Fossa das Marianas: ⌬t1 15,1s
recepção do seu eco?
a) 6,0s b) 8,0s c) 9,0s d) 11,9s e) 12,4s 5462
Resolução Litke Deep: ⌬t3 = –––––– (s) = 7,53s
725
De acordo com a tabela, na Fossa de Porto Rico o Oceano Atlân-
tico tem uma profundidade h = 8648m
De acordo com a relação dada, temos: ⌬t1 2 ⌬t3 (igual)
⌬t
h = ––– x V
2 3) Fossa das Marianas: ⌬t1 15,1s
⌬t 7235
8648 = ––– . 1450 Fossa Sandwich do Sul: ⌬t4 = –––––– (s) = 9,98s
2 725
17296 ⌬t1 < 2 ⌬t4 (inferior)
⌬t = –––––– (s) ⇒ ⌬t 11,9s
1450
Resposta: E
Resposta: D
9. A tabela a seguir representa valores do espaço e do tempo para A função horária, que descreve a posição, em relação ao tempo,
um móvel em movimento uniforme. em unidades do SI, é
tempo (s) 1,0 2,0 4,0 y a) s = 2,0 + 3,0t b) s = 2,0 + 17,0t
espaço (m) 2,0 x 11,0 17,0 c) s = 5,0 + 2,0t d) s = 3,0 + 2,0t
e) s = 2,0 + 5,0t
Determine
a) a velocidade escalar do móvel; 11. Dois móveis, A e B, percorrem uma mesma trajetória retilínea com
b) o espaço inicial; movimentos uniformes e velocidades com intensidades respectiva-
c) o valor de x; mente iguais a 2,0m/s e 1,0m/s e sentidos indicados na figura. No
d) o valor de y. instante t0, o móvel A está posicionado em A0 e o móvel B em B0.
10. Um móvel percorre uma trajetória retilínea com velocidade escalar

constante. A posição s, medida em metros em relação à origem,
varia de acordo com o tempo t, medido em segundos, conforme
a tabela abaixo.
s(m) 2,0 5,0 8,0 11,0 14,0 17,0 Adotando-se o ponto O como origem dos espaços e o instante t0
t(s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 como origem dos tempos, determine
40
a) as equações horárias para os movimentos de A e B. O técnico usou um detector de som que registrou o instante do
b) a distância entre os móveis A e B no instante t 1 = 10,0s. disparo t1 e o instante t2 em que o som do impacto da bala contra
a árvore foi captado. O intervalo de tempo entre t2 e t1 é de 1,35s.
12. Um carro descreve uma trajetória retilínea com movimento uni- A velocidade com que o som se propaga no ar, no local da
forme. experiência, tem módulo igual a 340m/s. O efeito da gravidade
No instante t1 = 10,0s, a posição do carro é definida por um sobre o projétil deve ser desprezado de modo que a velocidade do
espaço s1 = 250m. projétil possa ser suposta constante.
No instante t2 = 20,0s, a posição do carro é definida por um A partir da experiência, o técnico encontrou para o módulo da
espaço s2 = 450m. velocidade do projétil o valor:
Determine a) 100m/s b) 200m/s c) 250m/s
a) a velocidade escalar do carro em km/h. d) 300m/s e) 400m/s
b) a posição do carro na origem dos tempos (t = 0).
19. (UFSCar-MODELO ENEM) – Os relâmpagos são descargas
13. Um vestibulando sai de sua casa e caminha até o local das provas, elétricas que cortam o céu antes ou durante as tempestades. A
dando um passo por segundo, em média. O tamanho médio do eletricidade liberada por um relâmpago de meio segundo de
seu passo é de 0,7m. Ele demora 18 minutos no percurso. A duração é equivalente à potência de cerca de cem milhões de
distância entre a sua casa e o local das provas é de lâmpadas comuns. Essa energia liberada aquece o ar, provocando
a) 554m b) 650m c) 756m ondas de pressão denominadas trovões. Nós vemos primeiro o
d) 842m e) 859m relâmpago e algum tempo depois ouvimos o trovão porque a luz e
o som se propagam com velocidades bastante diferentes.
14. Na figura a seguir, as duas sequências de pontos indicam as posi- Enquanto a luz se propaga com a velocidade de 300 mil quilômetros
ções, ao longo do plano da figura, ocupadas pelos móveis M e N por segundo, a velocidade do som no ar é cerca de 330 metros por
em instantes intervalados de 0,10s. M e N movimentam-se segundo. Essa diferença entre as velocidades permite-nos calcular
somente da esquerda para a direita. a distância entre o relâmpago e o lugar em que estamos. Assinale
a alternativa que apresenta a expressão do cálculo da distância
aproximada – d (em quilômetros) considerando-se o intervalo de
tempo ⌬t (em segundos) entre a visão do relâmpago e a audição do
trovão.
⌬t ⌬t
a) d = (330⌬t)

b) d = –––
3
c) d = ––––
330
Sabe-se que cada quadradinho, na figura, tem lado representando
⌬t
uma distância de 1,0cm e que os movimentos de M e N são
uniformes.
d) d = (300 000⌬t)
e) d = –––––––––
300 000
Admita que
(1) a primeira foto corresponda à origem dos tempos (t = 0); 20. (EFOMM-MODELO ENEM) – O sistema G.P.S. (Global Positioning
(2) a origem dos espaços corresponda à posição do móvel M na System) permite localizar um receptor em qualquer lugar da Terra
quinta foto e do móvel N na sétima foto;
por meio de sinais emitidos por satélites simultaneamente. A
(3) as trajetórias estejam orientadas da esquerda para a direita.
Pedem-se figura mostra uma situação na qual os satélites A e B emitem
a) as velocidades escalares dos móveis M e N. sinais para um receptor R localizado na reta AB, tangente à
— —
b) as equações horárias dos espaços para os móveis M e N. superfície da Terra no ponto O, onde AO = 4 OB.
15. Define-se “ano-luz” como sendo a distância que a luz percorre no

vácuo em 1 ano.
A velocidade da luz no vácuo tem módulo c = 3,0 . 108 m/s e a
duração do ano é T = 3,2 . 107 s
a) Determine a relação entre ano-luz e metro.
b) Determine em minutos-luz a distância entre a Terra e o Sol,
sabendo-se que essa distância é de 1,5 . 1011m
16. (UFCG) – Um carro percorre uma estrada com velocidade escalar

constante de 120km/h. O motor do carro tem um rendimento de
1,6km/ᐉ, e o tanque só comporta 60 litros de combustível. Su-
pondo-se que o carro inicie o percurso com o tanque cheio, o
tempo necessário, para que, a essa velocidade, todo o combus- Os sinais provenientes de A e B são emitidos com a velocidade
tível seja consumido é: da luz no vácuo cujo módulo é de 3,0 . 105km/s e atingem o recep-
a) 0,5h b) 0,8h c) 1,0h d) 2,0h e) 2,5h tor R em 4,0 . 10–2s e 6,0 . 10–2s, respectivamente.
A distância entre o satélite A e o ponto O é
17. (FUVEST) – Um automóvel e um ônibus trafegam em uma es-
trada plana, mantendo velocidades constantes com módulos em a) 1,4 . 104km b) 1,8 . 104km c) 2,4 . 104km
torno de 100km/h e 75km/h, respectivamente. Os dois veículos d) 1,0 . 105km e) 1,2 . 106km
passam lado a lado em um posto de pedágio. Quarenta minutos
(2/3 de hora) depois, nessa mesma estrada, o motorista do ônibus
vê o automóvel ultrapassá-lo. Ele supõe, então, que o automóvel
deve ter realizado, nesse período, uma parada com duração (FUVEST-MODELO ENEM) – Texto para as questões de 21 e
aproximada de 22.
a) 4 minutos b) 7 minutos c) 10 minutos
d) 15 minutos e) 25 minutos Em uma caminhada, um jovem consome 1 litro de O2 por minuto,
quantidade exigida por reações que fornecem a seu organismo
18. Um técnico em balística pretende determinar o módulo da velo- 20kJ/minuto (ou 5 “calorias dietéticas”/minuto). Em dado mo-
cidade de um projétil disparado por um rifle. Para tanto, o técnico mento, o jovem passa a correr, voltando depois a caminhar.
faz um disparo contra uma árvore que se encontra a 170m do local O gráfico representa seu consumo de oxigênio em função do
de onde foi acionado o rifle. tempo.
41
23. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA-MODELO ENEM) – Para

manter a segurança na estrada, recomenda-se que as velocidades
dos veículos sejam tais que a distância entre um e outro seja
vencida em no mínimo dois segundos. Considere uma situação
ideal em que todos os motoristas respeitam esta recomendação,
que os carros seguem em uma única fila a uma distância segura,
que o tamanho dos automóveis sejam desconsiderados e que a
velocidade dos veículos, 72km/h (20m/s), seja a máxima permitida
para esta rodovia. Mantendo-se a recomendação de segurança,
21. Por ter corrido, o jovem utilizou uma quantidade de energia a se a velocidade máxima permitida for alterada para 144km/h
mais, do que se tivesse apenas caminhado durante todo o tempo, (40m/s), é correto afirmar que o fluxo de veículos (número de
aproximadamente, de: veículos que chegam ao destino por hora) _______, que a distância
a) 10kJ b) 21kJ c) 200kJ d) 420kJ e) 480kJ entre eles na rodovia ________ e que o tempo de percurso fique
_________.
As expressões que completam corretamente as lacunas são,
22. (MODELO ENEM) – Entre os instantes t1 = 3min e t2 = 12min, o respectivamente:
jovem correu com velocidade escalar constante V percorrendo a) não mude; não mude; reduzido à metade
100m para cada litro de oxigênio consumido. b) dobre; dobre; reduzido à metade
O valor de V em km/h é:
c) dobre; não mude; o mesmo
a) 2,0 b) 3,6 c) 7,2
d) 10,0 e) 12,0 d) dobre; não mude; reduzido à metade
e) não mude; dobre; reduzido à metade
24. (MODELO ENEM) – Em uma rua escura, está acesa uma única Da semelhança dos triângulos ALS e BCS, vem:
lâmpada L a uma altura H do solo horizontal.
Uma pessoa de altura h caminha em trajetória retilínea com ––– –––
LA AS
velocidade constante de módulo V, em relação ao solo. –––––
––– = ––––––
–––
Seja S a sombra de sua cabeça projetada no solo. CB BS
—– —– —– —–
Porém : LA = H; CB = h; AS = sS; BS = sS – sP
H sS
Portanto : —– = —–——
h sS – sP
H (sS – sP) = h sS
H sS – Hsp = hsS
sS (H – h) = HsP
H
sS = —––– sP
H–h
A velocidade de S, em relação ao solo, tem módulo
Dividindo-se os dois membros pelo intervalo de tempo ⌬t, vem:
H H
a) variável. b) igual a ——— V. c) igual a — V.
H–h h H
Vs = —––— V
(H – h) H–h
d) igual a V. e) igual a ——— V.
H
Resposta: B
Resolução
25. Um trem de comprimento 300m tem velocidade escalar constan-
te de 108km/h.
Qual o intervalo de tempo para o trem
a) passar diante de um observador parado à beira da estrada.
b) passar por um túnel de comprimento 600m.
Resolução
a)
Tomando o ponto A como origem dos espaços e orientando a

trajetória de A para S, temos:
—–
AB = espaço no movimento da pessoa: s P
—– Para passar diante de um observador parado à beira da
AS = espaço no movimento da sombra da cabeça: sS estrada, o trem deve percorrer uma distância igual ao seu
42
próprio comprimento, pois o início da passagem começa Assim: t = tE ⇒ s1 = s2 = sE

quando a dianteira D estiver à frente do observador e termina
quando a traseira T estiver à frente do observador. d
Então: V1tE = d – V2tE ⇒ tE = ––––––––
V1 + V2
108
⌬s = 300m; V = 108km/h = –––– m/s = 30,0m/s
3,6
b) A posição de encontro, definida pelo espaço sE, é obtida fa-
⌬s ⌬s 300 zendo-se t = tE na função horária de um dos movimentos.
V = –––1 ⇒ ⌬t1 = –––1 = –––– (s) ⇒ ⌬t1 = 10,0s
⌬t1 V 30,0 Escolhendo-se a expressão de s1:
b) d
t = tE = ––––––––– ⇒ s1 = sE
V1 + V2
d V1d
Assim: sE = V1 . ––––––––– ou sE = ——––—
V1 + V2 V1 + V2
d
Respostas: a) –––––––––
V1 + V2
b) O ponto de encontro está a uma distância do

ponto A igual a dV1 / V1 + V2
Para passar por um túnel, o trem deve percorrrer uma
distância que é igual à soma de seu comprimento (300m) com 27. De um mesmo ponto A partem dois pontos materiais, P1 e P2, ca-
o comprimento do túnel (600m), pois o início da passagem minhando sobre uma mesma trajetória com velocidades escalares
começa quando a dianteira D estiver no início do túnel e constantes V1 = 15m/s e V2 = 20m/s, respectivamente.
termina quando a traseira T estiver no fim do túnel. Sabendo-se que o móvel P2 parte 10s após a partida de P1, de-
Observe na figura que o ponto T percorre uma distância de termine
900m. a) o intervalo de tempo decorrido desde a partida de P1 até o
⌬s ⌬s 900 encontro dos dois móveis;
V = –––2 ⇒ ⌬t2 = –––2 = –––– (s) ⇒ ⌬t2 = 30,0s b) a distância percorrida pelos móveis desde a partida até o
⌬t2 V 30,0
encontro.
Respostas: a) 10,0s Resolução
b) 30,0s Tomemos o ponto A como origem dos espaços e o instante de
partida do móvel P1 como origem dos tempos. Orientemos a tra-
26. De dois pontos, A e B, partem simultaneamente dois móveis, P1 jetória no sentido dos movimentos de P1 e P2.
e P2, com velocidades constantes, em sentidos contrários, com
valores absolutos iguais a V1 e V2, respectivamente, e sobre uma
mesma reta. Sendo d a distância entre A e B, calcule
a) o tempo decorrido até o encontro;
b) a posição do ponto de encontro.
Resolução
a) Adotemos o ponto A como origem dos espaços e o instante
Como as velocidades escalares de P1 e P2 são constantes (não
de partida dos móveis como origem dos tempos. Orientemos
nulas), seus movimentos são uniformes e as funções horárias são
a trajetória de A para B. da forma:
s = s0 + Vt
冧
P1 : s0 = 0
⇒ s1 = 0 + 15t ⇒ s1 = 15t (SI)
V = V1 = 15m/s
Uma vez que o móvel P2 parte 10s atrasado em relação a P1, sen-
do t segundos o tempo de trajeto de P1, o tempo de trajeto de P2
é igual a (t – 10) segundos.
Montemos as funções horárias para os movimentos de P1 e
Assim:
P2. Como as velocidades escalares são constantes não nulas,
os movimentos são uniformes e, consequentemente, as fun-
冧
P2 : s0 = 0 s2 = 0 + 20(t – 10)
ções horárias são da forma:
s = s0 + vt
V = V2 = 20m/s ⇒ s2 = 20(t – 10) (SI)
Móvel P1: s0 = 0 (parte da origem A)
V = + V1 (movimento progressivo: de A para B) a) No instante de encontro t = tE, os móveis estão na mesma po-
Logo: s1 = 0 + V1t ou s1 = V1t sição, portanto, seus espaços são iguais.
t = tE ⇒ s1 = s2
Móvel P2: s0 = + d (distância do ponto B à origem A)
Assim: 15tE = 20(tE – 10)
V = –V2 (movimento retrógrado: de B para A)
ou 3,0 tE = 4,0 te – 40
Logo: s2 = d – V2t
Finalmente: tE = 40s
O instante de encontro (te) é obtido observando-se que, no mo-
mento do encontro, os móveis ocupam a mesma posição e, por- O encontro realizou-se 40s após a partida de P1 ou 30s após a
tanto, têm espaços iguais. partida de P2.
43
b) Para obtermos as distâncias percorridas pelos móveis, desde 29. (MODELO ENEM) – Eduardo foi com seu cachorro ao supermer-
a partida até o instante de encontro, basta multiplicarmos a cado. O cachorro tem uma coleira com uma guia com um extenso
sua velocidade escalar pelo tempo de trajeto até o encontro. fio.
Assim: d = V . ⌬tE Na impossibilidade de entrar no supermercado com seu cachorro,
Eduardo amarra a extremidade do fio em um poste e vai fazer
P1 : d1 = V1 ⌬t1 = 15 . 40 (m) ⇒ d1 = 6,0 . 102m compras.
P2 : d2 = V2 ⌬t2 = 20 . 30 (m) ⇒ d2 = 6,0 . 102m O cachorro, inicialmente parado junto ao poste, corre com velo-
cidade constante, em linha reta, afastando-se do poste até o fio
Como era de se esperar, estas distâncias são iguais, pois os ficar completamente esticado.
móveis partem do mesmo ponto A. Em seguida, o cachorro descreve uma trajetória circular em torno
do poste com o fio esticado em seu comprimento máximo e sem
Respostas: a) 40s enrolar no poste.
b) 6,0 . 102m Depois de um certo tempo, já muito cansado, o cão se dirige
lentamente rumo ao poste, com velocidade constante, em linha
28. Dois móveis, A e B, descrevem uma mesma trajetória retilínea e reta, parando junto ao poste.
suas coordenadas de posição variam com o tempo, conforme o Despreze o intervalo de tempo gasto pelo cão para acelerar e para
gráfico a seguir. frear.
Assinale a opção que representa como a distância d entre o cão e

o poste varia com o tempo t
Determine
a) as velocidades escalares de A e B.
b) as equações horárias dos espaços para os movimentos de A e
B.
c) o instante de encontro dos móveis.
d) a coordenada do ponto de encontro dos móveis.
Resolução
⌬x
a) V = –––
⌬t
–200
VA = ––––– (m/s) = –10,0m/s
20,0
Resolução
400 1) Inicialmente o cão se afasta do poste com velocidade cons-
VB = –––– (m/s) = 20,0m/s tante (movimento uniforme). A distância d cresce com o tem-
20,0 po t e o gráfico da função d = f(t) é um segmento de reta
crescente a partir da origem. O ângulo ␣ é função crescente
b) x = x0 + Vt da velocidade do cão.
xA = 1000 – 10,0 t (SI) e xB = 100 + 20,0 t (SI) 2) Quando o cão descreve uma trajetória circular em torno do
poste, a distância d permanece constante e o gráfico da fun-
c) xB = xA ⇒ 100 + 20,0 tE = 1000 – 10,0 tE ção d = f(t) será um segmento de reta paralela ao eixo dos
tempos.
3) Quando o cão volta a se aproximar do poste com velocidade
30,0 tE = 900 ⇒ tE = 30,0s
constante, a função d = f(t) passa a ser um segmento de reta
d) xA = xE com d decrescente e como o ângulo ␪ é função crescente da
t = tE = 30,0s
xE = 1000 – 10,0 . 30,0 (m) ⇒ xE = 700m velocidade do cão e este está cansado, a sua velocidade é
menor e resulta ␪ < ␣.
Resposta: D
Respostas: a) VA = – 10,0m/s e VB = 20,0m/s
b) xA = 1000 – 10,0t (SI)
xB = 100 + 20,0t (SI)
c) tE = 30,0s
d) xE = 700m
44
30. O gráfico a seguir representa o espaço em função do tempo para A velocidade escalar média do automóvel, nesta viagem, em
o movimento de uma bicicleta. km/h, foi de, aproximadamente,
a) 19 b) 21 c) 68 d) 75 e) 80
34. Considere um trilho retilíneo tal que em uma das extremidades

está o ouvido de uma pessoa. Na outra extremidade, é dada uma
martelada.
O som produzido pela martelada se propaga no ar com velocidade
de módulo V1 e, no trilho, com velocidade de módulo V2, sendo
V2 > V1.
A pessoa ouve os dois sons separados por um intervalo de tempo
T.
O comprimento L do trilho é dado por
Podemos afirmar que V1V2T 2V1V2T
a) L = –––––––– b) L = ––––––––
a) a trajetória da bicicleta é retilínea. V2 + V1 V2 – V1
b) a velocidade escalar da bicicleta é crescente.
c) o espaço inicial vale 10,0m. 2V1V2T V1V2T
d) a bicicleta passa pela origem dos espaços no instante t = 2,0s. c) L = –––––––– d) L = –––––––
V2 + V1 V2 – V1
e) o movimento é uniforme e retrógrado.
31. (FUVEST) – Uma composição ferroviária com 19 vagões e uma V

1V2 T
e) L = ––––––––––
locomotiva desloca-se a 20m/s (velocidade escalar constante). V2 – V1
Sendo 10m o comprimento de cada elemento da composição,
qual é o intervalo de tempo que o trem gasta para ultrapassar
35. Dois carros, A e B, em movimentos uniformes têm velocidades
a) um sinaleiro?
escalares VA = 30,0m/s e VB = 20,0m/s e estão separados por
b) uma ponte de 100m de comprimento?
uma distância de 200m no instante t = 0.
Os carros descrevem trajetórias retilíneas e paralelas e são
32. Duas bicicletas, A e B, descrevem uma mesma trajetória retilínea
assimilados a pontos materiais.
com movimentos uniformes.
Considere a posição inicial de A como origem dos espaços.
A distância inicial entre as bicicletas é de 500m e suas veloci-
dades escalares têm módulos VA = 4,0m/s e VB = 6,0m/s.
Pedem-se
Oriente a trajetória de A0 para B0 e adote a posição inicial de A a) as equações horárias para os movimentos de A e B.
como origem dos espaços.
b) o instante TE em que os carros estarão lado a lado.
Pedem-se
c) o instante T em que o carro A estará 200m à frente do carro
a) as equações horárias dos espaços para os movimentos de A e
B.
B.
d) os gráficos espaço x tempo para os dois móveis no intervalo
b) o instante de encontro TE.
de tempo entre t = 0 e t = T.
c) a posição dE do ponto de encontro.
d) os gráficos espaço x tempo para os movimentos de A e B.
36. (FMTM-MG) – Na figura, estão representados, num plano
33. (VUNESP) – O gráfico velocidade es calar x tempo repre- cartesiano, os gráficos posição x tempo do movimento de dois
senta uma viagem de automóvel de São Paulo a Curitiba que móveis, A e B, que percorrem uma mesma reta.
durou 6,0 horas, com uma parada de 30 minutos em Registro.
45
Se esses móveis se mantiverem em movimento com as mesmas A largura da caixa é de 2,0m, a distância entre as retas perpendi-
características, durante o tempo suficiente, eles deverão cruzar-se culares às duas laterais perfuradas da caixa e que passam,
no instante e na posição iguais, respectivamente, a respectivamente, pelos orifícios de entrada e de saída da bala
a) 10s; 200m. b) 10s; 300m. c) 20s; 400m. (ambos na mesma altura) é de 20cm.
d) 25s; 400m. e) 20s; 200m. Suponha que a direção do disparo seja perpendicular às laterais
perfuradas da caixa e ao deslocamento do caminhão e, também,
37. Dois carros, A e B, descrevendo trajetórias retilíneas e paralelas que o atirador estava parado na estrada. Considere o movimento
têm suas posições em função do tempo dadas pelo gráfico a da bala retilíneo e uniforme. A velocidade da bala tem módulo
seguir. igual a:
a) 90km/h b) 200km/h c) 400km/h
d) 450km/h e) 900km/h
40. (MODELO ENEM) – Uma pessoa se encontra a uma distância D

de uma parede.
A pessoa dá um grito e o som sofre reflexão na parede e retorna
à posição onde se encontra a pessoa.
Determine
a) as velocidades escalares de A e B.
b) as equações horárias para os movimentos de A e B.
c) o instante TE em que os carros se encontram.
d) a posição sE em que os carros se encontram.
38. (FUNREI-RJ-MODELO ENEM) – Para decidir quem é o melhor O gráfico a seguir representa a distância d da frente de onda
piloto, Rubens Barrichello e Ricardo Zonta resolveram disputar sonora até a posição da pessoa em função do tempo t.
entre si uma prova de automobilismo em que os carros de ambos
eram exatamente iguais. O circuito utilizado foi dividido em quatro
trechos, I, II, III e IV, e as distâncias percorridas pelos pilotos em
função do tempo estão representadas no gráfico a seguir.
A distância D e o módulo da velocidade do som V são dados por:

a) D = 67,0m e V = 335m/s b) D = 3,35m e V = 33,5m/s
c) D = 33,5m e V = 335m/s d) D = 6,7m e V = 33,5m/s
e) D = 335m e V = 770m/s
41. (MODELO ENEM) – Uma pessoa está caminhando em marcha

Podemos dizer que, no circuito, Barrichello foi mais rápido que moderada com ritmo de passadas constante e a distância
Zonta nos trechos percorrida d varia com o tempo t segundo um dos gráficos a
a) III e IV. b) II e IV. c) II e III. seguir, durante um período de 30min.
d) II, III e IV. e) I e IV. Você deve saber avaliar o valor da velocidade de uma pessoa a
caminhar e escolher qual das opções poderá representar a função
39. (MODELO ENEM) – Uma caixa de papelão vazia, transportada na d = f(t)
carroceria de um caminhão que trafega a 90km/h, num trecho reto
de uma estrada, é atravessada por uma bala perdida, como
mostra a figura.
46
42. (VUNESP) – Dois amigos, correndo sobre uma mesma pista reti- Resolução
línea e em sentidos opostos, avistam-se quando a distância que
os separa é de 150 metros. Um está correndo com velocidade es-
calar constante de 5,0m/s e o outro com velocidade escalar cons-
tante de –7,5m/s. Que distância cada um percorrerá, desde o ins-
tante em que se avistam até o instante em que um passa pelo
outro?
Resolução
1) Vrel = |V1| + |V2| = 12,5m/s
⌬s 150
2) Vrel = ––– ⇒ 12,5 = –––– ⇒ ⌬t = 12,0s
⌬t ⌬t
3) d = |V| ⌬t
d1 = 5,0 . 12,0 (m) ⇒ d1 = 60m
d2 = 7,5 . 12,0 (m) ⇒ d2 = 90m
Resposta: 60m e 90m ⌬s 100 100

1) Vrel = —— ⇒ V = —— ⇒ T = ——
⌬t T V
43. (PUC-PR) – Há um serviço de ônibus entre as cidades de Irati e

Curitiba, distantes 180km. A cada hora um ônibus sai da primeira 2) ⌬sH = VH . ⌬t
para a segunda cidade, trafegando com velocidade escalar cons-
100
tante de módulo 60km/h. Se você viajar de automóvel com ve- ⌬sH = 2V . —— (m) ⇒ ⌬sH = 200m
locidade escalar constante de módulo 60km/h, haverá cruza- V
mentos com os ônibus que trafegam em sentido contrário. O in-
tervalo de tempo entre dois cruzamentos sucessivos é: Resposta: D
a) 10min b) 15min c) 30 min d) 45min e) 1,0h
Resolução 45. Dois trens, A e B, têm mesmo comprimento de 150m e estão
caminhando com velocidades constantes de intensidades
1) Vrel = |V1| + |V2| = 120km/h
| VA | = 36,0km/h e | VB | = 72,0km/h, em sentidos contrários.
2)
Como os ônibus saem de hora em hora, com velocidade esca-

lar de 60km/h, a distância entre ônibus sucessivos é de 60km.
⌬s ⌬s 60
Vrel = ––– ⇒ ⌬t = –––– = –––– (h)
⌬t Vrel 120
Calcule
a) a duração do cruzamento entre os trens.
⌬t = 0,50h = 30min b) a distância que cada trem percorreu, em relação aos trilhos,
durante o cruzamento.
Resposta: C Resolução
44. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um homem correndo ultrapassa

uma composição ferroviária, com 100 metros de comprimento,
que se move vagarosamente no mesmo sentido. A velocidade
escalar do homem é o dobro da velocidade escalar do trem. Em
relação à Terra, qual a distância percorrida pelo homem, desde o
instante em que alcança a composição até o instante em que a
ultrapassa?
a) 50m b) 100m c) 150m
d) 200m e) 250m
47
a) Vrel = | VA | + | VB | = 108km/h = 30,0m/s Supondo-se que, nesse gráfico, a velocidade com que as duas
⌬s ⌬s 300 pessoas andam é aproximadamente a mesma, acrescente ao
Vrel = —— ⇒ ⌬t = —— = —–— (s) ⇒ ⌬t = 10,0s gráfico uma semirreta (indicada pela letra C) que corresponda a
⌬t Vrel 30,0
uma pessoa que permaneça imóvel na esteira rolante.
b) ⌬s = Vt A velocidade da esteira é maior que a da pessoa.
| ⌬sA | = 10,0 . 10,0 (m) ⇒ | ⌬sA | = 100m

| ⌬sB | = 20,0 . 10,0 (m) ⇒ | ⌬sB | = 200m
Respostas: a) 10,0s
b) 100m e 200m
46. (PUCC) – Dois corredores percorrem uma pista circular de com-

primento 600m, partindo do mesmo ponto e no mesmo instante.
Se a percorrerem no mesmo sentido, o primeiro encontro entre
eles acontecerá depois de 5,0 minutos. Se a percorrerem em
sentidos opostos, o primeiro encontro ocorrerá 1,0 minuto após a
partida. Admitindo-se constantes as velocidades escalares dos
corredores, em módulo e em m/s, seus valores serão, respectiva-
mente,
a) 5,0 e 5,0 b) 6,0 e 4,0 c) 8,0 e 6,0
d) 10,0 e 5,0 e) 12,0 e 6,0
Resolução
1) mesmo sentido: Vrel = V2 – V1
C
—– = V2 – V1
TE
600 (m/s) = 2,00m/s
V2 – V1 = —–– (1)
300
2) sentidos opostos: Vrel = V2 + V1
C
—–’ = V2 + V1 Resolução
TE Quando a velocidade escalar é constante (movimento uniforme),
600 o gráfico da distância percorrida em função do tempo será uma
V2 + V1 = —–– (m/s) = 10,0m/s (2) semirreta que passa pela origem e a inclinação da semirreta ␪ é
60
função crescente da velocidade, isto é, quanto maior ␪ maior será
(1) + (2): 2V2 = 12,0 ⇒ V2 = 6,0m/s a respectiva velocidade.
Quando a pessoa se desloca com
Em (2): 6,0 + V1 = 10,0 ⇒ V1 = 4,0m/s velocidade constante de módulo
V1, no solo, o ângulo ␪ assume
Resposta: B um valor ␪1.
Quando a pessoa caminha para
47. (PISA-MODELO ENEM) – A fotografia abaixo é de esteiras ro- frente na esteira rolante ( que tem
lantes. velocidade constante de módulo
V2 em relação ao solo) com velo-
cidade constante de módulo V1,
em relação à esteira, sua velocidade em relação ao solo terá
módulo V3 dado por
V3 = V1 + V2
Como V3 > V1 o ângulo ␪, relativo à velocidade V3, terá um valor

␪3 tal que ␪3 > ␪1.
Se a pessoa ficar parada em relação à esteira, sua velocidade rela-
tiva ao solo terá módulo V2 (igual à velocidade da esteira) tal que:
O gráfico distância-tempo, apresentado abaixo, permite comparar V1 < V2 < V3
a marcha em cima da esteira rolante com a marcha ao lado da
esteira rolante. O ângulo ␪, referente à pessoa parada na esteira, assume um
valor ␪2 tal que:
␪1 < ␪2 < ␪3
Resposta: C
48
48. (VUNESP) – Uma composição ferroviária de 200m de compri- LA + LB LA + LB

mento, viajando a uma velocidade constante de módulo a) VA = –––––––– e VB = ––––––––
T1 T2
54 km/h, cruza com outra que viaja a 18 km/h, constante também,
no sentido contrário. O cruzamento completo dura 18 s. O com- (LA + LB) (T1 + T2) (LA + LB) (T1 – T2)
primento da segunda composição é, em metros, de b) VA = ––––––––––––––––– e VB = –––––––––––––––––
a) 1498 b) 1096 c) 448 d) 160 e) 80 T1T2 T1T2
(LA + LB) (T1 + T2) (LA + LB) (T1 – T2)

49. (UFAM) – Dois trens, A e B, se deslocam sobre trilhos retilíneos c) VA = ––––––––––––––––– e VB = –––––––––––––––––
e paralelos com velocidades escalares constantes VA = 30m/s e 2T1T2 T1T2
VB = 20m/s. O trem A mede 140m e demora 30 segundos para
ultrapassar o trem B quando ambos se movimentam no mesmo (LA + LB) (T1 + T2) (LA + LB) (T1 – T2)
d) VA = ––––––––––––––––– e VB = –––––––––––––––––
sentido. O comprimento do trem B em metros vale: 2T1T2 2T1T2
a) 100m b) 120m c) 150m d) 160m e) 220m
LA + LB LA + LB
50. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Numa corrida inter- e) VA = –––––––– e VB = ––––––––
T2 T1
nacional de atletismo, o atleta brasileiro estava 25m atrás do
favorito, o queniano Paul Tergat, quando, no fim da corrida, o
brasileiro reage, imprimindo uma velocidade escalar constante de 54. Dois automóveis, A e B, percorrem trajetórias retilíneas e paralelas
8,0m/s, ultrapassando Tergat e vencendo a prova com uma com velocidades escalares constantes VA = 80km/h e VB = 100km/h.
vantagem de 75m. Admitindo-se que a velocidade escalar de No instante t = 0, os carros estavam lado a lado e num instante
Tergat se manteve constante e igual a 5,5m/s, calcule qual o t = T, o carro B está no km 200 e o carro A está no km 180.
intervalo de tempo decorrido desde o instante em que o brasileiro Determine
reagiu, até o instante em que cruzou a linha de chegada. a) o valor de T.
Admita que ambos descrevem trajetórias retilíneas e paralelas. b) a posição em que os carros estavam lado a lado.
55. Dois atletas, A e B, percorrem uma pista circular de comprimento

51. (FUVEST) – Dois carros percorrem uma pista circular, de raio R,
C = 400m com movimentos uniformes e velocidades escalares
no mesmo sentido, com velocidades de módulos constantes e
VA = 8,0m/s e VB = 6,0m/s.
iguais a V e 3V. O tempo decorrido entre encontros sucessivos
No instante t1 = 0, os atletas A e B estão lado a lado, iniciando a
vale
corrida.
a) πR/3V b) 2πR/3V c) πR/V
O atleta A terá duas voltas de vantagem em relação a B no
d) 2πR/V e) 3πR/V
instante:
a) t2 = 100s b) t2 = 200s c) t2 = 300s
52. Um trem de comprimento L se move lentamente com velocidade d) t2 = 400s e) t2 = 500s
constante de módulo V, em linha reta. Um atleta se desloca em
uma trajetória paralela à do trem com velocidade constante de 56. (VUNESP-MODELO ENEM) – Leia a tirinha a seguir.
módulo 2V.
Considerando-se as informações da tirinha e admitindo-se que a

sua velocidade escalar e a do Sr. Jones sejam constantes, ou seja,
não se levando em conta os prováveis problemas de trânsito das
5 horas, o encontro entre vocês na estrada, suposta retilínea,
ocorreria às
Durante a ultrapassagem do trem, o atleta percorre, em relação a) 5h 20min b) 5h 30min c) 5h 40min
ao solo terrestre, uma distância: d) 12h 40min e) 13h
L
a) –– b) L c) 2L d) 3L 57. (MODELO ENEM) – Dois trens, A e B, ambos com velocidades
2
constantes, de módulos iguais a 30km/h, percorrem a mesma
e) indeterminada em relação a L linha férrea retilínea, em sentidos opostos, indo um de encontro
ao outro.
Um pássaro que voa horizontalmente, em linha reta, parte do
53. Dois trens, A e B, têm comprimentos LA e LB e se movem em
trem A, rumo ao trem B, com trajetória paralela aos trilhos, no
trajetórias retas e paralelas com velocidades constantes de mó-
instante em que a distância entre os trens era de 60km.
dulos VA e VB, sendo VA > VB.
Quando o pássaro chega ao trem B, inverte o sentido de seu
Quando caminham no mesmo sentido, o trem A ultrapassa
movimento até retornar ao trem A, quando novamente inverte o
completamente o trem B em um intervalo de tempo T1.
sentido de seu movimento e assim sucessivamente até ser
Quando caminham em sentidos opostos, os trens A e B gastam
esmagado com a colisão dos trens.
um intervalo de tempo T2 para que ocorra a passagem completa
Despreze o tempo gasto pelo pássaro para inverter o sentido de sua
de um pelo outro (cruzamento).
velocidade e admita que, nos trajetos entre os trens, a velocidade do
Em função de LA, LB, T1 e T2, os valores de VA e VB são dados por
pássaro tem módulo sempre constante e igual a 60km/h.
49
A distância total percorrida pelo pássaro século V. O li é uma antiga unidade de medida de comprimento
a) não está determinada. b) vale 240km. chinesa. Cada li equivalia a, aproximadamente, 500 metros.
c) vale 120km. d) vale 60km.
e) vale 30km. 58. Uma estrada circular à volta de uma montanha tem 300 li de com-
primento. Três pessoas, A, B e C, percorrem a estrada. A pessoa
A caminha a 150 li por dia, a pessoa B, a 120 li por dia e a pessoa
(PISA) – Texto para as questões de 58 a 60. C, a 90 li por dia. Se partirem todas do mesmo ponto, ao mesmo
tempo, e caminharem no mesmo sentido, ao fim de quantos dias
À VOLTA DA MONTANHA voltarão a encontrar-se no ponto de partida pela primeira vez?
a) 5d b) 8d c) 10d d) 12d e) 15d
59. Imagine que existisse uma quarta pessoa, D, que partisse do

mesmo ponto, ao mesmo tempo, caminhando por dia sempre a
mesma distância, mas em sentido contrário. D encontraria C ao
fim de dois dias.
A velocidade escalar de D medida em li por dia seria de:
a) 150 b) 90 c) 60 d) 40 e) 30
60. As pessoas B e D partindo juntas de uma mesma posição X, em

Desde sempre que os textos de matemática incluem problemas sentidos opostos, com as velocidades anteriormente citadas,
para os leitores resolverem. O problema seguinte é adaptado de voltarão a se encontrar na mesma posição X após:
um problema de um livro de matemática de um autor chinês do a) 2d b) 3d c)5d d) 6d e) 8d
9) a) 3,0m/s b) –1,0m 33) C 34) D

c) x = 5,0 d) y = 6,0
10) A 11) a) sA = 2,0 + 2,0t (SI) 35) a) sA = 30,0t (SI) b) TE = 20,0s
sB = –1,0 – 1,0t (SI) sB = 200 + 20,0t (SI) c) T = 40,0s
b) 33,0m
d)
12) a) 72,0km/h 13) C
b) 50,0m
3,0cm
14) a) VM = –––––– ⇒ VM = 30,0cm/s
0,10s
2,0cm
VN = –––––– ⇒ VN = 20,0cm/s
0,10s
b) sM = –12,0 + 30,0t (CGS) 36) A 37) a) VA = 20,0m/s e VB = –30,0m/s

b) sA = –200 + 20,0t (SI)
sN = –12,0 + 20,0t (CGS)
sB = 400 – 30,0t (SI)
15) a) 1ano-luz = 9,6 . 1015m c) TE = 12,0s
b) 8,3 minutos-luz d) sE = 40,0m
16) B 17) C 18) B 19) B 20) C
21) C 22) E 23) E 30) D 38) C 39) E 40) C 41) D
31) a) 10s 32) a) sA = 4,0t (SI)
b) 15s sB = 500 – 6,0t (SI) 48) D 49) D 50) 40s 51) C 52) C
b) tE = 50,0s
c) dE = 200m 53) D 54) a) T = 1,0h 55) D 56) C
d) b) km 100
57) D 58) C 59) C 60) C
50
CAPÍTULO
Cinemática
3 MOVIMENTO
UNIFORMEMENTE VARIADO
N a figura temos uma foto estroboscópica de uma laranja em queda livre.
Na foto estroboscópica as fotos são tiradas em intervalos de tempos iguais.
As distâncias entre fotos sucessivas vão aumentando em progressão aritmética, isto é,

aumentam sempre de um mesmo valor.
O movimento da laranja, desprezando-se o efeito do ar, é uniformemente acelerado.
1. Definição t = 0 ⇔ s = s0
s = A + Bt + Ct2
Em relação a um dado referencial, um movimen-
to é chamado uniformemente variado quando a s 0 = A + B . 0 + C . 02
função horária dos espaços s = f(t) é do segundo
A = s0
grau, isto é, do tipo:
s = A + Bt + Ct2 O parâmetro A representa o espaço inicial s0.
em que A, B e C são parâmetros constantes, com C ≠ 0.

Notas A velocidade escalar instantânea V é obtida a partir
• Podemos ter movimento uniformemente variado da derivação da função s = f(t).
em qualquer trajetória. s = A + Bt + Ct2
• Um ponto material pode ter movimento uniforme-
ds
mente variado em relação a um certo referencial e estar V = ––– = 0 + B + 2Ct
em repouso ou com outro tipo de movimento em relação dt
a outro referencial.
V = B + 2Ct
• No movimento uniformemente variado, o módulo
da velocidade escalar varia e falamos em movimento Se na relação V = f(t) fizermos t = 0 (origem dos
uniformemente acelerado (módulo da velocidade tempos), o valor assumido pela velocidade escalar será
escalar aumenta) e em movimento uniformemente denominado velocidade escalar inicial V0.
retardado (módulo da velocidade escalar diminui).
t = 0 ⇔ V = V0
2. Interpretação V = B + 2C t
física dos parâmetros V0 = B + 2C . 0
B = V0
Se na relação s = f(t) fizermos t = 0 (origem dos tem-
pos), o valor assumido pelo espaço será denominado O parâmetro B representa a velocidade escalar
espaço inicial s0. inicial V0.
51
ou, ainda, lembrando que ⌬s = s – s0:

A aceleração escalar instantânea ␥ é obtida a partir ␥
⌬s = V0t + — t2
da derivação da função V = f(t) 2
V = B + 2C t
3. Gráfico espaço x tempo
ds Como a relação espaço-tempo é do 2.º grau, o respec-
␥ = ––– = 0 + 2C
dt tivo gráfico tem a forma de uma parábola com as seguin-
␥ = 2C tes características:
a) Concavidade para cima (∪), quando a aceleração
␥ escalar ␥ for positiva.
C=— b) Concavidade para baixo (∩), quando a aceleração
2
escalar ␥ for negativa.
O parâmetro C é igual à metade da aceleração es- c) Eixo de simetria na mesma direção do eixo dos es-
calar. paços (paralelo ou coincidente com o eixo dos espaços).
d) Vértice correspondente ao instante em que a velo-
Com a interpretação dos parâmetros A, B e C, a fun- cidade escalar for nula.
ção horária dos espaços pode ser reescrita da seguinte e) Crescente quando a velocidade escalar for positi-
forma: va.
s = A + Bt + Ct2
f) Decrescente quando a velocidade escalar for ne-
␥ gativa.
s = s0 + V0t + — t2 g) Não tem nada que ver com a trajetória descrita
2
pelo móvel.
Exemplos
Gráfico I. Gráfico II.
1) t1 e t3 são os instantes em que o móvel passa pela origem dos espaços (s = 0).
2) t2 (vértice da parábola) é o instante em que o móvel para (V = 0) e, a partir desse instante, inverte o sentido de
seu movimento.
3) No gráfico I, de 0 a t2 o espaço é decrescente e a velocidade escalar é negativa; de t2 em diante o espaço é
crescente e a velocidade escalar é positiva.
4) No gráfico II, de 0 a t2 o espaço é crescente e a velocidade escalar é positiva; de t2 em diante o espaço é
decrescente e a velocidade escalar é negativa.
5) No gráfico I, entre 0 e t2 temos V < 0 e ␥ > 0 e o movimento é retrógrado e retardado; de t2 em diante temos
V > 0 e ␥ > 0 e o movimento é progressivo e acelerado.
52
6) No gráfico II, entre 0 e t2 temos V > 0 e ␥ < 0 e o Notas

movimento é progressivo e retardado; de t2 em diante • O fato de a velocidade escalar ser função do 1.o
temos V < 0 e ␥ < 0 e o movimento é retrógrado e ace- grau do tempo pode ser usado como definição do movi-
lerado. mento uniformemente variado.
• Como a velocidade escalar é função do 1.o grau do
tempo, a velocidade escalar média, entre dois instantes,
4. Velocidade escalar t1 e t2, pode ser calculada pela média aritmética entre as
A relação velocidade escalar-tempo é do 1.o grau e velocidades escalares V1 e V2 nos instantes t1 e t2.
dada por:
␥
s = s0 + V0t + — t2 ⌬s V 1 + V2
2 Vm = –––– = ––––––––
⌬t 2
ds
dt = 0 + V0 + ␥ t
V = –––
• Como a velocidade escalar não é constante, a
velocidade escalar média entre dois instantes, t1 e t2, é
V = V0 + ␥ t
variável, dependendo dos valores de t1 e t2.
5. Gráfico
velocidade escalar x tempo
Como a relação velocidade escalar x tempo é do 1.º grau, o respectivo gráfico tem a forma de uma reta oblíqua em
relação aos eixos do espaço e do tempo com as seguintes características:
a) velocidade escalar crescente, quando a aceleração escalar for positiva.
b) velocidade escalar decrescente, quando a aceleração escalar for negativa.
c) declividade da reta medindo a aceleração escalar.
d) área sob a reta medindo o deslocamento escalar ⌬s.
Exemplos
n ⌬V ⌬V
tg␣ = –––– = ␥ tg␤ = – –––– = – ␥
⌬t ⌬t
tg␣ = –tg ␤ = ␥
53
Demonstremos a propriedade d em um caso particu- • O fato de a velocidade escalar ser variável e a ace-
lar: leração escalar ser constante justifica o nome de movi-
mento uniformemente variado, isto é, a velocidade esca-
lar varia (daí o nome variado), porém de uma maneira
uniforme (daí o termo uniformemente variado).
7. Gráfico
aceleração escalar x tempo
Como a aceleração escalar é constante e diferente de
zero, o gráfico da função ␥ = f(t) será uma reta paralela
ao eixo dos tempos.
n (V + V0)
Área (V x t) = –––––––– . ⌬t
2
V + V0 ⌬s (velocidade
Porém: –––––––– = Vm = –––– escalar média)
2 ⌬t
n ⌬s
Logo: Área (V x t) = –––– . ⌬t
⌬t
n
Área (V x t) = ⌬s
6. Aceleração escalar
Na interpretação dos parâmetros, concluímos que
␥
C= —.
2
Porém, por hipótese, C era um parâmetro constante e

não nulo e, portanto:
No movimento uniformemente variado, a acelera-

ção escalar é constante e não nula.
Nota
Nota
A área sob o gráfico ␥ = f(t) mede a variação da
• O fato de a aceleração escalar ser constante e não
velocidade escalar ⌬V.
nula pode ser usado como definição do movimento uni-
formemente variado. De fato:
• O fato de a aceleração escalar ser constante (não
nula) implica que a aceleração escalar média também n ⌬V
Área (␥ x t) = ␥ (t2 – t1) = –––– . (t2 – t1)
seja constante (para qualquer intervalo de tempo) e igual ⌬t
à aceleração escalar instantânea.
n
⌬V Área (␥ x t) = ⌬V
␥m = –––– = ␥ = constante ≠ 0
⌬t
54
1. (CEFET-PR) – Um móvel parte do repouso em movimento retilí- b) V = V0 + ␥ t

neo e uniformemente variado. V = 6,0 . 20(m/s) = 120m/s ⇒ V = 432km/h
Analise as proposições que se seguem:
(01) A aceleração escalar é diretamente proporcional ao tempo. Respostas: a) 6,0m/s2
(02) O módulo da velocidade escalar é diretamente proporcional b) 432km/h
ao módulo do deslocamento escalar.
(04) O deslocamento escalar é proporcional ao quadrado do tempo.
(08) A velocidade escalar é inversamente proporcional ao tempo. 4. Um carro está com velocidade escalar de 18,0m/s quando é freado
(16) A aceleração escalar e a velocidade escalar são constantes. uniformemente, levando 5,0s para parar. Determine, durante a
Dê como resposta a soma dos números associados aos itens freada:
corretos. a) a aceleração escalar do carro;
b) a distância percorrida;
Resolução
c) a velocidade escalar média.
(01) F: a aceleração escalar é constante. Resolução
(02) F: V 2 = V02 + 2 ␥ ⌬s a) V = V0 + ␥ t
0 = 18,0 + ␥ . 5,0 ⇒ ␥ = –3,6m/s2
|V| = :
2␥⌬s | V | é proporcional a
|⌬s|
⌬s V0 + V
b) ––— = ————
␥ ⌬t 2
(04) C: ⌬s = V0t + — t2
2
⌬s 18,0 + 0
––— = ————— ⇒ ⌬s = 45,0m
␥ 5,0 2
⌬s = — t2
2
⌬s 45,0m
(08) F: V = V0 + ␥t V = ␥t V é proporcional a t. c) Vm = ––— = ———— ⇒ Vm = 9,0m/s
⌬t 5,0s
(16) F: ␥ = constante ≠ 0 ⇔ V variável
Resposta: 04 Respostas: a) –3,6m/s2
b) 45,0m
2. Um carro de corrida parte do repouso e atinge uma velocidade es- c) 9,0m/s
calar de 108km/h em um intervalo de tempo de 6,0s com acele-
ração escalar constante. 5. (PISA-MODELO ENEM) – O intervalo de tempo que decorre entre
Calcule, durante esse intervalo de tempo de 6,0s: o momento em que o motorista de um automóvel vê um obstáculo
a) a aceleração escalar. na estrada e o momento em que começa a frear denomina-se
b) a distância percorrida. tempo de reação. Durante o tempo de reação, o automóvel
c) a velocidade escalar média. continua a se deslocar à mesma velocidade e percorre uma dis-
Resolução tância a que se chama distância de reação (Dr). Quanto menor for
a) V = V0 + ␥t (MUV) a distância de reação, mais depressa se imobiliza o automóvel.
Existe uma fórmula, aceita internacionalmente, que relaciona a
velocidade (v) a que um automóvel se movimenta e a distância de
30,0 = ␥ . 6,0 ⇒ ␥ = 5,0m/s2
reação (Dr). O gráfico dessa relação está representado na figura
seguinte.
␥
b) ⌬s = V0t + — t2
2
5,0
⌬s = —— (6,0)2(m) ⇒ ⌬s = 90,0m
2
⌬s = 90,0m = 15,0m/s
c) Vm = ––– –––––––
⌬t 6,0s
V0 + V 0 + 30,0
ou Vm = –––—— = –––––—— (m/s)= 15,0m/s
2 2
Respostas: a) 5,0m/s2
b) 90,0m
c) 15,0m/s
Com base no texto analise as proposições a seguir:
3. Um avião, ao decolar, percorre 1,20km com aceleração escalar
I) Se um automóvel estiver a 100km/h a distância de reação
constante partindo do repouso, em um intervalo de tempo de 20s.
valerá 30m.
a) Qual a aceleração escalar do avião durante a decolagem?
III) Se o automóvel percorreu 45m desde o instante em que o
b) Com que velocidade escalar o avião decola, em km/h?
motorista viu um obstáculo até iniciar a freada é porque o
Resolução
automóvel estava a 150km/h.
␥ III) A relação entre Dr (em metros) e v (em km/h) é:
a) ⌬s = V0t + –– t2
2 100
Dr = ––––– V
␥ 30
1,20 .103 = –– . 400 ⇒ ␥ = 6,0m/s2
2
a) Apenas I está correta b) Apenas II está correta
55
c) Apenas III está correta d) Apenas I e II estão corretas Resolução

e) Apenas I e III estão corretas. 1) VERDADEIRA
Resolução A aceleração escalar é dada por:
I. VERDADEIRA. Leitura do gráfico. ⌬V
␥ = –––
⌬t
II. VERDADEIRA. Leitura do gráfico.
Para o mesmo ⌬V = 25m/s (barra vermelha) o carro que terá
III. FALSA. maior aceleração é aquele que gastar o menor tempo ⌬t para
Dr = k V esta variação de velocidade.
Para V = 100 ⇔ Dr = 30 O gráfico nos mostra que o menor ⌬t correspondente ao
Dodge Viper GTS.
30
30 = k . 100 ⇒ k = ––––– 2) VERDADEIRA
100
180
V = 180km/h = ––––– (m/s) = 50m/s.
30 3,6
Dr = ––––– V
100 Como os carros partem do repouso (V0 = 0) e a aceleração
escalar é suposta constante (MUV) então a velocidade escalar
Resposta: D será proporcional ao tempo:
V = V0 + ␥ t
6. (MODELO ENEM) – Na tabela a seguir, representamos o desem-
penho de alguns carros esportes mais rápidos que existem. A V0 = 0 ⇔ V=␥t
barra vermelha representa o tempo gasto, em segundos, para o
carro acelerar do repouso a 25m/s (ou 90km/h). A barra vermelha indica o tempo gasto para atingir 25m/s; para
A barra azul representa o tempo gasto, em segundos, para o carro atingir a velocidade escalar de 50m/s o tempo será o dobro
percorrer 400m a partir do repouso. daquele indicado pela barra vermelha.
O Chevrolet Corvette gasta, aproximadamente, 5s para atingir
25m/s e gastará 10s para atingir 50m/s.
3) FALSA
A relação entre o deslocamento ⌬s e o tempo t é dada por:
␥
⌬s = V0t + ––– t2
2
␥
V0 = 0 ⇒ ⌬s = ––– t2
2
Portanto o deslocamento ⌬s é proporcional a t2.

Quando ⌬s se reduz à metade passando de 400m para 200m
Considere as proposições que se seguem, supondo que os carros o tempo não se reduz à metade (passando de 13s para 6,5s
tenham aceleração escalar constante nos primeiros 400m de como sugere a proposição) e sim fica dividido por
2 1,4 e
percurso. 13s
1) O carro que tem maior aceleração escalar é o Dodge Viper GTS. passaria de 13s para ––– 9,3s
2) Para atingir uma velocidade escalar de 180km/h, o Chevrolet 1,4
Corvette gasta, aproximadamente, 10s. 4) VERDADEIRA
3) Para percorrer uma distância de 200m, o Acura NSX-T gasta, O Porsche 911 aumentou sua velocidade escalar de 0 a 25m/s
aproximadamente, 6,5s. em, aproximadamente, 5s
4) A aceleração escalar do Porsche 911 é de, aproximadamente,
5m/s2. ⌬V 25
␥ = ––– = ––– ( m/s2) = 5m/s2
Estão corretas: ⌬t 5
a) apenas 1, 2 e 4; b) apenas 1 e 4; c) apenas 1, 3 e 4;
d) apenas 1 e 2; e) 1, 2, 3 e 4. Resposta: A
7. No instante em que o sinal de trânsito autoriza a passagem, um 9. Uma motocicleta, com velocidade escalar de 72,0km/h, tem seus
caminhão de 24m de comprimento, que estava parado, começa a freios acionados repentinamente e para após 20,0s.
atravessar uma ponte de 145m de comprimento, movendo-se Admita que, durante a freada, a aceleração escalar manteve-se
com uma aceleração escalar constante de 2,0m/s2. O tempo que constante.
o caminhão necessita para atravessar completamente a ponte é, a) Qual o módulo da aceleração escalar que os freios propor-
em segundos, cionaram à motocicleta?
a) 12 b) 13 c) 14 d) 145 e) 169 b) Qual a distância percorrida pela motocicleta desde o instante
em que foram acionados os freios até a sua parada total?
8. Uma partícula está em movimento uniformemente variado com
aceleração escalar de 2,0m/s2. 10. Um automóvel está com velocidade escalar de 108km/h, quando
No instante t1 = 4,0s, sua velocidade escalar vale 18,0m/s. freia com aceleração escalar constante, até parar. A freada durou 10s.
Determine Durante a freada, a aceleração escalar do carro tem módulo a e a
a) a velocidade escalar inicial V0. distância percorrida vale D.
b) o deslocamento escalar entre os instantes t0 = 0 e t1 = 4,0s. Os valores de a e D são dados por
56
a) a = 3,0m/s2 e D = 300m b) a = 1,5m/s2 e D = 300m

c) a = 1,5m/s2 e D = 150m d) a = 6,0m/s2 e D = 250m
e) a = 3,0m/s2 e D = 150m
11. (UNICAMP-SP) – Um corredor de 100 metros rasos percorre os

20 primeiros metros da corrida em 4,0s com aceleração escalar
constante. A velocidade escalar atingida ao final dos 4,0s é então
mantida constante até o final da corrida.
a) Qual é a aceleração escalar do corredor nos primeiros 20m da
corrida?
b) Qual é a velocidade escalar atingida ao final dos primeiros
20m?
c) Qual é o tempo total gasto pelo corredor em toda a prova?
12. Um carro e um caminhão partem simultaneamente do repouso,

com acelerações escalares constantes e respectivamente iguais a
2,0m/s2 e 1,0m/s2, descrevendo trajetórias retilíneas e paralelas.
No instante t = t1, a partícula passa pela primeira vez pela posição
O caminhão no momento das partidas está a uma distância D à
B indicada na figura. No instante t = 2t1, a partícula estará
frente do carro.
a) na posição A. b) na posição B.
Quando o carro alcança o caminhão, este se terá deslocado 32,0m.
c) na posição C. d) na posição D.
Pede-se:
e) em uma posição indeterminada.
a) Quanto tempo o carro gastou para alcançar o caminhão?
b) Quais as velocidades escalares do carro e do caminhão no
15. (FUND. CARLOS CHAGAS UNIFICADO-RJ) – Uma partícula
instante em que o carro alcança o caminhão?
movimenta-se sobre uma reta orientada graduada em metros. Em
c) O valor da distância D.
certo momento t = 0, aciona-se um cronômetro. A tabela abaixo
associa a posição da partícula sobre a reta com o tempo marcado
no cronômetro desde o seu acionamento.
13. (UNESP) – Um rato, em sua ronda à procura de alimento, está
parado em um ponto P, quando vê uma coruja espreitando-o. t(s) 0 2,0 3,0 4,0
Instintivamente, ele corre em direção à sua toca T, localizada a s(m) 3,0 3,0 0 –5,0
42,0m dali, em movimento retilíneo uniforme e com velocidade
escalar V = 7,0m/s. Ao ver o rato, a coruja dá início à sua caçada, Considerando-se que a partícula tenha aceleração escalar cons-
em um mergulho típico, como o mostrado na figura. tante, durante todo o movimento, calcule
a) a velocidade escalar inicial V0 (instante t = 0).
b) a aceleração escalar.
16. (UnB-MODELO ENEM) – Um carro passa por um veículo da

polícia estacionado em frente a uma escola, com velocidade
escalar constante de 90km/h. Imediatamente, o veículo policial
parte, na captura do infrator, com aceleração escalar constante de
5,0m/s2.
O tempo gasto pelos policiais para alcançar o infrator, seguindo a
mesma trajetória retilínea, foi de:
a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s
17. (MODELO ENEM) – Em uma propaganda na televisão, foi anun-

ciado que um certo carro, partindo do repouso, atinge a velo-
cidade escalar de 108km/h em 10s. Admitindo-se que a acelera-
Ela passa pelo ponto P 4,0s após a partida do rato com uma
ção escalar do carro seja constante, assinale a opção que traduz
velocidade escalar de 20,0m/s.
corretamente os valores da aceleração escalar e da distância
a) Considerando-se a hipótese de sucesso do rato, em quanto
percorrida pelo carro neste intervalo de tempo de 10s.
tempo ele atinge a sua toca?
b) Qual deve ser a aceleração escalar constante da coruja, a partir Aceleração Escalar (m/s2) Distância Percorrida (m)
do ponto P, para que ela consiga capturar o rato no momento a) 6,0 3,0 . 102
em que ele atinge a entrada de sua toca?
b) 1,5 7,5 . 101
c) 3,0 3,0 . 102
14. Uma partícula descreve uma trajetória circular em movimento
uniformemente variado. d) 3,0 1,5 . 102
No instante t = 0, a partícula parte do repouso do ponto A per-
correndo a circunferência indicada na figura, no sentido horário. e) 1,5 1,5 . 102
8. Propriedades
A Equação de Torricelli relaciona a velocidade escalar com o deslocamento ⌬s, independentemente da variável
tempo.
Para obtê-la, retomemos as equações da velocidade escalar instantânea e da velocidade escalar média (entre os
instantes zero e t).
57
V = V0 + ␥ t (1) Multiplicando-se membro a membro (3) e (4), tem-se:

⌬s
(V – V0) (V + V0) = ␥ t . 2 –––
⌬s V + V0 t
––– = –––––– (2)
t 2 2
V2 – V0 = 2 ␥ ⌬s
2
De (1): V – V0 = ␥ t (3) V2 = V 0 + 2 ␥ ⌬s
O gráfico da função V = f(s) terá a forma de uma
⌬s (4)
De (2): V + V0 = 2 ––– parábola cujo eixo de simetria é o eixo dos espaços. Em
t particular para V0 = 0 e s0 = 0, teremos os gráficos repre-
sentados a seguir.
⌬s = V0T + — ␥ T2 (2n – 1)
2
␥
Para n = 1, temos: ⌬s1 = V0T + — T2
2
Para intervalos de tempo sucessivos e de mesma du-
␥
ração T, os respectivos deslocamentos escalares variam Para n = 2, temos: ⌬s2 = V0T + — T2 . 3
em progressão aritmética cuja razão r é dada por: 2
␥
r = ␥ . T2 Para n = 3, temos: ⌬s3 = V0T + — . T2 . 5
. 2
.
em que ␥ é a aceleração escalar. .
Portanto, os valores de ⌬s estão variando numa pro-
Demonstração gressão aritmética cuja vazão r é dada por:
O enésimo intervalo de duração T começa no ins- r = ⌬s2 – ⌬s1
tante t1 = (n – 1)T e termina no instante t2 = nT. Para me-
lhor compreensão, imagine T = 1s e pense no quarto se- ␥ ␥
gundo começando no instante t1 = 3s e terminando no r = 3 — T2 – — T2
2 2
instante t2 = 4s.
O deslocamento escalar ⌬s entre os instantes t1 e t2 é r = ␥ T2
dado por:
⌬s = s2 – s1, em que: Para esclarecer melhor a propriedade, vamos exem-
␥
s1 = s0 + V0 (n – 1) T + — [(n – 1)T]2 plificar.
2 Um ponto material parte do repouso da origem dos
␥ espaços com aceleração escalar constante ␥ = 2,0m/s2.
s2 = s0 + V0 (nT) + — (nT)2 Consideremos intervalos de tempo sucessivos de du-
2
ração T = 1,0s.
␥ ␥
⌬s = V0T [n – (n – 1)] + — T2 [n2 – (n – 1)2] Isto posto, temos: s = — t2
2 2
58
2,0 Propriedade (a)

Para t = 1,0s ⇒ s1 = ––– (1,0)2 (m) = 1,0m
2
2,0
Para t = 2,0s ⇒ s2 = ––– (2,0)2 (m) = 4,0m
2
2,0 Usando a Equação de Torricelli em relação às duas
Para t = 3,0s ⇒ s3 = ––– (3,0)2 (m) = 9,0m passagens pela posição A, temos:
2
2 2
V r = V0 + 2 ␥ ⌬s
No 1.º segundo, o ponto material teve um desloca- 2 2
Como ⌬s = 0, então: V r = V0 ⇒ |Vr | = | V0 |
mento escalar ⌬s1 = s1 – s0 = 1,0m.
No 2.º segundo, o ponto material teve um desloca- Como houve inversão no sentido do movimento, re-
mento escalar ⌬s2 = s2 – s1 = 3,0m. sulta:
No 3.º segundo, o ponto material teve um desloca- Vr = – V 0
mento escalar ⌬s3 = s3 – s2 = 5,0m.
Propriedade (b)
Portanto, os deslocamentos escalares estão aumen-
Usando a relação V = f (t), calculemos os tempos de
tando em progressão aritmética de razão 2,0m. Verifique
ida (tAB) e de volta (tBA):
a equação r = ␥ . T2.
V = V0 + ␥ t
V0
Ida: 0 = V0 + ␥ tAB ⇒ tAB = – –––
␥
Podemos obter uma relação no movimento unifor- V0

Volta: – V0 = 0 + ␥ tBA ⇒ tBA = – –––
memente variado na qual não figura o parâmetro veloci- ␥
dade escalar inicial. Portanto: tAB = tBA
Para tanto, tomemos as funções:
s = f(t) e V = f(t):
␥
⌬s = V0 t + — t2 (1)
2
V = V0 + ␥ t (2)
Relação Velocidade Aceleração
De (2): V0 = V – ␥ t espaço-tempo escalar escalar
␥ Movimento contante e constante
Em (1): ⌬s = (V – ␥ t) t + — t2 1.º grau
2 Uniforme não nula e nula
Movimento função
␥ constante
⌬s = Vt – ␥ t2 + — t2 Uniformemente 2.º grau do 1.o grau
2 e não nula
Variado do tempo
␥
⌬s = Vt – — t2 Movimento
2 Movimento Uniforme
Uniformemente Variado
em que V é a velocidade escalar no instante t. ␥
s = s0 + Vt s = s0 + V0t + ––– t2
2
⌬s
V = Vm = ––– = constante ≠ 0 V = V0 + ␥ t
Consideremos uma partícula em movimento unifor- ⌬t
memente retardado passando por uma posição A, com ⌬V
␥ = ␥m = constante = 0 ␥ = ␥m = ––– = cte ≠ 0
velocidade escalar V0 , parando em uma posição B e ⌬t
retornando, pela mesma trajetória, para a posição A. ⌬s V0 + V
Demonstremos as seguintes propriedades: ––– = –––––––
⌬t 2
a) A velocidade escalar de retorno ao ponto A será
igual a –V0. V2 = V02 + 2␥⌬s
b) O tempo de ida de A para B e o tempo de volta ␥

de B para A serão iguais. s = s0 + Vt – ––– t2
2
59
18. O gráfico a seguir representa a velocidade escalar de um móvel VB = 2VA

em função do tempo.
VA 1
––– = –––
VB 2
Resposta: B
20. (UFRJ) – Numa competição automobilística, um carro aproxima-se

de uma curva em grande velocidade. O piloto, então, pisa no freio
durante 4,0s e consegue reduzir a velocidade escalar do carro para
30m/s. Durante a freada, o carro percorreu 160m. Supondo-se que
os freios imprimiram ao carro uma aceleração escalar constante,
calcule a velocidade escalar do carro no instante em que o piloto
pisou no freio.
Resolução
Sendo a aceleração escalar constante e não nula (MUV), temos:
⌬s V0 + Vf
Vm = ––– = ––––––––
⌬t 2
A velocidade escalar média entre os instantes 0 e t2
160 V0 + 30
a) depende da trajetória do móvel. b) depende do valor de t1. –––– = –––––––––
c) depende do valor de t2. d) vale 1,0m/s. 4,0 2
e) vale 5,0m/s. 80 = V0 + 30
Resolução
Como a função V = f(t) é do 1.o grau (reta oblíqua), o movimento é
uniformemente variado e, portanto, temos: V0 = 50m/s
V0 + Vf – 4,0 + 6,0
Vm = –––––––– = ––––––––––– (m/s) = 1,0m/s Resposta: 50m/s
2 2
Resposta: D 21. Um avião “Jumbo” precisa atingir uma velocidade de módulo
360km/h para decolar.
19. (UFPE) – No instante t = 0, um automóvel B parte do repouso Suponha que a aceleração escalar da aeronave seja constante e
com aceleração escalar constante, descrevendo uma trajetória que a pista tenha um comprimento útil de 2,0km.
retilínea. Determine
No mesmo instante t = 0, um outro automóvel A passa ao lado de a) o mínimo valor da aceleração escalar necessária para a decola-
B com movimento uniforme, descrevendo uma trajetória retilínea gem.
paralela à de B. b) o intervalo de tempo que dura a decolagem, nas condições do
O diagrama a seguir representa as coordenadas de posição de item (a).
cada um desses automóveis em função do tempo. c) a velocidade escalar média, durante a decolagem, nas condi-
ções do item (a).
Resolução
a) V 2 = V02 + 2␥ ⌬s (MUV)
(1,0 . 102)2 = 2 ␥mín 2,0 . 103
10 . 103 = 4,0 . 103 ␥mín ⇒ ␥mín = 2,5m/s2
⌬s V0 + Vf
b) ––– = ––––––––
⌬t 2
2,0 . 103 0 + 1,0 . 102

––––––––– = ––––––––––––– ⇒ ⌬t = 40s
⌬t 2
V0 + Vf
c) Vm = –––––––
2
VA 0 + 1,0 . 102
No instante t = 5,0s, a razão ––– entre as velocidades escalares Vm = ––––––––––––– (m/s) ⇒ Vm = 50m/s = 180km/h
VB 2
de A e B vale: Respostas: a) 2,5m/s2
1 1 b) 40s
a) ––– b) ––– c) 1 d) 2 e) 3 c) 180km/h
3 2
Resolução 22. (VUNESP-Modificado) – Um ponto material percorre uma traje-
Entre os instantes 0 e 5,0s, os automóveis terão deslocamentos tória retilínea com movimento uniformemente variado.
iguais e, portanto: O ponto material passa por um ponto A no instante t1 = 0 com velo-
0 + VB cidade escalar V1 = 10,0m/s e retorna ao ponto A no instante
Vm = Vm ⇒ VA = ––––––––
(A) (B)
2 t2 = 4,0s.
60
A aceleração escalar desse ponto material e a distância total per-

corrida entre os instantes t1 e t2 são, respectivamente, iguais, em
unidades do SI, a:
a) 0 e 20,0 b) 2,0 e 10,0 c) 5,0 e 20,0
d) –2,0 e 10,0 e) –5,0 e 20,0
Resolução
1) Quando o ponto material retornar ao ponto A:
V22 = V21 + 2␥⌬s
V22 = V21 + 0 ⇒ V2 = –V1 = –10,0m/s
2) V = V0 + ␥ t
–10,0 = 10,0 + ␥ . 4,0 ⇒ ␥ = – 5,0m/s2
23. A velocidade do homem muda de sentido a partir do instante:
3) a) 10s b) 20s c) 25s d) 35s e) 40s
Resolução
A velocidade muda de sentido quando a velocidade escalar trocar
de sinal.
VB2 = VA2 + 2␥⌬s Isso ocorre unicamente no instante t = 40s, de acordo com o
gráfico dado.
0 = 100 + 2 (–5,0) AB ⇒ AB = 10,0m Resposta: E
24. O homem se desloca no sentido negativo da trajetória com movi-

4) A distância total percorrida (ida e volta) é dada por:
mento acelerado no intervalo de:
d = AB + BA ⇒ d = 20,0m a) 0 a 10s b) 10s a 20s c) 20s a 25s
d) 35s a 40s e) 40s a 50s
Resposta: E Resolução
Se o homem se deslocar no sentido negativo sua velocidade
escalar será negativa (movimento retrógado).
(GAVE-MODELO ENEM) – Texto para as questões 23 e 24. A velocidade escalar é negativa nos intervalos de 0 a 10s e de 20s
a 40s.
Newton também contribuiu para o estudo do movimento dos O movimento será acelerado quando o módulo da velocidade au-
corpos na Terra, formulando leis que estão referidas na sua obra mentar; isto ocorre nos intervalos de 20s a 25s e de 40s em diante.
“Principia”. A velocidade escalar será negativa e o movimento acelerado,
O gráfico representa a velocidade escalar V de um homem que se simultaneamente, no intervalo entre 20s e 25s.
desloca numa trajetória retilínea, em função do tempo, t. Resposta: C
25. (VUNESP) – Em uma estrada plana e retilínea, cujo limite de b) a velocidade detectada pelo radar para um segundo carro que
velocidade é 80km/h, um automóvel passa, com velocidade segue o primeiro com velocidade escalar de aproximação de
escalar constante de 108km/h, por um guarda parado ao lado da 40km/h, considerando-se que o primeiro carro mantém a
pista. Imediatamente, o guarda acelera uniformemente sua velocidade escalar de 72km/h.
potente motocicleta e alcança o infrator após 60s. A velocidade
máxima atingida pelo guarda e a distância percorrida por ele até 28. Uma partícula, em movimento uniformemente variado, descreve
alcançar o infrator são, respectivamente, uma trajetória retilínea e passa por um ponto A, no instante t1 = 0,
a) 108km/h e 1800m. com velocidade escalar V0 > 0 e aceleração escalar ␥ = – 4,0m/s2.
b) 108km/h e 900m. A partícula para em um ponto B, a uma distância D do ponto A, e
c) 216km/h e 900m. retorna ao ponto A no instante t2 = 8,0s.
d) 216km/h e 1800m
e) 216km/h e 3600m.
26. (UNESP-Modificado) – Um veículo de corrida parte do repouso

e, mantendo aceleração escalar constante, percorre 400m em
linha reta num tempo de 10,0s. Determine
a) a velocidade escalar ao final dos 400m;
b) o tempo que o carro levou para percorrer os primeiros 200m. a) Demonstre que a partícula retorna ao ponto A com velocidade
escalar – V0.
b) Calcule o valor de V0.
27. (UNESP) – Em um determinado instante, um carro que corre a c) Determine o instante em que a partícula atinge o ponto B.
108km/h em uma estrada horizontal e plana começa a diminuir d) Calcule o valor de D.
sua velocidade, com o módulo da aceleração constante. Per- e) Complete as lacunas.
corrido 1,0km, a redução da velocidade é interrompida ao mesmo Esta questão serve para mostrar algumas propriedades do
tempo em que o carro é detectado por um radar fotográfico. O movimento uniformemente variado:
radar mostra que o carro está na velocidade limite permitida de
1) Quando o corpo vai e volta, a velocidade escalar de retorno
72km/h. Assim, pede-se:
a) o módulo da aceleração, em m/s2, durante o intervalo de tempo é …………… da velocidade escalar inicial.
em que a velocidade do carro diminuiu de 108km/h para 2) O tempo de ida de A para B e o tempo de volta de B para
72km/h. A são …………… .
61
29. (UNICAMP) – Uma possível solução para a crise do tráfego aéreo 32. Uma partícula em trajetória retilínea está em movimento pro-
no Brasil envolve o emprego de um sistema de trens de alta gressivo e uniformemente variado, a partir do instante t = 0, de
velocidade conectando grandes cidades. Há um projeto de uma modo que em cada segundo de movimento a partícula percorre
ferrovia de 400 km de extensão que interligará as cidades de São uma distância de 1,0m a mais do que no segundo anterior.
Paulo e Rio de Janeiro por trens que podem atingir até 300 km/h. Com os dados apresentados, podemos concluir que a aceleração
a) Para ser competitiva com o transporte aéreo, estima-se que a escalar é igual a
viagem de trem entre essas duas cidades deve durar, no a) –1,0m/s2 b) –2,0m/s2 c) 0
máximo, 1 hora e 40 minutos. Qual é a velocidade escalar mé- d) 1,0m/s2 e) 2,0m/s2
dia de um trem que faz o percurso de 400 km nesse tempo?
b) Considere um trem viajando em linha reta com velocidade 33. (FUVEST-MODELO ENEM) – A velocidade máxima permitida em
constante. A uma distância de 30 km do final do percurso, o uma auto-estrada é de 110 km/h (aproximadamente 30 m/s) e um
trem inicia uma desaceleração uniforme de 0,06 m/s2, para carro, nessa velocidade, leva 6,0s para parar completamente.
chegar com velocidade nula a seu destino. Calcule o módulo Diante de um posto rodoviário, os veículos devem trafegar no
da velocidade do trem no início da desaceleração. máximo a 36km/h (10m/s). Assim, para que carros em velocidade
máxima consigam obedecer ao limite permitido, ao passar em
frente do posto, a placa referente à redução de velocidade deverá
30. (UNICAMP) – Em muitas praças de pedágio de rodovias, existe
ser colocada antes do posto, a uma distância, pelo menos, de
um sistema que permite a abertura automática da cancela. Ao se
a) 40m b) 60m c) 80m d) 90m e) 100m
aproximar, um veículo munido de um dispositivo apropriado é
Admita, na solução, que durante as freadas a aceleração escalar
capaz de trocar sinais eletromagnéticos com outro dispositivo na
permaneça constante e sempre com o mesmo valor.
cancela. Ao receber os sinais, a cancela abre-se automaticamente
e o veículo é identificado para posterior cobrança. Para as
34. (MODELO ENEM) – Dois carros, A e B, descrevem trajetórias
perguntas a seguir, desconsidere o tamanho do veículo.
retilíneas e paralelas.
a) Um veículo aproxima-se da praça de pedágio a 40km/h. A
O carro A tem movimento uniforme.
cancela recebe os sinais quando o veículo se encontra a 50m
O carro B parte do repouso e tem movimento uniformemente
de distância. Qual é o tempo disponível para a completa
variado.
abertura da cancela?
No instante t = 0, os carros A e B estão lado a lado.
b) O motorista percebe que a cancela não abriu e aciona os freios
No instante t = T, os carros A e B estão novamente lado a lado.
exatamente quando o veículo se encontra a 40m dela, impri-
O gráfico espaço x tempo a seguir traduz o evento descrito.
mindo uma desaceleração de módulo constante. Qual deve
ser o valor dessa desaceleração para que o veículo pare exa-
tamente na cancela?
31. (UFRRJ) – Verificar as condições dos freios do seu automóvel é

essencial para se evitar acidentes. Suponha que você esteja
dirigindo em uma estrada, completamente horizontal e reta, com
uma velocidade constante de módulo 108km/h, quando vê um
cachorro parado no meio da pista, a 50m do ponto onde você se
encontra. Imediatamente, aciona os freios do veículo,
desacelerando constantemente, à razão de 36km/h a cada
segundo. Com base nessas considerações, responda:
a) Para saber se o cachorro será ou não atropelado, calcule a A velocidade escalar do carro B, no instante t = T,
distância percorrida pelo automóvel, em metros, até parar D 2D 3D 4D
completamente. a) vale –– b) vale –– c) vale –– d) vale ––
T T T T
b) Calcule o tempo, em segundos, decorrido do instante em que
o freio foi acionado até a parada do veículo. e) não pode ser relacionada com D e T
35. (MACKENZIE-SP) – O gráfico a seguir representa a coordenada b) V = V0 + ␥ t

de posição (espaço) em função do tempo para o movimento de 0 = 18,0 + ␥ . 3,0 ⇒ ␥ = – 6,0m/s2
uma partícula, que tem aceleração escalar constante.
Respostas: a) 18,0m/s
b) –6,0m/s2
36. O gráfico a seguir representa a velocidade escalar, em função do

tempo, para o movimento de uma partícula que está posicionada
na origem dos espaços no instante t = 0.
Pedem-se:
a) a velocidade escalar inicial.
b) a aceleração escalar.
Resolução
⌬s V0 + Vf 27,0 V0 + 0
a) ––– = –––––– ––– ⇒ ––––– = –––– –––– ⇒ V0 = 18,0m/s
⌬t 2 3,0 2
62
Determine Para o encontro:

a) a aceleração escalar da partícula. sB = sA
b) a velocidade escalar inicial.
c) a equação horária dos espaços. 2,0 (t – 2,0)2 = 9,0t
Resolução 2,0 (t2 – 4,0t + 4,0) = 9,0t
⌬V 30,0 – 18,0 2,0t2 – 8,0t + 8,0 = 9,0t
a) ␥ = –––– = ––––––––––– (m/s2) ⇒ ␥ = 4,0m/s2
⌬t 5,0 – 2,0 2,0t2 – 17,0t + 8,0 = 0
b) V = V0 + ␥ t
–
17,0 + 289 – 64 17,0 +
– 15,0
t = –––––––––––––––––– (s) = –––––––––––
18,0 = V0 + 4,0 . 2,0 ⇒ V0 = 10,0m/s 4 4
17,0 + 15,0
␥ T = –––––––––––– (s) = 8,0s
c) s = s0 + V0t + ––– t2 4
2
Resposta: D
s = 10,0t + 2,0 t2 (SI)
Respostas: a) 4,0m/s2 39. Em certo instante, passam pela origem dos espaços de uma mes-
ma trajetória retilínea os móveis A, com movimento uniforme, e
b) 10,0m/s
B, com movimento uniformemente variado. A partir desse ins-
c) s = 10,0t + 2,0 t2 (SI)
tante, constrói-se o diagrama abaixo, representando a velocidade
escalar dos móveis em função do tempo.
37. Uma partícula está percorrendo o eixo x e o quadrado da velocida-
de escalar (V2) varia com a coordenada de posição x, conforme o
gráfico a seguir:
O tempo gasto pelo móvel B para ficar 32,0m à frente do A é:

a) 2,0s b) 4,0s c) 6,0s d) 7,0s e) 8,0s
Resolução
1) O móvel A está em MU e a sua equação horária dos espaços
é dada por:
s = s0 + Vt ⇒ sA = 10,0t (SI)
Sabe-se que, na origem dos tempos (t = 0), a partícula está posi-
cionada na origem dos espaços. 2) O móvel B está em MUV e a sua aceleração escalar é dada
Determine por:
a) a aceleração escalar da partícula.
b) a velocidade escalar inicial.
Resolução
a) V 2 = V 02 + 2 ␥ x b) V 2 = V 02 + 2 ␥ x
12,0 = V 02 + 2 ␥ . 2,0 (1) 12,0 = V 02 + 2(–1,0) . 2,0
8,0 = V 02 + 2 ␥ . 4,0 (2) V 02 = 16,0
(1) – (2): 4,0 = –4,0 ␥
V0 = 4,0m/s
␥ = –1,0m/s2
Respostas: a) –1,0m/s2 ⌬V
␥ = ––––
b) 4,0m/s ⌬t
38. Um automóvel B está parado no quilômetro zero de uma estrada 4,0

␥ = –––– (m/s2)
retilínea. No instante t = 0 é ultrapassado pelo automóvel A, que 2,0
se move com uma velocidade escalar constante de 9,0m/s. Dois
segundos mais tarde, o automóvel B parte, do repouso, no mes- ␥ = 2,0m/s2
mo sentido, com uma aceleração escalar constante de 4,0m/s2. O
A equação horária dos espaços do móvel B é:
automóvel A será alcançado pelo automóvel B no instante:
a) 2,0s b) 4,0s c) 6,0s d) 8,0s e) 10,0s ␥ 2,0
s = s0 + V0t + ––– t2 ⇒ sB = 6,0t + –––– t2
Resolução 2 2
O km 0 é a origem dos espaços; o instante em que o carro A pas-
sa pela origem dos espaços é a origem dos tempos. sB = 6,0t + 1,0t2 (SI)
A (MU): s = s0 + Vt
3) Para que o móvel B fique 32,0m à frente do móvel A:
sA = 9,0t (SI)
sB – sA = 32,0 ⇒ 6,0t + 1,0t2 – 10,0t = 32,0
␥
B (MUV): s = s0 + V0t + ––– t2
2 → t1 = – 4,0s (rejeitada)
4,0
sB = –––– (t – 2,0)2 (SI)
2
1,0t2 – 4,0t – 32,0 = 0 –––
Resposta: E
→ |t2 = 8,0s
63
(PISA-MODELO ENEM) – Texto para as questões de 40 a 45.

FRENAGEM
A distância aproximada para parar um veículo em movimento é igual à soma da:
폷 distância percorrida antes que o motorista comece a acionar os freios (distância do tempo de reação);
폷 distância percorrida durante a frenagem (distância de frenagem).
O diagrama em caracol abaixo apresenta a distância teórica de parada para um veículo em boas condições de frenagem (um motorista
particularmente atento, freios e pneus em perfeitas condições, uma rua seca com um bom revestimento do solo) e como a distância de parada
depende da velocidade.
40. Para um veículo a 110km/h, considere as proposições a seguir:

I. A distância percorrida pelo veículo, durante o tempo de reação do motorista, é igual a 22,9m.
II. A distância total percorrida até a parada do veículo é igual a 101m.
III. O tempo gasto para que o veículo pare completamente vale 5,84s.
IV. A distância percorrida enquanto os freios estão acionados (distância de frenagem) vale 85,4m.
Estão corretas apenas:
a) I e II b) I e III c) II e IV d) I, II e III e) II, III e IV
Resolução
No diagrama em caracol para a velocidade de 110km/h fazemos as leituras:
distância percorrida durante o tempo de reação: 22,9m
distância necessária para parar o veículo: 101m
tempo gasto para parar completamente o veículo: 5,84s
I (V) II (V) III (V)
64
IV (F) A distância de frenagem é dada pela diferença entre a Dtotal = Dreação + Dfrenagem
distância necessária para parar o veículo e a distância Dtotal = 16,7 + 1,4 (57,7 – 16,7) (m)
percorrida durante o tempo de reação:
Resposta: D
D = 101m – 22,9m
Nota: aumentar 40% equivale a multiplicar por 1,4
D = 78,1m
Resposta: D 43. De acordo com o diagrama apresentado, o tempo de reação do
41. Um motorista para seu veículo em uma distância total de 70,7m. motorista é um valor mais próximo de:
O módulo da velocidade inicial do veículo e o tempo gasto para a) 0,50s b) 0,60s c) 0,75s
pará-lo completamente são dados, respectivamente, por: d) 0,80s e) 0,85s
a) 90km/h e 18,7s b) 100km/h e 4,92s c) 90km/h e 4,92s Resolução
180
d) 100km/h e 5,38s e) 80km/h e 4,46s Para a velocidade inicial V0 = 180km/h = –––– m/s = 50m/s, o
Resolução 3,6
No diagrama em caracol para Dtotal = 70,7m fazemos a leitura: diagrama nos dá uma distância percorrida de 37,5m durante o
Tempo gasto para parar completamente o veículo: 4,92s tempo de reação.
Velocidade inicial: 90km/h
⌬s 37,5 37,5
Resposta: C Portanto: V = –––– ⇒ 50 = –––– ⇒ TR = –––– (s)
⌬t TR 50
42. Em uma rua molhada, com todas as outras condições constantes, a
distância de frenagem (não a distância de tempo de reação) TR = 0,75s
aumenta em 40%.
Qual das seguintes opções mostra como calcular a distância total
Resposta: C
(em metros) para parar um veículo viajando a 80km/h em pista
molhada?
44. De acordo com o diagrama apresentado, o módulo da aceleração
a) 57,7 . 1,4 b) (57,7 – 16,7) . 1,4
escalar do carro, durante a freada, é um valor mais próximo de:
c) 16,7 + (57,7 . 1,4) d) 16,7 + (57,7 – 16,7) . 1,4
a) 2,0m/s2 b) 3,0m/s2 c) 5,0m/s2
e) 16,7 + (57,7 + 16,7) . 1,4
d) 6,0m/s2 e) 8,0m/s2
Resolução
Resolução
Para V0 = 80km/h a distância percorrida durante o tempo de
reação continua valendo 16,7m (leitura do gráfico). Para a velocidade inicial V0 = 50m/s, o diagrama nos dá uma
A distância de frenagem é dada pela diferença entre a distância distância de frenagem Df = 245,5m – 37,5m = 208,0m.
necessária para parar o veículo (57,7m) e a distância percorrida Usando-se a Equação de Torricelli:
durante o tempo de reação (16,7m) e como aumentou em 40%
V 2 = V02 + 2 ␥ ⌬s
temos:
Dfrenagem = 1,4 (57,7 – 16,7)m 0 = (50)2 + 2 (–a) 208,0 ⇒ 416a = 2500 ⇒ a 6,0m/s2
A distância total será dada por: Resposta: D
45. Abaixo, estão cinco pares de gráficos que representam a distância percorrida durante o tempo de reação do motorista e a distância percorrida
durante seu tempo de frenagem. A velocidade do carro em quilômetros por hora está mostrada no eixo horizontal e a distância percorrida em
metros está no eixo vertical. Qual dos pares de gráficos é coerente com as informações dadas no diagrama em caracol?
65
Resolução 2aDF = V02

1) Durante o tempo de reação o movimento é uniforme e vale a
relação: V02
DR = V0 TR DF = –––
2a
Como o tempo de reação é constante então DR e V0 são
proporcionais e o gráfico será uma semirreta que passa pela Como a é suposto constante então DF é proporcional a V02 e o
origem gráfico da função DF = f(V0) será um arco de parábola com
concavidade voltada para cima e com vértice no ponto de
coordenadas V0 = 0 e DF = 0 e com eixo de simetria
coincidente com o eixo de DF.
2) A distância percorrida durante a frenagem varia em função de

V0 conforme a equação de Torricelli:
V 2 = V02 + 2␥ ⌬s
0 = V02 + 2 (–a) DF Resposta: C
46. O gráfico dado abaixo representa a posição, em função do tempo,

de uma partícula em movimento retilíneo uniformemente variado.
A velocidade escalar inicial do móvel e o seu deslocamento es-

Determine calar de 0 a 5,0s valem, respectivamente,
a) a função horária dos espaços; a) – 4,0m/s e – 5,0m b) – 6,0m/s e – 5,0m
b) a função horária da velocidade escalar; c) 4,0m/s e 25,0m d) – 4,0m/s e 5,0m
c) a velocidade escalar da partícula ao passar pela origem dos
e) – 6,0m/s e 25,0m
espaços.
49. O gráfico abaixo representa a velocidade escalar de uma partícula,
47. (VUNESP) – Na pista de skate da praia de Pajuçara, um garoto
desliza, a partir do repouso, descrevendo um movimento retilíneo em função do tempo.
uniformemente acelerado, cujo gráfico da posição, em função do
tempo, está na figura.
A correspondente função horária, em unidades SI, é dada por

a) S = 20 + 20.t – 5,0.t2 b) S = 20 – 20.t – 2,5.t2
c) S = 20 – 1,25.t2 d) S = 20 – 2,5.t2
e) S = 20 – 5,0.t2 A velocidade escalar média, entre os instantes t1 e t3:
a) não pode ser calculada porque não conhecemos os valores de
48. (PUC-SP) – O gráfico a seguir representa a variação da velocidade t1 e t3
escalar, com o tempo, de um móvel em movimento retilíneo b) vale 4,0m/s c) vale 3,0m/s
uniformemente variado. d) vale 2,0m/s e) vale 1,0m/s
66
50. (UNESP) – Um veículo A, locomovendo-se com velocidade es- O tempo gasto pelo atleta desde a partida até cruzar a linha de
calar constante, ultrapassa um veículo B, no instante t = 0, quan- chegada, com precisão de décimo de segundo, é igual a
do B está começando a se movimentar. Os veículos percorrem a) 9,9s b) 10,0s c) 10,1s
trajetórias retilíneas e paralelas. d) 10,2s e) 10,3s
53. O gráfico a seguir representa a aceleração escalar ␥ em função da

coordenada de posição x, para o movimento de uma partícula que
descreve uma trajetória retilínea.
Na posição x = 0, a velocidade da partícula é nula.
Analisando-se os gráficos, pode-se afirmar que

a) B ultrapassou A no instante t = 8 s, depois de percorrer 160 m.
b) B ultrapassou A no instante t = 4 s, depois de percorrer 160 m.
c) B ultrapassou A no instante t = 4 s, depois de percorrer 80 m.
d) B ultrapassou A no instante t = 8 s, depois de percorrer 320 m.
e) B ultrapassou A no instante t = 4 s, depois de percorrer 180 m. A velocidade escalar da partícula, na posição x = 2,0m, vale:
a) 2,0m/s b) 4,0m/s c) 5,0m/s
51. (UFC) – O gráfico da figura abaixo representa a variação da velo- d) 6,0m/s e) 7,0m/s
cidade escalar com o tempo para dois carros, A e B, que viajam
em uma estrada retilínea e no mesmo sentido. No instante t = 0,
o carro B ultrapassa o carro A. Nesse mesmo instante, os dois (UERJ-MODELO ENEM) – Utilize as informações a seguir para
motoristas percebem um perigo à frente e acionam os freios responder às questões de números 54 e 55.
simultaneamente.
Um professor e seus alunos fizeram uma viagem de metrô para
estudar alguns conceitos de cinemática escalar. Durante o
percurso, verificaram que, sempre que partia de uma estação, a
composição deslocava-se com aceleração escalar praticamente
constante durante 15 segundos e, a partir de então, durante um
intervalo de tempo igual a T segundos, com velocidade escalar
constante.
54. O gráfico que melhor descreve a variação temporal da velocidade

escalar v da composição, observada a partir de cada estação, é:
Tomando-se como base o gráfico, determine

a) a aceleração escalar dos dois carros.
b) a equação horária da posição para os dois carros. Adote s0= 0.
c) a equação horária da velocidade escalar para os dois carros.
d) a distância entre os dois carros no instante em que suas
velocidades escalares são iguais.
52. Um atleta, na corrida de 100 metros rasos, descreve uma traje-

tória retilínea e sua velocidade escalar V varia com a coordenada
de posição x, conforme o gráfico a seguir.
55. A variação temporal do espaço s da composição, observado a par-
tir de cada estação, está corretamente representada no seguinte
gráfico:
Nos primeiros 24,0m de percurso, a aceleração escalar do atleta

se manteve constante.
67
56. O gráfico a seguir representa a posição (espaço) de um carro e de

um ônibus em função do tempo. 20,0 – T = 16,0 ⇒ T = 4,0
2) ⌬s = Área (V x t)
4,0 . 12,5
d = ––––––––– (m) ⇒ d = 25m
2
Resposta: D
58. Considere que a velocidade escalar de um corpo varia com o tem-

po de acordo com o gráfico abaixo.
O carro e o ônibus podem ter a mesma velocidade escalar instan-

tânea no instante:
a) t = 0 b) t = t1 c) t = t2 d) t = t3 e) t = t4
Resolução
Quando o gráfico espaço x tempo é curvo, a velocidade escalar,
em um instante t, é dada pela declividade da reta tangente ao grá-
fico s = f(t), no instante t.
Para que o carro tenha velocidade escalar igual à do ônibus, a
tangente à linha tracejada deve ser paralela à reta s = f(t), que
define o movimento do ônibus; isto pode ocorrer no instante t3.
No intervalo de tempo de 0 a 6,0s, a velocidade escalar média, em

m/s, vale:
a) 3,0 b) 4,5 c) 5,5 d) 6,0 e) 7,0
Resolução
2,0 2,0 . 9,0
⌬s = 6,0 + (9,0 + 3,0) ––– + ––––––– (m)
2 2
⌬s = 6,0 + 12,0 + 9,0(m) = 27,0m
Resposta: D
⌬s 27,0m
2) Vm = ––– = –––––– = 4,5m/s
57. (MODELO ENEM) – O gráfico a seguir representa o desempenho ⌬t 6,0s
de um atleta olímpico em uma corrida de 100m rasos, em
trajetória retilínea. O tempo de percurso do atleta foi de 10s. Resposta: B
59. O gráfico da velocidade escalar em função do tempo, no movi-

mento retilíneo de uma partícula, é mostrado a seguir:
O valor de T indicado no gráfico e a distância percorrida d, com

movimento acelerado, são dados por:
a) T = 5,0 e d = 25m b) T = 4,0 e d = 50m
c) T = 4,0 e d = 75m d) T = 4,0 e d = 25m
e) T = 3,0 e d = 25m
Resolução
A distância total percorrida pela partícula, entre os instantes t1 = 0
12,5
100 = (10,0 + 10,0 – T) –––– e t2 = 5,0s, é igual a:
2
a) 2,5m b) 27,5m c) 30,0m d) 32,5m e) 35,0m
68
Resolução 61. (MODELO ENEM) – Considere uma corrida olímpica de 100 me-
⌬s = Área (V x t) tros rasos. Os gráficos a seguir pretendem representar a velo-
cidade do atleta vencedor em função do tempo. Para escolher o
– 1,0 . 5,0
1) ⌬s1 = – A1 = –––––––––– (m) = – 2,5m gráfico correto, você deve ter uma ideia do recorde mundial para
2 este tipo de corrida e saber que a máxima velocidade que o atleta
10,0 pode atingir é inferior a 50,4km/h (ou 14,0m/s).
2) ⌬s2 = A2 = (4,0 + 2,0) –––– (m) = 30,0m É dado ainda que a distância percorrida pelo atleta é medida pela
2
área sob o gráfico velocidade x tempo.
3) d = | ⌬s1 | + | ⌬s2 | = 32,5m O gráfico que pode traduzir o desempenho do atleta é:
Resposta: D
60. O gráfico aceleração escalar (a) x tempo (t) a seguir corresponde

ao movimento de uma partícula, desde o instante em que sua
velocidade escalar é igual a 5m/s.
O valor da velocidade escalar da partícula, no instante 30s, está

expresso na opção:
a) zero b) 10m/s c) 15m/s d) 25m/s e) 35m/s
Resolução
No gráfico da aceleração escalar em função do tempo, a área
mede a variação da velocidade escalar:
Resolução
⌬V n
= área (a x t) O recorde mundial é da ordem de 10,0s a opção correta é a (d).
Observe que a área do gráfico nos dá o valor de 100m:
⌬V1 = 10 . 2,0(m/s) = 20m/s
12,5
⌬s = (10,0 + 6,0) –––– (m) = 100m
(20 + 10) 1,0 2
⌬V2 = – –––––––––––– (m/s) = – 15m/s
2 A opção b também apresenta um tempo de corrida de 10,0s con-
⌬V = ⌬V1 + ⌬V2 = 5m/s dizente com o real e a distância percorrida (área do gráfico) também
vale 100m porém a velocidade máxima atingida 16,0m/s = 57,6km/h
Como ⌬V = Vf – V0, então: 5 = Vf – 5 ⇒ Vf = 10m/s é exagerada.
Resposta: B Resposta: D
62. (UNESP) – Os movimentos de dois veículos, I e II, estão regis- 63. (OBF) – A figura representa a velocidade escalar de um móvel em
trados nos gráficos da figura. função do tempo.
a) Qual a aceleração escalar do móvel?

b) Calcule o deslocamento escalar sofrido pelo móvel entre os
instantes t = 0 e t = 4,0s.
c) Determine a velocidade escalar média do móvel entre os
Admita que o gráfico II seja um arco de parábola com vértice no instantes t = 0 e t = 4,0s.
instante t = 0.
Sendo os movimentos retilíneos, a velocidade escalar do veículo 64. (UERJ) – A velocidade escalar de um corpo que se desloca ao
II no instante em que alcança I é longo de uma reta, em função do tempo, é representada pelo
a) 15 m/s b) 20 m/s c) 25 m/s d) 30 m/s e) 35 m/s seguinte gráfico:
69
c) Qual é a distância percorrida pelo atleta durante os 20s?

d) Qual a velocidade escalar média do atleta durante a com-
petição?
68. Em uma corrida olímpica de 200m, um atleta fez o percurso total

em 25s.
O gráfico a seguir representa a velocidade escalar do atleta du-
rante esta corrida.
Calcule a velocidade escalar média desse corpo no intervalo entre

0 e 30 segundos.
65. (UESPI) – A velocidade escalar de uma partícula em movimento

retilíneo em função do tempo é dada pelo gráfico abaixo.
Pedem-se:
a) a velocidade escalar média do atleta, neste percurso de 200m;
b) a velocidade escalar (em km/h) com que o atleta cruza a linha
de chegada;
c) a aceleração escalar do atleta no instante t = 5,0s.
69. Considere dois atletas, A e B, disputando uma corrida de 100 me-

tros rasos, em uma pista retilínea.
O desempenho dos atletas é traduzido pelos gráficos velocidade
escalar x tempo.
Determine, entre os instantes t1 = 0 e t2 = 9,0s,

a) o deslocamento escalar;
b) a distância percorrida.
66. (UFES) – Um predador, partindo do repouso, alcança sua veloci-

dade escalar máxima de 54 km/h em 4,0s e mantém essa veloci-
dade escalar durante 10,0s. Se não alcançar sua presa nesses
14,0s, o predador desiste da caçada. A presa, partindo do repou-
so, alcança sua velocidade escalar máxima, que é 4/5 da veloci-
dade escalar máxima do predador, em 5,0s e consegue mantê-la
por mais tempo que o predador. Admite-se que as acelerações
são constantes, que o início do ataque e da fuga são simultâneos
e que predador e presa partem do repouso descrevendo uma
mesma trajetória retilínea. Para o predador obter sucesso em sua
caçada, a distância inicial máxima entre ele e a presa é de
a) 21m b) 30m c) 42m d) 72m e) 80m
67. (UNICAMP-SP) – O gráfico abaixo representa, aproximadamente,

a velocidade escalar de um atleta em função do tempo, em uma
competição olímpica.
Considere as proposições que se seguem:
I. No percurso dos 100m, a velocidade escalar média dos dois
atletas foi de 10,0m/s.
II. Os dois atletas cruzam a linha de chegada no mesmo instante.
III. Os dois atletas cruzam a linha de chegada com velocidades
escalares iguais.
IV. No instante t = 1,0s, a aceleração escalar de A é maior que a
de B.
a) I, II e III b) I, II e IV c) I e II
d) I e IV e) II e III
70. Um automóvel está com velocidade escalar de 180km/h quando

o motorista vê um obstáculo à sua frente, no instante t = 0. O
intervalo de tempo entre a visão do perigo e o ato de acionar o
a) Em que intervalo de tempo o módulo da aceleração escalar freio é o tempo de reação do motorista, que corresponde ao in-
tem o menor valor? tervalo de tempo para que a ordem emanada do cérebro chegue
b) Em que intervalo de tempo o módulo da aceleração escalar é ao seu pé. Para uma pessoa jovem, com saúde perfeita, esse
máximo? tempo é da ordem de 0,7s.
70
Contudo, o motorista está embriagado e o seu tempo de reação Sabe-se que no instante t = 46,0s o carro B tem uma volta de
é maior. vantagem em relação ao carro A.
Sabe-se que o carro percorreu 250m desde que o motorista viu o
perigo até a imobilização do carro. O gráfico a seguir representa a
velocidade escalar do carro em função do tempo.
Adotando-se π 3, o valor de R é
a) 20,0m b) 30,0m c) 40,0m d) 50,0m e) 60,0m
O tempo de reação do motorista foi de:
a) 0,8s b) 0,9s c) 1,0s d) 1,2s e) 1,4s 74. O gráfico a seguir representa a velocidade escalar de um atleta,
em função do tempo, em uma corrida de 100m rasos.
71. (AMAN) – O gráfico da aceleração escalar de um móvel em movi-
mento retilíneo, em função do tempo, é representado na figura. A
aceleração escalar média no intervalo de 0 a 30 segundos vale:
Considere as proposições que se seguem:

(I) A velocidade escalar média do atleta foi de 10,0m/s.
(II) O atleta cruzou a linha de chegada com uma velocidade
escalar de 43,2km/h.
5 7 1 (III) No instante t = 3,0s, a aceleração escalar do atleta foi igual a
a) – –– m/s2 b) – –– m/s2 c) – –– m/s2 3,6m/s2.
2 3 3
(IV)O atleta percorreu 50,0m em movimento uniforme.
1 1 Estão corretas apenas:
d) –– m/s2 e) –– m/s2 a) I, II e III b) I e II c) I, II e IV
3 2
d) II, III e IV e) III e IV
72. O gráfico a seguir representa a velocidade escalar em função do 75. Dois carros, A e B, assimiláveis a pontos materiais, percorrem no
tempo para o movimento de uma partícula que parte da origem mesmo sentido uma mesma trajetória circular de raio R = 60m.
das coordenadas, no instante t = 0, e percorre o eixo 0x. No instante t = 0, os carros estão lado a lado. (A distância entre
eles é considerada nula.)
O gráfico a seguir representa as velocidades escalares de A e B
em função do tempo de movimento.
Determine
a) a distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo
entre t0 = 0 e t1 = 12,0s. No instante t1 = 19s, a distância entre os carros vale d1 e, no instante
b) a coordenada de posição x no instante t1 = 12,0s. t2 = 38s, a distância entre os carros vale d2.
c) o instante t2 em que a partícula retorna à origem das Dados:
coordenadas. 1) Considere π igual a 3.
2) O comprimento C de uma circunferência de raio R é dado por
73. Considere uma pista de corridas circular e de raio R. Dois carros, C = 2 π R.
A e B, partem da mesma posição, no instante t = 0, com velo- 3) A distância d entre os carros A e B é a medida do segmento de
cidades escalares variando com o tempo, conforme os gráficos a reta AB, conforme indicado na figura.
seguir. Os valores de d1 e d2 são:
71
a) d1 = 0 e d2 = 0 b) d1 = 120m e d2 = 0 c) A e B atingem a mesma altura final.

c) d1 = 180m e d2 = 0 d) d1 = 120m e d2 = 240m d) A e B atingem a mesma altura no instante t0.
e) d1 = 180m e d2 = 120m e) A e B mantêm altura constante entre os instantes t1 e t2.
76. (UNESP-MODELO ENEM) – O motorista de um veículo A é obri-

gado a frear repentinamente quando avista um veículo B à sua
frente, locomovendo-se no mesmo sentido, com uma velocidade
escalar constante menor que a do veículo A. Ao final da desa-
celeração, o veículo A atinge a mesma velocidade escalar de B, e
passa também a se locomover com velocidade escalar constante.
O movimento, a partir do início da freada, é descrito pelo gráfico
da figura.
78. (MODELO ENEM) – Quando um carro sofre uma colisão traseira
o ocupante do veículo pode ter lesões do pescoço provocada pelo
chamado efeito chicote. Quando o carro é bruscamente acelerado
para frente, por causa de sua inércia a cabeça do ocupante é
projetada para trás, por cima do banco.
O gráfico a seguir representa a aceleração do tronco e da cabeça
de uma pessoa durante uma colisão que começa no instante t = 0.
Considerando-se que a distância que separava ambos os veículos

no início da freada era de 32,0m, ao final dela a distância entre
ambos é de
a) 1,0 m b) 2,0 m c) 3,0 m d) 4,0 m e) 5,0 m
77. (FUVEST-MODELO ENEM) – As velocidades de crescimento

vertical de duas plantas, A e B, de espécies diferentes, variaram, Quando a cabeça começou a acelerar (t = 110s) a velocidade do
em função do tempo decorrido após o plantio de suas sementes, tronco tinha módulo igual a:
como mostra o gráfico. a) 3,6km/h b) 7,2km/h c) 10,5km/h d) 11km/h e) 12km/h
É possível afirmar que Dados: admita que o tronco e a cabeça estão inicialmente em
a) A atinge uma altura final maior do que B. repouso e que a variação de velocidade é medida pela área sob o
b) B atinge uma altura final maior do que A. gráfico aceleração x tempo
79. Uma partícula move-se ao longo do eixo dos x de modo que sua
coordenada de posição (espaço) varia com o tempo conforme o
gráfico a seguir, formado por três arcos de parábola com vértices
nos instantes t1, t3 e t5.
Resolução
Observar que
O gráfico que melhor representa a velocidade escalar da partícula,
em função do tempo, é: 1) nos vértices das parábolas (t1, t3 e t5), a velocidade escalar é
nula;
2) quando o espaço é crescente, a velocidade escalar é positiva
(por isso, V0 > 0);
3) enquanto for a mesma parábola (mesmo MUV), temos a
mesma reta oblíqua no gráfico V = f(t).
Resposta: A
72
N
80. (UNIFENAS-MG-MODELO ENEM) – Numa linha de metrô, duas ⌬s = Área (V x t)
estações, A e B, distam 300m uma da outra.
(2,7 + 0,7)
O trem do metrô pode atingir uma velocidade escalar máxima de ⌬s = ––––––––– 10,0(m) ⇒ ⌬s = 17,0m
20,0m/s. 2
Nas fases de aceleração e de freada, o módulo da aceleração es- Respostas: a) 2,7s
calar do metrô tem valor máximo de 5,0m/s2. b) 17,0m
O tempo mínimo para o trem partir do repouso da estação A e
voltar ao repouso na estação B é de: 82. (ESCOLA NAVAL-RJ) – Considere uma partícula em movimento
a) 4,0s b) 10,0s c) 19,0s d) 31,0s e) 45,0s sobre uma trajetória retilínea, de tal maneira que a sua velocidade
Resolução escalar varia em relação ao tempo, de acordo com a função
1) Cálculo do tempo gasto nas fases de aceleração e freada: horária: V = – 0,50t + 4,0 (SI).
A distância total percorrida pela partícula, entre os instantes t = 0
V = V0 + ␥ t (MUV) e t = 12s, é de:
20,0 = 0 + 5,0 t1 ⇒ t1 = 4,0s a) 32,0m b) 22,0m c) 20,0m d) 14,0m e) 8,0m
Resolução
2) Construção do gráfico velocidade escalar x tempo: 1) V = – 0,50t + 4,0 (SI)
t1 = 0 ⇒ V1 = 4,0m/s
t2 = 12s ⇒ V2 = – 2,0m/s
20,0
300 = (x + 4,0 + x – 4,0) –––– 2) ⌬s = Área (V x t)
2
8,0 . 4,0
30,0 = 2,0x ⇒ x = 15,0 ⇒ T = (x + 4,0)s ⇒ ⌬s1 = ––––––––– (m) = 16,0m
T = 19,0s 2
4,0 . 2,0
Resposta: C ⌬s2 = – ––––––––– (m) = – 4,0m
2
81. (VUNESP) – O tempo de reação (intervalo de tempo entre o ins- 3) d = | ⌬s1 | + | ⌬s2 | = 20,0m
tante em que uma pessoa recebe a informação e o instante em Resposta: C
que reage) de certo motorista é 0,7s, e os freios podem reduzir a
velocidade escalar de seu veículo à razão máxima de 5,0m/s em 83. (ESCOLA NAVAL-RJ) – Uma partícula possui velocidade escalar
cada segundo. Supondo-se que esteja dirigindo com velocidade igual a 2,0m/s no instante t0 = 0 e percorre uma trajetória retilínea.
constante de módulo 10,0m/s, determine Sabe-se que a aceleração escalar da partícula varia, em relação ao
a) o tempo mínimo decorrido entre o instante em que avista algo tempo, de acordo com o gráfico a seguir.
inesperado, que o leva a acionar os freios, até o instante em
que o veículo para.
b) a distância percorrida nesse tempo.
Resolução
a) 1) O tempo de freada é dado por:
V = V0 + ␥ t
0 = 10,0 – 5,0t1 ⇒ t1 = 2,0s
2) O tempo mínimo possível (T) é dado por:
T = t1 + tR
em que tR é o tempo de reação. A distância percorrida pela partícula, entre os instantes t0 = 0 e
t1 = 6,0s, vale:
T = (2,0 + 0,7)s ⇒ T = 2,7s a) 10,0m b) 22,0m c) 32,0m d) 42,0m e) 51,0m
Resolução
b) O gráfico velocidade escalar x tempo é o seguinte: 1) ⌬V = área (␥ x t) = 2,0 . 3,0 (m/s) = 6,0m/s
2) Gráfico velocidade escalar x tempo:
73
3) ⌬s = Área (V x t) O tempo de reação do motorista foi de:

2,0 a) 0,8s b) 0,9s c) 1,0s d) 1,2s e) 1,4s
⌬s = (8,0 + 2,0) ––– + 4,0 . 8,0 (m)
2 Resolução
⌬s = 10,0 + 32,0 (m)
⌬s = 42,0m
Resposta: D
84. (MODELO ENEM) – Um automóvel está com velocidade escalar

de 180km/h quando o motorista vê um obstáculo à sua frente, no
instante t = 0. O intervalo de tempo entre a visão do perigo e o
ato de acionar o freio é o tempo de reação do motorista, que
corresponde ao intervalo de tempo para que a ordem emanada do
cérebro chegue ao seu pé. Para uma pessoa jovem, com saúde
perfeita, esse tempo é da ordem de 0,7s. 1) A velocidade inicial do carro tem módulo V0 tal que:
Contudo, o motorista está embriagado e o seu tempo de reação
é maior. 180
V0 = 180km/h = –––– (m/s) = 50m/s
Sabe-se que o carro percorreu 250m desde que o motorista viu o 3,6
perigo até a imobilização do carro. O gráfico a seguir representa a
velocidade escalar do carro em função do tempo. 2) A área sob o gráfico V = f(t) mede a distância percorrida pelo
carro e o seu cálculo permite obter o valor de tR
⌬s = área (V x t)
50
250 = (9,0 + tR) ––––
2
9,0 + tR = 10,0
TR = 1,0s
Resposta C
85. Um carro descreve uma trajetória retilínea e sua coordenada de Intervalo MU ou Sinal Sinal Progressivo Acelerado
posição varia com o tempo, conforme o gráfico a seguir. de tempo MUV de V de ␥ ou retrógrado ou retardado
0 → t1
t1 → t2
t2 → t3
t3 → t4
t4 → t5
t5 → t6
MU = movimento uniforme
MUV = movimento uniformemente variado
Os trechos OA, BCD e EF são ramos de parábolas com eixos de V = velocidade escalar
simetria na direção do eixo dos espaços e AB e DE são ␥ = aceleração escalar
segmentos de reta.
a) No local indicado na folha de respostas, construa o gráfico da 86. O gráfico a seguir representa a coordenada de posição em função
velocidade escalar em função do tempo. do tempo para uma partícula que se move ao longo de um eixo Ox.
O gráfico é constituído por três arcos de parábola distintos: ABC,

b) Preencha a tabela com a classificação do movimento nos di- CDE e EF, com vértices em B, D e F, respectivamente.
versos intervalos de tempo citados. Pede-se:
74
a) Construir, no local indicado, o gráfico da velocidade escalar da imobilização do carro para o motorista em estado normal
partícula, em função do tempo. (tempo de reação de 0,5s) e para o motorista alcoolizado
b) Classifique o movimento como progressivo ou retrógrado, (tempo de reação de 1,0s).
acelerado ou retardado, nas secções BC e EF. b) Calcule, a partir dos gráficos, as distâncias percorridas pelo
carro desde a visão do perigo até a imobilização do carro, nas
87. (OBF) – Um motorista espera o sinal de trânsito abrir. Quando a duas situações propostas.
luz verde acende, o carro é acelerado uniformemente durante
6,0s na razão de 2,0m/s2, após o que ele passa a ter velocidade 92. O gráfico a seguir representa a velocidade escalar V de um atleta
escalar constante. No instante em que o carro começou a se olímpico, em função de sua coordenada de posição x.
mover, ele foi ultrapassado por um caminhão movendo-se no O atleta descreve uma trajetória retilínea e a competição é de
mesmo sentido com velocidade escalar constante de 10,0 m/s. 100m rasos.
Após quanto tempo e a que distância da posição de partida do
carro os dois veículos se encontrarão novamente?
88. Uma partícula desloca-se em trajetória retilínea de tal modo que sua
velocidade escalar varia com o tempo de acordo com a relação:
V = 20,0 – 2,0t (SI)
A distância total percorrida pela partícula, entre os instantes t1= 0
e t2= 20s, vale:
a) 25m b) 50m c) 75m d) 100m e) 200m
89. (UFRJ) – Um móvel parte do repouso e descreve uma trajetória

retilínea durante um intervalo de tempo de 50s, com a aceleração
escalar indicada no gráfico a seguir.
Nos primeiros 20m de corrida, o movimento é uniformemente
variado e nos 80m finais, o movimento é uniforme.
Sabe-se que o atleta completou a corrida em 10,0s.
a) Qual a forma do gráfico V = f(x) para os primeiros 20m? Justi-
fique sua resposta.
b) Calcule o valor da velocidade escalar Vf com que o atleta cruza
a linha de chegada.
c) Calcule a aceleração escalar do atleta na posição x = 10m.
d) Construa o gráfico quantitativo da velocidade escalar do atleta
em função do tempo.
93. Um trem de metrô percorre entre duas estações próximas uma

a) Faça um gráfico da velocidade escalar do móvel no intervalo distância D em trajetória retilínea.
de 0 até 50s. Tanto na arrancada como na freada, para não causar desconforto
b) Calcule a distância percorrida pelo móvel nesse intervalo. aos passageiros, o módulo máximo da aceleração do trem vale a.
O tempo de percurso mínimo entre as duas estações ocorre
90. (UNESP) – Uma composição de metrô deslocava-se com a velo- quando na primeira metade do percurso a aceleração escalar do
cidade escalar máxima permitida de 72km/h, para que fosse trem vale a e na segunda metade (freada) vale –a.
cumprido o horário estabelecido para a chegada à estação A. Por Nas condições de tempo de percurso mínimo, a velocidade esca-
questão de conforto e segurança dos passageiros, a aceleração (e lar máxima do trem vale Vmáx e o tempo total de percurso vale T.
desaceleração) máxima permitida, em módulo, é 0,8m/s2. Em função de a e de D, os valores de Vmáx e T são dados por:
Experiente, o condutor começou a desaceleração constante no

momento exato e conseguiu parar a composição corretamente na D D
a) Vmáx =
aD e T = ––– b) Vmáx =
aD e T = –––
estação A, no horário esperado. Depois de esperar o desem- a 2a
barque e o embarque dos passageiros, partiu em direção à esta-
ção B, a próxima parada, distante 800m da estação A. Para

2D D
percorrer esse trecho em tempo mínimo, impôs à composição a c) Vmáx =
2aD e T = ––– d) Vmáx =
2aD e T = 2 –––
aceleração e desaceleração máximas permitidas, mas obedeceu à a a
velocidade máxima permitida. Utilizando-se as informações

apresentadas, e considerando-se que a aceleração e a desace- D
leração em todos os casos foram constantes, calcule e) Vmáx =
aD e T=2 –––
a
a) a distância que separava o trem da estação A, no momento
em que o condutor começou a desacelerar a composição.
94. (UFC) – Um trem, após parar em uma estação, tem aceleração
b) o tempo gasto para ir da estação A até a B.
escalar de acordo com o gráfico da figura abaixo, até parar nova-
mente na próxima estação.
91. Denomina-se tempo de reação de um motorista o intervalo de
tempo entre a visão de um perigo iminente e o ato de acionar o
freio.
Este tempo de reação é o tempo que a ordem proveniente do cére-
bro gasta para chegar ao pé da pessoa, no ato de acionar o freio.
Considere que, para uma dada pessoa, o tempo de reação seja
0,5s e que o carro esteja com velocidade de módulo V0 = 108km/h.
A aceleração que os freios podem proporcionar ao veículo tem
módulo constante a = 6,0 m/s2.
Para a mesma pessoa, agora alcoolizada, o tempo de reação
passa a ser de 1,0s.
a) Construa o gráfico velocidade escalar x tempo desde a visão
do perigo (pedestre atravessando a rua à frente do carro) até a
75
Assinale a alternativa que apresenta os valores corretos de tf, o

tempo de viagem entre as duas estações, e da distância entre as
estações. A trajetória do trem é retilínea.
a) 80s, 1600m b) 65s, 1600m c) 80s, 1500m
d) 65s, 1500m e) 90s, 1500m
95. (FUVEST-MODELO ENEM) – Na figura, estão representadas as

velocidades escalares, em função do tempo, desenvolvidas por
um atleta, em dois treinos, A e B, para uma corrida de 100m
rasos.
a) 0m b) 50m c) 100m d) 250m e) 500m
97. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um carro se desloca numa

trajetória retilínea e sua velocidade escalar, em função do
tempo, a partir do instante t = 10,0s, está representada no
gráfico. Se o carro partiu do repouso e manteve uma aceleração
escalar constante até t = 15,0s, a distância percorrida, desde sua
partida até atingir a velocidade escalar de 6,0m/s, vale:
a) 12,5m b) 18,0m c) 24,5m d) 38,0m e) 84,5m
Com relação aos tempos gastos pelo atleta para percorrer os

100m, podemos afirmar que, aproximadamente,
a) no B levou 0,4s a menos que no A.
b) no A levou 0,4s a menos que no B.
c) no B levou 1,0s a menos que no A.
d) no A levou 1,0s a menos que no B.
e) no A e no B levou o mesmo tempo.
96. (FUVEST-MODELO ENEM) – Dois trens, A e B, fazem manobra

em uma estação ferroviária deslocando-se paralelamente sobre
trilhos retilíneos. No instante t = 0, eles estão lado a lado. O
gráfico representa as velocidades escalares dos dois trens a partir
do instante t = 0 até t = 150s, quando termina a manobra. A
distância entre os dois trens no final da manobra é:
7) B 32) D 33) C 34) B

8) a) 10,0m/s b) 56,0m
ds
9) a) 1,0m/s2 b) 200m 46) a) S = 3,0 + 2,0t – 1,0t2 (SI) b) V = ––– = 2,0 – 2,0t (SI)
dt
10) E c) V = – 4,0m/s
11) a) 2,5m/s 2 b) 10m/s c)12,0s 47) C 48) B 49) D 50) A
12) a) 8,0s b) 8,0m/s e 16,0m/s c) 32,0m 51) a) ␥B = – 4,0 m/s2 b) sA = 20,0 t – 1,5 t2 (SI)
13) a) 6,0s b) 1,0m/s2 ␥A = – 3,0 m/s2 sB = 25,0 t – 2,0 t2 (SI)
14) A c) VA = 20,0 – 3,0 t (SI) d) d = ⌬sB – ⌬sA = 12,5m
15) a) V0 = 2,0m/s b) ␥ = –2,0m/s2 VB = 25,0 – 4,0 t (SI)
16) A 17) D 25) D 52) E 53) C 54) A 55) C 62) D
26) a) 80,0m/s b) 5,0
2s 7,0s 63) a) 4,0m/s2 b) 32,0m c) 8,0m/s
27) a) 0,25m/s2 b) 112km/h 64) 10m/s
28) a) V2 = V02 + 2 ␥ ⌬s. No trajeto A → B → A temos ⌬s = 0 e 65) a) ⌬s = ⌬s1 + ⌬s2 = –40,0m
Vr2 = V02 ⇒ Vr = –V0 b) A distância percorrida entre t = 0 e t = 9,0s vale 56,0m
66) C
b) V0 = 16,0m/s c) tB = 4,0s d) D = 32,0m
67) a) 6s a 16s b) 0 a 6s c) 2,0 . 102m d) 10m/s
e) 1) simétrica 68) a) 8,0m/s b) 36km/h c) 1,0m/s2
2) iguais 69) B 70) C 71) C
29) a) 240km/h b) 60m/s ou 216km/h 72) a) 72m b) 48m c) 16,0s
30) a) 4,5s b) ␥ –1,5m/s 2 e ␥ 1,5m/s 2 73) D 74) A 75) B 76) B 77) B
31) a) 45m b) 3,0s 78) B
76
85) a) b) A distância percorrida pelo móvel no intervalo de 0 a 50s

é a área sob o gráfico da velocidade entre esses instantes,
ou seja,
(1/2) . 20s . (40m/s) + (1/2) [40(m/s) + 10(m/s)] . (50s – 20s) = 1150m
90) a) 250m b) 65s
91) a) Motorista em estado normal:
b)
Intervalo MU ou Sinal Sinal Progressivo Acelerado
de tempo MUV de V de ␥ ou retrógrado ou retardado
0 → t1 MUV V>0 ␥>0 Progressivo Acelerado
t1 → t2 MU V>0 ␥=0 Progressivo —
t2 → t3 MUV V>0 ␥<0 Progressivo Retardado
t3 → t4 MUV V<0 ␥<0 Retrógrado Acelerado
t4 → t5 MU V<0 ␥=0 Retrógrado —
t5 → t6 MUV V<0 ␥>0 Retrógrado Retardado

Motorista embriagado:
86) a)
b) 90,0m e 105m
92) a) O gráfico de V = k

V<0 retrógrado x é um arco de parábola cujo eixo de
b) BC
␥ < 0 acelerado simetria é o eixo x.
b) 12,0m/s

V>0 progressivo
EF c) 3,6 m/s2
␥<0 retardado
d)
87) 18,0s e 180m 88) E
89) a)
93) E 94) A 95) B 96) D 97)B
77
CAPÍTULO
Cinemática
4 MOVIMENTO VERTICAL DE UM PROJÉTIL

SOB AÇÃO EXCLUSIVA DA GRAVIDADE
A maçã e a pena abandonadas em queda livre (ausência do

efeito do ar) caem com mesma aceleração (denominada aceleração
da gravidade e com módulo g = 9,8m/s 2) e com velocidade de
módulo crescente.
A foto estroboscópica (fotos sucessivas de tal forma que o intervalo
de tempo entre elas é o mesmo) ilustra a conclusão de Galileu de que
a aceleração de queda livre independe das massas dos corpos.
1. Queda livre
Um corpo está em queda livre quando se movimenta
sob ação exclusiva de um campo de gravidade que pode
Galileu-Galilei (1564-1642) estudou corretamente
ser criado pela Terra ou por outro corpo celeste. a queda livre, concluindo que todos os corpos caem
Quando falamos em queda livre, estamos despre- com a mesma aceleração, não importando suas
zando o efeito do ar que compõe a atmosfera do planeta. massas.
2. Experiência de Galileu 3. Aceleração da gravidade

Foi Galileu (1564-1642) quem estudou, pela A aceleração de queda livre, comum a todos os cor-
primeira vez, de modo correto a queda livre dos corpos e pos, é denominada aceleração da gravidade e é suposta
enunciou a seguinte propriedade: constante em um determinado local.
Todos os corpos em queda livre, no mesmo local, Na realidade, a aceleração da gravidade varia de um
movimentam-se com a mesma aceleração, quais- local para outro e mesmo nas proximidades da Terra
quer que sejam suas massas. depende da altitude e da latitude do local. No equador
terrestre, no nível do mar, sua intensidade é de 9,78m/s2
e nos polos, no nível do mar, o valor é de 9,83m/s2.
Na latitude de 45°, no nível do mar, adotamos
g = 9,8m/s2. Via de regra, nas proximidades da Terra,
consideramos a aceleração da gravidade constante e com
intensidade aproximadamente igual a 10m/s2.
Tabela 1: Valor de g na superfície

dos planetas e na Lua
Planeta Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter
g(m/s2) 3,6 8,7 9,8 3,7 25,9
Planeta Saturno Urano Netuno Lua

g(m/s2) 11,3 11,5 11,6 g = 1,6m/s2
A motocicleta é acelerada para baixo pela ação da gravidade.
78
Consideremos o caso particular em que o corpo é

abandonado do repouso (V0 = 0), de uma altura H acima
do solo em um local onde a aceleração da gravidade tem
módulo igual a g e o efeito do ar é desprezível.
Latitude g(m/s2) Latitude g(m/s2) O tempo de queda é calculado por meio da função
0° 9,78030 50° 9,81066 horária dos espaços do movimento uniformemente
variado.
10° 9,78186 60° 9,81914
20° 9,78634 70° 9,82606
30° 9,79321 80° 9,83058
40° 9,80166 90° 9,83216
h(km) g(m/s2)
0 9,806
1,0 9,803
4,0 9,794 ␥
⌬s = V0 t + –– t2
2
8,0 9,782
16,0 9,757 g 2
H = 0 + ––
2 tQ
32,0 9,708
100,0 9,598 2H
t 2 = –––
Q g
4. Queda livre na vertical
Se o corpo estiver em queda livre ao longo de
uma reta vertical, o seu movimento será uniformemente
variado e sua aceleração escalar terá módulo igual ao da
tQ =
2H
–––
g
aceleração da gravidade. O tempo de queda é proporcional à raiz quadrada da

altura de queda.
Se a altura H for multiplicada por 2, o tempo de
|␥|=g
queda será multiplicado por
2 1,41, o que equivale

O sinal da aceleração escalar dependerá apenas da a um aumento percentual de 41%.
orientação dada à trajetória: Se a altura H for multiplicada por 3, o tempo de que-
da será multiplicado por
3 1,73, o que equivale a

um aumento percentual de 73%.
Se a altura H for multiplicada por 4, o tempo de
queda será multiplicado por 2, o que equivale a um
aumento percentual de 100%.
Para obter o módulo da velocidade com que o corpo

atinge o solo, devemos utilizar a Equação de Torricelli:
79
V2 = V02 + 2␥ ⌬s
Vf2 = 0 + 2g H
Vf =
2gH
Com o corpo partindo do repouso (V0 = 0), orientan-

do-se a trajetória para baixo (␥ = +g) e adotando-se a po-
sição de partida como origem dos espaços (s0 = 0),
temos:
1. (UFMT) – Galileu, na torre de Pisa, fez cair vários corpos peque- Resolução
␥
nos, com o objetivo de estudar as leis do movimento dos corpos a) ⌬s = V0t + — t2 ↓䊝
em queda. A respeito dessa experiência, julgue os itens, despre- 2
zando-se o efeito do ar.

I. A aceleração do movimento era a mesma para todos os corpos. g 2H
II. Se dois corpos eram soltos juntos, o mais pesado chegava ao H = — tQ2 ⇒ tQ = –––––
2 g
solo horizontal no mesmo instante que o mais leve.
III. Se dois corpos eram soltos juntos, o mais pesado chegava ao so-

lo horizontal com velocidade escalar maior que a do mais leve.
Resolução 2 . 45
tQ = —––— (s) ⇒ tQ = 3,0s
I. Verdadeira. 10
Desprezando-se a força aplicada pelo ar, todos os corpos caem
com a mesma aceleração, que é chamada aceleração da gravi-
dade, não importando a massa do corpo. b) V2 = V02 + 2 ␥ ⌬s
II. Verdadeira.
Vf2 = 2 g H ⇒ Vf =
2gH
Partindo do repouso, da mesma altura e desprezando-se o
efeito do ar, todos os corpos têm o mesmo tempo de queda
até o chão, suposto horizontal. Vf =
2. 10 . 45 (m/s) ⇒ Vf = 30m/s
III. Falsa.
Desprezando-se o efeito do ar, os corpos atingem o solo
horizontal com velocidades escalares iguais.
⌬s 45m
c) Vm = —— = ——— ⇒ Vm = 15m/s
2. Um vaso de flores cai, a partir do repouso, da janela de um ⌬t 3,0s
prédio, de uma altura H = 45m acima do solo.
Despreze o efeito do ar e considere g = 10m/s2. Respostas: a) 3,0s
Calcule b) 30m/s
a) o tempo de queda do vaso até atingir o solo. c) 15m/s
b) o módulo da velocidade do vaso ao atingir o solo.
c) a velocidade escalar média durante a queda.
80
3. Em um local onde o efeito do ar é desprezível e a aceleração da Como as três esferas têm veloci-
gravidade é constante, uma partícula parte do repouso em queda dades diferentes e aceleração rela-
livre. tiva nula, cada uma terá movimen-
Demonstre que as distâncias percorridas (dn) em segundos su- to retilíneo e uniforme em rela-
cessivos aumentam de acordo com a relação dos números intei- ção às outras e as distâncias entre
ros ímpares sucessivos, isto é: elas serão dadas por:
d1 d2 d3 dn
—— = —— = —— = … = —— =… d = d0 + Vrelativat (MU)
1 3 5 n
dAB = d1 + (2gT – gT)t = d1 + (gT)t
n = número inteiro ímpar.
dBC = d2 + (gT – 0)t = d2 + (gT)t
Resolução
A distância percorrida no enésimo segundo (dn) é dada por: Como d1 > d2 ⇒ dAB > dBC
dn = sn – sn – 1
␥ Porém, a taxa de aumento de dAB e
s = s0 + V0t + — t2
2 dBC é a parcela (gT)t, que é a mes-
ma para dAB e dBC e, portanto:
g
t = n ⇒ sn = — n2 dAB e dBC são diferentes, porém
2
aumentam igualmente.
g
t = n – 1 ⇒ sn–1 = — (n – 1)2
2 Resposta: B
g g 5. Em um local onde o efeito do ar é desprezível e g = 10m . s–2, um

dn = — n2 – — (n – 1)2
2 2 corpo é abandonado do repouso de uma altura H acima do solo.
No último segundo de queda, o corpo percorreu 25m.
g A duração da queda T e a altura H são dadas por:
dn = — (2n – 1) a) T = 2,0s e H = 20m b) T = 3,0s e H = 20m
2
c) T = 2,0s e H = 45m d) T = 3,0s e H = 45m
e) T = 4,0s e H = 80m
g g g Resolução
d1 = — ; d2 = 3 — ; d3 = 5 — …
2 2 2 Consideremos que no último segundo
de queda o corpo foi do ponto B para
o ponto C.
d1 d2 d3 dn g
—— = –––– = –––– … = –––– = … = –– Usando a equação horária do MUV, te-
1 3 5 n 2 mos:
␥
⌬s = V0t + — t2
4. (FUND.CESGRANRIO-MODELO ENEM) – Considere três esfe- 2
ras idênticas, A, B e C, com as quais se fizeram os seguintes 10
experimentos: A → B : H – 25 = —– (T – 1,0)2 (1)
Experimento 1: as esferas são soltas simultaneamente, porém 2
de pontos diferentes sobre uma mesma vertical; a esfera A é 10
solta do ponto mais baixo, e a C, do ponto mais elevado. A → C : H = —– T2 (2)
2
Experimento 2: as esferas são soltas de um mesmo ponto,
porém a intervalos de tempo iguais; a esfera A foi a primeira a ser
solta, e a C foi a última.
Substituindo-se (2) em (1), tem-se:
Ambos os experimentos foram feitos de forma a se poder despre-
zar a influência do ar e considerar a aceleração da gravidade → g 5,0T2 – 25 = 5,0 (T – 1,0)2
constante.
Considere dAB e dBC, respectivamente, as distâncias entre A e B e T2 – 5,0 = T2 – 2,0T + 1,0
entre B e C, durante a queda. Sobre dAB e dBC, é correto afirmar que
a) se mantêm inalteradas nos dois experimentos. 2,0T = 6,0 ⇒ T = 3,0s
b) se mantêm inalteradas no 1.o experimento e aumentam igual-
mente no 2.o experimento. Em (2):
c) aumentam igualmente nos dois experimentos.
d) aumentam igualmente no 1.o experimento e dAB aumenta mais H = 5,0 . (3,0)2(m) ⇒ H = 45m
que dBC no 2.o
e) dAB aumenta mais que dBC nos dois experimentos. Resposta: D
Resolução
Nos dois experimentos, as esferas têm aceleração igual à da 6. (PISA-MODELO ENEM) – Em alguns parques de diversão, há
gravidade: a aceleração relativa (diferença das acelerações) é nula atrações vertiginosas. A da fotografia tenta simular uma queda
e existem duas possibilidades: livre vertical. Tem quatro cadeiras, com quatro lugares cada uma,
(1.a) No experimento 1, as três esferas partem do repouso e, como que são largadas do alto de uma torre. A 20 metros do chão,
as acelerações relativas são nulas, cada uma estará em repouso começa a freada.
em relação às outras e as distâncias dAB e dBC permanecerão A partir do momento em que a cadeira é largada do alto da torre
constantes. até ao momento em que começa a freada, a distância ao chão, d,
em metros, é dada pela seguinte fórmula:
(2.a) No experimento 2, quando a esfera C foi solta, a esfera B es-
tava com velocidade escalar igual a gT e a esfera A com veloci- d = 100 – 5,0 t2
dade escalar 2gT, em que T é o intervalo de tempo entre os aban-
donos das esferas e g é o módulo da aceleração da gravidade. em que t é o tempo de queda, em segundos.
81
Resolução
(I) VERDADEIRA.
Para t = 0, temos d = 100m (distância inicial até o chão).
(II) VERDADEIRA.
A queda livre acontece até d = 20m
d = 100 – 5,0t2
20 = 100 – 5,0T2
5,0T2 = 80 ⇒ T2 = 16 ⇒ T = 4,0s
(III) FALSA.
Não temos elementos para calcular o tempo de queda até o
solo, pois desconhecemos as características do movimento
Considere as proposições que se seguem: durante a freada.
(I) A altura inicial das cadeiras, relativa ao chão, vale 100m
(IV) VERDADEIRA.
( II ) A queda livre das cadeiras dura 4,0s
Para t = 1,0s temos:
( III) O tempo de descida das cadeiras desde sua partida até a
d = 100 – 5,0 (1,0)2 (m)
chegada ao solo vale 20 s d = 95m
(IV) Em 1,0s de queda livre, as cadeiras percorrem 5,0m Como a altura inicial era 100m então as cadeiras percorreram
Estão corretas apenas: 5,0m.
a) I, II e IV b) I, II e III c) II, III e IV d) I e IV e) II e III Resposta: A
7. Uma bolinha de gude é abandonada do repouso da janela de um

prédio de uma altura H acima do solo.
O efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade tem
módulo g.
Determine
a) o tempo de queda T até a bolinha atingir o solo;
b) o módulo da velocidade V com que a bolinha atinge o solo;
c) o aumento percentual de T e V se o valor de H for duplicado.
8. (UNESP) – O buriti é uma palmeira alta, comum no Brasil central

e no sul da planície amazônica. Para avaliar a altura de uma dessas
palmeiras, um pesquisador provoca a queda de alguns de seus
frutos e cronometra o tempo em que ela ocorre, obtendo valores
compreendidos entre 1,9 s e 2,1 s. Desprezando-se a resistência
Determine
do ar exercida sobre os frutos em queda, determine as alturas
a) o módulo gM da aceleração da gravidade em Marte;
máxima e mínima de onde eles caíram. Adote g = 10 m/s2. b) a altura máxima atingida pela pedra a partir do ponto de lança-
mento.
9. (UPE) – Um dublê de cinema encontra-se em uma ponte e deseja
saltar verticalmente em cima de um trem que deve passar sob 12. (MACKENZIE-SP) – Um corpo é abandonado do repouso de uma
ela. O trem desloca-se com velocidade escalar constante de certa altura e cai, em queda livre (g = 10m/s2), por 4,0s. Após
20m/s, e a distância vertical da ponte até o trem é de 45m. esses 4,0s, o corpo adquire velocidade constante e chega ao solo
Calcule a distância horizontal entre o trem e a ponte, quando o em 3,0s. A altura da qual esse corpo foi abandonado vale
dublê fizer o salto. a) 80 m b) 120 m c) 180 m d) 200 m e) 220 m
Adote g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar.
13. Um corpo parte do repouso e cai livremente de uma altura H
acima do solo. O efeito do ar é desprezível e a aceleração da
10. (UNICAMP-SP) – Uma atração que está tornando-se muito po- gravidade é suposta constante.
pular nos parques de diversão consiste em uma plataforma que
despenca, a partir do repouso, em queda livre de uma altura de
75m. Quando a plataforma se encontra 30m acima do solo, ela
passa a ser freada por uma aceleração constante e atinge o
repouso quando chega ao solo. Dado g = 10m/s2.
a) Qual é o valor absoluto da aceleração da plataforma durante a
queda livre?
b) Qual é a velocidade da plataforma quando o freio é acionado?
c) Qual é o módulo da aceleração necessária para imobilizar a
plataforma?
11. Para se obter o valor do módulo da aceleração da gravidade em

Marte, um robô lança verticalmente para cima uma pequena
pedra.
Desprezado-se o efeito da atmosfera marciana, o gráfico veloci-
dade escalar x tempo para o movimento da pedra, desde seu No trajeto de A para B, o tempo gasto é T1 e no trajeto de B para
lançamento até o retorno ao ponto de partida, é dado a seguir: C, o tempo gasto é T2.
82
havia pouco vento, mas, até os 1000 metros de altura, tudo corria
Adote
2 = 1,4 bem. A 1500 metros, quase estacionário, largaram sacos de lastro

T2 a fim de atingir os 2000 metros de altura.
A razão ––– vale, aproximadamente:
T1 (Fonte: Adaptado de A vida de grandes brasileiros –
7: SANTOS-DUMONT. São Paulo: Editora Três, 1974)
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,4 d) 1 e) 1,4
Supondo-se que Santos Dumont largue simultaneamente dois sa-
14. Uma bolinha de gude é abandonada do repouso de uma altura H cos de lastro e que a massa de um saco é o dobro da massa do
acima do solo horizontal em um local onde o efeito do ar é outro, pode-se afirmar que, desprezando-se a resistência do ar,
desprezível e a aceleração da gravidade é constante. a) o saco de lastro de maior massa atinge o solo em um tempo
Na primeira metade do tempo total de queda até o chão, a menor.
partícula percorre uma distância H1 e tem velocidade escalar b) o tempo de queda dos sacos de lastro é o mesmo, indepen-
média V1. dentemente de suas massas.
Na segunda metade do tempo total de queda, a partícula percorre c) o saco de lastro de maior massa apresenta maior aceleração
uma distância H2 e tem velocidade escalar média V2. do que o de menor massa.
Determine d) o saco de lastro de maior massa atinge o solo com o dobro da
velocidade do de menor massa.
V2
a) a razão ––– . e) os dois sacos, ao atingirem o solo, apresentam a mesma
V1 energia cinética.
b) os valores de H1 e H2 em função de H. mV2

Dado: Energia cinética = –––––
15. (VUNESP) – Em um local em que as forças de resistência do ar 2
podem ser desprezadas e a aceleração da gravidade tem inten- m = massa e V = velocidade escalar
sidade g = 10m/s2, uma pequena esfera foi abandonada a partir
do repouso, de uma altura h em relação ao solo.
Sabendo-se que durante o último segundo de seu movimento de 19. (MODELO ENEM) – Antônio Gedeão, cujo verdadeiro nome é
queda a esfera percorreu uma distância de 35 m, é possível Rômulo de Carvalho, foi um físico e poeta nascido em Lisboa no
afirmar que o módulo da velocidade, em m/s, com que ela chegou ano de 1906.
ao solo foi de Analise o texto a seguir que faz parte do “Poema para Galileo”.
a) 10 b) 20 c) 25 d) 35 e) 40 escrito por Antonio Gedeão.
16. (Olimpíada de Física da Bolívia) – Deixa-se cair, a partir do Eu queria agradecer-te, Galileo,
repouso, cinco esferinhas intercaladas por intervalos de tempos a inteligência das coisas que me deste.
iguais desde o teto de um edifício de altura H. O efeito do ar é Eu,
desprezível e adota-se g = 10m/s2. e quantos milhões de homens como eu
Quando a primeira esferinha atinge o solo, a quinta está prestes a a quem tu esclareceste,
partir e, nesse instante, a distância entre a segunda e a terceira
ia jurar – que disparate, Galileo! –
esferinha vale 5m.
O valor de H é: – e jurava a pés juntos, e apostava a cabeça
a) 5m b) 10m c) 16m d) 20m e) 24m sem a menor hesitação –
que os corpos caem tanto mais depressa
17. (INEP-MODELO ENEM) – Uma missão espacial tripulada parte quanto mais pesados são.
com destino a Marte. A aceleração da gravidade nesse planeta é
menor do que na Terra.
Pois não é evidente, Galileo?
Caso um martelo escape da mão de um astronauta em Marte,
a) ele ficará flutuando Quem acredita que um penedo caia
b) ele cairá com a mesma velocidade com que cairia na Terra. com a mesma rapidez que um botão de camisa ou que
c) ele cairá mas rapidamente do que cairia na Terra. um seixo de praia?
d) ele cairá mais lentamente do que cairia na Terra.
e) não há elementos para compararmos as acelerações de queda Contrariando o senso comum, Galileo afirmava que corpos de pe-
em Marte e na Terra. sos diferentes, quando estiverem em queda livre (sem resistência
do ar) terão
18. (ETEC-MODELO ENEM) – No seu balão “Brasil” ou em outro a) velocidades constantes.
balão qualquer, Santos Dumont sentia-se duplamente gratificado: b) velocidades proporcionais aos respectivos pesos.
pelo prazer do esporte e porque cada subida lhe trazia sempre c) velocidades inversamente proporcionais aos respectivos pesos.
novas experiências. Num grande balão que mandara construir, d) a mesma aceleração, não importando seus pesos.
partiu com os amigos para uma ascensão. A partida foi lenta, pois e) acelerações proporcionais aos respectivos pesos.
5. Lançamento vertical para cima

Em um local onde o efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade é constante e com módulo igual a g, um
projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade de módulo igual a V0.
Consideremos a trajetória orientada para cima.
a) A aceleração escalar é constante e diferente de zero e, por isso, o movimento é uniformemente variado.
␥ = –g = constante
83
b) O ponto mais alto da trajetória é o ponto de inver- j) Cálculo da altura máxima atingida
são do movimento e, por isso:
A altura máxima H é calculada
No ponto mais alto da trajetória, a velocidade esca- usando-se a Equação de Torricelli do
lar anula-se. movimento uniformemente variado:
2 2
c) Na subida, a velocidade escalar é positiva e o mo- V = V0 + 2␥ ⌬s
vimento é progressivo. 2
0 = V0 + 2(–g) H
d) Na descida, a velocidade escalar é negativa e o 2
movimento é retrógrado. 2gH = V0
e) A aceleração escalar vale –g, tanto na subida 2
como na descida ou no ponto mais alto. V0
H = ––––
f) Na subida, o movimento é retardado e na descida 2g
o movimento é acelerado.
Notas
g) Quando o móvel retornar ao ponto de lançamento, • O tempo de subida é proporcional a V0 e a altura
a velocidade escalar será igual a –V0. 2
máxima é proporcional a V0 .
Vretorno = –V0 • Se V0 for multiplicada por 2, o tempo de subida
será multiplicado por 2 e a altura máxima será multipli-
h) O tempo de subida até o ponto mais alto e o tempo cada por 4.
de queda até retornar ao ponto de lançamento são iguais. l) Gráficos cartesianos
Adotando-se o ponto de partida como origem dos
tsubida = tqueda espaços (h0 = 0) e orientando-se a trajetória para cima
(␥ = –g), temos:
Notas
• As propriedades (g) e (h) decorrem do fato de o
movimento ser uniformemente variado.
• Se orientarmos a trajetória para baixo, o movi-
mento na subida passa a ser retrógrado e na descida passa
a ser progressivo, porém continua sendo retardado na su-
bida e acelerado na descida.
i) Cálculo do tempo de subida
O tempo de subida ts é calcu-

lado usando-se a equação das ve-
locidades do movimento unifor-
memente variado:
V = V0 + ␥ t
0 = V0 + (–g) ts
g ts = V0
V0
ts = –––
g
Segue-se ainda que:
V0
tQ = ts = ––––
g
2 V0
Tvoo = ts + tQ = –––––
g
84
20. (UFES) – Em um local onde se despreza a resistência do ar e se 22. Em um local onde g = 10m/s2 e o efeito do ar é desprezível, um
adota g = 10m/s2, um projétil é disparado a partir do solo, vertical- objeto é lançado verticalmente para cima, a partir do solo terrestre.
mente para cima, com velocidade inicial de módulo igual a O objeto atinge 75% de sua altura máxima com uma velocidade
2,0 . 102m/s. de módulo igual a 30m/s.
Calcule A altura máxima atingida pelo objeto vale:
a) o tempo de subida do projétil. a) 45m b) 90m c) 180m d) 200m e) 360m
b) a altura máxima atingida. Resolução
Resolução
a) V = V0 + ␥ t ↑ (+) V2 = V02 + 2 ␥ ⌬s
0 = V0 – g ts
0 = V02 + 2(–10) H ⇒ V02 = 20 H (1)
V0 200
ts = –––– ⇒ ts = –––– (s) ⇒ ts = 20s 3
g 10 900 = V02 + 2 (–10) –– H
4
b) V2 = V02 + 2 ␥ ⌬s ↑ (+) 900 = V02 – 15H ⇒ V02 = 900 + 15 H (2)
0 = V02 – 2g H
(1) = (2): 20 H = 900 + 15 H
V20 200 . 200 5 H = 900 ⇒
H = –––– ⇒ H = ––––––––– (m) ⇒ H = 2,0 . 103m H = 180m
2g 20
Resposta: C
Respostas: a) 20s
b) 2,0km 23. Em um local onde o efeito do ar é desprezível e a aceleração da
gravidade é constante, uma partícula é lançada verticalmente para
21. (MODELO ENEM) – Um artefato é disparado, a partir do solo, cima, a partir do solo, no instante t = 0.
com velocidade inicial vertical e de módulo V 0, em um local A partícula atinge sua altura máxima H no instante t = T.
onde g = 10m/s2 e o efeito do ar é desprezível. H
A altura da partícula será –– , durante o movimento de subida, no
Um observador situado a 80m acima do solo horizontal vê o 2
artefato passar diante dele na subida e 6,0s após o vê passar na instante:
descida.

Seja H a altura máxima atingida pelo artefato, medida a partir do
solo.
a) 1 – ––––
2
2
T b) 0,4T c) 0,5T
Assinale a opção que traduz os valores de H e V0.

d) 2 3
a) H = 160m e V0 = 30m/s. b) H = 45m e V0 = 30m/s. –––– T e) –––– T
2 2
c) H = 125m e V0 = 30m/s. d) H = 160m e V0 = 50m/s.
e) H = 125m e V0 = 50m/s. Resolução
Resolução Na descida, temos:
g
CA: H = –– T2 (1)
1) No trecho BCB: 2
V = V0 + ␥ t H g
CB: –– = –– t2 (2)
– VB = VB – 10 . 6,0 2 2 1
2VB = 60
––T = ––12
(2) t1 2
––– :
(1)
VB = 30m/s
t1 1
–– = –––––
2) No trecho AB: T
2
VB2 = V02 + 2 ␥ ⌬s
T T
2
900 = V02 + 2 (–10) 80 t1 = ––––– = ––––––

2 2
V02 = 2500
T
2
V0 = 50m/s Porém: tBC = tCB = t1 = ––––––
2
O tempo pedido de A para B é dado por:
3) No trecho AC: tAB = T – tBC
VC2 = V02 + 2 ␥ ⌬s
2
tAB = T – T ––––
0 = 2500 + 2 (–10) H 2
20H = 2500
H = 125m
tAB = T ( 2
1– ––––
2
)
Resposta: E Resposta: A
85
24. O salto vertical de uma pulga é analisado mediante uma filmagem d)

em câmara lenta, em duas etapas distintas.
Na 1.a etapa, que dura 1,0 . 10–2s, a pulga pressiona suas patas
contra o solo de modo a adquirir uma velocidade vertical, dirigida
para cima e de módulo 1,0m/s.
A 2.a etapa é o voo da pulga no ar, sujeita à ação da gravidade.
Supondo-se g = 10m/s2 e desprezando-se o efeito do ar, pedem-
se:
a) o módulo da aceleração da pulga, suposto constante, na 1.a
etapa.
e) Por causa do efeito do ar.
b) o tempo de voo da pulga.
c) a altura máxima atingida pela pulga.
25. (UFF-RJ-MODELO ENEM) – Duas pequenas esferas X e Y possuem
d) o gráfico da velocidade escalar da pulga em função do tempo.
o mesmo raio e massas respectivamente iguais a mx e my = 2mx.
e) explicar por que a filmagem indica que a pulga atingiu apenas
Estas esferas são, simultaneamente, lançadas na direção vertical, para
dois terços da altura calculada no item anterior. cima, com a mesma velocidade inicial, a partir do solo.
Resolução Desprezando-se a resistência do ar, é correto afirmar que
a) X atinge uma altura maior do que Y e volta ao solo depois de Y.
a) V = V0 + ␥ t (MUV) b) X atinge uma altura maior do que Y e volta ao solo ao mesmo
tempo que Y.
1,0 = 0 + ␥ . 0,01 ⇒ ␥ = 1,0 . 102m/s2 c) X atinge uma altura igual à de Y e volta ao solo antes de Y.
d) X atinge uma altura igual à de Y e volta ao solo ao mesmo tempo
que Y.
b) V = V0 + ␥ t (MUV) ↑ (+) e) X atinge uma altura menor do que Y e volta ao solo antes de Y.
Resolução
– 1,0 = 1,0 – 10T ⇒ T = 0,20s Quando um corpo é lançado verticalmente para cima, desprezan-
do-se o efeito do ar, ele terá uma aceleração constante e igual à
aceleração da gravidade qualquer que seja a sua massa.
c) V2 = V02 + 2␥⌬s (MUV) ↑ (+)
A altura máxima atingida e o tempo de voo serão iguais para os
dois projéteis pois independem de suas massas.
0 = 1,0 + 2 (–10)H ⇒ H = 5,0 . 10–2m = 5,0cm Observe-se que a velocidade inicial de lançamento foi a mesma
para os dois projéteis.
Resposta: D
26. Um projétil A é lançado verticalmente para cima, a partir do solo,

com velocidade inicial de módulo V0. O tempo de subida do
projétil A vale TA e a altura máxima atingida vale HA. Um outro
projétil, B, é lançado verticalmente para cima, da mesma posição
de lançamento de A, com velocidade inicial de módulo 2V0.
Não considere o efeito do ar e adote g = 10m/s2.
Despreze o efeito do ar e admita que a aceleração da gravidade
seja constante. O tempo de subida do projétil B (TB) e a altura 29. (UERJ) – Em um jogo de voleibol, denomina-se tempo de voo o
máxima por ele atingida (HB) são dados por: intervalo de tempo durante o qual um atleta que salta para cortar
uma bola está com ambos os pés sem contato com o chão, como
a) TB = TA e HB = HA b) TB = 2TA e HB = 2HA ilustra a fotografia.
c) TB = 2TA e HB = 4HA d) TB = 4TA e HB = 4HA Considere um atleta que consegue elevar verticalmente o seu
centro de gravidade a 0,45m do chão e a aceleração da gravidade
e) TB = 4TA e HB = 2HA com módulo igual a 10m/s2. Despreze o efeito do ar.
27. (PUC-RJ) – Uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir

do solo, e atinge uma altura máxima de 20m. Considerando-se a
aceleração da gravidade com módulo g = 10m/s2, a velocidade
escalar inicial de lançamento e o tempo de subida da bola são:
a) 10m/s e 1,0s b) 20m/s e 2,0s
c) 30m/s e 3,0s d) 40m/s e 4,0s
e) 50m/s e 5,0s
Determine
28. (OBF) – Na figura a seguir, os dois veículos estão em movimento a) o módulo da velocidade inicial V0 do centro de gravidade desse
atleta ao saltar.
retilíneo e uniforme com a mesma velocidade e o automóvel con-
b) o tempo de voo desse atleta.
versível “aproveita” o vácuo do caminhão para economizar com-
bustível. O passageiro do conversível arremessa uma bolinha para 30. Em um planeta X, um projétil é lançado verticalmente para cima a
cima com velocidade inicial de módulo 10m/s. Depois de quanto partir do solo. Despreze o efeito da atmosfera no movimento do
tempo a bola deve retornar à mão deste passageiro? Se a projétil.
distância horizontal percorrida pela bola for de 40m, qual é o O gráfico a seguir representa a velocidade escalar do projétil
desde seu lançamento (t = 0) até o instante de retorno ao solo
módulo da velocidade do caminhão?
(t = 10,0s).
86
33. (OLÍMPIADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Um estudante no topo

de um edifício observa a trajetória de uma bolinha lançada
verticalmente para cima no instante t = 0, a partir de um ponto
localizado abaixo do topo. Medindo-se a posição a partir do topo,
ele nota que a bolinha atinge a altura de 10m quando t = 1,0s e
15m quando t = 2,0s. Despreze o atrito da bolinha com o ar e adote
g = 10m/s2.
a) Calcule o módulo da velocidade inicial da bolinha.
b) Calcule a distância total percorrida desde o início do
lançamento até o instante em que a bolinha atinge a altura
máxima.
34. (MODELO ENEM) – Dois projéteis, A e B, foram lançados verti-

calmente para cima em um mesmo local, a partir do solo
horizontal. O projétil A foi lançado com velocidade de módulo VA
e o projétil B com velocidade de módulo VB.
Pedem-se: Os tempos de subida de A e B são maiores que 1,0s.
a) o módulo da aceleração da gravidade nas proximidades do A aceleração da gravidade local é constante e despreza-se o efeito
planeta X. do ar.
b) a altura máxima atingida pelo projétil medida a partir do solo. Durante o último segundo de subida, o projétil A percorreu uma
c) a velocidade escalar média na subida do projétil. distância HA e o projétil B percorreu uma distância HB.
d) classificar o movimento como progressivo ou retrógrado e
HA
acelerado ou retardado, na subida e na descida do projétil. A razão ––– vale:
Justifique sua resposta. HB
e) construir o gráfico da altura do projétil em função do tempo

entre os instantes t = 0 e t = 10,0s.
VA VA
31. A partir de uma mesma altura H, dois projéteis, A e B, são a) 1 b) ––– c) –––
VB VB
lançados verticalmente com velocidades de mesmo módulo
30,0m/s. O efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade

tem módulo g = 10,0m/s2. O projétil A é lançado verticalmente
para baixo e gasta um tempo T para atingir o solo. VB VB
O projétil B é lançado verticalmente para cima e gasta um tempo d) ––– e) –––
VA VA
2T para atingir o solo.
35. (MODELO ENEM) – Uma pedra é lançada verticalmente para ci-

ma. A figura representa a variação da velocidade escalar da pedra,
V, em função do tempo t, durante a subida.
A pedra alcança a altura máxima H ao final de um intervalo de

tempo T, contado a partir do instante do lançamento. Pode-se afir-
mar que, ao final do intervalo de tempo T/2, a partir do lan-
çamento, a pedra se encontra a uma altura do solo igual a:
H H 3 4 4
O valor de H a) –– b) –– c) –– H d) –– H e) –– H
4 2 4 5 3
a) não está determinado b) é 35,0m c) é 45,0m
d) é 180m e) é 360m
36. (MODELO ENEM) – Em um local onde o efeito do ar é despre-
32. Para se determinar o módulo g da aceleração da gravidade em um zível, dois atletas, A e B, saltam verticalmente.
certo local, procede-se da seguinte maneira: um projétil é lançado As alturas máximas atingidas por A e B são, respectivamente,
verticalmente para cima, no instante t = 0, a partir do solo. O iguais a 30cm e 40cm.
projétil passa por um ponto A a uma altura H acima do solo nos Para percorrer os últimos 20cm, na subida, o atleta A gastou um
instantes t1 (subida) e t2 (descida). Despreze o efeito do ar. O valor tempo TA e o atleta B gastou um tempo TB.
de g é dado por:
H H TA
a) g = ––––– b) g = ––––– A razão ––– :
t1t2 2t1t2 TB
3
2H 2H (t1 + t2) a) não está determinada b) vale 1 c) vale –––
c) g = ––––– d) g = ––––––––––– 4
t1t2 t12

4 3
2H (t1 + t2) d) vale ––– e) vale –––
e) g = ––––––––––– 3 4
t22
87
31) E

2H ␥
7) a) T = –––– b) V =
2gH 32) y = y0 + V0t + ––– t2 (MUV)
g 2
g
c) Quando H duplica, os valores de T e V ficam multiplicados por H = V0t – ––– t2
2 = 1,41, o que significa um aumento percentual de 41%. 2
8) Hmín 18m 9) 60m
g
Hmáx 22m ––– t2 – V0t + H = 0
10) a) 10 m/s2 b) 30 m/s c) 15 m/s2 (em módulo) 2
11) a) 4,0m/s2 b) 8,0m 2 V0 2H
12) D 13) C t2 – ––––– t + –––– = 0
g g
V2 H 3H
14) a) –––– =3 b) H1 = ––– e H2 = ––– Como as raízes desta equação são t1 e t2, pela regra do pro-
V1 4 4
duto das raízes, temos:
15) E 16)C 17)D 18)B 19)D 2H
t1t2 = ––––
26) C 27)B 28)T = 2,0s g
V = 72km/h
29) a) 3,0m/s b) 0,60s 2H
g = –––––
30) a) O movimento do projétil é uniformemente variado e por- t1 t2
tanto
V = V0 + ␥ t (subida) Resposta: C
0 = 20,0 – gx . 5,0 ⇒ gx = 4,0m/s2 33)

N
b) ⌬s = área (v x t)
5,0 . 20,0
H = ––––––––– (m) ⇒ H = 50,0m
2
⌬s H = 50,0m
c) Vm = –––– = –––– –––––– ⇒ Vm = 10,0m/s
⌬t ts 5,0s
V0 + Vf 20,0 + 0
ou ainda: Vm = –––––––– = –––––––– (m/s)
2 2
␥
a) h = h0 + V0t + ––– t2
Vm = 10,0m/s 2
d) 1) Subida: V > 0 e ␥ < 0 10

10 = h0 + V0 . 1,0 – ––– (1,0)2
O movimento é progressivo (V > 0) e retardado (|V | dimi- 2
nui).
2) Descida: V < 0 e ␥ < 0 10 = h0 + V0 – 5,0
O movimento é retrógrado (V < 0) e acelerado (|V | aumenta). h0 + V0 = 15 (1)
␥
e) h = h0 + V0 t + –– t 2 (MUV) ⇒ h = 20,0t – 5,0t 2 (SI) 10
2 15 = h0 + V0 . 2,0 – ––– (2,0)2
2
15 = h0 + 2,0V0 – 20
h0 + 2V0 = 35 (2)
(2) – (1): V = 20m/s

0
b) V2 = V02 + 2␥ ⌬s
0 = (20)2 + 2(–10) ⌬s ⇒ 20 ⌬s = 400 ⇒ ⌬s = 20m
Respostas: a) 20m/s b) 20m
34) A 35) C 36)B
88
CAPÍTULO
Cinemática
5 VETORES
A velocidade de um ciclista é uma

grandeza vetorial porque para a sua
caracterização precisamos conhecer o seu módulo,
a sua direção e o seu sentido.
1. Grandezas O sentido é a orientação sobre uma direção.

escalares e vetoriais Assim, falamos em direção vertical, sentido para bai-
xo ou para cima; direção horizontal, sentido para direita
As grandezas físicas podem ser classificadas em dois ou para esquerda.
grupos: as grandezas escalares e as grandezas vetoriais. A associação direção + sentido é chamada de orien-
Uma grandeza é escalar quando tem apenas inten- tação e, por isso, as grandezas vetoriais são também
sidade, isto é, fica perfeitamente definida e caracterizada chamadas de grandezas orientadas.
pelo seu valor numérico, cuja medição fica cabalmente Dois carros em uma mesma rua reta, vindo um de
determinada por um número real e uma unidade. encontro ao outro, caminham na mesma direção e com
Exs.: comprimento, área, volume, densidade, massa, sentidos opostos e, portanto, suas velocidades têm
tempo, energia, pressão, potência etc. orientações opostas.
Assim, quando dizemos que a massa de uma pessoa
vale 50kg, esgotamos o assunto, não cabendo mais ne-
nhuma indagação sobre a massa.
Uma grandeza é vetorial quando exige, para sua
3. Aspecto escalar e vetorial
completa caracterização, além de sua intensidade, tam- Existem grandezas físicas, como a velocidade e a
bém a sua orientação, isto é, a sua direção e sentido. aceleração, que, conforme o estudo que se faça, nos in-
Para indicarmos que uma grandeza G é vetorial, co- teressa observá-las com seu aspecto escalar ou com seu
→
locamos sobre o seu símbolo uma pequena seta: G. aspecto vetorial.
Quando o movimento é estudado independentemente
→ → →
da trajetória, não há envolvimento do conceito de direção
Deslocamento: d; velocidade: V; aceleração: a; for- e, então, é relevante apenas o aspecto escalar e falamos
→ →
ça: F ; impulso: I ; quantidade de movimento (ou momen-
→ → → em velocidade escalar V e aceleração escalar ␥.
to linear): Q; campo elétrico: E ; campo magnético: B. Quando a trajetória é relevante em nosso estudo, o
Para caracterizar o efeito da aceleração da gravidade, conceito de direção torna-se fundamental e, então, desta-
por exemplo, devemos informar que sua intensidade vale camos o aspecto vetorial e falamos em velocidade veto-
→ →
9,8m/s2, que sua direção é vertical e que seu sentido é rial V e aceleração vetorial a .
dirigido para baixo.
2. Direção – sentido – orientação 4. Vetores

Para estudar as grandezas escalares, usamos o con-
Direção é a propriedade comum a retas paralelas,
junto dos números.
isto é: retas paralelas têm a mesma direção.
89
→
Para estudar as grandezas vetoriais, necessitamos de Para indicarmos que a intensidade de F1 é o dobro da
→
um outro conjunto cujos elementos envolvam os con- intensidade de F2, podemos usar uma das seguintes no-
ceitos de módulo (ou intensidade ou valor numérico), tações:
direção e sentido. Tais elementos são chamados de → →
vetores. F 1 = 2 F2
ou F1 = 2 F2
→ →
Assim, Não escreva F1= 2 F2 , pois estaríamos indicando que
→ →
um vetor é uma associação de três atributos: mó- F1 e F2 têm mesma direção e sentido, o que, no caso, não
dulo, direção e sentido. é verdade.
Dois vetores são iguais quando tiverem o mesmo
módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. 6. Soma de dois vetores
Um vetor é constante quando tiver módulo constan- → →
Consideremos dois vetores, V1 e→V2 ; chama-se
→
“vetor
te, direção constante e sentido constante.
→ soma”→ou vetor resultante entre V1 e V2 um terceiro
O vetor nulo ( 0 ) é um vetor cujo módulo é o núme-
ro zero e a direção e o sentido não estão determinados. vetor V3 obtido geometricamente como se segue.
→
Não confunda o vetor nulo (0 ), que pertence ao con- Constrói-se um “paralelogramo”→
tendo
→
como lados
junto de vetores, com o número zero (0), que pertence ao as representações geométricas de V1 e V2, feitas com a
conjunto dos números reais. mesma origem O.
A diagonal do paralelogramo que contém a origem
comum O corresponde
→
à representação geométrica do
5. Representação vetor soma V3 .
geométrica de um vetor
Um vetor é representado geometricamente por um
segmento de reta orientado com as seguintes caracterís-
ticas:
a) A direção e o sentido do segmento orientado são
os mesmos da respectiva grandeza vetorial.
b) A medida do segmento orientado é proporcional à
intensidade da grandeza vetorial que ele está represen-
tando.
→
Assim, por exemplo, consideremos duas forças, F1 e
→
F2 , que sejam perpendiculares entre si e a intensidade de
→ →
F1 igual ao dobro da intensidade de F2.
Indiquemos por:
→ →
AB o vetor que representa F1;
→ →
AC o vetor que representa F2 .
Os segmentos orientados que traduzem os vetores
→ →
AB e AC são representados a seguir:
Soma dos vetores pela regra do polígono.

→
O vetor soma V3 terá a direção da reta OC (diagonal
do paralelogramo) e o sentido de O para C.
→ →
F1 : força horizontal dirigida para a direita; O módulo do vetor V3 é obtido a partir do triângulo
→
F2: força vertical dirigida para cima. OAC, com a aplicação da lei dos cossenos.
90
A lei dos cossenos afirma que, em um triângulo qual- Em particular para ␣ = 90° (cos ␣ = 0), recaímos na
quer, temos: aplicação do Teorema de Pitágoras.
“O quadrado de qualquer um dos lados é igual à
soma dos quadrados dos outros dois lados menos o
duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo
formado entre eles.” → 2 →2 →2
Assim, na figura, teremos: | V3 | = | V1 | + | V2 |
(OC)2 = (OA)2 + (OB)2 – 2 (OA) (OB) cos ␤
Porém:
→
OA representa | V1 |
→ Exemplificando-se para a grandeza vetorial velocida-
OB representa | V2 |
→ de: → →
OC representa | V3| | V1| = 8,0m/s e | V2| = 6,0m/s
e cos ␤ = – cos ␣, pois ␣ e ␤ são ângulos suplementares →

2,0m/s ≤ | V3 | ≤ 14,0m/s
(␤ + ␣ = 180°).
→
Assim: Para ␣ = 90° ⇒ | V3 | 2 = (8,0)2 + (6,0)2 = 100 (SI)
→ → → → →
| V3 |2 = | V1 |2 + | V2 |2 + 2 | V1 | | V2 | cos ␣ →
| V3 | = 10,0m/s
Ou, ainda:
→ → → → →
| V3 | =
| V1 |2 + | V2 |2 + 2 | V1 | | V2 | cos ␣
7. Soma de n vetores
Para somar vários vetores, é mais simples usarmos a
→
regra do polígono.
O valor máximo de | V3 | é obtido quando cos ␣ = 1 Escolhemos um ponto qualquer (O) para começarmos
(valor máximo do cosseno) e, portanto, ␣ = 0. o polígono. A partir de O, colocamos o vetor que repre-
→
Neste caso, teremos: senta V1; a partir da extremidade A desse vetor, colocamos
→
→ → → → → o vetor que representa V2; a partir da extremidade B desse
→
|V3 | 2máx = |V1|2 + |V2 |2 + 2 | V1| | V2| vetor, colocamos o vetor que representa V3; e assim
→ → →
|V3 | 2máx = ( | V1| + | V2|)2 sucessivamente. O vetor soma é o vetor que fecha o polí-
gono, isto é, sua origem é o ponto O e sua extremidade é
→ → → a extremidade do último vetor representado.
| V3 |máx = | V1 | + | V2 |
→
O valor mínimo de | V3 | é obtido quando cos ␣ = –1
(valor mínimo do cosseno) e, portanto, ␣ = 180°.
Neste caso, teremos:
→ → → → →
|V3 | 2mín = |V1|2 + |V2 |2 – 2 | V1| | V2|
→ → → → →
|V3 | 2mín = (|V1|2 – |V2 |)2 = (|V2 | – |V1| )2
→ →
Supondo | V1| > | V2|, temos:
→ → →
| V3 |mín = | V1 | – | V2 |
→ →
Do exposto, concluímos
→
que, para | V1| > | V2 |, o in-
tervalo de variação de | V3| é dado por:
→ → → → → → → → → →
| V 1 | – | V 2 | ≤ | V 3 | ≤ | V1 | + | V 2 | V = V1 + V2 + V3 + V4
91
1. (UBERLÂNDIA-MG) – Analise as grandezas físicas a seguir: As intensidades das forças aplicadas em cada corda foram, res-
1) Campo Elétrico 6) Potência pectivamente, iguais a 1,5kN e 2,0kN. Considerando as cordas
2) Carga Elétrica 7) Momento Linear ideais, determine
3) Campo Magnético 8) Força a) o módulo da resultante das forças aplicadas pelas cordas;
4) Potencial Elétrico 9) Energia Mecânica b) a tangente do ângulo entre esta resultante e a força de inten-
5) Trabalho 10) Velocidade sidade 2,0kN.
Dos grupos abaixo, o constituído só de grandezas escalares é: Resolução
a) 1, 3, 7, 8, 10 b) 1, 2, 3, 5, 6 c) 2, 4, 5, 6, 8 a)
d) 5, 6, 7, 8, 10 e) 2, 4, 5, 6, 9
Resolução
As grandezas vetoriais abordadas em nosso estudo são: F2 = F12 + F22
1) deslocamento 2) velocidade
3) aceleração 4) força
5) impulso 6) quantidade de movimento F = 2,5kN
(ou momento linear)
7) campo elétrico 8) campo magnético
Resposta: E
2. (VUNESP-MODELO ENEM) – O diagrama vetorial mostra, em

F1 1,5
escala, duas forças atuando num objeto de massa m. b) tg␪ = —–– = —–– = 0,75
F2 2,0
Respostas: a) 2,5kN
b) 0,75
→ →
5. Duas forças, F1 e F2, têm intensidades iguais a 10N cada uma.
→ →
Calcule a intensidade da resultante entre F1 e F2 quando o ângulo
␣ entre elas for igual a:
a) 60° b) 90° c) 120°
Resolução
a) F2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos 60°

O módulo da resultante dessas duas forças que estão atuando no
objeto é, em newtons, 1
F2 = 100 + 100 + 2 . 100 . —–
a) 2,0 b) 4,0 c) 6,0 d) 8,0 e) 10,0 2
Resolução
F2 = 3 . 100 ⇒ F = 10
3 N
→
A resultante R corresponde b)
a quatro vezes o lado do
quadrado. Como o lado re-
presenta 2,0N, a resultante
tem módulo de 8,0 N. F2 = F12 + F22
Resposta: D
F2 = 100 + 100 = 200
3. (FUND. CARLOS CHAGAS-LONDRINA-PR) – Duas forças, uma F = 10
2 N
de módulo 30N e outra de módulo 50N, são aplicadas simulta-
neamente num corpo. A força resultante certamente tem módulo
→
R tal que: c)
a) 20N ≤ R ≤ 80N b) R > 50N c) R = 80N
d) R > 30N e) 30N ≤ R ≤ 50N F2 = F12 + F22+ 2 F1F2 cos 120°
Resolução
F1 = 30N e F2 = 50N
F2 = 100 + 100 + 2 . 100 . – ––12
F2 – F1 ≤ R ≤ F2 + F1
F2 = 100
␪ = 180° ␪ = 0°
F = 10N
20N ≤ R ≤ 80N
Resposta: A
4. (EsFAO-RJ) – Uma traineira, retida num banco de areia, foi resga-

Respostas: a) 10
3 N
tada utilizando-se duas cordas concorrentes e perpendiculares b) 10
2 N
entre si. c) 10N
92
6. (UERJ-MODELO ENEM) – Considere a tirinha abaixo. O autor expressa o fato de que o deslocamento é uma grandeza
física vetorial. Uma outra tirinha que enfatize esse mesmo caráter
vetorial,envolvendo uma grandeza física diferente, não poderá ser
elaborada se o conceito físico for o de:
a) força b) energia c) velocidade d) aceleração
Resolução
Das grandezas citadas, a única escalar é a energia.
A grandeza vetorial é caracterizada pela sua intensidade, direção
e sentido.
A grandeza escalar não tem orientação e fica perfeitamente carac-
(RAMALHO,F.,FERRARO,N.e SOARES, P.A.T. Os fundamentos terizada com seu valor numérico e sua unidade de medida.
da Física:Mecânica. São Paulo: Moderna, 1997.) Resposta: B
7. (UESPI) – Dentre as alternativas abaixo, assinale aquela que

apresenta uma grandeza física de natureza vetorial.
a) Corrente elétrica.
b) Força magnética.
c) Massa.
d) Pressão hidrostática.
e) Temperatura.
→ → →
8. (UNIFESP) – Na figura, são dados os vetores a, b e c.
O módulo da força resultante sobre a partícula vale
a) 5N b) 6N c) 10N d) 24N e) 30N
→ → →
12. Considere três forças coplanares, P, Q e R, cujos módulos são,
respectivamente:
P = 3,0N
Q = 5,0N
R = 7,0N
Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se
→ → → → Variando-se as direções desses vetores que, contudo, continuam
afirmar que o vetor d = a – b + c tem módulo
coplanares, a resultante de menor módulo que pode ser obtida
a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima. tem módulo igual a
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo. a) 4,0N b) 3,0N c) 2,0N d) 1,0N e) zero
c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita.
d)
2 u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido → → → →
horário. 13. Quatro forças, F1, F2, F3 e F4, todas com a mesma intensidade F,
têm orientações conforme as figuras numeradas de I a IV.
e)
2 u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido
Determine o módulo e a orientação da soma vetorial das quatro
anti-horário. forças, representando-a em relação ao sistema cartesiano xy
indicado.
→ →
9. Considere duas forças, F1 e F2, de intensidades F1 = 10,0N e
F2 = 15,0N, aplicadas a um ponto material. Um possível valor da
→ →
intensidade da força resultante entre F1 e F2 é
a) zero b) 2,0N c) 4,0N d) 12,0N e) 30,0N
→ →
10. Considere duas forças, F1 e F2, de intensidades F2 = 8,0N e
F1 = 6,0N.
Determine →
a) o →
intervalo de variação do módulo da força resultante entre F1
e F2. → → → →
b) a intensidade da força resultante entre F1 e F2 quando F1 e F2
forem perpendiculares. → → → →
c) a intensidade da força resultante entre F1 e F2 quando F1 e F2
formarem um ângulo ␪ = 60°.
11. (PUC-MG) – Sobre uma partícula P agem quatro forças, repre-

sentadas na figura a seguir.
93
→
14. Na figura, representamos quatro forças. força FC e o ângulo que ela faz com o eixo x (também medido no
Cada lado do quadrado pontilhado corresponde a 1N. sentido anti-horário em relação à orientação positiva do eixo x),
→
supondo-se que FC equilibre as outras duas.
17. (VUNESP) – No ensino médio, as grandezas físicas costumam

ser classificadas em duas categorias. Na primeira categoria, estão
as grandezas definidas apenas por um número e uma unidade de
medida; as grandezas da segunda categoria requerem, além dis-
so, o conhecimento de sua direção e de seu sentido.
a) Como são denominadas as duas categorias, na sequência
apresentada?
O módulo da força resultante das quatro forças representadas é igual
a b) Preencha corretamente as lacunas, indicando uma grandeza
a) 0 b) 1N c) 2N d) 4N e) 8N física da área de mecânica e outra da área de eletricidade, para
cada uma dessas categorias.
15. Na figura, estão representadas, em escala, as forças atuantes em área 1.a categoria 2.a categoria
uma partícula. mecânica ....................... ......................
eletricidade ....................... ......................
→ →
18. (MACKENZIE–SP-MODELO ENEM) – → Na figura a seguir, a e b
→
são vetores paralelos ao eixo y e c e d, paralelos ao eixo x.
Sabendo-se que os quatro vetores têm o mesmo módulo, assi-

nale a alternativa incorreta.
→ →
a) →a = b=→
A força resultante na partícula (soma vetorial de todas as forças)
c=d
tem intensidade igual a →
a) 8N b) 17N c) 34N d) 44N e) 56N b) →
a = –b
→ → →
→ → c) a + b = 0
16. (UFC) –→
Considere duas forças, FA e FB, cujos módulos valem 3N. →
→ d) |→a 2 |→
+ c | = a|
Se FA e FB fazem, respectivamente, ângulos de 60° e 120° com o
→ → →
eixo x (o ângulo é medido no sentido anti-horário em relação à e) | b + c | =
2 |a |
orientação positiva do eixo x), calcule o módulo de uma terceira
8. Produto de um 9. Vetores opostos

escalar por um vetor Dois vetores são opostos quando têm mesmo mó-
Consideremos uma grandeza escalar e e uma grande- dulo, mesma direção e sentidos opostos.
→
→ A soma de vetores opostos é o vetor nulo ( 0 ).
za vetorial V . → →
→ O vetor –V1 é o vetor oposto de V1, isto é, o vetor
O produto e V tem como resultado uma grandeza ve- → →
→ → –V1 é o produto de V1 por –1.
torial G = e V, com as seguintes características.
É usual representarmos um vetor indicando sua ex-
→ → tremidade e sua origem como se segue:
• | G | = | e | . |V |
→ → ⎯→
• direção: a mesma de V V1 = OA = A – O
→ ⎯
→
• sentido: depende do sinal de e: –V1 = OB = B – O
→
e > 0: mesmo sentido de V ;
→
e < 0: sentido oposto ao de V .
94
10. Vetor diferença → → →

→ → | V3|máx = | V1| + | V2|
Consideremos dois vetores, V1 e V2.
→
→ → O valor mínino de | V3| é obtido quando cos ␣ = 1
Define-se vetor diferença entre V2 e V1, nesta or- (␣ = 0°)
→ →
dem, como um vetor V3 dado pela soma de V2 com
→ Neste caso, teremos:
o oposto de V1. → → → → →
| V3|2mín = | V1|2 + | V2|2 – 2| V1| | V2|
→ → →
→ → → → → | V3|2mín = (| V2| + | V1|)2
V3 = V2 – V1 =V2 + (–V1)
→ →
Com | V2| > | V1|, tem-se:
→ →
Representando V2 e V1 com a mesma origem, o ve-
→ → → → → →
tor ⌬V = V2 – V1 é dado, geometricamente, pelo seg- | V3|mín = | V2| – | V1|
mento orientado que vai da extremidade do segmento
→ → → →
orientado de V1 para a extremidade do segmento orien- O intervalo de variação de | V3| com | V2| > | V1| é
→ dado por:
tado de V2, como ilustra a figura:
→ → → → →
| V2| – | V1| ≤ | V3| ≤ | V2| + | V1|
→ →
Observe que o intervalo de variação de | V2 + V1| e
→ →
de | V2 – V1| é o mesmo, apenas o ângulo ␣ que propor-
ciona os valores máximo e mínimo é diferente:
→ → → →
␣ = 0° ⇔ | V2 + V1|máx e | V2 – V1|mín
→ → → →
␣ = 180° ⇔ | V2 + V1|mín e | V2 – V1|máx
→ →
Para V1 e V2, formando um ângulo ␣ genérico e apli- Por outro lado, quando ␣ = 90°, temos:
→
cando-se a lei dos cossenos, obtemos o módulo de ⌬V. → → → →
| V2 + V1| = | V2 – V1|:
→ → → → →
|⌬V |2 = |V1|2 + |V2|2 – 2|V1| |V2| cos ␣
→
O valor máximo de | V3| é obtido quando cos ␣ = –1 → → → → → →
(␣ = 180°). | V2 + V1| = | V2 – V1| =
| V2 |2 + | V1|2
Neste caso, teremos:
→ → → → → 11. Decomposição
| V3|2máx = | V1|2 + | V2|2 – 2| V1| | V2| (–1)
→ → → → → de um vetor em
| V3|2máx = | V1|2 + | V2|2 + 2| V1| | V2| duas direções perpendiculares
→ →
→ → Seja o vetor F inclinado de ␣ em relação ao eixo Ox
| V3|2máx = (| V1| + | V2|)2
e inclinado de ␤ em relação ao eixo Oy.
95
Na figura, representamos por →

u o versor do eixo Or.
Dado um sistema constituído por três eixos de mes-
ma origem e dois a dois perpendiculares (Sistema Carte-
→ →
siano Triortogonal), é usual representarmos por i , j e
→
k , respectivamente, os versores dos eixos Ox, Oy e Oz,
conforme figura.
→ →
Fx = componente de F segundo Ox.
→ →
Fy = componente de F segundo Oy.
Da figura, temos:
Fy Fx
sen ␣ = –––– ; cos ␣ = ––––
F F
Fx Fy
sen ␤ = –––– ; cos ␤ = ––––
F F
Portanto:
13. Representação de um
Fx = F cos ␣ = F sen ␤ vetor com o uso de versores
→
Fy = F cos ␤ = F sen ␣ Consideremos um vetor V cuja direção é a mesma
→
F2 = F2x + F2y de um versor u .
Lembrando que o versor tem módulo unitário, pode-
→
mos representar o vetor V como se segue:
→ → →
V = ± |V | u
→ →
O sinal (+) aplica-se ao caso em que V e u têm o
→ →
mesmo sentido e o sinal (–) ao caso em que V e u têm
sentidos opostos.
Para simplificar a notação acima, vamos representar
→
± | V | apenas por V.
O símbolo V representa o valor relativo (valor algé-
→
brico) associado ao módulo e sentido do vetor V .
→ → → Assim:
R é a soma vetorial de A com B; a componente Rx é a soma de Ax com Bx e →
V representa a grandeza vetorial.
a componente Ry é a soma de Ay com By. →
| V | representa o módulo ou intensidade da grande-
za vetorial.
12. Conceito de versor V representa o valor algébrico da grandeza vetorial.
Consideremos uma reta orientada ou eixo. Define-se Então, escrevemos:
versor do eixo como um vetor de módulo unitário e que → →
tem a mesma “orientação” do eixo, isto é, a mesma V =Vu
direção e sentido do eixo.
Considerando-se um sistema cartesiano triortogonal
→→ → →
com versores i , j e k , um vetor V qualquer pode ser
→ → →
escrito como uma soma de três vetores, V1, V2 e V3, que
tenham as direções dos três eixos Ox, Oy e Oz.
96
→ → →
Os vetores V1, V2 e V3 são as componentes do vetor Aplicando-se duas vezes o Teorema de Pitágoras,
→
V, segundo os eixos cartesianos. nos triângulos retângulos da figura, chegamos a:
→ → → →
| V | =
| V1|2 + | V2|2 + | V3|2
A representação dos vetores com o uso de versores é
útil no caso da soma e subtração de vetores.
A título de exemplo, consideremos os vetores veloci-

→ →
dades V1 e V2 indicados em escala, na figura acima.
→ → → → → →
Adotando-se os versores x e y assinalados, temos:
Da figura, observamos que V = V1 + V2 + V3 (basta
→ → →
aplicarmos duas vezes a regra do paralelogramo). V2 = 5,0 x + 7,0 y (cm/s)
→ → → → → → → → →
Sendo V1 =V1 i ; V2 =V2 j ; V3 =V3 k , temos: V1 = –2,0 x + 7,0 y (cm/s)
→ → → →
V2 + V1 = 3,0 x + 14 y (cm/s)
→ → → → → → →
V = V1 i + V2 j + V3 k V2 – V1 = 7,0 x (cm/s)
→ →
19. (UELON-PR) – Dois vetores perpendiculares, F1 e F2, represen- 20. (FEI-SP) – Duas bicicletas, A e B, movem-se com velocidades cons-
tam forças de intensidades 12N e 16N, respectivamente. Os mó- tantes, de módulos VA = 12km/h e VB = 16km/h. No instante
→ → → → t0 = 0, as bicicletas passam por uma mesma posição e afastam-se
dulos, em newtons, de F1 – F2 e F1 + F2 são, respectivamente,
em trajetórias retilíneas e perpendiculares, conforme se ilustra na
a) 20 e 20 b) 12
2 e 16
2 c) 11 e 40 figura.
d) 4 2 e 28
2 e) 4 e 28
Resolução
→ → → →
| F1 + F2| = | F1 – F2| =
F12 + F22 =
144 + 256 (N) =
400 N
→ → → →
| F1 + F2| = | F1 – F2| = 20N
Resposta: A
97
No instante t1 = 1,0h, a distância d entre as bicicletas vale: Resolução

a) 14km b) 20km c) 24km d) 28km e) 30km 1)
Resolução
→
A velocidade de A em relação a B, indicada por VAB, é definida co-
→ →
mo a diferença VA – VB.
No caso:
→ 2 → →
| VAB | = | VA |2 + | VB |2
→ 2
| VAB| = (12)2 + (16)2 = 400 Vy = V cos 60°
1
Vy = 0,80 . — (m/s) ⇒ Vy = 0,40m/s
2
→
| VAB| = 20km/h
⌬h ⌬h
2) Vy = —— ⇒ 0,40 = —— ⇒ ⌬h = 12,0m
⌬t 30
A distância d entre as bicicletas A e B é dada usando-se a ideia de Resposta: D

movimento relativo: → →
→ 23. (ACAFE-SC) – Considerando-se os vetores deslocamento a, b, e
⌬srel = | VAB| . t →
c, esquematizados a seguir, o módulo do deslocamento resultan-
dAB = 20 . 1,0 (km) ⇒ te é igual a:
dAB = 20km
a) zero b) 50m c) 100m d) 150m e) 200m
Resposta: 20km
21. Um carro, ao fazer uma curva, sofre uma mudança de 53° na dire-
ção de sua velocidade vetorial. No início da curva, a velocidade
vetorial tinha módulo igual a 12,0m/s e no final da curva 20,0m/s.
Calcule o módulo da variação da velocidade vetorial.
Dado: cos 53° = 0,60
Resolução
Resolução
→ → →
a = –20 x + 30 y (m)
→ → →
b = –40 x – 30 y (m)
→ → → → → → → →
c = +60 x – 50 y (m)
⌬V 2 = V 12 + V 22 – 2 V 1 V 2 cos 53°
→ → →
→ S = a + b +→c = –50 y (m)
⌬V 2 = 144 + 400 – 2 . 12,0 . 20,0 . 0,60
→ |→
s | = 50m
⌬V 2 = 544 – 288 = 256
Resposta: B
→
| ⌬V | = 16,0m/s
24. (UFMG-MODELO ENEM) – Observe a figura a seguir:
Resposta: 16,0m/s
22. (VUNESP-MODELO ENEM) – A escada rolante, que liga a plata-

forma de uma estação subterrânea de metrô ao nível da rua,
move-se com velocidade constante de módulo 0,80m/s.
Sabendo-se que a escada tem uma inclinação de 30°, em relação
à horizontal, determine, com o auxílio da tabela, a componente
vertical de sua velocidade.
ângulo sen ␪ cos ␪

30° 0,500 0,867
60° 0,867 0,500
Sabendo-se que o tempo necessário para que um passageiro seja

transportado pela escada, do nível da plataforma ao nível da rua,
é de 30 segundos, a profundidade que se encontra o nível da
plataforma, em relação ao nível da rua, é de:
a) 5,0m b) 6,0m c)10,0m d) 12,0m e) 15,0m
98
Um jogador de futebol encontra-se no ponto P, a 50m de distância do centro do gol e a 30m da linha de fundo. Em um dado momento, o jogador
avança com uma velocidade de módulo V = 5,0m/s, em direção ao gol. Nesse instante, a velocidade com que ele se aproxima da linha de fundo
tem módulo igual a:
a) 2,5m/s b) 3,0m/s c) 5,0m/s d) 30,0m/s e) 50,0m/s
Resolução ––– –––
1) PA = 30m; PB = 50m
–––
PA 30m
cos ␪ = ––––
––– = ––––– = 0,60
PB 50m
2) A velocidade com que o jogador se aproxima da linha de fundo é a projeção de sua velocidade na
direção da reta PA
Vy = V cos ␪ ⇒ Vy = 5,0 . 0,60 (m/s) ⇒ Vy = 3,0m/s
Resposta B
25. Quando estudamos o produto de uma grandeza escalar por uma Determine
grandeza vetorial originando uma outra grandeza vetorial, dois a) o módulo da velocidade de A em relação a B.
exemplos são importantes: b) a distância entre A e B em função do tempo.
→ →
2.a Lei de Newton: FR = m a
→ 27. O vetor velocidade associado ao movimento de uma partícula tem
FR = força resultante em uma partícula
uma componente Vx = 3,0m/s e uma componente Vy = – 4,0m/s.
m = massa da partícula Considere a tabela a seguir.
→
a = aceleração vetorial da partícula ␪ 30° 37° 45° 53° 60°
→ →
Força eletrostática: F = Q E
→ tg ␪
3 /3 3/4 1 4/3
3
F = força eletrostática em uma partícula eletrizada
O vetor velocidade tem orientação mais bem representada por:
Q = carga da partícula
→
E = vetor campo elétrico
Considere uma partícula de massa m eletrizada com uma carga
negativa Q e submetida à ação exclusiva de um campo
→
eletrostático uniforme E (não nulo).
→
Indiquemos por a a aceleração vetorial constante adquirida pela
partícula.
Analise as proposições a seguir:
→ → Q →
I) A aceleração vetorial a é dada por a = –– E
m
→ →
II) As grandezas vetoriais a e E têm seus módulos medidos nas
mesmas unidades.
→ →
III) As grandezas vetoriais a e E têm, necessariamente, a mesma
direção.
→ → Q
IV) As grandezas vetoriais a e E terão mesmo sentido se –– for
positivo. m
a) I e II b) I e III c) II e IV d) II e III e) III e IV
26. A velocidade de um móvel A em relação a um móvel B é definida

por: → → →
VAB = VA – VB
→
VAB = velocidade de A em relação aB → →
28. Considere duas forças, F1 e F2, atuando em um ponto material.
→
VA = velocidade vetorial de A As forças estão representadas em escala na figura a seguir, na
→ qual o lado de cada quadradinho corresponde a uma intensidade
VB = velocidade vetorial de B de 2,0N.
Considere dois móveis, A e B, deslocando-se segundo os eixos
cartesianos x e y, conforme figura.
As velocidades de A e B têm módulos VA = 5,0m/s e VB = 12,0m/s.

No instante t = 0, os móveis A e B estão juntos na origem O das
coordenadas.
99
a) Usando o sistema de versores indicado, represente as forças

→ →
F1 e F2 por meio de suas componentes.
→ →
b) Determine a intensidade da resultante entre F1 e F2 .
29. Considere um sistema cartesiano triortogonal x; y; z com versores

→ → →
i, j e k.
→ →
a) Determine, usando os versores i e j ,
1) a componente da força resultante na direção x;
2) a componente da força resultante na direção y;
3) a força resultante.
→
Uma força F constante é expressa por: b) Calcule o módulo da força resultante.
→ → → →
F 3,0 i + 4,0 j + 12,0 k (N) → → → →
→ 33. Considere→uma partícula sob ação de quatro forças, F1, F2, F3 e F4.
O módulo da força F vale: → →
As forças F1, F2 e F3 estão representadas na figura, na qual o lado
a) 5,0N b) 13,0N c) 10,0N d) 20,0N e) 24,0N de cada quadriculado corresponde a 1,0N.
Determine → → → → →
30. Uma partícula está submetida à ação de três forças constantes, a) as expressões de F1, F2 e F3 usando os versores i e j repre-
→ → →
F1, F2 e F3, com módulos e orientações representados na figura. sentados na figura.
→
b) a expressão de→ 4
F para que a partícula esteja em equilíbrio.
c) o módulo de F4.
Determine → → →
a) o módulo da força resultante entre F1, F2 e F3.
b) a orientação da força resultante. 34. (UFMG-MODELO ENEM) – Dois barcos – I e II – movem-se, em
um lago, com velocidades constantes, de mesmo módulo, como
31. Um ponto material está submetido ex- representado nesta figura:
clusivamente à ação de três forças co-
planares de módulos F1 = 5N, F2 = 4
3
N e F3 = 10N, como mostra a figura.
Determine o módulo da força resultante
na partícula.
1 3
Dados: sen 30° = –– ; cos 30° = –––
2 2
32. Considere o sistema de forças representado na figura e aplicado

em uma mesma partícula.
São dados: Em relação à água, a direção do movimento do barco I é perpen-
→ → → dicular à do barco II e as linhas tracejadas indicam o sentido do
| F1| = | F2| = 20,0N; i = versor do eixo Ox deslocamento dos barcos.
→ →
| F3| = 31,0N; j = versor do eixo Oy Considerando-se essas informações, é correto afirmar que a
velocidade do barco II, medida por uma pessoa que está no barco
sen 37° = cos 53° = 0,60; cos 37° = sen 53° = 0,80 I, é mais bem representada pelo vetor
a) P b) Q c) R d) S
100
7) B 8) B 9) D 10) a) 2,0N ≤ FR ≤ 14,0N 29) Vista de cima: Vista lateral:

b) FR = 10,0N
c) FR = N
148
11) A 12) E
13)
2 2 2 2 2 2
Fxy = Fx + Fy F = Fxy + Fz
2 2 2
F = Fx + Fy + Fz ⇒ F =
2

Fx + Fy + Fz =
2 2 2
9,0 + 16,0 + 144 (N)
F=
169 N ⇒ F = 13,0N
Resposta: B
30) a) R = 10,0N
b)
14) D 15) C
31) 9 3 N
16) → → → → →
32) a) 1) Rx = | F1| cos 37° i – | F2| cos 53° i
→ → →
Rx = 20,0 . 0,80 i – 20,0 . 0,6 i (N)
→ → → → →
Rx = 16,0 i –12,0 i (N) ⇒ Rx = 4,0 i (N)
→ → → → → → →
2) Ry = | F1| cos 53° j + | F2| cos 37° j – | F3 | j
→ → → →
Ry = 20,0 . 0,60 j + 20,0 . 0,80 j – 31,0 j (N)
→ → → → → →
Ry = 12,0 j + 16,0 j – 31,0 j (N) ⇒ Ry = –3,0 j (N)
F2 = FA2 + FB2 + 2 . FA . FB . cos 60°
→ → → → → →
1 3) R = R x + R y ⇒ R = 4,0 i – 3,0 j (N)
F2 = 9 + 9 + 2 . 3 . 3 . –– = 3 . 9 ⇒ F = 3
3N
2 → → →
→ → b) | R | 2 = | R x| 2 + | R y| 2
A força FC deve ser oposta a F (mesmo módulo, mesma dire-
ção e sentido oposto).
→
Portanto, FC tem módulo 3
3 N, direção perpendicular ao →
eixo x e sentido oposto ao eixo y e o ângulo formado com o | R | 2 = (3,0) 2 + (4,0) 2
eixo x, medido no sentido anti-horário, é de 270°. →
| R | = 5,0N
17) a) 1.a categoria: grandezas escalares
2.a categoria: grandezas vetoriais → → → → → →
33) a) F1 = 8,0 i + 4,0 j (N) F2 = –4,0 i + 3,0 j (N)
b) Área 1.a
categoria 2.a
categoria → → →
Mecânica energia quantidade de movimento F3 = 4,0 i – 1,0 j (N)
Eletricidade potencial elétrico campo elétrico → → → → → → → →
b) F1 + F2 + F3 + F4 = 0 ⇒ F4 = –8,0 i – 6,0 j (N)
18) A
→ c)
25) B 26) a) VAB = 13,0m/s 27) D
→
b) dAB = 13,0t (SI) F4 = (6,0)2 + (8,0)2
→ → → → → → → →
28) a) F1 = 16,0 i + 12,0 j (N) b) R = F1 + F2 = 36,0 i (N) F4 = 10,0N
→ → → →
F2 = 20,0 i – 12,0 j (N) | R | = 36,0N
34) C
101
CAPÍTULO
Cinemática
6 CINEMÁTICA VETORIAL
N a Cinemática escalar, a posição do móvel, a velocidade e a aceleração

são estudadas apenas sob o aspecto escalar, isto é, sem envolvimento das noções
de direção e sentido e, portanto, as propriedades e equações apresen-
tadas são independentes da trajetória descrita pelo móvel.
Na Cinemática vetorial, os elementos descritivos do movimento:

posição, velocidade e aceleração passam a ser estudados com caráter vetorial, isto é, como grandezas
orientadas, envolvendo direção e sentido e, portanto, sendo dependentes da forma da trajetória.
Na foto as fagulhas que saem de um rebolo mostram que a velocidade vetorial tem direção tangente à
trajetória.
1. Raio vetor ou vetor posição 2. Expressão do vetor posição em

Considere um sistema cartesiano triortogonal de ori- função das coordenadas
gem O. cartesianas de posição
Seja P a posição de um ponto material, em um dado
Seja P1 a posição de um ponto material em um dado
instante t.
→ instante t1.
Define-se vetor posição ou raio vetor r , no ins- →
Podemos expressar o vetor posição r1 = P1 – O em
tante considerado, como o vetor P– O, isto é, o vetor de função das coordenadas cartesianas de posição (x1; y1; z1)
origem O e extremidade P. → → →
e do terno de versores ( i ; j ; k ).
→
O vetor r , como o próprio nome sugere, caracteriza
a posição P do móvel num dado instante t.
O vetor posição P1 – O pode ser escrito como a soma

de suas componentes segundo os três eixos cartesianos.
102
Considere a trajetória arbitrária L, não retilínea, en-

tre as posições P1 e P2.
Percebemos da figura que:
→
| ⌬s | > |d |
→
r = P1 – O = (A – O ) + (B – A) + (P1 – B)
→ → →
P1 – O = x1 i + y1 j + z1 k
→
O módulo do vetor posição r1 é dado por:
→ 2 2 2
|r1 | 2 = x + y + z
1 1 1
→
|r1| =
x
2
+ y12 + z12
1
3. Vetor deslocamento Contudo, se a trajetória entre P1 e P2 fosse um único

ou deslocamento segmento de reta, teríamos:
vetorial entre dois instantes →
| ⌬s | = |d |
Genericamente para qualquer trajetória:
Sejam P1 e P2 as posições de um ponto material em
→
dois instantes quaisquer t1 e t2, com t2 > t1. | ⌬s | ≥ |d |
→
Define-se deslocamento vetorial d, entre os ins- Notas
tantes t1 e t2, como o vetor P2 – P1, isto é, o vetor de • A variação de espaço ou deslocamento escalar
origem P1 e extremidade P2. (⌬s) é medido ao longo da trajetória e, portanto, depende
da forma da trajetória. →
• O deslocamento vetorial ( d ) não depende da for-
ma da trajetória, interessando apenas a posição inicial P1
e a posição final P2.
O deslocamento escalar depende da forma da tra-
jetória.
O deslocamento vetorial independe da forma da
trajetória.
→
4. Velocidade vetorial média (Vm)
→
→ → É a razão entre o deslocamento vetorial d e o
Sendo r1 = P1 – O e r2 = P2 – O os vetores posição intervalo de tempo ⌬t gasto neste deslocamento.
nos instantes t1 e t2, temos: →
P2 – P1 = (P2 – O) – (P1 – O) → d
Vm = ––––
→ → → ⌬t
→
d = r2 – r1 = ⌬r
isto é:
Como:
O deslocamento vetorial é a diferença entre os ve-
→
tores posição. | ⌬s | ≥ |d |
103
temos:
→
|⌬s| |d |
––––– ≥ –––––
⌬t ⌬t
isto é,
→ Se fizermos ⌬t tender a zero, isto é, P2 tender a P1,
|Vm | ≥ |Vm|
teremos:
→
lim |d| = lim |⌬s |
A velocidade escalar média tem módulo maior ou ⌬t → 0 ⌬t → 0
igual ao da velocidade vetorial média.
ou, ainda:
É imediato notar que vale a igualdade quando a traje- →
|d | |⌬s|
tória entre as posições inicial e final for um único seg- lim –––– = lim ––––
mento de reta. ⌬t → 0 ⌬t ⌬t → 0 ⌬t
isto é,
→
|V| = |V|
1 →
Sendo ––– um escalar positivo, Vm tem a mesma A velocidade vetorial instantânea tem módulo
⌬t
→ sempre igual ao da velocidade escalar instantânea.
orientação de d , isto é, a mesma direção (secante à traje-
→
tória) e o mesmo sentido de d (sentido do deslocamento).
→
A velocidade vetorial média Vm tem direção dada pe-
la reta P1P2, que é secante à trajetória.
À medida que P2 tende para P1, a reta secante tende
para a reta tangente à trajetória em P1.
→
Vm tem direção da reta P1 P2 e sentido de P1 para
P2.
5. Velocidade vetorial instantânea
É o limite para o qual tende a velocidade vetorial mé-

dia quando o intervalo de tempo considerado tende a
zero. Portanto:
→ → A velocidade vetorial instantânea tem direção
V = lim Vm
⌬t → 0 sempre tangente à trajetória.
ou, ainda,
→
→ d
V = lim –––
⌬t → 0 ⌬t
O sentido da velocidade vetorial instantânea é o
sentido do movimento.
É intuitivo notar que, à medida que o ponto P2 se

aproxima de P1, ao longo da trajetória, o módulo do des-
→
locamento d vai aproximando-se do módulo da variação
de espaço ⌬s.
104
→
Representemos o vetor velocidade V , com uma ori-
→ gem fixa O, em instantes sucessivos: t1, t2, ....., tn.
Seja t o versor da tangente à trajetória e V a veloci- →
dade escalar. A velocidade vetorial instantânea é repre- Seja P’ a extremidade do vetor velocidade V .
sentada por: → → Enquanto a partícula P descreve sua trajetória L, com
V =V t velocidade vetorial variável, o ponto P’ (extremidade do
Isto significa que o módulo da velocidade vetorial vetor velocidade) descreve uma linha H, que é denomi-
instantânea é igual ao da velocidade escalar, a direção é nada hodógrafo ou curva hodográfica do movimento.
→
a da reta tangente à trajetória (versor t ) e o sentido é o
do movimento do corpo, definido pelo sinal da veloci-
dade escalar V.
Nota: A velocidade vetorial instantânea é chamada
simplesmente de velocidade vetorial.
A velocidade vetorial de uma partícula será constan-

te em dois casos:
1) Partícula em repouso: a velocidade vetorial é
constantemente nula.
2) Partícula em movimento retilíneo e uniforme: a
velocidade vetorial, para ser constante e não nula, deve
ser constante em módulo (movimento uniforme) e em
orientação (trajetória retilínea).
Comparando-se os movimentos da partícula P, des-
A velocidade vetorial somente será constante
crevendo a trajetória L, e do ponto P’, descrevendo o ho-
quando o móvel estiver em repouso ou em movi-
dógrafo H, verificamos que a velocidade de P coincide
mento retilíneo e uniforme.
com o vetor posição de P’. Isto implica que:
Se uma partícula estiver, por exemplo, em movimen-
to circular e uniforme, a velocidade vetorial terá módulo A velocidade no movimento de P’ é igual (com ex-
constante (movimento uniforme), porém direção variável ceção das unidades) à aceleração no movimento de
(trajetória curva) e, portanto, será um vetor variável. P.
A proposição apresentada é conhecida com o nome
de Teorema de Hamilton.
I) Movimento retilíneo e uniforme

A velocidade vetorial é constante e o hodógrado
se reduz a um ponto.
→ → →
|VA | = |VB | = |VC | (movimento uniforme)
→ → →
VA ≠ VB ≠ VC (direção variável) II) Movimento retilíneo uniformemente variado
→
com velocidade inicial V0 (não nula)
6. Hodógrafo
→
(ou curva hodográfica) A velocidade vetorial V terá direção constante e mó-
associado a um movimento dulo variável e o hodógrafo será uma semirreta na dire-
→
ção de V .
Consideremos uma partícula P descrevendo uma tra-

→
jetória qualquer e seja V sua velocidade vetorial em um
instante genérico t.
105
→
III) Movimento circular e uniforme Como | VP | = ␻ R, tem-se:
→
A velocidade vetorial V terá módulo constante e di-
→ V
reção variável e o hodógrafo será uma circunferência | aP | = ␻ . ␻ R = ––– . V
→ R
cujo raio tem a mesma medida do módulo de V .
O ponto P’ descreverá movimento circular
→ V2
uniforme com a mesma velocidade angular do |aP | = ␻2 R = ––––
movimento de P. R
IV) Movimento balístico

Consideremos um projétil P lançado obliquamente
ou horizontalmente no campo de gravidade da Terra, su-
→
posto uniforme ( g = constante).
De acordo com o Teorema de Hamilton, o ponto P’
→
que descreve o hodógrafo terá uma velocidade VP’ igual,
com exceção das unidades, à aceleração de P, que é a ace-
→
leração da gravidade. Isto implica que VP seja vertical e
dirigido para baixo e o hodógrafo seja um segmento de
reta vertical.
Usando o Teorema de Hamilton, podemos demons-

trar a expressão do módulo da aceleração centrípeta da
partícula P.
→ → No movimento balístico, o hodógrafo será o segmen-
De fato: |aP | = |VP’| (com exceção das unidades)
→ → to de reta vertical P’ P’.
|aP | = ␻ . RH = ␻ . |VP | 0 2
1. (PUCC-SP-MODELO ENEM) – Num bairro, onde todos os quar- O deslocamento vetorial desse transeunte tem módulo, em me-
teirões são quadrados e as ruas paralelas distam 100m uma da tros, igual a:
outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória a) 300 b) 350 c) 400 d) 500 e) 700
representada no esquema abaixo. Resolução
→
|d| 2 = (300)2 + (400)2
→
|d| = 500m
Resposta: D
106
2. Na figura a seguir, está representada a trajetória ABC de uma par- 4. Um móvel descreve uma circunferência de raio R com movi-
tícula que se desloca percorrendo, sucessivamente, os segmento uniforme. O intervalo de tempo gasto em uma volta com-
mentos de reta AB e BC, em um intervalo de tempo de 10s. pleta é T.
No trajeto de A para B, calcule

a) a velocidade escalar média;
b) a intensidade da velocidade vetorial média.
Resolução
2πR
⌬s = –––––
Determine, para o trajeto ABC: 4
a) o módulo da velocidade escalar média;
b) o módulo da velocidade vetorial média. ⌬s 2πR/4
Vm = –––– = –––––––
Resolução ⌬t T/4
a) 1) ⌬s = AB + BC = 14m
⌬s 14m 2πR
2) Vm = –––– = –––– ⇒ Vm = 1,4m/s Vm = ––––
⌬t 10s T
→ →
b) 1) |d| 2 = (AB)2 + (BC)2 ⇒ |d | = 10m →
→ 1) |d| 2 = R2 + R2 = 2R2
→ |d| 10m →
2) | Vm | = ––––– = ––––– ⇒ |Vm| = 1,0m/s →
⌬t 10s |d| = R 2
→
Respostas: a) 1,4m/s → |d| R 2
2) | Vm | = ––– = ––––––
b) 1,0m/s ⌬t T/4
3. Uma partícula descreve uma circunferência partindo de um ponto → 4R 2

A no instante t1 = 0 e voltando ao ponto A no instante t2 = 6,0s. | Vm | = –––––––
O gráfico da velocidade escalar da partícula em função do tempo T
é dado a seguir:
2πR 4R 2
Respostas: a) –––– b) –––––––
T T
5. Para uma partícula em movimento, considere as seguintes propo-

sições:
(01) Para valores médios, a velocidade escalar tem módulo
sempre igual ao da velocidade vetorial.
(02) Para valores instantâneos, a velocidade escalar tem mó-
dulo sempre igual ao da velocidade vetorial.
(04) A velocidade escalar é constante se o movimento for uni-
forme.
(08) A velocidade vetorial somente é constante se o movimen-
to for retilíneo e uniforme.
(16) Se a velocidade vetorial for constante, a velocidade escalar
Calcule, entre os instantes t1 = 0 e t2 = 6,0s:
também será constante.
(32) Se a velocidade escalar for constante, a velocidade vetorial
b) a intensidade da velocidade vetorial média.
também será constante.
Resolução
(64) Se o movimento for circular e uniforme, a velocidade es-
a) 1) ⌬s = área (V x t)
calar será constante e a velocidade vetorial será variável.
3,0 Dê como resposta a soma dos números associados aos itens
⌬s = (6,0 + 2,0) –––– (m) ⇒ ⌬s = 12,0m corretos.
2
Resolução →
⌬s 12,0m (01) Falsa: |Vm | ≥ | Vm |
2) Vm = –––– = ––––––– ⇒ Vm = 2,0m/s
⌬t 6,0s (02) Verdadeira
(04) Verdadeira
→
→ |d| 0 →
(08) Verdadeira
b) |Vm| = ––––– = ––––– ⇒ |Vm | = 0 Para a velocidade vetorial ter módulo constante, o movi-
⌬t ⌬t
mento deve ser uniforme e para ter direção constante, o
Respostas: a) 2,0m/s movimento deve ser retilíneo.
b) zero (16) Verdadeira
107
(32) Falsa
Se o movimento for uniforme e curvo, a velocidade escalar
será constante e a vetorial variará em direção.
(64) Verdadeira
Resposta: 94
6. (VUNESP-MODELO ENEM) – Atletas participam de um treina-

mento para uma maratona correndo por alamedas planas e
retilíneas de uma cidade, que formam quarteirões retangulares. →
Um determinado atleta percorre 5 km da primeira alameda no d 2 = (2)2 + (4)2 = 20
sentido leste, em 30 min. A seguir, converge à esquerda e corre
mais 4 km da segunda alameda no sentido norte, em 20 min. Por →
fim, converge novamente à esquerda e corre mais 3 km da d = km
20
terceira alameda no sentido oeste, em 10 min. O módulo de sua
velocidade vetorial média vale, aproximadamente,
A velocidade vetorial média tem módulo dado por
a) 4,5 km/h b) 5,1 km/h c) 12 km/h
d) 8,5 m/min e) 20,0 m/min →
Resolução → d
Vm = –––––
⌬t
⌬t = 30 min +20 min + 10 min
⌬t = 60 min = 1,0h
Portanto:
→
20 km
Vm = ––––––––
1,0h
O atleta partiu do ponto A e deslocou-se 5km de A para B (no
sentido leste) e, em seguida, mais 4km de B para C (no sentido
norte) e, em seguida, mais 3km de C para D (no sentido oeste). →
O deslocamento vetorial é o vetor com origem em A e Vm 4,5km/h
extremidade em D e seu módulo é calculado pelo Teorema de
Pitágoras: Resposta: A
7. (UECE) – Um corpo move-se no plano xy, sendo as coordenadas (1) Movimento retilíneo e ( ) Velocidade vetorial de
de sua posição dadas pelas funções x = 3,0t e y = 1,0 t3 – 12,0t, uniforme direção constante e
com x e y em centímetros e com t em segundos. O módulo do módulo variável
deslocamento entre os instantes t1 = 0 e t2 = 4,0 s, em
centímetros, vale (2) Movimento retilíneo e ( ) Velocidade vetorial cons-
a) 4,0 b) 20,0 c) 38,0 d) 48,0 uniformemente variado tante
8. Uma partícula percorre o trajeto ABC, representado na figura, em (3) Movimento circular e ( ) Velocidade vetorial variá-
um intervalo de tempo de 2,0s. uniforme vel em direção e módulo
(4) Movimento circular e ( ) Velocidade vetorial de

uniformemente variado módulo constante e
direção variável
Assinale a alternativa que corresponde à sequência correta da nu-
meração.
a) 1, 2, 3, 4 b) 2, 1, 4, 3
c) 3, 4, 1, 2 d) 1, 3, 4, 2
e) 3, 4, 2, 1
10. (FUND. CARLOS CHAGAS) – Na figura a seguir, estão represen-

tados, em escala e de segundo em segundo, os vetores posição
de uma partícula em relação ao ponto O, que é fixo no plano onde
etermine, nesse trajeto ABC,
a partícula se move. No instante t = 2,0s, o módulo do vetor
b) o módulo da velocidade vetorial média. posição é igual a 6
2 metros. O módulo do deslocamento da

partícula durante o intervalo entre os instantes t = 0s e t = 4,0s é,
9. (UEPB) – De acordo com os conceitos estudados em Cinemática, em metros, igual a:
complete adequadamente a coluna da direita com os itens da es- a) 5
2 b) 6
2 c) 7
2 d) 8
2 e) 9
2
querda.
108
d) apenas o que se afirma em I e II.

e) o que se afirma em I, II e III.
→
14. Considere uma partícula em movimento e seja V sua velocidade
vetorial.
a) Em que tipo de movimento a velocidade vetorial é constante?
b) O que se pode afirmar a respeito da velocidade vetorial em um
movimento circular e uniforme?
c) Faça a associação correta:
I) Movimento Retilíneo e Uniforme
II) Movimento Retilíneo e Variado
III) Movimento Curvo e Uniforme
IV) Movimento Curvo e Variado
␣) Velocidade vetorial com módulo constante e direção variável.
␤) Velocidade vetorial constante em módulo, direção e sentido.
11. Uma partícula percorre uma trajetória com a forma de um qua- ␥) Velocidade vetorial com módulo variável e direção variável.
drado de lado L com movimento uniforme em um tempo T. ⌬) Velocidade vetorial com módulo variável e direção constante.
15. (UFC-MODELO ENEM) – Uma pedra de massa m gira em um

plano vertical, presa a uma corda de massa desprezível, conforme
a figura a seguir. No instante indicado na figura, a corda se parte,
de modo que a partícula passa a se mover livremente. A
aceleração da gravidade local é constante.
Determine, entre as posições A e C,

b) a velocidade vetorial média.
12. Um carro percorre uma pista circular de raio R em movimento

uniforme, gastando um tempo T para dar uma volta completa.
Calcule o módulo da velocidade vetorial média do carro para um
percurso
a) correspondente a um quarto de volta.
b) correspondente à meia volta. Assinale a alternativa que descreve o movimento da pedra após a
corda se ter rompido.
13. A respeito da velocidade escalar e da velocidade vetorial,
considere as proposições a seguir:
I) A velocidade escalar média e a velocidade vetorial média terão
módulos iguais se a trajetória for retilínea.
II) A velocidade vetorial e a velocidade escalar, valores instan-
tâneos, terão sempre módulos iguais, qualquer que seja a
trajetória e qualquer que seja o tipo de movimento.
III) Uma partícula descreve uma circunferência de raio R em um
tempo T, caminhando sempre no mesmo sentido. Para uma
2πR
volta completa, a velocidade escalar média tem módulo ––––
T
e a velocidade vetorial média tem módulo nulo.
Está correto
a) apenas o que se afirma em I.
b) apenas o que se firma em II.
c) apenas o que se afirma em III.
7. Aceleração vetorial média

→
É definida como o quociente entre a variação da velocidade vetorial ⌬V e o intervalo de tempo ⌬t gasto nesta
variação:
→
→ ⌬V
am = ––––
⌬t
Como ⌬t é escalar e positivo, a aceleração vetorial média a→

m terá a mesma direção e mesmo sentido da variação de
→
velocidade vetorial ⌬V .
109
Define-se “curvatura” da trajetória (C) como o

inverso do raio de curvatura (R).
1
C = –––
R
Para a trajetória retilínea: R → ∞ e C = 0
9. Aceleração
vetorial instantânea
É o limite para o qual tende a aceleração vetorial

média →
am quando o intervalo de tempo ⌬t tende a zero:
→
→ → ⌬V
a = lim am = lim ––––
⌬t → 0 ⌬t → 0 ⌬t
8. Raio de curvatura da
trajetória em um dado ponto P
Considere uma trajetória L, não retilínea, e um ponto
P da trajetória. A aceleração vetorial não tem uma orientação espe-
Tomemos dois pontos, P1 e P2, infinitamente próxi- cífica como é o caso da velocidade vetorial, porém é
mos de P, um de cada lado e sobre L. sempre orientada para o interior da curva trajetória, que
Como os três pontos, P1, P e P2, não são colineares, é denominada região convexa limitada pela curva.
eles determinam uma única circunferência que os contém.
→
1.o caso: →
a = constante = 0
Esta circunferência denomina-se circunferência os- Neste caso, a velocidade é constante e o móvel ou
culadora à trajetória L no ponto P. está em repouso ou em movimento retilíneo e uni-
O raio R dessa circunferência chama-se “raio de forme.
curvatura da trajetória L em P”. →
Por extensão, quando a trajetória for retilínea, di- 2.o caso: →
a = constante ≠ 0
zemos que o raio de curvatura tende ao infinito. Neste caso existem, também, duas possibilidades:
O raio de curvatura é um elemento geométrico e • Movimento retilíneo uniformemente variado
característico da trajetória; quando a trajetória é circular, com a reta trajetória na mesma direção da aceleração ve-
o raio de curvatura é constante e igual ao próprio raio da torial.
circunferência. • Movimento com trajetória parabólica, não uni-
Em uma elipse, hipérbole, parábola (curvas notá- formemente variado e com o eixo de simetria da pará-
veis), o raio de curvatura é variável. bola na mesma direção da aceleração vetorial.
110
→
| at | = | ␥ |
→
• Direção de at
A aceleração tangencial, como o próprio nome su-
gere, tem direção da tangente à trajetória, isto é, é para-
lela à velocidade vetorial.
→ →
at // V
Esquematizando:
→
→ → repouso Representando por t o versor da tangente, a direção
{ }
{
1) a = 0 →
MRU da aceleração tangencial será definida pelo versor t.
→
a = constante →
→ →
2) a ≠ 0 { MRUV
Trajetória parabó-
lica e não é MUV
• Sentido de at
Quando o movimento é acelerado (módulo da ve-
locidade aumenta), a aceleração tangencial tem o
mesmo sentido da velocidade vetorial.
10. Componentes Quando o movimento é retardado (módulo da
da aceleração vetorial velocidade diminui), a aceleração tangencial tem
A aceleração vetorial →a , nos movimentos curvos e sentido oposto ao da velocidade vetorial.
variados, admite duas parcelas ou componentes:
1) Aceleração tangencial → at, que tem a direção da
tangente à trajetória.
2) Aceleração normal ou centrípeta → acp, que tem a
direção normal à trajetória (perpendicular à tangente).
É evidente que:
→ → →
a = at + acp
|→ |→
at | 2 + | →
a | = acp|2
→
O sentido de at é definido pelo sinal da aceleração es-
calar ␥, pois, no movimento acelerado, V e ␥ têm mesmo
sinal e, no movimento retardado, V e ␥ têm sinais opostos.
• Notação de → at
Notação de uma grandeza vetorial é a maneira de
→ representá-la matematicamente.
• Módulo de at
Com o uso de matemática superior, pode-se demons-
trar que o módulo da aceleração tangencial é igual ao → →
valor absoluto da aceleração escalar, isto é: Assim: at = ␥ t
111
→
Essa notação está indicando que o módulo da acele- • Direção de acp
ração tangencial é igual ao valor absoluto da aceleração A aceleração centrípeta, também chamada de acele-
→
escalar ␥, a direção é definida pelo versor t e o sentido ração normal, tem direção normal à reta tangente à tra-
é traduzido pelo sinal de ␥. jetória, isto é, é perpendicular à velocidade vetorial.
• Efeito de →at
A aceleração escalar ␥ está relacionada com a varia- →
ção da velocidade escalar V e, portanto, do módulo da →
acp V
→
velocidade vetorial V.
→
Representando por n o versor de normal, a direção
A aceleração tangencial (→
at ) está relacionada com a →
da aceleração centrípeta será definida pelo versor n .
→
variação do módulo da velocidade vetorial V.
→
• Sentido de acp
• Propriedades A aceleração centrípeta, como o próprio nome suge-
I. Nos movimentos uniformes (␥ = 0), a velocida- re, é sempre dirigida para o centro da circunferência os-
de vetorial tem módulo constante e, portanto, a culadora à trajetória, isto é, sempre dirigida “para dentro”
aceleração tangencial é constantemente nula, da curva descrita, ou seja, para a região convexa limita-
não importando a trajetória descrita pelo mó- da pela curva.
vel.
• Notação de → acp
II. Nos movimentos não uniformes (␥ ≠ 0), a ve- Do exposto anteriormente, podemos escrever:
locidade vetorial tem módulo variável e, por-
tanto, a aceleração tangencial não será constan- V2 →
→
acp = ––– n
temente nula. R
III. Quando o móvel estiver em repouso (␥ = 0), a
aceleração tangencial será constantemente nu- →
• Efeito de acp
la. → →
Quando a trajetória é retilínea, temos R → ∞ e acp = 0
IV. Sendo a aceleração escalar (␥) uma função do e a velocidade vetorial tem sempre a mesma direção.
tempo (t), podem existir instantes em que ␥ = 0; Quando a trajetória é curva, a velocidade vetorial
em tais instantes, teremos aceleração tangencial varia em direção e a aceleração centrípeta não é constan-
nula sem que isto signifique que o móvel esteja temente nula.
em repouso ou em movimento uniforme.
→
A aceleração centrípeta ( acp) está relacionada com
Exemplificando: Sendo ␥ = 2,0t – 2,0 (SIU), →
a variação da direção da velocidade vetorial V.
→ →
para t = 1,0s, temos ␥ = 0 e at = 0 , e o mo-
vimento não é uniforme nem o móvel está em • Propriedades
repouso. I. Nos movimentos retilíneos (R → ∞), a veloci-
dade vetorial tem direção constante e, portanto,
a aceleração centrípeta é constantemente nula.
II. Nas trajetórias curvas, a velocidade vetorial

→ tem direção variável e, portanto, a aceleração
• Módulo de acp
Ainda com o uso de matemática superior, pode-se centrípeta não será constantemente nula.
demonstrar que o módulo da aceleração centrípeta é da-
III. Quando o móvel estiver em repouso (V = 0), a
V2 aceleração centrípeta será nula.
do por ––– , em que V é a velocidade escalar e R o raio
R
IV. A aceleração centrípeta será instantaneamente
de curvatura da trajetória. nula, quando V = 0 (pontos de parada, sem que
o móvel esteja em repouso prolongado) ou
|→ V2
acp | = ––– quando R → ∞ (chamados pontos de inflexão
R
em uma trajetória não retilínea).
112
→
Sendo o movimento uniforme, vem ␥ = 0 e → at = 0 .
→
Sendo a trajetória circular de raio R, temos →
acp ≠ 0 .
E, portanto, a aceleração vetorial se reduz à sua
componente centrípeta:
→ → V2 →
a = acp = ––– n
R
Sendo o movimento uniformemente variado, temos

→
␥≠0e→ at ≠ 0.
→
Sendo a trajetória circular de raio R, temos →
acp ≠ 0 .
(a) O carro, em trajetória retilínea, está em movimento acelerado e sua ace-
leração tangencial tem o mesmo sentido de sua velocidade. E, portanto, a aceleração vetorial é dada pela soma
(b) O carro, em trajetória retilínea, está em movimento retardado e sua ace- (vetorial) das suas duas componentes.
leração tangencial tem sentido oposto ao de sua velocidade.
→ → → → V2
a = a t + acp = ␥ t + ––– →
(c) O carro, em movimento uniforme, descreve uma curva e está sujeito a
uma aceleração centrípeta. n
R
11. Aceleração vetorial Esquematicamente:
para alguns estados
cinemáticos importantes
Se o móvel está em repouso, temos:

→
V=0⇒→ acp = 0
→
␥=0⇒→ at = 0
E, portanto, a aceleração vetorial será nula:
→ →
a = 0
→
Sendo o movimento uniforme, temos ␥ = 0 e → at = 0 .
→ →
Sendo a trajetória retilínea, temos R → ∞ e acp = 0 .
E, portanto, a aceleração vetorial será nula:
→ →
a = 0
→ →
Sendo a trajetória retilínea, temos R → ∞ e acp = 0 .
Sendo o movimento uniformemente variado, temos
→
␥≠0e→ at ≠ 0 .
E, portanto, a aceleração vetorial se reduz à sua com-
ponente tangencial:
→ → V2
→ → → a = ␥ t + ––– →
n
a = at = ␥ t R
113
16. Um móvel descreve a trajetória circular de raio R, com velocidade 17. (MACKENZIE-SP) – Duas partículas, A e B, descrevem movimen-
escalar constante e positiva V, no sentido horário. O tempo gasto tos circulares uniformes com velocidades escalares, respectiva-
para dar a volta completa é T. mente, iguais a V e 2V. O raio da trajetória descrita por A é o dobro
do raio daquela descrita por B. A relação entre os módulos de
suas acelerações centrípetas é:
1 1 1
a) ac = –– ac b) ac = –– ac c) ac = –– ac
A 8 B A 4 B A 2 B
d) ac = ac e) ac = 2 ac
A B A B
Resolução
V2
acp = ––––
R
2 2
V V
A B
e acpB = ––––
acpA = ––––
RA RB
Calcule o módulo da aceleração vetorial média

––––
R
acp VA 2 R
a) entre os pontos A e B; A = –––– B
–––––
b) entre os pontos A e C; acp VB A
B
c) para uma volta completa.
Resolução Dados: VA = V; RB = R
a)
→ → → VB = 2V; RA = 2R
|⌬ V|2 = | VA |2 + | VB |2
→
––21 ⇒
acp 1 2 acp 1
|⌬V |2 = V2 + V2 A = ––
––––– A
–––––
acp 2 acp = ––
8
B B
→
| ⌬V | =
2V
Resposta: A
18. (MODELO ENEM) – A figura ilustra a foto estroboscópica de um

pássaro que percorre uma trajetória curvilínea da esquerda para a
Para um quarto de volta: direita em movimento uniformemente variado.
T
⌬t = –––
4
Portanto:
→
→ |⌬V | 4 → 4
2 V
| am | = ––––– =
2 V . ––– ⇒ | am | = ––––––––
⌬t T T
T
b) Para meia volta: ⌬t = ––
2
O intervalo de tempo entre duas fotos consecutivas é constante

e igual a 0,10s.
Que vetores, dentre os numerados de (1) a (5), você escolheria
para representar a velocidade vetorial e a aceleração vetorial no
→ → → ponto P?
| ⌬V | = | V A | + | VC | Velocidade Vetorial Aceleração Vetorial
→ → a) Vetor (1) Vetor (4)
| ⌬V | = V + V ⇒ | ⌬V | = 2V
b) Vetor (1) Vetor (3)
Portanto: c) Vetor (1) Vetor (2)
→ d) Vetor (5) Vetor (2)
→ |⌬ V | 2 → 4V e) Vetor (5) Vetor (4)
| a m | = –––––– = 2 V . –– ⇒ | am | = –––
⌬t T T Resolução →
A velocidade vetorial V é tangente à trajetória e tem o sentido do
c) Para uma volta completa: movimento (vetor 1).
Como a distância entre fotos sucessivas está aumentando, o
→ → → → → → movimento é acelerado e a aceleração tangencial tem o mesmo
⌬V = V A – VA = 0 e am = 0
sentido da velocidade (vetor 1).
114
São dados:
Sendo a trajetória curva, existe →
| a | = 10,0m/s2
aceleração centrípeta (vetor 3) e →
→ | V | = 6,0m/s
a aceleração vetorial a é a soma
vetorial de suas componentes sen 37° = cos 53° = 0,60
tangencial e centrípeta. cos 37° = sen 53° = 0,80
Calcule
a) o raio R da circunferência;
b) o módulo da aceleração escalar da partícula, no instante t0.
Resposta: C
Resolução
V2
19. Um helicóptero, cuja hélice possui pás de 2,25m de compri- a) acp = ––– = a cos 37°
R
mento, liga seu motor. Em um dado instante, a pá entra em mo-
vimento a partir do repouso, com aceleração escalar constante de 36,0
3,0m/s2 na extremidade da pá. –––– = 10,0 . 0,80
R
Após 1,0s, o módulo da aceleração vetorial de um ponto situado
na extremidade da pá é de:
a) 1,0m/s2 b) 3,0m/s2 c) 4,0m/s2 d) 5,0m/s2 e) 7,0m/s2 R = 4,5m
Resolução
1) Após 1,0s, a velocidade escalar é dada por:
V = V0 + ␥ t b) at = |␥| = a cos 53°

|␥| = 10,0 . 0,60 (m/s2)
V = 3,0 . 1,0 (m/s) ⇒ V = 3,0m/s ␥ = 6,0 m/s2
2) A aceleração centrípeta tem módulo dado por: Respostas: a) 4,5m

b) 6,0m/s2
V2
acp = –––– 21. (UCMG-MODELO ENEM) – O gráfico a seguir se refere à velo-
R cidade angular da roda de um carro que gira presa ao eixo de uma
máquina de balanceamento de rodas. Logo abaixo, estão dese-
9,0 nhados vários vetores. Assinale a opção que contém os vetores
acp = ––––– (m/s2) ⇒ acp = 4,0m/s2
2,25 que melhor representam a aceleração do ponto mais alto da roda
(o ponto A da figura), respectivamente, nos instantes t1, t2 e t3:
3) A aceleração tangencial tem módulo igual ao da aceleração

escalar:
→
| at | = | ␥ | = 3,0m/s2
4) O módulo da aceleração vetorial é calculado por Pitágoras:
a2 = a2 + a2cp
t
a = 5,0m/s2
a) III, I, IV b) IV, I, III c) V, zero, VI

Resposta: D d) VI, II, V e) IV, I, IV
Resolução
1) No instante t1 o ponto A está em movimento circular e ace-
20. No esquema, representamos, em um instante t0, os vetores velo- lerado; a aceleração tangencial tem o mesmo sentido do mo-
cidade e aceleração, para o movimento de uma partícula descre- vimento e a aceleração centrípeta aponta para o centro de
vendo uma circunferência. circunferência; a aceleração vetorial é a soma dos compo-
nentes tangencial e centrípeta pela regra do paralelogramo.
115
2) No instante t2 o ponto A está em movimento circular e uni- 3) No instante t3 o movimento do ponto A é circular e retardado:
forme e a aceleração vetorial só tem componente centrípeta. a componente tangencial da aceleração tem sentido oposto ao
de velocidade vetorial.
Resposta B
22. Um automóvel move-se numa estrada curvilínea com movimento Pode-se afirmar que os módulos da aceleração vetorial média
→ →
uniforme. Sejam: v a velocidade do automóvel, a sua aceleração desse ponto material nos trechos AB e BC, respectivamente, em
→ → m/s2, valem:
e acp e at , respectivamente, as componentes centrípeta e tan-
→ a) 0,40 e 0,20 b) 0,40 e 0,40 c) 0,40 e 2,0
gencial da aceleração a .
d) 4,0 e 2,0 e) 4,0 e 4,0
Nestas condições, podemos afirmar que
→ →
a) v tem a mesma direção de a .
25. (FUVEST-TRANSFERÊNCIA) – Um objeto executa um movimen-
→ → → → →
b) acp = 0 , at ≠ 0 e | v | é constante. to circular uniforme em um plano vertical. O raio da circunferência
→ → → → → é R = 1,0 m e a velocidade escalar do movimento é v = 4,0m/s.
c) at = 0 ; acp ≠ 0 e | v | é constante.
Quando o objeto se encontra no ponto mais alto da trajetória, sua
→ → (1) (2).........
d) a é constante e v é variável. aceleração tem módulo .................... e é dirigida ...........
→ → → As lacunas (1) e (2) devem ser preenchidas por:
e) v é constante e a = 0 . a) 6,0 m/s2, para baixo. b) 6,0 m/s2, para cima.
c) 10,0 m/s2, para baixo. d) 16,0 m/s2, para cima.
23. (UNIP-SP) – Uma partícula descreve uma trajetória circular com e) 16,0 m/s2, para baixo.
movimento retardado.
26. Um móvel parte do repouso e percorre uma trajetória circular de

raio R = 100m com aceleração escalar constante de 2,0m/s2.
Após 5,0s de movimento, o módulo da aceleração vetorial do
móvel é um valor mais próximo de
a) 1,0m/s2 b) 2,0m/s2 c) 2,2m/s2
d) 3,0m/s2 e) 5,0m/s2
→ →
27. Na figura, representamos os vetores velocidade V e aceleração a,
em um instante t0 = 0 para um carro descrevendo uma trajetória
circular de raio R, em movimento uniformemente variado.
Em um instante T, a partícula passa pelo ponto A e sua velocidade

vetorial está representada na figura.
A aceleração vetorial da partícula, no instante T, tem orientação
mais bem representada por:
24. A figura a seguir representa a trajetória de um ponto material que →

→ → → Dados: V = 12,0m/s
passa pelos pontos A, B e C, com velocidades vA, vB e vC de
→
módulos vA = 8,0m/s, vB = 12,0m/s e vC = 16,0m/s. Sabe-se que a = 10,0m/s2
o intervalo de tempo gasto para esse ponto material percorrer os sen ␪ = 0,60
trechos AB e BC é o mesmo e vale 10,0s. cos ␪ = 0,80
Determine
a) o raio R da circunferência.
b) o módulo da aceleração escalar.
c) o módulo da aceleração vetorial no instante t1 = 2,0s.
28. No movimento circular de uma partícula, em que o raio da circun-

ferência vale 18,0m, a velocidade escalar varia com o tempo,
segundo a função V = 7,0 + 4,0t (SI).
116
No instante t = 0,5s, a aceleração centrípeta e a aceleração

tangencial da partícula têm módulos respectivamente iguais a
a) 4,5m/s2 e 4,0m/s2 b) 9,0m/s2 e 4,0m/s2
2
c) 4,5 m/s e 7,0m/s 2 d) 7,0m/s2 e 9,0m/s2
2
e) 4,0m/s e 7,0m/s 2
29. Uma partícula percorre uma circunferência de raio R = 1,0m, com

lei de movimento dada pela função horária dos espaços:
s = 1,0 + 1,0t – 1,5t2 em unidades SI e com a trajetória orientada
positivamente no sentido horário.
No instante t1 = 1,0s, a partícula está passando pelo ponto A
representado na figura. Em qual das opções estão representados
corretamente
→
o módulo, a direção e→o sentido da velocidade
vetorial ( V A) e da aceleração vetorial ( a A) no instante t1 = 1,0s?
O gráfico a seguir representa as velocidades escalares de A e B
em função do tempo. Sabe-se que as partículas vão encontrar-se
pela primeira vez no instante t = 20s. Adote π = 3.
A aceleração vetorial da partícula A, no instante t = 20s, terá

módulo igual a:
a) 1,0 m/s2 b) 2,0 m/s2 c) 3,0 m/s2
d) 4,0 m/s2 e) 5,0 m/s2
32. (PUC-MG-MODELO ENEM) – A figura mostra reproduções de

três fotografias estroboscópicas, cada uma correspondendo ao
movimento de uma partícula em um plano. Em todas as fotos,
duas posições sucessivas da partícula correspondem sempre a
um mesmo intervalo de tempo, a saber, 0,1 segundo.
30. (FUVEST) – Uma partícula se move sobre um plano, numa traje-

tória circular de raio R, em sentido anti-horário. A magnitude da Sobre essas situações, analise as seguintes afirmações:
velocidade da partícula como função do tempo é descrita pela I. Existe aceleração centrípeta em B e em C.
equação v = 6,0t2 – 3,0 (SI). No instante de tempo t = 1,0s, a II. Existe aceleração tangencial em B e em C.
magnitude do vetor aceleração da partícula é a = 15,0m/s2. III. Em uma das situações, não há aceleração.
Nessas condições, pode-se afirmar que o raio R da trajetória da
partícula, medido em metros, é Assinale:
a) 1,0 b) 0,8 c) 0,6 d) 0,4 e) 0,2 a) se todas as afirmativas são corretas.
b) se todas as afirmativas são falsas.
31. Duas partículas, A e B, partem simultaneamente das posições c) se apenas as afirmativas I e II são corretas.
indicadas na figura e percorrem uma mesma circunferência de d) se apenas as afirmativas II e III são corretas.
raio R em sentidos opostos. e) se apenas as afirmativas I e III são corretas.
117
7) B 8) a) 3,5m/s 9) B 13) E
b) 2,5m/s
→
14) a) Movimento retilíneo e uniforme para que V seja constante
10) (1) No instante t = 2,0s, temos o vetor posição→
r. em módulo (MU), direção e sentido (retilíneo).
→
b) No MCU, V tem módulo constante e direção variável.
c) I-␤ II-⌬ III-␣ IV-␥
15) A 22) C 23) E
24) C 25) E 26) C
→
b) ␥ = 6,0m/s2 c) a 1 = 6,0m/s2
| →r | = 6
2 u = 6
2 m
27) a) R = 18,0m
Da qual se conclui que: 28) A 29)E 30) A
1u = 1m 31) 1) ⌬s = área (V x t)
(2) 20
⌬sA = (20 + 10) ––– (m) = 300m
2
20 . 15
⌬sB = – ––––––– (m) = –150m
2
2) A soma das distâncias percorridas por A e B, até o 1.o

encontro, é igual a três quartos da circunferência.
3
|⌬sA| + |⌬sB| = –– 2π R
|→
4
d | = 9
2 u= 9
2m
3
Resposta: E 300 + 150 = –– . 2 . 3 . R
4
⌬s 4L
11) a) V = ––– = ––– 450 = 4,5 R ⇒ R = 100m
⌬t T
3) No instante t = 20s, a partícula A está em movimento

→ 2 2L
b) Vm = ––––––– circular e uniforme e sua aceleração será centrípeta:
T
2
→ →
VA (20)2
A orientação de Vm
é a mesma do deslocamento vetorial d, aA = –––– = –––– (m/s2) ⇒ aA = 4,0 m/s2
R 100
isto é, de A para C.
Resposta: D
4 R
2 4R
b) ––––
12) a) ––––––– 32) E
T T
118
P2_Livro1_Termologia_Alelex_119a206 05/07/12 10:20 Página 119
CAPÍTULO
Termologia
1 TERMOMETRIA
D
urante todo o estudo da Termologia,
encontramos uma grandeza física muito importante, a
temperatura. O primeiro capítulo deste livro,
denominado TERMOMETRIA, será usado para
introduzir o conceito de temperatura e estabelecer as
regras para a sua medição. Serão apresentados os
termômetros, dispositivos físicos utilizados para medir as temperaturas. Entraremos ainda em contato
com as principais escalas termométricas, como a Celsius, a Fahrenheit e a Kelvin, que serão
relacionadas entre si pelas equações de conversão. Aprenderemos também como construir uma nova
escala termométrica e como escolher uma grandeza termométrica adequada, em cada caso. Faremos
ainda uma reflexão sobre o conceito de zero absoluto e a sua aplicação na determinação da temperatura
absoluta de um sistema.
Na foto, observamos um termômetro clínico utilizado para a obtenção da temperatura do corpo humano.
2. Termômetro
A medida desse nível energético (da temperatura) é
1. Temperatura feita de maneira indireta, por meio da medida de uma ou-
tra grandeza, característica de um determinado corpo e
Num primeiro contato, entenderemos a tempera-
variável com a temperatura. Esta grandeza é chamada de
tura como o número que associamos a um corpo, para
grandeza termométrica e o corpo é o termômetro.
traduzir o estado de agitação das partículas que o consti-
Portanto, o termômetro é um dispositivo usado para a
tuem. Esse estado de agitação é definido pelo nível ener-
determinação de temperaturas.
gético das partículas e constitui o estado térmico ou es-
Em todo termômetro, encontramos uma substância
tado de aquecimento do corpo.
denominada substância termométrica, que tem pelo
menos uma de suas propriedades físicas variando com a
temperatura. Essa propriedade física, usada na deter-
minação da temperatura, é a grandeza termométrica.
O mais conhecido dos termôme-
tros é o de mercúrio.
No termômetro de mercúrio, a
substância termométrica é o
mercúrio (Hg) e a grandeza ter-
mométrica é a altura da coluna
No corpo de maior temperatura, as partículas possuem maior nível de agitação. (h).
119
Estabelece-se uma relação entre a altura da coluna sius, o ponto triplo correponde a 0,01°C e na escala
de mercúrio (h) e sua temperatura, que é a mesma do cor- Kelvin ao valor 273,16°C.
po que está em contato com o bulbo desse termômetro. Ao ler-se uma temperatura nesta escala, deve-se omi-
Assim, para cada valor de h, existe uma única tempe- tir o termo “grau”; assim, 25K lê-se “vinte e cinco kelvins”.
ratura ␪ associada. O conjunto dos pares (␪, h) define
uma função denominada equação termométrica.
Existem outros termômetros que usam como subs-
A escala Celsius é definida pela relação:
tância termométrica um gás, o álcool tingido de verme-
␪ (°C) = T(K) –273,15
lho ou mesmo uma lâmina bimetálica.
Em consequência, notamos que a unidade na escala
O termômetro clínico, utilizado para medir a tempe-
Celsius é igual à unidade na Kelvin.
ratura do corpo humano, usa como substância termomé-
No zero absoluto, essa escala assinalaria –273,15°C
trica o mercúrio e sua graduação vai de 35°C a 42°C.
e 0,01°C no ponto triplo da água.
Até 1954, essa escala era definida convencionando-se
0°C e 100°C, como as temperaturas de dois pontos fixos,
a saber:
1.º Ponto Fixo (ou ponto do gelo):
Um termômetro clínico eletrônico digital.
3. Equação termométrica
A equação termométrica é uma expressão do tipo
G = f (␪) que define os valores da temperatura (␪), em
função dos valores da grandeza termométrica (G).
Geralmente, é uma função do 1.o grau: G = a + b␪, em
que a e b são constantes relativas a cada termômetro.
Geralmente, a grandeza termométrica é pressão, vo-
lume ou comprimento (altura de coluna).
4. Escalas termométricas Estado térmico do gelo fundente (equilíbrio gelo + água), sob pressão normal
Uma escala termométrica é um conjunto de valores (0°C).
numéricos (de temperaturas), cada um associado a um

determinado estado térmico preestabelecido. 2.º Ponto Fixo (ou ponto do vapor):
As escalas mais conhecidas são:
A escala Kelvin, também denominada escala ab-

soluta ou escala termodinâmica, foi obtida do com-
portamento de um gás perfeito, quando, a volume cons-
tante, fez-se variar a pressão e a temperatura dele. A cada
pressão do gás, a volume constante, corresponde uma
temperatura diferente.
A escala Kelvin tem sua origem no zero absoluto
(0K).
Devemos entender por zero absoluto o estado térmi-
co teórico no qual a velocidade das moléculas de um gás
perfeito se reduziria a zero, isto é, cessaria o estado de
agitação das moléculas. No zero absoluto, esta escala Estado térmico do vapor de água em ebulição, sob pressão normal (100°C).
corresponde ao valor –273,15°C.
O ponto triplo da água ocorre quando gelo, água e A escala Celsius é usada, oficialmente, em vários
vapor de água coexistem em equilíbrio. Na escala Cel- países, entre os quais o Brasil.
120
Essa escala é usada, geralmente, nos países de língua

inglesa.
No ponto do gelo (1.º P.F.), ela assinala 32°F e 212°F

no ponto do vapor (2.º P.F.), apresentando, assim, 180
divisões entre essas duas marcas.
Do esquema, obtemos a equação de conversão entre

essas escalas, na qual faremos:
273,15 艑 273 e 373,15 艑 373

␪C – 0 ␪F – 32 T – 273
––––––– = –––––––– = –––––––––
100 – 0 212 – 32 373 – 273
Simplificando, obtemos:
5. Equação de conversão
␪C ␪F – 32 T – 273
Uma equação de conversão é uma relação entre as ––– = –––––––– = ––––––––
temperaturas em duas escalas termométricas, tal que, sa- 5 9 5
bendo-se o valor da temperatura numa escala, pode-se
obter o correspondente valor na outra. As relações mais utilizadas são:
Assim, relacionando as 3 escalas citadas anterior- ␪C ␪F – 32

–––– = –––––––– e T = ␪C + 273
mente, temos: 5 9
1. Calcular, na escala Fahrenheit, a temperatura correspondente a ␪F = 2␪C + 2 (I)

50°C.
Resolução Usando a equação de conversão entre essas escalas, temos:
A equação de conversão, entre as escalas Celsius e Fahrenheit, é: ␪C ␪F – 32
␪C ␪F – 32 –––– = –––––––– (II)
–––– = ––––––––– 5 9
5 9
Substituindo-se a relação (I) em (II), resulta:
Fazendo ␪C = 50°C, ficamos com:
␪C (2␪C + 2) – 32
50 ␪F – 32 –––– = ––––––––––––––
–––– = –––––––– ⇒ ␪F – 32 = 90 5 9
5 9
10␪C – 150 = 9␪C
␪F = 122°F
␪C = 150°C
2. Converter –30°C para a escala Kelvin.
Resolução Resposta: C
A equação de conversão, entre as escalas Celsius e Kelvin, é:
T = ␪C + 273 4. (VUNESP-MODELO ENEM) – As fontes renováveis de energia –
Fazendo ␪C = –30°C, temos: hidráulica, biomassa, solar, eólica, geotérmica – hoje respondem
T = –30 + 273 por aproximadamente 13% da oferta energética mundial. Energia
geotérmica é a energia que vem da Terra e existe desde que
nosso planeta foi criado. A Terra pode ser dividida em três
T = 243K camadas: crosta, manto e núcleo.
3. (MACKENZIE-SP) – A indicação de uma temperatura na escala

Fahrenheit excede em 2 unidades ao dobro da correspondente
indicação na escala Celsius. Esta temperatura é:
a) 50°C b) 100°C c) 150°C d) 170°C e) 300°C
Resolução
A relação entre as leituras ␪C (Celsius) e ␪F (Fahrenheit) é dada
por:
121
Abaixo da crosta terrestre, a camada superior do manto é cons- Durante a assembleia, os astrônomos definiram um conceito para
tituída por rocha líquida, o magma, a altas temperaturas. A crosta planeta: um corpo celestial que orbita ao redor do Sol, com massa
terrestre flutua nesse magma. Por vezes, o magma quebra a suficiente para assumir uma forma quase redonda e que tenha
crosta terrestre chegando à superfície, produzindo vulcões, e o eliminado outros corpos vizinhos em torno de sua órbita.
magma passa a designar-se lava. A cada 100 metros de (Jornal Correio Brasiliense, 25.08.2006. Adaptado)
profundidade, a temperatura aumenta aproximadamente 3°C e a
água contida nos reservatórios subterrâneos atinge altas A superfície gelada do pequeno Plutão é composta por nitrogênio,
temperaturas, podendo até mesmo ferver, quando em contato metano e traços de monóxido de carbono. A temperatura do
com a rocha quente. A água pode atingir temperaturas próximas planeta anão varia ao longo de sua órbita porque, no decorrer de
a 150°C. sua trajetória, aproxima-se do Sol até 30 UA e afasta-se até 50 UA.
Em alguns locais do planeta, existe tal quantidade de vapor e água Existe uma tênue atmosfera que congela e cai sobre o planeta
quente que é possível produzir energia elétrica drenando esse anão quando este se afasta do Sol. Sendo assim, dependendo da
vapor até a superfície e conduzindo-o até uma central elétrica sua posição em relação ao Sol, a temperatura sobre a superfície
geotérmica, onde, tal como numa central elétrica normal, faz girar do planeta anão varia de –230°C a –210°C. Pode-se afirmar que
turbinas e a energia mecânica da turbina é transformada em (UA = Unidade Astronômica)
energia elétrica por um gerador. a) essas temperaturas não são lidas num termômetro graduado
Suponha que, num reservatório subterrâneo, a água esteja a uma na escala Kelvin, pois a menor temperatura nesse termômetro
temperatura de 147 °C. Essa temperatura, expressa em unidades é 0K.
do Sistema Internacional, é lida como b) não se medem essas temperaturas num termômetro
a) 420K b) 297°F c) 147°C graduado na escala Celsius, pois sua escala varia de 0°C a
d) 147K e) 126°F 100°C.
Resolução c) se medem essas temperaturas com termômetros graduados
Em 1954, a 10.a CGPM (Conferência Geral de Pesos e Medidas) na escala Celsius, pois é o único que mede temperaturas
estabeleceu a definição da unidade Kelvin de temperatura como abaixo de zero.
1 d) na escala Fahrenheit, o módulo da variação da temperatura na
sendo a fração de –––––– da temperatura termodinâmica do pon-
273,16 superfície do pequeno Plutão corresponde a 36°F.
e) na escala Fahrenheit, o módulo da variação da temperatura na
to tríplice da água, ponto este em que encontramos a água nos superfície do pequeno Plutão corresponde a 20°F.
estados sólido, líquido e vapor em coexistência.
Resolução
Nessa mesma conferência, a escala Kelvin foi adotada como
escala de temperatura termodinâmica do Sistema Internacional a) FALSA
de Unidades (SI).
Assim, a unidade Celsius fornecida deve ser convertida para a Na escala Kelvin, as temperaturas de –230°C e –210°C são
unidade Kelvin. expressas por:
T = ␪C + 273 T = ␪C – 273
T = (147 + 273)K ⇒ T = 420K T1 = (–230 + 273)K ⇒ T1 = 43K
Resposta: A
T2 = (–210 + 273)K ⇒ T2 = 63K
5. (CEFET-SP-MODELO ENEM)
b) FALSA
Plutão não é mais planeta Os valores 0°C e 100°C limitam o intervalo entre o ponto de
fusão do gelo e o ponto de ebulição da água, quando sob
Reunião da União Astronômica Internacional rebaixou oficial- pressão normal.
mente o status de Plutão, que passa a ser chamado “planeta
anão”. Para os astrônomos, a formação e as características de Pode-se também medir temperaturas abaixo de 0°C e acima
Plutão diferem muito das dos outros planetas. Situado no de 100°C utilizando a escala Celsius.
Cinturão de Kuiper, uma região mais distante que a órbita de c) FALSA
Netuno, Plutão foi excluído da categoria de planetas por sua órbita
e tamanho. Apenas as escalas absolutas, como a escala Kelvin, não
Foi uma decisão histórica pela qual 2 500 cientistas, de 75 países, possuem valores negativos. Observe que essas escalas tem o
excluíram Plutão do rol de planetas do sistema solar, rompendo seu “zero” coincidindo com o zero absoluto.
conceitos astronômicos de mais de 70 anos, pois, em 18 de d) VERDADEIRA
fevereiro de 1930, Clyde Tombaugh, ao apontar seus telescópios
artesanais para o espaço, detectou a imagem de um objeto Os valores fornecidos, na escala Celsius, estabelecem uma
parecido com uma estrela. Menos de um mês depois, a variação de 20°C.
descoberta recebeu o nome latino do deus grego do mundo dos Assim, utilizando a equação de conversão entre intervalos de
mortos. temperatura nas escalas Celsius e Fahrenheit, temos:
O rebaixamento de Plutão foi recebido com surpresa pela NASA,
que investiu US$ 700 milhões na missão New Horizons, enviando ⌬␪C ⌬␪F
––––– = –––––
uma sonda para estudar o ex-planeta e o Cinturão de Kuiper. A 100 100
espaçonave deverá chegar a seu destino em 2015. O chefe da
missão, Alan Stern, não escondeu sua irritação com a resolução 20 ⌬␪F ⇒
––––– = ––––– ⌬␪F = 36°F
da reunião dos astrônomos e criticou-a argumentando que apenas 100 180
5% dos cientistas de todo o mundo concordam com a mudança.
Com a decisão da 26.a Assembleia Geral da União Astronômica
Internacional, em 24 de agosto de 2006, o sistema solar terá oito e) FALSA
planetas, que, por ordem de afastamento em relação ao Sol, são: Resposta: D
Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.
122
6. (FUVEST) – A televisão noticia que a temperatura em Nova 14. (UFCE) – Dois termômetros, um graduado em Celsius e o outro
Iorque chegou aos 104° graus (naturalmente 104° Fahrenheit). em Fahrenheit, são usados, simultaneamente, para medir a tempe-
Converta para graus Celsius. 9C
a) 44°C b) 40°C c) 36°C d) 30°C e) 0°C ratura de uma mesma amostra. Lembrando-se de que F = ––– + 32,
5
é verdadeiro afirmar que
7. (UNITAU-SP) – Numa das regiões mais frias do mundo, um 01. as leituras em Celsius são sempre maiores do que as leituras
termômetro graduado na escala Fahrenheit indica – 76°F. Essa em Fahrenheit.
mesma temperatura, expressa na escala Celsius, será: 02. os termômetros apresentam o mesmo valor, caso a tempera-
a) –103°C b) –76°C c) –60°C tura da amostra seja –40°C.
d) –50,4°C e) +76°C 04. caso o termômetro em Celsius indique zero grau, o termô-
metro em Fahrenheit indicará 32 graus.
8. (UNICAMP) – Para transformar graus Fahrenheit em graus 08. quando a temperatura da amostra for zero grau Fahrenheit, a
Celsius, usa-se a fórmula: temperatura em Celsius também será zero.
5
C = ––– (F – 32)
9 15. Um pesquisador dispõe de um termômetro C com a indicação da
em que F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de escala Celsius, um F com a indicação da escala Fahrenheit e um
graus Celsius. K com a indicação da escala Kelvin. Ao medir a temperatura de
a) Transforme 35 graus Celsius em graus Fahrenheit. um corpo com os três termômetros, obteve 85°C, 185°F e 385K.
b) Qual a temperatura (em graus Celsius) em que o número de Sabendo que um desses termômetros apresenta incoerência com
graus Fahrenheit é o dobro do número de graus Celsius? a respectiva escala, podemos afirmar que
a) os termômetros C e F estão corretos.
9. (UFES) – Os termômetros de uma base estrangeira na Antártida b) os termômetros C e K estão corretos.
indicam –58°F. Se você lá chegasse, fazendo parte de uma c) os termômetros F e K estão corretos.
expedição brasileira em visita, relataria esta temperatura para o d) é impossível distinguir os termômetros corretos.
Brasil como: e) a distinção dos termômetros só é possível quando medimos a
a) –14°C b) –36°C c) –50°C d) –58°C e) –136°C temperatura de um bloco de gelo em fusão ou de uma massa
de água em ebulição, sob pressão normal.
10. (UNISA-SP) – Numa cidade norte-americana, o termômetro mar-
ca 0°F. Em graus Celsius, essa temperatura vale, aproximada- 16. (VUNESP) – Sêmen bovino para inseminação artificial é
mente: conservado em nitrogênio líquido que, à pressão normal, tem
a) 32 b) 0 c) –17,8 d) –32 e) –273 temperatura de 78K. Calcule essa temperatura em:
a) graus Celsius (°C);
11. (ITA) – Ao tomar a temperatura de um paciente, um médico só b) graus Fahrenheit (°F).
dispunha de um termômetro graduado em graus Fahrenheit. Para
se precaver, ele fez antes alguns cálculos e marcou no termô-
metro a temperatura correspondente a 42°C (temperatura crítica 17. (MACKENZIE-SP) – No nível do mar, mediante os termômetros,
do corpo humano). Em que posição da escala do seu termômetro um graduado na escala Celsius e outro na escala Fahrenheit,
ele marcou essa temperatura? determinamos a temperatura de certa massa de água líquida. A
diferença entre as leituras dos dois termômetros é 100. A
12. A escala de temperatura Fahrenheit foi inventada pelo cientista temperatura dessa massa de água na escala Kelvin é:
alemão Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736). Ele teria usado a) 85K b) 108K c) 273K d) 358K e) 438K
para 0°F a temperatura do dia mais frio de 1727, na Islândia,
marcada por um amigo, e para 100°F a temperatura do corpo da 18. (UFF-RJ) – Um turista brasileiro, ao desembarcar no aeroporto de
sua esposa, num determinado dia. Se isso é verdade, então: Chicago, observou que o valor da temperatura lá indicado, em °F,
a) No ano de 1727, na Islândia, a temperatura atingiu marcas era um quinto do valor correspondente em °C. O valor observado
inferiores a –20°C. foi:
b) No ano de 1727, na Islândia, a temperatura não atingiu marcas a) –4°F b) –2°F c) 0°F d) 2°F e) 4°F
inferiores a –10°C.
c) Nesse dia, a sua esposa estava com febre. 19. (FATEC-SP) – Certo dia, um viajante verificou que a temperatura
d) Nesse dia, a sua esposa estava com a temperatura inferior à local acusava X°F. Se a escala utilizada tivesse sido a Celsius, a
normal (37°C). leitura seria 52 unidades mais baixa. Essa temperatura é:
e) É impossível, pois 100°F corresponde a uma temperatura a) agradável b) 50°C c) 84°C
superior à máxima possível para o ser humano. d) 100°C e) acima de 100°C
13. (UNIP-SP) – Um termômetro clínico graduado na escala Celsius

indica temperaturas entre os valores 35 e 42. Se este termômetro 20. (MACKENZIE-SP) – O quíntuplo de uma certa indicação de tempe-
for graduado na escala Farenheit, para medir o mesmo intervalo ratura registrada num termômetro graduado na escala Celsius ex-
de temperaturas (35°C a 42°C), ele deve ser calibrado para valo- cede em 6 unidades o dobro da corrrespondente indicação na es-
res entre: cala Fahrenheit. Essa temperatura, medida na escala Kelvin, é de:
a) 35 e 42 b) 95 e 102 c) 95 e 107,6 a) 50K b) 223K c) 273K
d) 100,6 e 107,6 e) 32 e 212 d) 300K e) 323K
123
6. Variação de temperatura 7. Escala Rankine

É comum encontrarmos exercícios nos quais é for- A escala Rankine é uma escala absoluta (tem o seu
necida a variação de temperatura na escala Celsius (⌬␪C) zero coincidindo com o zero absoluto) que utiliza o grau
e é pedida a correspondente variação na escala Fahrenheit como unidade de variação de temperatura.
Fahrenheit (⌬␪F) ou vice-versa. Como a temperatura do zero absoluto corresponde a,
Neste caso, devemos comparar as duas escalas e usar aproximadamente, – 460°F, temos:
as proporcionalidades entre os intervalos de tempe-
raturas.
⌬␪C ⌬␪F
––––– = –––––
100 180
⌬␪C ⌬␪F
–––– = ––––
5 9
21. Uma escala X assinala 10°X e 60°X enquanto a escala Celsius as- ␪X
2␪”X = 100 – 20 ⇒ ” = 40°C
sinala 40°C e 140°C, respectivamente. Determinar
a) a equação de conversão entre as escalas X e Celsius;
b) as temperaturas dos pontos fixos fundamentais na escala X.
Resolução 22. O gráfico abaixo traduz a relação entre as temperaturas, em duas
a) Temos que: escalas termométricas, x e y.
Determinar
a) a equação de conversão entre as escalas x e y;
b) a temperatura da escala y que corresponde a 60°X.
Assim: Resolução
␪X – 10 ␪C – 40 a) Da observação do gráfico, podemos fazer o seguinte esque-
–––––––– = ––––––––– ma:
60 – 10 140 – 40
␪X – 10 ␪C – 40
–––––––– = ––––––––
1 2
2␪X – 20 = ␪C – 40
Finalmente: 2␪X = ␪C – 20
b) 1.o PF ou ponto do gelo: ␪’C = 0°C
Substituindo na equação de conversão, temos:
Do esquema, podemos escrever:

2␪’X = 0 – 20 ⇒ ␪X’ = –10°X
␪x – (–30) ␪y – 0 ␪x + 30 ␪y
–––––––––––– = –––––––– ⇒ ––––––––––– = –––––
0 – (–30) 10 – 0 30 10
2.o PF ou ponto de vapor: ␪”C =100°C
Substituindo na equação de conversão, temos: Assim: 3␪y = ␪x + 30
124
b) Fazendo ␪x = 60°X na equação de conversão obtida no item A equação de correção é a equação que relaciona o valor cor-
(a), ficamos com: reto da temperatura ␪C com o valor indicado pelo termômetro
␪E.
3␪y = 60 + 30 ⇒ ␪y = 30°Y
␪E – 0,5 ␪C – 0 ␪E – 0,5 ␪C
–––––––––– = –––––––– ⇒ ––––––––– = –––––
23. Um termômetro de mercúrio está graduado nas escalas Celsius e 98,5 – 0,5 100 – 0 98 100
Reaumur.
A distância entre duas marcas consecutivas da graduação Celsius Simplificando-se:
é 1,00mm. A distância entre duas marcas consecutivas da gra-
␪E – 0,5 ␪C
duação Reaumur vale: –––––––– = ––––
a) 0,75mm b) 0,80mm c) 1,00mm 49 50
d) 1,20mm e) 1,25mm
Resolução
b) Fazendo ␪E =74°C na equação de correção, obtemos:
74 – 0,5 ␪C ␪C = 75°C
––––––––– = –––––– ⇒
49 50
c) Basta impor ␪E = ␪C na equação de correção, obtendo-se:
␪C – 0,5 ␪C
–––––––––– = –––––– ⇒ 50␪C – 25 = 49␪C
49 50
Assim: ␪C = 25°C
25. Num termômetro de mercúrio, a grandeza termométrica (altura da

coluna) assume os valores 5,0cm e 30cm nos pontos do gelo e do
vapor, respectivamente. Determinar
A escala Reaumur assinala nos pontos fixos os valores 0 (zero) e 80. a) a equação termométrica deste termômetro para a escala Cel-
Consideremos o termômetro de mercúrio, no qual destacamos os sius;
pontos fixos convencionais (ponto do gelo e ponto de vapor). b) a temperatura do éter em ebulição, sabendo-se que, quando o
Observemos que a distância d, que representa o chamado inter- termômetro nele foi colocado, a altura da coluna assumiu o
valo fundamental, é traduzida por 100 unidades da escala valor 14cm no equilíbrio térmico.
Celsius e por 80 unidades da escala Reaumur. Resolução
a) Representando os valores da grandeza termométrica (h) e da
Assim, temos:
temperatura, temos:
d = 100c = 80r
100c 5c
Então: r = –––––– = –––––
80 4
Substituindo c por 1,00mm, obtemos:
5 . 1,00mm
r = –––––––––––– ⇒ r = 1,25mm
4
Resposta: E
24. Um termômetro mal graduado assinala 0,5°C no ponto do gelo e

98,5°C no ponto do vapor. Determinar h – 5,0 ␪C – 0 h – 5,0 ␪C
a) a equação de correção deste termômetro; Assim: ––––––––– = ––––––– ⇒ –––––––– = –––––
b) o valor correto da temperatura, quando a indicação do termô- 30 – 5,0 100 – 0 25 100
metro é 74°C;
c) em que temperatura a indicação deste termômetro é correta. h – 5,0 ␪C
Resolução ––––––––– = –––– ⇒ ␪C = 4h – 20
a) Raciocinando como se o termômetro mal graduado estivesse 1 4
definindo uma escala termométrica E com temperatura ␪E
(indicação do termômetro), temos: b) Fazendo h = 14cm na equação termométrica, obtemos:
␪C = [ 4 (14) – 20 ] (°C) ⇒ ␪C = 36°C
Portanto, a temperatura de ebulição do éter é 36°C.
26. Uma escala com origem no zero absoluto e que adota como uni-
dade de variação de temperatura o grau Fahrenheit chama-se
escala Rankine (Ra).
Determine a equação de conversão entre as escalas Rankine e
Kelvin.
125
Resolução
Isto nos permite escrever:
TRa TK
–––– = ––––
Como as escalas Rankine e Kelvin têm origem no zero absoluto (são 180 100
escalas absolutas), concluímos que a temperatura de 180Ra corres-
ponde à temperatura de 100K. TRa TK
Notando que a uma variação de 100K (do gelo ao vapor) corres- –––– = ––––
9 5
ponde uma variação da 180 Ra, concluímos que:
27. Existem duas escalas termométricas que só admitem tempera- Considere que, no pico, a tem-
turas positivas. São elas: peratura pode variar de –30°C
a) Celsius e Fahrenheit. b) Fahrenheit e Kelvin. durante o dia para –40°C
c) Kelvin e Rankine. d) Rankine e Reaumur. durante a noite. Essa variação
e) Reaumur e Celsius. de temperatura na escala
Fahrenheit é igual a:
28. (UNIFESP-SP-MODELO ENEM) – O texto a seguir foi extraído de a) –18 b) 14 c) 18
uma matéria sobre congelamento de cadáveres para sua d) –94 e) –14
preservação por muitos anos, publicada no jornal O Estado de S.
Paulo de 21.07.2002.
“Após a morte clínica, o corpo é resfriado com gelo. Uma injeção

de anticoagulantes é aplicada e um fluido especial é bombeado
para o coração, espalhando-se pelo corpo e empurrando para fora
os fluidos naturais. O corpo é colocado numa câmara com gás
nitrogênio, onde os fluidos endurecem em vez de congelar. 30. (VUNESP)sexta-feira sábado
Assim que atinge a temperatura de – 321°, o corpo é levado para Frente fria chega a SP
mín. 11°C mín. 13°C
um tanque de nitrogênio líquido, onde fica de cabeça para baixo.” Previsão para
máx. 16°C máx. 20°C
(O Estado de S. Paulo)
Na matéria, não consta a unidade de temperatura usada. Com esses dados, pode-se concluir que a variação de tempe-
Considerando que o valor indicado de – 321° esteja correto e que ratura na sexta-feira e a máxima, no sábado, na escala Farenheit,
pertença a uma das escalas, Kelvin, Celsius ou Fahrenheit, pode-se foram, respectivamente,
concluir que foi usada a escala a) 9 e 33,8 b) 9 e 68 c) 36 e 9
a) Kelvin, pois trata-se de um trabalho científico e esta é a unida- d) 68 e 33,8 e) 68 e 36
de adotada pelo Sistema Internacional.
b) Fahrenheit, por ser um valor inferior ao zero absoluto e, 31. (UFABC-SP) – EXTERMINADOR DE MIOMAS
portanto, só pode ser medido nessa escala.
c) Fahrenheit, pois as escalas Celsius e Kelvin não admitem esse Aparelho de ultrassom que elimina tumores benignos de útero
valor numérico de temperatura. deve chegar ao Brasil até o fim do ano. O método é relativamente
d) Celsius, pois só ela tem valores numéricos negativos para a simples: por meio de um aparelho de ultrassom, combinado com
indicação de temperatura. um equipamento de ressonância magnética que orienta a
e) Celsius, por tratar-se de uma matéria publicada em língua aplicação, o médico aumenta a temperatura do tecido doente de
portuguesa e essa ser a unidade adotada oficialmente no 37°C para aproximadamente 80°C. É esse calor intenso que
Brasil. destrói o tumor.
Revista Veja, 10.05.2006. Adaptado.
29. (PUC-SP-MODELO ENEM) – O K2, segunda maior montanha do
mundo, pico de 8611m, localizada na fronteira entre o Paquistão O valor correspondente a essa variação de temperatura na escala
e a China, é considerada por muitos alpinistas a montanha mais Fahrenheit é, em °F, igual a
difícil e a mais perigosa do mundo. a) 32,9 b) 43,0 c) 58,5 d) 77,4 e) 89,7
126
32. (MACKENZIE-SP) – Um turista brasileiro sente-se mal durante a 40. (UELON-PR) – Uma escala de temperatura arbitrária X está
viagem e é Ievado inconsciente a um hospital. Após recuperar os relacionada com a escala Celsius, conforme o gráfico abaixo.
sentidos, sem saber em que local estava, é informado de que a
temperatura de seu corpo atingira 104 graus, mas que já “caíra”
de 5,4 graus. Passado o susto, percebeu que a escala
termométrica utilizada era a Fahrenheit. Desta forma, na escala
Celsius, a queda de temperatura de seu corpo foi de:
a) 1,8 °C b) 3,0 °C c) 5,4 °C d) 6,0 °C e) 10,8 °C
33. (UNITAU-SP) – Em um certo instante, a temperatura de um

corpo, medida na escala Kelvin, foi de 300K. Após decorrido um As temperaturas de fusão do gelo e ebulição da água, sob pres-
certo tempo, mediu-se a temperatura deste mesmo corpo e o são normal, na escala X, são, respectivamente,
termômetro indicou 68°F. A variação de temperatura sofrida pelo a) – 60 e 250 b) –100 e 200 c) –150 e 350
corpo, medida na escala Celsius, foi de: d) –160 e 400 e) –200 e 300
a) –32° b) –7° c) 0° d) 7° e) 368°
41. O gráfico abaixo mostra a correspondência entre as escalas Cel-
34. (FIA-SP) – Um termômetro foi graduado segundo uma escala ar- sius e Fahrenheit.
bitrária X, de tal forma que as temperaturas 10°X e 80°X corres-
pondem a 0°C e 100°C, respectivamente. A temperatura em X
que corresponde a 50°C é:
a) 40°X b) 45°X c) 50°X d) 55°X e) 60°X
35. (MACKENZIE-SP) – Um médico criou para uso próprio uma es-

cala termométrica linear, adotando, respectivamente, –10,0°M e
190°M para os pontos de fusão do gelo e de ebulição da água
sobre pressão normal. Usando um termômetro graduado nessa
escala, ele mediu a temperatura de um paciente e encontrou o
valor 68°M. A temperatura dessa pessoa na escala Celsius era:
a) 39°C b) 38°C c) 37,5°C d) 37°C e) 36,5°C
Os valores de C e F são, nesta ordem:
a) –17,78°C; –86°F b) –22°C; –17,78°F
36. (UEFS-BA) – Um termômetro construído com escala X mede
c) –86°C; –17,78°F d) –17,78°C; –22°F
–20°X para a temperatura de fusão do gelo ao nível do mar e 40°X,
e) –86°C; –22°F
para uma temperatura ambiente de 25°C. Considerando-se essa
informação, é correto afirmar que a temperatura de vaporização
42. Ao utilizar um termômetro de mercúrio para medir a temperatura
da água, em °X, ao nível do mar, é:
de uma pessoa, um médico percebeu que a escala do instru-
a) 60 b) 80 c) 120 d) 180 e) 220
mento estava apagada entre os valores 36,5°C e 40°C. Para saber
a temperatura do paciente, o médico mediu o comprimento da
37. (UNIFENAS-MG) – Uma escala termométrica X assinala 30°X e escala do instrumento (de 35°C a 45°C), encontrando 5,0cm. Em
90°X nos pontos de fusão do gelo e ebulição da água, seguida, mediu a altura da coluna de mercúrio correspondente à
respectivamente. A equação de conversão desta escala para a temperatura da pessoa, encontrando 1,5cm. Qual a temperatura
escala Fahrenheit é: determinada pelo médico?
a) X = 3F + 58 b) X = 58 – F c) F = 3X – 122
d) F = 3X – 58 e) X = 58 + F 43. (UEPI) – O termômetro de mercúrio da figura foi graduado a partir
das medidas abaixo:
38. (FEI) – Um termômetro mal calibrado marca –2,0°C no ponto do – termômetro envolto em gelo fundente: x = 2,0cm.
gelo (correto 0,0°C) e 103,0°C no ponto do vapor (correto – termômetro imerso em água em ebulição: x = 7,0cm.
100,0°C). Qual é a temperatura correta (em °C) quando o Colocando-se o termômetro na axila de um paciente e
termômetro mal calibrado marca 61,0°C? aguardando-se o equilíbrio térmico, obteve-se o valor
x = 4,0cm.
39. Um termômetro mal construído assinala +1°C à temperatura de Pede-se diagnosticar se o paciente
solidificação da água e 99°C à temperatura de ebulição, sob pres- a) está com febre alta, de 40°C.
são normal. b) está levemente febril, pois sua temperatura é de 38°C.
a) Qual é a verdadeira temperatura correspondente a uma leitura c) está com temperatura normal, 37°C.
de 25°C? d) está com temperatura abaixo da normal, 36°C.
b) Em que temperatura a indicação do termômetro é correta? e) tem uma temperatura de 42°C.
6) B 7) C 8) a) 95°F 9) C 10) C 11) 107,6°F 17) D 18) A 19) A (25°C) 20) E 27) C 28) C
b) 160°C 29) A 30) B 31) D 32) B 33) B 34) B
12) C 13) C 14) 06 15) A 16) a) –195°C 35) A 36) E 37) D 38) 60°C 39) a) 24,5°C
02 e 04 b) –319°F 40) C 41) D 42) 38°C b) 50°C
{ corretas 43) A
127
CAPÍTULO
Termologia
2 CALORIMETRIA
A pedra, após ser

aquecida no fogo, é
colocada no recipiente
com água fria. A
pedra e a água irão
trocar calor. A pedra,
mais quente, fornecerá
energia térmica para a
água, mais fria.
N a Calorimetria, iniciamos o estudo da energia térmica e conceituamos calor como energia

térmica em trânsito, deslocando-se espontaneamente entre dois locais de temperaturas diferentes.
A energia térmica, quando chega ou quando sai de um corpo, pode produzir alteração no estado de
agitação das partículas do sistema (variação de temperatura), quando será denominada calor sensível,
ou mudança na agregação das partículas do corpo (o sistema muda de estado físico), quando será
denominada calor latente. Todos esses conceitos serão discutidos neste capítulo.
A quantificação, com o uso de equações, também será alvo de estudo nesta parte da Termologia. Pela
resolução de exercícios de vários tipos, praticaremos o balanço energético, que ocorre quando colocamos
corpos de temperaturas diferentes em contato físico, buscando conhecer a situação final de equilíbrio
térmico. A unidade de energia térmica no Sistema Internacional é o joule ( J ); no entanto, na Termologia
usaremos também a unidade caloria (cal), que será definida ao longo da teoria.
1. Noções de calor
As partículas constituintes dos corpos estão constantemente em movimento, sendo dotadas de uma energia de
movimento, uma energia de agitação.
A energia de agitacão das partículas do corpo é denominada energia térmica do corpo.
A quantidade de energia térmica de um corpo depende de uma série de fatores, como a sua massa, a substância de
que é constituído, a temperatura etc.
Portanto, a temperatura é uma medida do estado de agitação das partículas de um corpo, do nível de energia térmica
ou do potencial térmico desse corpo.
128
Quanto maior a temperatura, mais agitadas ficam as Se o efeito no corpo for apenas mudança de estado,
partículas do corpo. Devemos observar que a temperatu- o calor é chamado calor latente.
ra não mede a quantidade de energia térmica do corpo. Assim, nas considerações acima, o calor recebido
Sendo assim, o fato de um corpo estar numa temperatura pelo ferro é sensível e o recebido pelo gelo é latente.
mais alta que outro não quer dizer que ele possua maior Por exemplo, se colocarmos um pedaço de ferro
quantidade de energia térmica, mas sim que sua energia aquecido na cavidade feita num bloco de gelo a 0°C, ve-
térmica está num nível mais elevado que a do outro. rificamos o resfriamento do ferro e a fusão de parte do
Quando dois corpos em temperaturas diferentes são gelo. O ferro, mais quente, cede calor ao gelo. Esta
postos em contato, espontaneamente há transferência de quantidade de calor cedida pelo ferro provocou nele um
energia térmica do corpo de maior para o de menor tem- resfriamento, sendo calor sensível. A mesma
peratura. Sendo assim, a temperatura do “mais quente” quantidade de calor ao ser recebida pelo gelo provoca
diminui e a do “mais frio” aumenta até que as duas se igua- nele uma fusão, sendo, pois, chamado de calor latente.
lem. Neste ponto cessa a troca de calor. Dizemos que foi
atingido o equilíbrio térmico e a temperatura chama-se
temperatura final do equilíbrio térmico.
Observemos que a causa determinante da passagem

de energia de A para B foi a diferença de temperaturas e Calor sensível é aquele que produz variação de temperatura num corpo.
que, quando as temperaturas se igualaram, cessou a

passagem de energia.
A energia térmica que passa de A para B recebe,
durante o movimento, o nome de calor.
Portanto:
Calor é a denominação dada à energia térmica

quando, e apenas enquanto, esta energia estiver
transitando de um local de maior para outro local
de menor temperatura.
2. Calor sensível e calor latente

Colocando um pedaço de ferro na chama de uma ve-
la, observamos que o calor fornecido pela chama provoca
uma variação de temperatura (aquecimento) no ferro. Calor latente é aquele que produz mudança de estado físico numa substância.
Colocando um pedaço de gelo na chama de uma ve-
la, notamos que o calor fornecido pela chama provoca 3. Cálculo da quantidade
uma mudança de estado (fusão) no gelo.
Portanto, quando um corpo recebe ou cede calor, es-
de calor sensível (equação
te pode produzir no corpo dois efeitos diferentes: varia- fundamental da calorimetria)
ção de temperatura ou mudança de estado. Suponhamos que um corpo A de massa m receba
Se o efeito no corpo for apenas variação de uma quantidade de calor sensível Q que lhe provoca o
temperatura, o calor é chamado calor sensível. aquecimento ⌬␪.
129
Verifica-se experimentalmente que a quantidade de

calor Q é proporcional à massa m e à variação de tempe-
ratura ⌬␪, sendo, pois, proporcional ao produto m⌬␪.
Assim, podemos escrever:
Q = mc⌬␪
em que c é um coeficiente de proporcionalidade chama-

do calor específico sensível da substância. Observemos
que o calor específico é uma grandeza característica da
substância, cujo valor, consequentemente, não depende O valor energético dos alimentos é geralmente expresso
em “calorias alimentares”. É importante notar que 1 caloria
da massa. alimentar corresponde a 1000 calorias utilizadas em Termologia.
O calor específico sensível de uma substância for-
nece a energia térmica necessária para que uma unidade CONTEÚDO DE CALORIAS DE
de massa da substância sofra a alteração de uma unidade ALGUNS ALIMENTOS, TEMPOS E EXERCÍCIOS
na sua temperatura. EQUIVALENTES (PESSOA DE 70kg) PARA CONSUMO
Alimento cal Repouso Andando Bicicleta Natação Corrida
(uma porção) (min) (min) (min) (min) (min)
4. Caloria – calor
Maçã 110 78 19 12 9 5
específico sensível da água
Bacon
96 74 18 12 9 5
Chama-se caloria a quantidade de calor necessária (duas fatias)
para aquecer 1g de água pura de 14,5°C a 15,5°C, sob Ovo cozido 77 59 15 9 7 4
pressão normal. Assim, temos: Ovo frito 110 85 21 13 10 6
Hambúrguer 350 269 67 43 31 18
Milk-shake 502 386 97 61 45 26
Refrigerante
106 82 20 13 9 5
comum
Batata frita 108 83 21 13 10 6
Usando a equação fundamental da calorimetria, te- (C.H. Snyder, The extraordinary chemistry of ordinary things, John Wiley and Sons.)
mos:
Q = mc⌬␪ 5. Capacidade térmica (C)
1,0cal = 1,0g . cágua . 1,0°C A capacidade térmica ou capacidade calorífica de um
corpo determina a quantidade de calor de que esse corpo
Portanto: cal necessita para variar sua temperatura de uma unidade.
cágua = 1,0 ––––– Portanto, para o cálculo da capacidade térmica de
g°C
um corpo, devemos usar a relação:
O calor específico sensível da água, apesar de ser
variável no intervalo de 0°C a 100°C, é suposto constante Q
C = –––– = mc
no seu valor médio (1,0cal/g°C). ⌬␪
Dessa forma, na resolução dos exercícios faremos
constante o calor específico sensível da água e igual a Observe que a unidade de capacidade térmica é
1,0cal/g°C. caloria/grau Celsius (cal/°C) ou joule/Kelvin (J/K).
130
1. (PUC-SP-MODELO ENEM) – Leia com atenção a tirinha a seguir: Q

Q = mc⌬␪ ⇒ c = –––––––
m⌬␪
500cal
c = ––––––––––––– ⇒ c = 0,50cal/g°C
100g . 10°C
Uma outra maneira de se obter o calor específico sensível seria:
C 50cal/°C
C = mc ⇒ c = ––– = ––––––––– ⇒ c = 0,50cal/g°C
m 100g
3. Chama-se btu (British Thermal Unit) a quantidade de calor neces-

sária para aquecer 1,0 libra (1,0 lb 艑 454g) de água pura de 64°F
a 65°F. Determine o valor de 1,0 btu em calorias.
Resolução
Temos que:
Q = 1,0 btu
m = 1,0 lb 艑 454g
5
⌬␪ = 65°F – 64°F = 1°F = ––– °C
9
Lembrando que o calor específico sensível da água vale
1,0cal/g°C e usando a equação fundamental da calorimetria,
temos:
Q = mc⌬␪
cal 5
1,0 btu = 454g . 1,0 –––– . ––– °C
g°C 9
1,0 btu 艑 252cal
4. (FUVEST) – Um atleta envolve sua perna com uma bolsa de água

Ao pisarem na areia, Calvin e Haroldo sentem a sensação de quente, contendo 600g de água à temperatura inicial de 90°C.
quente e ao entrarem na água, a de frio. Após 4,0 horas, ele observa que a temperatura da água é de 42°C.
Essa história sugere que a situação se passa A perda média de energia da água por unidade de tempo é:
a) de manhã e o calor específico sensível da areia é maior do que (c = 1,0cal/g°C)
o da água. a) 2,0cal/s b) 18cal/s c) 120cal/s
b) à tarde e o calor específico sensível da areia é maior do que o d) 8,4cal/s e) 1,0cal/s
da água. Resolução
c) de manhã e o calor específico sensível da areia é menor do A energia média perdida na unidade de tempo corresponde a uma
que o da água. potência média:
d) à tarde e o calor específico sensível da areia é menor do que Q mc I ⌬␪ I
o da água. Pot = ––– = ––––––––––
⌬t ⌬t
e) ao meio-dia e o calor específico sensível da areia é igual ao da
água. Substituindo os valores, temos:
Resolução
A situação descrita nos quadrinhos ocorre no final da manhã, 600 . 1,0 . 48
Pot = ––––––––––––– (cal/s) Pot = 2,0cal/s
quando a radiação solar provocou um aumento maior na 4,0 . 60 . 60
temperatura da areia. Resposta: A
A areia torna-se “quente” e a água ainda não foi aquecida
suficientemente, encontrando-se “fria”.
Quando comparamos massas iguais de água e areia, observamos 5. (MODELO ENEM) – Aquecimento de água por energia solar
que a amostra de areia precisará de menos energia térmica para
variar a sua temperatura de uma unidade. Assim, o calor O Brasil recebe, em média, 1800kWh/m2 . ano de energia prove-
específico sensível da areia é menor do que o da água. niente do Sol. Para se ter uma ideia, a radiação que incide em um
Resposta: C ano na área do Distrito Federal, onde se encontra a cidade de Bra-
sília, equivale a mais de 160 usinas de Itaipu. A utilização de uma
2. Fornecendo-se a um corpo de massa 100g a quantidade de calor parte dessa energia poderia representar uma grande economia
igual a 500cal, a sua temperatura aumenta de 20°C para 30°C, para cada um de nós e para o País, que não precisaria construir
sem mudança de estado. Calcule a capacidade térmica do corpo novas usinas elétricas, termoelétricas ou nucleares.
e o calor específico sensível da substância que o constitui. A utilização de coletores solares para uso doméstico no
Resolução aquecimento de água pode representar uma economia de 30% a
Temos que: 40% na conta de energia elétrica das residências. Cada metro
quadrado de coletor solar em uso representa 56m2 a menos de
m = 100g Q = 500cal ⌬␪ = 30°C – 20°C = 10°C
área inundada em usinas hidroelétricas e a economia de 55kg/ano
A capacidade térmica do corpo é dada por: de gás ou 215kg/ano de lenha que deixaria de ser queimada.
Q 500cal Hoje, 68% das residências brasileiras têm chuveiro elétrico (são
C = –––– = –––––––– ⇒ C = 50cal/°C 18 milhões de aparelhos) e poucas possuem aquecedor solar.
⌬␪ 10°C
Nos países de primeiro mundo, 80% dos lares possuem
Para obter o calor específico sensível, basta aplicarmos a equação
aquecimento solar, para aquecer a água utilizada nos banhos e
fundamental da calorimetria:
para calefação (aquecimento dos cômodos), sendo também
131
empregadas células fotovoltaicas, que transformam energia solar a) A energia térmica recebida pela água, a cada hora, vale
em energia elétrica. 144kcal.
O aquecedor solar é um sistema simples que utiliza a radiação, a b) O total de energia solar incidente, a cada hora, sobre a placa
condução e a convecção térmica para aquecimento da água. Esse vale 30kcal.
dispositivo é constituído de duas partes: o coletor solar (placas) e c) O rendimento do processo descrito é, aproximadamente, igual
o reservatório térmico (onde a água aquecida é armazenada). a 48%.
(Newton V. B. – Tópicos de Física – Editora Saraiva) d) Dobrando-se a área do coletor, a intensidade da radiação solar
também dobra.
O princípio de funcionamento do coletor baseia-se no fato de que e) Se a placa coletora fosse pintada de prata, o rendimento
todo corpo exposto à radiação do Sol tende a se aquecer pela aumentaria, já que as cores prata e dourada são mais bem
absorção dessa energia. absorventes de energia solar.
A figura a seguir é uma representação esquemática de um tipo de Resolução
coletor solar composto basicamente por: a) FALSA
• uma caixa fechada, contendo canos de cobre na forma de A energia recebida pela água vai aquecê-la, assim:
serpentina (onde circula a água a ser aquecida);
• uma placa pintada de preto fosco (para melhorar o processo de Q = mc⌬␪
aquecimento da água); Q = 36 . 103 . (70 – 30) (cal)
• uma tampa de vidro transparente (por onde passa a radiação
solar e que ajuda a reduzir perdas por convexão). Q = 1,44 . 106 cal = 1440kcal
b) FALSA
E
I = –––––––
A . ⌬t
Assim:
E
60 = –––––––––––
5 . 104 . 1
E = 3 . 106 cal = 3000kcal
c) VERDADEIRA
O rendimento do coletor é dado por:
Q 1,44 . 106
␩ = ––– = ––––––––––
E 3 . 106
Considere: ␩ = 0,48
cal
• a intensidade da radiação solar I = 60 ––––––––; ␩(%) = 48%
cm2 . h
• a área de absorção de energia do coletor A = 5 x 104cm2; d) FALSA

cal A intensidade da radiação solar depende da fonte (Sol) e da
• o calor específico sensível da água c = 103 ––––––––; distância do Sol até a Terra. Não depende do tamanho do
kg .°C
coletor solar.
• a quantidade de água aquecida de 30°C para 70°C, em uma hora, e) FALSA
como sendo m = 36kg; As cores escuras absorvem mais a radiação solar. As cores
• o rendimento, ␩, como sendo a razão entre a energia absorvida claras, como o branco, o prata e o dourado, refletem-na mais.
pela água no processo de aquecimento e a energia fornecida
pelo Sol ao coletor. Resposta: C
Considerando os dados fornecidos, encontre a alternativa correta:
6. (UEBA) – O calor específico sensível de uma substância indica o d) A capacidade térmica de um corpo indica a quantidade de ca-
valor lor que cada unidade de massa desse corpo necessita para sua
a) do seu ponto de ebulição ao nível do mar. temperatura variar por unidade.
b) da capacidade térmica de um corpo feito com essa substância. e) O valor da capacidade térmica de um corpo depende do
c) da quantidade de calor necessária para elevar de um grau material de que este é feito.
Celsius a temperatura de um grama dessa substância.
d) de sua condutividade térmica no estado sólido. 8. (MODELO ENEM) – A prova que faltava…
e) da quantidade de calor necessária para fundir um grama dessa
substância. …O estudo publicado pelo Centro Nacional de Pesquisas com
Primatas, de Wisconsin, nos Estados Unidos, reforçou a tese de
7. (UF-UBERABA-MG) – Assinale a afirmativa falsa: que comer menos contribui para a longevidade. Dois grupos de
a) A capacidade térmica de um corpo é função de sua massa. macacos rhesus foram acompanhados por vinte anos. O
b) Quando recebido por um corpo, o calor sensível produz resultado mostra que no grupo que comia menores quantidades
apenas variação de temperatura. a incidência de diabete, câncer e doenças cardíacas foi menor.
c) O calor específico sensível é uma característica do material de Desde a década de 1930 existem estudos que mostram que uma
que é feito o corpo, não dependendo da sua massa. dieta com calorias reduzidas contribui para uma vida mais longa.
132
…sendo recomendadas 2 500 calorias alimentares para os e equipamentos com tranquilidade. Há registros em vídeo de
homens e 2 000 para as mulheres. alguns deles saltitando com extrema leveza, como que
…Quando comemos, o corpo produz substâncias oxidantes, os desfrutando de forma descontraída da baixa gravidade.”
radicais livres, que contribuem para o envelhecimento das
células. Além disso, a ingestão de carboidratos estimula a
produção da insulina, que, em quantidade excessiva, pode causar
hipertensão e diabete.
(Revista Veja de 15 de julho de 2009)
A energia utilizada para a manutenção e o desempenho de um

corpo humano é obtida por meio dos alimentos que são ingeridos.
Na reportagem, as 2500 calorias alimentares recomendadas
equivalem a 2500kcal da Física.
Observe a tabela dada, que representa a quantidade média de
energia absorvida pelo corpo humano a cada 100 gramas do
alimento ingerido.
Alimento Porções (100g) Energia (kcal)
alface 20 folhas 15
batatas fritas 2 unidades 274
chocolate em barra 1 tablete 528 Quando os astronautas da Estação Espacial Internacional
precisam realizar missões fora do ambiente pressurizado da
Coca-Cola 1/2 copo 39
estação, eles usam trajes espaciais que são projetados para
macarrão cozido 7 colheres de sopa 111 mantê-los vivos no ambiente extremamente hostil do espaço.
Uma característica desses trajes é o sistema de resfriamento, que
mamão 1 fatia 32 utiliza água circulando por tubos em contato com o corpo do
margarina vegetal 20 colheres de chá 720 astronauta para absorver o calor liberado por ele. Sem esse
sistema, a temperatura no interior do traje iria subir e causar
pão 2 fatias 269 desconforto, pois o isolamento térmico do traje é extremamente
eficiente e, durante os trabalhos fora da estação, os astronautas
repolho cru 10 folhas 28
liberam uma quantidade de calor considerável. Medidas das taxas
sorvete industrializado 2 bolas 175 metabólicas de utilização de energia pelo corpo dos astronautas
fornecem um valor médio de aproximadamente 200kcal/h. Com
Se for preciso, use: base nessas informações e em seus conhecimentos de Física,
1 caloria = 4,2 joules. analise as afirmativas dadas a seguir.
Calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C. Dados: calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C
Analisando-se a tabela, podemos concluir que, em termos ener- densidade da água = 1,0kg/ᐉ
géticos: I. Se todo o gasto energético do astronauta durante uma hora
a) o chocolate é o alimento mais energético entre os listados. fosse usado para aquecer uma quantidade de 10 litros de
b) uma fatia de mamão equivale, aproximadamente, a 10 folhas água, a temperatura da água se elevaria em 20°C.
de alface. II. A água é usada para o sistema de resfriamento porque tem
c) um copo de Coca-Cola fornece uma energia de, aproxima- grande capacidade de absorver calor, sofrendo pequenas
damente, 328J. variações de temperatura, ou seja, tem alto calor específico.
d) 0,50kg de sorvete é equivalente a, aproximadamente, 320g de III. O sistema de resfriamento seria mais eficiente se fosse usado
batatas fritas. mercúrio, ao invés da água, pois o metal é muito melhor
e) um sanduíche com 2 fatias de pão, 2 folhas de alface e 2 condutor de calor.
folhas de repolho equivale a 1 unidade de batata frita. IV. Se não houvesse o sistema de resfriamento, o interior do traje
espacial ficaria muito mais quente que o corpo do astronauta
9. (UFPR) – Dois corpos de massas diferentes estão inicialmente devido à liberação de calor por ele.
em contato térmico, de modo que suas temperaturas são iguais. Estão corretas somente as afirmativas:
Em seguida, isola-se um do outro e ambos recebem a mesma a) I e II b) I, III e IV c) I, II e IV
quantidade de calor de uma fonte térmica. A respeito de suas d) II e III e) III e IV
temperaturas imediatamente após esta operação, é correto
afirmar que: 11. (FGV-SP) – Os trajes de neopreno, um tecido emborrachado e
01 – Devem ser iguais. isolante térmico, são utilizados por mergulhadores para que certa
02 – Serão iguais se os dois corpos tiverem igual volume. quantidade de água seja mantida próxima ao corpo, aprisionada
04 – Seriam iguais se suas capacidades caloríficas fossem nos espaços vazios no momento em que o mergulhador entra na
iguais. água. Essa porção de água em contato com o corpo é por ele
08 – Somente seriam iguais se o calor específico sensível de aquecida, mantendo assim uma temperatura constante e
um corpo fosse igual ao do outro. agradável ao mergulhador. Suponha que, ao entrar na água, um
16 – Seriam as mesmas se os corpos tivessem a mesma massa traje retenha 2,5ᐉ de água inicialmente a 21°C. A energia envolvi-
e o mesmo calor específico sensível. da no processo de aquecimento dessa água até 35°C é
a) 25,5kcal b) 35,0kcal c) 40,0kcal
10. (MODELO ENEM) – “ O dia 20 de julho de 1969 entrou para a d) 50,5kcal e) 70,0kcal
história como um marco nas conquistas espaciais. Pela primeira
Dados: densidade da água = 1,0kg/ᐉ
vez um ser humano, representado pelo astronauta norte-ame- calor específico sensível da água = 1,0cal/(g.°C)
ricano Neil Armstrong, colocava os pés na Lua, coroando uma era
de ousadia e evoluções. O próprio Armstrong reverenciou a 12. (MACKENZIE-SP) – Um corpo de certo material, com 200g, ao re-
importância daquele momento, proferindo uma frase lapidar: ceber 1000cal aumenta sua temperatura de 10°C. Outro corpo de
‘Este é um pequeno passo para um homem, mas um grande 500g, constituído do mesmo material, terá capacidade térmica de:
passo para a humanidade’. Na Lua, a aceleração da gravidade tem a) 50cal/°C b) 100cal/°C c) 150cal/°C
valor igual a um sexto do valor registrado na Terra, aproxi- d) 250cal/°C e) 300cal/°C
madamente, o que permitiu aos astronautas suportar seus trajes
133
13. (UFSE) – A tabela abaixo apresenta a massa m de cinco objetos quantas “calorias alimentares” devemos utilizar, por dia, a partir
de metal, com seus respectivos calores específicos sensíveis c. dos alimentos que ingerimos?
a) 33 b) 120 c) 2,6 x 103
METAL c(cal/g°C) m(g) d) 4,0 x 103 e) 4,8 x 105
Alumínio 0,217 100
18. (FGV-SP) – Colocam-se 500 gramas de água a 100°C dentro de uma
Ferro 0,113 200 garrafa térmica. O gráfico mostra a variação da temperatura da água
no decorrer do tempo.
Cobre 0,093 300
Prata 0,056 400
Chumbo 0,031 500
O objeto que tem maior capacidade térmica é o de:

a) alumínio. b) ferro. c) chumbo.
d) prata. e) cobre.
14. (UERJ) – Quatro esferas metálicas e maciças, E1 , E2 , E3 e E4 ,

todas com a mesma massa, são colocadas simultaneamente no
interior de um recipiente contendo água em ebulição.
A tabela abaixo indica o calor específico e a massa específica do
metal que constitui cada esfera.
Metal Podemos afirmar que, entre os instantes T1 = 1000s e T2 = 2000s,
a água perdeu calor à razão média de, aproximadamente,
calor específico massa específica a) 0,85 joules/s b) 2,4 joules/s c) 10 joules/s
Esfera tipo
(cal/g°C) (g/cm3) d) 33 joules/s e) 42 joules/s
Dado: calor específico sensível da água = 4,2J/g°C
E1 alumínio 0,215 2,7
19. (FUVEST-SP) – Um fogão, alimentado por um botijão de gás, com
E2 ferro 0,113 7,8
as características descritas no quadro abaixo, tem em uma de
E3 níquel 0,056 10,5 suas bocas um recipiente com um litro de água que leva 10 mi-
nutos para passar de 20°C a 100°C. Para estimar o tempo de
E4 cobre 0,093 8,9 duração de um botijão, um fator relevante é a massa de gás
consumida por hora. Mantida a taxa de geração de calor das
Atingido o equilíbrio térmico, essas esferas são retiradas da água condições acima, e desconsideradas as perdas de calor, a massa
e colocadas imediatamente na superfície de um grande bloco de de gás consumida por hora, em uma boca de gás desse fogão, é
gelo que se encontra na temperatura de fusão. aproximadamente
A esfera que fundiu a maior quantidade de gelo e a esfera que a) 8 g b) 12 g c) 48 g
produziu a cavidade de menor diâmetro no bloco de gelo são, d) 320 g e) 1920 g
respectivamente:
a) E3 ; E4 b) E2 ; E4 Características do botijão de gás
c) E1 ; E3 d) E1 ; E2
Gás __________________________________GLP
15. (UNISA-SP) – O gráfico representa a temperatura de uma amos- Massa total __________________________13 kg
tra, de massa 100g, de uma substância, em função da quantidade
Calor de combustão __________________40 000 kJ/kg
de calor por ela absorvida.
20. (UFCE) – Dois corpos, A e B, idênticos e de mesma massa

m = 500g, absorvem calor de uma fonte à razão constante de
150cal/min. O gráfico da temperatura dos corpos em função do
tempo está indicado na figura ao lado. Durante todo o processo, a
pressão mantém-se constante e os dois corpos não sofrem
mudança de estado.
O calor específico sensível dessa substância, em cal/g°C, é:

a) 0,10 b) 0,20 c) 0,40 d) 0,60 e) 0,80
16. (MACKENZIE-SP) – Uma fonte calorífica fornece calor conti-

nuamente, à razão de 150cal/s, a uma determinada massa de
água. Se a temperatura da água aumenta de 20°C para 60°C em
4 minutos, sendo o calor específico sensível da água 1,0cal/g°C,
pode-se concluir que a massa de água aquecida, em gramas, é:
a) 500 b) 600 c) 700 d) 800 e) 900 Considerando a situação apresentada neste problema, podemos
afirmar:
17. (FUVEST) – Um ser humano adulto e sadio consome, em média, 01. A capacidade térmica do corpo A é 30cal/°C.
uma potência de 120J/s. Uma “caloria alimentar” (1kcal) corres- 02. O calor específico sensível do corpo B é igual ao calor
ponde, aproximadamente, a 4,0 x 103J. Para nos manter sadios, específico sensível do corpo A.
134
04. A capacidade térmica do corpo B é 60cal/°C. 26. (FUVEST) – Um recipiente contendo 3600g de água à temperatura
08. Ao final de 5min, a temperatura do corpo A é de 15°C. inicial de 80°C é posto num local onde a temperatura ambiente
16. O calor específico sensível do corpo B é 0,09cal/g°C. permanece sempre igual a 20°C. Após 5 horas, o recipiente e a
32. A reta de maior inclinação corresponde ao corpo de maior calor água entram em equilíbrio térmico com o meio ambiente. Durante
específico. esse período, ao final de cada hora, as seguintes temperaturas
64. O calor específico sensível do corpo A é 0,12cal/g°C. foram registradas para a água: 55°C, 40°C, 30°C, 24°C e 20°C.
Dado: calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C
Pedem-se:
21. (UNIRIO) – Para a refrigeração do motor de um automóvel, tanto a) Um esboço indicando valores nos eixos do gráfico da tempera-
se pode usar o ar como a água. A razão entre a massa de ar e a tura da água em função do tempo.
massa de água para proporcionar a mesma refrigeração no motor b) Em média, quantas calorias por segundo a água transferiu para
do automóvel deverá ser igual a: o ambiente.
Dados: car = 0,25cal/g°C e cágua = 1,0cal/g°C
a) 0,25 b) 1,0 c) 1,2 d) 2,5 e) 4,0
27. (UNICAMP-SP) – As temperaturas nas grandes cidades são mais
altas do que nas regiões vizinhas não povoadas, formando “ilhas
22. (FUVEST-SP) – Pedro mantém uma dieta de 3 000 kcal diárias e urbanas de calor”. Uma das causas desse efeito é o calor
toda essa energia é consumida por seu organismo a cada dia. absorvido pelas superfícies escuras, como as ruas asfaltadas e as
Assim, ao final de um mês (30 dias), seu organismo pode ser coberturas de prédios. A substituição de materiais escuros por
considerado como equivalente a um aparelho elétrico que, nesse materiais alternativos claros reduziria esse efeito. A figura mostra
mês, tenha consumido a temperatura do pavimento de dois estacionamentos, um
a) 50 kW·h b) 80 kW·h c) 100 kW·h recoberto com asfalto e o outro com um material alternativo, ao
d) 175 kW·h e) 225 kW·h longo de um dia ensolarado.
1 kW·h é a energia consumida em 1 hora por um equipa-

mento que desenvolve uma potência de 1 kW
1cal ≈ 4 J
23. (ITA-SP) – Um fogareiro é capaz de fornecer 250 calorias por se-

gundo. Colocando-se sobre o fogareiro uma chaleira de alumínio
de massa 500g, tendo no seu interior 1,2kg de água à tempera-
tura ambiente de 25°C, a água começará a ferver após 10 minutos
de aquecimento. Admitindo-se que a água ferve a 100°C e que o
calor específico sensível da chaleira de alumínio é 0,23cal/g°C e o
da água 1,0cal/g°C, pode-se afirmar que
a) toda a energia fornecida pelo fogareiro é consumida no
aquecimento da chaleira com água, levando a água à ebulição.
b) somente uma fração inferior a 30% da energia fornecida pela
chama é gasta no aquecimento da chaleira com água, levando
a água à ebulição.
c) uma fração entre 30% a 40% da energia fornecida pelo a) Qual curva corresponde ao asfalto?
fogareiro é perdida. b) Qual é a diferença máxima de temperatura entre os dois
d) 50% da energia fornecida pelo fogareiro é perdida. pavimentos durante o período apresentado?
e) a relação entre a energia consumida no aquecimento da c) O asfalto aumenta de temperatura entre 8h00 e 13h00. Em
chaleira com água e a energia fornecida pelo fogão em 10 mi- um pavimento asfaltado de 10.000 m2 e com uma espessura
nutos situa-se entre 0,70 e 0,90. de 0,1 m, qual a quantidade de calor necessária para aquecer
o asfalto nesse período? Despreze as perdas de calor. A
densidade do asfalto é 2.300 kg/m3 e seu calor específico é
24. (UNIFENAS-MG) – 500g de água devem sofrer uma elevação de c = 0,75kJ/kg°C.
temperatura de 60°C em 5 minutos. Sabendo que 20% do calor
gerado pelo aparelho é perdido, podemos afirmar que a potência
elétrica necessária para que isto ocorra deve ser igual a: 28. (MACKENZIE-SP) – Um bloco de cobre (c = 0,094cal/g°C) de
a) 200 watts b) 300 watts c) 500 watts 1,2kg é colocado num forno até atingir o equilíbrio térmico. Nessa
d) 600 watts e) 1000 watts situação, o bloco recebe 12 972cal. A variação da temperatura
Dados: calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C; sofrida, na escala Fahrenheit, é de:
1,0cal = 4,0J. a) 60°F b) 115°F c) 207°F d) 239°F e) 347°F
25. (UNICAMP) – Um aluno simplesmente sentado numa sala de 29. (MACKENZIE-SP) – O calor específico sensível de uma
aula dissipa uma quantidade de energia equivalente à de uma determinada substância é 0,18cal/g°C. Se, ao invés de usarmos a
lâmpada de 100W. O valor energético da gordura é de 9,0kcal/g. escala Celsius, usássemos a escala Fahrenheit, este calor
Para simplificar, adote 1,0cal = 4,0J. específico sensível seria indicado por:
a) Qual o mínimo de kilocalorias que o aluno deve ingerir por dia
para repor a energia dissipada? 9
a) –––––– cal/g°F b) 0,02cal/g°F c) 0,10cal/g°F
b) Quantos gramas de gordura um aluno queima durante uma 1690
hora de aula?
d) 0,20cal/g°F e) 0,324cal/g°F
135
6. Balanço energético Exemplo:

Consideremos vários corpos em temperaturas dife-
rentes, colocados em contato, constituindo um sistema
termicamente isolado (sistema que não troca calor com o
meio externo: vários corpos dentro de um vaso de isopor,
por exemplo).
Como estão em temperaturas diferentes, eles trocam
calor entre si, até atingirem o equilíbrio térmico.
Mas, como o sistema é termicamente isolado, isto é,
como ele não troca energia térmica com o meio, sua ener-
gia térmica total permanece constante.
Sendo assim, a soma das quantidades de calor re-
cebidas pelos corpos “mais frios” é exatamente igual à
soma das quantidades de calor cedidas pelos corpos
“mais quentes”.
Logo, a soma das quantidades de calor cedidas
Pela convenção adotada, temos Qa e Qb negativos e
por uns é igual à soma das quantidades de calor
Qc, Qd e Qe positivos, de tal forma que:
recebidas pelos demais.
Q a + Qb + Qc + Qd + Qe = 0
As considerações vistas acima constituem o prin-
∑Qcedida = ∑Qrecebida cípio da igualdade das quantidades de calor trocadas,
que pode ser enunciado da seguinte maneira: “Quando
dois ou mais corpos, em temperaturas diferentes, são
Se convencionarmos:
postos em contato, constituindo um sistema termica-
calor recebido: Q > 0 calor cedido: Q < 0 mente isolado, eles trocam calor até atingir o equi-
líbrio térmico”. Uma vez atingido o equilíbrio térmico,
a expressão transforma-se em: as temperaturas de todos são iguais e a soma das
quantidades de calor cedidas por alguns é igual à soma
∑Qtrocada = 0 ou Qcedido + Qrecebido = 0 das quantidades de calor recebidas pelos outros.
30. Em um sistema termicamente isolado, são colocados dois cor- Resolução

pos, A e B. O corpo A tem massa 100g, calor específico sensível n
0,30cal/g°C e temperatura inicial 10°C. O corpo B está a 60°C, Temos que: ∑ Qtrocadas = 0
tem massa 200g e calor específico sensível 0,10cal/g°C. i=1
Sabendo que não há mudanças de estado, determine a n n n
temperatura final de equilíbrio térmico. ∑ mi ci (␪f – ␪i) = 0 ∑ mi ci ␪f – ∑ mi ci␪i = 0
Resolução i=1 i=1 i=1
Num sistema termicamente isolado, vale a relação:
∑ mi ci ␪i
Qcedido + Qrecebido = 0 Assim: ␪f = ––––––––––
∑ mi ci
mAcA ⌬␪A + mBcB⌬␪B = 0
o que demonstra a tese.
100 . 0,30 . (␪f – 10) + 200 . 0,10 (␪f – 60) = 0
No exercício anterior, temos dois corpos.
3␪f – 30 + 2␪f – 120 = 0
mA cA ␪A + mB cB ␪B
Então: ␪f = –––––––––––––––––––––
5␪f = 150 ⇒ ␪f = 30°C mA cA + mBcB
100 . 0,30 . 10 + 200 . 0,10 . 60

␪f = ––––––––––––––––––––––––––––––– (°C)
31. Mostre que, quando n corpos são misturados, constituindo um sis- 100 . 0,30 + 200 . 0,10
tema termicamente isolado, e o equilíbrio térmico estabelece-se
sem que haja mudanças de estado, a temperatura final de equi-
300 + 1200
líbrio térmico é a média ponderada das temperaturas iniciais, ␪f = ––––––––––––– (°C) ⇒ ␪f = 30°C
tomando-se como pesos as respectivas capacidades térmicas. 30 + 20
Aplique este resultado para resolver o exercício anterior.
136
32. (INTEGRADO-RJ) – Analise as afirmativas: Se os recipientes forem retirados da placa e seus líquidos
1. A temperatura de um corpo obrigatoriamente aumenta quan- misturados, a temperatura final da mistura ficará em torno de
do ele recebe uma certa quantidade de calor. a) 45°C b) 50°C c) 55°C d) 60°C e) 65°C
2. Dois corpos apresentam a mesma variação de temperatura
quando recebem, de uma mesma fonte, a mesma quantidade 38. Num calorímetro contendo 200g de água a 20°C, coloca-se uma
de calor. Logo, os calores específicos sensíveis das substân- amostra de 50g de um metal a 125°C. Verifica-se que a
cias que constituem os corpos são necessariamente iguais. temperatura de equilíbrio é de 25°C. Desprezando-se o calor
3. Dois corpos que trocam calor apenas entre si atingirão uma absorvido pelo calorímetro, o calor específico sensível desse me-
temperatura de equilíbrio térmico sempre igual à média arit- tal, em cal/g°C, vale:
mética de suas temperaturas iniciais. a) 0,10 b) 0,20 c) 0,50 d) 0,80 e) 1,0
Entre estas afirmativas:
a) Nenhuma é correta. b) Apenas a 1 é correta. (Dado: calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C)
c) Apenas 1 e 2 são corretas. d) Apenas 1 e 3 são corretas.
e) Todas são corretas. 39. (ITA) – Um bloco de massa m1 e calor específico sensível c1, à tem-
peratura T1, é posto em contacto com um bloco de outro material,
33. (PUC-SP) – Dois blocos de cobre, A e B, de massas iguais, e um com massa, calor específico sensível e temperatura, respecti-
recipiente R, contendo água, inicialmente isolados, estão, vamente, m2, c2 e T2. Depois de estabelecido o equilíbrio térmico
respectivamente, às temperaturas tA, tB e tR, tais que tB > tR > tA. entre os dois blocos, sendo c1 e c2 constantes e supondo-se que
Os blocos A e B são lançados no recipiente R. A temperatura de as trocas de calor com o resto do Universo sejam desprezíveis, a
equilíbrio térmico do sistema T é: temperatura final T deverá ser igual a:
tA + tB tA + tB + tR m1T1 + m2T1 m1c1 – m2c2
a) T = ––––––– b) T = –––––––––––– c) T = tR a) ––––––––––––– b) –––––––––––––– (T2 – T1)
2 3 m1 + m2 m1c1 + m2c2
tA + tB + tR
d) T = ––––––––––– e) tB > T > tA c1T1 + c2T2 m1c1T1 + m2c2T2
2 c) ––––––––––––– d) –––––––––––––––––
c1 + c2 m1c1 + m2c2
34. (MACKENZIE-SP) – Quando misturamos 1,0kg de água (calor
específico sensível = 1,0cal/g.°C) a 70°C com 2,0kg de água a m1c1 – m2c2
e) ––––––––––––– (T1 – T2)
10°C, obtemos 3,0kg de água a: m1c1 + m2c2
a) 10°C b) 20°C c) 30°C d) 40°C e) 50°C
40. Dois corpos, A e B, em temperaturas diferentes, são misturados,
35. (UFSM-RS) – Um corpo de 400g e calor específico sensível de constituindo um sistema termicamente isolado. Eles trocam calor
0,20cal/g°C, a uma temperatura de 10°C, é colocado em contato tér- até atingir o equilíbrio térmico. A condição para que a temperatura
mico com outro corpo de 200g e calor específico sensível de final de equilíbrio térmico seja a média aritmética entre as tem-
0,10cal/g°C, a uma temperatura de 60°C. A temperatura final, uma peraturas iniciais de A e B é que
vez estabelecido o equilíbrio térmico entre os dois corpos, será de: a) suas massas sejam iguais.
a) 14°C b) 15°C c) 20°C d) 30°C e) 40°C b) as capacidades térmicas sejam iguais.
c) seus calores específicos sensíveis sejam iguais.
36. (EFEI-MG) – Um ferreiro prepara ferraduras para cavalos aquecen- d) a capacidade térmica do mais frio seja o dobro da capacidade
do-as ao fogo até que cheguem a 800°C, a fim de moldá-las. Uma térmica do mais quente.
ferradura de ferro de massa igual a 500g, naquela temperatura, foi e) seus volumes sejam iguais.
jogada num tanque contendo 50,0ᐉ de água à temperatura
ambiente, 25,0°C. A que temperatura chega o sistema água + ferra- 41. (FEI) – Dois corpos de capacidades térmicas iguais são colocados
dura? Considere este sistema composto, isolado. num calorímetro de capacidade térmica desprezível. Não conside-
rando perdas de calor e sendo ␪1 e ␪2 suas temperaturas iniciais,
Dados: calor específico sensível da água = 1,00cal/g°C; a temperatura de equilíbrio será:
calor específico sensível do ferro = 0,200cal/g°C; ␪1 + ␪2 ␪1 – ␪2 ␪ 2 – ␪1
densidade da água = 1,00g/cm3. a) –––––––– b) ––––––– c) –––––––
2 2 2
37. (FUVEST-SP) – Dois recipientes iguais, A e B, contendo dois d) I ␪1 + ␪2 I e) I ␪2 – ␪1 I

líquidos diferentes, inicialmente a 20°C, são colocados sobre uma
placa térmica, da qual recebem aproximadamente a mesma 42. (VEST-RIO-RJ) – Um confeiteiro, preparando um certo tipo de
quantidade de calor. Com isso, o líquido em A atinge 40°C, massa, precisa de água a 40°C para obter melhor fermentação. Seu
enquanto o líquido em B, 80°C. ajudante pegou água da torneira a 25°C e colocou-a para aquecer
num recipiente graduado de capacidade térmica desprezível.
Quando percebeu, a água fervia e atingia o nível 8 do recipiente.
Para obter a água na temperatura de que precisa, deve
acrescentar, no recipiente, água da torneira até o seguinte nível:
a) 18 b) 25 c) 32 d) 40 e) 56
137
43. (FEI) – Pessoas pertencentes a uma seita mística, em seu ritual, 25°C. A temperatura do forno, em °C, é aproximadamente igual a:
aquecem a água de um caldeirão utilizando sete pedras. As a) 140 b) 180 c) 230 d) 280 e) 300
pedras são colocadas em uma fogueira e, depois, lançadas no cal- Dados:
deirão com 0,70 litro de água a 20°C. Cada uma das pedras tem, calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C;
em média, 100g de massa e encontram-se a 300°C no instante calor específico sensível do cobre = 0,030cal/g°C.
em que são lançadas no caldeirão. No equilíbrio térmico, tem-se
uma temperatura de 50°C. Sendo o calor específico sensível da
água igual a 1,0cal/g°C e desprezando-se as perdas de calor para 47. (FUVEST) – O calor específico de um sólido, a pressão constan-
o ambiente e para o caldeirão, pode-se afirmar que o calor espe- te, varia linearmente com a temperatura, de acordo com o gráfico
cífico sensível médio das pedras em questão é: a seguir.
Densidade da água = 1,0kg/ᐉ
a) 0,030cal/g°C b) 0,12cal/g°C c) 0,17cal/g°C
d) 0,50cal/g°C e) 1,04cal/g°C
44. (MACKENZIE-SP) – Dois líquidos de massas idênticas

encontram-se inicialmente à temperatura de 80°C e 20°C,
respectivamente, e são colocados num calorímetro ideal. O
conjunto atinge o equilíbrio térmico a 50°C e, em seguida, é
acrescentado um terceiro líquido de massa igual à do primeiro e
temperatura 40°C. Se o calor específico sensível deste terceiro Qual a quantidade de calor, em calorias, necessária para aquecer
líquido for igual à metade do calor específico sensível do primeiro, 1,0g deste sólido de 10°C até 20°C?
a nova temperatura de equilíbrio térmico será:
a) 24°C b) 46,7°C c) 48°C
d) 50°C e) 60°C 48. (FMSC-SP) – O calor específico c de uma substância em função
da temperatura ␪ varia como indica o gráfico abaixo.
45. (PUCCAMP) – As temperaturas de três líquidos diferentes são

mantidas a 20°C, 25°C e 30°C, respectivamente. Quando massas
iguais dos dois primeiros líquidos são misturadas, a temperatura
final é 24°C e, quando massas iguais dos dois últimos são mistu-
radas, a temperatura final é 28°C. Determinar qual o valor da tem-
peratura final, quando massas iguais do primeiro e do último líqui-
do são misturadas.
46. (PUCCAMP) – Uma barra de cobre de massa 200g é retirada do in-

terior de um forno, onde estava em equilíbrio térmico, e colocada Para aquecer 100g da substância estudada entre 0 e 120°C, é
dentro de um recipiente de capacidade térmica 46cal/°C que necessário o seguinte número de calorias:
contém 200g de água a 20°C. A temperatura final de equilíbrio é de a) 19,60 b) 196 c) 205 d) 1960 e) 2050
7. Equivalência em água
A equivalência em água de um sistema é a massa de água cuja capacidade térmica é igual à capacidade térmica do
sistema considerado.
Sendo E a equivalência em água de um sistema, temos:
Csistema = Cequiv. em água.
Csistema = E . cágua
Como cágua = 1,0cal/g°C, podemos afirmar que a equivalência em água é numericamente igual à capacidade térmica
do sistema.
138
49. Num calorímetro de equivalência em água 10g, contendo 90g de água a 20°C, são jogados 500g de um metal a 90°C. A temperatura final de
equilíbrio térmico é 40°C.
Determine o calor específico sensível do metal.
Resolução
Qcalorímetro + Qágua + Qmetal = 0
E . cág (␪f – ␪c) + mág cág (␪f – ␪ag) + mM cM (␪f – ␪M) = 0
10 . 1 . (40 – 20) + 90 . 1 . (40 – 20) + 500 . cM (40 – 90) = 0

20 cal
20 + 180 – 2500 cM = 0 cM = –––– ⇒ cM = 0,080 ––––
250 g°C
50. Equivalência em água de um sistema é 54. (EFEI-MG) – 20 gramas de cobre a 60°C são colocados dentro de
a) a capacidade térmica do sistema. um calorímetro que contém 10g de água a 10°C. Se a temperatu-
b) a massa de água igual à massa do sistema. ra final do sistema constituído pelo calorímetro e pela mistura de
c) a massa de água com o mesmo volume do sistema. água e cobre for de 15°C, qual é a equivalência em água do calorí-
d) a massa de água com a mesma capacidade térmica do sistema. metro?
e) a massa de água com igual peso do sistema. Dados para a resolução do problema:
calor específico sensível do cobre: 0,42J/g°C;
51. Num calorímetro a 20°C, jogaram-se 100g de água a 30°C e, em
calor específico sensível da água: 4,2J/g°C.
seguida, 150g de cobre a 120°C. A temperatura final de equilíbrio
térmico é 40°C. Dado o calor específico sensível do cobre, a) 4,0g b) 8,0g c) 12g d) 34g e) 66g
0,1cal/g°C, calcule a equivalência em água do calorímetro.
Usar: calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C. 55. Na determinação do calor específico sensível do chumbo, fez-se
a seguinte experiência:
52. (UNICAP-PE) – Num calorímetro que está em equilíbrio térmico Num calorímetro de equivalência em água igual a 14g, contendo
com 80g de água à temperatura de 90°C, foram colocados 150g de 260g de óleo a 25°C, jogaram-se 200g de chumbo a 150°C.
água à temperatura de 30°C. O novo equilíbrio térmico se deu à A temperatura final de equilíbrio térmico foi 30°C. Calcule o calor
temperatura de 65°C. A equivalência em água desse calorímetro é: específico sensível do chumbo.
a) 130g b) 140g c) 150g d) 160g e) 170g Dado: Calor específico sensível do óleo: 0,5cal/g°C.
53. (UFCS-RS) – Num calorímetro, equivalente a 100g de água, estão 56. Um calorímetro equivalente a 20g de água contém 200g de um
800g de água a 80°C. A quantidade de água a 20°C que deve ser líquido de calor específico sensível 0,80cal/g°C a 20°C. Um corpo
adicionada a fim de que a mistura tenha uma temperatura de metálico de 500g a 100°C é jogado no interior do calorímetro. O
equilíbrio de 40°C é igual a: equilíbrio térmico estabelece-se e a temperatura final é 52°C.
a) 800g b) 1000g c) 1600g d) 1800g e) 2000g Determinar o calor específico sensível do metal.
6) C 7) D 8) D 27) a) Curva A
9) 20 (04, 16: corretas) 10) C b) 10°C ou 28°C, conforme a interpretação dada à pergunta
11) B 12) D 13) E 14) C c) 艑 4,3 107 kJ
15) B 16) E 17) C 18) E 28) C
19) C 20) 80 (16, 64: corretas) 21)E 29) C 32)A 33) E 34) C 35) C 36) 26,55°C
22) C 23) C 24) C 37) B 38)B 39) D 40) B 41) A 42) D
25) a) 2,16 . 103kcal 43) B 44)C 45) 艑28,6°C 46) C 47) 5,50cal
b) 10g 48) D 50)D 51) 10g 52) A 53) D
26) a) 54) B 55) 0,03cal/g°C 56) 0,24cal/g°C
b) 12cal/s
139
CAPÍTULO
Termologia
3 MUDANÇAS
DE ESTADO
Na foto, observamos que a água líquida, ao se

solidificar, aumenta de volume, provocando a
quebra do recipiente de vidro.
E ste capítulo é destinado ao estudo das

mudanças de estado físico de um ou mais sistemas. Vamo-nos familiarizar com os nomes: fusão,
solidificação, vaporização, liquefação e sublimação. Cada um deles representando a passagem de um
estado físico para outro. É importante lembrar que os estados físicos mais comuns são: sólido, líquido e
gasoso (vapor ou gás). Vamos também estudar as diferenças e as semelhanças entre os estados físicos
gasosos: vapor e gás. A vaporização, que pode acontecer por evaporação, ebulição e calefação, também será
estudada com detalhes. Nesta parte, vamos entender as leis que regem as mudanças de estado de uma
substância e a influência da pressão nesses fenômenos físicos.
Praticaremos a leitura dos gráficos nos quais encontramos as curvas de aquecimento e de resfriamento de
uma substância. Os diagramas de estado, em que aparecem todas as transições de estado de uma
substância, serão estudados com detalhes.
1. Estados físicos da matéria

A matéria pode apresentar-se nos estados sólido, líquido e gasoso.
Estes estados distinguem-se principalmente pelo seguinte:
Sólidos: têm forma própria e volume bem Líquidos: não têm forma própria (assumem a forma do
definido. recipiente que os contêm), mas têm volume bem definido.
O gelo é água no estado sólido. A água encontra-se no estado líquido.
140
a) Evaporação: que é a passagem de uma subs-

Gases (ou va- tância do estado líquido para o estado gasoso mediante
pores): não têm for- um processo lento que se verifica apenas na superfície do
ma própria nem vo- líquido. É o que acontece com a água de um tanque, ou
lume definido. To- de uma bacia colocada ao ar livre. A evaporação pode
mam a forma e o ocorrer em qualquer temperatura que esteja o líquido.
volume do recipien-
te que os contêm.
Na foto, observamos o
dióxido de carbono (CO2 )
no estado gasoso.
Observemos que em nosso estudo faremos refe-

rência sempre às substâncias puras.
2. Definições
Fusão é a passagem de uma substância do estado
sólido para o estado líquido.
Solidificação é a passagem de uma substância do
A água do lago está constantemente evaporando.
estado líquido para o estado sólido. É a transformação
inversa da fusão. b) Ebulição: é a passagem de uma substância do
Vaporização é a passagem de uma substância do estado líquido para o estado gasoso mediante um
estado líquido para o estado gasoso. processo tumultuoso que se verifica em toda a massa
Liquefação ou condensação é a passagem de gasoso líquida. Isso ocorre quando a pressão de vapor do líquido
para líquido. É a transformação inversa da vaporização. se iguala à pressão externa, aí o vapor escapa produzindo
Sublimação é a passagem da substância diretamente o borbulhar característico da ebulição. É o que acontece
do estado sólido para o gasoso ou do gasoso para o sólido. com a água de uma chaleira quando esta é colocada ao
fogo e começa a fervura. A ebulição só ocorre em uma
determinada temperatura, característica do líquido, cha-
mada temperatura (ou ponto) de ebulição, que depen-
de da pressão exercida em sua superfície.
A experiência mostra que a fusão e a vaporização se

processam sempre com recebimento, com absorção de
calor, sendo, pois, transformações endotérmicas. Já a
solidificação e a liquefação processam-se com despren-
dimento, com libertação de calor, sendo, pois, transfor-
mações exotérmicas.
Observemos que a quantidade de calor que um corpo
recebe ao fundir-se é a mesma que ele cede ao solidificar-se
(princípio da transformação inversa). Da mesma forma, o A água entra em ebulição quando sua pressão de vapor se iguala à pressão
externa.
que recebe ao vaporizar-se, cede ao liquefazer-se.
c) Calefação: é a passagem da substância do estado
líquido para o estado gasoso, após um aquecimento muito
3. Tipos de vaporização repentino. Por exemplo, quando uma porção de água é jo-
Conforme a maneira de se processar, a vaporização re- gada na chapa quente de um fogão, há um aquecimento
cebe nomes diferentes. Assim, ela pode tomar o nome de: repentino da água, seguido do fenômeno da calefação.
141
o de liquefação vale LL = –540cal/g. A fusão e a vaporiza-

ção exigem recebimento de calor (processos endotérmicos)
e a solidificação e a liquefação exigem perda de calor (pro-
cessos exotérmicos).
6. Leis gerais das

mudanças de estado
De acordo com os resultados de experiências, pude-
ram ser enunciadas as seguintes leis obedecidas pelas
No aquecimento repentino da gota-d’água, as partículas da superfície passam
para o estado gasoso, “protegendo” o restante da gota, fazendo com que a
mudanças de estado das substâncias puras.
vaporização total demore um pouco mais, apesar de a água estar aquecida. l.ª lei: SE A PRESSÃO FOR MANTIDA CONS-
TANTE, DURANTE A MUDANÇA DE ESTADO A
4. Temperatura de TEMPERATURA SE MANTÉM CONSTANTE.
Esta lei permite-nos concluir que, enquanto há mu-
mudança de estado dança de estado, não há variação de temperatura e, conse-
A fusão e a solidificação processam-se na mesma quentemente, enquanto há variação de temperatura, não há
temperatura, chamada temperatura (ou ponto) de fusão mudança de estado. Ou seja, a mudança de estado e a
ou de solidificação (␪F). Por exemplo, a água, sob pres- variação de temperatura jamais ocorrem simultaneamente.
são atmosférica normal, sempre se funde e se solidifica a 2.ª lei: PARA UMA DADA PRESSÃO, CADA SUBS-
0°C. TÂNCIA TEM A SUA TEMPERATURA DE FUSÃO
A ebulição e a liquefação processam-se na mesma (OU DE SOLIDIFICAÇÃO) E A SUA TEMPERA-
temperatura, chamada temperatura (ou ponto) de ebu- TURA DE EBULIÇÃO (OU DE LIQUEFAÇÃO).
lição ou de liquefação (␪E). Por exemplo, sob pressão Esta lei ensina-nos que as temperaturas de fusão (␪F)
atmosférica normal, a água sempre entra em ebulição e e de ebulição (␪E), numa dada pressão, são características
se liquefaz a 100°C. das substâncias.
5. Cálculo da Por exemplo, sob pressão normal, temos:

quantidade de calor latente água: ␪F = 0°C e ␪E = 100°C
álcool: ␪F = –114°C e ␪E = 78°C
Seja Q a quantidade de calor latente necessária para
mercúrio: ␪F = –39°C e ␪E = 357°C
provocar uma dada mudança de estado na massa m de
uma substância, sem variação de temperatura.
Verifica-se experimentalmente que Q é proporcional 3.ª lei: VARIANDO A PRESSÃO, AS TEMPERA-
à massa m, podendo-se, pois, escrever: TURAS DE FUSÃO E DE EBULIÇÃO TAMBÉM
VARIAM. (Como se dá esta variação, veremos em
Q = Lm
assunto posterior.) Por exemplo, em Santos, onde a
sendo L um coeficiente de proporcionalidade chamado pressão atmosférica é normal, a água ferve a l00°C. Em
calor (específico) latente da referida mudança de estado São Paulo, onde a pressão atmosférica é da ordem de
da substância. 700mm de Hg, a água ferve a 98°C, aproximadamente.
Logo: Q=mL
Observemos que o calor (específico) latente de uma

substância é uma característica que não depende da mas-
sa da substância.
Notemos também que o calor (específico) latente de
fusão e de solidificação é o mesmo, porque a quantidade
de calor que um corpo recebe para se fundir é a mesma
que cede ao se solidificar.
Tal afirmação também pode ser feita quanto ao calor
(específico) latente de vaporização e de liquefação.
Para a água, o calor específico latente de fusão vale
LF = +80cal/g e o de solidificação vale LS = –80cal/g. O ca- A temperatura de ebulição de um líquido depende da pressão. Quanto maior
lor específico latente de vaporização vale LV = +540cal/g e a altitude, menor é a pressão e menor é a temperatura de ebulição.
142
1. A fusão de uma substância pura, sob pressão constante, é uma

Q 540cal
transformação Q = mLF ⇒ LF = ––– Portanto: LF = –––––– ⇒ LF = 5,4cal/g
a) endotérmica e isocórica. b) endotérmica e isotérmica. m 100g
c) exotérmica e isométrica. d) exotérmica e isotérmica.
Resolução 4. (MODELO ENEM) – Leia atentamente o texto a seguir, extraído
A fusão é endotérmica, pois processa-se com recebimento de do jornal Folha de S. Paulo:
calor. Como a substância é pura e a pressão se mantém cons- Pipoca de gigante
tante, durante a fusão a temperatura se mantém constante, sen-
do, pois, uma transformação isotérmica. Uma equipe de físicos e matemáticos, e não de cozinheiros,
Resposta: B acaba de anunciar a criação da superpipoca, que pode ser tão
grande que terá de ser comida a dentadas. A pesquisa começou
2. (MODELO ENEM) – Fervendo a água no papel tentando descobrir como o milho vira pipoca. A explicação: o
calor transforma a água dentro do milho em vapor, com muita
pressão, que por sua vez arrebenta a casca. E, para igualar a
pressão externa com a interna, o amido absorve o ar, incha e
forma a espuma de milho, que se chama pipoca. Depois de um
complexo cálculo, os cientistas concluíram que usando uma
panela de vácuo, com muito menos pressão do que dentro do
milho, a pipoca dá um superestouro e fica imensa. Há
pipoqueiros calculando o lucro: com o mesmo milho, encherão
dez vezes mais saquinhos com a superpipoca.
Considere agora uma dona de casa fazendo a seguinte

experiência: usando chamas de mesma intensidade, duas
panelas, A e B, são aquecidas em um fogão. As panelas contém
a mesma quantidade de milho, um pouco de óleo e sal, porém, a
panela A está aberta e a panela B é uma panela de pressão
fechada, com pressão interna maior que a atmosférica.
A respeito do estouro produzido e do tamanho da pipoca formada,
Com algum conhecimento de Física, você poderá tornar-se um podemos afirmar que
mágico razoável. Um número que facilmente poderá ser feito é o a) nas duas panelas, o estouro é o mesmo e o tamanho médio
de ferver água em um copo de papel. É bastante apenas encher das pipocas também é o mesmo.
o copo com água e colocá-lo diretamente no fogo para que a água b) na panela A, o estouro é maior e o tamanho médio da pipoca
ferva após algum tempo. Você verá que, mesmo a chama também é maior.
atingindo diretamente o papel, este não se queima e a água ferve c) na panela A, o estouro é menor e o tamanho médio da pipoca
normalmente, apenas de forma um pouco mais branda que num também é menor.
recipiente metálico, ou seja, sem aquele intenso borbulhar d) na panela A, o estouro é maior, porém o tamanho médio da
característico da ebulição da água. Contudo, alguns cuidados pipoca é menor.
devem ser observados: manter o copo sempre cheio e evitar e) na panela A, o estouro é menor, porém o tamanho médio da
saliências no papel. pipoca é maior.
Adaptado de Experiências de Ciências, de Alberto Gaspar Resolução
De acordo com o texto, se a pressão externa for menor (panela
Esse número é possivel porque A), o estouro é maior e o tamanho da pipoca também é maior.
a) o papel é um isolante térmico e por isso queima com Em outras palavras: quanto maior a diferença entre a pressão
dificuldade. interna no milho e a pressão externa ambiente, maior será o
b) a temperatura da chama não é suficiente para queimar o papel, estouro e maior será o tamanho da pipoca formada.
embora seja suficiente para fazer a água ferver. Resposta: B
c) embora a chama atinja diretamente o papel, ele se mantém
inalterado porque o calor fornecido é absorvido pela água. 5. Quantas calorias são necessárias para transformar 20 gramas de
d) o papel não consegue transferir o calor da chama para a água. gelo a –10°C em vapor de água a 120°C?
e) a água ferve a uma temperatura inferior a 100°C, evitando que Dados:
o papel queime. calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C;
Resolução calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g;
A energia térmica fornecida pela chama atravessa o papel e é calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C;
absorvida pela água. Esse aquecimento pode proporcionar a calor específico latente de vaporização da água = 540cal/g;
ebulição da água, sem que o papel se queime. calor específico sensível do vapor-d’água = 0,45cal/g°C.
Atenção para o fato de que toda a face interna do copo deve estar Resolução
em contato com a água. Caso contrário, esse pedaço de papel irá O aquecimento deve ser feito por partes.
queimar-se. Note a esquematização a seguir:
Resposta: C
3. Calcular o calor específico latente de fusão do chumbo, sabendo

que para fundir 100g de chumbo, sem variação de temperatura,
foram necessárias 540cal.
Resolução
Como não houve variação de temperatura, a quantidade de calor Note que a água, sob pressão normal, muda de estado a 0°C e a
recebida pelo chumbo (Q = 540cal) foi de calor latente. Assim, 100°C. Portanto, Q1, Q3 e Q5 são calores sensíveis e Q2 e Q4 são
podemos escrever: calores latentes.
143
QT = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 Q1 = 1 000cal
QT = (mc⌬␪)gelo + (mLF)gelo + (mc⌬␪)água + (mLV)água + (mc⌬␪)vapor Para a fusão do gelo, temos:
QT = 20 . 0,50 . 10 + 20 . 80 + 20 . 1,0 . 100 + 20 . 540 + 20 . 0,45 . 20 (cal) Q2 = (mLF)gelo = 100 . 80 (cal)
QT = 100 + 1600 + 2000 + 10 800 + 180 (cal) Q2 = 8 000cal

No aquecimento da água, até 30°C, temos:
QT = 14 680cal
Q3 = (mc⌬␪)água = 100 . 1,0 . (30 – 0) (cal)
Q3 = 3 000cal
6. Num sistema adiabático de capacidade térmica desprezível, Portanto, a fonte térmica liberou um total de:
existe um bloco de gelo de massa 100g a –20°C. No interior deste
QT = Q1 + Q2 + Q3
sistema, é colocada uma fonte térmica de potência constante e
igual a 300cal/min. Quanto tempo essa fonte levará para obter QT = 1 000 + 8 000 + 3 000 (cal)
100g de água a +30°C? QT = 12 000cal
Dados:
calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C; Aplicando-se a fórmula da potência, resulta:
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g; Q
calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C. Pot = ––– ⇒ Pot ⌬t = Q
⌬t
Resolução
Primeiro, vamos calcular o calor recebido pelo gelo para atingir a 300 . ⌬t = 12 000
temperatura de 0°C:
Q1 = (mc⌬␪)gelo = 100 . 0,50 . [0 –(–20)] (cal) ⌬t = 40min
7. (UNESP-SP) – Nos quadrinhos da tira, a mãe menciona as fases

da água conforme a mudança das estações.
Entendendo “boneco de neve” como sendo “boneco de gelo” e

que com o termo “evaporou” a mãe se refira à transição água →
Sabendo que calor de combustão significa a quantidade de calor
vapor, pode-se supor que ela imaginou a sequência gelo → água liberada durante a queima completa de uma unidade de massa da
→ vapor → água. substância, e que GLP significa gás liquefeito de petróleo,
As mudanças de estado que ocorrem nessa sequência são descubra a alternativa correta.
a) fusão, sublimação e condensação.
b) fusão, vaporização e condensação. Dados: calor específico sensível da água (a 1 atm) = 1cal/g °C
c) sublimação, vaporização e condensação. Calor específico latente de vaporização da água (a 1 atm) = 540cal/g
d) condensação, vaporização e fusão. Calor de combustão do gás engarrafado = 1. 104 cal/g
e) fusão, vaporização e sublimação.
Densidade da água = 1 kg/ᐉ.
8. (MACKENZIE-SP) – A quantidade de calor necessária para que a) O cozimento das batatas estava sendo realizado na panela B da
uma unidade de massa de uma substância mude de estado de figura, com o “fogo baixo”, e a água, depois de certo tempo,
agregação molecular é chamada de Calor Específico Latente de entrou em ebulição. A partir desse instante, para abreviar o
Transformação. No caso da fusão, temos o calor específico laten- cozimento, o rapaz passou a usar o “fogo alto”.
te de fusão (Lf) e, no caso da solidificação, temos o calor espe- b) Se ele tivesse usado corretamente a panela A da figura, o
cífico latente de solidificação (Ls). Considerando uma certa subs- tempo de cozimento das batatas seria o mesmo.
tância, sempre num mesmo ambiente, podemos afirmar que: c) Usando a chama do fogão com potência de 200 cal/s e
a) |Lf | > |Ls| b) Ls > Lf c) Ls = Lf eficiência de 50%, um litro de água pura levaria 13 min 20s para
d) Lf = 2.Ls e) Ls = –Lf ser aquecido na panela B, de 20°C até a ebulição (100°C) e mais
uma hora e meia para a completa vaporização.
9. (UNIP-SP) – O calor específico latente de fusão do gelo é de d) Com eficiência de 50%, a massa de gás queimada somente no
80cal/g. Para fundir uma massa de gelo de 80g, sem variação de aquecimento da água do item c foi 8,0 gramas.
temperatura, a quantidade de calor latente necessária é de: e) Com eficiência de 50%, a massa de gás queimada somente na
a) 1,0cal b) 6,4cal c) 1,0 kcal vaporização da água foi 54 gramas.
d) 64 kcal e) 6,4 . 103cal
11. (UNIP-SP) – Um bloco de gelo de massa 100g está a uma
10. (MODELO ENEM) – A cada dia, mais homens desenvolvem na temperatura de –10°C. São Dados:
cozinha a capacidade criativa, produzindo novas e requintadas (1) calor específico sensível do gelo: 0,50cal/g°C
iguarias para o paladar das pessoas. (2) calor específico latente de fusão do gelo: 80cal/g.
Em uma república de estudantes, José, aluno do curso de Gas- Para que todo o bloco de gelo se funda, a quantidade de calor ne-
tronomia, prepara para seus colegas um delicioso prato, à base de cessária e suficiente é de:
batatas. Depois do almoço, todos assistiram a um filme tomando a) 5,0 . 102cal b) 7,5 . 103cal c) 8,0 . 103cal
uma das bebidas preferidas de nosso país: o famoso cafezinho. d) 8,5 . 103cal e) 8,0 . 104cal
144
12. (UNISA-SP) – Têm-se 20 gramas de gelo a –20°C. A quantidade 20. (UNIP-SP) – Considere uma massa M de água no estado líquido
de calor que se deve fornecer ao gelo para que ele se transforme à temperatura de 0°C.
em 20 gramas de água a 40°C é: Seja Q1 a quantidade de calor que a água deve receber para atingir
a) 1 000cal b) 1 200cal c) 2 600cal sua temperatura de ebulição (100°C). Seja Q2 a quantidade de
d) 3 000cal e) 4 800cal calor latente necessária para provocar a ebulição de toda a massa
Dados: calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C M de água.
calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g São dados: calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C;
calor específico latente de ebulição da água = 540cal/g.
13. (UFES) – Quantas calorias são necessárias para vaporizar 1,00 li- Q2
tro de água, se a sua temperatura é, inicialmente, igual a 10,0°C? A razão –––– :
Q1
a) 5,40 x 104cal b) 6,30 x 104cal c) 9,54 x 104cal
d) 5,40 x 105cal e) 6,30 x 105cal a) depende do valor de M. b) vale 1. c) vale 2.
Dados: calor específico sensível da água = 1,00cal/g°C; d) vale 5,4. e) vale 54.
densidade da água = 1,00g/cm3;
calor específico latente de vaporização da água = 540cal/g. 21. (MACKENZIE-SP) – Em um calorímetro ideal, de capacidade
térmica desprezível, que contém 100g de água a 80°C, colocamos
14. (MACKENZIE-SP) – Sob pressão normal, 100g de gelo a –20°C um bloco de alumínio (c = 0,2 cal/(g.°C)), aquecido a 180°C. Após
recebem 10 000 calorias. o equilíbrio térmico, observa-se a formação de 6g de vapor de
Qual a temperatura da água obtida? água (Lv = 540 cal/g e c = 1 cal/(g.°C)). Sabendo-se que a
Dados: calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C; experiência ocorre sob pressão normal, a massa do bloco de
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g; alumínio é de
calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C. a) 77,5g b) 125,0g c) 202,5g
d) 327,5g e) 407,5g
15. Tabela de Dados:
calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C; 22. (CEUB) – Denomina-se calor de combustão à quantidade de calor
calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C; liberada na queima de uma unidade de massa de um combustível.
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g; O calor de combustão de um derivado do petróleo é 2 000kcal/kg.
calor específico latente de vaporização da água = 540cal/g. Se 7,0kg desse combustível forem utilizados para aquecer, sem
Dispondo de uma quantidade de calor de 6 000cal e observando perdas, um bloco de gelo de 100kg a –20°C, a temperatura do
os dados da tabela, podemos assegurar que conseguiremos “bloco”, em graus Celsius, após a queima total será de:
transformar 10g de gelo a –20°C em a) 30 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80
a) vapor de água. Dados: calor específico sensível do gelo = 0,50kcal/kg°C;
b) uma mistura de vapor e água. calor específico latente de fusão do gelo = 80kcal/kg;
c) uma mistura de gelo e água. calor específico sensível da água = 1,0kcal/kg°C.
d) água a 50°C.
23. (UFF-RJ) – Um aquecedor libera 900cal/s. Ele é utilizado durante
e) gelo a 0°C.
50s para fornecer calor a 1,0kg de gelo a –5,0°C, inicialmente.
Desprezando as perdas, diga, justificando sua resposta, se a
16. Na temperatura de 0°C, 100g de gelo receberam 9,0kcal de uma
quantidade de calor fornecida pelo aquecedor derreterá totalmen-
fonte térmica. No final, temos
te a massa de gelo.
a) 80g de água e 20g de gelo, a 0°C.
b) 100g de água a 0°C. Dados: calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C;
c) 90g de água a 10°C e 10g de gelo a 0°C. calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g;
d) 100g de água a 10°C. calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C.
e) 100g de água a 90°C.
Dados: calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C; 24. Uma fonte de calor fornece 500cal/min a um recipiente de capa-
calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C; cidade térmica 100cal/°C e que contém 100g de água,
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g. inicialmente a 20°C. Ao fim de 34 minutos, a água tem sua
temperatura elevada a 100°C, com desprendimento de 2,0g de
17. (PUC-MG) – Para fundir 100g de gelo a 0°C, precisa-se de vapor-d’água.
8 000cal e, para aquecer de 10°C 100g de água, precisa-se de A partir destes dados, desprezando-se perdas por irradiação, po-
1 000cal. Quantas calorias serão necessárias para transformar de-se dizer que o calor de vaporização da água é um valor mais
200g de gelo a 0°C em água a 20°C? próximo, em cal/g, de:
Dado: calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C.
18. (PUC-MG) – Um bloco de gelo, cuja massa é de 500g, encontra-se a) 400 b) 460 c) 500 d) 560 e) 600
no interior de um calorímetro, à temperatura de 0°C. Considere o
calor de fusão do gelo igual a 80cal/g e o calor específico sensível 25. (UFPR) – Um cubo de gelo a 0,00°C e com massa 100g tem em
da água igual a 1,0cal/g°C. Se forem fornecidas 20 000cal de calor a seu interior um resistor de capacidade térmica desprezível, que
esse bloco, teremos, no interior do calorímetro: serve para aquecer o sistema. Quantos segundos o resistor deve
a) 250g de gelo a 0°C e 250g de água a 4°C. ficar ligado, dissipando uma potência constante de 800W, para
b) 250g de gelo e 250g de água à temperatura final comum de 0°C. que a temperatura final do sistema chegue a 50,0°C?
c) 500g de água, provenientes da fusão do gelo, a 40°C. Considere o sistema termicamente isolado, o calor específico
d) 500g de gelo, que não se fundiram, a 0°C. latente de fusão do gelo igual a 335J/g e o calor específico sensí-
e) 500g de água, provenientes da fusão do gelo, a 0°C. vel da água igual a 4,18J/g°C.
19. (FUVEST) – A energia necessária para fundir um grama de gelo a 26. (UFCE) – Uma certa substância líquida sob pressão atmosférica
0°C é oitenta vezes maior que a energia necessária para elevar de entra em ebulição a uma temperatura de 80°C. Uma massa m
1°C a temperatura de um grama de água. Coloca-se um bloco de dessa substância, inicialmente a 30°C e sob pressão atmosférica,
gelo a 0°C dentro de um recipiente termicamente isolante, forne- recebe calor de uma certa fonte, a uma razão constante e entra
cendo-se, a seguir, calor a uma taxa constante. Transcorrido um em ebulição em 1min. Continuando por mais 3 minutos a receber
certo intervalo de tempo, observa-se o término da fusão completa calor da mesma fonte, verifica-se que toda a massa m do líquido
do bloco de gelo. Após um novo intervalo de tempo, igual à se vaporiza. Sendo o calor específico sensível da substância na
metade do anterior, a temperatura da água, em °C, será: fase líquida 0,50cal/g°C, determine o calor específico latente de
a) 20 b) 40 c) 50 d) 80 e) 100 vaporização da substância, em cal/g.
145
27. (EN-RJ) 29. (UNICAMP) – Em um dia quente, um atleta corre dissipando 750W
Utilizando-se de uma fonte térmica de potência constante, trans- durante 30min. Suponha que ele só transfira esta energia para o
formaram-se 300g de gelo a –8,0°C em vapor-d’água saturado, meio externo através da evaporação do suor e que todo seu suor
sob pressão normal em 30 minutos. Para o aquecimento de um seja aproveitado para sua refrigeração. Adote L = 2.500J/g para o
outro líquido, tendo massa igual a 912,24g, de 86°F para 176°F foi calor latente de evaporação da água na temperatura ambiente.
necessário o uso da mesma fonte durante 3,0 minutos. O calor a) Qual é a taxa de perda de água do atleta em kg/min?
específico sensível médio deste líquido (em J/kg.K) vale: b) Quantos litros de água ele perde nos 30min de corrida?
a) 0,36 b) 20 c) 3,6 . 102 Usar: densidade da água = 1,0kg/ᐉ.
d) 2,0 . 103 e) 3,6 . 103
Dados: calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C; 30. (FEI) – Em um dia muito quente, o proprietário de um bar orgulha-se
calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C; de servir um chope bem tirado, resfriando-o da temperatura ambiente
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g; de 35°C até 5,0°C, por meio de uma chopeira constituída por uma ser-
calor específico latente de vaporização da água = 540cal/g; pentina de cobre colocada no interior de um recipiente de isopor que
equivalente mecânico da caloria = 4,2J/cal. pode conter 10,0kg de gelo. Como o movimento é intenso, estão sen-
do servidos, em média, 4 copos de 200cm3 por minuto. De quanto em
28. (UFBA) – Um recipiente de paredes adiabáticas contém, inicial- quanto tempo deverá ser substituída, no recipiente, a água resultante
mente, 80g de água em estado líquido e 20g de gelo a 0°C. Um da fusão de todo o gelo que ele continha, por gelo novo?
aquecedor de 6,272 x 103W mergulhado dentro dele, durante Adote:
algum tempo, transforma 20% da massa d’água em vapor. Deter- temperatura do gelo ao ser colocado na chopeira: –10,0°C;
mine, em segundos, o tempo gasto nessa transformação. temperatura da água, resultante da fusão, ao ser retirada: 0,0°C;
Dados: calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C; calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C;
calor específico sensível de fusão do gelo = 80cal/g; calor específico sensível da água e do chope = 1,0cal/g°C;
calor específico sensível de vaporização da água = 540cal/g; calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g;
equivalente mecânico da caloria = 4,2J/cal. densidade do chope = 1,0 g/cm3.
7. Curvas de
aquecimento e de resfriamento
São as curvas que se obtêm construindo num dia-
grama cartesiano o gráfico da temperatura de um corpo
em função da quantidade de calor trocada (recebida ou
cedida) por ele.
Consideremos, por exemplo, um corpo de massa m
de uma substância, cujas temperaturas de fusão e de ebu-
lição são, respectivamente, ␪F e ␪E. Seja ␪1 (␪1 < ␪F) a
temperatura inicial deste corpo. Como ␪1 < ␪F, concluí-
mos que inicialmente o corpo se encontra no estado sóli-
do (ponto A). Fornecendo-se calor ao corpo, ele se
aquece, mantendo-se sólido até a temperatura de fusão
(ponto B). A partir daí, à medida que continua recebendo
calor, o corpo funde-se e a sua temperatura mantém-se A curva de resfriamento é obtida de maneira análo-
constante (patamar BC). ga, bastando considerar as transformações inversas da-
Só depois de totalmente fundido (ponto C) é que o quelas que aparecem na curva do aquecimento.
corpo (agora no estado líquido) vai aquecer-se, perma-
necendo líquido até a temperatura de ebulição (ponto D).
Durante a ebulição, a temperatura mantém-se constante
(patamar DE) e só após completada a ebulição (ponto E)
é que o vapor vai aquecer-se (trecho EF) até ␪2.
As quantidades de calor recebidas pelo corpo para o
aquecimento podem ser assim calculadas:
Q1 = m csólido (␪F – ␪1)
Q2 = m LF
Q3 = m clíquido (␪E – ␪F)
Q4 = m LV Q5 = m cvapor (␪2 – ␪E)
146
31. Aquecem-se 20g de água de –10°C a 50°C, sob pressão normal. 2.o caso: o calor cedido pelo sólido é exatamente suficiente para
Dados: fundir todo o gelo. O equilíbrio térmico se dá a 0°C e não há gelo
calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C; no equilíbrio térmico.
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g;
calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C.
a) Construa a curva do aquecimento correspondente.
b) Determine a quantidade de calor usada no aquecimento.
Resolução
a) Considerando que, sob pressão normal, as temperaturas de
3.o caso: o calor cedido pelo sólido consegue fundir todo o gelo e
ainda aquece toda a água resultante. O equilíbrio térmico se dá
acima de 0°C e não há gelo no equilíbrio térmico.
fusão e de ebulição da água são 0°C e 100°C, respectiva-

mente, concluímos que a –10°C e a 50°C a água se encontra
nos estados sólido e líquido, respectivamente. 33. Determinar a massa de água a 60°C que se deve misturar com
O aquecimento de –10°C a 50°C pode ser representado pela 50g de gelo a 0°C, para que o equilíbrio térmico resulte a 20°C.
curva de aquecimento ao lado. Dados:
calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C;
b) A quantidade de calor pedida é:
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g.
Q = Q1 + Q2 + Q3 Resolução
(sens) (lat) (sens)
As curvas de aquecimento do gelo e de resfriamento da água são:
Q = mcg ⌬␪g + mLF + mcág ⌬␪ág
Substituindo pelos dados do problema, temos:
Q = [20 . 0,50 . 10 + 20 . 80 + 20 . 1,0 . 50] cal
Calculando: Q = 2,7 . 103cal
32. Um corpo sólido a 60°C é colocado no interior de um calorímetro

de capacidade térmica desprezível, no qual há gelo e água puros
em equilíbrio térmico.
Esboce o gráfico da temperatura do corpo sólido e da água em
função das quantidades de calor trocadas por eles, discutindo as
possibilidades.
Resolução
Casos possíveis:
1.o caso: o calor cedido pelo sólido não é suficiente para fundir Uma vez atingido o equilíbrio térmico, podemos escrever:
todo o gelo. O equilíbrio térmico se dá a 0°C e ainda há gelo no Qced . água + Qrec. gelo = 0
equilíbrio térmico.
Q1 + Q2 + Q3 =0
(sens) (lat) (sens)
(mc⌬␪)água + (mgLF)gelo + (mgc⌬␪)água(2) = 0
mág . 1,0 . (20 – 60) + 50 . 80 + 50 . 1,0 . (20 – 0) = 0
–40mág + 4 000 + 1 000 = 0
40mág = 5 000
mág = 125g
147
34. (FAFIPAR) – O gráfico representa o aquecimento de uma substân- 36. (PUC-SP) – Com base nos dados deste gráfico, pode-se afirmar que
cia cristalina, em função da quantidade de calor recebida. a) a temperaturas inferiores a 40°C, o corpo está no estado líquido.
b) a temperaturas acima de 40°C, o corpo está no estado gasoso.
c) no intervalo de 0°C a 40°C, o corpo sofre mudança de fase.
d) não há alteração de fase do corpo de 0°C a 120°C.
e) a 40°C, o corpo sofre mudança de fase.
37. (PUC-SP) – O calor específico sensível (em cal/g°C) da substância

de que é feito o corpo, no intervalo de 0°C a 40°C, é:
a) 0,10 b) 0,25 c) 0,50 d) 1,0 e) 5,0
38. O diagrama abaixo representa a curva de aquecimento de 20 gra-

Com base no gráfico, podemos afirmar que mas de uma substância inicialmente no estado líquido.
a) a substância mudou de estado três vezes.
b) no trecho AB a substância é líquida.
c) em BC coexistem o sólido e o líquido.
d) em CD a substância é gasosa.
e) em EF a substância é sólida.
35. (FATEC) – No instante t = 0, têm-se 500g de gelo a –10°C dentro

de um recipiente. Aquecendo-se o recipiente, anota-se a tempera-
tura do sistema no decorrer do tempo. O gráfico obtido está esque-
matizado na figura anexa. O calor específico latente de vaporização da substância é:
a) 10cal/g b) 20cal/g c) 25cal/g
d) 30cal/g e) 40cal/g
39. (EEM-SP) – O diagrama representa a temperatura T de um corpo

de massa m = 2,00kg em função da quantidade de calor Q a ele
fornecida. No trecho 1, o corpo está na fase sólida, no trecho 3,
na fase líquida e no 2, no equilíbrio sólido-líquido.
Sabendo-se que a variação de temperatura é somente devida ao

calor por ele absorvido, pode-se afirmar que Determine
a) no intervalo de tempo compreendido entre t1 e t2, tem-se ape- a) a temperatura de fusão do corpo.
nas gelo. b) o calor específico sensível do corpo na fase sólida.
b) o gelo começa a derreter a partir do instante t2.
c) no instante t1 todo o gelo já se derreteu. 40. (UFRN) – A figura abaixo representa a temperatura de 200 gra-
d) no instante t1 inicia-se o processo da fusão do gelo, que tem mas de uma substância, inicialmente no estado líquido, em fun-
o seu término no instante t2. ção do calor por ela absorvido.
e) a fusão do gelo inicia-se no instante t3.
Este enunciado refere-se às questões 36 e 37.

O gráfico dá a evolução da temperatura de um corpo de subs-
tância pura e massa 40 gramas, em função da quantidade de calor
que Ihe é fornecida.
Podemos afirmar:
I) O calor específico sensível do líquido é 0,60cal/g°C.
II) A temperatura de ebulição é 120°C.
III) O calor específico latente de vaporização é 60cal/g.
IV) O calor específico sensível do vapor é 0,75cal/g°C.
Das afirmações acima, as corretas são:
a) I e IV. b) I e III. c) I e II.
d) II e III. e) III e IV.
41. (UNIRIO) – O gráfico a seguir mostra o calor absorvido por uma

substância de massa 100g e sua respectiva temperatura. Inicial-
mente, ela se encontra no estado sólido, à temperatura de 0°C.
148
44. (UFPR) – No gráfico a seguir, é mostrada a evolução da tempera-

tura T, em função do calor fornecido, Q, a uma substância pura,
amorfa, que a –20°C está no estado sólido. Os processos ocorrem
a pressão constante.
Quais são, respectivamente, o calor necessário para a fusão e o

calor específico sensível da fase líquida desta substância?
a) 50cal; 0,01cal/g°C b) 50cal; 0,02cal/g°C
c) 50cal; 1,0cal/g°C d) 200cal; 0,02cal/g°C Com base nesses dados, é correto afirmar:
e) 200cal; 2,0cal/g°C 01 – No processo de aquecimento de –20°C a 120°C, a substân-
cia sofre três mudanças de fase.
02 – No processo de aquecimento, a substância passa do
42. (UFMT) – Os gráficos I e II representam, respectivamente, o proces- estado sólido para o líquido entre 60°C e 80°C.
so de aquecimento e o de resfriamento da amostra de um líquido. 04 – A temperatura de vaporização da substância é de 80°C.
08 – Ao elevar-se a temperatura da substância de –20°C até
+20°C, ela ainda permanece no estado sólido.
16 – À temperatura de 40°C, podem coexistir as fases sólida e
líquida.
O enunciado seguinte refere-se às questões 45 e 46.

Determinada massa de uma substância, inicialmente no estado
sólido, encontra-se num recipiente. Um elemento aquecedor, que
Ihe fornece uma potência constante, é ligado no instante t = 0 e
desligado num certo instante. O gráfico abaixo indica a tempera-
tura ␪ da substância, em função do tempo.
Com base na análise dos gráficos, pode-se concluir que

a) a 8°C a amostra está nos estados físicos líquido e sólido. 45. (FUVEST) – Em que instante o aquecedor foi desligado e em que
b) trata-se de uma mistura de duas substâncias. intervalo de tempo a substância está totalmente sólida?
c) o ponto de ebulição do líquido é 20°C.
d) a 0°C a amostra encontra-se no estado líquido. 46. (FUVEST) – Descreva que fenômeno físico está ocorrendo no
e) ocorrendo variação da pressão atmosférica o gráfico I perma- trecho BC e que fenômeno físico está ocorrendo no trecho EF.
necerá inalterado.
47. (FUVEST) – Um recipiente de paredes finas contém 100g de uma
43. (UNEMAT) liga metálica. O gráfico representa a temperatura T da liga em
Dados: calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C; função do tempo t. Até o instante t = 50s, a liga recebe de um
calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C; aquecedor a potência P0 = 30W e, a partir desse instante, passa
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g. a receber a potência P1 = 43W. A temperatura de fusão da liga é
327°C e a de ebulição é superior a 1500°C. Na situação considera-
da, a liga perde calor para o ambiente a uma taxa constante.
De acordo com esse gráfico, a massa de gelo do sistema, para

que a temperatura se eleve de –10°C para 20°C, é de:
a) 200g b) 210g c) 300g d) 400g e) 600g
149
Avalie 50. O gráfico traduz a temperatura em função da quantidade de calor

a) a quantidade de calor perdida pela liga, a cada segundo, em J. trocada por um corpo e por uma mistura de gelo e água puros
b) a energia (em J) necessária para fundir 1g da liga. quando estes são postos em contato.
c) a energia (em J) necessária para elevar, de 1°C, a temperatura
de 1g da liga no estado líquido.
d) a energia (em J) necessária para elevar, de 1°C, a temperatura
de 1g da liga no estado sólido.
48. (UNIRIO) – Um bloco de alumínio a 200°C é colocado no interior

de um calorímetro, no qual existe uma mistura homogênea de
água e vapor puros e em equilíbrio térmico. As variações de
temperatura do bloco de alumínio e da água, em função do tem-
po, podem ter o andamento apresentado pelo gráfico da opção:
Dados:
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g;
calor específico sensível do sólido = 0,20cal/g°C.
Determine
a) a massa m1 do corpo sólido;
b) a massa m2 de água líquida que havia no início da experiência;
c) a temperatura ␪1 do corpo sólido no instante em que o gelo
acabou de se fundir.
51. Um corpo sólido a 100°C é colocado num calorímetro de equiva-

lência em água desprezível, contendo uma mistura de gelo e água
puros. O gráfico ao lado dá a variação da temperatura dos corpos
em função das quantidades de calor trocadas por eles.
49. (UFU-MG) – Um corpo metálico de massa m = 1,0kg a 240°C é co-
locado num calorímetro de capacidade térmica desprezível, contendo
uma mistura de gelo e água puros. O gráfico abaixo mostra a variação
da temperatura dos corpos em função das quantidades de calor
trocadas por eles.
Dados:
calor específico latente
de fusão do gelo:
LF= 80cal/g;
calor específico sensível
da água: c = 1,0cal/g°C. Dados: calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g;
calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C.
Determine
a) a massa total da mistura gelo e água.
Determinar b) a capacidade térmica do corpo.
a) o calor específico sensível do corpo metálico; c) a razão entre a massa de água e a massa de gelo na mistura
b) a massa de água líquida que havia no início da mistura. inicial.
52. (UNIP-SP) – Num recipiente de paredes adiabáticas, têm-se 60g de totalmente o gelo. A massa de água, em gramas, que se forma no
gelo a 0°C. Colocando-se 100g de água neste recipiente, metade do interior do calorímetro vale:
gelo se funde. Qual é a temperatura inicial da água, sabendo-se que a) 520 b) 584 c) 589 d) 620 e) 700
o calor específico latente de fusão do gelo é 80cal/g? Dados:
Dado: calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C. calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C;
Resolução calor específico sensível do vapor = 0,50cal/g°C;
Se apenas metade do gelo vai derreter, teremos no final uma mis- calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g;
tura de gelo e água, assim a temperatura de equilíbrio térmico se- calor específico latente de vaporização da água = 540cal/g.
rá 0°C. Resolução
Dessa forma, temos: Se o vapor-d’água injetado está na quantidade necessária e sufi-
ciente para fundir totalmente o gelo, no final teremos apenas água
m
Qcedido + Qrecebido = 0 (m c ⌬␪)água + (–––2 . L )
F gelo =0 a 0°C.
Observe que a capacidade térmica do calorímetro não será utili-
60 zada, já que o calorímetro não sofrerá variação de temperatura.
100 . 1,0 . (0 – ␪i) + –––– . 80 = 0 –100 ␪i + 2400 = 0 Dessa forma, temos:
2
Qcedido + Qrecebido = 0
100 ␪i = 2400 ␪i = 24°C
[(m c ⌬␪)vapor + (m LV) + (m c ⌬␪)água]vapor + (mLF)gelo = 0
53. (PUCCAMP) – Um calorímetro de capacidade térmica 50cal/°C mV . 0,50 . (100 – 120) + mV (–540) + mV . 1,0 . (0 – 100) + 520 . 80 = 0
contém 520g de gelo a 0°C. Injeta-se no calorímetro vapor de –10mV – 540mV – 100mV + 41 600 = 0
água a 120°C, na quantidade necessária e suficiente para fundir
150
650mV = 41 600 tro de capacidade térmica desprezível, 200 gramas de água a

mV = 64g 60°C e 100 gramas de gelo a –20°C, resultará, após ser atingido o
equilíbrio térmico:
Portanto, no final teremos água num total de:
a) água a 0°C b) gelo a 0°C c) água e gelo a 0°C
ma = 64 + 520 ma = 584g d) água a 10°C e) água a 20°C
Resolução
Resposta: B Nos exercícios em que misturamos água e gelo, é importante se-
guirmos um roteiro para a resolução, na qual usamos a tempera-
54. (UELON-PR) – Um recipiente de capacidade térmica 50cal/°C tura de 0°C como referência.
contém 200g de água a 40°C. Introduzem-se no recipiente 50g de O roteiro a ser usado é o seguinte:
gelo a 0°C. Admitindo-se que não há trocas de calor com o 1) Esfriar a água até 0°C, calculando o calor liberado por ela.
ambiente, a temperatura final de equilíbrio, em °C, é:
Q1 = mc I⌬␪I = 200 . 1,0 . 60 (cal)
a) 24 b) 20 c) 15 d) 12 e) zero
Dados: calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C; Q1 = 12 000cal
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g. 2) Aquecer o gelo até 0°C, o calor necessário será subtraído de Q1.
Resolução Q2 = mc ⌬␪ = 100 . 0,50 . 20
Quando não se sabe qual a temperatura final de equilíbrio, é im- Q2 = 1 000cal
portante que se faça uma análise preliminar. Neste caso, deve-se
Subtraindo Q2 de Q1, notamos que ainda sobra energia para
primeiro calcular o calor necessário para a fusão de todo o gelo:
continuar o processo.
Q1 = mLF = 50 . 80 (cal) Q1 = 4 000cal
Q = Q1 – Q2 = 12 000 – 1 000 (cal)
Agora vamos esfriar a água até 0°C: Q = 11 000cal
Q2 = mc⌬␪ = 200 .1,0 . (0 – 40) Q2 = –8 000cal 3) Provocar a fusão do gelo.
Como o calor a ser liberado pela água para esfriar-se até 0°C é Q3 = mLF = 100 . 80 (cal)
maior do que o que necessita o gelo para sua fusão, concluímos Q3 = 8 000cal
que a temperatura final de equilíbrio térmico será maior que 0°C. Subtraindo Q3 de Q, encontramos o calor que ainda sobrou pa-
Dessa forma, podemos montar a relação:
ra o aquecimento de toda a água que se encontra a 0°C.
Qcedido + Qrecebido = 0
Q4 = Q – Q3 = 11 000 – 8 000 (cal)
(mc ⌬␪)água + (C . ⌬␪)recipiente + [(mLF)gelo + (mc⌬␪)água] =0
gelo Q4 = 3 000cal
200 . 1,0 . (␪f – 40) + 50 . (␪f – 40) + [50 . 80 + 50 . 1,0 . (␪f – 0)] = 0 4) Com Q4, aquecemos toda água que se encontra a 0°C.
200␪f – 8 000 + 50␪f – 2 000 + 4 000 + 50␪f =0 Q4 = mc ⌬␪
300␪f – 6 000 = 0 300␪f = 6 000 ␪f = 20°C 3 000 = (200 + 100) . 1,0 (␪f – 0)
3 000 = 300 ␪f
Resposta: B
␪f = 10°C
55. O calor específico sensível do gelo é 0,50cal/g°C, o calor espe-
cífico latente de fusão do gelo é 80cal/g e o calor específico sensí- No final, há água a 10°C.
vel da água é 1,0cal/g°C. Se forem misturados, em um caloríme- Resposta: D
56. (UNIRIO) – Em um calorímetro ideal, colocam-se 100g de gelo a 59. (UNIP-SP) – Um bloco de gelo de massa m, a uma temperatura
0°C com 1000g de água líquida a 0°C. Em seguida, são formula- de – 80°C, é colocado dentro da água contida em um recipiente de
das três hipóteses sobre o que poderá ocorrer com o sistema capacidade térmica desprezível e paredes adiabáticas. A água no
água + gelo no interior do calorímetro: recipiente tem massa M e está a uma temperatura de 80°C.
I. Parte do gelo derreterá, diminuindo a massa do bloco de gelo.
ll. Parte da água congelará, diminuindo a massa de água líquida. São dados: (1) calor específico sensível do gelo: 0,50cal/g°C;
III. As massas de gelo e de água líquida permanecerão inalteradas. (2) calor específico sensível da água: 1,0cal/g°C;
Assinalando V para hipótese verdadeira e F para hipótese falsa, a (3) calor específico latente de fusão do gelo: 80cal/g.
sequência correta será: Para que no equilíbrio térmico tenhamos apenas água líquida a
a) F, F, F b) F, F, V c) F, V, F M
d) V, F, F e) V, V, F 0°C, a razão ––– deve ser igual a:
m
57. (UFCE) – Considere uma certa massa M de gelo a 0°C, que deve a) 0,50 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
ser misturada com igual massa M de água e uma certa temperatura
inicial T. Qual deve ser essa temperatura, em °C, de modo que no 60. (UNIP-SP) – Considere um copo contendo uma massa M de água
final se tenha unicamente água a 0°C? Para os cálculos, considere: pura, à temperatura de 20°C.
calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C; Um bloco de gelo de massa 50g e a uma temperatura de –20°C é
calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g. colocado dentro da água do copo.
Admita que o sistema gelo-água esteja isolado termicamente do
58. (FUVEST-FGV-SP) – Dispõe-se de água a 80°C e gelo a 0°C. ambiente externo e que o copo tenha capacidade térmica des-
Deseja-se obter 100 gramas de água a uma temperatura de 40°C prezível.
(após o equilíbrio), misturando água e gelo em um recipiente
isolante e com capacidade térmica desprezível. Sabe-se que o ca- São dados:
lor específico latente de fusão do gelo é 80cal/g e o calor especí- (1) calor específico sensível do gelo: 0,50cal/g°C;
fico sensível da água é 1,0cal/g°C. (2) calor específico sensível da água: 1,0cal/g°C;
A massa de gelo a ser utilizada é: (3) calor específico latente de fusão do gelo: 80cal/g.
a) 5,0g b) 12,5g c) 25g d) 33g e) 50g Sabendo que a temperatura final de equilíbrio térmico é de 10°C,
concluímos que M é igual a:
151
a) 2,5 . 102g b) 4,0 . 102g c) 4,5 . 102g Dados: calor específico sensível da água: 1,0cal/g°C;
d) 5,0 . 102g e) 1,0 . 103g calor específico sensível do gelo: 0,50cal/g°C;
calor específico latente de fusão do gelo: 80cal/g.
61. (PUCCAMP) – Um bloco de gelo, de massa 10g, é retirado de um
congelador a –16°C e colocado num calorímetro ideal, contendo 65. (UnB) – Um pedaço de 100g de gelo, inicialmente à temperatura de
50g de água a 26°C. –30°C, é imerso em 400g de água cuja temperatura é de 25°C. A
A temperatura final de equilíbrio térmico é, em °C, mistura é agitada até que um estado final de equilíbrio seja alcan-
a) zero b) 3,0 c) 5,0 d) 7,0 e) 11 çado. Supondo-se que não haja troca de energia térmica entre o
sistema e o seu recipiente, qual a temperatura final de equilíbrio?
Dados: calor específico sensível do gelo: 0,50cal/g°C; Dados: calor específico sensível do gelo: 0,50cal/g°C;
calor específico latente de fusão do gelo: 80cal/g; calor específico sensível da água: 1,0cal/g°C;
calor específico sensível da água: 1,0cal/g°C. calor específico latente de fusão do gelo: 80cal/g.
62. (UFRJ) – Misturam-se 100g de gelo a 0°C com 100g de água a 0°C, 66. (EN-RJ) – Uma barra de gelo de massa 100g a –20°C é colocada
em 1000g de água a 14°C em um recipiente de capacidade térmica num recipiente com 15g de água líquida a 10°C.
desprezível. Sabendo que o calor específico latente de fusão do Sabe-se que o calor específico sensível do gelo vale 0,55cal/g°C,
gelo vale 80cal/g e que o calor específico sensível da água vale o calor específico latente de fusão do gelo, 80cal/g e o calor
1,0cal/g°C, calcule a temperatura de equilíbrio dessa mistura. específico sensível da água líquida, 1,0cal/g°C. A temperatura de
equilíbrio será, em °C, igual a:
63. (ITA) – Num dia de calor, em que a temperatura ambiente era de a) –10 b) 0 c) +10 d) +20
30°C, João pegou um copo com volume de 200cm3 de refrige-
rante à temperatura ambiente e mergulhou nele dois cubos de 67. (AFA-RJ) – Num calorímetro ideal, são misturados 100g de gelo a
gelo de massa 15g cada um. Se o gelo estava à temperatura de –39°C com 20g de água a 10°C.
– 4,0°C e derreteu-se por completo e supondo-se que o Dados: calor específico sensível do gelo: 0,50cal/g°C;
refrigerante tem o mesmo calor específico sensível que a água, a calor específico latente de fusão do gelo: 80cal/g;
temperatura final da bebida de João ficou sendo calor específico sensível da água: 1,0cal/g°C.
aproximadamente de: Qual a temperatura final de equilíbrio térmico?
a) 0°C b) 12°C c) 15°C d) 20°C e) 25°C
68. Num recipiente adiabático, de capacidade térmica desprezível, são
Dado: densidade absoluta da água = 1,0g/cm3. misturados 100g de água a 5,0°C com 200g de água a 20°C. Após
algum tempo, são colocados no interior desse recipiente m gramas
64. (UELON-PR) – Em um recipiente, de paredes adiabáticas e de gelo a –20°C. Os valores mínimo e máximo de m para que no
capacidade térmica desprezível, introduzem-se 200g de água a final a temperatura de equilíbrio seja 0°C são:
20°C e 80g de gelo a –20°C. Atingido o equilíbrio térmico, a tem- a) 50g e 450g b) 50g e 1250g c) 50g e 2850g
peratura do sistema será: d) 450g e 450g e) 450g e 4500g
a) –11°C. b) 0°C, restando 40g de gelo. Dados: calor específico sensível do gelo: 0,50cal/g°C;
c) 0°C, restando apenas água. d) 0°C, restando apenas gelo. calor específico sensível da água: 1,0cal/g°C;
e) 11°C. calor específico latente de fusão do gelo: 80cal/g.
8. Sobrefusão (ou superfusão) hipossulfito de sódio atingirá temperatura bem abaixo de

48°C, permanecendo no estado líquido abaixo da tempe-
A sobrefusão é o fenômeno que consiste em uma
ratura de solidificação (48°C). Esse fato é chamado de
substância encontrar-se no estado líquido numa tempera-
sobrefusão ou superfusão.
tura abaixo da sua temperatura de solidificação.
A curva de resfriamento do hipossulfito de sódio,
Para melhor entendimento, tomemos como exemplo
com sobrefusão, toma o seguinte aspecto.
o hipossulfito de sódio, que é uma substância para a qual
A sobrefusão é um estado de equilíbrio muito instá-
a sobrefusão é muito comum. vel, de tal forma que, se jogarmos no sistema líquido um
Observe a curva de resfriamento de uma porção de cristal do sólido correspondente ou se agitarmos o
hipossulfito de sódio. sistema, parte do líquido se solidifica rapidamente —
trecho EF — e o sistema volta (se aquece) à temperatura
de solidificação — ponto F. A partir do ponto F, o fenô-
meno da solidificação desenrola-se normalmente, estan-
do, a partir do ponto C, todo o sistema no estado sólido.
A temperatura de fusão (ou de solidificação) do

hipossulfito de sódio é 48°C. Porém, se resfriarmos
lentamente, sem provocar agitação em sua massa, o
152
Observemos que no diagrama o trecho AE corres- Como a solidificação parcial e o correspondente

ponde ao resfriamento do líquido, e no trecho BE o aquecimento (trecho EF) são muito rápidos, esse
líquido está em sobrefusão. Ao ser provocado o distúrbio processo é adiabático e QEF = 0.
no sistema, há solidificação repentina de uma parcela ms
da massa total m. Esta solidificação liberta calor que fica Portanto: QBF = QBE
no próprio sistema, provocando o seu aquecimento e a
volta à temperatura de solidificação.
mSLS = mclíq (␪F – ␪1)
Assim: QBF = QBE + QEF
69. O calor de fusão do fósforo branco em sua temperatura de fusão Ls = clíq (␪F – ␪1)
normal (44°C) é 4,8cal/g. Fósforo branco líquido é colocado num
4,8 = 0,20 (44 – ␪1)
vaso e resfriado progressivamente até 34°C, sem que ele se
solidifique. ␪1 = 20°C
a) Se, nestas condições, o fósforo for agitado, qual é a fração de
sua massa que se solidifica?
b) Abaixo de que temperatura deve estar o fósforo em 70. Determinar em que temperatura se encontram 100g de água em
sobrefusão, para que, ao provocar sua solidificação, toda a sua sobrefusão, sabendo-se que a solidificação repentina de 20g
massa se solidifique? desta água eleva a temperatura do sistema ao ponto de
Dado: calor específico sensível do fósforo líquido = 0,20cal/g°C. solidificação.
Resolução Dados: calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g;
a) Observemos o gráfico da curva de resfriamento do fósforo calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C.
branco. Resolução
Observemos o diagrama de uma curva do resfriamento da água,
com a sobrefusão.
QBF = QBE + QEF QBF = QBE + QEF

Mas: QEF = 0 (processo adiabático) Como QEF = 0 (processo adiabático), temos:
Então: msLs = mclíq (␪F – ␪1) QBF = QBE
ms MsLs = mcág (␪S – ␪1)
ms . 4,8 = m . 0,20 . (44 – 34) –––– 艑 0,42
m
Sendo ms = 20g a massa que se solidifica repentinamente e
b) Para se obter a temperatura ␪1 abaixo da qual, ao provocar so- Ls = 80cal/g o calor específico latente de solidificação, vem:
lidificação do fósforo, toda sua massa se solidifica, basta impor
ms = m na equação utilizada no item a. 20 . 80 = 100 . 1,0 . (0 – ␪1)
msLs = m clíq (␪F – ␪1) ␪1 = –16°C
71. A sobrefusão consiste

a) em um líquido demorar para solidificar-se.
b) numa solidificação repentina.
c) em um líquido encontrar-se abaixo da temperatura de solidi-
ficação.
d) em uma substância ter alto ponto de solidificação.
72. A figura representa a curva de resfriamento de uma certa porção

de líquido, mediante um processo lento e sem agitação. A tem-
peratura de solidificação desta substância é ␪s.
153
Preencha as lacunas: 74. Uma certa porção de enxofre, cuja temperatura de fusão é 120°C,
encontra-se em sobrefusão a 100°C. Admitindo 13cal/g o calor
I) A substância encontra-se no estado de sobrefusão no trecho específico latente de fusão do enxofre e 0,20cal/g°C o calor
_______. específico sensível do enxofre líquido, determine a fração da
II) Estando em sobrefusão, o líquido, ao ser agitado, solidifica-se massa de enxofre que se solidifica repentinamente, quando se
parcial e repentinamente. Esta transformação está represen- provoca uma agitação do sistema.
tada no diagrama pelo trecho _______.
III) O corpo é encontrado totalmente no estado sólido no trecho 75. (FEI) – 100g de água encontram-se no estado de sobrefusão à
_______. temperatura de – 40°C e pressão absoluta de 1,0atm. Caso o equi-
líbrio instável seja perturbado, com uma agitação por exemplo,
qual a massa de água que irá solidificar-se subitamente?
73. No gráfico temperatura x
tempo do resfriamento de Dados: calor sensível da água = 1,0cal/g°C;
um líquido, apresentado calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g.
ao lado, temos que
a) AB, CD e DE corres-
pondem a estados lí- 76. (UFPA) – Para o fósforo, a temperatura de fusão é 44°C, o calor
quidos. específico sensível no estado líquido 0,20cal/g°C e o calor espe-
b) apenas em AB ocorre cífico latente de fusão 5,0cal/g. Uma certa massa de fósforo é
estado líquido. mantida em sobrefusão a 30°C. Num certo instante, verifica-se
c) em CD ocorrem, simultaneamente, estados líquido e sólido. uma solidificação repentina. Que fração do total da massa do fós-
d) apenas em DE ocorre estado líquido. foro se solidifica?
e) o gráfico está errado. a) 0,56 b) 0,65 c) 0,75 d) 0,87 e) 0,95
9. Variação do solidificação. Para as exceções, o volume diminui na

volume com a fusão fusão e aumenta na solidificação.
Vejamos alguns exemplos ilustrativos.
Vamos lembrar as mudanças de estado: O fato de a água aumentar de volume ao passar do
estado líquido para o sólido provoca, nos países frios, a
ruptura das instalações hidráulicas, dos radiadores de
automóvel e das estradas pavimentadas. Medidas preven-
tivas são tomadas, colocando-se os canos a uma certa
profundidade, servindo a terra que se lhes sobrepõe de
isolante térmico; nas águas dos radiadores, colocam-se
substâncias especiais que abaixam bastante o ponto de
solidificação da água.
A solidificação da seiva das plantas provoca a rup-
tura dos tecidos, que não resistem ao aumento de volume.
Por isso, quando ocorre geada, a planta “queima”, isto é,
os dutos por onde corre a seiva se rompem e a planta
seca.
Todavia, os tremendos esforços decorrentes do au-
mento de volume da água podem ser usados de maneira
útil.
Um exemplo marcante é a recolocação no lugar de
um muro de arrimo ou da estaca de um prédio. Isto se faz
orientando-se os esforços decorrentes da congelação, de
Aqui encontramos a água nos es- Aqui o dióxido de carbono (CO2) es- modo a funcionar como um “macaco”, permitindo o
tados sólido (gelo) e líquido tá sublimando-se, passando do estado
(água).
reforço da fundação do prédio. Uma outra aplicação é o
sólido para o estado gasoso.
uso de antimônio na confecção de tipos metálicos de
A sublimação e a vaporização-liquefação são proces- imprensa, nos quais a variação de volume do antimônio
sos em que todas as substâncias se comportam da mesma com a temperatura compensa a de outros metais, de
forma. Na fusão-solidificação, encontramos um mesmo modo a manter o tamanho dos tipos constante.
comportamento para a maioria das substâncias e um
outro comportamento para algumas exceções (a água, o 10. Influência da
ferro, o bismuto e o antimônio). Enquanto a maioria das
substâncias aumenta de volume na fusão, as exceções
pressão no ponto de fusão
têm seu volume diminuído. Portanto, para a maioria das Analisemos primeiramente as substâncias para as
substâncias, o volume aumenta na fusão e diminui na quais o volume aumenta com a fusão (maioria). Então,
154
para estas, a fusão tende a aumentar o volume. Como o

aumento de pressão tende a diminuir o volume, concluí-
mos, pelo princípio de Le Chatelier, que para a maioria
das substâncias o aumento de pressão dificulta a fusão,
isto é, aumenta a temperatura de fusão. Logo, o gráfi-
co da pressão em função da temperatura de fusão, conhe-
cido por curva de equilíbrio sólido-líquido, é crescente.
Podemos notar a exis-

tência de um ponto único do
diagrama (p, ␪) em que é
possível a coexistência das 3
fases, sólida, líquida e gasosa,
de uma mesma substância.
Este ponto é denominado
Para as exceções (H2O, Fe, Bi, Sb), a fusão tende a ponto triplo (PT).
diminuir o volume. Como o aumento de pressão tam- A temperatura ␪T (temperatura tripla) e a pressão pT
bém tende a diminuir o volume, concluímos que, para as (pressão tripla) no ponto triplo são grandezas carac-
exceções, o aumento de pressão favorece a fusão (Le terísticas de cada substância.
Châtelier), isto é, diminui a temperatura de fusão. Para a água, a coexistência entre a água, o gelo
Logo, a curva de equilíbrio sólido-líquido é decrescente. e o vapor-d’água acontece na situação de pressão
Observemos que tudo que favorece a fusão dificulta a pT = 4,58mmHg e temperatura ␪T = 0,01°C.
solidificação, que é a transformação inversa, e vice-versa. Para o gás carbônico, o ponto triplo é definido por
A diminuição da temperatura de fusão com o aumen- pT = 5,11atm e ␪T = –56,6°C.
to da pressão explica, por exemplo, o deslocamento das
O ponto PC é o ponto crítico e a temperatura ␪C é a
geleiras nas regiões árticas: o gelo acumula-se até grandes
temperatura crítica.
alturas, aumentando consideravelmente a pressão na parte
A temperatura crítica separa o vapor do gás. Ob-
inferior; este aumento de pressão provoca a fusão do gelo
serve que o estado físico gás corresponde a uma situação
aí existente e o consequente deslizamento da geleira.
mais energizada das partículas do sistema gasoso. Note
ainda que o vapor é o sistema gasoso em que se pode
reagregar as partículas por meio de uma compressão
isotérmica, levando o sistema ao estado líquido.
O aço ao ser aquecido a altas temperaturas sofre fusão, passando do estado

sólido para o estado líquido.
Para o gás, a compressão isotérmica não consegue
reagregar as partículas, que estão em um nível de energia
11. Diagrama de estado mais elevado que as do vapor.
Denomina-se diagrama de estado de uma subs-
tância o diagrama que contém as curvas de equilíbrio
sólido + líquido (curva da solidificação-fusão), líquido +
vapor (curva da vaporização-liquefação) e sólido + vapor
(curva da sublimação).
Como existe diferença na curva da solidificação-fu-
são, como foi visto no item 3, encontramos dois diagramas
de estado, um para a maioria e outro para as exceções.
155
Portanto, para transformar gás em líquido, devemos obrigatoriamente reduzir a temperatura do gás, abaixo da
temperatura crítica (ele torna-se vapor), e depois basta comprimi-lo isotermicamente.
Observe os diagramas de estado para a água e para o dióxido de carbono (CO2).
Diagrama de estado da água (H2O). Diagrama de estado do dióxido de carbono (CO2).
77. A tabela a seguir registra a pressão atmosférica em A temperatura de ebulição será

diferentes altitudes, e o gráfico relaciona a pressão a) maior em Campos do Jordão.
de vapor da água em função da temperatura. b) menor em Natal.
c) menor no Pico da Neblina.
Pressão atmosférica d) igual em Campos do Jordão e Natal.
Altitude (km) e) não dependerá da altitude.
(mm Hg)
Resolução
0 760 Em um frasco aberto, um líquido entra em ebulição quando a sua
1 600 pressão de vapor se iguala à pressão atmosférica. Aumentando a
altitude, a pressão atmosférica diminui e, consequentemente, a
2 480 temperatura de ebulição diminui.
Esquematizando, temos:
4 300
6 170
8 120
10 100
T1: temperatura de ebulição do líquido em Natal

T2: temperatura de ebulição do líquido em Campos do Jordão
T3: temperatura de ebulição do líquido no Pico da Neblina
T1 > T2 > T3
A temperatura de ebulição do líquido será menor no Pico da
Neblina.
Resposta: C
Um líquido, num frasco aberto, entra em ebulição a partir do 78. Uma mistura de gelo e água líquida a 0°C é colocada num tubo de
momento em que a sua pressão de vapor se iguala à pressão ensaio e nele ocupa o volume de 30cm3. Ao tubo foi fornecido ca-
atmosférica. Assinale a opção correta, considerando a tabela, o lor até que todo o gelo se fundiu e o volume do conteúdo ficou re-
gráfico e os dados apresentados, sobre as seguintes cidades: duzido a 29 cm3 a 0°C
Determinar a quantidade de calor que foi absorvida pela mistura
de gelo e água.
Natal (RN) nível do mar Dados: calor de fusão do gelo: L = 80cal/g;
Campos do Jordão (SP) altitude de 1628 m
densidade do gelo a 0°C: µg = 0,90 g/cm3;
Pico da Neblina (RR) altitude de 3014 m
densidade da água a 0°C: µa = 1,0 g/cm3.
156
Resolução: b) Uma vez fundido todo o gelo, teremos no recipiente somente

a massa m’ = ma + mg de água a 0°C, cujo volume V’ traduz a
marca atingida pela água. Assim:
m’ ma + mg 60 + 18
V’ = –––– = –––––––––– = –––––––––– (cm3) V’ = 78cm3
µa µa 1,0
c) Considerando os volumes aparentes, temos:
a ␪1 = 0°C ⇒ V1a = 78cm3 a ␪2 = 80°C ⇒ V2a = 80cm3
Sendo: ⌬Va = V2a – V1a V1a ␥a ⌬␪ = 2,0
A variação de volume ⌬V = 30cm3 – 29cm3 = 1,0cm3 deve-se à 2,0 ␥a = 3,2 . 10–4 °C–1
␥a = ––––––– (°C–1)
diminuição de volume do gelo ao se fundir. Assim, sendo m a 78 . 80
massa do gelo, Vg o volume do gelo e Va o volume da água resul-
tante da fusão do gelo, temos: 80. A temperatura tripla do chumbo é ␪T. Abaixo desta temperatura,
o chumbo
⌬V = Vg – Va a) só pode ser encontrado no estado sólido.
b) só pode ser encontrado no estado sólido ou líquido.
m m c) só não pode ser encontrado no estado líquido.
Lembrando que µ = –— e, portanto, V = –––, obtemos:
V µ d) pode ser encontrado em qualquer estado físico.
e) é encontrado necessariamente no estado gasoso.
m m µa – µg
⌬V = ––––– – ––––– = m ––––––––– Resolução
µg µa µgµa Como o chumbo é uma substância que aumenta de volume com
a fusão (não é exceção), a sua curva de equilíbrio sólido + Iíquido
µgµa⌬V 0,90 . 1,0 . 1,0 é crescente. Assim, o seu diagrama de estado tem o aspecto
m = ––––––––– = ––––––––––––––– (g) ⇒ m = 9,0g apresentado na figura abaixo.
µa – µg 1,0 – 0,90
Considerando que a quantidade de calor absorvida pela mistura

gelo e água é a quantidade de calor que fundiu o gelo, pois a tem-
peratura se manteve constante, temos:
Q = mL = 9,0 . 80 (cal) Q = 7,2 . 102cal
79. Tem-se um recipiente cilíndrico, graduado em cm3, contendo água

e um bloco de gelo totalmente imerso na água, graças a um fio de
volume desprezível que o prende no fundo. O sistema todo está
a 0°C.
Sendo mg = 18g a massa inicial de gelo no recipiente e 80cm3 a Da observação deste diagrama, notamos que abaixo da tempera-
marca da graduação do frasco atingida pela água, determine tura ␪T o chumbo jamais é encontrado no estado líquido, podendo
a) a massa inicial de água no recipiente (ma). ser encontrado nos estados sólido ou gasoso.
b) a marca da graduação do frasco atingida pela água quando Resposta: C
todo o gelo se tiver fundido e a temperatura for 0°C.
c) o coeficiente de dilatação aparente médio da água com relação 81. Ainda hoje, é muito comum as pessoas utilizarem
ao material do recipiente entre 0°C e 80°C, para que, aque- vasilhames de barro (moringas ou potes de cerâmica
cendo o conjunto a 80°C, o nível da água volte à marca 80cm3. não esmaltada) para conservar água a uma
(Despreze a evaporação da água.) temperatura menor do que a do ambiente. Isso ocorre porque
Admitir: massa específica da água a 0°C: µa = 1,0g/cm3; a) o barro isola a água do ambiente, mantendo-a sempre a uma
massa específica do gelo a 0°C: µg = 0,90 g/cm3. temperatura menor que a dele, como se fosse isopor.
Resolução b) o barro tem poder de “gelar” a água pela sua composição
a) Do enunciado: química. Na reação, a água perde calor.
c) o barro é poroso, permitindo que a água passe através dele.
m
Sendo µ = –– , concluímos que o volume de gelo no recipiente, Parte dessa água evapora, tomando calor da moringa e do
V restante da água, que são assim resfriadas.
na situação inicial, é: d) o barro é poroso, permitindo que a água se deposite na parte
de fora da moringa. A água de fora sempre está a uma
mg 18 temperatura maior que a de dentro.
Vg = –––– = ––––– (cm3) ⇒ Vg = 20cm3
µg 0,90 e) a moringa é uma espécie de geladeira natural, liberando subs-
tâncias higroscópicas que diminuem naturalmente a
Considerando que Va + Vg = V, obtemos: temperatura da água.
Resolução
Va + 20 = 80 ⇒ Va = 60cm3
A porosidade do barro permite que parte da água contida na
ma = 60g moringa extravase, ficando exposta ao ambiente externo.
Portanto: ma = µa Va = 1,0 . 60 (g)
Essa água evapora e, nessa mudança de estado endotérmica,
retira calor da moringa e da água interna, que esfriam.
Resposta: C
82. A panela de pressão permite que os alimentos sejam

cozidos em água muito mais rapidamente do que em
panelas convencionais. Sua tampa possui uma
borracha de vedação que não deixa o vapor escapar, a não ser
através de um orifício central sobre o qual assenta um peso que
controla a pressão. Quando em uso, desenvolve-se uma pressão
elevada no seu interior. Para a sua operação segura, é necessário
157
observar a limpeza do orifício central e a existência de uma válvula 84. (MODELO ENEM) –
de segurança, normalmente situada na tampa. P(mmHg) 787,7 760,0 707,0 657,5 611,0 567,0 525,5 487,0 450,0
O esquema da panela de pressão e um diagrama de fase da água
são apresentados abaixo. TE(MC) 101 100 98 96 94 92 90 88 86
A tabela acima indica a relação existente entre a pressão at-

mosférica local e a temperatura de ebulição da água, num reci-
piente aberto. A temperatura de ebulição diminui, aproximada-
mente, de 3,0oC para cada 1,0km que aumentamos na altitude.
Assim, se uma das informações da tabela dada a seguir está
obrigatoriamente correta, assinale a alternativa que traz os dados
compatíveis com a realidade e com o texto acima.
local TE(oC) Altitude (m)
a) Brasília 96 1830
b) Rio de Janeiro 101 zero
c) Monte Everest 75 8333
d) La Paz 83 4333
e) Mar Morto 112 –400
Resolução
a) FALSA
Brasília
1,0km ⎯⎯⎯⎯→ ⌬␪ = 3,0°C
1,83km ⎯⎯⎯⎯→ ⌬␪
⌬␪ = 3,0 . 1,83 ⇒ ⌬␪ = 5,49°C
Ponto de ebulição da água em Brasília:
␪E = 100 – 5,49 ⇒ ␪E 艑 94,5oC
b) FALSA
Rio de Janeiro (nível do mar):
A vantagem do uso de panela de pressão é a rapidez para o
cozimento de alimentos e isto se deve ␪E 艑 100oC
a) à pressão no seu interior, que é igual à pressão externa.
b) à temperatura de seu interior, que está acima da temperatura
de ebulição da água no local. c) VERDADEIRA
c) à quantidade de calor adicional que é transferida à panela. Monte Everest
d) à quantidade de vapor que está sendo liberada pela válvula.
1,0km ⎯⎯⎯⎯→ 3,0°C
e) à espessura da sua parede, que é maior que a das panelas
comuns. 8,333km ⎯⎯⎯⎯→ ⌬␪ ⇒ ⌬␪ 艑 25°C
Resolução
De acordo com o gráfico dado, quanto maior a pressão a que está ␪E = 100 – 25 ⇒ ␪E = 75oC
submetido o líquido, maior será a sua temperatura de ebulição.
Na panela de pressão, a pressão em seu interior é maior do que a
externa, e isso faz com que o líquido ferva a uma temperatura d) FALSA
maior do que quando exposto à pressão atmosférica. La Paz
Resposta: B
1,0km ⎯⎯⎯⎯→ 3,0°C
83. Se, por economia, abaixarmos o fogo sob uma 4,333km ⎯⎯⎯⎯→ ⌬␪ ⇒ ⌬␪ 艑 13°C
panela de pressão logo que se inicia a saída de vapor
pela válvula, de forma simplesmente a manter a ␪E = 100 – 13 ⇒ ␪E = 87oC
fervura, o tempo de cozimento
a) será maior porque a panela “esfria”.
b) será menor, pois diminui a perda de água. e) FALSA
c) será maior, pois a pressão diminui. Mar Morto
d) será maior, pois a evaporação diminui. 1,0km ⎯⎯⎯⎯→ 3,0°C
e) não será alterado, pois a temperatura não varia.
Resolução 0,4km ⎯⎯⎯⎯→ ⌬␪ ⇒ ⌬␪ 艑 1,2°C
A válvula mantém no interior da panela um pressão constante.
Enquanto a pressão se mantiver constante, a temperatura de ␪E = 100 + 1,2 ⇒ ␪E = 101,2oC
ebulição da água não se alterará, portanto o tempo de cozimento
dos alimentos também não se alterará.
Resposta: C
Resposta: E
158
85. (VUNESP) – Aquece-se certa quantidade de água. A temperatura pressões. No nível do mar (altitude zero), a pressão atmosférica
em que irá ferver depende da vale 76cmHg e ela diminui 1,0cmHg para cada 100 metros que
a) temperatura inicial da água. aumentamos a altitude.
b) massa da água. Temperatura de ebulição da água em função da pressão:
c) pressão ambiente.
d) rapidez com que o calor é fornecido. Pressão em
60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 104 108
e) quantidade total do calor fornecido. cm de Hg
Temperatura
94 95 97 98 100 102 103 105 106 108 109 110 111
86. O funcionamento de uma panela de pressão está baseado no fato em °C
a) de a temperatura de ebulição da água independer da pressão.
b) de a temperatura de ebulição da água aumentar quando a Analise as afirmações.
pressão aumenta. I. No nível do mar, essa massa m de feijão demorará 40 minutos
c) de a temperatura de ebulição da água diminuir quando a para o cozimento.
pressão aumenta. II. O Mar Morto encontra-se aproximadamente 400 metros
d) de a temperatura de ebulição da água independer da pressão abaixo do nível dos mares (altitude –400m). Nesse local, o
atmosférica. mesmo feijão demoraria 30 minutos para o cozimento.
III. O tempo de cozimento desse feijão seria de 1,0 hora num
87. (FUVEST) – Enche-se uma seringa com pequena quantidade de local de altitude aproximadamente igual a 1,0km.
água destilada a uma temperatura um pouco abaixo da tempera- IV. Se esse feijão estivesse no interior de uma panela de pressão
tura de ebulição. Fechando-se o bico, como mostra a figura A, e fechada, cuja válvula mantém a pressão interna a 1,42atm
puxando rapidamente o êmbolo, verifica-se que a água entra em (1,0atm equivale a 76cmHg), independentemente do local, o
ebulição durante alguns instantes (veja figura B). tempo de cozimento seria de aproximadamente 10 minutos.
É (são) verdadeira(s)
a) somente I. b) somente I, III.
c) somente I, II e IV. d) somente II, III e IV.
e) I, II, III e IV.
89. (UEGO-MODELO ENEM) – DESCOBERTO SEXTO ESTADO DA

MATÉRIA
Os três estados da matéria (sólido, líquido e gasoso) são bem
conhecidos. O quarto, o plasma, já não é novidade e poucos
Figura A Figura B
conhecem o quinto estado: o Condensado de Bose-Einstein.
Podemos explicar este fenômeno considerando que Agora, pesquisadores da Universidade do Colorado e do Instituto
a) na água há sempre ar dissolvido e a ebulição nada mais é do Nacional de Padrões e Tecnologia (Nist), nos EUA, acabam de
que a transformação do ar dissolvido em vapor. descobrir o sexto estado da matéria: o condensado fermiônico.
b) com a diminuição da pressão, a temperatura de ebulição da Os pesquisadores empregaram feixes de laser para aprisionar
água fica menor do que a temperatura da água na seringa. uma pequena nuvem de átomos de potássio, aplicando um
c) com a diminuição da pressão, há um aumento da temperatura campo magnético e resfriando-os a uma temperatura de apenas
da água na seringa. 50 bilionésimos de um grau acima do zero absoluto (–273,16°C).
d) o trabalho realizado com o movimento rápido do êmbolo se A nova descoberta será útil para entender melhor o fenômeno da
transforma em calor, que faz a água ferver. supercondutividade.
PHYSICAL REVIEW LETTERS, v.92, n. 4, de 30 de janeiro,
e) o calor específico da água diminui com a diminuição da pres-
artigo número 040403 (http://prl.aps.org).
são. Disponível em: <http://prl.aps.org>. Acesso em: 11 set. 2007.
[Adaptado].
88. (UNICAMP-Modificado-MODELO ENEM) – O gráfico a seguir
fornece o tempo de cozimento, em água fervente, de uma massa Com base na teoria dos estados da matéria, é incorreto afirmar:
m de feijão em função da temperatura. a) A luz laser consiste em ondas que apresentam um
comprimento específico que corresponde à distância entre
dois máximos ou dois mínimos consecutivos, medida na
direção em que a onda está movimentando-se.
b) As substâncias podem mudar de estado físico (sólido, líquido,
gasoso etc.) e esse fenômeno depende exclusivamente da
temperatura a que estão expostas.
c) O zero absoluto é um conceito no qual um corpo,
classicamente, não conteria energia alguma. Todavia, as leis
da Termodinâmica mostram que esta temperatura continua
experimentalmente inatingível.
d) A supercondutividade é um fenômeno que se manifesta em
alguns materiais que se tornam capazes de transportar
corrente elétrica sem nenhuma resistência abaixo de certa
temperatura.
90. (UFMS) – A maioria das substâncias sofre fusão com aumento de

volume. No entanto, algumas substâncias, como o bismuto e o
Sabe-se que a temperatura de ebulição da água, em uma panela antimônio, fundem-se com contração de volume. É correto afir-
sem tampa, é função da pressão atmosférica local. Na tabela, mar que
encontramos a temperatura de ebulição da água em diferentes a) a pressão não influi na fusão das substâncias.
159
b) a diminuição de pressão facilita a fusão de todas as Analise esse diagrama e assinale a alternativa correta.
substâncias. a) Acima de 31°C, a substância apresenta-se no estado gasoso.
c) a diminuição de pressão facilita a fusão do antimônio. b) É possível liquefazer o gás apenas aumentando a temperatura
d) o aumento de pressão facilita a fusão de todas as substâncias. de –56,6°C para 31°C.
e) o aumento de pressão facilita a fusão do bismuto. c) A substância apresenta-se no estado sólido para valores de
pressão acima de uma atmosfera.
91. (UCBA) – Uma substância tem seu diagrama de fases represen- d) A substância apresenta-se sempre no estado líquido para a
tado no gráfico da pressão em função da temperatura, na figura temperatura de 20°C.
abaixo. e) A substância apresenta-se em mudança de estado para
pressão de 5,1atm e temperatura de –10°C.
94. (UNIVALI-SC) – Considere um diagrama de fases (pressão em

função da temperatura) para a água. Abaixo da pressão do ponto
triplo da água,
a) só pode haver água líquida.
b) não pode haver gelo.
c) não pode haver vapor de água.
d) pode haver qualquer fase, dependendo da temperatura.
e) não pode haver água líquida.
95. (UFV-MG) – É possível liquefazer-se um gás:

a) comprimindo-o a qualquer temperatura.
Analise as afirmações. b) aumentando sua temperatura a qualquer pressão.
I) A curva AB é a curva da vaporização. c) resfriando-o até uma temperatura abaixo da crítica e
II) A curva BC é a curva da fusão. comprimindo-o.
III) A curva BD é a curva da solidificação. d) comprimindo-o a uma temperatura acima da crítica.
IV) O ponto B é o ponto triplo. e) diminuindo sua pressão acima da temperatura crítica.
Quais estão corretas?
a) Apenas I e II. b) Apenas I e III. c) Apenas II e III. 96. (UFBA) – Se a temperatura crítica da água é 647K, pode-se
d) Apenas III e IV. e) Apenas II e IV. afirmar que a água está sob forma de
a) vapor, a 500°C.
92. (UFBA) – O estado físico em que uma substância se encontra de- b) vapor, acima de 500°C.
pende das condições de pressão e temperatura. O gráfico abaixo c) gás, a 400°C.
representa o diagrama de fase do CO2. (O gráfico não está em es- d) gás, a 273°C.
cala.) e) gás, abaixo de 273°C.
97. (UFPR) – Pode-se atravessar uma barra de gelo usando-se um

arame com um peso adequado (experiência de Tyndall), conforme
a figura, sem que a barra fique dividida em duas partes.
Preencha os parênteses com a letra correspondente.

I – ( ) Região em que a substância está no estado líquido.
II – ( ) Ponto crítico.
III – ( ) Ponto de equilíbrio entre as três fases da substância.
IV – ( ) Região em que a substância está no estado sólido. Qual é a explicação para tal fenômeno?
V – ( ) Região em que a substância está no estado gasoso. a) A pressão exercida pelo arame sobre o gelo abaixa seu ponto
VI – ( ) Região em que a substância está no estado de vapor. de fusão.
b) O gelo, já cortado pelo arame, graças à baixa temperatura, se
93. (FM-ABC-SP) – O gráfico representa o diagrama de estado do solidifica novamente.
“gelo seco”. PT e PC representam, respectivamente, ponto triplo c) A pressão exercida pelo arame sobre o gelo aumenta seu
e ponto crítico da substância. ponto de fusão, mantendo a barra sempre sólida.
d) O arame, estando naturalmente mais aquecido, funde o gelo;
este calor, uma vez perdido para a atmosfera, deixa a barra
novamente sólida.
e) Há uma ligeira flexão da barra e as duas partes, já cortadas
pelo arame, são comprimidas uma contra a outra, soldando-se.
98. (ITA) – Um termômetro em uma sala de 8,0 x 5,0 x 4,0 m indica

22°C e um higrômetro indica que a umidade relativa é de 40%.
Qual é a massa de vapor de água na sala se sabemos que nessa
temperatura o ar saturado contém 19,33g de água por metro
cúbico?
a) 1,24kg b) 0,351kg
c) 7,73kg d) 4,8 x 10–1kg
e) outro valor.
160
99. (MODELO ENEM) – Duda, uma vestibulanda, estava na cozinha a) I, II e III b) I, III e IV c) II e III
de sua casa quando resolveu realizar uma experiência de trocas d) III e IV e) I e IV
de calor que seu professor de Física havia proposto.
Para tanto, utilizou um caldeirão, uma garrafa de vidro, água e sal. 100. (MODELO ENEM) – A umidade relativa do ar fornece o grau de
Colocou água no caldeirão e no interior da garrafa de vidro, que concentração de vapor de água em um ambiente. Quando essa
permaneceu aberta durante toda a experiência. O caldeirão foi concentração atinge 100% (que corresponde ao vapor saturado),
colocado sobre a chama do fogão e a garrafa teve seu gargalo começam a surgir gotas de água que podem precipitar-se em
preso a um barbante que, esticado, mantinha a garrafa afastada forma de chuva. Para calcular a umidade relativa em um meio,
do fundo do caldeirão. Após alguns minutos, ela observou que a deve-se dividir a concentração de vapor de água existente no
água do caldeirão entrou em ebulição (a 100°C), mas a água do ambiente pela concentração máxima de vapor de água que
interior da garrafa (também a 100°C) não fervia. Esperou mais poderia ocorrer nesse meio, nessa temperatura.
alguns minutos e colocou um punhado de sal na água do A seguir, encontramos uma tabela que fornece a pressão máxima
caldeirão; pouco tempo depois notou que a água no interior da de vapor de água (em mmHg) e a concentração máxima de vapor
garrafa entrava em ebulição. de água (em g/m3), medidos nas temperaturas indicadas.
concentração
␪ (°C) Pmáx(mmHg)
máxima (g/m3)
0 4,6 4,9
1 4,9 5,2
2 5,3 5,6
5 6,5 6,8
10 9,2 9,4
20 17,6 17,5
30 31,9 30,4
Usando essas informações, a umidade relativa do ar no interior de
uma sala de 5,0 metros de comprimento, 4,0 metros de largura e
3,0 metros de altura que contém 441 gramas de vapor de água
misturados com o ar, na temperatura de 20°C, vale:
a) 23% b) 35% c) 42% d) 58% e) 71 %
101. (CEFET-SC-MODELO ENEM) – Considere os trechos abaixo,

A respeito desse experimento, analise as afirmativas dadas a uma pergunta de uma leitora ao químico Robert Wolke e a
seguir. resposta deste:
I. A água no interior da garrafa não ferve porque o vidro, sendo Pergunta: “Meu marido, minha filha e eu vamos voltar a La Paz,
péssimo condutor de calor, não permite a passagem de Bolívia, para adotar outro bebê. Por causa da altitude elevada, a
energia térmica suficiente para provocar a ebulição dessa água fervente pode levar horas para cozinhar as coisas. Há alguma
água. regra geral a respeito de quanto tempo leva para cozinhar alguma
II. Quando a água do caldeirão e a água do interior da garrafa coisa a altitudes diversas? E ferver as mamadeiras a essa altitude
estão a mesma temperatura, não há transferência de energia mata os micróbios?”
térmica entre elas, assim, quando a água do caldeirão ferve a Resposta: “A altitude de La Paz vai de 3250 a 4 mil metros acima
100°C, a água na garrafa também está a 100°C e não recebe do nível do mar...” “Então, a 4mil metros, a água vai ferver a 86°C.
mais energia para vaporizar-se. Temperaturas acima de 74°C são consideradas suficientes para
III. O sal colocado na água do caldeirão aumenta sua temperatura matar a maior parte dos micróbios..."
de ebulição, fazendo-a ferver a uma temperatura maior do que (In WOLKE, R. L. O que Einstein disse a seu cozinheiro:
100°C, assim, a água pura do interior da garrafa atinge 100°C a ciência na cozinha. Rio de Janeiro: J Zahar, 2002.)
e entra em ebulição porque continua recebendo energia Com base nas informações contidas no texto e considerando que,
térmica da água do caldeirão que está a mais de 100°C. no nível do mar, a água pura entra em ebulição a uma temperatura
IV. O sal colocado na água do caldeirão aumenta a sua de 100°C, pode-se concluir que, a cada 300 metros acima da
condutibilidade térmica, transferindo calor mais rapidamente referência do mar, a temperatura de ebulição da água diminui em
para a água da garrafa, produzindo a sua ebulição. média, aproximadamente:
São corretas as afirmativas: a) 0,05°C b) 1,05°C c) 0,06°C d) 1,16°C e) 0,02°C
7) B 8) E 9) E 10) C 44) 28 (corretas: 04, 08 e 16) 62) 5,0°C 63) C 64) B 65) 1,0°C
11) D 12) C 13) E 14) 10°C 45) 15min e de 0 a 5,0min 66) B 67) –2,5°C 68) C
15) B 16) D 17) 20 000cal 46) fusão e solidificação 71) C 72) I) BC II) CD III)EF
18) B 19) B 20) D 47) a) 30J b) 26J 4
21) D 22) B c) 6,5 . 10–2J d) 1,3 . 10–1J 73) C 74) –––– 75) 50g
13
23) Não, sobrarão 468,75g de gelo. 48) A 49) a) 0,03cal/g°C
24) C 25) 68s 26) 75cal/g b) 75g 76) A 85) C 86) B 87) B
27) D 28) 15s 50) a) 125g 88) C 89) B 90) E 91) E
29) a) 1,8 . 10–2kg/min 30) ~35,4min b) 25g 92) I-C II-E III-B IV-A V-G VI-D
b) 0,54ᐉ c) 52°C 93) A 94) E 95) C
34) C 35) D 36) E 37) B 51) a) 120g 56) B 57) 80°C 96) C 97) A 98) A
38) A 39) a) 300K 40) E b) 50cal/°C 99) C 100) C 101) B
b) 0,50cal/g°C c) 5
41) A 42) A 43) A 58) C 59) C 60) D 61) D
161
CAPÍTULO
Termologia
4 TRANSMISSÃO DE CALOR
A gravura é uma obra do pintor francês do século XIX,

Jean-François Millet, que mostra uma mulher assando pão em
um forno a lenha. O pão cru é colocado no interior do forno e
recebe calor, principalmente, por radiação.
A transmissão de calor é uma das partes mais interessantes

da Termologia. Aqui, vamos encontrar as maneiras da energia
térmica se transferir de um local para outro: a condução, a
convecção e a radiação. Neste estudo, vamos entender as
diferenças entre essas maneiras do calor mudar de local.
Veremos que, rigorosamente, a radiação não é uma transferência
de calor. Neste processo, a energia térmica sai de um corpo (que
esfria) e, em forma de onda eletromagnética (portanto, energia eletromagnética), propaga-se através de
um meio (que pode ser o vácuo) e, no final, é absorvida por um outro corpo, que se aquece (então,
recebeu energia térmica). Observe que a energia térmica é detectada apenas no início e no final do
processo. Durante o processo apenas encontramos a energia em forma de uma onda eletromagnética. No
entanto, esse processo é estudado como uma transmissão de calor. No decorrer do capítulo, vamos estudar
como ocorre o resfriamento ou o aquecimento de um ambiente com a utilização de um aparelho de
ar-condicionado ou de um aquecedor elétrico (ou a gás). Vamos estudar as brisas litorâneas, as
geladeiras domésticas (e aquelas horizontais que permanecem abertas nos supermercados) e as garrafas
térmicas (Vaso de Dewar). Daremos atenção especial ao efeito estufa e ao aquecimento global, assunto
tão importante na atualidade. Vamos também fazer alguns cálculos, estudando o fluxo de calor através
de uma parede, usando a Lei de Fourier.
1. Considerações iniciais
Denomina-se transmissão de calor à passagem da energia térmica de um local para outro. Essa transmissão pode
ocorrer de três formas diferentes: condução, convecção e radiação.
2. Condução
É o processo de transmissão de calor em que a energia térmica passa de um local para o outro através das partículas
do meio que os separa. Na condução, a passagem da energia térmica de uma região para outra se faz da seguinte
maneira: na região de maior temperatura, as partículas estão mais energizadas, vibrando com maior intensidade; assim,
162
estas partículas transmitem energia para as partículas A convecção pode ser natural, quando é ocasionada
vizinhas, menos energizadas, que passam a vibrar com por diferenças de densidade devidas à diferença de
intensidade maior; estas, por sua vez, transmitem energia temperatura entre as massas de fluido, ou forçada, quan-
térmica para as seguintes, e assim sucessivamente. do é ocasionada por bombas ou ventiladores.
Notemos que, se não existissem as partículas cons- Observemos que na convecção não há passagem de
tituintes do meio, não haveria a condução de calor. Por- energia de um corpo para outro, mas apenas estes é que
tanto: mudam de posição.
A condução de calor é um processo que exige a Dessa forma, concluímos que, a rigor, a convecção
presença de um meio material para a sua não é um processo de transmissão de calor, pois não há
realização, não podendo ocorrer no vácuo (local passagem de energia de um corpo para outro.
isento de partículas).
I) Aparelho de
ar-condicionado e aquecedor elétrico
No verão, o aparelho de ar-condicionado introduz o
ar frio nas salas pela parte superior. Desse modo, em
razão da sua maior densidade, o ar frio desce, provo-
cando a circulação do ar contido na sala.
O calor propaga-se através da parede do forno de uma pizzaria.
3. Convecção
Para ilustrarmos a convecção, imagine uma sala on-
de ligamos um aquecedor elétrico que está colocado no O aparelho de ar-condicionado deve ser colocado na parte superior da parede
da sala.
chão, no centro dessa sala.
O ar em torno do aquecedor se aquece, tornando-se
No inverno, o ar aquecido pelo aquecedor elétrico
menos denso que o restante. Com isto, ele sobe e o ar
deve ser produzido na parte inferior da sala.
frio desce, havendo uma troca de posição do ar quente
que sobe com o ar frio que desce. A este movimento de
massas de fluido chamamos convecção e as correntes de
ar formadas são correntes de convecção.
Note-se que se fosse feito o contrário, o ar frio (mais

denso) continuaria embaixo e o ar quente (menos denso)
continuaria em cima, não havendo circulação de ar.
Na sala, o ar quente (menos denso) sobe, enquanto o ar frio (mais denso) desce.
Portanto, a convecção constitui-se de movimentos

de massas fluidas, trocando de posição. Notemos que não II) Brisas litorâneas
tem significado falar em convecção no vácuo. À beira-mar, a areia, tendo calor específico muito
Assim, podemos afirmar que a convecção somente menor que o da água, aquece-se mais rapidamente que a
ocorre nos fluidos (líquidos, gases e vapores), não exis- água durante o dia e resfria-se mais rapidamente durante
tindo nos sólidos e no vácuo. a noite.
163
Assim, temos:
DURANTE O DIA: O ar próximo da areia fica mais

quente que o restante e sobe, dando lugar a uma corrente
de ar da água para a terra. É o vento que, durante o dia,
sopra do mar para a terra.
Durante a noite, as brisas sopram da terra para o mar.
III) Geladeira doméstica

Nas geladeiras, o congelador é sempre colocado na
parte superior, para que o ar se resfrie na sua presença e
desça, dando lugar ao ar mais quente, que sobe.
Durante o dia, as brisas sopram do mar para a terra.

Nas geladeiras domésticas, os alimentos são resfriados pelo ar
frio, que desce graças à convecção. As prateleiras são feitas em grades
(e não inteiriças) para permitir a convecção do ar dentro da geladeira.
DURANTE A NOITE: O ar próximo da superfície
da água resfria-se menos que o restante. Com isso, ele 4. Radiação
fica mais quente que o restante e sobe, dando lugar a uma
É o processo de transmissão de calor por meio de on-
corrente de ar da terra para a água. É o vento que, durante
das eletromagnéticas (ondas de calor). A energia emitida
a noite, sopra da terra para o mar.
por um corpo (energia radiante) propaga-se até o outro,
através do espaço que os separa.
Sendo uma transmissão de calor feita por ondas ele-
tromagnéticas, a radiação não exige a presença do meio
material para ocorrer, isto é, a radiação ocorre no vácuo
e também em meios materiais.
Entretanto, não são todos os meios materiais que
permitem a propagação das ondas de calor através deles.
Dessa forma, podemos classificar os meios materiais em:
– Diatérmicos: São os meios que permitem a propa-
gação das ondas de calor através deles (são os meios
transparentes às ondas de calor).
Ex.: ar atmosférico.
164
– Atérmicos: São os meios que não permitem a propa- Como exemplo de radiação, podemos citar a energia
gação das ondas de calor através deles (são os meios opa- solar que recebemos diariamente, a energia emitida por
cos às ondas de calor). uma lareira que nos aquece no inverno, a energia emitida
Ex.: parede de tijolo. por uma lâmpada de filamento, cujo efeito sentimos
eficazmente quando dela nos aproximamos etc.
Toda energia radiante, transportada por onda de rá-

dio, infravermelha, ultravioleta, luz visível, raios X,
raios ␥ etc., pode converter-se em energia térmica por
absorção. Entretanto, só as radiações infravermelhas são
A energia térmica vem do Sol por meio de ondas eletromagnéticas. chamadas de ondas de calor ou radiações caloríficas.
1. O diagrama abaixo representa, de forma esquemá- solo é da ordem de 30% e a absorvida pela superfície é da
tica e simplificada, a distribuição da energia prove- ordem de 50%.
niente do Sol sobre a atmosfera e a superfície terres-
tre. Na área delimitada pela linha tracejada, são destacados alguns c) FALSA
processos envolvidos no fluxo de energia na atmosfera. A radiação solar absorvida diretamente pela atmosfera é da
ordem de 20%.
d) VERDADEIRA
A radiação solar que é absorvida diretamente pelo solo é da
ordem de 50% e a quantidade devolvida para a atmosfera é da
ordem de 44%
e) FALSA
A radiação emitida para o espaço pela atmosfera é da ordem
de 64% e a radiação irradiada diretamente para o espaço, pela
superfície, é da ordem de 6%.
Resposta: D
2. A transmissão do calor de um ponto para outro, graças ao deslo-

camento do próprio material aquecido, é um fenômeno de
a) irradiação. b) convecção.
Com base no diagrama acima, conclui-se que
c) condução. d) radiação.
a) a maior parte da radiação incidente sobre o planeta fica retida
e) emissão.
na atmosfera.
Resolução
b) a quantidade de energia refletida pelo ar, pelas nuvens e pelo
A transmissão de calor que envolve deslocamento de partículas
solo é superior à absorvida pela superfície.
do meio é a convecção. Esse processo somente ocorre em
c) a atmosfera absorve 70% da radiação solar incidente sobre a
meios materiais fluidos (líquidos, gases e vapores). Não existe
Terra.
vácuo e nos sólidos.
d) mais da metade da radiação solar que é absorvida diretamente
Resposta: B
pelo solo é devolvida para a atmosfera.
e) a quantidade de radiação emitida para o espaço pela atmosfera
3. (UNISA-SP) – A radiação é o único processo possível de trans-
é menor que a irradiada para o espaço pela superfície.
missão do calor
Resolução
a) nos gases.
a) FALSA
b) nos sólidos que não apresentam elétrons livres.
A parte da radiação absorvida diretamente pela atmosfera é da
c) no vácuo.
ordem de 20%.
d) nos sólidos em geral.
e) nos cristais.
b) FALSA
Resolução
A quantidade de energia refletida pelo ar, pelas nuvens e pelo
A radiação é o processo de transmissão de calor em que a energia
165
térmica se propaga em forma de ondas eletromagnéticas,

principalmente em raios infravermelhos. Dessa forma, no vácuo
(local sem partículas) a única forma de transmissão de calor é a
radiação.
Resposta: C
4. Um cobertor de lã tem por função

a) dar calor ao corpo.
b) reduzir a transferência de calor do corpo para o meio exterior.
c) impedir a entrada do frio.
d) comunicar sua temperatura ao corpo. À noite, ocorre um processo inverso ao que se verifica durante o
e) aquecer o ar entre ele e o corpo. dia.
Resolução
A lã é um péssimo condutor de calor. Dessa forma, um cobertor
de lã tem por função “isolar” o nosso corpo do meio ambiente
(frio), para que a energia térmica que sai do nosso corpo se
mantenha no ar entre nós e o cobertor, fazendo com que a
transferência de calor seja mais lenta.
Resposta: B
5. (MACKENZIE-SP) – Corpo negro é

a) qualquer objeto que emite radiação correspondente à cor Como a água leva mais tempo para esquentar (de dia), mas
preta. também leva mais tempo para esfriar (à noite), o fenômeno
b) uma cavidade de paredes opacas provida de pequenino noturno (brisa terrestre) pode ser explicado da seguinte maneira:
orifício. a) O ar que está sobre a água se aquece mais; ao subir, deixa
c) um corpo qualquer recoberto de negro de platina ou negro de uma área de baixa pressão, causando um deslocamento de ar
fumo. do continente para o mar.
d) um objeto capaz de absorver integralmente as radiações de b) O ar mais quente desce e se desloca do continente para a
qualquer comprimento de onda que sobre ele incidam. água, a qual não conseguiu reter calor durante o dia.
e) um objeto capaz de absorver integralmente as radiações de c) O ar que está sobre o mar se esfria e dissolve-se na água;
qualquer comprimento de onda, porém incapaz de reemiti-las. forma-se, assim, um centro de baixa pressão, que atrai o ar
Resolução quente do continente.
Os corpos, em geral, refletem uma parcela ou todas as radiações d) O ar que está sobre a água se esfria, criando um centro de alta
que incidem sobre ele. Um corpo que se apresenta, por exemplo, pressão que atrai massas de ar continental.
na cor vermelha, reflete predominantemente as radiações corres- e) O ar sobre o solo, mais quente, é deslocado para o mar,
pondentes ao vermelho, absorvendo as demais radiações. equilibrando a baixa temperatura do ar que está sobre o mar.
Chama-se corpo negro o corpo que absorve todas as radiações Resolução
que incidem nele, não refletindo nada. Durante a noite, a água mantém-se aquecida pelo calor recebido
É importante observar que, pelo fato de o corpo negro ser o me- durante o dia; o ar aquecido sobe, formando uma zona de baixa
lhor absorvente, ele também é o melhor emissor de energia, pressão. Ao mesmo tempo, em terra, o rápido esfriamento da
sendo chamado de radiador ideal. superfície forma uma zona de alta pressão e o ar continental
Resposta: D começa, então, a se deslocar para o mar para cobrir a diferença de
pressão, formando a brisa terrestre.
6. (FCMSC-SP) – Em certos dias, verifica-se o fenômeno de Resposta: A
inversão térmica, que causa aumento de poluição, pelo fato de a
atmosfera apresentar maior estabilidade. Esta ocorrência é devida
ao seguinte fato: 8. Uma garrafa de vidro e uma lata de alumínio, cada
a) A temperatura das camadas inferiores do ar atmosférico uma contendo 330mᐉ de refrigerante, são mantidas
permanece superior à das camadas superiores. em um refrigerador pelo mesmo longo período de
b) A convecção força as camadas poluídas a circular. tempo. Ao retirá-las do refrigerador com as mãos desprotegidas,
c) A condutibilidade do ar diminui. tem-se a sensação de que a lata está mais fria que a garrafa.
d) A temperatura do ar se homogeneíza. É correto afirmar que
e) As camadas superiores do ar atmosférico têm temperatura a) a lata está realmente mais fria, pois a capacidade calorífica da
superior à das camadas inferiores. garrafa é maior que a da lata.
Resolução b) a lata está de fato menos fria que a garrafa, pois o vidro possui
Normalmente, a camada de ar poluído próxima ao solo tem condutividade menor que o alumínio.
temperatura maior que as camadas superiores de ar puro, daí c) a garrafa e a lata estão à mesma temperatura, possuem a
ocorre a convecção; o ar poluído sobe e é substituído pelo ar puro mesma condutividade térmica, e a sensação deve-se à
das camadas superiores, dispersando os poluentes. diferença nos calores específicos.
Nos dias frios de inverno, em algumas cidades, pode ocorrer a d) a garrafa e a lata estão à mesma temperatura, e a sensação é
inversão térmica, que aumenta o índice de poluição. Há inversão devida ao fato de a condutividade térmica do alumínio ser
térmica quando o ar que está em contato com o solo tem maior que a do vidro.
temperatura menor do que as camadas superiores de ar puro, aí e) a garrafa e a lata estão à mesma temperatura, e a sensação é
não existe a convecção e os poluentes não se dispersam. devida ao fato de a condutividade térmica do vidro ser maior
Resposta: E que a do alumínio.
Resolução
7. Numa área de praia, a brisa marítima é uma conse- Estando no interior da geladeira por um longo tempo, a garrafa de
quência da diferença no tempo de aquecimento do vidro e a lata de aluminio estarão na mesma temperatura. Ao
solo e da água, apesar de ambos estarem subme- tocarmos ambas com as mãos desprotegidas, a lata parecerá
tidos às mesmas condições de irradiação solar. No local (solo) que mais fria do que a garrafa porque o aluminio é melhor condutor de
se aquece mais rapidamente, o ar fica mais quente e sobe, calor que o vidro. A sensação de frio que sentimos está
deixando uma área de baixa pressão, provocando o deslocamento relacionada com a rapidez com que perdemos calor para o corpo.
do ar da superfície que está mais fria (mar). Resposta: D
166
9. (UNISA-SP) – Uma panela com água está sendo aquecida num

fogão. O calor das chamas transmite-se através da parede do
fundo da panela para a água que está em contato com essa
parede e daí para o restante da água. Na ordem desta descrição,
o calor transmitiu-se predominantemente por
a) radiação e convecção. b) radiação e condução.
c) convecção e radiação. d) condução e convecção.
e) condução e radiação.
10. (UERJ-MODELO ENEM) – Duas chaleiras idênticas, que come- (MOREIRA, Igor. O espaço geográfico.
çam a apitar no momento em que a água nelas contida entra em São Paulo: Editora Ática, 2002, p. 206.)
ebulição, são colocadas de duas formas distintas sobre o fogo,
como indica a figura adiante: a) a elevação da temperatura média do planeta.
b) o aumento do índice do uso da energia solar.
c) a diminuição do buraco da camada de ozônio.
d) a elevação do número de habitantes da Terra.
e) a diminuição do nível dos oceanos do planeta.
13. (MACKENZIE-SP) – Numa noite fria, preferimos usar cobertores

de lã para nos cobrirmos. No entanto, antes de deitarmos, mesmo
que existam vários cobertores sobre a cama, percebemos que ela
está fria e somente nos aquecemos depois que estivermos sob
os cobertores algum tempo. Isto se explica porque
a) o cobertor de lã não é um bom absorvedor de frio, mas nosso
corpo sim.
b) o cobertor de lã só produz calor quando está em contato com
(Adaptado de EPSTEIN, Lewis C. Thinking Physics. nosso corpo.
San Francisco: Insight Press,1995.) c) o cobertor de lã não é um aquecedor, mas apenas um isolante
térmico.
Em um dado momento, quando ambas já estavam apitando, as d) enquanto não nos deitamos, existe muito frio na cama que
chamas foram apagadas simultaneamente. Assim, a situação será absorvido pelo nosso corpo.
relativa ao tempo de duração dos apitos das chaleiras e a e) a cama, por não ser de lã, produz muito frio e a produção de
explicação física do fenômeno estão descritas na seguinte calor pelo cobertor não é suficiente para seu aquecimento
alternativa: sem a presença humana.
a) A chaleira I continuará apitando por mais tempo, pois a placa
metálica está mais quente do que a água. 14. (UNIFENAS-MG) – A transmissão de calor por convecção só é
b) Ambas as chaleiras deixam de apitar no mesmo instante, pois possível
as chamas foram apagadas simultaneamente. a) no vácuo. b) nos sólidos. c) nos líquidos.
c) Ambas as chaleiras deixam de apitar no mesmo instante, pois d) nos gases. e) nos fluidos em geral.
a temperatura da água nas duas é a mesma.
d) A chaleira II continuará apitando por mais tempo, pois a 15. (UFES) – Um ventilador de teto, fixado acima de uma lâmpada
capacidade térmica do metal é menor do que a da água. incandescente, apesar de desligado, gira lentamente algum
e) A chaleira I continuará apitando por mais tempo, pois a placa tempo após a lâmpada estar acesa. Esse fenômeno é devido à
metálica está mais fria do que a água. a) convecção do ar aquecido. b) condução do calor.
c) irradiação da luz e do calor. d) reflexão da luz.
11. (UFES) – Para resfriar um líquido, é comum colocar a vasilha que e) polarização da luz.
o contém dentro de um recipiente com gelo, conforme a figura.
16. (UPE-RS) – Qual das alternativas abaixo melhor representa o
processo de convecção térmica?
Para que o resfriamento seja mais rápido, é conveniente que a va-

silha seja metálica, em vez de ser de vidro, porque o metal apre-
senta, em relação ao vidro, um maior valor de
a) condutividade térmica. b) calor específico.
c) coeficiente de dilatação térmica. d) energia interna.
e) calor latente de fusão.
12. (ETE-MODELO ENEM) – A figura simboliza um fenômeno que

tem sido analisado por um grande número de cientistas, os quais
argumentam que ele tem provocado, entre outros,
167
17. (FAZ-UBERABA-MG) – Algumas pessoas usam toalhas plásticas a) ⌬t = ⌬tB < ⌬tA b) ⌬t < ⌬tA = ⌬tB c) ⌬t > ⌬tA = ⌬tB
para forrar as prateleiras das suas geladeiras. Este procedimento d) ⌬t = ⌬tA = ⌬tB e) ⌬t < ⌬tA < ⌬tB
a) melhora a conservação dos alimentos, pois aumenta o isola-
mento térmico das geladeiras. 21. Analise as afirmativas abaixo:
b) aumenta o consumo de energia da geladeira, pois reduz o flu- I. Nas geladeiras, a refrigeração dos alimentos é feita por condu-
xo do ar interno. ção do ar em seu interior.
c) reduz o consumo de energia da geladeira, pois o motor não II. A Terra recebe calor do Sol por convecção.
precisa ficar ligado o tempo todo. III. A radiação é o único processo de propagação de calor que
d) melhora o desempenho da geladeira, pois reduz as perdas de pode ocorrer no vácuo.
calor por convecção. Assinale:
e) não interfere no funcionamento da geladeira desde que a placa a) Se as afirmativas I, II e III estão corretas.
de resfriamento não seja coberta. b) Se apenas as afirmativas I e II estão corretas.
c) Se apenas as afirmativas II e III estão corretas.
18. (UNITAU-SP) – Sabe-se que o calor específico da água é maior d) Se apenas a afirmativa II está correta.
que o calor específico sensível da terra e de seus constituintes e) Se apenas a afirmativa III está correta.
(rocha, areia etc.). Em face disso, pode-se afirmar que, nas re-
giões limítrofes entre terra e o mar, 22. (UFLA-MG) – As afirmativas abaixo referem-se à transmissão (ou
a) durante o dia, há vento soprando do mar para a terra e, à noite, transferência) de calor. Assinale a alternativa correta.
o vento sopra no sentido oposto. a) A transmissão de calor por convecção ocorre por meio de
b) o vento sempre sopra no sentido terra-mar. ondas eletromagnéticas com frequência e comprimento de
c) durante o dia, o vento sopra da terra para o mar e, à noite, o onda definidos.
vento sopra do mar para a terra. b) A condução de calor está relacionada com as trocas de energia
d) o vento sempre sopra do mar para a terra. molecular ou com o fluxo de elétrons de valência.
e) não há vento algum entre a terra e o mar. c) A transmissão de calor por radiação ocorre graças às diferen-
ças de densidade, provocadas por gradientes de temperatura
19. (UNIMEP) – dentro do fluido.
d) A condução de calor consiste no transporte de energia térmica
de uma região para outra, em razão do deslocamento do pró-
prio fluido.
e) Todos os corpos irradiam calor continuamente e a quantidade
de calor irradiada depende somente do poder emissivo do
corpo.
23. (FUVEST) – Têm-se dois copos, com a mesma quantidade de

água, um aluminizado A e outro negro N, que ficam expostos ao
Sol durante uma hora. Sendo inicialmente as temperaturas iguais,
é mais provável que ocorra o seguinte:
a) Ao fim de uma hora, não se pode dizer qual temperatura é
maior.
b) As temperaturas são sempre iguais em qualquer instante.
c) Após uma hora, a temperatura de N é maior que a de A.
d) De início, a temperatura de A decresce (graças à reflexão) e a
de N aumenta.
e) As temperaturas de N e de A decrescem (graças à eva-
poração) e depois crescem.
24. (MACKENZIE-SP) – Consideremos

Na região litorânea, durante o dia, sopra a brisa marítima e, à noi- dois tubos metálicos iguais com
te, sopra a brisa terrestre. Esta inversão ocorre porque uma extremidade fechada envol-
a) o ar aquecido em contato com a terra sobe e produz uma região vendo o bulbo de dois termôme-
de baixa pressão aspirando o ar que está sobre o mar, criando tros, inicialmente a uma tempe-
assim correntes de convecção e, à noite, ao perder calor, a terra ratura tA ambiente. O tubo A é
se resfria mais do que o mar, invertendo o processo. polido externamente e o tubo B é
b) o mar não conserva temperatura, e enquanto está em enegrecido. Toma-se cuidado para
movimento faz deslocar a brisa para a terra. que os termômetros não encostem
c) o ar aquecido em contato com a terra sobe e produz uma nas paredes dos tubos. A seguir, o
região de alta pressão, resultando numa diminuição da conjunto é colocado em presença
temperatura do ar que vem do mar por condução. de uma fonte que irradia energia
d) a terra aquece-se durante a noite e faz com que o mar se aque- térmica durante alguns minutos,
ça também, movimentando as correntes terrestres. depois dos quais verifica-se que o
e) a terra e o mar interagem, pois o calor específico sensível da termômetro 1 marca uma tem-
terra, sendo muito maior que o da água, não permite que ela peratura t1 e que o termômetro 2,
(terra) se resfrie mais rápido que o mar, permitindo assim que uma temperatura t2.
se formem correntes de convecção, que são responsáveis Que relação deve existir entre as temperaturas t1 e t2?
pelas brisas marítimas e terrestres. a) t1 > t2 b) t1 < t2 c) t1 = t2
d) t1 = tA e) t2 = tA
20. Uma massa m de água e um bloco metálico de massa M são
aquecidos em um laboratório durante um intervalo de tempo ⌬t, 25. (UNITAU-SP) – Se você tivesse que entrar num forno quente,
ambos sofrendo a mesma variação de temperatura ⌬␪. Usando-se a preferiria ir
mesma fonte térmica, com a mesma potência, dentro de um a) nu.
elevador em queda livre, a mesma água precisou de um intervalo de b) envolto em roupa de seda.
tempo ⌬tA e o mesmo bloco metálico precisou de um intervalo de c) envolto em roupa de lã.
tempo ⌬tB para sofrerem a mesma variação de temperatura ⌬␪. Se as d) envolto em roupa de lã recoberta com alumínio.
demais condições não se alteraram, é verdade que: e) envolto em roupa de linho preto.
168
5. Fluxo de calor (Lei de Fourier) peratura ⌬␪ entre os meios (1) e (2) que ela separa e é
inversamente proporcional à espessura da placa.
Consideremos dois meios (1) e (2) em temperaturas
diferentes ␪1 e ␪2 (␪1 < ␪2), separados por uma placa Pode-se, pois, escrever a Lei de Fourier:
metálica de área S e espessura L.
Q C S ⌬␪
⌽ = –––– = –––––––
⌬t L
em que C é uma constante de proporcionalidade carac-
terística do material que constitui a placa, chamada coe-
ficiente de condutibilidade térmica.
Notemos que, para S, ⌬␪ e L iguais, quanto maior for
C, maior será o fluxo de calor.
Portanto:
Se o coeficiente de condutibilidade térmica (C) de
um material é grande, diremos que este material é um
bom condutor de calor. Exemplo: os metais em geral.
Se o coeficiente de condutibilidade térmica (C) de
Verifica-se que há uma passagem de calor de (2) para
um material é pequeno, diremos que este material é mau
(1), definindo-se como fluxo de calor (⌽) através da placa
condutor de calor. Os piores condutores de calor são
ao quociente da quantidade de calor que a atravessa pelo
chamados isolantes térmicos. Exemplos: isopor, cortiça,
tempo gasto para atravessá-la:
lã, porcelana, borracha, madeira, mica, os gases em ge-
Q ral, o vidro, o gelo etc.
⌽ = ––––
⌬t
6. Vaso de Dewar
Portanto, o fluxo de calor representa a quantidade de O vaso de Dewar ou garrafa
calor que atravessa a placa na unidade de tempo. Esta térmica é um dispositivo utili-
passagem de calor de (2) para (1) se faz através das partí- zado para manter a tempe-
culas que constituem a placa metálica, conforme esquema: ratura do seu conteúdo inal-
terada o maior intervalo de
tempo possível. Para tanto, as
paredes do sistema devem ser
adiabáticas, não permitindo
trocas de calor com o meio
ambiente.
Como a energia térmica po-
Notemos que se não existissem as partículas consti- de ser trocada por condução,
tuintes da placa, não haveria condução de calor de (2) pa- convecção e radiação, foram usados os seguintes artifí-
ra (1). cios:
Atingido o regime estacionário de escoamento de
calor através da placa metálica, a distribuição de tempe- 1) Para evitar a saída ou entrada de calor por condu-
raturas ao longo da placa passa a ter o aspecto indicado a ção, o líquido foi envolvido por vácuo. Por isso a garrafa
seguir. térmica pos sui parede dupla de vidro (péssimo condu-
tor) entre as quais se faz o vácuo.
2) Para evitar a convecção (processo que exige tro-
cas de partículas), deve-se manter sempre bem fechada a
tampa da garrafa.
3) Para evitar a radiação, as paredes são espelhadas,
assim os raios infravermelhos e as demais radiações
refletem-se no espelho, retornando ao meio de origem.
É bom observar que este sistema não é perfeito;
Verifica-se experimentalmente que o fluxo de calor assim, depois de algumas horas, o líquido interno acaba
⌽ é proporcional à área S da placa, à diferença de tem- atingindo o equilíbrio térmico com o meio ambiente.
169
7. A estufa
Principalmente em países onde o inverno é muito
rigoroso, são usadas estufas para o cultivo de verduras,
legumes e flores. A estufa é um local fechado, com
paredes e teto de vidro que recebem as radiações solares.
O vidro é transparente à luz visível e praticamente
opaco às ondas de calor (raios infravermelhos). Porém,
uma pequena parte de raios infravermelhos consegue
passar pelo vidro, sendo os principais responsáveis pelo
aquecimento do interior da estufa. Esses raios são absor-
vidos e depois são emitidos numa forma mais ampla de
raios infravermelhos que poderão sair pelo vidro apenas
numa pequena parte; o restante volta a ser absorvido pe-
las plantas.
26. Uma placa de material isolante térmico tem 1,0m2 de área de sec-
ção transversal e 8,0cm de espessura. Calcule o fluxo de calor (ou
⌽ = 25cal/s
27. Uma das
corrente térmica) através desta placa, quando a diferença de
extremidades de uma barra de cobre de 80cm de comprimento e
temperatura entre as faces opostas é 100°C. É dado o coeficiente 10cm2 de área da secção transversal está situada num banho de
de condutibilidade térmica do material: vapor de água em ebulição, sob pressão normal, e a outra
c a l cm extremidade numa mistura de gelo fundente e água. As perdas de
C = 2,0 –––––––– calor pela superfície lateral da barra podem ser desprezadas.
s m2 °C
Resolução
Temos:
S = 1,0m2
L = 8,0cm
⌬␪ = ␪2 – ␪1 = 100°C
cal cm
C = 2,0 ––––––––
s m2 °C
Determine
a) a corrente térmica através da barra;
b) a quantidade de calor que atravessa uma secção da barra em
5,0min;
c) a temperatura ␪’ num ponto situado a 20cm da extremidade
mais quente;
d) esboce o gráfico da temperatura ␪ ao longo da barra.
Dado:
coeficiente de condutibilidade térmica do cobre: 0,96cal/s.cm°C.
Resolução
␪2 = 100°C
Temos:
␪1 = 0°C
2
} → ⌬␪ = 100°C
S = 10cm
L = 80cm
O fluxo de calor ou corrente térmica (⌽) através da placa con- C= 0,96cal/s . cm . °C
dutora é determinado pela expressão:
a) A corrente térmica (⌽) através da barra é dada por:
C S ⌬␪
⌽ = –––––––– C S ⌬␪
L ⌽ = –––––––––
L
Substituindo pelos valores dados, temos: Substituindo-se pelos dados, resulta:
cal cm 0,96 . 10 . 100
2,0 –––––––– . 1,0m2 . 100°C ⌽ = –––––––––––––––– (cal/s)
s m2 °C 80
⌽ = ––––––––––––––––––––––––––––
8,0cm ⌽ = 12cal/s
b) Lembrando que a corrente térmica é o quociente da quantida-
170
de de calor que atravessa uma secção da barra pelo tempo Aplicação numérica:
gasto para atravessá-la, temos: L1 = 40cm; L2 = 60cm
cal cal
Q C1 = 0,10 –––––––– C2 = 0,20 ––––––––
⌽ = ––––– ⇒ Q = ⌽ . ⌬t s cm °C s cm °C
⌬t
Sendo ⌬t = 5,0min = 3,0 . 102s, vem: ␪1 = 10°C ␪2 = 90°C
Q = 12 . 3,0 . 102 (cal) Resolução
Q = 3,6 . 103cal
c) Para se obter a temperatura ␪’ na secção situada a 20cm da

extremidade de maior temperatura, basta fazer L = 20cm e
⌬␪ = ␪2 – ␪‘ na expressão do fluxo de calor.
C S ⌬␪’ a) Como ␪2 > ␪1, o sentido da corrente térmica é de B para A.
⌽ = ––––––––– No regime estacionário, o fluxo de calor é o mesmo nas duas
L’ barras.
0,96 . 10 (100 – ␪’) ⌽1 = ⌽2
12 = –––––––––––––––––––
20
C1 S (␪’ – ␪1) C2 S (␪2 – ␪’)
–––––––––––––– = ––––––––––––– (I)
240 = 9,6 (100 – ␪’) L1 L2
25 = 100 – ␪’ C1 C1 C2 C2
–––– ␪’ – –––– ␪1 = –––– ␪2 – –––– ␪’
L1 L1 L2 L2
␪’ = 75°C
冢冣 = ––––
C1 C2 C1 C2
d) O gráfico pedido tem o seguinte aspecto: ␪’ –––– + –––– ␪ 1 + –––– ␪2
L1 L2 L 1 L2
C1 C2
–––– ␪1 + –––– ␪2
L1 L2
␪’ = ––––––––––––––––––––
C1 C2
–––– + ––––
L1 L2
Observe que a temperatura da emenda corresponde a uma média

ponderada das temperaturas das extremidades da barra.
Usando os valores numéricos fornecidos, temos:
0,10 0,20 3,0 + 36

––––– . 10 + ––––– . 90 ––––––––––
40 60 120
␪’ = ––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––
0,10 0,20 0,30 + 0,40
––––– + ––––– –––––––––––
40 60 120
Observação: usando-se o gráfico, a temperatura ␪’ pode ser deter- 39

␪’ = ––––– ⇒ ␪’ 艑 56°C
minada pela semelhança dos triângulos ACD e ABE. 0,70
AD DC b) A barra resultante nada mais é do que uma associação em

––––– = –––––
AE EB série das duas barras iniciais. Sendo assim, determinar o
coeficiente de condutibilidade térmica da barra resultante nada
100 – ␪’ 20 mais é do que obter o coeficiente de condutibilidade térmica
––––––––– = –––– da associação em série das duas barras.
100 – 0 80
Calculando o fluxo de calor através da barra resultante, temos:
100 – ␪’ = 25
C S (␪ – ␪ )
␪’ = 75°C ⌽ = ––––––––––––
2 1
L1 + L2
(L1 + L2) ⌽
28. Duas barras cilíndricas de mesma secção transversal (S), de ␪2 – ␪1 = –––––– ––––– (II)
comprimentos L1 e L2 e coeficientes de condutibilidade térmica CS
C1 e C2, respectivamente, são emendadas de modo a constituir
uma única barra cilíndrica. Mantendo as extremidades destas às Da expressão (I), do item a, temos:
temperaturas ␪1 e ␪2 (␪1 < ␪2): L1⌽
a) Determine a temperatura ␪‘ da emenda. ␪’ – ␪1 = –––––
C1S
b) Determine o coeficiente de condutibilidade térmica (C) da
barra resultante.
c) Construa o gráfico da temperatura ␪ em função da posição ao L2⌽
e ␪2 – ␪’ = –––––
longo da barra resultante. C2S
171
Somando-se essas expressões, membro a membro, resulta: 29. O uso mais popular de energia solar está associado
⌽ L1 L2 ao fornecimento de água quente para fins domés-
S 冢
␪2 – ␪1 = –––– –––
C1 C2 冣
+ ––– (III) ticos.
Na figura abaixo, é ilustrado um aquecedor de água constituído de
dois tanques pretos dentro de uma caixa termicamente isolada e
Comparando-se as expressões (II) e (III), obtém-se: com cobertura de vidro, os quais absorvem energia solar.
(L1 + L2) ⌽ ⌽ L1 L2
CS S 冢
––––––––––– = –––– ––– + –––
C1 C2 冣
L1 + L2
C = –––––––––––––
L1 L2
––– + –––
C1 C2
Usando os valores numéricos, temos:

40 + 60 100 1
C = –––––––––––––– = ––––– = –––
40 60 700 7
––––– + –––––
0,10 0,20
A. Hinrichs e M. Kleinbach. Energia e meio ambiente. São Paulo:
C 艑 0,14cal/s . cm . °C Thompson, 3.a ed. 2004, p. 525 (com adaptações).
Nesse sistema de aquecimento,
c) Usando os valores numéricos fornecidos, podemos construir o a) os tanques, por serem de cor preta, são maus absorvedores
diagrama a seguir. de calor e reduzem as perdas de energia.
b) a cobertura de vidro deixa passar a energia luminosa e reduz a
perda de energia térmica utilizada para o aquecimento.
c) a água circula devido à variação de energia luminosa existente
entre os pontos X e Y.
d) a camada refletiva tem como função armazenar energia
luminosa.
e) o vidro, por ser bom condutor de calor, permite que se
mantenha constante a temperatura no interior da caixa.
Resolução
a) FALSA. Por serem pretos, os tanques são bons absorvedores
de calor.
b) VERDADEIRA. O vidro é transparente às radiações eletromag-
néticas visíveis e é opaco às radiações infravermelhas
(radiações térmicas), reduzindo a perda de energia térmica.
c) FALSA. A água circula por convecção térmica.
d) FALSA. O vidro retém, por reflexão, a energia ligada às
radiações infravermelhas.
e) FALSA. O vidro é mau condutor de calor.
Resposta: B
30. A figura a seguir representa a garrafa de Dewar (garrafa térmica), II) O vácuo existente entre as paredes de vidro serve para im-
vista em corte. pedir as trocas de calor, por radiação.
III) A radiação é minimizada pelo espelhamento existente nas
faces internas e externas das paredes de vidro.
IV) Para evitar trocas de calor por convecção entre o líquido e o
meio externo, basta fechar a garrafa.
Assinale:
a) Se apenas I e II estão corretas.
b) Se apenas III e IV estão corretas.
c) Se apenas I, III e IV estão corretas.
d) Se apenas II e III estão corretas.
e) Se todas estão corretas.
31. (UFMG) – Uma garrafa térmica, do

tipo das usadas para manter café
quente, consiste em um recipiente
de vidro de parede dupla com vácuo
entre elas. Essas paredes são espe-
lhadas.
Considere as afirmações que se seguem: O vácuo e as paredes espelhadas são
I) As paredes são de vidro, pois o vidro tem baixo coeficiente de usados para dificultar a transmissão
condutibilidade térmica.
172
de calor, estando relacionados com uma ou mais formas de 36. A refrigeração e o congelamento de alimentos são
transmissão. responsáveis por uma parte significativa do consumo
Assinale a alternativa que relaciona corretamente as caracterís- de energia elétrica numa residência típica. Para di-
ticas da garrafa térmica com as formas de transmissão de calor minuir as perdas térmicas de uma geladeira, podem ser tomados
que essas características tentam impedir. alguns cuidados operacionais:
a) parede espelhada ⇔ condução, vácuo ⇔ radiação. I. Distribuir os alimentos nas prateleiras deixando espaços
b) parede espelhada ⇔ condução, vácuo ⇔ radiação e convecção. vazios entre eles, para que ocorra a circulação do ar frio para
c) parede espelhada ⇔ radiação, vácuo ⇔ condução. baixo e do quente para cima.
d) parede espelhada ⇔ radiação, vácuo ⇔ radiação, condução e II. Manter as paredes do congelador com camada bem espessa
convecção. de gelo, para que o aumento da massa de gelo aumente a
troca de calor no congelador.
32. Sabe-se que a temperatura do café se mantém razoavelmente III. Limpar o radiador (“grade” na parte de trás) periodicamente,
constante no interior de uma garrafa térmica perfeitamente vedada. para que a gordura e a poeira que nele se depositam não
a) Qual o principal fator responsável por esse bom isolamento reduzam a transferência de calor para o ambiente.
térmico? Para uma geladeira tradicional, é correto indicar, apenas,
b) O que acontece com a temperatura do café se a garrafa a) a operação I. b) a operação II.
térmica for agitada vigorosamente? Explique sua resposta. c) as operações I e II. d) as operações I e III.
e) as operações II e III.
33. (FAPIPAR-PR) – Uma carteira escolar é construída com partes de
ferro e partes de madeira. Quando você toca a parte de madeira 37. O resultado da conversão direta de energia solar é
com a mão direita e a parte de ferro com a mão esquerda, embo- uma das várias formas de energia alternativa de que
ra todo o conjunto esteja em equilíbrio térmico, se dispõe. O aquecimento solar é obtido por uma
a) a mão direita sente mais frio que a esquerda, porque o ferro placa escura coberta por vidro, pela qual passa um tubo contendo
conduz melhor o calor. água. A água circula, conforme mostra o esquema abaixo.
b) a mão direita sente mais frio que a esquerda, porque a
convexão na madeira é mais notada que no ferro.
c) a mão direita sente mais frio que a esquerda, porque a
convexão no ferro émais notada que na madeira.
d) a mão direita sente menos frio que a esquerda, porque o ferro
conduz melhor o calor.
e) a mão direita sente mais frio que a esquerda, porque a madeira
conduz melhor o calor.
34. (ETE–MODELO ENEM) – Efeito estufa é o fenômeno provocado

pelo calor proveniente do Sol, refletido pela Terra na atmosfera e
retido por uma capa de gases. Apesar de natural, o efeito tem-se
intensificado pela ação humana com a queima de combustíveis
fósseis, desmatamento, entre outros. Pode-se afirmar que o Fonte: Adaptado de PALZ, Wolfgang Energia solar e fontes
efeito estufa ocorre devido à formação de alternativas Hemus, 1981.
a) uma fonte térmica terrestre capaz de transferir, por condução, São feitas as seguintes afirmações quanto aos materiais utilizados
calor para subsolo, rios e oceanos.
no aquecedor solar:
b) correntes de convecção, que intensificam a dispersão da
I. o reservatório de água quente deve ser metálico para conduzir
poluição atmosférica, evitando a chamada inversão térmica.
melhor o calor.
c) gases-estufa acumulados na atmosfera que bloqueiam a saída
II. a cobertura de vidro tem como função reter melhor o calor, de
do calor irradiado pelo solo, elevando a temperatura da Terra.
forma semelhante ao que ocorre em uma estufa.
d) um manto de ar na superfície terrestre, que possibilita aos
III. a placa utilizada é escura para absorver melhor a energia
seres humanos se adaptar facilmente às novas condições
radiante do Sol, aquecendo a água com maior eficiência.
climáticas.
Entre as afirmações acima, pode-se dizer que, apenas, está(ão)
e) poluentes atmosféricos que contaminam o ar e produzem
correta(s):
odores indesejáveis, não ameaçando a vida humana, animal ou
a) I. b) I e II. c) II. d) I e III. e) II e III.
vegetal.
38. (UNITAU-SP) – Num dia quente, você estaciona o carro num tre-
35. (FMABC-SP) – Atualmente, os diversos meios de comunicação
cho descoberto e sob sol causticante. Sai e fecha todos os vidros.
vêm alertando a população para o perigo que a Terra começa a
Quando volta, nota que “o carro parece um forno”. Esse fato se
enfrentar: o chamado “efeito estufa”. Tal efeito é devido ao ex-
dá porque
cesso de gás carbônico, presente na atmosfera, provocado pelos
a) o vidro é transparente à luz solar e opaco ao calor.
poluentes dos quais o homem é responsável direto. O aumento de
b) o vidro é transparente apenas às radiações infravermelhas.
temperatura provocado pelo fenômeno deve-se ao fato de que
c) o vidro é transparente e deixa a luz entrar.
a) a atmosfera é transparente à energia radiante e opaca para as
d) o vidro não deixa a luz de dentro brilhar fora.
ondas de calor.
b) a atmosfera é opaca à energia radiante e transparente para as
39. (UNICAMP-SP) – Nas regiões mais frias do planeta, camadas de
ondas de calor.
gelo podem formar-se rapidamente sobre um volume de água a
c) a atmosfera é transparente tanto para a energia radiante como
céu aberto. A figura abaixo mostra um tanque cilíndrico de água
para as ondas de calor.
cuja área da base é A = 2,0 m2, havendo uma camada de gelo de
d) a atmosfera é opaca tanto para a energia radiante como para
as ondas de calor. espessura L na superfície da água. O ar em contato com o gelo
e) a atmosfera funciona como um meio refletor para a energia está a uma temperatura Tar = – 10°C, enquanto a temperatura da
radiante e como meio absorvente para a energia térmica. água em contato com o gelo é Tág = 0,0 °C.
173
Com base na interpretação das figuras I e II, é correto afirmar:

a) Ao se usar a lâmpada, observa-se que o processo de
aquecimento da água foi mais eficiente do que com o uso da
radiação solar.
b) No intervalo de 10min a 40min, observa-se que a radiação
solar aqueceu a água a uma taxa 1,5 vez maior do que a
lâmpada.
c) O aquecimento da água com o uso da lâmpada é menos
eficiente, no entanto, nesse caso, a resposta ao aquecimento
é mais rápida.
d) Acima de 40°C, o aquecimento com a radiação solar torna-se
a) O calor é conduzido da água ao ar através do gelo. O fluxo de mais rápido.
calor ⌽cal, definido como a quantidade de calor conduzido por e) O fundo preto-fosco não serve somente para absorver a
Tág – Tar radiação incidente, mas, principalmente, para produzir efeito
unidade de tempo, é dado por ⌽cal = kA ––––––––– , em que estufa dentro do coletor solar.
L
k = 4,0 x 10–3 cal/(s cm °C) é a condutividade térmica do gelo.
41. (MACKENZIE-SP) – A figura mostra uma barra metálica de
Qual é o fluxo de calor ⌽cal quando L = 5,0 cm?
secção transversal retangular. Suponha que 10cal fluam em
b) Ao solidificar-se, a água a 0°C perde uma quantidade de calor
regime estacionário através da barra, de um extremo para outro,
que é proporcional à massa de água transformada em gelo. A
em 2 minutos. Em seguida, a barra é cortada ao meio no sentido
constante de proporcionalidade Ls é chamada de calor latente
transversal e os dois pedaços são soldados como representa a
de solidificação. Sabendo-se que o calor latente de solidifi-
figura ll.
cação e a densidade do gelo valem, respectivamente,
Ls = 80cal/g e ␳g = 0,90 g/cm3, calcule a quantidade de calor
trocado entre a água e o ar para que a espessura do gelo
aumente de 5,0 cm para 15 cm.
40. (UFPA) – Para obter água aquecida, um estudante montou o se-

guinte sistema, esquematizado na figura I, abaixo: no coletor
solar, feito de uma cuba de vidro, com fundo metálico preto-fosco,
a água é aquecida pela radiação e, através de um ciclo convectivo
O tempo necessário para que 10cal fluam entre os extremos da
usando as mangueiras 1 e 2, é armazenada no reservatório
barra assim formada é
térmico.
a) 4 minutos. b) 3 minutos. c) 2 minutos.
O estudante realizou dois experimentos: primeiro o coletor foi
d) 1 minuto. e) 0,5 minuto.
exposto à ação do Sol e depois, nas mesmas condições, apenas
à luz de uma lâmpada, de 200W. Os resultados da variação de
42. (FUVEST) – Tem-se uma barra cilíndrica de comprimento
temperatura do reservatório em função do tempo, nos dois ex-
L = 50cm e base com área S = 10cm2. Uma de suas bases (A) é
perimentos, estão representados no gráfico da figura II a seguir.
mantida a uma temperatura constante TA = 100°C e a outra (B) é
mantida em contacto com uma mistura de água e gelo à tempera-
tura TB = 0°C. A quantidade Q de calorias que passa de A para B,
em função do tempo t, é dada pela expressão:
0,5 (TA – TB) . S . t

Q = –––––––––––––––––––
L
em que t é medido em segundos.

Dado: calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g.
Nessas condições, calcule
a) a quantidade de calor que passa em 1,0 segundo;
b) quantos gramas de gelo se derretem em 40s.
43. Uma porta de madeira, cujas dimensões são 210cm de altura por
80cm de largura por 3cm de espessura, separa o interior de uma
sauna (70°C) do meio ambiente (20°C). Pede-se determinar o flu-
xo de calor através dessa porta.
Dado: coeficiente de condutibilidade térmica da madeira =
cal cm
= 3 . 10–4 –––––––––.
s cm2 °C
44. (MACKENZIE-SP) – Uma parede do tijolos e uma janela de vidro

de espessura 180mm e 2,5mm, respectivamente, têm suas faces
sujeitas à mesma diferença de temperatura. Sendo as condu-
tibilidades térmicas do tijolo e do vidro iguais a 0,12 e 1,00 uni-
dades do Sl, respectivamente, então a razão entre o fluxo de calor
conduzido por unidade de superfície pelo vidro e pelo tijolo é:
a) 200 b) 300 c) 500 d) 600 e) 800
174
45. (PUCCAMP) – Uma estufa está à temperatura de 40°C quando no atmosférica é normal. Sabe-se que o coeficiente de conduti-
exterior a temperatura é de 0°C. As paredes da estufa são cons- bilidade térmica do alumínio vale 0,5cal . cm/s . cm2 . °C.
tituídas de placas de vidro de espessura de 2mm e área de
2500cm2. Qual o calor transmitido em cada segundo através da
placa de vidro?
cal
Dado: coeficiente de condutibilidade térmica = 0,0015 . ––––––––.
cm s °C
46. (PUCCAMP) – Uma pessoa, cuja pele está à temperatura de 37°C,

veste um agasalho de espessura 1,85cm e área 1,0m2. O material
com que foi tecido o agasalho tem condutibilidade térmica A temperatura de uma secção transversal da barra, situada a
k = 80 . 10–6 cal/cm s°C. Sabendo-se que a temperatura ambiente 40cm da extremidade mais fria, vale:
na qual se encontra a pessoa é de 0°C, determinar a quantidade de a) 20°C b) 80°C c) 85°C d) 90°C e) 95°C
calor conduzida através do agasalho durante 60 minutos.
49. (MACKENZIE-SP) – Têm-se três cilindros de mesmas secções

47. (UNAMA) – A figura abaixo apresenta uma barra de chumbo de transversais, de cobre, latão e aço, cujos comprimentos são, res-
comprimento 40cm e área de secção transversal 10cm2 isolada pectivamente, de 46cm, 13cm e 12cm. Soldam-se os cilindros,
com cortiça; um termômetro fixo na barra, calibrado na escala formando o perfil em Y, indicado na figura. O extremo livre do
Fahrenheit, e dois dispositivos, A e B, que proporcionam, nas cilindro de cobre é mantido a 100°C, e os cilindros de latão e aço
extremidades da barra, as temperaturas correspondentes aos a 0°C. Supor que a superfície lateral dos cilindros esteja iso lada
pontos do vapor e do gelo, sob pressão normal, respectivamente. termicamente.
Considerando a intensidade da corrente térmica constante ao
longo da barra, determine a temperatura registrada no termô-
metro, sabendo que ele se encontra a 32cm do dispositivo A.
Dado: coeficiente de condutibilidade térmica do chumbo =

cal . cm
= 8 x 10–2 . –––––––––––.
cm2 . °C . s
48. Uma barra de alumínio de 50cm de comprimento e área de sec-

ção transversal 5cm2 tem uma de suas extremidades em contato As condutibilidades térmicas do cobre, latão e aço valem, respec-
térmico com uma câmara de vapor-d’água em ebulição. A outra tivamente, 0,92, 0,26 e 0,12, expressas em cal . cm–1 . s–1 . °C–1.
extremidade da barra está imersa numa cuba que contém uma No estado estacionário, a temperatura na junção é igual a:
mistura bifásica de gelo e água em equilíbrio térmico. A pressão a) 40°C b) 50°C c) 67°C d) 80°C e) 100°C
9) D 10) A 11) A 12) A 13) C 14) E 33) D 34) C 35) A 36) D 37) E
15) A 16) C 17) B 18) A 19) A 20) A 38) A 39) a) 1,6 . 102cal/s
21) E 22) E 23) C 24) B 25) D 30) C b) 1,4 . 107cal
31) C 40) B 41) E 42) a) 10cal 43) 84cal/s
32) a) A condução não ocorre no vácuo. b) 5,0g
b) Aumenta, pois há transformação de energia mecânica em 44) D 45) 750cal/s 46) 艑 5,8 . 104cal
térmica. 47) 68°F 48) B 49) A
175
CAPÍTULO
Termologia
5 GASES PERFEITOS
A força resultante dos choques das partículas de gás existentes

no champanha lança a rolha a uma grande distância.
N a Europa, a partir do final do século XVII, começa uma
preocupação no meio científico em estudar o ar e os seus
componentes, os gases. O balonismo, deslocamentos utilizando
balões inflados com gases aquecidos, estava em franca ascensão.
Assim, entre vários estudiosos, destacaram-se o irlandês Robert Boyle e os franceses Joseph Louis Gay-Lussac,
Jacques Cesar Charles, Benoit Paul Emile Clapeyron e Edme Mariotte. Esses cientistas foram os responsáveis
por experimentos e teorias que culminaram no modelo teórico de gás denominado gás perfeito. Observe que gás
perfeito existe apenas na teoria; na prática, encontramos os gases reais, que se comportam de maneira um pouco
diferente do modelo teórico estabelecido. As teorias desenvolvidas por esses cientistas persistem na forma das leis
que regem as transformações isotérmicas (Lei de Boyle-Mariotte), isobáricas (Lei de Gay-Lussac) e isométricas
(Lei de Charles).
Neste capítulo, além de estudarmos essas leis, iremos aplicá-las em questões de vários tipos. Usaremos a
Equação de Clapeyron, que sintetiza as Leis de Boyle-Mariotte, Gay Lussac e Charles.
Demonstraremos a lei geral dos gases, que é utilizada para relacionar as variáveis de estado de um gás
(temperatura, pressão e volume) quando ocorre uma transformação em uma determinada massa (número
de mols constante) de gás perfeito. Veremos ainda o que acontece quando misturamos dois ou mais gases
(perfeitos) que não reagem quimicamente.
Os balões são inflados pelo ar que existe em seu Na foto, observamos o gás expelido pelo
interior. Esse fato evidencia a colisão das mergulhador, que sobe até a superfície da água.
moléculas do gás (ar) com as paredes internas dos Esse gás se expande, empurrando a água
balões. A pressão do ar, no interior do balão, é que está ao seu redor, por meio da colisão
produzida pelas colisões das partículas do gás nas de suas partículas contra as moléculas de água.
superfícies internas de cada balão.
176
1. Variáveis de estado de um gás As unidades mais usadas para a pressão são:

N (Newton)
Pa (pascal) = –––––––––––
Os gases não têm volume e nem forma próprios. Por
m2
definição, volume de um gás é o volume do recipiente
ocupado por ele. kgf
atm = –––––
cm2
mmHg
As relações entre essas unidades são:
1 atm = 760 mmHg 艑 105 Pa
As partículas de um gás “ocupam” todo o volume interno do recipiente.

Mede o estado de agitação das partículas do gás.
Quando diminuímos o volume do recipiente, o volume do gás também diminui. Nos recipientes A e B, encontramos duas amostras do mesmo gás. Em B, as
partículas do gás possuem maior velocidade de agitação. Assim, a tempera-
tura do gás em B é maior do que em A.
No estudo dos gases, usa-se muito a temperatura

A pressão de um gás é devida aos choques das molé- absoluta Kelvin, que é obtida, a partir da temperatura em
culas contra as paredes do recipiente. Celsius, pela relação:
A pressão é uma grandeza escalar, definida como a
razão entre a intensidade da força resultante, normal à
T = ␪C + 273
superfície, e a área dessa superfície.
F
p = –––
A
Assim, observamos que as partículas de um gás cho-

cam-se com as paredes do recipiente, provocando uma O ar aquecido expande-se, tornando-se “mais leve” do que o ar do meio
força resultante que origina a pressão exercida pelo gás. ambiente, e o balão é impulsionado para cima.
177
2. Equação de Clapeyron Assim, temos:

A denominação gás perfeito é dada a um modelo teó- pV 1 atm . 22,4ᐉ
rico de gás, cujas grandezas físicas associadas, pressão (p), R = –––– = –––––––––––
nT 1 mol . 273K
volume (V), temperatura (T) e número de mols (n), estão
relacionadas pela EQUAÇÃO DE CLAPEYRON:
atm ᐉ
R = 0,082 –––––
pV=nRT mol K
em que R é uma constante de proporcionalidade, deno- Como R é uma constante física, ela tem unidade. Se
minada constante universal dos gases perfeitos ou variarmos a unidade de R, obtemos valores numéricos
constante de Clapeyron. diferentes, porém equivalentes. Dessa forma, temos:
O cálculo do número de mols (n) do gás é feito
dividindo-se a massa total do gás pela massa de um mol atm ᐉ joules calorias
desse gás: R = 0,082 –––––– = 8,31 –––––– 艑 2,0 –––––––––
mol K mol K mol K
m
n = –––
M
O cálculo da constante universal dos gases perfeitos

(R) é feito considerando-se um mol de gás nas condições
normais de temperatura e pressão (CNTp).
n = 1,0mol
p = 1,0atm
T = 0°C = 273K
As bolhas de ar, entre duas lâminas de plástico, protegem os objetos, tanto nos
V = 22,4ᐉ dias quentes como nos dias frios.
1. (MODELO ENEM) – O professor Galileu adora produzir um forte Após o impacto provocado, o professor Galileu instigou os alunos
impacto nos alunos. Antes do início de uma das partes da Física, a explicar o acontecido. Cinco alunos deram suas explicações,
ele desenvolveu um experimento que prendeu a atenção de mas apenas um deles acertou.
todos na sala de aula. A seguir, vamos descrever, na sequência, Analise as respostas e encontre a correta.
os passos realizados por ele. a) Aluno 1: “a água fria provoca uma contração do metal das
1. Mostrou aos alunos uma lata vazia com uma única abertura na paredes da lata”.
parte superior. b) Aluno 2:“a lata fica mais frágil ao ser aquecida”.
2. No interior dessa lata, colocou um pouco de água e, com a c) Aluno 3:“a pressão atmosférica amassa a lata”.
abertura superior livre, aqueceu-a na chama de um bico de d) Aluno 4:“o vapor frio, no interior da lata, puxa suas paredes
Bunsen, até a ebulição do líquido. para dentro”
3. Após a água ferver e o interior do recipiente ficar totalmente e) Aluno 5: “a força do impacto das gotas de água fria, no frágil
preenchido com vapor, a lata foi tampada e retirada do fogo. metal quente, provoca o amassar da lata”.
4. Em seguida, colocou a lata fechada na pia e despejou água fria Resolução
sobre o recipiente. O vapor, no interior da recipiente, comporta-se como um gás. Ao
Os alunos, estupefatos, observaram a lata se contrair abrupta- ser resfriado pela água fria, esse “gás” tem sua pressão
mente, ficando toda amassada. diminuída. A pressão atmosférica fica maior do que a pressão
interna. Assim, a atmosfera “empurra” as paredes externas,
amassando a lata.
Resposta: C
2. Num recipiente de volume igual a 41 litros, acham-se 5,0mols de

um gás perfeito à temperatura de 300K. Determine a pressão do
gás nestas condições.
atm ᐉ
Dado: R = 0,082 ––––––––.
mol K
Resolução
Do enunciado do problema, temos:
n = 5,0mols
V = 41 litros
T = 300K
178
Usando-se a Equação de Clapeyron, obtém-se:

pV = nRT
p . 41 = 5,0 . 0,082 . 300
p = 3,0atm
3. Um gás perfeito, a 27°C, está num recipiente de volume constan-

te, preso por uma válvula, que, deixando escapar gás, mantém
constante a pressão no interior do recipiente.
Resolução
Determinar até que temperatura devemos aquecer o sistema para
Seja A a área transversal do tubo. FA e FB são os módulos das
que um sexto do gás escape do recipiente.
forças aplicadas, normalmente, sobre as faces do pistão, como na
Resolução figura:
Na posição de equilíbrio:
V1 = V2 = cte. FA = FB
p1 = p2 = cte. Dividindo pela área A do êmbolo, temos:
Se um sexto do gás escapa do recipiente, temos: FA FB

––– = ––– ⇒ PA = PB
1 5 A A
n2 = n1 – ––– n1 = ––– n1
6 6 Da Equação de Clapeyron, vem:
Aplicando-se a Equação de Clapeyron às duas situações: pV = nRT

nRT
p = –––––
{ p1V1 = n1 R T1
p2V2 = n2 R T2
Portanto:
V
nA . R TA nB R TB
Dividindo membro a membro, obtemos: ––––––––– = ––––––––
VA VB
p1V1 n1 RT1
––––––– = –––––––– nA TA nB TB
p2V2 n2 R T2 ––––––– = –––––––
Aᐉ1 Aᐉ2
n1T1
1 = ––––– Usando os valores numéricos fornecidos, temos:
n2T2
1 x 300 2 x 600
n1T1 n1 . 300 –––––––– = ––––––––
T2 = –––––– = ––––––––– ᐉ1 ᐉ2
n2 5
––– n1
6 300 1 200
––––––– = ––––––––––
T2 = 360K ᐉ1 (100 – ᐉ1)
Retornando-se à escala Celsius, resulta: 100 – ᐉ1 = 4ᐉ1
␪2 = T2 – 273 = 360 – 273 100 = 5ᐉ1
␪2 = 87°C ᐉ1 = 20cm
L2 = 100 – ᐉ1 = 100 – 20
4. Um tubo fechado nas extremidades tem um pistão móvel em seu
interior que o separa em duas regiões. A secção transversal do tu- ᐉ2 = 80cm
bo é constante. Na região A, existe 1 mol de hidrogênio a 300K,
enquanto na região B, existem 2 mols de nitrogênio a 600K. Resposta: Na posição de equilíbrio, o pistão estará situado a
Determine a posição de equilíbrio do pistão. 20cm da parede esquerda e a 80cm da parede direita.
179
5. (UNIVALI-SC) – O comportamento de um gás real aproxima-se P PM MRT

do comportamento de gás ideal quando submetido a a) –––––– b) –––––– c) ––––––
MRT RT P
a) baixas temperaturas e baixas pressões.
b) altas temperaturas e altas pressões. RT PR
d) –––––– e) ––––––
c) baixas temperaturas independentemente da pressão. PM MT
d) altas temperaturas e baixas pressões.
e) baixas temperaturas e altas pressões. R = constante universal dos gases.
6. (MACKENZIE-SP) – Se a pressão de um gás confinado é duplica- 12. Dois balões esféricos, A e B, contêm massas iguais de um
da à temperatura constante, a grandeza do gás que duplicará será mesmo gás ideal e à mesma temperatura. O raio do balão A é
a) a massa. b) a massa específica. duas vezes maior do que o raio do balão B. Sendo pA e pB as
c) o volume. d) o peso. pressões dos gases nos balões A e B, pode-se afirmar que
e) a energia cinética. pA
–––– é igual a:
pB
7. (UEPB) – O estudo dos gases criou um modelo teórico, deno- 1 1 1 1
minado gás perfeito ou ideal. Vários cientistas contribuíram para a) ––– b) ––– c) ––– d) ––– e) 2
4 2 8 16
este estudo, dentre eles Boyle (1627-1691), Mariotte (1620-1684),
Gay-Lussac (1778-1850) e Charles (1746-1823). As situações abai- 13. Os pontos A, B, C, D, E e F do diagrama pressão x volume, dado
xo descritas referem-se a alguns fenômenos e teorias existentes a seguir, indicam seis situações diferentes de uma mesma massa
acerca do gás ideal. de gás perfeito.
Situação I – Ao introduzir ar num pneu vazio, os choques das
moléculas dos gases que compõem o ar com as paredes internas
do pneu fazem com que ele se encha.
Situação II – Dentro de um botijão, existe uma determinada
massa de gás a 300 K e sob pressão de 6 atm. Sendo o seu
volume invariável, ao esfriá-lo até 200 K, sua pressão passa a ser
de 3 atm.
Situação III – Ao emborcar uma lata vazia de refrigerante, depois
de aquecida, num recipiente com água fria, ela é amassada pela
pressão atmosférica, devido ao aumento de pressão em seu
interior, resultado do resfriamento do ar rarefeito que foi
aprisionado.
Para as situações supracitadas, é (são) verdadeira(s):
a) Somente II e III b) Somente I e II c) Somente I
d) Somente I e III e) I, II e III Em que pontos a temperatura do gás assumiu o mesmo valor?
a) A e C b) B e E c) D e F
8. (UFU-MG) – Um recipiente rígido de volume 4,1 litros é dotado de d) A e E e) B e F
uma válvula de segurança, cuja abertura ocorre quando a pressão
interna atinge 40atm. Se o recipiente contém 5 mols de um gás 14. (UFLA-MG) – Um botijão de oxigênio de 20 Iitros contém n mols
perfeito, a máxima temperatura no seu interior é: do gás a uma pressão de 10atm e temperatura de 27°C. Utilizou-se
a) 127°C b) 277°C c) 473°C de parte do gás, com o que a pressão caiu para 6atm (à mesma
d) 527°C e) 649°C temperatura). Quantos gramas do gás foram utilizados?
Dados:
atm ᐉ atm ᐉ
Dado: R = 0,082 –––––– R = 0,082 –––––––; M (O2) = 32g.
mol K
mol K
a) 3,2g b) 52,1g c) 104,1g
9. (UNISA-SP) – Um volume de 8,2 litros é ocupado por 64g de gás
d) 156,1g e) 1156,3g
oxigênio à temperatura de 27°C. Qual é a pressão no interior do
recipiente? Considere o oxigênio um gás perfeito.
15. (UNICAMP) – Um cilindro de 2,0 litros é dividido em duas partes
(1 mol de O2 = 32g)
por uma parede móvel fina, conforme o esquema abaixo. O lado
atm . ᐉ
冢R = 0,082 –––––––
mol K 冣
esquerdo do cilindro contém 1,0 mol de um gás ideal. O outro
lado contém 2,0 mols, do mesmo gás. O conjunto está à tempera-
tura de 300K. Adote R = 0,080atm . ᐉ/mol.K.
a) 2,0atm b) 3,0atm c) 4,0atm
d) 6,0atm e) 8,0atm
10. 4,0 mols de oxigênio estão num balão de gás. Há um vazamento

e escapam 8,0 x 1012 moléculas de oxigênio. Considerando-se
que o número de Avogadro é 6,02 x 1023, a ordem de grandeza do
número de moléculas que restam no balão é:
a) 1010 b) 1011 c) 1012 d) 1024 e) 1025
11. (UNIP-SP) – Considerando-se um gás de massa molar M, à a) Qual será o volume do lado esquerdo quando a parede móvel es-
pressão P e temperatura absoluta T, a sua densidade é dada pela tiver equilibrada?
fórmula: b) Qual é a pressão nos dois lados, na situação de equilíbrio?
180
3. Transformações de um gás hipérboles equiláteras assintóticas aos eixos coordenados

e que se afastam da origem à medida que a temperatura
Algumas grandezas que definem, que caracterizam o
é fixada em valores mais altos.
estado de uma dada massa de gás são chamadas de variá-
veis de estado. São, por exemplo, a temperatura, a pres-
são, o volume, a energia interna, a entalpia, a entropia
etc. Destas, as que nos interessam, por enquanto, são a
temperatura, a pressão e o volume.
Dizemos que uma dada massa de gás passa por uma
transformação quando pelo menos uma de suas variá-
veis de estado sofre alteração.
Aplicando-se a Equação de Clapeyron, conclui-se
que, para uma dada massa de gás perfeito, quando uma
variável de estado muda, pelo menos uma outra tem de
alterar-se.
Entre as transformações de um gás, devemos des-
tacar as seguintes:
a) Isotérmicas: são as que ocorrem a temperatura Rege as transformações a pressão constante
constante. A pressão e o volume variam. (p = cte.) de uma dada massa de gás perfeito.
b) Isobáricas (ou Isopiézicas): são as que ocorrem Na Equação de Clapeyron, fazendo n e p constantes,
a pressão constante. A temperatura e o volume variam. obtemos:
c) Isométricas (ou Isocóricas): são as que ocor- V = cte . T
rem a volume constante. A pressão e a temperatura va-
riam. nR
em que a constante é –––.
d) Adiabáticas: são as que ocorrem sem troca de p
calor com o meio externo.
Esta lei é conhecida por Lei de Gay-Lussac e pode
ser assim enunciada:
4. Leis físicas “Para uma dada massa de gás perfeito, mantida à
dos gases perfeitos pressão constante, o volume é diretamente propor-
cional à temperatura absoluta.”
As leis físicas dos gases regem algumas transfor- Se representarmos essa lei num diagrama do volume
mações particulares importantes, nas quais o número de em função da temperatura absoluta, obtemos retas pas-
mols do gás permanece constante (n = cte.). Essas leis sando pela origem, cujas inclinações diminuem à medida
estão implícitas na Equação de Clapeyron. que a pressão é fixada em valores maiores.
Rege as transformações a temperatura constante

(T = cte.) de uma dada massa de gás perfeito.
Na Equação de Clapeyron, fazendo n e T constantes,
obtemos:
p V = cte.
em que a constante é o produto n R T.

Esta lei é conhecida por Lei de Boyle e Mariotte e
pode ser assim enunciada:
“Para uma dada massa de gás perfeito, mantida à
temperatura constante, a pressão é inversamente Rege as transformações a volume constante (V = cte.)
proporcional ao volume.” de uma dada massa de gás perfeito.
Se representarmos essa lei num diagrama de pressão Na Equação de Clapeyron, fazendo n e V constantes,
em função do volume (diagrama de Clapeyron), obtemos obtemos:
181
p = cte . T
nR
em que a constante é –––.
V
Esta lei é conhecida por Lei de Charles e pode ser
assim enunciada.
“Para uma dada massa de gás perfeito, mantida a

volume constante, a pressão é diretamente propor-
cional à temperatura absoluta.”
Numa mistura de dois gases ideais, notamos que o
Se representarmos essa lei num diagrama da pressão número de mols da associação é igual à soma dos núme-
em função da temperatura absoluta, obtemos retas pas- ros de mols dos gases componentes.
sando pela origem cujas inclinações diminuem à medida
que o volume é fixado em valores maiores.
Da Equação de Clapeyron, temos:
pV
pV = n R T ⇒ n = ––––
RT
Rege qualquer transformação de uma dada massa Assim:
de gás perfeito (n = cte.).
Na Equação de Clapeyron, fazendo o número de pAVA pBVB
mols (n) constante, obtemos: nA = –––––– nB = ––––––
RTA RTB
pV
pV = nRT ⇒ –––– = nR = cte. pAVA pBVB
T
nC = –––––– + ––––––
Assim, quando uma dada massa de gás sofre uma RTA RTB
transformação, indo de um estado inicial (1) para um pV
estado final (2), vale a relação denominada lei geral dos mas: nC = ––––
gases: RT
p1V1 p2V2 Portanto:
–––––– = ––––––
T1 T2
pV pAVA pBVB
–––– = –––––– + ––––––
T TA TB
5. Mistura de gases perfeitos
Suponhamos sempre que os gases misturados não Atenção sobre o fato de que esse raciocínio vale
reagem quimicamente entre si. também para mistura de mais de dois gases perfeitos.
182
16. (UNESP-MODELO ENEM) – Por meio de uma bomba de ar shuttles, porque a essa altitude as moléculas que existem são em
comprimido, um tratorista completa a pressão de um dos pneus número muito reduzido.
do seu trator florestal, elevando-a de 1,1.105 Pa (16Ibf/poI2) para Adaptado de Atkins, P., Jones, L., CHEMISTRY – Molecules, Matter,
1,3.105 Pa (19Ibf/pol2), valor recomendado pelo fabricante. Se and Change, 3rd edition, W. H.
durante esse processo a variação do volume do pneu é Freeman and Company, New York, 1997.
desprezível, o aumento da pressão no pneu se explica apenas por
causa do aumento A tabela seguinte fornece dados sobre a pressão atmosférica em
a) da temperatura do ar, que se eleva em 18% ao entrar no pneu, diferentes altitudes:
pois o acréscimo do número de mols de ar pode ser Altitude Pressão média, Massa molar média,
considerado desprezível. (m) p (bar) M (g.mol–1)
b) da temperatura do ar, que se eleva em 36% ao entrar no pneu,
pois o acréscimo do número de mols de ar pode ser 2000 0,8 28,96
considerado desprezível.
10 000 0,2 28,96
c) do número de mols de ar introduzidos no pneu, que aumenta
em 18%, pois o acréscimo de temperatura do ar pode ser (CRC–Handbook of Chemistry and Physics.73rded,1992)
considerado desprezível.
d) do número de mols de ar introduzidos no pneu, que aumenta Considere que o ar tem comportamento ideal e, portanto, vale a
em 28%, pois o acréscimo de temperatura do ar pode ser expressão
considerado desprezível. P = (␳/M)RT, em que ␳ = densidade, R = constante universal dos
e) do número de mols de ar introduzidos no pneu, que aumenta gases e T = temperatura termodinâmica, em kelvin.
em 36%, pois o acréscimo de temperatura do ar pode ser
considerado desprezível. Com base nessas informações e na leitura do texto, pode-se
Resolução estimar que a densidade do ar dentro da cabina de um avião
Resposta: C voando a 10 000m de altitude, quando comparada à densidade do
ar externo à aeronave é, aproximadamente,
a) a mesma. b) duas vezes maior.
17. (MODELO ENEM) – A figura representa as várias zonas em que c) três vezes maior. d) três vezes e meia maior.
a atmosfera se divide e a variação da temperatura com a altitude, e) quatro vezes maior.
na atmosfera. Resolução
Usando-se a expressão fornecida, temos:
␳
冢冣
p = ––– RT
M
Assim, sendo M e R constantes, vem

p1 ␳1 T1
––– = ––– –––
p2 ␳2 T2
Substituindo-se os valores encontrados na tabela e no gráfico,

temos:
0,8 ␳1 . (273 – 23)
––– = ––– ––––––––––
0,2 ␳2 (273 – 48)
␳1 . 250 ␳1 . 1,1
4 = ––– ––––– ⇒ 4 = –––
␳2 225 ␳2
␳1
––– 艑 3,6
␳2
Resposta: D
18. Uma dada massa de gás perfeito está num recipiente de volume
8,0 litros, à temperatura de 7,0°C, exercendo a pressão 4,0atm.
A camada inferior da atmosfera é designada por troposfera. Nesta Reduzindo-se o volume a 6,0ᐉ e aquecendo-se o gás, a sua pres-
camada, a temperatura diminui com o aumento de altitude. são passou a ser 10atm.
Aproximadamente entre 11km e 16km de altitude, situa-se a Determine a que temperatura o gás foi aquecido.
tropopausa, uma zona em que a temperatura permanece Resolução
constante e perto de -55°C. A cerca de 16km de altitude, inicia-se
a estratosfera. Nesta camada, a temperatura aumenta, até atingir
cerca de 0°C na estratopausa, aproximadamente a 45 km acima p1 = 4,0atm p2 = 10atm
do nível do mar. Acima dessa altitude, na mesosfera, a
V1 = 8,0ᐉ V2 = 6,0ᐉ
temperatura torna a diminuir, até se atingir a mesopausa.
Em seguida, na termosfera, a temperatura aumenta e, a altitudes ␪1 = 7,0°C ␪2 = ?
muito elevadas, pode ser superior a 1000°C. Contudo, os
Como a massa de gás se mantém constante, podemos aplicar a
astronautas não são reduzidos a cinzas quando saem dos space
lei geral dos gases perfeitos. Assim:
183
p1 V1 p2 V2 Resolução
–––––––– = –––––––– a) Do enunciado, temos:
T1 T2
V1 = 1,0ᐉ V2 = V1 = cte.
sendo: p1 = 2,0atm p2 = 2p1 = 4,0atm
T1 = ␪1 + 273 = 7,0 + 273 T1 = 200K T2 = ?
Usando-se a lei geral dos gases, resulta:
T1 = 280K
p1V1 p2V2
Substituindo, na equação, os valores fornecidos, temos: –––––– = ––––––
T1 T2
4,0 . 8,0 10 . 6,0
––––––––– = ––––––––
280 T2 2,0 4,0
––––– = –––––
T2 = 525K 200 T2
Voltando para a escala Celsius, obtemos: T2 = 400K

␪2 = T2 – 273 = 525 – 273
b) Na transformação isotérmica, temos:
␪2 = 252°C
V2 = 1,0ᐉ V3 = ?
p2
19. Um gás perfeito está num recipiente de volume constante, a 0°C p2 = 4,0atm p3 = –––– = 1,0atm
e sob pressão de 6,0atm. Deixando-se escapar 20% do gás nele 4
contido e aquecendo-se o gás restante a 91°C, qual é a nova T2 = 400K T3 = T2 = cte.
pressão do gás?
Resolução Usando-se a lei geral dos gases, resulta:
p2V2 p3V3
V = cte. p2 = ? –––––– = ––––––
T2 T3
p1 = 6,0atm ␪2 = 91°C
␪1 = 0°C n2 = 0,8n1 4,0 . 1,0 = 1,0 . V3
n1 = n
V3 = 4,0ᐉ
Como a massa do gás variou, não podemos aplicar a Lei Geral dos
Gases. Assim, vamos aplicar a Equação de Clapeyron duas vezes:
p1 V1 = n1 R T1 c) Na transformação isobárica, resulta:
{p2 V2 = n2 R T2 V3 = 4,0ᐉ V4 = V3 – 60% V3 = 1,6ᐉ
Dividindo-se membro a membro, resulta: p3 = 1,0atm p4 = p3 = cte
p1 V1 n1 R T1 T3 = 400K T4 = ?
–––––– = –––––––
p2 V2 n2 R T2
Usando-se a lei geral dos gases, vem:
p1 n1T1 p3V3 p4V4
–––– = ––––––– –––––– = ––––––
p2 n2 T2 T3 T4
Sendo: 4,0 1,6

––––– = –––––
T1 = ␪1 + 273 = 0 + 273 ⇒ T1 = 273K 400 T4
T2 = ␪2 + 273 = 91 + 273 ⇒ T2 = 364K T4 = 160K

Obtemos:
d) Colocando-se num diagrama pressão x volume os dados obti-
6,0 n1 . 273 dos nos itens a, b e c, resulta:
–––– = ––––––––––––
p2 0,80 n1 . 364
6,0 3
–––– = –––––––––
p2 0,80 . 4
p2 = 6,4atm
20. Uma dada massa de gás está num estado inicial (1) definido por:
p1 = 2,0atm; V1 = 1,0ᐉ e T1 = 200K
a) Aquece-se o gás isometricamente do estado (1) ao estado (2)
até que a pressão dobre. Calcule a temperatura T2.
b) Expande-se o gás isotermicamente do estado (2) ao estado (3)
até que a pressão fique 4 vezes menor. Calcule o volume V3.
c) Comprime-se o gás isobaricamente do estado (3) ao estado (4)
até que o volume se reduza de 60%. Calcule a temperatura T4.
d) Faça o gráfico que representa as transformações acima num
diagrama da pressão em função do volume.
184
21. (UFRN-MODELO ENEM) – O departamento de Física da UFRN pressão e precisa ser recarregado. Quando a pressão interna for
possui um laboratório de pesquisa em criogenia, ciência que igual a 160 atm, a porcentagem da massa inicial de gás que terá
estuda a produção e manutenção de temperaturas muito baixas, escapado corresponderá a
contribuindo para o entendimento das propriedades físicas e a) 10% b) 20% c) 40% d) 60% e) 75%
químicas de sistemas nessas temperaturas pouco comuns.
Nesse laboratório, uma máquina retira o gás nitrogênio do ar e o Considere que a temperatura permanece constante e o CO2,
liquefaz a uma temperatura de 77,0 Kelvin (K), que corresponde a nessas condições, comporta-se como um gás perfeito.
-196 graus Celsius (°C). Nessa temperatura, o nitrogênio é usado
cotidianamente pelos departamentos de Física, Química e 1 atm = 105 N/m2
Biologia da UFRN, como também por pecuaristas no congela-
mento de sêmen para reprodução animal.
O nitrogênio líquido, em virtude de suas características, necessita ser 25. (FUVEST-SP) – Em algumas situações de resgate, bombeiros
manuseado adequadamente, pois pessoas não habilitadas poderão utilizam cilindros de ar comprimido para assegurar condições
sofrer acidentes e serem vítimas de explosões. Imagine uma pessoa normais de respiração em ambientes com gases tóxicos. Esses
desavisada transportando, num dia quente de verão, uma porção de cilindros, cujas características estão indicadas na tabela, alimen-
nitrogênio líquido numa garrafa plástica fechada. Como o nitrogênio tam máscaras que se acoplam ao nariz. Quando acionados, os ci-
líquido tende a entrar em equilíbrio térmico com o ambiente, mudará lindros fornecem para respiração, a cada minuto, cerca de 40 litros
de estado físico, transformando-se em um gás. A tendência desse de ar, à pressão atmosférica e temperatura ambiente. Neste caso,
gás é se expandir, podendo provocar uma explosão. a duração do ar de um desses cilindros seria de aproximadamente
a) 20 minutos. b) 30 minutos. c) 45 minutos.
Admita que d) 60 minutos. e) 90 minutos.
I. o nitrogênio rapidamente se transforma em gás ideal, ou seja,
obedece à equação pV = nRT.
CILINDRO PARA RESPIRAÇÃO
Em que R é a constante universal dos gases e p, V, T, n são,
respectivamente: a pressão, o volume, a temperatura e o
número de moIs do gás; Gás ar comprimido
II. a pressão interna e a temperatura iniciais desse gás são, Volume 9 litros
respectivamente, 2,00 . 105 pascal (Pa) e 78,0K;
Pressão interna 200 atm
III. a garrafa utilizada pode suportar uma pressão máxima de
4,00 . 105 Pa e o volume dessa garrafa não varia até que a Pressão atmosférica local = 1 atm
explosão ocorra. A temperatura durante todo o processo permanece constante.
Diante dessas considerações, é correto dizer que a
temperatura limite (do gás nitrogênio) que a garrafa suporta
sem explodir é 26. (FUVEST-SP) – Um congelador doméstico (“freezer”) está regu-
a) 273K b) 156K c) 234K d) 128K e) 96K lado para manter a temperatura de seu interior a –18°C. Sendo a
temperatura ambiente igual a 27°C (ou seja, 300 K), o congelador
22. (FGV-SP-MODELO ENEM) – Na Coreia do Sul, a caça submarina é aberto e, pouco depois, fechado novamente. Suponha que o
é uma profissão feminina por tradição. As Haenyeos são “mulhe- “freezer” tenha boa vedação e que tenha ficado aberto o tempo
res-peixe” que ganham dinheiro mergulhando atrás de frutos do necessário para o ar em seu interior ser trocado por ar ambiente.
mar e crustáceos. O trabalho é realizado com equipamentos Quando a temperatura do ar no “freezer” voltar a atingir –18°C, a
precários, o que não impede a enorme resistência dessas pressão em seu interior será
senhoras que conseguem submergir por dois minutos e descer a) cerca de 150% da pressão atmosférica.
até 20 metros abaixo da superfície. b) cerca de 118% da pressão atmosférica.
(Revista dos Curiosos, 2003) c) igual à pressão atmosférica.
d) cerca de 85% da pressão atmosférica.
Supondo que o ar contido nos pulmões de uma dessas mergu- e) cerca de 67% da pressão atmosférica.
lhadoras não sofresse variação significativa de temperatura e se
comportasse como um gás ideal, e levando em conta que a 27. (UFMG) – Uma pessoa, antes de viajar, calibra a pressão dos
pressão exercida por uma coluna de água de 10m de altura pneus com 24,0 Ib/pol2 (libras por polegada quadrada). No mo-
equivale aproximadamente a 1atm, a relação entre o volume do ar mento da calibração, a temperatura ambiente (e dos pneus) era de
contido nos pulmões, durante um desses mergulhos de 20m de 27°C. Após ter viajado alguns quilômetros, a pessoa para em um
profundidade, e o volume que esse ar ocuparia no nível do mar, se posto de gasolina. Graças ao movimento do carro, os pneus
a estrutura óssea e muscular do tórax não oferecesse resistência, esquentaram-se e atingiram uma temperatura de 57°C. A pessoa
corresponderia, aproximadamente, a resolve conferir a pressão dos pneus. Considere que o ar dentro
Dado: pressão na superfície da água = 1atm dos pneus é um gás ideal e que o medidor do posto na estrada
a) 0,3 b) 0,5 c) 0,6 d) 1,0 e) 1,5 está calibrado com o medidor inicial. Considere, também, que o
volume dos pneus permanece o mesmo.
23. (PUCCAMP) – Um gás perfeito é mantido em um cilindro fecha- A pessoa medirá uma pressão de:
do por um pistão. Em um estado A, as suas variáveis são: a) 24,0 Ib/pol2 b) 26,4 Ib/pol2
pA = 2,0atm; VA = 0,90 litros; ␪A = 27°C. Em outro estado, B, a c) 50,7 Ib/pol 2 d) 54,0 Ib/pol2
temperatura é ␪B = 127°C e a pressão é pB = 1,5atm. Nessas
condições, o volume VB, em litros, deve ser: 28. (EEM-SP) – Um recipiente cilíndrico é hermeticamente fechado
a) 0,90 b) 1,2 c) 1,6 d) 2,0 e) 2,4 por uma tampa circular capaz de se deslocar sem atrito ao longo
das paredes. Contém no seu interior um gás que, à temperatura
24. (FUVEST-SP) – Um extintor de incêndio cilíndrico, contendo CO2, T = 250K, mantém a tampa à altura h = 0,800m. Baixando-se a
possui um medidor de pressão interna que, inicialmente, indica temperatura ao valor T’ = 125K, a tampa passa a ficar à altura h’.
200 atm. Com o tempo, parte do gás escapa, o extintor perde Calcule essa altura h’.
185
29. (FUVEST-SP) – O cilindro da figura é fechado por um êmbolo que Qual é, em milímetros, o valor do comprimento L do tubo? (Des-
pode deslizar sem atrito e está preenchido por uma certa quan- prezar a pressão de vapor do mercúrio na parte superior do tubo.)
tidade de gás que pode ser considerado como ideal. À tem- a) 760 b) 762 c) 764 d) 766 e) 768
peratura de 30°C, a altura h, na qual o êmbolo se encontra em
equilíbrio, vale 20cm (ver figura; h refere-se à superfície inferior
do êmbolo). 33. (EN-RJ) – Um cilindro de secção reta constante de área 80cm2
contém um gás perfeito, fechado por um pistão de peso igual a
20N. Na figura (1), a distância a do pistão à extremidade fechada
do cilindro é de 2cm. Invertendo-se a posição do cilindro,
conforme mostrado na figura (2), verifica-se que a distância b do
pistão à extremidade fechada do cilindro é de 4cm. A pressão
externa, desconhecida, é a mesma nas duas posições.
Se, mantidas as demais características do sistema, a temperatu-

ra passar a ser 60°C, o valor de h variará de, aproximadamente,
a) 5% b) 10% c) 20% d) 50% e) 100% Considerando-se a temperatura do gás constante, a pressão
absoluta, em pascal, exercida pelo gás na figura (2) é:
30. (MACKENZIE-SP) – Certa massa de um gás ideal sofre uma a) 2,5 . 102 b) 5,0 . 102 c) 2,0 . 103
transformação na qual a sua temperatura em graus Celsius é d) 5,0 . 103 e) 1,0 . 104
duplicada, a sua pressão é triplicada e seu volume é reduzido à

metade. A temperatura do gás no seu estado inicial era de:
a) 127K b) 227K c) 273K d) 546K e) 818K
34. O gráfico volume x temperatura mostra três transformações
31. (PUC-MG) – A figura abaixo mostra três recipientes esféricos, ini- sofridas por um gás ideal. Considere todas as temperaturas na
cialmente vazios, indeformáveis, de volumes V, V/2 e V/4, respec- escala Kelvin.
tivamente. Eles são interligados, mas podem funcionar indepen-
dentemente com o auxílio das válvulas 1 e 2.
Observe a seguinte sequência de operações, consideradas isotér-

micas:
1. Com as válvulas 1 e 2 fechadas, coloca-se no recipiente A um
certo gás ideal, até que a pressão alcance o valor P. Qual das alternativas seguintes melhor representa as três trans-
formações em um gráfico pressão x volume?
2. Abre-se a primeira válvula, mantendo-se a segunda fechada.
3. Abre-se, também, a segunda válvula.
As pressões, medidas no recipiente A, logo após as operações 2
e 3, valem, respectivamente:
a) P, P/6 b) P/2, P/4 c) 2P/3, 3P/4
d) 3P/5, 2P e) 2P/3, 4P/7
32. (FCMSC-SP) – Um barômetro de mercúrio, com escala graduada

em mmHg, fornece leituras erradas da pressão atmosférica pelo
fato de conter um pouco de ar na parte superior do tubo. Num
local onde o valor da pressão é de 759mmHg, o barômetro indica 35. (MACKENZIE-SP) – Certa massa de gás perfeito, que se en-
754mmHg; noutro local, onde o valor real é de 744mmHg, ele contra inicialmente no estado A, sofre compressão isotérmica até
indica 742mmHg. Considere que o ar e o mercúrio estão sempre o estado B, e a seguir uma expansão isobárica até o estado C.
em equilíbrio térmico e que as medições foram feitas à mesma Num diagrama p x V, o gráfico que melhor representa estas
temperatura (aproximadamente 20°C). transformações é:
186
Abrindo-se as válvulas I e II, os gases misturam-se, sem reações

químicas, mantendo a temperatura constante. Qual a pressão
final da mistura?
39. Na figura, encontramos esquematizados dois recipientes conecta-

dos e separados por uma válvula, inicialmente fechada. Um mes-
mo gás ideal ocupa ambos os recipientes, conforme a indicação.
36. (UNIMEP-SP) – O diagrama abaixo representa hipérboles equi- Se abrirmos a válvula, a que temperatura deve ser elevada a
láteras de um gás perfeito que sofre as transformações AB e BC mistura para que no final tenhamos uma pressão de 10atm?
indicadas.
40. Um balão de vidro indilatável contém 10g de oxigênio a 77°C. Este

balão poderá suportar, no máximo, uma pressão interna três
vezes superior à que está submetido. Se a temperatura do gás for
reduzida a 27°C, a máxima quantidade de oxigênio que ainda pode
ser introduzida no balão, nesta temperatura, é de:
a) 25g b) 30g c) 40g d) 60g e) 90g
Sabe-se que:
VB = 2 VA pA = 4,0 . 103 Pa 41. Os recipientes A e B indicados a seguir são hermeticamente
T3 = 1,5 T1 TA = 400K fechados, termicamente isolados e separados por uma válvula T.
VA = 2,0m3 No recipiente A, existe um gás perfeito a 27°C e, no recipiente B,
existe vácuo nos dois compartimentos. O êmbolo que divide ao
Pode-se afirmar que a pressão no ponto B e a temperatura no meio o recipiente B pode deslizar sem atrito.
ponto C são, respectivamente:
a) 2,0 . 103 Pa e 400K b) 4,0 . 103 Pa e 500K
3
c) 2,0 . 10 Pa e 500K d) 4,0 . 103 Pa e 600K
e) 2,0 . 103 Pa e 600K
37. (UNIRIO-RJ) – Com base no gráfico abaixo, que representa uma

transformação isovolumétrica de um gás ideal, podemos afirmar
que no estado B a temperatura é de:
a) 273K b) 293K c) 313K d) 586K e) 595K
A mola possui constante elástica igual a 8,3 . 105N/m. Se abrirmos

a válvula e deixarmos entrar no compartimento B 10 mols de gás
a 27°C, de quanto será comprimida a mola?
Dado: R = 8,3J/mol K
a) 2,0cm b) 5,0cm c) 10cm d) 15cm e) 20cm
42. (PUC-SP) – Uma caixa cúbica de lado L = 0,4m é dividida em duas

partes, I e Il, de volumes iguais, por uma fina placa retangular.
Inicialmente, a temperatura em ambas é de 27°C, encerrando
38. Na figura, encontramos três recipientes que contêm gases perfei- cada uma delas um gás ideal em quantidades iguais, 0,02 mol.
tos a uma mesma temperatura. As pressões e os volumes estão A seguir, aquece-se o gás contido em I a 47°C, mantendo-se o gás
indicados. contido em II a 27°C.
187
– a pressão interna do freezer tem de ser menor do que a

pressão ambiente (pressão atmosférica).
Assim, o professor pôde concluir que o estudante
a) falou a verdade na primeira versão, pois só essa redução do
volume é compatível com a condição de que a pressão interna
do freezer seja menor do que a pressão ambiente.
b) falou a verdade na segunda versão, pois só essa redução do
volume é compatível com a condição de que a pressão interna
do freezer seja menor do que a pressão ambiente.
c) mentiu nas duas versões, pois ambas implicariam uma pres-
são interna do freezer maior do que a pressão ambiente.
Supondo-se que não haja deformação da placa e que a quantidade d) mentiu nas duas versões, pois é impossível a diminuição do
molar em cada uma das partes seja mantida, a força resultante volume da garrafa, qualquer que seja a relação entre a pressão
dos gases sobre a placa tem valor aproximadamente igual a: interna do freezer e a pressão ambiente.
a) 132,8N b) 124,5N c) 62,4N e) mentiu nas duas versões, pois nessas condições a garrafa
d) 16,6N e) 8,3N teria estufado ou até mesmo explodido, tendo em vista que a
Dado: R = 8,31J/mol . K pressão interna do freezer é muito menor do que a pressão
ambiente.
43. (UFPE) – A figura abaixo mostra um pistão contendo gás hélio, 45. (FUVEST-SP) – Para medir a temperatura T0 do ar quente
estando o êmbolo acoplado a uma alavanca. A extremidade F da expelido, em baixa velocidade, por uma tubulação, um jovem
alavanca é fixa e a extremidade H suporta um peso de intensidade utilizou uma garrafa cilíndrica vazia, com área da base S = 50 cm2
P. O sistema está em equilíbrio a 300K. e altura H = 20 cm. Adaptando um suporte isolante na garrafa, ela
foi suspensa sobre a tubulação por alguns minutos, para que o ar
expelido ocupasse todo o seu volume e se estabelecesse o equilí-
brio térmico a T0 (Situação 1). A garrafa foi, então, rapidamente
colocada sobre um recipiente com água mantida à temperatura
ambiente TA = 27°C. Ele observou que a água do recipiente subiu
até uma altura h = 4 cm, dentro da garrafa, após o ar nela contido
entrar em equilíbrio térmico com a água (Situação 2).
Se a temperatura do gás no pistão aumentar para 400K, qual

deve ser o valor do peso a ser acrescentado em H para que o sis-
tema continue em equilíbrio na mesma posição?
(FG = GH; o peso da alavanca é desprezível.)
a) 4P/3 b) 3 P/4 c) 2P/3 d) P/4 e) P/3
44. (UNIFESP-MODELO ENEM) – Um estudante contou ao seu Estime

professor de Física que colocou uma garrafa PET vazia, fechada, no a) o volume VA, em cm3, do ar dentro da garrafa, após a entrada
freezer de sua casa. Depois de algum tempo, abriu o freezer e da água, na situação 2.
verificou que a garrafa estava amassada. Na primeira versão do b) a variação de pressão ⌬P, em N/m2, do ar dentro da garrafa,
estudante, o volume ter-se-ia reduzido de apenas 10% do volume entre as situações 1 e 2.
inicial; em uma segunda versão, a redução do volume teria sido c) a temperatura inicial T0, em °C, do ar da tubulação,
bem maior, de 50%. Para avaliar a veracidade dessa história, o desprezando a variação de pressão do ar dentro da garrafa.
professor aplicou à situação descrita a lei geral dos gases perfeitos,
fazendo as seguintes hipóteses, que admitiu verdadeiras: NOTE E ADOTE
– a garrafa foi bem fechada, à temperatura ambiente de 27°C, e pV = nRT
não houve vazamento de ar; T(K) = T(°C) + 273
– a temperatura do freezer era de –18°C; Pressão exercida na coluna líquida = µgh
– houve tempo suficiente para o equilíbrio térmico;
5) D 6) B 7) C 8) A 9) D 10) D 11) B 34) B 35) E 36) E 37) D 38) 5,0atm
12) C 13) D 14) C 15) a) 艑 0,67ᐉ 21) B 22) A 39) 227°C 40) A 41) C 42) D 43) E 44) A
b) 36atm
45) a) 8,0 . 102cm3
23) C 24) B 25) C 26) D 27) B 28) 0,400m b) –4,0 . 102N/m2
c) 102°C
29) B 30) D 31) E 32) B 33) D
188
CAPÍTULO
Termologia
6 TERMODINÂMICA
A máquina observada na foto transforma energia térmica

em energia mecânica que, por sua vez, é transformada em
energia elétrica capaz de acender a lâmpada colocada à
esquerda da figura.
N
a Termodinâmica, estudaremos as relações e as
transformações de dois tipos de energia em trânsito, o calor
(energia térmica) e o trabalho (energia mecânica). Será
abordada uma Termodinâmica mais simples, aquela que utiliza os gases perfeitos como sistema físico
intermediário, um aspecto teórico que muito se aproxima das situações reais sem as complicações que
poderão ser estudadas posteriormente.
Este capítulo, um dos mais importantes da Termologia, será construído a partir do cálculo do trabalho
trocado entre o sistema físico (gás perfeito) e a parte externa, por meio de um gráfico pressão x volume. O
trabalho trocado é numericamente igual à área calculada abaixo do gráfico. Conceituaremos a energia interna
do sistema e, na resolução de vários exercícios, aplicaremos o Primeiro Princípio da Termodinâmica.
A apresentação da máquina térmica, principalmente aquela que funciona obedecendo ao Ciclo de Carnot,
é de extrema importância para os alunos que pretendem cursar algo na área de Exatas ou de Biológicas.
1. Noções iniciais
é a ciência que estuda a relação é aquele que não
entre a energia térmica em trânsito (calor) e a energia troca energia (fisicamente isolado) nem
mecânica em trânsito (trabalho) trocadas por um sistema matéria (quimicamente isolado) com o
com o meio externo e a relação entre essas trocas e as meio.
propriedades do sistema.
A garrafa térmica é um exemplo de sistema isolado.
O dispositivo ao lado encontra-se suspenso

por uma corda. A água em seu interior entra
de um sistema é aquele que o
em ebulição. Os vapores escapam pelos dutos sistema troca com o meio externo.
laterais, provocando um movimento de rota- No nosso estudo, sempre que falarmos em trabalho
ção no recipiente. Essa experiência foi
realizada pela primeira vez por Heron em Ale- de um sistema, subentenderemos o trabalho externo do
xandria, no ano 150 d.C. sistema.
189
2. Trabalho de um sistema Resumindo:

numa transformação qualquer Volume aumenta ⇔ sistema realiza trabalho (␶ > 0)
A transformação de energia térmica (calor) em ener- Volume diminui ⇔ sistema recebe trabalho (␶ < 0)
gia mecânica (trabalho) e vice-versa exige sempre um Volume constante ⇔ sistema não troca trabalho (␶ = 0)
sistema físico intermediário. No nosso estudo, esse siste-
ma intermediário será um gás perfeito. Observando o diagrama abaixo, verificamos que o
Dessa forma, consideremos um sistema (gás perfei- sistema ao passar de (1) para (2) realiza trabalhos di-
to) passando do estado (1) para o estado (2), conforme a ferentes quando o faz seguindo “caminhos” diferentes.
transformação indicada no diagrama.
Pode-se demonstrar que: Assim, podemos concluir que:

O trabalho de um sistema ao passar do estado (1) a
A = ␶1,2 (numericamente) um estado (2) não depende apenas dos estados inicial
e final, mas também dos estados intermediários.
A área (A) do diagrama (pressão x volume ou dia-
grama de Clapeyron) de qualquer transformação sofrida
por um sistema (gás perfeito) mede o trabalho que esse
3. Trabalho de um sistema num
sistema troca com o meio nesta transformação. ciclo (transformação fechada)
Quando há um aumento de volume do sistema, então Consideremos um sistema (gás perfeito) percorrendo
este está deslocando o meio (está “empurrando” o meio). o ciclo indicado ao lado, saindo da situação (1), indo para
Neste caso, o sistema realiza trabalho sobre o meio. (2) e voltando ao estado (1).
Analisaremos o trabalho do sistema em cada uma

das transformações e, em seguida, no ciclo.
Quando há uma diminuição de volume do sistema,
então é o meio que está deslocando o sistema. Neste ca-
so, o meio realiza trabalho sobre o sistema ou o siste- Nesta transformação, o sistema realiza (volume
ma recebe trabalho do meio. aumenta) o trabalho, dado numericamente pela área A1.
190
Nesta transformação, o sistema recebe (volume di-

minui) o trabalho, dado numericamente pela área A2.
Assim: ␶ciclo = Ainterna (numericamente)

Observemos que:
– Se o ciclo é percorrido no sentido horário (como
o da figura), A1 é maior que A2 e o sistema acaba reali-
zando trabalho ao percorrer o ciclo.
– Se o ciclo é percorrido no sentido anti-horário
(ao contrário do da figura), A1 é menor que A2 e o siste-
Ao percorrer o ciclo, o sistema realiza o trabalho A1 ma acaba recebendo trabalho ao percorrer o ciclo.
e recebe de volta o trabalho A2. Portanto, o saldo de Resumindo:
trabalho trocado pelo sistema com o meio, ao percorrer o Sentido horário ⇔ sistema realiza trabalho (␶ > 0)
ciclo, é dado pela área A = A1 – A2, interna ao ciclo. Sentido anti-horário ⇔ sistema recebe trabalho (␶ < 0)
1. (UELON-PR) – O gráfico representa a pressão p, em função do vo- 2. Dois mols (n = 2) de um gás perfeito sofrem um aquecimento iso-
lume V, para um gás perfeito contido num cilindro fechado por um bárico, variando a temperatura de ⌬T = 10K. Dada a constante uni-
pistão móvel. versal dos gases perfeitos R = 8,3 J/molK, calcule o trabalho rea-
lizado pelo gás nesta transformação.
Resolução
Representemos a transformação isobárica referida no enunciado
num diagrama pressão x volume.
O trabalho realizado pelo gás entre os pontos A e B, em joules, é

de:
a) 400 b) 200 c) 60 d) 40 e) 20
Resolução Para calcular o trabalho, basta calcular a área hachurada no diagra-
No diagrama pressão x volume, o trabalho trocado entre o gás perma:
feito e o meio externo é determinado pela área abaixo do gráfico. ␶AB = p(V2 – V1) = p . ⌬V
Como se trata de gás perfeito, podemos aplicar a Equação de Cla-
peyron.
Assim:
冦pV
p V2 = n R T2
1 = n R T1
Subtraindo membro a membro, temos:

p(V2 – V1) = n R (T2 – T1)
p⌬V = n R ⌬ T
␶AB = [área do trapézio]
N
␶AB = p⌬V = n R ⌬ T (trabalho numa transformação isobárica)
(6 . 104 + 4 . 104) . 4 . 10–3
␶AB = –––––––––––––––––––––––– (J) ␶AB = 200J
2 ␶AB = 2 . 8,3 . 10 (J) ␶AB = 166J
Resposta: B
191
3. Um gás perfeito sofre a transformação ABCA indicada no diagra- Assim:

ma a seguir.
␶BC = ␶p = p . ⌬V = p (VC – VB)
Determinar
␶BC = 1,0 . 104 (2,0 – 8,0) (J)
␶BC = – 6,0 . 104J
O trabalho é recebido pelo sistema (␶ < 0), pois de B para C o vo-

lume do sistema gasoso diminui.
Transformação CA
Nesta transformação, o sistema não realiza nem recebe trabalho,
pois o seu volume mantém-se constante.
Assim: ␶CA = 0
a) o trabalho do sistema nas transformações AB, BC e CA, afir-
mando, em cada caso, se é realizado ou recebido. b) O saldo de trabalho do sistema ao percorrer o ciclo é dado pela
b) o trabalho do sistema ao percorrer o ciclo ABCA, neste sentido, área interna ao ciclo.
afirmando se é realizado ou recebido.
Resolução
a) O trabalho do sistema em cada transformação é dado pela
área abaixo do gráfico da transformação considerada até o ei-
xo dos volumes.
Assim:
Transformação AB
␶AB =N A1 = [área do trapézio]
(4,0 . 104 + 1,0 . 104) . 6,0
␶AB = –––––––––––––––––––––––– (J) ␶AB = 1,5 . 105 J
2
␶ABCA = ␶ciclo = Aint = [área do triângulo]
6,0 . 3,0 . 104

␶ABCA = ––––––––––––– (J) ␶ABCA = 9,0 . 104J
2
O trabalho é realizado pelo sistema (␶ > 0), pois o ciclo está

sendo percorrido no sentido horário.
Uma outra maneira de se calcular o trabalho na transformação
O trabalho é realizado pelo sistema (␶ > 0), pois de A para B o ABCA é a seguinte:
volume do sistema gasoso aumenta.
Transformação BC ␶ABCA = ␶AB + ␶BC + ␶CA
Neste caso, em vez de calcularmos pela área do diagrama, po-
demos usar a expressão do trabalho numa isobárica, pois de B ␶ABCA = 15 . 104 – 6,0 . 104 + 0 (J) ␶ABCA = 9,0 . 104J
para C a pressão do gás mantém-se constante.
4. (UFES) – Um gás é submetido ao processo ABC indicado no gráfico

p x V.
Se a temperatura absoluta inicial é T, então o trabalho realizado

pelo gás, durante o processo, é:
O trabalho total realizado pelo gás, nesse processo, é: a) pV/2 b) 3 pV/2 c) 2 pV d) 4 pV e) 9 pV
a) 4 p0 V0 b) 6 p0 V0 c) 9 p0 V0
d) – 4 p0 V0 e) – 9 p0 V0
6. (FATEC-SP) – Um gás ideal, inicialmente no estado A
(pA = 1,0 x 105N/m2; VA = 2,0 x 10–3m3; TA = 300K), sofre uma
5. (UPF-RS) – O gráfico mostra como a pressão p varia com o volu- transformação isobárica até o estado B (pB; VB; TB = 600K). Essa
me V, quando a temperatura de uma dada massa de gás perfeito transformação está representada no gráfico pressão x volume a
é alterada. seguir.
192
Determine
a) a temperatura do gás no estado C.
b) o trabalho realizado pelo gás na transformação AB.
10. (UFES) – Dois mols de um gás ideal, inicialmente no estado A,

são levados ao estado B por meio da transformação mostrada na
figura.
Quanto vale o trabalho realizado pelo gás na expansão de A para

B?
7. (ESAPP-SP) – Um gás ideal a uma pressão de 20N/m2 sofre uma

transformação isobárica, conforme o gráfico.
A temperatura no estado A, a temperatura no estado B e o
trabalho realizado na transformação valem, respectivamente:
(R é a constante universal dos gases)
p0 V0
a) TA = ––––––; TB = 3 TA; WAB = 2 R TA.
R
b) TA = R p0 V0; TB = 3 TA; WAB = 2 R TA.
p0 V0
c) TA = ––––––; TB = 3 TA; WAB = 4 R TA.
2R
3 TA
a) Qual o valor do volume VB? d) TA = 2 R p0 V0; TB = –––––; WAB = 2 R TA.
b) Qual o valor do trabalho realizado pelo gás? 2
p0 V0 3 TA
8. (UFV-MG) – Um gás perfeito sofre as transformações AB, BC e e) TA = ––––––; TB = –––––; WAB = 4 R TA.
2R 2
CA.
11. (UFSC) – Assinale a(s) afirmativa(s) correta(s), some os valores

respectivos e marque o resultado.
O diagrama abaixo representa as transformações sofridas por um
gás perfeito, no sentido indicado, indo de um estado inicial A até
o estado final D.
Determine
a) o trabalho realizado pelo gás na transformação AB;
b) o trabalho realizado pelo gás na transformação BC;
c) a relação entre pressão e volume do gás no estado A.
9. (UNIRIO) – O gráfico mostra uma transformação ABC sofrida por

certa massa de gás ideal (ou perfeito), partindo da temperatura
inicial 300K.
01) Na transformação de A para B, o sistema recebe trabalho.
02) Na transformação de A para B, o sistema realiza trabalho.
04) Na transformação de C para D, o sistema recebe trabalho.
08) Na transformação de C para D, o sistema realiza trabalho.
16) Nas transformações de A para B e de B para C, o sistema não

realiza trabalho.
32) Na transformação de B para C, o trabalho é nulo.
64) O trabalho total posto em jogo na transformação de A até D é

igual a 150 joules.
193
12. (UERJ) – Um gás ideal, inicialmente sob pressão p0 e volume V0,

experimenta uma evolução cíclica ABCDA, como ilustrado na figu-
ra abaixo.
14. (PUC-SP) – O diagrama abaixo representa uma transformação cí-

clica de um gás perfeito. Uma máquina térmica opera segundo
este ciclo à taxa de 50 ciclos por minuto.
Calculando-se o trabalho realizado pelo gás no ciclo ABCDA, en-

contra-se o valor:
a) 2 p0V0 b) 4 p0V0 c) 6 p0V0 d) 9 p0V0
13. (ACAFE-SC) – O diagrama a seguir representa uma transformação

ABCDA, realizada por 2 mols de um gás ideal. As unidades de pres-
são e volume são, respectivamente, N/m2 e m3. Se a temperatura A potência desta máquina será igual a:
do gás, no estado A, é 77°C, qual o trabalho realizado no ciclo? a) 1,0 . 104W b) 5,0 . 104W c) 1,0 . 103W
Dado: R = 8,3J/molK d) 5,0 . 103W e) 5,0 . 102W
4. Energia interna A temperatura de um gás perfeito é diretamente pro-

porcional ao quadrado da velocidade média das molécu-
Chamamos de energia interna de um sistema a
las.
energia, sob qualquer forma, que ele tem armazenada
Observamos que para um dado gás, a temperatura
dentro de si.
depende exclusivamente da velocidade das moléculas e
Entre as formas de energia que constituem a energia
vice-versa. Assim, concluímos que há uma relação
interna podemos destacar energia cinética de translação
exclusiva entre temperatura e velocidade que nos permite
das partículas, energia cinética de rotação das partículas
dizer:
e energia potencial de ligação entre as partículas.
Se um dos dois (T ou v) é constante, o outro é neces-
Para gases perfeitos, a energia interna resume-se à
sariamente constante.
energia cinética de translação das moléculas, sendo
Se um dos dois (T ou v) varia, o outro necessa-
dada pela expressão:
riamente varia.
Então, a temperatura de um dado número de mols de
3 3
U = Ec = ––– nRT = ––– pV um gás perfeito é função exclusiva da energia cinética
2 2 das suas moléculas.
Do exposto, concluímos que a energia interna de
Isto nos permite concluir que:
um sistema varia diretamente com a temperatura,
a) “A energia interna de um dado número de mols
exceto nos processos de mudanças de estado, quando há
de um gás perfeito depende exclusivamente da tempera-
variação de energia interna, embora a temperatura se
tura” (Lei de Joule).
mantenha constante. Assim, como regra, temos:
b) “A energia interna de um dado número de mols
de um gás perfeito é diretamente proporcional à tempera- * U aumenta (⌬U > 0)
T aumenta ÷
tura absoluta do gás.”
A relação entre a temperatura de um gás perfeito e a T diminui ÷* U diminui (⌬U < 0)
velocidade média das suas partículas pode ser calculada * U = cte. (⌬U = 0)
T = cte. ÷
por:
3 mv2 3 m * Não valem nas mudanças de estado.
Ec = ––– n R T ⇒ –––– = ––– ––– R T
2 2 2 M Cumpre salientar que a energia interna de um siste-
ma é função de ponto, isto é, seu valor depende ex-
M clusivamente do estado (do ponto) em que se encontra o
T = –––– v2
3R sistema, não importando como ele chegou até este estado.
194
Isso nos permite concluir que a variação de energia Assim:

interna não depende dos estados intermediários. Para obter a relação entre Q, ␶ e ⌬U, basta impor
É importante observarmos que num ciclo a variação que “a soma das flechas que entram é igual à soma das
de energia interna é nula (⌬Uciclo = 0). flechas que saem”.
Q = ␶ + ⌬U
Essa relação é chamada de 1.o princípio da termodi-

nâmica.
6. Orientação para
aplicar o primeiro princípio
a) Verifica-se se o sistema realiza, recebe ou não
5. Primeiro Princípio troca trabalho, lembrando que:
da Termodinâmica
O primeiro princípio da termodinâmica nada mais é Volume aumenta÷ sistema realiza trabalho (␶ > 0)
que o princípio da conservação da energia aplicado à ter- Volume diminui ÷ sistema recebe trabalho (␶ < 0)
modinâmica. Volume constante ÷ não troca trabalho (␶ = 0)
O princípio da conservação da energia, em linhas Portanto, o volume nos dá informação a respeito do
gerais, afirma que um sistema jamais pode criar ou des- trabalho.
truir energia.
Assim, se um sistema recebe energia, ele tem de dar b) Verifica-se se a energia interna do sistema
conta desta energia ou, se ele cede energia, esta energia aumenta, diminui ou não varia, aplicando a Lei de Joule:
tem de ter saído de algum lugar. “A energia interna de um dado número de mol de um
Por exemplo, admitamos que um sistema receba 100 gás perfeito depende só da temperatura e é diretamente
joules de calor. Estes 100 joules não podem ser aumen- proporcional à temperatura absoluta do gás.” (U = KT)
tados nem destruídos. Eles têm de ir para algum lugar.
Admitamos, em continuação, que o sistema realiza Assim, temos:
80 joules de trabalho.
Temperatura aumenta ÷ energia interna aumenta (⌬U > 0)
Notamos que o sistema recebeu 100 joules e cedeu
Temperatura diminui ÷ energia interna diminui (⌬U < 0)
80 joules. Onde estarão os 20 joules restantes? Temperatura constante ÷ energia interna constante (⌬U = 0)
Estes 20 joules restantes ficaram dentro do sistema,
armazenados sob a forma de energia interna. Portanto, a Portanto, a temperatura nos dá informação a respeito
energia interna do sistema aumentou 20 joules. da energia interna.
Podemos fazer um esquema desta troca de energia,
representando: c) Verifica-se se o sistema cede, recebe ou não
• Calor cedido pelo sistema (Q): é energia que entra troca calor, fazendo o balanço energético.
no sistema e a representamos por uma flecha para dentro.
• Trabalho cedido pelo sistema (␶): é energia que sai Observação:
do sistema e a representamos por uma flecha para fora. Se um dos três (Q, ␶ ou ⌬U) for igual a zero, os ou-
• Aumento da energia interna (⌬U): representamo-la tros dois serão iguais entre si, em módulo.
por uma flecha para cima (se for diminuição, a flecha é
para baixo).
7. Transformações adiabáticas
Nestas transformações, não há troca de calor com o
meio e, consequentemente, todo o trabalho posto em jo-
go é graças à variação de energia interna do sistema.
Q=0 ⇒ |␶A| = |⌬UA|
Portanto, quando o sistema recebe trabalho (com-
pressão), sua energia interna aumenta do mesmo tanto e
diminui quando ele realiza trabalho (expansão).
195
Estudemos com mais detalhes os seguintes casos:
Consideremos o sistema gasoso inicialmente no es-

tado A (p1, T1, V1). Comprimamos o sistema adiabatica-
O sistema recebe trabalho, que é integralmente ar- mente a partir de A. À medida que o volume vai dimi-
mazenado sob a forma de energia interna, aumentando nuindo, a temperatura e a pressão vão aumentando: o sis-
esta e a temperatura. Mas, se a tem- tema se afasta da isoterma T1 e se aproxima da isoterma
peratura aumenta e o volume dimi- T2. Atingida a temperatura T2, o sistema terá alcançado o
nui, a pressão necessariamente au- estado B (p2, T2, V2). Se continuarmos a comprimir, a
menta. temperatura e a pressão continuam a aumentar e o siste-
Resumo: ma passa do estado B para C e assim por diante.
– volume diminui. Obtivemos, assim, a curva A → B → C, que traduz
– recebe trabalho. a compressão adiabática efetuada pelo sistema. Notemos
– energia interna aumenta. que o aspecto de uma adiabática é semelhante ao de uma
– temperatura aumenta. isoterma, sendo a adiabática sempre mais inclinada e
– pressão aumenta. tendo um único ponto comum com cada isoterma.
8. Conversão de outra forma

de energia em energia térmica
Neste caso, todo o trabalho que o sistema realiza é Seja ␶ (em joules) a quantidade de energia, sob uma
mediante o consumo de energia interna, diminuindo esta e forma qualquer, que vai transformar-se na quantidade Q
a temperatura. Com esta diminuição (em calorias) de energia térmica.
da temperatura e o aumento do vo-
lume, a pressão diminui.
Podemos escrever que ␶ = JQ
Resumo: em que J é chamado de equivalente mecânico da uni-
– volume aumenta. dade de calor.
– realiza trabalho. É costume referir-se à expressão acima chamando-a
– energia interna diminui. de princípio da equivalência.
– temperatura diminui. Experimentalmente, determina-se o valor de J, ob-
– pressão diminui. tendo-se:
J = 4,186 joules/cal
Observemos, pois, que nas transformações adiabá-

ticas a temperatura, a pressão e a energia interna sem-
pre variam em sentido contrário ao do volume.
Com base no resultado acima, analisemos o aspecto

do gráfico de uma transformação adiabática de um gás
perfeito num diagrama de Clapeyron (p x V). Para isto,
consideremos três isotermas diferentes (hipérboles
equiláteras) nas temperaturas T1, T2 e T3 (T1 < T2 < T3). O motor a explosão é uma máquina térmica que obedece às leis da termodi-
nâmica.
196
15. (MODELO ENEM) – Não é nova a ideia de se extrair energia dos Resolução
oceanos aproveitando-se da diferença das marés alta e baixa. Em Volume de um quilograma de gasolina:
1967, os franceses instalaram a primeira usina “maré-motriz”,
m m 1kg
construindo uma barragem equipada de 24 turbinas, aproveitando d = ––– ⬖ V = ––– = –––––––––– = 0,001355m3
a potência máxima instalada de 240MW, suficiente para a V d 738kg/m3
demanda de uma cidade com 200 mil habitantes. Aproxima-
damente 10% da potência total instalada são demandados pelo Volume de GNV que libera a mesma quantidade de energia que
consumo residencial. um quilograma de gasolina:
Nessa cidade francesa, aos domingos, quando parcela dos
setores industrial e comercial para, a demanda diminui 40%. 50 200kJ…………1kg
Assim, a produção de energia correspondente à demanda aos 46 900kJ…………x
domingos será atingida mantendo-se
x = 0,934kg
I. todas as turbinas em funcionamento, com 60% da capacidade
máxima de produção de cada uma delas. m 0,934kg
V = ––– = ––––––––– = 1,1675m3
II. a metade das turbinas funcionando em capacidade máxima e d 0,8kg/m3
o restante, com 20% da capacidade máxima.
III. quatorze turbinas funcionando em capacidade máxima, uma O volume de GNV é bem maior:
com 40% da capacidade máxima e as demais desligadas.
1 . 1675m3
Está correta a situação descrita –––––––––––– = 862
a) apenas em I. b) apenas em II. 0,001355m3
c) apenas em I e III. d) apenas II e III.
Portanto, o volume de GNV seria muito maior, sendo necessário
e) em I, II e III.
que ele seja armazenado sob alta pressão.
Resolução
Seja P a potência máxima instalada (P = 240MW). Se aos domin- Resposta: B
gos a demanda diminui 40%, ela se torna 60%P = 0,6P.
I. VERDADEIRA 17. Um gás perfeito sofre a transformação ABCA indicada no dia-
Se todas as turbinas funcionarem com 60% da capacidade grama abaixo.
máxima, teremos 0,6P.
II. VERDADEIRA
12 turbinas funcionando com P1 e as outras 12 turbinas
funcionando com 0,2P1.
Sendo P a potência total, a potência máxima de cada turbina
P
P1 valerá ––– .
24
Assim, teremos:
P P
Ptotal = 12 . ––– + 12 . 0,2 ––– = 0,5P + 0,1P = 0,6P
24 24
III. VERDADEIRA
14 turbinas funcionando com P1, 1 funcionando com 0,4 P1 e Determinar em que pontos do ciclo a energia interna do gás é
as demais desligadas: mínima e máxima, respectivamente.
P + 1 . 0,4 P = 14,4P = 0,6P
Ptotal = 14 . ––– Resolução
––– ––––––
24 24 24 Como a energia interna de um gás perfeito é diretamente
proporcional à temperatura absoluta, concluímos que os pontos
Resposta: E de mínimo e de máximo da energia interna são os mesmos
pontos de mínimo e de máximo da temperatura absoluta, que são
16. Nos últimos anos, o gás natural (GNV: gás natural os pontos de mínimo e de máximo do produto pV.
veicular) vem sendo utilizado pela frota de veículos
De fato:
nacional, por ser viável economicamente e menos
agressivo do ponto de vista ambiental. O quadro compara 3 3
U = ––– n R T = ––– p V
algumas características do gás natural e da gasolina em condições 2 2
ambientes. Assim, para encontrarmos o ponto do ciclo em que a energia interna
é mínima, basta encontrar o ponto em que o produto p V é mínimo.
Densidade (kg/m3) Poder Calorífico Verifica-se facilmente no diagrama que essa situação de energia in-
GNV 0,8 50.200 terna mínima corresponde ao ponto C.
Para encontrarmos o ponto do ciclo em que a energia interna é má-
Gasolina 738 46.900 xima, temos de encontrar o ponto em que o produto pV é máximo.
Nos pontos A e B, a energia interna e a temperatura têm valores
Apesar das vantagens no uso de GNV, sua utilização implica
iguais, pois pAVA = pBVB. Mas, nos demais pontos do segmento AB,
algumas adaptações técnicas, pois, em condições ambientes, o
a energia interna e a temperatura têm valores maiores do que em A
volume de combustível necessário, em relação ao de gasolina,
e em B, pois estão acima da isoterma que passa por A e por B.
para produzir a mesma energia, seria
Verifica-se matematicamente que o ponto de AB em que o produto
a) muito maior, o que requer um motor muito mais potente.
p V é máximo é o ponto M, médio de AB.
b) muito maior, o que requer que ele seja armazenado a alta pres-
Assim, a energia interna do gás é máxima no ponto M, definido
são.
pelos valores de volume e pressão:
c) igual, mas sua potência será muito menor.
d) muito menor, o que o torna o veículo menos eficiente. M ⬅ (5,0m3; 2,5 . 104N/m2)
e) muito menor, o que facilita sua dispersão para a atmosfera.
197
20. Dez (10) gramas de um gás perfeito são aquecidos, sob pressão
constante, de 10°C a 20°C. Calcular
a) o trabalho realizado pelo gás;
b) a variação de energia interna sofrida pelo gás;
c) a quantidade de calor recebida pelo gás;
d) a variação de energia interna que o gás sofreria, se o referido
aquecimento fosse isométrico;
e) a quantidade de calor que o gás receberia, se o aquecimento
fosse isométrico;
f) o calor específico do gás a volume constante.
Dados:
Massa molar do gás = 40g;
Constante universal dos gases perfeitos R = 8,31 J/K mol;
Equivalente mecânico da unidade de calor J = 4,18 J/cal.
Resolução
a) Como o aquecimento do gás foi isobárico, temos:
18. Sabendo-se que as massas molares do oxigênio e do hidrogênio m
são, respectivamente, 32g e 2,0g, pedem-se: ␶p = p . ⌬V = n R ⌬T = ––– R ⌬T
a) Calcular a razão entre as velocidades das moléculas do hidro- M
10
gênio e do oxigênio na mesma temperatura. ␶p = –––– . 8,31 . 10 (J) ␶p 艑 20,8J
b) Calcular a razão entre as energias cinéticas médias das molé- 40
culas do hidrogênio e do oxigênio, na mesma temperatura.
Considerar o comportamento do oxigênio e do hidrogênio como b) A variação da energia interna calcula-se por:
de um gás perfeito. 3
Resolução ⌬U = ––– nR ⌬T
2
3RT
a) Lembrando que v = –––– , temos: 3 m 3
M
2 (M )
⌬U = ––– ––– . R . ⌬t = ––– . 20,8 (J)
2
⌬U = 31,2J
c) A quantidade de calor recebida calcula-se pelo primeiro princí-

3RT 3RT
vH = –––– vO = –––– pio da termodinâmica:
MH MO Q = ␶ + ⌬U Q = 20,8J + 31,2J Q = 52,0J
Dividindo-se membro a membro, obtém-se: d) Como “a energia interna de uma dada massa de um gás
perfeito depende exclusivamente da temperatura” (Lei de
vH MO vH 32 Joule), concluímos que, se o referido aquecimento fosse iso-
–––– = –––– ⇒ –––– = ––––
vO MH vO 2 métrico, em vez de isobárico, a variação de energia interna
seria a mesma. Assim: ⌬UV = ⌬Up 艑 31,2J
vH
––– = 4 e) Se o aquecimento fosse isométrico, teríamos:
vO
V = cte. ⇒ ␶v = 0
b) A energia cinética média das moléculas é dada por: Assim:
3 0
Ec = ––– n R T
2 Qv = ␶v + ⌬Uv
Dessa forma, observamos que ela depende da temperatura e
não depende da natureza do gás. Qv = ⌬Uv 艑 31,2J ou Qv = 7,46cal
Ec f) É sabido que: Qv = mcv ⌬␪
H
Portanto: ––––– =1 Assim:
EcO Qv 7,46 cal
cv = ––––––
m ⌬␪
= –––––––
10 . 10 (–––––
g°C )
19. Determine o valor de J (equivalente mecânico da unidade de ca-
lor) a partir dos seguintes dados:
cv 艑 7,5 . 10–2 cal/(g.°C)
Um sistema recebe 2000 calorias de calor, realiza 3350 joules de
O gráfico abaixo mostra as possíveis transformações: isobá-
trabalho e sua energia interna aumenta de 5030 joules.
rica e isométrica.
Resolução
Do enunciado, temos: Q = 2000 calorias
␶ = 3350 joules
⌬U = 5030 joules
Observemos que Q está em calorias e ␶ e ⌬U em joules. Assim,

podemos escrever:
JQ = ␶ + ⌬U
J . 2000 = 3350 + 5030 joules

J = 4,19 ––––––– AB = aquecimento isobárico
caloria
AC = aquecimento isométrico
198
21. (PUC-SP-MODELO ENEM) – A figura representa dois modos di- Assim, considerando o aumento da concentração de dióxido de
ferentes de um homem soprar uma de suas mãos. carbono e de metano na atmosfera provocado por atividades
antrópicas, pode-se afirmar que
a) o aumento da temperatura média da superfície da Terra
possibilitará uma considerável diminuição do rendimento da
máquina térmica como modelo da atmosfera.
b) o rendimento da máquina térmica como modelo da atmosfera,
que é de 0,8%, deverá aumentar.
c) o trabalho realizado pela máquina térmica como modelo da
atmosfera deverá sofrer uma diminuição significativa com o
aumento da temperatura da superfície da Terra.
d) o aumento da temperatura global do planeta acarretará uma
maior quantidade de energia transferida para o espaço por
calor.
e) com a variação do rendimento da máquina térmica como
modelo da atmosfera, podem-se esperar ventos com energias
Considerando a segunda situação, o diagrama pressão (p) x vo- cinéticas cada vez menores.
lume (V) que melhor descreve a transformação AB que o ar
soprado pelo homem sofre é 23. (VUNESP) – Um dos experimentos que contribuíram para provar
que calor é uma forma de energia foi realizado por James Joule
por meio do dispositivo apresentado na figura.
Com a experiência de Joule, na qual um certo corpo, caindo de

uma altura, faz girar uma hélice no interior de um líquido e, com
isso, aumenta a temperatura do líquido, verifica-se a equivalência
entre
a) as temperaturas do líquido antes e após o giro das hélices.
b) a quantidade de calor e o equilíbrio térmico.
c) os conceitos de calor e de temperatura.
d) o calor latente e o calor sensível.
e) o trabalho mecânico e o calor.
24. (FEI) – Numa transformação de um gás perfeito, os estados final

e inicial acusaram a mesma energia interna. Certamente
a) a transformação foi cíclica.
b) a transformação foi isométrica.
c) não houve troca de calor entre o gás e o ambiente.
22. (UFCG-PB-MODELO ENEM) – A atmosfera pode ser modelada d) são iguais as temperaturas dos estados inicial e final.
como uma máquina térmica. O trabalho realizado está presente e) não houve troca de trabalho entre o gás e o ambiente.
na movimentação das grandes massas de ar, os ventos. A
transferência de energia por calor ocorre entre a atmosfera e a 25. (UNIRIO) – Um gás sofre a transformação cíclica ABCA, indicada
superfície da Terra e o espaço exterior. O trabalho realizado é no gráfico dado abaixo.
avaliado em 0,5% da energia total transferida pelo Sol para o
planeta. A energia emitida pela Terra na região do infravermelho a
partir da água, do ar, do dióxido de carbono e do metano é avaliada
em 64% do total transferido pelo Sol para a Terra. A absorção da
radiação oriunda da superfície da Terra depende das moléculas na
atmosfera. O rendimento da máquina térmica é determinado por:
␶
h = –––––––––––––
Qfonte quente
199
A variação da energia interna e o trabalho realizado pelo gás va- II. Em uma transformação isovolumétrica, o calor envolvido
lem, respectivamente: corresponde à variação da energia interna.
a) ⌬U = 0 J e W = 0 J III. Em uma transformação adiabática, o trabalho mecânico envolvi-
b) ⌬U = 0 J e W = 8,0 x 102J do corresponde à variação da energia interna com sinal trocado.
c) ⌬U = 0,5 x 102J e W = 1,5 x 103J a) Nenhuma das afirmativas é correta.
d) ⌬U = 8,0 x 102J e W = 0 J b) Somente as afirmativas I e II são corretas.
e) ⌬U = 8,5 x 102J e W = 8,0 x 102J c) Somente as afirmativas I e III são corretas.
d) Somente as afirmativas II e III são corrretas.
26. (ITA) – Um mol de gás ideal sofre uma série de transformações e e) As afirmativas I, II e III são corretas.
passa sucessivamente pelos estados A → B → C → D, conforme o
diagrama pV anexo, no qual TA = 300K. 31. (UFLA-MG) – Um gás é submetido às seguintes transformações
mostradas no diagrama abaixo. Assinale a alternativa correta.
Pode-se afirmar que a temperatura em cada estado, o trabalho

líquido realizado no ciclo e a variação da energia interna no ciclo
são, respectivamente: a) Na expansão isobárica AB, o gás cede calor (Q < 0).
b) Na expansão isotérmica AC, não existe troca de calor (Q = 0).
TA(K) TB(K) TC(K) TD(K) ⌬W(atm . ᐉ) ⌬U(J)
c) Na expansão adiabática AD, o gás não realiza trabalho (W = 0).
a) 300 900 450 150 20,0 0 d) No esfriamento isométrico AE, o gás recebe calor (Q > 0).
b) 300 900 450 150 –20,0 0 e) No esfriamento AE do gás, o trabalho realizado é nulo.
c) 300 450 900 150 20,0 0 32. (UFPR) – Considere um sistema submetido ao ciclo termodinâmi-
d) 300 900 450 150 60,0 40 co descrito na figura abaixo, no qual V representa o seu volume e
e) 300 450 900 300 80,0 60 p a sua pressão.
27. Sobre um sistema, realiza-se um trabalho de 3000 J e, em respos-

ta, ele fornece 1000cal de calor durante o mesmo intervalo de
tempo. A variação de energia interna do sistema, durante esse
processo, é, aproximadamente:
(Considere 1,0cal = 4,0J)
a) –1000J b) + 2000J c) –4000J
d) + 4000J e) + 7000J
28. (UFL-PR) – Numa transformação gasosa reversível, a variação da

energia interna é de +300J. Houve compressão e o trabalho reali-
zado pela força de pressão do gás é, em módulo, 200J. Então, é
verdade que o gás É correto afirmar:
a) cedeu 500J de calor ao meio. 01) O trabalho realizado pelo sistema durante o ciclo é igual a 15J.
b) cedeu 100J de calor ao meio. 02) O trabalho realizado pelo sistema no trecho bc do ciclo é igual
c) recebeu 500J de calor do meio. a 15J.
d) recebeu 100J de calor do meio. 04) Se, no trecho bc do ciclo, fornecermos ao sistema 60J de ca-
e) sofreu uma transformação adiabática. lor, a variação da sua energia interna será de 36J.
08) No trecho ab do ciclo, a variação da energia interna do sistema
29. (VUNESP) – Um sistema pode evoluir de um estado inicial i para é igual ao calor a ele fornecido.
um estado final f por dois caminhos distintos, I e II, recebendo 16) No trecho da do ciclo, o trabalho realizado pelo sistema é nulo.
calor e fornecendo trabalho. 32) Os trechos bc e da do ciclo representam transformações iso-
báricas, enquanto os trechos ab e cd representam transforma-
ções isovolumétricas.
33. (UNIP-SP) – O gráfico abaixo representa a pressão em função do

volume para 1 mol de um gás perfeito.
No caminho I, recebe 120cal em calor e fornece 70cal em tra-

balho. Se no caminho II a quantidade de calor recebida for
60cal, o trabalho fornecido, em calorias, será:
a) 10 b) 35 c) 70 d) 110 e) 130
O gás vai do estado A para o estado B, segundo a transformação
o indicada no gráfico.
30. (UFLA-MG) – As afirmativas abaixo referem-se ao 1. princípio da
Assinale a opção correta:
termodinâmica. Assinale a seguir a alternativa correta.
a) A transformação indicada é isotérmica.
I. Em uma transformação isotérmica, o calor trocado entre siste-
b) A área assinalada na figura mede a variação de energia interna
ma e meio corrresponde ao trabalho mecânico envolvido.
do gás.
200
c) Na transformação de A para B, o gás recebe um calor Q, reali- 32) A quantidade de calor recebida é igual ao trabalho realizado
za um trabalho ␶, de modo que | Q | = | ␶ |. pelo gás na expansão.
d) A transformação de A para B é adiabática porque não houve 64) A quantidade de calor trocado e o trabalho realizado são am-
acréscimo de energia interna do gás. bos nulos.
e) A área assinalada na figura não pode ser usada para se medir
o calor recebido pelo gás.
38. (EEP-SP) – O que você pode dizer sobre o comportamento da
temperatura de uma massa de gás perfeito, quando submetido
34. (EN-RJ) – Dois mols de um gás monoatômico sofrem as transfor-
mações indicadas no diagrama p x V abaixo. às transformações:
I. Expansão isotérmica
II. Compressão adiabática
III. Expansão isobárica
a) I. não varia b) I. não varia c) I. aumenta

II. diminui II. aumenta II. aumenta
III. aumenta III. diminui III. diminui
d) I. não varia e) I. não varia
II. diminui II. aumenta
III. diminui III. aumenta
39. (ACAFE-SC) – Um gás ideal recebe calor e fornece trabalho após

O calor trocado (em quilocaloria) no processo A → B → C vale: uma das transformações:
a) 20,0 b) 24,0 c) 25,0 d) 90,0 e) 100 a) adiabática e isobárica. b) isométrica e isotérmica.
J c) isotérmica e adiabática. d) isobárica e isotérmica.
Dados: R 艑 8,00 –––––––; 1cal 艑 4,00J. e) isométrica e adiabática.
mol . K
40. (UFV-MG) – As afirmativas abaixo referem-se a transformações
35. (UFRJ) – O gráfico abaixo representa dois modos de levar uma
sofridas por gases ideais. A alternativa correta é:
certa massa de gás ideal de uma temperatura inicial TA até uma
a) Em uma expansão adiabática, a energia interna do sistema au-
temperatura TC.
menta.
O primeiro (I) representa uma evolução a pressão constante, e o
b) Em uma transformação adiabática, o sistema troca calor com a
segundo (II), uma evolução a volume constante. O trabalho reali-
vizinhança.
zado foi igual a 80J.
c) Em uma transformação isovolumétrica, há realização de traba-
lho.
d) Em uma transformação isotérmica, o calor absorvido pelo siste-
ma é totalmente convertido em trabalho.
e) Em uma transformação isobárica, há variação de pressão.
41. (UFMS) – Um cilindro, fechado por um êmbolo, encerra o volu-

me de 1,0 x 10–2m3 de um gás ideal à pressão de 2,0 x 105 Pa. O
sistema recebe de uma fonte quente 5,0 x 103J de calor. O
êmbolo desloca-se de modo que o volume do gás seja duplicado
a) Em qual dos dois processos foi necessário fornecer maior num processo isobárico.
quantidade de calor à massa gasosa? Justifique sua resposta. Ao final do processo, pode-se afirmar corretamente:
b) Determine a quantidade de calor cedida a mais. 01) Não houve nenhuma variação da energia interna do sistema.
02) O calor fornecido pela fonte quente foi totalmente armazenado
As questões de números 36 e 37 referem-se ao seguinte enuncia- sob forma de energia interna do sistema.
do: 04) O trabalho realizado pelo sistema sobre o meio foi de 2,0 x 103J.
Em uma transformação isotérmica, mantida a 127°C, o volume de 08) O aumento da energia interna do sistema foi de 3,0 x 103J.
certa quantidade de gás, inicialmente sob pressão de 2,0atm, pas- 16) O calor fornecido pela fonte quente foi totalmente transfor-
sa de 10 para 20 litros. Considerar a constante dos gases, R, igual mado em trabalho realizado pelo sistema sobre o meio.
a 0,082 atm.ᐉ/mol.K.
42. (FUVEST) – A figura mostra o corte transversal de um cilindro de
36. (UFBA) – Tendo em vista a transformação gasosa anteriormente eixo vertical com base de área igual a 500cm2, vedado em sua parte
descrita, assinale o que for correto. superior por um êmbolo de massa m que pode deslizar sem atrito.
01) O produto nR variou entre 0,10atm.ᐉ/K e 0,050atm.ᐉ/K. O cilindro contém 0,50 mol de gás que se comporta como ideal. O
02) A pressão final do gás foi de 1,0atm. sistema está em equilíbrio a uma temperatura de 300K e a altura h,
04) A densidade do gás permaneceu constante. indicada na figura, vale 20cm. Adote para a constante dos gases o
08) O produto nR tem um valor constante de 0,050atm.ᐉ/K . valor R = 8,0J/mol K, para a aceleração da gravidade o valor 10m/s2
16) O produto nR tem um valor constante de 50atm.cm3/K. e para a pressão atmosférica local o valor 1,00 x 105N/m2.
32) A densidade final do gás foi de 50% do valor inicial.
37. (UFBA) – Tendo em vista a transformação gasosa anteriormente

descrita, assinale as alternativas corretas.
01) Na transformação, a densidade do gás é diretamente propor-
cional à pressão.
02) A energia interna permaneceu constante.
04) O sistema trocou calor com o meio ambiente.
Determine
08) Como a temperatura permaneceu constante, o sistema não a) a massa do êmbolo em kg.
trocou calor com o meio ambiente. b) o trabalho W realizado pelo gás quando sua temperatura é
16) A energia interna aumentou. elevada lentamente até 420K.
201
43. (PUC-SP) – O êmbolo do cilindro ao lado varia de 5,0cm sua posição e o gás ideal no interior do
cilindro sofre uma expansão isobárica, sob pressão atmosférica. O que ocorre com a tem-
peratura do gás durante essa transformação termodinâmica? Qual o valor do trabalho ⌬W rea-
lizado sobre o sistema pela atmosfera, durante a expansão?
Dados: pressão atmosférica: 105 N/m2; área da base do êmbolo: 10cm2.
a) A temperatura aumenta; ⌬W = –5,0J. b) A temperatura diminui; ⌬W = 5,0J.

c) A temperatura aumenta; ⌬W = –5,0 . 10–2J. d) A temperatura não muda; ⌬W = 5,0 . 10–2J.
e) A temperatura diminui; ⌬W = –0,5J.
TB
␩ = 1 – ––––
TA
em que TB é a temperatura absoluta da fonte fria e TA a
da fonte quente.
A Máquina de Carnot, apesar de ser teórica, é aquela
que apresenta o máximo rendimento possível entre suas
fontes térmicas de temperaturas fixas.
Nos antigos trens (Maria-Fumaça), a energia térmica obtida pela queima da

madeira ou do carvão era transformada em energia mecânica.
9. Máquina térmica
Uma máquina térmica é um sistema no qual existe Representação gráfica do Ciclo de Carnot.
um fluido operante (normalmente vapor) que recebe
um calor QA de uma fonte térmica quente, realiza um
trabalho ␶ e rejeita a quantidade QB de calor para uma
outra fonte, fria.
Observe que para obtermos energia mecânica são necessárias uma fonte
Representação esquemática de uma máquina térmica (TA > TB ). quente e outra fria.
O rendimento dessa máquina é definido pela fração

do calor absorvido pelo sistema, que é usado para reali-
zação do trabalho.
10. Ciclo de Carnot
Até Carnot, acreditava-se que
|␶| |QA – QB| |QB|
␩ = –––––– = ––––––––– = 1 – ––––– uma máquina térmica pudesse atingir
|QA| |QA| |QA| um rendimento de 100%, isto é, acre-
Se a máquina térmica, ao funcionar, obedece ao Ci- ditava-se que a energia térmica
clo de Carnot (duas isotermas e duas adiabáticas), então fornecida pela fonte quente pudesse
ela é denominada Máquina de Carnot e vale a relação: ser integralmente transformada em
|QB| TB energia mecânica.
––––– = –––––
|QA| TA Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796-1832), enge-
nheiro francês que se destacou pelos seus trabalhos sobre as relações quan-
Assim, seu rendimento pode ser calculado por: titativas entre calor e trabalho.
202
Coube a Carnot demonstrar a impossibilidade de tal

fato. Para tanto, ele propôs uma máquina térmica teórica Nenhuma máquina térmica, funcionando em
que funcionaria num ciclo particular denominado Ciclo ciclos, pode transformar toda a energia térmica
de Carnot, composto de duas isotermas e duas adia- (calor) recebida da fonte quente em energia
báticas. mecânica (trabalho).
Do exposto, concluímos que sempre deverá existir

energia térmica sendo rejeitada para a fonte fria, pois a
não existência da fonte fria impossibilitaria a saída de
energia térmica da fonte quente.
Da expressão do rendimento da Máquina de Carnot:

TF
␩ = 1 – –––
TQ
A Máquina de Carnot é aquela que teria, se existisse notamos que essa máquina somente teria rendimento de
na prática, o maior rendimento entre duas fontes térmi- 100% se a fonte fria estivesse no zero absoluto. Como na
cas, uma quente e outra fria, de temperaturas fixas. prática não se consegue atingir o zero absoluto e manter es-
Com o trabalho de Carnot, chegou-se ao enunciado se local no zero absoluto, concluímos que realmente uma
do segundo princípio da termodinâmica: máquina térmica não pode atingir um rendimento de 100%.
44. Cem gramas (100g) de oxigênio sofrem uma expansão adiabática, Como AC é uma transformação isométrica (␶AC = 0), então:
passando da temperatura 40°C para 10°C. Calcular o trabalho rea- QAC = ⌬UAC
lizado pelo oxigênio nesta transformação.
Dado: calor específico do oxigênio a volume constante: ␶AB = –QAC = –mcv . ⌬␪
cal ␶AB = –100 . 0,15 . (10 – 40) (cal)
cv = 0,15 –––––
g°C ␶AB = 450cal
Resolução
Representemos esta transformação num diagrama p x V. 45. Texto: Uma mesma massa de um mesmo gás, para sofrer o
mesmo aquecimento a pressão constante, requer maior
quantidade de calor do que a volume constante. Sendo assim,
concluímos que um mesmo gás, a pressão constante, apresenta
maior calor específico do que a volume constante.
A diferença entre estes calores específicos sensíveis é dada pela
Relação de Mayer:
R
cp – cv = ––– ou Cp – Cv = R
M
em que C = Mc (calor específico sensível molar)
Com base neste texto e em seus conhecimentos, resolva a ques-
tão seguinte:
Sendo ⌬Tp e ⌬Tv as variações de temperatura sofridas por um
gás, quando recebe a mesma quantidade de calor a pressão e a
Devemos calcular ␶AB. Como AB é uma transformação adiabática ⌬Tp
(QAB = 0), temos: volume constante, respectivamente, calcule o quociente –––– .
⌬Tv
␶AB = –⌬UAB
Dados:
Considerando que a variação de energia interna não depende dos Constante universal dos gases perfeitos: R;
estados intermediários e que nas transformações isotérmicas a calor específico sensível molar do gás a pressão constante: Cp.
energia interna é constante, concluímos: Resolução
0 Temos que:
⌬UAB = ⌬UAC + ⌬UCB = ⌬UAC Qp
Qp = n Cp ⌬ Tp ⇒ ⌬Tp = –––––
mCp
Assim:
Qv
␶AB = –⌬UAC Qv = n Cv ⌬ Tv ⇒ ⌬Tv = –––––
mCv
203
Dividindo membro a membro e considerando que Qp = Qv (ver 46. (UNAMA) – Uma máquina opera entre duas fontes térmicas de
enunciado), obtemos: temperaturas 7,0°C e 127°C. O rendimento teórico máximo da
máquina será:
⌬Tp Cv a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50%
–––––– = –––– Resolução
⌬Tv Cp
Para o cálculo do rendimento teórico máximo, usamos a relação:
Pela Relação de Mayer: Cp – Cv = R TF
␩ = 1 – ––––
TQ
Cv = Cp – R
Assim: Sendo: TF = 280K TQ = 400K
⌬Tp Cp – R 280
–––––– = ––––––– Temos: ␩ = 1 – ––––– = 1 – 0,70
⌬Tv Cp 400
␩ = 0,30 ␩(%) = 30%

⌬Tp R
––––– = 1 – ––––
⌬Tv Cp
Resposta: C
47. (MODELO ENEM) – Uma máquina térmica é um sistema no qual A Máquina de Carnot, apesar de ser teórica, é aquela que apre-
existe um fluido operante (normalmente vapor) que recebe um senta o máximo rendimento possível entre suas fontes térmicas
calor QA de uma fonte térmica quente, realiza um trabalho ␶ e de temperaturas fixas.
rejeita a quantidade QB de calor para uma outra fonte, fria. Ela é um modelo importante para o desenvolvimento de
máquinas térmicas, no qual podemos observar teoricamente os
ciclos necessários para o funcionamento destas máquinas. Po-
rém, a termodinâmica mostra que a máquina não pode existir,
sendo portanto uma idealização teórica. A respeito da Máquina de
Carnot, podemos afirmar:
a) É caraterizada por duas transformações a temperatura
constante e duas sem troca de calor com o ambiente, todas
irreversíveis. O funcionamento da máquina é proibido pela
segunda lei da termodinâmica.
O rendimento dessa máquina é definido pela fração do calor b) É caracterizada por duas transformações a temperatura
absorvido pelo sistema, que é usado para realização do trabalho. constante e duas sem troca de calor com o ambiente, todas
reversíveis. O funcionamento da máquina é proibido pela
.␶. .QA – QB. .QB. segunda lei da termodinâmica.
␩ = ––––– = –––––––––– = 1 – –––––– c) É caracterizada apenas por duas transformações a tempera-
.QA. .QA. .QA.
tura constante, todas reversíveis. O funcionamento da máqui-
Se a máquina térmica, ao funcionar, obedece ao Ciclo de Carnot na é proibido pela segunda lei da termodinâmica.
(duas isotermas e duas adiabáticas), então ela é denominada d) É caracterizada por duas transformações a temperatura
Máquina de Carnot e vale a relação: constante e duas sem troca de calor com o ambiente, todas
reversíveis. O funcionamento da máquina está baseado na
.QB. TB segunda lei da termodinâmica.
–––––– = –––– e) É caracterizada apenas por duas transformações sem troca de
.QA. TA
calor com o ambiente, todas irreversíveis. O funcionamento da
máquina é proibido pela segunda lei da termodinâmica.
Assim, seu rendimento pode ser calculado por:
TB 48. A energia geotérmica tem sua origem no núcleo der-

␩ = 1 – ––––– retido da Terra, onde as temperaturas atingem
TA
4.000°C. Essa energia é primeiramente produzida
pela decomposição de materiais radioativos dentro do planeta.
Em fontes geotérmicas, a água, aprisionada em um reservatório
em que TB é a temperatura absoluta da fonte fria e TA a da fonte
subterrâneo, é aquecida pelas rochas ao redor e fica submetida a
quente.
altas pressões, podendo atingir temperaturas de até 370°C sem
entrar em ebulição. Ao ser liberada na superfície, à pressão
ambiente, ela se vaporiza e se resfria, formando fontes ou
gêiseres. O vapor de poços geotérmicos é separado da água e é
utilizado no funcionamento de turbinas para gerar eletricidade. A
água quente pode ser utilizada para aquecimento direto ou em
usinas de dessalinização.
Roger A. Hinrichs e Merlin Kleinbach. Energia e meio ambiente.

Ed. ABDR (com adaptações).
Depreende-se das informações acima que as usinas geotérmicas

a) utilizam a mesma fonte primária de energia que as usinas
nucleares, sendo, portanto, semelhantes os riscos
Representação gráfica do Ciclo de Carnot. decorrentes de ambas.
204
b) funcionam com base na conversão de energia potencial A partir das experiências realizadas sobre a natureza do calor,
gravitacional em energia térmica. somos naturalmente levados a refletir sobre a grande questão
c) podem aproveitar a energia química transformada em térmica que tem sido objeto de tantas especulações filosóficas:
no processo de dessalinização. Que é o calor? Existe alguma coisa que possamos chamar de
d) assemelham-se às usinas nucleares no que diz respeito à calórico? Calor e temperatura são a mesma coisa?
conversão de energia térmica em cinética e, depois, em Acerca do assunto tratado no texto acima, atualmente, com base
elétrica. na teoria do calor, analise as proposições a seguir, escrevendo V
e) transformam inicialmente a energia solar em energia cinética ou F, conforme sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:
e, depois, em energia térmica.
( ) Se o trabalho físico pode ser convertido em calor, então o
calor é também uma forma de energia mecânica.
49. (CEFET-PR) – O 2.o princípio da termodinâmica pode ser enuncia- ( ) O calor é um fluido invisível chamado calórico.
do da seguinte forma: “É impossível construir uma máquina tér- ( ) O equivalente mecânico da caloria nos dá a taxa de conver-
mica operando em ciclos, cujo único efeito seja retirar calor de são entre energia mecânica e calor.
uma fonte e convertê-lo integralmente em trabalho”. Por ex-
tensão, esse princípio nos leva a concluir que ( ) Temperatura é a quantidade de calor existente em um
a) sempre se pode construir máquinas térmicas cujo rendimento corpo. O calor contribui para a variação de temperatura dos
seja 100%. corpos.
b) qualquer máquina térmica necessita apenas de uma fonte ( ) Quando o calor de um corpo aumenta, suas partículas se
quente. movem rapidamente e sua temperatura fica maior, isto é,
c) calor e trabalho não são grandezas homogêneas. ao elevar-se, o corpo esquenta e dilata-se.
d) qualquer máquina térmica retira calor de uma fonte quente e
rejeita parte desse calor para uma fonte fria. Assinale a alternativa que corresponde à sequência correta:
e) somente com uma fonte fria, mantida sempre a 0°C, seria a) V, V, F, F, V b) F, V, F, V, F c) V, V, F, F, F
possível a uma certa máquina térmica converter integralmente d) F, F, V, F, F e) V, F, V, V, V
calor em trabalho.
52. Uma máquina térmica segue o ciclo descrito pelo diagrama dado
50. (UFOP-MG) – Uma máquina térmica, que opera segundo o Ciclo abaixo, absorvendo 1,5 . 105J de energia da fonte quente, por
de Carnot (representado no diagrama a seguir), usa um gás ideal ciclo.
como substância operante. Sejam Tq e Tf as temperaturas dos
reservatórios quente e frio, respectivamente.
Qual o rendimento dessa máquina?

a) 10% b) 20% c) 25% d) 30% e) 50%
53. (UFPF-RS) – Um Ciclo de Carnot trabalha entre duas fontes

térmicas: uma quente em temperatura de 227°C e uma fria em
Assinale a alternativa incorreta. temperatura –73°C. O rendimento desta máquina, em percentual,
a) O rendimento da máquina é dado por ε = (Tq – Tf)/Tq. é de:
b) A energia interna do gás no estado 3 é maior que sua energia a) 10 b) 25 c) 35 d) 50 e) 60
interna no estado 1.
c) Observando-se o diagrama, pode-se afirmar que p2V2/Tq = p4V4/Tf.
d) A transformação do estado 2 para o estado 3 é adiabática. 54. (EN-RJ) – Um motor térmico recebe 1 200 calorias de uma fonte
e) Esta máquina não pode ter um rendimento igual a 100%. quente mantida a 277°C e transfere parte dessa energia para o
meio ambiente a 24°C. Qual o trabalho máximo, em calorias, que
se pode esperar desse motor?
51. (UEPB-MODELO ENEM) – No fim do século XVIII, Benjamin a) 552 b) 681 c) 722 d) 987
Thompson, engenheiro norte-americano exilado na Inglaterra (país
onde recebeu o título de Conde Rumford), realizou os primeiros
experimentos convincentes sobre a natureza do calor, mas estes 55. (UNIVALI-SC) – Uma máquina térmica opera segundo o ciclo de
só seriam levados a sério em meados do século XIX, Carnot entre as temperaturas de 500K e 300K, recebendo 2000J
principalmente pelas contribuições de Julius Robert von Mayer de calor da fonte quente. O calor rejeitado para a fonte fria e o
(1814-1878), James Prescott Joule (1818-1889), e outros, que vie- trabalho realizado pela máquina, em joules, são, respectivamente:
ram corroborar a teoria do calor. Assim, Conde Rumford escreveu: a) 500 e 1500 b) 700 e 1300 c) 1000 e 1000
“Foi por acaso que me vi levado a realizar as experiências que vou d) 1200 e 800 e) 1400 e 600
relatar agora. Estando ocupado, ultimamente, em supervisionar a
perfuração de canhões nas oficinas do arsenal militar de Munich,
chamou-me a atenção o elevado grau de aquecimento de um 56. (UNAMA) – Um motor de Carnot cujo reservatório de baixa tem-
canhão de bronze, atingido em tempos muito curtos, durante o peratura está a 7,0°C apresenta um rendimento de 30%. A varia-
processo de perfuração; bem como a temperatura ainda mais alta ção de temperatura, em Kelvin, da fonte quente a fim de au-
(acima do ponto de ebulição da água, conforme verifiquei) das mentarmos seu rendimento para 50% será de:
aparas metálicas removidas pela perfuração”. a) 400 b) 280 c) 160 d) 560 e) 725
205
57. (FUVEST) – Um motor de combustão interna, semelhante a um 58. (FGV-SP) – Um tubo plástico de compri-
motor de caminhão, aciona um gerador que fornece 25 kW de mento 1m, com suas extremidades vedadas,
energia elétrica a uma fábrica. O sistema motor-gerador é resfria- contém 100 bolinhas de chumbo. Em uma
do por fluxo de água, permanentemente renovada, que é das extremidades, um termômetro mede a
fornecida ao motor a 25°C e evaporada, a 100°C, para a at- temperatura do ar interior. Sempre mantido
mosfera. Observe as características do motor na tabela. em posição vertical, os extremos do tubo são
trocados de posição, fazendo com que as
bolinhas se movimentem para baixo. Após
Consumo de combustível 15 litros/hora 100 operações como essa, a temperatura do
ar contido terá subido, aproximadamente,
Energia liberada por um litro de combustível 36 x 106J a) 1 . 10–2K b) 1 . 10–1K
c) 1 . 100K d) 1 . 101K.
Calor latente específico de vaporização da água 2,2 x 106 J/kg e) 1 . 102K
Calor específico sensível da água 4000 J/(kg.°C) Dados:

• Aceleração da gravidade local igual a 10 m/s2.
• Desconsiderar os choques entre as boli-
Supondo que o sistema só dissipe calor pela água que aquece e
nhas enquanto descem pelo tubo.
evapora, determine
a) a potência P, em kW, fornecida à água, de forma a manter a • Supor que o sistema é adiabático.
temperatura do sistema constante. • Admita que a queda de cada bolinha seja de
b) a vazão V de água, em kg/s, a ser fornecida ao sistema para
1m de altura.
manter sua temperatura constante.
c) a eficiência R do sistema, definida como a razão entre a • Calor específico do ar igual a 1 000 J/(kg.K).
potência elétrica produzida e a potência total obtida a partir do • Massa do ar contido no tubo igual a 1g.
combustível.
• Massa de cada bolinha igual a 1g.
4) B 5) B 6) 200J 35) a) I
b) 80J
7) a) 10m3
b) 100J 36) 58 (corretas: 02, 08, 16 e 32)
8) a) p2(V2 – V1) 37) 39 (corretas: 01, 02, 04 e 32)

b) zero
c) pAVA = p2V1 = p1V2 38) E 39) D 40) D
9) a) 375K 41) 12 (corretas: 04 e 08)

b) 100J
42) a) 100kg
10) C 11) 74 (corretas: 02, 08 e 64) b) 480J
12) B 13) 11620J 14) E 43) A 47) D 48) D
21) D 22) B 23) E 49) D 50) B 51) D
24) D 25) B 26) A 52) B 53) E 54) A
27) A 28) D 29) A 55) D 56) C
30) E 31) E 57) a) 125kW

b) 5,0 . 10–2kg/s
32) 45 (corretas: 01, 04, 08 e 32) c) 0,17 ou 17%
33) C 34) C 58) E
206
P3_Livro1_Eletrod_Eletromag_Alelex_207a283 05/07/12 12:14 Página 207
CAPÍTULO
Eletrodinâmica
1 CORRENTE E TENSÃO ELÉTRICA
F aça uma experiência mental e imagine

um súbito “apagão”. Como seria o dia a dia
sem eletricidade? Quantos anos voltaríamos no
tempo?
1. Carga elétrica em que coulomb (C) é a unidade com que se medem as car-
gas elétricas no Sistema Internacional de Unidades (SI).
A matéria é constituída por átomos. Os átomos, por
Assim, se indicarmos por qp e qe as cargas transpor-
sua vez, são constituídos por inúmeras partículas elemen-
tadas pelo próton e pelo elétron, respectivamente, tere-
tares, sendo as principais:
mos:
qp = +e = +1,6 . 10–19C e qe = –e = –1,6 . 10–19C
prótons, elétrons e nêutrons
Chamando de np o número total de prótons de um
Estas partículas, quando em presença umas das ou- corpo e de ne o número total de elétrons, teremos:
tras, apresentam um comportamento típico, a saber: a) se np > ne: corpo eletrizado positivamente (falta de
a) prótons em presença de prótons, repelem-se; elétrons);
b) elétrons em presença de elétrons, repelem-se; b) se np < ne: corpo eletrizado negativamente (ex-
c) prótons em presença de elétrons, atraem-se; cesso de elétrons);
d) nêutrons em presença de nêutrons, não se observa c) se np = ne: corpo eletricamente neutro.
nem atração nem repulsão. Para finalizar, atente para o fato de que sempre o mó-
Para diferenciar e explicar os comportamentos (a), dulo (Q) da carga elétrica total do corpo será:
(b) e (c), em relação a (d), dizemos que prótons e elétrons
Q=n.e
são portadores de uma propriedade física especial, deno-
minada carga elétrica. em que n representa o número de elétrons em excesso ou
Por apresentarem comportamentos opostos — com- em falta no corpo.
pare (a) e (b) com (c) — fica claro que existem dois tipos
distintos de carga elétrica. Assim, para diferenciá-las, 2. Condutores e
usaremos a convenção: isolantes elétricos
a) prótons possuem carga elétrica positiva; Condutor elétrico é todo meio material que permite
b) elétrons possuem carga elétrica negativa; às partículas eletrizadas se movimentar com facilidade.
c) nêutrons não possuem carga elétrica. Em geral, os metais são bons condutores, pois possuem,
Medidas elétricas delicadas nos informam que, a não na camada mais externa do átomo, elétrons livres que,
ser pelos sinais, os quais apenas diferenciam os tipos de por estarem fracamente ligados ao núcleo atômico, po-
carga, a quantidade de carga transportada pelo elétron é dem passar facilmente de um átomo a outro, formando
igual à quantidade de carga transportada pelo próton. uma verdadeira nuvem eletrônica no interior do metal.
Essa quantidade comum será denominada carga elé- Atente para o seguinte: no interior de um pedaço de
trica elementar e indicada por e, cujo valor é: metal, como um fio de cobre, por exemplo, há enorme
quantidade de elétrons livres, porém esses elétrons se mo-
e = 1,6 . 10–19 coulomb
vimentam de maneira totalmente caótica, num movimento
207
desordenado. Um dos primeiros problemas da Eletro- Se ligarmos o condutor ao gerador elétrico, os elé-
dinâmica será, justamente, ordenar esses movimentos. trons livres entram em movimento ordenado ao longo do
Nota: condutor (figura c), no sentido de B para A.
Existem condutores elétricos nos estados sólido, lí- O movimento ordenado de partículas eletrizadas
quido e gasoso. É importante saber distinguir quais são constitui a corrente elétrica. Se as cargas elétricas dos
os portadores de carga elétrica capazes de se movimentar elétrons livres fossem positivas, o sentido da corrente
através desses meios: elétrica seria o indicado na figura d. Este sentido é deno-
a) Nos condutores sólidos, cujo exemplo típico são minado sentido convencional da corrente elétrica.
os metais, os portadores de carga elétrica são, exclusi-
vamente, elétrons;
b) Nos condutores líquidos, cujo exemplo típico são
as soluções iônicas, os portadores de carga elétrica são,
exclusivamente, íons (cátions e ânions);
c) Nos gases condutores, também ditos gases ioniza-
dos, os portadores de carga elétrica são íons e elétrons.
O isolante elétrico, por sua vez, é aquele tipo de
material que não apresenta facilidade ao movimento das
partículas eletrizadas. Os não metais, como o vidro, a
mica, a ebonite, são bons isolantes pois não possuem
quantidade suficiente de elétrons livres para permitir a
passagem das partículas através de si.
3. Corrente elétrica
Considere o condutor metálico da figura a, cujos elé-
trons livres estão em movimento caótico. Considere, ain-
da, na figura b, um dispositivo, no qual destacamos duas
regiões: região A, com permanente falta de elétrons (polo
positivo), e região B, com permanente excesso de elé-
trons (polo negativo). Tal dispositivo é denominado ge-
rador elétrico (a pilha de farolete e a bateria do auto- No estudo da eletrodinâmica, trabalha-se basicamente com a indicação do
móvel são exemplos de geradores). sentido convencional de corrente elétrica.
4. Intensidade da corrente elétrica

Considere um fio metálico ligado aos polos de um gerador. Seja S uma secção transversal desse fio, por onde
atravessam elétrons livres, todos no mesmo sentido.
Seja Q o valor absoluto da quantidade de carga elétrica que
atravessa a secção S, num intervalo de tempo ⌬t.
A intensidade média da corrente elétrica nesse condutor,
no intervalo de tempo ⌬t, é definida por:
Q
i = –––––
⌬t
No Sistema Internacional de Unidades, medindo-se a

quantidade de carga elétrica em coulomb (C) e o intervalo de
tempo em segundo (s), a unidade de intensidade de corrente
elétrica vem expressa em C/s e denomina-se ampère (A):
1C
1A = –––––
1s
208
É comum usar-se, também, os seguintes submúlti- Observação:

plos do ampère: No caso dos condutores iônicos, participam da cor-
rente elétrica tanto cargas positivas (cátions) como
miliampère = 10–3 A = 1mA
negativas (ânions). O valor absoluto Q da quantidade de
microampère = 10–6 A = 1␮A
carga elétrica que atravessa uma secção transversal de
Sendo n o número de elétrons que constituem a um condutor, num certo intervalo de tempo ⌬t, é dado
quantidade de carga elétrica Q e e a carga elétrica ele- pela soma dos valores absolutos das cargas elétricas dos
mentar, podemos escrever: cátions e ânions:
Q=n.e Q = |Qcátions | + |Qânions |
1. Um corpo apresenta-se eletrizado com carga elétrica total de 4. Na questão anterior, quantos elétrons passam pela secção?
–1,28 . 10–15 C. Quantos elétrons em excesso há nesse corpo? Resolução
Resolução n.e
Temos i = –––––
Como essa carga é negativa, o corpo tem n elétrons em excesso. ⌬t
Como Q = n . e, vem:
1,28 . 10–15 C = n . 1,6 . 10–19 C i . ⌬t (3A) (10s)
n = ——— = –––––––––––––– = 1,875 . 1020 elétrons
ou e (1,6 . 10–19 C)
1,28 . 10–15
n = ––––––––––– = 8 . 103 elétrons Resposta: O número de elétrons que passa pela secção é
1,6 . 10–19
1,875 . 1020
Resposta: O corpo apresenta 8.000 elétrons em excesso.
5. Você fica observando uma secção transversal de um condutor iô-
nico (líquido) durante 20 segundos. Nesse intervalo de tempo,
2. Um condutor metálico, ligado aos terminais de uma pilha, apre-
passam por essa secção cátions para um lado e ânions para o ou-
senta seus elétrons, em
tro. Os cátions, para um lado, levam +5C e os ânions, para o ou-
movimento ordenado, no
tro, levam –5C. Qual a intensidade de corrente nesse condutor?
sentido ilustrado. Indique
Resolução
o sentido convencional da
a) intensidade de corrente devida aos cátions:
corrente e a polaridade da
pilha. Qc 5C
ic = —— = —— = 0,25A
⌬t 20s
b) intensidade de corrente devida aos ânions:
Resolução
O sentido convencional da corrente elétrica é o sentido oposto |Qa| = ——
ia = ——
5C
= 0,25A
ao do movimento dos elétrons. Fora da pilha, a corrente circula do ⌬t 20s
polo positivo para o polo negativo; dentro da pilha, do negativo
Como temos, simultaneamente, cátions e ânions participando
para o positivo.
da corrente elétrica, a intensidade de corrente no condutor
será:
i = ic + ia = 0,25A + 0,25A = 0,50A
Resposta: A intensidade de corrente no condutor iônico é de
0,50A.
6. (EFOMM-MODELO ENEM) – Suponha que o flash de uma cer-

ta câmera digital somente possa ser disparado
quando o capacitor em paralelo com sua micro-
lâmpada de xenônio acumula 18 quatrilhões de
elétrons. Sabendo-se que sua descarga dura 1
3. A intensidade de corrente elétrica, num certo condutor metálico, décimo de segundo, a intensidade da corrente
é invariável e vale 3A. Que quantidade de carga essa corrente de descarga (em ampères) é de, aproximadamente:
transporta a cada 10 segundos? a) 0,029 b) 0,038 c) 0,047
Resolução d) 0,058 e) 0,066
Tratando-se de codutor metálico, os portadores de carga elétrica Dado: carga elétrica elementar e = 1,6 . 10– 19C.
são elétrons. Considerando uma secção qualquer desse condutor,
elétrons a atravessam em sentido oposto ao da corrente elétrica. Resolução
Vejamos a quantidade de carga que passa por essa secção a cada n = 18 . 1015 elétrons⌬t = 0,10s e = 1,6 . 10– 19C
⌬t = 10s. Q n.e 18 . 1015 . 1,6 . 10–19
i = ––– ⇒ i = ––––– ⇒ i = –––––––––––––––––––– (A)
Q ⌬t ⌬t 0,10
Temos i = —— ou Q = i . ⌬t = (3A) (10s) = 30C
⌬t
i = 28,8 . 10– 3A 29 . 10– 3A 0,029A
Resposta: A carga elétrica transportada é de 30C. Resposta: A
209
7. (MODELO ENEM) – Na tira, Garfield, muito maldosamente, repro- nosso planeta originam, em média, 100 raios por segundo. Isso signi-
duz o famoso experimento de Benjamin Franklin, com a diferença fica que a ordem de grandeza do número de elétrons que são transfe-
de que o cientista, na época, teve o cuidado de isolar a si mesmo ridos, por segundo, por meio das descargas elétricas, é,
de seu aparelho e de manter-se protegido da chuva de modo que aproximadamente,
não fosse eletrocutado como tantos outros que tentaram Use para módulo da carga de 1 elétron: 1,6 . 10–19C
reproduzir o seu experimento. a) 1022 b) 1024 c) 1026 d) 1028 e) 1030
Resolução
Sendo i a intensidade da corrente elétrica referente à descarga
atmosférica, n o número de elétrons, e a carga do elétron (em
módulo) e ⌬t o intervalo de tempo, temos:
n.e i . ⌬t 100 . 10 5 . 1,0
i = ––––– ⇒ n = ––––– ⇒ n = –––––––––––––
⌬t e 1,6 . 10 –19
Franklin descobriu que os raios são descargas elétricas produzidas n = 0,625 . 10 26 ⇒ n = 6,25 . 10 25 elétrons
geralmente entre uma nuvem e o solo ou entre partes de uma mes-
ma nuvem que estão eletrizadas com cargas opostas. Hoje, sabe-se Ordem de grandeza: 10 26 elétrons
que uma descarga elétrica na atmosfera pode gerar correntes elétri-
cas da ordem de 105 ampères e que as tempestades que ocorrem no Resposta: C
8. (UNITAU) – Numa secção transversal de um fio condutor, passa 15. (UEL-PR) – A carga elétrica de um elétron vale 1,6 x 10–19 cou-
uma carga de 10C a cada 2,0s. A intensidade da corrente elétrica lombs. A passagem, pelo filamento de uma lâmpada, de
neste fio será de: 1,25 x 1017 elétrons por segundo equivale a uma corrente elétrica,
a) 5,0mA b) 10mA c) 0,50A d) 5,0A e) 10A em miliampères, igual a:
a) 1,3 . 10–2 b) 7,8 . 70–2 c) 2,0 . 10–1
9. (UEL-PR) – Pela secção reta de um condutor de eletricidade, d) 2,0 . 10 e) 2,0 . 102
passam 12C a cada minuto. Nesse condutor, a intensidade da
corrente elétrica, em ampères, é igual a: 16. Uma corrente elétrica de 10A é mantida em um condutor metálico
a) 0,08 b) 0,20 c) 5,0 d) 7,2 e) 12 durante dois minutos. O número de elétrons que atravessa uma
seção transversal do condutor é:
10. (UNISA) – A secção transversal de um condutor é atravessada Dado: e = 1,6 10–19 C.
por uma corrente de intensidade 2,0 mA durante 1,0 minuto. A a) 1,6 1019 b) 2,0 1019 c) 5,0 1020
carga elétrica total que atravessa essa secção transversal, em d) 6,5 1020 e) 7,5 1021
coulombs, é de:
a) 6,0 . 10–2 b) 0,12 c) 6,0 . 10–1 17. Indiquemos por i a intensidade de corrente elétrica que circula por
d) 1,2 e) 3,6 um condutor metálico. Sejam m e e, respectivamente, a massa e
o módulo da carga do elétron. Se M é a massa total dos elétrons
que atravessam uma secção qualquer do condutor, no intervalo de
11. Uma corrente elétrica de intensidade 16A percorre um condutor
tempo ⌬t, a relação entre i, m, e, M, ⌬t é:
metálico. A carga elétrica elementar é e = 1,6 . 10–19 C.
a) Me = mi ⌬t b) Mi = m e ⌬t c) me = M i ⌬t
O número de elétrons que atravessam uma secção transversal
d) i⌬t = m . e e) M = m . i
desse condutor em 1,0 min é de:
a) 1,0 . 1020 b) 3,0 . 1021 c) 6,0 . 1021
18. O filamento incandescente de uma válvula eletrônica, de compri-
d) 16 e) 8,0 . 1019
mento igual a 5cm, emite elétrons numa taxa constante de
2 . 1016 elétrons por segundo e por centímetro de comprimento.
12. (AFA) – Num fio de cobre, passa uma corrente contínua de 20A. Sendo o módulo da carga do elétron igual a 1,6 . 10–19 C, qual a
Isso quer dizer que, em 5,0s, passa por uma secção reta do fio um intensidade da corrente emitida?
número de elétrons igual a:
(e = 1,6 . 10–19C) 19. Para uma corrente elétrica de intensidade constante e relativa-
a) 1,25 . 1020 b) 3,25 . 1020 c) 4,25 . 1020 mente pequena (alguns ampères), qual o valor mais próximo do
d) 6,25 . 1020 e) 7,00 . 1020 módulo da velocidade média dos elétrons que compõem a nuvem
eletrônica móvel, em um condutor metálico?
13. (UFGO) – Pela secção reta de um fio, passam 5,0 . 1018 elétrons a) 300.000 km/s b) 340 m/s c) 1m/s
a cada 2,0s. Sabendo-se que a carga elétrica elementar vale d) 1cm/s e) 1mm/s
1,6 . 10–19C, pode-se afirmar que a corrente elétrica que percorre
o fio tem intensidade: 20. (UFMG) – Uma lâm-
a) 500 mA b) 800 mA c) 160 mA pada fluorescente
d) 400 mA e) 320 mA contém em seu inte-
rior um gás que se io-
14. (PUC-SP) – Uma corrente elétrica de intensidade 11,2␮A percorre niza após a aplicação
um condutor metálico. A carga elementar é e = 1,6 . 10–19C. O ti- de alta tensão entre
po e o número de partículas carregadas que atravessam uma sec- seus terminais. Após
ção transversal desse condutor por segundo são, respectivamen- a ionização, uma cor-
te: rente elétrica é estabelecida e os íons negativos deslocam-se
a) prótons e 7,0 . 1013 partículas. com uma taxa de 1,0 x 1018 íons/segundo para o polo A. Os íons
b) íons de metal e 14,0 . 1016 partículas. positivos se deslocam, com a mesma taxa, para o polo B.
c) prótons e 7,0 . 1019 partículas. Sabendo-se que a carga de cada íon positivo é de 1,6 x 10–19 C,
d) elétrons e 14,0 . 1016 partículas. pode-se dizer que a corrente elétrica na lâmpada será:
e) elétrons e 7,0 . 1013 partículas. a) 0,16 A b) 0,32 A c) 1,0 x 1018 A d) nula
210
5. Propriedade gráfica Seja Ee a energia elétrica que a partícula eletrizada

com quantidade de carga elétrica Q recebe, ao atravessar
Nos exercícios em que a intensidade da corrente no
o gerador.
condutor varia com o tempo, a quantidade de carga elé-
Define-se tensão elétrica (U) a grandeza que nos
trica transportada pela corrente, num dado intervalo de
informa quanto de energia elétrica o gerador fornece para
tempo ⌬t, não pode ser calculada pela expressão
cada unidade de quantidade de carga que o atravessa.
Q = i . ⌬t, porque i não é constante. Nesses casos, de-
Deste modo:
vemos construir um gráfico (i x t), mostrando como a
intensidade da corrente varia com o tempo. (Em geral, Ee
esse gráfico vem pronto!) U = ––––
Q
No gráfico da intensidade instantânea, da corrente
elétrica em função do tempo, a área é numericamente Com a energia elétrica medida em joule (J) e a quan-
igual à quantidade de carga elétrica que atravessa a tidade de carga elétrica medida em coulomb (C), a tensão
secção transversal do condutor no intervalo de tempo elétrica vem expressa em J/C e denomina-se volt (V).
⌬t.
1J
1V = ––––
1C
Dizer que a tensão elétrica entre os polos A e B de

uma pilha é de 1,5V, isto é, 1,5J/C, significa dizer que, ao
atravessar a pilha, cada carga elétrica igual a 1,0C recebe
1,5J de energia elétrica.
Notas:
1. Por motivos que veremos em Eletrostática, tensão
elétrica e diferença de potencial (ddp) são sinônimos.
6. Tensão elétrica (U) Tensão elétrica = ddp
Ao ligarmos um condutor aos polos de um gerador,
as partículas eletrizadas livres entram em movimento or- U = VA – VB
denado. Isto implica, evidentemente, consumo de ener-
gia, especificamente de energia elétrica. Esta é jus-
tamente a operação fundamental de um gerador: fornecer 2. Símbolo elétrico de gerador:
energia elétrica às partículas eletrizadas que o atraves-
sam, à custa de outras formas de energia. Assim, por
exemplo, uma pilha de um farolete fornece energia elé-
trica às partículas que a atravessam, à custa de energia
química. Estas partículas energizadas caminham pelos
condutores, atravessam a lâmpada e esta acende, pois
consome a energia elétrica das partículas, que recebem
mais energia ao atravessarem novamente a pilha.
3. Símbolo elétrico de lâmpada:
4. Símbolo elétrico de chave interruptora:
211
21. É dado o gráfico de intensidade de corrente elétrica em um con-

dutor em função do
tempo. Calcule a quan-
tidade de carga elé-
trica transportada pela
corrente no intervalo
de 30s representado.
Resolução
A carga Q é medida pela área do trapézio no gráfico (i x t):
Sabendo que a carga elétrica fundamental tem valor 1,6 . 10–19C,

30 + 10
Q = –––––––– 5,0 (C) ⇒ Q = 1,0 . 102C o número de portadores de carga que fluíram durante essa
2 descarga está mais próximo de
Resposta: A carga transportada é de 1,0 . 102C a) 1017 b) 1014 c) 1011 d) 108 e) 105
Resolução
22. O que se entende por uma bateria de automóvel de tensão A área da figura formada no gráfico é numericamente igual à carga
elétrica 12V? elétrica inicial do capacitor.
Resolução
b .h 7,2 . 4,0 . 10 –3
É um gerador que fornece, para cada 1 coulomb de carga que o ____ ⇒ Q = _____________ (C)
N
Q =
atravessa, uma quantidade de energia elétrica de 12J. 2 2
12J
12V = –––– Q = 14,4 . 10 –3C
1C Q
___
Sendo: Q = n . e ⇒ n =
e
23. A figura indica uma lâmpada corretamente ligada aos polos de
uma pilha de 1,5V. 14,4 . 10 –3
__________
n= ⇒ n = 9,0 . 10 16 10 17
1,6 . 10 –19
Resposta: A
25. (MODELO ENEM) – Um conjunto de pilhas de lanterna é asso-

ciado como ilustra a figura e alimenta um conjunto de pequenas
lâmpadas.
a) Faça o circuito esquemático da montagem dada e indique o

sentido convencional da corrente elétrica.
b) Calcule a energia elétrica que uma carga elétrica igual a 1,0C
adquire ao atravessar a pilha.
Resolução
a) circuito esquemático:
A representação esquemática desse circuito está corretamente

apresentada em:
Ee Ee
b) U = —— 1,5 = —— Ee = 1,5 J
Q 1,0
24. (MODELO ENEM) – O capacitor é um elemento de circuito muito

utilizado em aparelhos eletrônicos de regimes alternados ou con-
tínuos. Quando seus dois terminais são ligados a uma fonte, ele é
capaz de armazenar cargas elétricas. Ligando-o a um elemento
passivo como resistor, por exemplo, ele se descarrega. O gráfico Resolução
representa uma aproximação linear da descarga de um capacitor. O circuito está corretamente esquematizado na alternativa C.
212
26. (UEL-PR) – Uma corrente elétrica, cujo valor está representado no 30. Calcule a quantidade de carga elétrica que passa por uma secção
gráfico abaixo, flui num condutor durante 80s. transversal de um condutor metálico entre os instantes t1 = 2,0s
e t2 = 4,0s, sabendo que a intensidade de corrente no condutor
varia com o tempo, conforme a lei:
i = 4,0 + 2,0 . t (SI)
Sugestão: Construa o gráfico (i x t).
31. Um fio condutor é percorrido por corrente contínua, com intensi-

dade (i) variável com o tempo (t), segundo a função:
i = 0,5 + 1,5t (SI)
Calcule a carga que atravessa uma secção do fio condutor entre
os instantes t1 = 0 e t2 = 2,0s.
32. Faça o circuito esquemático da montagem abaixo e indique o sen-

tido da corrente, quando a chave estiver fechada.
Nesse intervalo de tempo, a carga elétrica, em coulombs, que
passa por uma secção transversal do condutor, é igual a:
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
27. O gráfico abaixo representa a intensidade da corrente elétrica i em

um fio condutor em função do tempo transcorrido t. Qual a carga
elétrica que passa por uma secção transversal do condutor nos 6
primeiros segundos?
33. (MODELO ENEM) – Você

dispõe de duas pilhas de lan-
terna idênticas, três lâmpadas
idênticas, fios de ligação e um
interruptor (chave). O profes-
sor pede para montar um cir-
cuito, cujo esquema está re-
a) 6C b) 9C c) 10C d) 12C e) 15C presentado na figura.
28. O gráfico representa a intensidade da corrente elétrica i, em um Nos desenhos a seguir, preste
fio condutor, em função do tempo t. A quantidade de carga bastante atenção à polaridade
elétrica que passa por uma secção transversal do fio no intervalo das pilhas. Assinale o circuito
de 0 a 6,0s é igual a: montado corretamente:
a) 4,0C b) 6,0C c) 12C d) 16C e) 20C
29. Um condutor metálico é atravessado por uma corrente elétrica,

cuja intensidade é dada em função do tempo pelo gráfico a seguir:
Determine o valor absoluto da carga elétrica que atravessa uma

secção transversal do condutor entre os instantes 10s e 20s.
213
34. (MODELO ENEM) – Uma lâmpada foi ligada a uma pilha e acen- d) supondo que as lâmpadas L1 e L2 estejam acesas, ao abrir a
deu. Qual a figura correta? chave Ch somente a lâmpada L2 apaga.
e) a ddp nos terminais do gerador é de 30V.
(MODELO ENEM) – Texto para responder às questões 36 a 39:

No esquema abaixo, os fios a, b e c são os três fios de entrada de
energia elétrica numa residência. As tensões estão indicadas na
figura. F1 e F2 são dois fusíveis.
A seguir, damos uma relação de alguns aparelhos e suas caracte-

rísticas normais:
aparelhos I U
lâmpada 1A 110V
35. Considere o circuito elétrico constituído de duas lâmpadas, L1 e
L2, ligadas a um gerador e a uma chave interruptora Ch. O sentido refrigerador 4A 110V
de movimento dos elétrons está indicado na figura. Sabe-se que
o gerador fornece 30J de energia elétrica para cada carga elétrica ferro elétrico 2A 110V
igual a 1,0C que o atravessa.
televisor 2A 110V
chuveiro elétrico 15A 220V
36. As tensões elétricas Uab, Ubc e Uac são, respectivamente:

a) 110V, zero, 110V b) 110V, zero, 220V
c) 220V, zero, 220V d) 110V, 110V, zero
e) 110V, 110V, 220V
37. Dos aparelhos apresentados, o aparelho D é, necessariamente,

a) o televisor. b) a lâmpada. c) o refrigerador.
d) o chuveiro. e) o ferro elétrico.
38. Sendo B e E os aparelhos de mesma corrente elétrica, então a

Pode-se afirmar que intensidade total de corrente em F1 será de:
a) A é o polo positivo e B é o polo negativo do gerador. a) 4A b) 5A c) 19A d) 15A e) 20A
b) o sentido do movimento dos elétrons é o sentido convencio-
nal da corrente elétrica. 39. Considerando que A e C são os dois outros possíveis aparelhos,
c) qualquer carga elétrica que atravessa o gerador recebe 30J de então a corrente total em F2 será de:
energia elétrica. a) 20A b) 19A c) 15A d) 5A e) 1A
8) D 9) B 10) B 11) C 12) D 13) D 14) E 15) D 16) E 17) A

18) 16 . 10–3 A = 16mA 19) E 20) B 26) C 27) E 28) C 29) 50C 30) 20C 31) 4C
32) 33) C 34) C 35) E 36) E 37) D 38) C 39) A
214
CAPÍTULO
Eletrodinâmica
2 RESISTORES
O s resistores são
elementos de circuito dos quais
uma das funções mais
conhecidas é a transformação de
energia elétrica em térmica. Existem, no entanto, resistores que, insertos em circuitos elétricos, têm outras
funções, como limitadores de corrente elétrica e divisores de tensão elétrica.
1. Resistor
Entende-se por resistor puro a todo elemento de cir-
cuito cuja função exclusiva é efetuar a conversão de ener-
gia elétrica em energia térmica. Na prática, tais elementos
são utilizados nos aparelhos que levam a denominação
3. Primeira Lei de Ohm
geral de aquecedores, como são exemplos o ferro elétrico Seja U = VA – VB a tensão elétrica aplicada aos ter-
(a), o secador elétrico (b), o chuveiro elétrico (c) etc. minais de um resistor e i a intensidade de corrente elétri-
ca que o atravessa.
A função U = f (i), que traduz a dependência entre a

2. Efeito Joule: intensidade de corrente e a tensão, recebe o nome de
conceito de resistência elétrica equação do resistor.
Ohm verificou que, mantida a temperatura constante,
Quando um resistor é percorrido por corrente elé- a tensão e a intensidade de corrente são diretamente pro-
trica, ocorre a transformação de energia elétrica em ener- porcionais, isto é:
gia térmica, devido ao choque dos elétrons livres com os
átomos do condutor. Este fenômeno é denominado efeito U=R.i
térmico ou Efeito Joule.
Observe-se que as cargas elétricas que constituem a em que R é a resistência elétrica do resistor. Em sua
corrente sofrem, por parte do condutor, uma forte opo- homenagem, a expressão acima é conhecida por
sição ao seu movimento. A dificuldade que o resistor ofe- Primeira Lei de Ohm.
rece à passagem da corrente elétrica caracteriza sua pro- Os resistores que obedecem à Lei de Ohm (U = R . i),
priedade física básica: a resistência elétrica (R). com R constante, são denominados resistores ôhmicos.
Nos circuitos elétricos, os resistores são represen- No Sistema Internacional, a unidade de resistência é
tados por um dos símbolos: o ohm, simbolizado por ⍀.
215
U 1V 5. Segunda
De R = ––– , vem 1⍀ = ––– , ou seja, “um resistor
i 1A Lei de Ohm – resistividade
possui resistência elétrica de 1 ohm quando, ao ser sub- Como observamos anteriormente, a resistência de
metido à tensão de 1 volt, é percorrido por uma corrente um resistor ôhmico não depende da tensão a ele aplicada.
de intensidade 1 ampère”. Coube, novamente, a G. S. Ohm o mérito da desco-
berta de uma expressão matemática que relaciona as
características geométricas de um resistor com a sua
resistência, para uma dada temperatura.
Seja um resistor de comprimento e secção trans-
versal de área A (constante):
4. Curva característica
dos resistores ôhmicos
Curva característica de um elemento de circuito é o
gráfico de U em função de i. Para os resistores ôhmicos,
a curva característica é uma reta oblíqua, passando pela Ohm verificou, experimentalmente, que a resistência
origem. (R) é diretamente proporcional ao comprimento () e
inversamente proporcional à área (A). Assim:

R = ␳ –––
A
em que ␳ é uma característica do material com que é feito

o fio resistor chamada resistividade.
A expressão acima é conhecida por Segunda Lei de
N Ohm.
tg ␪ = R
1. Aplica-se uma ddp de 100V a um resistor ôhmico de resistência 3. É dada a curva característica de um resistor.
elétrica 20⍀. Que intensidade de corrente o percorre?
Resolução
U
U = 100V; R = 20⍀ → i = ––– (Lei de Ohm)
R
100V
i = ––––– ⇒ i = 5,0A
20⍀
Resposta: 5,0A
Determine
2. Quando a um resistor ôhmico se aplica a tensão de 100V, mede-se a) sua resistência elétrica;
uma corrente i1 = 5,0A. Que tensão devemos aplicar-lhe para b) o valor de i1.
termos uma corrente i2 = 20A? Resolução
Resolução N 50V
a) A resistência elétrica é dada por: R = tg␪ ⇒ R = ––––
Da 1.a Lei de Ohm, temos: 10A
U1 100V R = 5,0⍀ (constante)
U1 = Ri1 ⇒ R = ––– R = ––––– ⇒ R = 20⍀
i1 5,0A U1
b) O valor (i1) é obtido pela 1.a Lei de Ohm: U1 = Ri1 ⇒ i1 = ––––
Como a sua resistência fica constante, podemos escrever: R
20V
i1 = ––––– ⇒ i1 = 4,0A
U2 = R . i2 5,0⍀
U2 = 20⍀ . 20A ⇒ U2 = 400V

Respostas: a) 5,0⍀
Resposta: 400V b) 4,0A
216
4. Um fio resistor tem comprimento (), área de secção reta (A) e

resistência elétrica (R1) a uma dada temperatura (T). Estica-se o fio
e seu comprimento dobra (2), mas seu volume se mantém cons-
tante. Na temperatura (T), qual é sua nova resistência?
Resolução
Inicialmente, tinha-se:
V
Volume: V = A . ⇒ A = –––

Da 2.a Lei de Ohm: R1 = ␳ –––

A
Depois, ficou:
a) A diferença de potencial elétrico entre os dois pontos de apoio
do pássaro no fio (pontos A e B) é quase nula.
b) A diferença de potencial elétrico entre os dois pontos de apoio
do pássaro no fio (pontos A e B) é muito elevada.
c) A resistência elétrica do corpo do pássaro é praticamente nula.
d) O corpo do passarinho é um bom condutor de corrente elétrica.
V A e) A corrente elétrica que circula nos fios de alta tensão é muito
O volume manteve-se constante: V = A2 . 2 ⇒ A2 = ––– = ––– baixa.
2 2 Resolução
Concluímos que a área se reduziu à metade. Como os pontos A e B estão relativamente próximos, a resistên-
2 cia elétrica entre eles é quase nula e a diferença de potencial
Da 2.a Lei de Ohm, temos: R2 = ␳ –––
A2 entre A e B é praticamente nula.
Não havendo, praticamente, diferença de potencial entre A e B,
A não há nenhum problema para o pássaro.
Com 2 = 2 e A2 = ––– , vem: Resposta: A
2
7. (UFABC-MODELO ENEM) – Hoje é muito comum, em instala-
2
R2 = ␳ ––– ⇒
2 . 2
R2 = ␳ –––––– ⇒ R2 = 4␳ ––– ções elétricas residenciais, o uso de interruptores paralelos, aque-
A A A les que permitem ligar e desligar uma lâmpada quando colocados
–––
2 em paredes diferentes. A figura mostra um esquema com duas
chaves, CH1 e CH2, representando esses interruptores, uma lâm-
Logo: R2 = 4R1 pada e uma fonte de tensão constante, todos ideais. O fio 1 e o
fio 2 são feitos do mesmo material, porém o comprimento do fio
2 e sua área de secção transversal são duas vezes maiores que
Resposta: A resistência quadruplicou.
os do fio 1. A chave CH1 pode ser conectada aos pontos A e B, e
a chave CH2 pode ser conectada aos pontos C e D.
5. Reconsidere a questão anterior. Continuando a esticar o fio resis-
tor, mantendo a mesma temperatura (T), construa o gráfico da
função R = f ().
Resolução V
Como o volume fica constante e A = ––– , a área da secção reta é

inversamente proporcional ao comprimento.
Então, da 2.a Lei de Ohm, vem:
2
R = ␳ ––– ⇒ R = ␳ ––– R = ␳ –––
A V V
–––

Como a resistividade do material (␳) e o volume permanecem Para estudar o funcionamento desse circuito, foram feitos dois
constantes, concluímos que a resistência elétrica é diretamente experimentos:
proporcional ao quadrado do comprimento do fio. A representação 1.o experimento: CH 1 ligada em A e CH 2 ligada em C.
gráfica da função R = f () será um arco de parábola passando pela 2.o experimento: CH 1 ligada em B e CH 2 ligada em D.
origem. Pode-se afirmar, corretamente, que
a) no 1.o experimento, a lâmpada brilha mais que no 2.o
experimento.
b) no 1.o experimento, a lâmpada brilha da mesma forma que no
2.o experimento.
c) no 2.o experimento, a intensidade de corrente elétrica que pas-
sa pela lâmpada é quatro vezes maior que no 1.o experimento.
d) no 2.o experimento, a intensidade de corrente elétrica que pas-
sa pela lâmpada é duas vezes maior que no 1.o experimento.
e) no 1.o experimento, a potência dissipada pela lâmpada é o
0 é o comprimento inicial do fio e R0, sua resistência inicial. dobro que no 2.o experimento.
Resolução
6. (PUC-MODELO ENEM) – Os passarinhos, mesmo pousando so- Resistência elétrica do fio 1:
bre fios condutores desencapados de alta tensão, não estão
R1 = ␳ –––
sujeitos a choques elétricos que possam causar-lhes algum dano. A
Qual das alternativas indica uma explicação correta para o fato? ␳ – resistividade do fio
217
– comprimento do fio A resistência elétrica desse cabo, a cada quilômetro, é:

A – Área da secção transversal. Dado:
Resistência elétrica do fio 2: resistividade da liga de cobre = 2,1.10-2 ⍀.mm2/m
a) 2,1 ⍀ b) 1,8 ⍀ c) 1,2 ⍀ d) 0,6 ⍀ e) 0,3 ⍀
2 ␳
R2 = ␳ ––– = ––– = R1 Resolução
2A A
Para cada fio, a resistência elétrica é dada pela 2ª Lei de Ohm:
Sendo R1 = R2 e a fonte de tensão de valor constante, concluímos
que a lâmpada brilha da mesma forma nos dois experimentos.
Rfio = ␳ ––– , em que:
Resposta: B A
⍀ . mm2
␳ = 2,1 . 10 –2 –––––––––
8. (MACKENZIE-SP-MODELO ENEM) – Para a transmissão de ener- m
gia elétrica, constrói-se um cabo composto por 7 fios de uma liga
de cobre de área de secção transversal 10 mm2 cada um, como = 1,0km = 1,0 . 10 3m
mostra a figura. A = 10mm 2
1,0 . 10 3
Rfio = 2,1 . 10 –2 ––––––––– (⍀)
10
Rfio = 2,1 ⍀ (para cada fio)

O cabo possui 7 fios condutores em paralelo. Assim, cada
quilômetro terá resistência:
Rfio
Rcabo = –––– ⇒ Rcabo = 0,3⍀
7
Resposta: E
9. A intensidade de corrente elétrica que percorre um resistor é

200mA e a ddp nos seus terminais vale 40V. Determine a sua
resistência elétrica.
10. Um chuveiro elétrico possui resistência elétrica de 11⍀. Qual a

intensidade da corrente que o atravessa quando submetido a uma
tensão elétrica de 220V?
11. (UEL-PR) – Três condutores, X, Y e Z, foram submetidos a dife-

rentes tensões U e, para cada tensão, foi medida a respectiva
corrente elétrica I, com a finalidade de verificar se os condutores
eram ôhmicos. Os resultados estão na tabela que se segue.
condutor X condutor Y condutor Z

13. (UnB) – Nos gráficos a seguir, temos tensão em função da inten-
I(A) U(V) I(A) U(V) I(A) U(V) sidade de corrente em certos resistores.
0,30 1,5 0,20 1,5 7,5 1,5
0,60 3,0 0,35 3,0 15 3,0
1,2 6,0 0,45 4,5 25 5,0
1,6 8,0 0,50 6,0 30 6,0
De acordo com os dados da tabela, somente

a) o condutor X é ôhmico.
b) o condutor Y é ôhmico.
c) o condutor Z é ôhmico. Que gráficos obedecem à 1.a Lei de Ohm?
d) os condutores X e Y são ôhmicos. a) Gráficos 1 e 3 b) Gráficos 2 e 4
e) os condutores X e Z são ôhmicos. c) Gráficos 3 e 4 d) nenhum desses
12. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS) – Qual dos seguintes gráficos 14. (F.M.RIO PRETO) – No gráfico a seguir, está representada a rela-
representa a corrente (I) que atravessa um resistor, em função da ção entre a diferença de potencial elétrico (V) e a intensidade de
diferença de potencial (V) entre os extremos desse resistor que corrente elétrica (i) em um resistor. Qual é o valor, em ohms, da
obedece à 1.a Lei de Ohm? resistência elétrica desse resistor?
218
18. (FUVEST) – Um resistor, que obedece à Lei de Ohm, tem resis-

tência igual a 10⍀. Represente, num gráfico, a corrente elétrica i
que percorre esse resistor, em função da diferença de potencial U
aplicada, no intervalo de U = 0 até U = 100V.
19. (FUVEST) – Medindo-se a corrente elétrica (I) e a diferença de po-

tencial (U) em um resistor, registraram-se os valores abaixo tabe-
lados:
U (volt) 2 4 6 8 10
I (ampère) 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20

15. (USP) – O gráfico das diferenças de potencial nos extremos de
um dispositivo elétrico, em função das intensidades de corrente, a) Faça um esboço do gráfico da diferença de potencial U (eixo
foi o seguinte: das ordenadas) em função da corrente I.
b) Calcule o valor da resistência R do resistor.
20. Qual dos gráficos melhor representa um resistor ôhmico?
a) Qual o tipo do dispositivo elétrico em questão?

b) Qual a resistência elétrica desse dispositivo, quando percor- a) somente I b) somente II c) somente I e II
rido por uma corrente de intensidade 2,0 . 10–3 A? d) somente III e) I, II e III
16. (FUVEST) – Estuda-se como varia a intensidade i da corrente que 21. (F.M.S.C.-SP) – Os valores, em ohms, das resistências elétricas
de resistores de carvão são indicados no corpo deles por um códi-
percorre um resistor, cuja resistência é constante e igual a 2⍀, em
função da tensão U aplicada aos seus terminais. O gráfico que go de cores, conforme sugere a figura abaixo:
representa o resultado das medidas é:
As cores das faixas 1 e 2 indicam, respectivamente, a dezena e a

unidade de um número que deve ser multiplicado pela po-
tência de dez, com expoente dado pela cor da faixa 3.
A faixa 4 indica a tolerância, fator relativo à qualidade do resistor.
O código usado, de forma parcial, está contido na tabela seguinte:
cor preta marrom vermelha laranja amarela verde

número 0 1 2 3 4 5
Quais as cores que representam da esquerda para a direita (como

na figura) um resistor de resistência igual a 320.000 ohms?
a) laranja, vermelha, preta;
17. (UFG-MODELO ENEM) – Nos choques elétricos, as correntes que b) vermelha, laranja, preta;
fluem através do corpo humano podem causar danos biológicos c) preta, vermelha, laranja;
que, de acordo com a intensidade da corrente, são classificados d) laranja, vermelha, amarela;
segundo a tabela abaixo. e) amarela, laranja, vermelha.
Corrente elétrica Dano biológico
22. (UEPA-MODELO ENEM) – Os choques elétricos produzidos no
corpo humano podem provocar efeitos que vão desde uma simples
I Até 10mA Dor e contração muscular dor ou contração muscular, até paralisia respiratória ou fibrilação
ventricular. Tais efeitos dependem de fatores como a intensidade
Aumento das
II de 10mA até 20mA de corrente elétrica, duração, resistência da porção do corpo
contrações musculares
envolvida. Suponha, por exemplo, um choque produzido por uma
III De 20mA até 100mA Parada respiratória corrente de apenas 4 mA e que a resistência da porção do corpo
envolvida seja de 3000⍀. Então, podemos afirmar que o choque
Fibrilação ventricular, elétrico pode ter sido devido ao contato com
IV De 100mA até 3A
que pode ser fatal a) uma pilha grande de 1,5V.
b) os contatos de uma lanterna contendo uma pilha grande de
Parada cardíaca,
V Acima de 3A 6,0V.
queimaduras graves
c) os contatos de uma bateria de automóvel de 12V.
(DURAN, J. E. R. Biofísica – fundamentos e aplicações. São d) uma descarga elétrica produzida por um raio num dia de chuva.
Paulo, Pearson Prentice Hall, 2003. p. 178 [Adaptado]) e) os contatos de uma tomada da rede elétrica de 120V.
Considerando-se que a resistência do corpo em situação normal é
da ordem de 1500⍀, em qual das faixas acima se enquadra uma 23. (UFBA) – Qual dos gráficos a seguir pode representar a resistên-
pessoa sujeita a uma tensão elétrica de 220V? cia (R), em função da secção transversal (S), de um fio condutor
a) I b) II c) III d) IV e) V ôhmico de comprimento constante?
219
1 1
a) 4 b) 2 c) 1 d) ––– e) –––
2 4
27. (F.M. CATANDUVA) – Dois fios, um de níquel e outro de cromo,

de mesmo comprimento e resistividades ␳1 e ␳2, respectiva-
mente, são submetidos à mesma diferença de potencial. Qual a
relação entre os raios dos fios de níquel e cromo, a fim de que as
intensidades de corrente sejam iguais?
28. (UFBA) – O valor da resistência elétrica de um condutor ôhmico

não varia, se mudarmos somente
24. Você dispõe de vários resistores, todos de mesmo material, poden- a) o material de que ele é feito;
do diferir nos comprimentos e nas áreas de seções transversais: b) seu comprimento;
c) a diferença de potencial a que ele é submetido;
d) a área de sua secção reta;
e) a sua resistividade.
29. (UFSE) – Uma barra de metal, homogênea, está ligada a uma

pilha, como mostra o circuito abaixo. Variando-se a posição do fio
móvel (M), construa um gráfico que represente a intensidade de
corrente elétrica (I) na barra, em função da distância x. A pilha e o
fio são elementos ideais.
A resistência elétrica do resistor I é igual a 10⍀. Determine a

resistência elétrica dos demais resistores.
25. (UNISA) – Um condutor de cobre apresenta 1,0km de

comprimento por 10mm2 de secção e uma resistividade de
mm2
0,019ohm . –––– . Aplicando-se uma diferença de potencial de
m
38V, que intensidade de corrente elétrica irá percorrer o fio? 30. (MED. VIÇOSA) – Se um resistor de cobre tiver o seu compri-
mento e o seu diâmetro duplicados, a resistência
26. (PUC) – Dois fios condutores, F1 e F2, têm comprimentos iguais a) é multiplicada por quatro;
e oferecem à passagem da corrente elétrica a mesma resistência. b) permanece a mesma;
Tendo a secção transversal de F1 o dobro da área da de F2 e c) é dividida por dois;
chamando ␳1 e ␳2, respectivamente, os coeficientes de resis- d) é multiplicada por dois;
tividade de F1 e F2, a razão ␳1/␳2 tem valor: e) é dividida por quatro.
6. Associação de resistores Propriedades

Para atender a fins práticos, os resistores são associa- 1.a) Todos os resistores são percorridos pela mesma
dos em série, em paralelo ou em grupos mistos. Com is- corrente elétrica.
so, procura-se obter um valor específico de resistência, o 2.a) A tensão total (U), na associação, é a soma das
qual se denomina resistência equivalente da associação. tensões parciais.
U = U1 + U2 + U3
3.a) A resistência equivalente (Rs) da associação é a

soma das resistências associadas:
De fato, sendo: U = U1 + U2 + U3, em que U = Rsi
e U1 = R1i; U2 = R2i; U3 = R3i
vem Rsi = R1i + R2i + R3i
Então:
Rs = R1 + R2 + R3 c.q.d.
220
No caso particular de dois resistores em paralelo,

temos:
1 1 1
––– = ––– + –––
Rp R1 R2
Lâmpadas associadas em série.
1 R1 + R2
––– = –––––––
Rp R1 . R2
R1 . R2
Rp = –––––––
R1 + R2
produto das resistências

Rp = –––––––––––––––––––––––––––
soma das resistências
Esta regra é válida para dois resistores em paralelo,

de cada vez.
Se R1 = R2 = R, vem:
1 1 1 2 R
Propriedades ––– = ––– + ––– = ––– ⇒ Rp = –––
1.a) Todos os resistores associados suportam a mes- Rp R R R 2
ma tensão, pois eles estão ligados aos mesmos fios (A) e
Observe que, quando as duas resistências forem
(B).
iguais, a equivalente é igual à metade do valor comum
2.a) A intensidade de corrente total (i) da associação
das resistências.
é a soma das intensidades parciais.
De um modo geral, para n resistores iguais em parale-
i = i1 + i2 + i3 lo, cada um de resistência R, a resistência equivalente é:
R
3.a) O inverso da resistência equivalente é igual à Rp = –––
soma dos inversos das resistências associadas. n
De fato, sendo:
U
i = i1 + i2 + i3, em que: i = ––– e
Rp
U U U
i1 = ––– ; i2 = ––– ; i3 = ––– ; vem:
R1 R2 R3
U U U U
––– = ––– + ––– + –––
Rp R1 R2 R3
Logo:
1 1 1 1
–––– = –––– + –––– + –––– c.q.d.
Rp R1 R2 R3
Lâmpadas associadas em paralelo.
221
Notas
• Fusíveis
Os fusíveis são dispositivos que asseguram proteção
aos circuitos elétricos. Eles devem ser ligados em série
com a parte do circuito elétrico que deve ser protegida.
Os fusíveis são constituídos essencialmente de conduto-
res de baixo ponto de fusão, como chumbo e estanho,
que, ao serem atravessados por corrente elétrica de inten-
sidade maior do que a máxima permitida, se fundem, • Reostato de cursor
interrompendo o circuito. Mudando a posição do cursor C, varia o comprimen-
Na figura a seguir, apresentamos os tipos comuns de to do fio atravessado pela corrente elétrica e, consequen-
fusíveis, bem como o símbolo usado para representá-los temente, varia a resistência elétrica.
nos circuitos elétricos.
• Reostato de pontos
Para cada posição da manivela, a resistência do reos-
tato (RR) assume um determinado valor:
Posição (1): RR = 0 (mínima)
• Disjuntor Posição (2): RR = 2R
Posição (3): RR = 4R
Posição (4): RR = 6R
Posição (5): RR = 8R (máxima)
Assim como os fusíveis, os disjuntores têm a função de proteção de circuitos

elétricos, “desarmando” automaticamente e abrindo o circuito se a corrente
elétrica ultrapassar determinado valor.
• Reostatos
Reostatos são resistores cuja resistência elétrica pode
ser variada.
Nas figuras a seguir, apresentamos o reostato de cur- Um resistor em
sor, o reostato de pontos e o símbolo utilizado para repre- curto-circuito
equivale a uma
sentar um reostato num circuito elétrico. resistência nula.
222
31. Demonstre que “A resistência equivalente de uma associação c) Qual a ddp entre os pontos B e C em valor absoluto?
constituída de dois resistores iguais, em paralelo, é igual à metade Resolução
da resistência de um deles”. 1) Resistência equivalente entre A e C:
Resolução 1 1 1 2
–––– = ––– + ––– = ––– ⇒ RAC ⇒ 1,5⍀
RAC 2 6 3
2) Resistência equivalente entre A e B:

1 1 1 2
–––– = ––– + ––– = ––– ⇒ RAB ⇒ 1,5⍀
RAB 3 3 3
Demonstração: 3) Intensidade de corrente total:

1 1 1 UAB 6V
–––– = ––– + ––– i = –––– = ––––– = 4A
Rp R R RAB 1,5⍀
1 2 R 4) Esquematizando:
–––– = ––– ⇒ Rp = –––
Rp R 2
32. Quanto vale a resistência total e a intensidade de corrente, numa

associação de duas resistências de 110⍀ ligadas em paralelo e
sujeitas a uma tensão de 220V?
Resolução
Dados: R1 = 110⍀; R2 = 110⍀; U = 220V.
1 1 1 1 1 2
Cálculos: –––– = ––– + ––– = –––– + –––– = ––––
Req R1 R2 110 110 110
100
Req = –––– = 55 → Req = 55⍀
2
U 220V
itotal = –––– = ––––– ⇒ itotal = 4,0A
Req 55⍀
33. Com base no circuito abaixo esquematizado, responda:
34. No circuito esquematizado, calcular a tensão elétrica total aplica-

da à associação.
a) Qual a intensidade de corrente total fornecida pela bateria?

b) Que intensidade de corrente circula pelo resistor de 6⍀?
223
Resolução
1) Circuito proposto e distribuição das correntes:
Responda:
a) Apenas I está correta. b) Apenas II está correta.
c) Apenas III está correta. d) Apenas I e II estão corretas.
e) Todas estão corretas.
Resolução
I. Correta.
Existem modelos de pisca-pisca nos quais todas as lâmpadas
2) Cálculo da corrente i3: são associadas em série. Todas as lâmpadas estão em funcio-
UBC 150 namento, portanto, nenhuma está queimada.
UBC = R4 . i3 → i3 = –––– = ––––– (A) ⇒ i3 = 0,5A II. Correta.
R4 300 Existem modelos (mais modernos) nos quais temos trechos
de circuito série associados em paralelo com outros trechos.
3) Cálculo da ddp entre A e B (UAB): III. Errada.
Se todas estiverem associadas em série, basta que tenhamos
UAB = R3 . i3 = 200 . 0,5(V) ⇒ UAB = 100V 1 queimada para que as demais não acendam.
Resposta: D
4) Cálculo da ddp entre A e C (UAC):
36. (UFV-MG-MODELO ENEM) – Em alguns circuitos de iluminação
UAC = UAB + UBC = 100V + 150V ⇒ de árvores de Natal, possuindo lâmpadas de mesmas resis-
UAC = 250V
tências, observa-se que, quando uma lâmpada “queima”, um
5) Cálculo da corrente i2: segmento apaga, enquanto outros segmentos continuam
normalmente acesos. Além disso, mesmo com alguma lâmpada
UAC 250V “queimada”, as lâmpadas acesas devem estar submetidas a uma
UAC = R2 . i2 → i2 = –––– = ––––– ⇒ i2 = 0,5A mesma diferença de potencial, a fim de apresentarem a mesma
R2 500⍀
luminosidade. Pode-se então afirmar que, dos diagramas abaixo
ilustrados, o que melhor representa este tipo de circuito de
6) Cálculo da corrente i1: iluminação é:
i1 = i2 + i3 = 0,5A + 0,5A ⇒ i1 = 1,0A
7) Cálculo de U1:
U1 = R1 . i1 = 100⍀ . 1,0A ⇒ U1 = 100V
8) Cálculo de Utotal:
U = U1 + UAC = 100V + 250V ⇒ U = 350V
35. (MODELO ENEM) – Analisando-se as figuras e sabendo que o

pisca-pisca está ligado a uma fonte de 110V, afirma-se:
I. Na figura 1 podemos ter todas as lâmpadas em série e
nenhuma está “queimada”. Resolução
II. Na figura 1 podemos ter associações em série e paralelo e O circuito que corresponde às observações feitas é o da alter-
nenhuma lâmpada está queimada. nativa b, no qual temos trechos em série associados em paralelo
III. Na figura 2 certamente temos mais do que 1 lâmpada quei- entre si.
mada. Resposta: B
37. (UEL-PR) – São dadas, ao lado, as as- 38. (UnB) – O trecho ab de um certo circuito elétrico está represen-
sociações de resistores iguais. tado na figura abaixo.
Chamando de Rx, Ry e Rz as resis-
tências equivalentes das três associa-
ções, respectivamente, verifique qual
a opção correta:
a) Rx > Ry > Rz b) Rx > Rz > Ry
c) Ry > Rz > Rx d) Ry < Rx < Rz
e) Ry < Rz < Rx Qual a resistência equivalente entre os pontos a e b?
224
39. (UFGO) – No circuito abaixo, determine a resistência equivalente

entre os pontos A e B.
45. (FATEC-SP) – O sistema esque-

matizado tem resistência equiva-
40. (UFBA) – A figura mostra um circuito com três resistores: R1, R2 lente igual a:
e R3. Suas resistências são, respectivamente, 10⍀, 20⍀ e 10⍀. a) 4,0⍀
Qual a resistência equivalente do circuito? b) 2,1⍀
c) 3,6⍀
d) 1,6⍀
e) n.d.a.
41. (PUC-RS) – Três resistores formam uma associação conforme a

figura abaixo.
46. (UNISA) – Cinco resistores de 200⍀ cada um são ligados, for-

mando um quadrado com uma diagonal. Qual a resistência entre
os dois vértices não adjacentes ligados por um resistor?
47. (PUC) – São ligados em paralelo, numa mesma tomada, um ferro

elétrico de resistência R1 e uma lâmpada de resistência R2. Sabe-se
A resistência equivalente da associação vale: que R1 < R2. A resistência R equivalente da associação é tal que:
a) 6⍀ b) 10⍀ c) 12⍀ d) 18⍀ e) 24⍀ R1 + R2
a) R > R2 b) R < R1 c) R = –––––––
2
R1 R2
42. (PUC-SP) – Para o circuito da figura, a resistência equivalente en- d) R = ––––––– e) R = R1 + R2
2
tre os terminais A e B é de:
a) 10⍀ b) 5,33⍀ c) 2,4⍀ d) 1,0⍀ e) 0,33⍀
48. (F.E.EDSON QUEIROZ-CE-MODELO ENEM) – Dispõe-se de três
resistores de resistência 300 ohms cada um. Para se obter uma
resistência de 450 ohms, utilizando os três resistores, como
devemos associá-los?
a) Dois em paralelo, ligados em série com o terceiro.
b) Os três em paralelo.
c) Dois em série, ligados em paralelo com o terceiro.
d) Os três em série.
49. (UFSCAR) – Tendo somente dois resistores, usando-os um por

vez, ou em série, ou em paralelo, podemos obter resistência de 3,
4, 12 e 16⍀. As resistências dos resistores são:
a) 3⍀ e 4⍀ b) 4⍀ e 8⍀ c) 12⍀ e 3⍀
d) 12⍀ e 4⍀ e) 8⍀ e 16⍀
43. (F.M.ITAJUBÁ) – Abaixo, temos esquematizada uma associação
de resistores. Qual é o valor da resistência equivalente entre os 50. (UFJF-MG)
pontos A e B? a) Encontre a resistência equivalente do circuito de resistores
abaixo, em função da resistência R, quando sujeito a uma ddp
VAB.
44. (UNIFOA) – A resistência equivalente entre os terminais A e B no

circuito representado na figura a seguir é de:
a) 2,0R b) 2,5R c) 3,0R d) 3,5R e) 4,0R
225
b) Agora, encontre a resistência equivalente do circuito abaixo.
55. Na associação abaixo, a resistência equivalente entre os pontos A

e B vale:
a) 5,0⍀ b) 55⍀ c) 30⍀ d) zero e) 3,0⍀
c) Encontre a resistência equivalente do circuito abaixo para um

N qualquer. Qual é a resistência equivalente se N tende para o
infinito, isto é, se N é muito grande?
56. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Considere o seguinte

circuito elétrico, no qual a bateria e os fios têm resistência des-
prezível:
51. (UFPA) – Dado o circuito abaixo, sua resistência equivalente vale:

a) 7⍀ b) 10⍀ c) 3⍀ d) 5⍀ e) 30⍀
Fazendo um curto-circuito entre os pontos A e B, a resistência

equivalente do circuito, vista pelos terminais P e N do gerador,
será
24R 11R
a) 5R b) –––– c) 13R d) 9R e) ––––
52. (U.E.MARINGÁ) – Dada a associação na figura abaixo, a resistên- 5 2
cia equivalente entre os terminais A e B é:
a) RAB = 17⍀ b) RAB = 5⍀ c) RAB = 70/17⍀ 57. (FMTM) – A resistência entre os pontos A e B do resistor
d) RAB = 6⍀ e) RAB = 1⍀ equivalente à associação mostrada na figura a seguir tem valor,
em ⍀, igual a
53. (U.C.MG) – A resistência equivalente entre A e B mede, em

ohms:
a) 95 b) 85 c) 55 d) 35 e) 25
a) 5 b) 12 c) 19 d) 34 e) 415
58. (UFRS) – Dispõe-se de três resistores, um de 10⍀, um de 20⍀ e
um de 30⍀. Ligando esses resistores em paralelo e aplicando
uma diferença de potencial de 12V aos extremos dessa associa-
ção, qual a corrente elétrica total que percorre o circuito?
a) 0,2A b) 0,4A c) 2,2A d) 2,5A e) 5,0A
59. (UEMT) – A diferença de potencial entre os extremos de uma as-

sociação em série de dois resistores de resistência 10⍀ e 100⍀ é
220V. Qual é a diferença de potencial entre os extremos do resis-
tor de 10⍀ nessas condições?
54. (MACKENZIE) – A resistência do resistor equivalente da associa-
ção a seguir, entre os terminais A e B, é:
60. (U.GAMA FILHO-RJ) – No circuito representado a seguir, sabe-se
a) zero b) 3 c) 4,5 d) 9 e) 18
que a ddp no resistor de 5,0⍀ vale 7,5V.
226
a) 8A e 5⍀ b) 16A e 5⍀ c) 4A e 2,5⍀
d) 2A e 2,5⍀ e) 1A e 10⍀
65. (UEL-PR) – A corrente elétrica I, indicada no circuito representado

no esquema abaixo, vale 3,0A.
Portanto, o valor de U, em volts, é:

a) 7,5 b) 9,0 c) 12 d) 15 e) 18
61. (UnB) – Para o circuito esquematizado a seguir, a razão entre as

correntes I2 e I1 é igual a: De acordo com as outras indicações do esquema, a diferença de
potencial entre os pontos X e Y, em volts, vale
a) 4,0 b) 7,2 c) 24 d) 44 e) 72
66. (UFCE) – No circuito abaixo, R1 = 2R2 = 4R3 = 20 ohms e

UAB = 60V. Que corrente total, em ampère, flui de A para B?
1 1 1 1
a) –––– b) –––– c) –––– d) ––––
6 4 3 2
67. (ITA) – Determine a intensidade da corrente que atravessa o resis-
tor R2 da figura, quando a tensão entre os pontos A e B for igual
62. (UNICAP-PE) – Uma diferença de potencial de 12V é aplicada a V e as resistências R1, R2 e R3 forem iguais a R.
num conjunto de três resistores associados em paralelo com va-
lores, em ohms, iguais a 2,0, 3,0 e 6,0. A corrente elétrica, em
ampères, no resistor maior, será:
a) 2,0 b) 4,0 c) 6,0 d) 8,0 e) 12
63. (FUVEST) – Na associação de resistores da figura abaixo, os valo- a) V/R b) V/ (3R) c) 3V/R d) 2V/(3R)
res de i e de R são, respectivamente: e) nenhuma das anteriores.
a) 8A e 5⍀ b) 5A e 8⍀ c) 1,6A e 5⍀
d) 2,5A e 2⍀ e) 80A e 160⍀ 68. (FUVEST) – Considere um circuito formado por 4 resistores
iguais, interligados por fios perfeitamente condutores. Cada resis-
tor tem resistência R e ocupa uma das arestas de um cubo, como
mostra a figura.
64. (MACKENZIE) – Na associação de resistores da figura abaixo, os Aplicando entre os pontos A e B uma diferença de potencial V, a
valores de i e R são, respectivamente: corrente que circulará entre A e B valerá:
a) 4V/R b) 2V/R c) V/R d) V/2R e) V/4R
69. (UFCE) – No circuito visto na figura, a bateria não tem resistência

interna. Determine, em volts, a diferença de potencial Vab entre os
pontos a e b.
227
70. (UFPE) – No circuito da figura abaixo, qual é a corrente i, em am- 75. (UFRS) – Se for i a corrente elétrica que atravessa o resistor R1,
pères, fornecida pela bateria de 12V? quando a chave S estiver fechada, então a corrente que atraves-
sará este mesmo resistor, quando a chave S estiver aberta, será:
a) zero b) i/4 c) i/2 d) i e) 2i
76. (UFPA) – Calcule a diferença de potencial entre os pontos X e Y,

mostrados no circuito a seguir:
71. (MACKENZIE) – No circuito dado, o gerador é ideal.
77. (FUVEST) – Um circuito é formado por três resistores e um gera-

dor G, como indica a figura. A tensão nos terminais do gerador é
de 90V.
A ddp entre os terminais da resistência de 10 ohms é:

a) 3,0V b) 6,0V c) 10V d) 12V e) 60V
(UFBA-MODELO ENEM) – Leia o texto para responder às ques-

tões 72 e 73.
Num laboratório, dispõe-se apenas de resistores de 1000⍀, de a) Qual o valor da intensidade de corrente no gerador?
corrente nominal 0,1A. Deseja-se um resistor de 200⍀, para utili- b) Qual o valor da intensidade de corrente no resistor R1?
zação num determinado circuito.
78. (UNESP-MODELO ENEM) – As instalações elétricas em nossas
72. A maneira adequada de associar os resistores disponíveis é: casas são projetadas de forma que os aparelhos sejam sempre
conectados em paralelo. Dessa maneira, cada aparelho opera de
forma independente. A figura mostra três resistores conectados
em paralelo.
Desprezando-se as resistências dos fios de ligação, o valor da

corrente em cada resistor é
73. A corrente total máxima permissível no circuito é igual a:
a) 0,1A b) 0,2A c) 0,3A d) 0,4A e) 0,5A a) I1 = 3 A, I2 = 6 A e I3 = 9 A. b) I1 = 6 A, I2 = 3 A e I3 = 2 A.
c) I1 = 6 A, I2 = 6 A e I3 = 6 A. d) I1 = 9 A, I2 = 6 A e I3 = 3 A.
Questões 74 e 75. No circuito abaixo, todos os resistores têm a
mesma resistência. e) I1 = 15 A, I2 = 12 A e I3 = 9 A.
79. (FEI) – Calcular a corrente no resistor R = 10 ohms indicado:
74. (UFRS) – Mantendo aberta a chave S, o resistor submetido à

maior diferença de potencial é o:
a) R1 b) R2 c) R3 d) R4 e) R5
228
80. (PUC-RJ) – No circuito abaixo, a diferença de potencial VAB entre 84. (UFPE) – No circuito abaixo, com a chave S aberta, a corrente i é
os terminais da bateria é de 12 volts. As resistências valem de 3A. Determine a corrente i quando a chave S estiver fechada.
R1 = 4,0⍀, R2 = 2,0⍀ e R3 = 2,0⍀.
As correntes i1 e i2, que atravessam as resistências R1 e R2, valem:

a) i1 = 2,0A e i2 = 4,0A; b) i1 = 1,8A e i2 = 1,8A;
c) i1 = 1,2A e i2 = 2,4A; d) i1 = 1,0A e i2 = 2,0A;
e) i1 = 2,0A e i2 = 2,0A. 85. (UFF-RJ) – No circuito a seguir, o gerador é ideal e todos os resis-
tores são iguais. Com a chave S aberta, a corrente no trecho PQ
81. (MACKENZIE) – No circuito abaixo, o gerador é ideal e a intensi- é i (figura).
dade de corrente que passa pelo resistor 4R é 3,5A.
A intensidade de corrente que passa pelo resistor R é:

Fe chando a cha ve S, a nova corrente nesse trecho (PQ) será:
a) 1,0A b) 2,0A c) 3,0A d) 3,5A e) 4,0A
3i i 2i
a) 2i b) –––– c) i d) –––– e) ––––
82. (VUNESP) – No circuito abaixo, determine as correntes i, i1, i2 e 2 2 3
i3 e assinale a opção correta:
86. (FUVEST) – O esquema mostra três fios entre os quais se ligam

algumas lâmpadas iguais.
i(A) i1(A) i2(A) i3(A)

a) 12 4 6 8
b) 24 3 9 12
a) Qual a tensão aplicada às lâmpadas quando o “fio neutro” está
c) 15 6 3 6 ligado?
d) 15 3 6 6 b) Se o fio neutro quebrar-se no ponto P, que tensão será aplicada
às duas lâmpadas de baixo?
e) 6 3 15 3
87. (UNIUBE-MG-MODELO ENEM) – O fusível F do circuito suporta,

83. O circuito a seguir mostra quatro resistores de resistências elétri- no máximo, corrente elétrica de intensidade 30A. Se a chave Ch
cas iguais ligados a uma bateria. Se a corrente elétrica que passa for fechada, a corrente que circula vale
pelo resistor R4 tem intensidade de 6,0A, determine as intensida-
des das correntes através dos resistores R1 e R2.
a) 28A e o fusível não se queima.

b) 30A e o fusível queima-se.
c) 30A e o fusível não se queima.
d) 32A e o fusível queima-se.
e) 32A e o fusível não se queima.
229
7. Amperímetro e voltímetro samente e, portanto, cresce a probabilidade de choque

com as partículas que compõem a corrente elétrica, o que
O amperímetro é um instrumento destinado a medir
se traduz por um aumento da resistência elétrica.
intensidade de corrente. Sua resistência interna é muito
II) O aumento de temperatura faz com que um maior
pequena em relação aos valores habituais de resistências.
número de elétrons livres do material condutor abandone
Um amperímetro é considerado ideal quando sua resis-
seus átomos e passe a integrar a nuvem eletrônica. Com
tência interna é nula. Ele é colocado em série com o
o aumento da densidade de elétrons da nuvem, a corrente
elemento de circuito cuja corrente se quer medir.
tende a tornar-se mais intensa, o que equivale a uma di-
minuição na resistência elétrica (para a mesma tensão, se
a corrente é mais intensa, a resistência elétrica diminui).
Conforme o material condutor estudado, haverá pre-
dominância do efeito I ou do efeito II.
Nos metais, predomina o efeito I e a resistência elé-
trica aumenta com a temperatura.
Em certas ligas metálicas especiais, como o cons-
tantan (54% Cu, 45% Ni, 1% Mn), a manganina (86%
Cu, 12% Mn, 2% Ni) e a niquelina (55% Cu, 45% Ni), os
efeitos I e II se compensam e a resistência permanece
O voltímetro é um instrumento destinado a medir
praticamente constante com a temperatura.
tensão elétrica entre dois pontos de um circuito elétrico.
Na grafita, o efeito II predomina e a resistência
Sua resistência elétrica é muito grande em relação aos
decresce com o aumento da temperatura.
valores habituais de resistências. Um voltímetro é consi-
Ainda nas soluções de eletrólitos, a resistência
derado ideal quando sua resistência interna é infinita.
decresce com o aumento de temperatura, porém por uma
Ele é colocado em paralelo com o elemento de circuito
razão diferente:
cuja tensão se quer medir.
Com o aumento de temperatura, aumenta o grau de
dissociação iônica (aumenta o número de íons que cons-
tituem a corrente elétrica) e ainda diminui a viscosidade
do solvente (facilitando a movimentação dos íons que
constituem a corrente).
Graficamente:
Além do amperímetro e do voltímetro, costuma-se

também usar o galvanômetro, um aparelho detector de
corrente. Devido à sua grande sensibilidade, o galvanô-
metro acusa a presença de correntes, mesmo que sejam
de intensidades muito pequenas.
Matematicamente, podemos escrever que o valor da

resistência R em uma temperatura ␪ é dada, aproxima-
damente, por:
8. Variação da
R = R0 (1 + ␣ ⌬␪)
resistência com a temperatura
Quando a temperatura de um fio de material condu- em que:
tor aumenta, teremos simultaneamente dois fenômenos R0 = resistência elétrica na temperatura inicial ␪0.
que se opõem entre si. ␣ = coeficiente de temperatura do material.
I) O aumento de temperatura faz com que as partí- O coeficiente de temperatura ␣ depende do material
culas que constituem o meio condutor vibrem mais inten- e também do valor da temperatura.
230
Note que, no gráfico apresentado, admitimos ␣ constante, não dependendo da temperatura, o que é uma suposição
apenas aproximada.
Para os metais, temos ␣ > 0, para as ligas especiais citadas, ␣ = 0 e para a grafita e as soluções eletrolíticas, ␣ < 0.
Sendo a dilatação térmica desprezível em comparação com a variação da resistência com a temperatura, de

R = ␳ –– concluímos que a variação da resistência com a temperatura se deve à variação da resistividade com a
A
temperatura.
88. Para o circuito abaixo, determine a leitura do amperímetro ideal. U = Req . i

36 = 18 . i i = 2,0A
A leitura do voltímetro é a ddp no resistor de 3,0⍀:
U=R.i
U = 3,0 . 2,0 (V)
U = 6,0V
Resposta: D
90. (MODELO ENEM) – Sobre um amperímetro, são feitas as seguin-

tes observações:
Resolução
U = Req . i I. Deve sempre ser ligado em série ao elemento de circuito em

24 = 12 . i que se deseja conhecer a intensidade de corrente elétrica.
II. O amperímetro ideal tem resistência elétrica nula.
i = 2,0A III. Um amperímetro ideal, se ligado em paralelo com um elemen-
i to de circuito, promove um curto-circuito.
A leitura do amperímetro é ––– = 1,0A a) Somente I está correta.
2
b) Somente II está correta.
Resposta: 1,0A c) Somente III está correta.
d) Somente I e II estão corretas.
e) Todas estão corretas.
89. A leitura do voltímetro ideal do circuito esquematizado é igual a: Resolução
a) 36V b) 18V c) 12V d) 6,0V e) 3,0V Todas as afirmações feitas estão corretas.
Resposta: E
91. (MODELO ENEM) – Sobre um voltímetro, são feitas as seguintes

observações:
Resolução
I. Deve sempre ser ligado em paralelo ao elemento de circuito

sobre o qual se deseja conhecer a tensão elétrica.
II. O voltimetro ideal tem resistência elétrica infinita.
III. Um voltímetro ideal, se ligado em série com um elemento de
circuito, interrompe a passagem de corrente elétrica nesse
ramo.
231
a) Somente I está correta. Resolução

b) Somente II está correta. I. Correta. Na associação série, i = cte.
c) Somente III está correta. II. Correta.
d) Somente I e II estão corretas. III. Correta. Sua resistência elétrica no caso ideal é infinita.
e) Todas estão corretas. Resposta: E
92. (UFU-MG) – No circuito da figura, o amperímetro A assinala 2A.

A resistência R vale:
a) 1 ohm b) 3 ohms c) 4 ohms
d) 2 ohms e) 0,5 ohm
93. (U.GAMA FILHO-RJ) – Com a chave C desligada, a corrente no

amperímetro A, da figura a seguir, vale 3,0A. Ligando-se a chave,
a corrente no amperímetro passará a valer, em ampères:
a) 1,5 b) 3,0 c) 4,5 d) 6,0 e) 7,5 Qual a intensidade de corrente acusada pelo amperímetro quando
a chave está
a) aberta?
b) fechada?
96. (UNICAMP-SP) – No circuito da figura, A é um amperímetro de

resistência nula, V é um voltímetro de resistência infinita.
94. (UFRS-MODELO ENEM) – Nos circuitos a seguir, as resistências

R dos resistores são iguais. A pilha fornece uma diferença de
potencial constante V. Em qual dos circuitos o amperímetro (A)
indica intensidade de corrente maior?
a) Qual a intensidade da corrente medida pelo amperímetro?

b) Qual a tensão elétrica medida pelo voltímetro?
c) Quais os valores das resistências R1 e R2?
97. (VUNESP) – No circuito a seguir esquematizado, determine o

valor da d.d.p. indicada pelo voltímetro V quando
95. (FUVEST) – O circuito mostra três resistores, uma bateria, um

amperímetro, fios de ligação e uma chave.
232
a) a chave CH está aberta; 100. (FUVEST-MODELO ENEM)

b) a chave CH está fechada.
98. (UFMG-MODELO ENEM) – Neste circuito, existem duas

lâmpadas iguais, indicadas por L, ligadas a uma pilha P, a um
amperímetro A, a um voltímetro V e a uma chave C, inicialmente
aberta.
Considere os medidores ideais e constante a tensão elétrica for-
necida pela pilha.
Considere o circuito anterior constituído por uma pilha E, fios de

cobre, uma lâmpada de lanterna L, e uma resistência metálica R.
A lâmpada está acesa, brilhando fortemente. Aquecendo a
resistência com a chama de uma vela, podemos afirmar que o
brilho da lâmpada
a) aumenta porque a resistência aumenta com a temperatura.
b) diminui porque a resistência aumenta com a temperatura.
c) aumenta porque a resistência diminui com a temperatura.
d) diminui porque a resistência diminui com a temperatura.
Fechando-se a chave C, as leituras dos medidores irão apresentar,
e) não se altera porque a resistência não muda com a tempera-
em relação a seus valores iniciais,
tura.
a) aumento em A e diminuição em V.
b) aumento em A e o mesmo valor em V.
101. (ITA) – Pretende-se determinar a resistência de uma lâmpada,
c) diminuição em A e aumento em V.
cuja tensão nominal é de 120 volts, com um circuito no qual se
d) o mesmo valor em A e aumento em V.
pode medir simultaneamente a tensão aplicada à lâmpada e a
e) os mesmos valores nos dois medidores.
intensidade de corrente nela.
Foram feitas duas medições: primeiro a 120 volts e depois a
40 volts. Calculou-se a resistência da lâmpada aplicando-se a Lei de
99. (FUVEST) – Para um teste de controle, foram introduzidos três
Ohm e obteve-se resistência sensivelmente maior para 120 volts.
amperímetros (A1, A2 e A3) em um trecho de um circuito, entre M
Pode-se afirmar que
e N, pelo qual passa uma corrente total de 14A (indicada pelo
a) houve erro nas medidas, pois os resultados deveriam ser
amperímetro A4). Nesse trecho, encontram-se cinco lâmpadas, in-
iguais;
terligadas como na figura, cada uma delas com resistência invariá-
b) houve um curto-circuito no filamento da lâmpada, diminuindo
vel R.
a resistência na 2.a medida;
c) a diferença decorre da desigualdade de temperaturas do fila-
mento nas duas tensões;
d) o processo não serve para medir resistência.
102. (PUC) – Tendo em vista a variação da resistência com a tempera-

tura, pode-se prever que, quando se aplica subitamente uma ten-
são constante ao filamento de tungstênio de uma lâmpada, para
acendê-la, a intensidade de corrente
a) cresce gradualmente até atingir o valor de regime;
b) é maior nos instantes iniciais do que depois de atingir o valor
de regime;
c) adquire desde o instante inicial um valor constante;
d) oscila, antes de atingir o valor do regime.
Nessas condições, os amperímetros A1, A2 e A3 indicarão, respec-

tivamente, correntes I1, I2 e I3 com valores aproximados de
a) I1 = 1,0A I2 = 2,0A I3 = 11A
b) I1 = 1,5A I2 = 3,0A I3 = 9,5A
c) I1 = 2,0A I2 = 4,0A I3 = 8,0A
d) I1 = 5,0A I2 = 3,0A I3 = 6,0A
e) I1 = 8,0A I2 = 4,0A I3 = 2,0A
233
9) 2,0 . 102⍀ 10) 20A 11) E 30) C 37) D 38) 5R 39) 3,9⍀ 40) 7,5⍀
12) B 13) D 14) 2,0⍀ 41) B 42) D 43) 3,50⍀ 44) B 45) A
15) a) resistor ôhmico (linear) 46) 100⍀ 47) B 48) A 49) D

b) 1,85 . 103⍀
50) a) 3R 51) C 52) E 53) A
16) E 17) D 5R
b) –––
2
18)
(2N + 1) R
c) –––––––––– (N → ⬁; Req → 2R)
N
54) A 55) A 56) A
57) Circuito equivalente entre os pontos A e B.
19) a)
Resposta: D
58) C 59) 20V 60) C 61) C 62) A
63) A 64) B 65) D 66) 21A 67) A

b) 50⍀
68) A 69) 20V 70) 24A 71) E 72) B
20) C 21) D 22) C 23) C
73) E 74) A 75) D 76) 10V

24) (I) RI = ␳ –– = 10⍀
A
77) a) 9,0A 78) B 79) 0,40A 80) C 81) E
b) 3,0A
–––
2 1
(II) RII = ␳ –––– = –– ␳ –– = 5,0⍀ 82) D 83) 18A e 12A 84) 4A 85) E
A 2 A
2 86) a) 110V 87) D 92) D 93) C 94) E

(III)RIII = ␳ –––– = 4 ␳ ––– = 40⍀ b) 147V
A A
–––
2
95) a) 0,25A 96) a) 12A 97) a) 56V
b) 0,75A b) 100V b) 70V
25) 20A 26) B 27) ␳
1/␳2 28) C c) R1 = 10⍀
R2 = 50⍀
29)
98) B 99) C 100) B 101) C 102) B
234
CAPÍTULO
Eletrodinâmica
3 GERADORES ELÉTRICOS
B aterias e pilhas são dois dos

geradores elétricos mais conhecidos.
Tais elementos têm como princípio de
funcionamento a transformação de
energia química em energia elétrica.
O gerador, na realidade, não gera energia, como se

poderia supor pelo seu nome. Ele apenas transforma
energia não elétrica em energia elétrica. A função básica
do gerador é abastecer energeticamente o circuito elétri-
co, aumentando a energia potencial das cargas que o atra-
vessam.
2. Gerador ideal
Chama-se gerador ideal aquele que é capaz de
fornecer às cargas que o atravessam toda a energia elé-
Unidade de geração de eletricidade em uma usina hidroelétrica. trica gerada. A tensão elétrica medida entre seus polos
recebe o nome de força eletromotriz (f.e.m.) e vamos
representá-la por E.
A f.e.m. do gerador ideal corresponde à quantidade
de energia elétrica que cada unidade de carga recebe ao
atravessá-lo.
Sendo uma tensão elétrica, a f.e.m. é expressa em
volt. Assim, quando dizemos que a f.e.m. é igual a 1V,
significa que, para cada quantidade de carga de 1C, o ge-
rador forneceu 1 joule de energia elétrica.
1J
O dispositivo conhecido como “Dínamo de bicicleta” é um exemplo de gera- 1V = ––––
dor eletromecânico, efetuando a transformação de energia mecânica em 1C
energia elétrica.
Simbolizamos o gerador ideal pela figura abaixo:
1. Gerador elétrico
Denomina-se gerador elétrico a um elemento capaz
de transformar em energia elétrica uma outra modalidade
de energia.
235
Convém ressaltar que a corrente elétrica no interior

do gerador não é espontânea, mas forçada. Por este mo-
tivo, ela o percorre no sentido do menor para o maior po-
tencial.
Finalizando, destaquemos mais uma vez que a tensão
(U) entre os polos A e B, do gerador ideal, é igual à sua
f.e.m. (E).
IDEAL: U = VB – VA = E
3. Gerador real Nestas condições, a d.d.p. U entre os polos A e B do

gerador é nula, pois o fio tem resistência elétrica nula. A cor-
Na prática, os geradores ideais não existem. Quando rente elétrica que atravessa o gerador é denominada
uma corrente elétrica atravessa um gerador real, ela en- corrente de curto-circuito (icc) e é a mais intensa possível.
contra uma certa resistência interna por parte dos ele- Fazendo U = 0 em U = E – r . i, tiramos icc:
mentos condutores que compõem o gerador. Chamemos
de (r) a medida dessa resistência interna. E
U=E–r.i 0 = E – r . icc icc = –––
Simbolizamos, então, o gerador real pela figura: r
5. Gerador em circuito aberto

Um gerador está em circuito aberto quando não ali-
menta nenhum circuito externo.
Nesta condição: i=0 e U=E .
6. Curva característica
É evidente que, estando o gerador real em funcio- de um gerador
namento, a tensão (U) entre os polos A e B é menor que
sua f.e.m. Devido à sua resistência interna, haverá uma
perda de tensão no seu interior igual ao produto r . i. As- Para o gerador ideal, temos U = E (constante) e,
sim, a tensão (U) entre os polos do gerador real será: neste caso, o gráfico U em função de i é uma reta paralela
ao eixo dos i.
U=E–r.i
REAL: U = VB – VA < E (i ⫽ 0)
Sendo U = E – r . i, com E e r constantes do gerador,
o gráfico de U em função de i é uma reta inclinada de-
O gerador real fica, portanto, caracterizado pelos crescente, em relação aos eixos.
seus dois parâmetros: E e r.
Notemos, finalmente, que, se não houver corrente no
gerador real (gerador em vazio, aberto), teremos U = E.
4. Gerador em curto-circuito
Um gerador está em curto-circuito quando seus polos
são ligados por um fio de resistência elétrica nula.
236
O ponto A do gráfico corresponde ao gerador em E E

N N
circuito aberto (i = 0; U = E). O ponto B corresponde tg ␣ = –––– ⇒ tg ␣ = ––––
ao gerador em curto-circuito (U = 0; i = icc). icc E/r
O coeficiente angular dessa reta, em valor absoluto,
é dado por: N
tg ␣ = r
1. (MODELO ENEM) – Na aula de laboratório de Física, os estu- 2. (UFSCar-MODELO ENEM) – Com respeito aos geradores de
dantes constroem o seguinte gráfico no estudo de uma bateria. corrente contínua e suas curvas características U x i, analise as
afirmações seguintes:
I. Matematicamente, a curva característica de um gerador é
decrescente e limitada à região contida no primeiro quadrante
do gráfico.
II. Quando o gerador é uma pilha em que a resistência interna
varia com o uso, a partir do momento em que o produto dessa
resistência pela corrente elétrica se iguala à força eletromotriz,
a pilha deixa de alimentar o circuito.
III. Em um gerador real conectado a um circuito elétrico, a
diferença de potencial entre seus terminais é menor que a
força eletromotriz.
Está correto o contido em
Os valores da resistência interna, da força eletromotriz e da cor- a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas.
rente de curto-circuito são, respectivamente: d) II e III, apenas. e) I, II e III.
a) 4⍀, 10V, 1A b) 250⍀, 10V, 4 . 10–2A Resolução
–2 I) Correta
c) 25⍀, 10V, 4 . 10 A d) 0,025⍀, 1V, 1A
A equação característica de um gerador é dada por U = E – ri,
e) 0,25⍀, 10V, 0,25 . 102A em que U é a tensão entre os seus terminais, E sua força
Resolução eletromotriz, r sua resistência interna e i a intensidade da
corrente que o atravessa.
A função U = f(i) é do 1.o grau e decrescente.
A curva característica do gerador (U x i), do ponto de vista da
Física, limita-se à região contida no primeiro quadrante:
Da análise do gráfico, concluímos que:
E = 10V
II) Correta
icc = 4 . 10–2A
Se r i = E, vem U = 0, isto é, o gerador deixa de “alimentar” o
N 10V circuito externo.
r = tg ␣ = –––––––– ⇒ r = 250⍀ III) Correta
4 . 10–2A
De U = E – r i, vem: U < E
Resposta: B Resposta: E
3. A força eletromotriz de uma bateria é 4. (CESGRANRIO) – Em qual (quais) das situações ilustradas abaixo
a) a força elétrica que acelera os elétrons; a pilha está em curto-circuito?
b) igual à tensão elétrica entre os terminais da bateria quando a
eles está ligado um resistor de resistência nula;
c) a força dos motores ligados à bateria;
d) igual ao produto da resistência interna pela intensidade da
corrente;
e) igual à tensão elétrica entre os terminais da bateria quando
eles estão em aberto.
237
a) somente em I b) somente em II
c) somente em III d) somente em I e II
e) em I, II e III
5. (CESGRANRIO) – Qual dos gráficos a seguir representa a curva

característica de uma bateria de resistência interna desprezível?
A resistência interna do gerador é de:

a) 0,5⍀ b) 1,0⍀ c) 2,0⍀ d) 4,0⍀ e) 6,0⍀
9. (F.M. ITAJUBÁ) – O gráfico a seguir mostra como varia a corren-

te que passa por um gerador, em função da diferença de potencial
que existe entre seus terminais.
6. (UFAL) – Admitindo-se constante e não nula a resistência interna

de uma pilha, o gráfico da tensão (U) em função da corrente (i) que
atravessa essa pilha é mais bem representado pela figura:
Sua força eletromotriz e sua resistência interna valem, respectiva-

mente:
a) 6V e 30⍀; b) 30V e 5⍀; c) 30V e 6⍀;
d) 30V e 25⍀; e) n.d.a.
7. (FATEC-MODELO ENEM) – Uma pilha elétrica tem força eletro- 10. Calcular o valor da f.e.m., da resistência interna e da corrente de
motriz E = 6,0V e resistência interna r = 0,20⍀. Assim: curto-circuito (icc) dos geradores representados pelos gráficos
a) a corrente de curto-circuito é icc = 1,2A; abaixo:
b) em circuito aberto, a tensão entre os terminais é U = 2,0V;
c) se a corrente for i = 10A, a tensão entre os terminais é
U = 2,0V;
d) se a tensão entre os terminais for U = 5,0V, a corrente é
i = 25A;
e) n.d.a.
8. (PUC) – A figura mostra o valor da tensão nos terminais de um

gerador real em função da corrente por ele fornecida.
7. Circuito simples E
i = –––––––
É o circuito que oferece um só caminho para a cir- r+R
culação da corrente elétrica. O circuito mais simples é
aquele constituído por um gerador ligado a um resistor. (Lei de Pouillet)
Graficamente, temos:
Para o gerador, temos:
U=E–r.i 햲
Para o resistor:
U=Ri 햳
De 햲 e 햳, vem:
O ponto T, intersecção das duas retas, é denomi-
Ri = E – r . i nado ponto de trabalho. Ele indica a tensão comum U
i (r + R) = E aos dois aparelhos e a corrente comum i que os percorre.
238
11. Que intensidade de corrente circula no circuito simples, abaixo es- Resolução
quematizado? Esquematizaremos os dois circuitos simples.
Aplicando-se a Lei de Pouillet a cada circuito, temos:

E E
Dados: I i1 = –––––– II i2 = ––––––
r + R1 r + R2
E = 15 volts
r = 0,50 ohms que constituem um sistema de duas equações a duas incógnitas.
R = 4,5 ohms
Os condutores de ligação são ideais. A resolução do sistema nos fornece:
Resolução
i1 i2 R2 i2 – R1 i1
Aplicando a Lei de Pouillet: E = (R2 – R1) –––––– e r = ––––––––––––
i1 – i2 i1 – i2
E 15
i = ––––– = –––––––––– (A) → i = 3,0A
r+R 0,50 + 4,5 que são as respostas da questão, admitindo-se que os valores
dados R1, R2, i1 e i2 sejam compatíveis com a experimentação, de
12. O gráfico abaixo fornece as curvas características de um gerador maneira que resultem E e r positivos.
e de um resistor, interligados corretamente, mediante condutores
ideais. 14.
No circuito proposto, a indicação do amperímetro ideal é 5A. Cal-

cule a resistência interna do gerador.
Resolução
Obter No circuito redesenhado, indicamos por i a corrente total, por i1 a
a) a f.e.m. (E) e a resistência interna (r) do gerador; corrente em R1 (i1 = 5A) e por i2 a corrente em R2:
b) a tensão elétrica que o gerador aplica no resistor;
c) a resistência do resistor externo.
Resolução
a) Do gráfico do gerador, reta que passa pelos pontos (0; 60) e
E
(4; 0), tiramos E = 60V , icc = 4A e, como icc = –––– ,
r
E 60
obteremos r = –––– = –––– (⍀) → r = 15⍀
icc 4
b) A corrente elétrica no circuito proposto tem intensidade de 3A

(abscissa do ponto de trabalho dada pela intersecção das duas
retas). A equação do gerador dado é U = 60 – 15 . i e, sendo
i = 3A, obtemos U = 15V (ordenada do ponto de trabalho),

Cálculos:
que é a tensão que o gerador aplica no resistor externo. a) UAB = R1 . i1 = 1 . 5(V) ⇒ UAB = 5V
c) A equação do resistor ôhmico é U = R . i e, sendo U = 15V e
5
b) UAB = R2 . i2 → 5 = 3 . i2 ⇒ i2 = ––– A
i = 3A, obtemos: R = 5⍀ 3
5 20
13. Quando se liga aos terminais de um gerador a resistência R1, c) i = i1 + i2 → i = 5A + ––– A ⇒ i = –––– A
3 3
circula corrente de intensidade i1. Trocando-se o resistor por ou-
tro, de resistência R2, a corrente passa a valer i2. Calcular a f.e.m.
d) UAB = E – r . i → 5 = 6 – r . 20/3 ⇒ r = 0,15⍀
(E) e a resistência interna (r) desse gerador.
239
15. (PUC-CAMPINAS) – No circuito, temos um gerador de força ele- A tensão entre os pontos a e c vale:
tromotriz E = 6V e resistência interna r = 1⍀. Sabendo que a) 12V b) 24V c) 6V d) 3V e) 1,5V
R1 = 5⍀ e R2 = 6⍀, a corrente no circuito, em ampère, é de:
a) 6,0 b) 1,2 c) 1,0 d) 0,5 e) 0,2 19. No circuito abaixo, o gerador G tem f.e.m. E =12V e resistência
interna r = 1⍀. Ele é ligado a um resistor de resistência R = 119⍀.
Calcule a diferença de potencial entre os pontos A e B.
20. Um gerador de força eletromotriz E = 1,5V e resistência interna

16. (UNISA) – No esquema a seguir, representamos uma pilha de for- r = 0,10⍀ é ligado a um condutor externo de R = 0,65⍀. A di-
ça eletromotriz E e resistência interna r. ferença de potencial entre os terminais do gerador é:
a) 1,2V b) 1,5V c) 1,3V d) 0,65V e) n.d.a.
21. (COVEST-PE) – Qual a diferença de potencial, em volts, entre os

pontos A e B do circuito abaixo?
Calcule
a) a intensidade de corrente no circuito;
b) a tensão entre os pontos A e B.
17. (UEL-PR) – Pelas indicações do esquema abaixo, pode-se concluir 22. (ITAJUBÁ-MG-MODELO ENEM) – Uma bateria possui uma força
que a resistência interna da fonte, em ohms, é um valor mais pró- eletromotriz de 20,0V e uma resistência interna de 0,500 ohm. Se
ximo de intercalarmos uma resistência de 3,50 ohms entre os terminais da
a) 1,0 x 10–2 b) 1,5 x 10–1 c) 1,0 bateria, a diferença de potencial entre eles será:
d) 10 e) 1,5 x 10 a) 2,50V b) 5,00V c) 1,75 . 10V d) 2,00 . 10V
e) um valor ligeiramente inferior a 2,00 . 10V
23. (UFBA) – No circuito representado na figura abaixo, têm-se

E = 10V, R1 = 4 ohms e R2 = 8 ohms. Sabendo-se que a queda de
potencial no resistor R3 é igual a 6V, determine, em ohms, o valor
de R3.
18. No circuito da figura, tem-se uma bateria ideal de f.e.m. E = 12

volts e dois resistores, R1 = 300⍀ e R2 = 180⍀.
24. (UECE) – Quando se liga a associação abaixo a um gerador com
1 ohm de resistência interna e 3 volts de f.e.m., a corrente na
resistência R1 é:
a) 1,00A b) 0,60A c) 0,75A d) 2,00A
240
25. (UFSM-RS) – No circuito representado na figura, a corrente elétri-

ca no resistor R1 tem intensidade 4,0A. Calcule a f.e.m. do gerador.
O valor da força eletromotriz E da bateria é:

26. (MACKENZIE) – No circuito abaixo, o gerador de tensão é ideal. a) 50V b) 40V c) 30V d) 20V e) 10V
A intensidade de corrente que passa pelo resistor de 4⍀ é:
a) 0,5A b) 1,0A c) 1,5A d) 2,0A e) 2,5A 30. (F.M. JUNDIAÍ-MODELO ENEM) – Um gerador (E, r) e um resis-
tor R constituem o circuito elétrico abaixo. As curvas
características destes aparelhos estão representadas no gráfico
abaixo.
27. (UNISA) – Considere o circuito formado pelo gerador de f.e.m.

E = 10V (resistência interna desprezível) e pelos três resistores de
resistência R1 = 6⍀, R2 = 5⍀ e R3 = 20⍀.
(I) A intensidade de corrente é i = 5A.

(II) A f.e.m. do gerador é 20V.
(III) A tensão no resistor é 10V.
(IV)A resistência do resistor é igual a 2⍀.
(V) O gerador tem resistência interna (r) numericamente igual a R.
Responda à questão de acordo com o código abaixo:
a) se todas forem corretas;
b) se apenas (I) e (V) forem corretas;
c) se apenas (I), (III) e (IV) forem corretas;
d) se apenas (II), (III) e (V) forem corretas;
e) se todas forem falsas.
Qual a intensidade da corrente elétrica que passa por R2?
a) 1,2A b) 1,0A c) 0,8A d) 0,4A e) 0,8A 31. (FATEC-MODELO ENEM) – No esquema a seguir, representa-se
um circuito elétrico. Os diagramas dão as “características” dos
bipolos componentes (tensão em função de corrente). A corrente
28. (UFPE) – No circuito da figura, a corrente através do amperímetro no circuito tem intensidade i.
é igual a 3,5A, quando a chave S está aberta. Desprezando as
resistência internas do amperímetro e da bateria, calcule a
corrente no amperímetro, em ampères, quando a chave estiver
fechada.
Assinalar o conjunto coerente:

E r R i
––– ––– ––– –––
V ⍀ ⍀ A
a) 20 2 2 10
b) 10 2 2 2,5
a) 3,5 b) 4,0 c) 6,0 d) 7,5 e) 8,0 c) 20 0 2 10
d) 10 0 2 5
29. (MACKENZIE) – No circuito representado a seguir, a bateria é ideal
e) 20 2 2 5
e a intensidade de corrente i1 é igual a 1,5A.
241
32. (MACKENZIE) – No circuito abaixo, a ddp entre os pontos A e B

vale:
a) 2,4V b) 4,8V c) 1,2V d) 6,0V e) zero
37. (UC-MG) – A intensidade de corrente, em ampère, na resistência

de 6,0⍀ é:
a) 1,2 b) 2,0 c) 3,6 d) 4,0 e) 8,0
Instruções:
A figura e as informações abaixo referem-se às questões de nú-
meros 33 e 34.
No circuito abaixo, R1 = R3 = 1⍀ e R2 = R4 = 2⍀,
E é a força eletromotriz da bateria, cuja resistência interna é nula.
38. (UFES) – Se a força eletromotriz do gerador é 2V, qual a sua

resistência interna?
a) 20⍀ b) 15,5⍀ c) 9⍀ d) 2⍀ e) zero
33. (UFRS) – Sendo i a intensidade da corrente elétrica que passa

pelo resistor R3, as correntes i1 e i2 serão, respectivamente:
a) i/3 e 2i/3; b) 2i/3 e i/3; c) i/2 e i/2;
d) i/2 e i; e) i e i/2.
34. Sendo i = 3A, E valerá, em volt:

a) 1,2 b) 5,5 c) 11,0 d) 13,5 e) 18,0
35. (FEI) – O gerador, do circuito da figura, tem força eletromotriz E e

resistência interna r. Quando a chave Ch está aberta, a corrente no
gerador é i e, quando a chave está fechada, a corrente no gerador é
4
–– i.
3
39. (FEI) – Um gerador tem f.e.m. E e resistência interna r. A tensão
entre os terminais do gerador é U1 = 30V, quando a ele é ligado
um resistor de resistência R1 = 15 ohms. Se aos terminais desse
gerador for ligado um resistor de resistência R2 = 40 ohms, a
tensão nos terminais passa a ser U2 = 40V. Determinar E e r.
40. Quando um gerador é ligado a um resistor R1 = 900⍀, observa-se

que a tensão em seus terminais é U1 = 90V. Substituindo-se o
resistor por outro, R2 = 100⍀, a tensão nos terminais do gerador
passa a U2 = 50V. Calcule
a) a f.e.m. do gerador;
b) a resistência interna dele.
41. (UFSC) – No circuito esquematizado abaixo, a bateria tem força

eletromotriz igual a 12V e resistência interna de 100⍀.
Qual, em ohms, o valor de r?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
36. No circuito da figura, o reostato AB é munido do cursor C, sendo

a resistência entre A e B igual a 40⍀. Qual a corrente no gerador
quando o cursor está em B? Em que posição deverá ser colocado
o cursor para que a corrente no gerador seja a metade daquela
encontrada na situação anterior?
242
A tensão entre os terminais A e B da bateria e o potencial de A

em relação à terra são, respectivamente:
a) 6,2V e zero b) 12V e zero c) 13,2V e 3,6
d) 10,8V e 3,6V e) 10,8V e –3,6V
42. (UFRJ) – Deseja-se determinar as características de uma bateria

usando-se duas resistências de 5,0⍀, um amperímetro e conexões
(fios e uma chave) de resistências desprezíveis.
A figura mostra um circuito com a bateria ligada de tal forma que o
amperímetro indica uma corrente de 1,2A com a chave aberta e
uma corrente de 2,0A com a chave fechada.
Dados: E = 10V; r = 2,0⍀; R = 2,0⍀

A opção que traduz valores mais próximos das indicações do vol-
tímetro e do amperímetro é:
a) 5,0V e 2,5A; b) 10V e 5,0A; c) 5,0V e zero;
d) 10V e zero; e) zero e zero.
45. (MACKENZIE-SP) – No circuito elétrico abaixo, o gerador e o

amperímetro são ideais.
Com a chave ch aberta, o amperímetro acusa a medida 300 mA.

Fechando a chave, o amperímetro acusará a medida:
a) 100 mA b) 200 mA c) 300 mA d) 400 mA
46. (FUVEST) – No circuito esquematizado abaixo, E representa uma

bateria de 10V, A um amperímetro, R uma resistência de 10⍀ e V
um voltímetro. As resistências internas da bateria e do amperíme-
tro podem ser desprezadas e o voltímetro é ideal.
a) Usando os símbolos indicados na tabela, faça um esquema

deste circuito.
b) Calcule a f.e.m. (força eletromotriz) e a resistência interna da
bateria.
43. (FATEC) – O amperímetro ideal indicado no circuito acusa uma a) Qual a leitura do amperímetro?
corrente de 0,10A. b) Qual a leitura do voltímetro?
47. (FUVEST-MODELO ENEM) – O amperímetro A e o voltímetro V

do circuito a seguir são ideais. Com a chave K ligada, o am-
perímetro marca 1mA e o voltímetro, 3V. Desprezando-se a resis-
tência interna da bateria, quais os valores de R e E?
A queda de tensão nos terminais de R2 vale:

a) 12V b) 10V c) 2V d) 5V e) 6V
44. (UNIP) – Para medir a tensão e a intensidade de corrente em um

resistor (R), um aluno equivocado montou o circuito da figura, no
qual o amperímetro e o voltímetro são de boa qualidade.
243
a) R = 1500⍀, E = 7,5V b) R = 3000⍀, E = 15V 50. (FUVEST) – No circuito da figura, o amperímetro e o voltímetro
c) R = 500⍀, E = 3V d) R = 1,5⍀, E = 5V são ideais. O voltímetro marca 1,5V quando a chave K está aberta.
Fechando-se a chave K, o amperímetro marcará
e) R = 3,0⍀, E = 15V a) 0 mA b) 7,5 mA c) 15 mA.
d) 100 mA e) 200 mA.
48. (FUVEST) – No circuito da figura, E = 8V, r = 100⍀ e R = 1200⍀.
a) Qual a leitura no amperímetro A?

b) Qual a leitura no voltímetro V?
49. (ITA) – No circuito desenhado a seguir, têm-se duas pilhas de 1,5V

cada uma, de resistências internas desprezíveis, ligadas em série, 51. (UNICAMP) – Uma bateria de automóvel pode ser representada
fornecendo corrente para três resistores com os valores indica- por uma fonte de tensão ideal U em série com uma resistência r.
dos. Ao circuito estão ligados ainda um voltímetro e um amperí- O motor de arranque, com resistência R, é acionado pela chave
metro de resistências internas, respectivamente, muito alta e de contato C, conforme mostra a figura abaixo.
muito baixa.
Foram feitas as seguintes medidas no voltímetro e no amperíme-

tro ideais:
Chave aberta Chave fechada
As leituras desses instrumentos são, respectivamente: V(volts) 12 10

R1 = R2 = 1,0⍀ I (ampères) 0 100
R3 = 2,0⍀
a) 1,5V e 0,75A b) 1,5V e 1,5A a) Calcule o valor da diferença de potencial U.
c) 3,0V e 0A d) 2,4V e 1,2A b) Calcule r e R.
Obs.: admita que, no instante em que a chave C é fechada, o
e) outros valores que não os mencionados.
motor de arranque funciona como um resistor de resistência R.
8. Associação de geradores
A figura ao lado representa três geradores em série. No entanto, a

nossa teoria poderá ser estendida para n geradores em série.
Propriedades:
1.a) A corrente é a mesma em todos os geradores.
2.a) A tensão total (U) entre A e B é a soma das tensões parciais:
U = U1 + U2 + U3
3.a) A f.e.m. equivalente é a soma das f.e.m. dos geradores par-
ciais: Es = E1 + E2 + E3
4.a) A resistência interna equivalente (rs) é a soma das resistências internas parciais:
rs = r1 + r2 + r3
244
Demonstração da 3.a e da 4.a propriedade: Seja a associação representada na figura a e esque-

U = U 1 + U2 + U3 matizada na figura b. A figura c ilustra o gerador equi-
Es – rs . i = (E1 – r1 . i) + (E2 – r2 . i) + (E3 – r3 . i) valente da associação proposta.
Es – rs . i = (E1 + E2 + E3) – (r1 + r2 + r3) . i Nesta associação, temos dois geradores iguais, de
f.e.m. E e resistência r, ligados em paralelo.
Da identidade entre os binômios do 1.o e do 2.o mem-
bro, tiramos: Propriedades:
Es = E1 + E2 + E3 e rs = r1 + r2 + r3 1.a) A tensão (U) é a mesma nos dois geradores.
2.a) A intensidade de corrente (i) é a mesma nos

dois geradores. A intensidade total (I) vale:
I = i + i ⇒ I = 2i
3.a) A f.e.m. do gerador equivalente é igual à f.e.m.

de cada um dos geradores associados:
Ep = E
4.a) A resistência equivalente da associação é dada

por:
r
rp = ––
2
Para n geradores iguais, em paralelo, teremos:
r
Consideremos apenas geradores iguais associados rp = ––
n
em paralelo. Este caso é, praticamente, o único utilizado.
52. Um gerador de f.e.m. E1 = 3V e resistência r1 = 0,6⍀ e outro de

e a f.e.m. será: E = E1 = 4,5V
f.e.m. E2 = 6V e resistência interna r2 = 1,2⍀ são associados em
série. Determine a f.e.m., a resistência interna e a corrente de
curto-circuito do gerador equivalente. 54. (MODELO ENEM) – Em uma aula experimental de Física, asso-
Resolução ciam-se em paralelo três séries, cada uma contendo quatro gerado-
f.e.m.: E = E1 + E2 = 3V + 6V ⇒ res iguais que apresentam individualmente E1 = 1,50V e r1 = 0,60⍀.
E = 9V
Essa associação é ligada a um resistor de 4,0⍀. A intensidade de
corrente através desse resistor é de:
resistência interna: r = r1 + r2 = 0,6⍀ + 1,2⍀ ⇒ r = 1,8⍀
a) 1,25A b) 1,50A c) 1,75A d) 2,00A e) 2,25A
E 9
corrente de curto-circuito: icc = ––– = –––– (A) ⇒ icc = 5A Resolução
r 1,8
Esquematizemos a associação:
53. Cinco geradores de 4,5V e corrente de curto-circuito igual a

500mA são associados em paralelo. Qual a f.e.m. e a resistência
interna do gerador equivalente?
Resolução
A resistência interna de cada gerador é:
E1 4,5
r1 = ––– = ––– (⍀) ⇒ r1 = 9⍀
icc 0,5
Logo, a resistência interna do gerador equivalente será:

O gerador equivalente à associação apresenta f.e.m. igual a:
r1 9
r = ––– = ––– (⍀) ⇒ r = 1,8⍀
n 5 E = 4E1 = 4 . 1,5(V) ⇒ E = 6,0V
245
e resistência interna igual a:
4r1 4
r = –––– = ––– . 0,60⍀ ⇒ r = 0,80⍀
3 3
A intensidade de corrente em R será, então:
E 6,0
I = ––––– = ––––––––– (A) ⇒ i = 1,25A
r+R 0,80 + 4,0
Resposta: A
55. (UNESP-MODELO ENEM) – Três resistores idênticos, cada um

deles com resistência R, duas pilhas, P1 e P2, e uma lâmpada L
estão dispostos como mostra a figura. Dependendo de como
estão as chaves C1 e C2, a lâmpada L pode brilhar com maior ou
menor intensidade ou, mesmo, ficar apagada, como é a situação
mostrada na figura.
Resolução
Para a lâmpada apresentar maior brilho, a corrente elétrica que a
atravessa deve ter intensidade máxima. Isto se consegue
diminuindo-se a resistência total do circuito e aumentando-se a
força eletromotriz. Basta, então, fechar a chave C1 (para diminuir
Sabendo que em nenhum caso a lâmpada se queimará, podemos a resistência) e colocar a chave C2 na posição F (para que as pilhas
afirmar que brilhará com maior intensidade quando as chaves esti- fiquem associadas em série).
verem na configuração mostrada na alternativa Resposta: E
56. (FUVEST) – As figuras ilustram pilhas ideais associadas em série algumas pilhas de 1,5V cada uma. Considerando que essas pilhas
(1.o arranjo) e em paralelo (2.o arranjo). Supondo as pilhas idênticas, são geradores elétricos ideais, duas associações possíveis são:
assinale a alternativa correta:
a) Ambos os arranjos fornecem a
mesma tensão.
b) O 1.o arranjo fornece uma tensão
maior que o 2.o.
c) Se ligarmos um voltímetro aos
terminais do 2.o arranjo, ele indicará
uma diferença de potencial nula.
d) Ambos os arranjos, quando ligados
a um mesmo resistor, fornecem a
mesma corrente.
e) Se ligarmos um voltímetro aos
terminais do 1.o arranjo, ele indicará
uma diferença de potencial nula.
57. (VUNESP) – O gráfico repre-

senta a corrente I que atra-
vessa um resistor de resis-
tência R quando é alimentado
por pilhas ligadas em série.
Se a f.e.m. de cada pilha (com
resistência interna desprezí-
vel) é 1,5 volt, qual é o valor
da resistência R?
58. (MACKENZIE-SP-MODELO ENEM) – Para um certo equipamento

eletrônico funcionar normalmente, utiliza-se uma fonte de alimen-
tação de 6,0V, a qual pode ser obtida pela associação adequada de
246
59. (FUVEST-MODELO ENEM) – Seis pilhas iguais, cada uma com A resistência externa R é igual a 3⍀. Qual a intensidade de corrente
diferença de potencial V, estão ligadas a um aparelho, com elétrica (i)?
resistência elétrica R, na forma esquematizada na figura.
62. (U.F.S.CARLOS) – Três baterias idênticas são ligadas em paralelo,

como na figura a seguir. A força eletromotriz de cada bateria é E,
com resistência interna igual a r. A bateria equivalente dessa asso-
ciação tem força eletromotriz e resistência interna respectivamen-
te iguais a:
Nessas condições, a corrente medida pelo amperímetro A, colo-

cado na posição indicada, é igual a
a) V/R b) 2V/R c) 2V/3R d) 3V/R e) 6V/R
60. Uma bateria de 50 pilhas, cada uma das quais de f.e.m. 2,3V e
resistência interna 0,10⍀, deve ser ligada a um resistor de resis-
tência R, de modo que o circuito seja atravessado por uma corren-
23
te de intensidade –––– A. Qual o valor de R?
3
a) 10⍀ b) 30⍀ c) 40⍀ d) 15,9⍀ e) 35⍀
61. (UNISA) – Dois geradores, cada um com força eletromotriz E = 24V

e resistência interna r = 2⍀, são associados como indica a figura.
a) 3E e r b) E e r/3 c) E/3 e r
d) E/3 e r/3 e) 3E e r/3
63. Se ligássemos externamente os pontos 1 e 2 do circuito da ques-

tão anterior com uma resistência de valor 2r/3, a corrente total no
circuito seria:
a) 9E/11r b) 9E/5r c) E/5r
d) E/3r e) E/r
3) E 4) A 5) B 6) C Chave fechada 42) a)

7) E 8) B 9) B E
i’ = ––––
10) Gerador I: E = 20V; Icc = 4A; r = 5⍀ ∑ R’
Gerador II: E = 8V; Icc = 16A; r = 0,5⍀ 21

i’ = ––––––––– (A)
Gerador III: E = 50V; Icc = 5A; r = 10⍀ 5,0
––– + 1,0
2
15) D 16) a) 0,04A 17) D
b) 1,6V i’ = 6,0A
18) A 19) 11,9V 20) C 21) 4V
22) C 23) 4⍀ 24) A Resposta: C
29) C 30) A 31) E 32) B b) 2,5⍀; 15V
25) 252V 26) C 27) C
43) C 44) D 45) D
33) B 34) C 35) D
46) a) 0,50A 47) A
28) Chave aberta 36) a) 2,0A 37) A b) 10V
E 48) a) 0,015A 49) D 50) C
i = –––– b) RBC = 20⍀
∑R
38) A 39) r = 10⍀; E = 50V b) 6V
ε 51) a) 12V 56) B
3,5 = –––––––– 40) a) 100V 41) D
b) r = 2,0 . 10–2⍀
5,0 + 1,0
b) 100⍀ R = 1,0 . 10–1⍀
ε = 21V 57) 300⍀ 58) C 59) B 60) A
61) 6A 62) B 63) E
247
CAPÍTULO
Eletrodinâmica
4 RECEPTORES ELÉTRICOS
M otores elétricos em geral constituem

exemplos clássicos de receptores elétricos.
Na ilustração, observamos elementos nos
quais temos a transformação de energia
elétrica em mecânica.
1. Receptor elétrico
Denomina-se receptor elétrico a um elemento de cir-
cuito que consome energia elétrica e a transforma em ou-
tra forma de energia que não exclusivamente energia
térmica. Um motor elétrico é um exemplo de receptor,
pois transforma energia elétrica em energia mecânica e
energia térmica. Sendo constituídos internamente de con-
dutores, os receptores apresentam uma certa resistência
elétrica (r) denominada resistência interna do receptor.
2. Curva
Indicando por i a intensidade da corrente elétrica que característica de um receptor
atravessa o receptor, a d.d.p. na resistência interna dele Sendo U = E + r . i, concluímos que o gráfico de U
será: em função de i, com E e r constantes, é uma reta inclinada
r . i crescente, em relação aos eixos.
Quando um gerador elétrico aplica a um receptor

uma d.d.p. igual a U, esta divide-se em duas partes: r . i,
que corresponde à queda de tensão na resistência interna
do receptor, e E, denominada força contraeletromotriz
(f.c.e.m.), que corresponde à d.d.p. útil do receptor. Deste
modo, podemos escrever:
U=E+r.i
que constitui a equação característica do receptor.
Observemos que o coeficiente linear da reta é a força
Nos circuitos elétricos, os receptores são indicados
contraeletromotriz E e o coeficiente angular (tg ␤) é nu-
pelo mesmo símbolo dos geradores, diferindo apenas no
mericamente igual ao valor da resistência interna do re-
sentido da corrente elétrica, que flui do polo positivo
ceptor:
para o polo negativo.
N
U=E+r.i tg ␤ = r
248
3. Circuito gerador-receptor 4. Circuito

Num circuito contendo um único gerador e um único gerador-receptor-resistor
receptor, o gerador é o dispositivo de maior E e, como Considere o circuito constituído pelo gerador (E, r),
tal, impõe o sentido da corrente. pelo receptor (E', r') e pelo resistor (R):
Observe que, no circuito proposto, a d.d.p. nos termi-

nais do gerador é a mesma d.d.p. nos terminais do recep-
tor (U é o mesmo para os dois), já que estamos conside-
rando condutores ideais interligando-os. Então: UAB = UBC + UCD
– para o gerador: U = E – r . i E – r . i = R . i + E' + r' . i

E – E' = (r + r' + R)i
– para o receptor: U = E' + r' . i
E – E'
Logo: E' + r' . i = E – r . i i = –––––––––––
r + r' + R
r' . i + r . i = E – E'
Para um circuito simples, contendo vários geradores,
vários receptores e vários resistores, podemos generali-
i(r + r') = E – E'
zar e escrever:
E – E' ⌺E – ⌺E’
ou i = –––––– i = –––––––––––––
r + r' ⌺r + ⌺r' + ⌺R
1. É dado um motor elétrico de f.c.e.m. 100V e resistência interna

Ee
4,00⍀. Aplica-se entre seus terminais uma ddp de 120V. c) De U = –––– , Q = qe = 1,6 . 10–19C e sendo U = 120V, vem:
a) Esquematize a operação; Q
b) Calcule a intensidade de corrente que percorre o motor;
c) Quanto de energia elétrica esse motor absorve de cada Ee = 1,6 . 10–19C . 120V = 1,92 . 10–17J Ee = 1,92 . 10–17J
elétron que o atravessa?
Resolução
a) 2.
b) Sendo: U = E + r . i, temos
120 = 100 + 4,00 . i, da qual: i = 5,00A
249
No circuito proposto, obter

a) a intensidade de corrente
b) a ddp entre X e Y
Resolução
a) A intensidade de corrente é dada por:
E – E’ 80 – 40 40
i = ––––––––– ou i = –––––––––––––– (A) = –––– (A)
r + r’+ R 5,0 + 1,0 + 2,0 8,0
da qual: i = 5,0A 3. a) O gráfico 1 é correspondente ao gráfico de um gerador de fem

3V.
b) O gráfico 2 é correspondente ao gráfico de um resistor elétrico
b) X e Y são os terminais do receptor, logo: do tipo ôhmico.
c) O gráfico 3 é correspondente ao gráfico de um receptor
UXY = 45V elétrico (ventilador).
UXY = E’+ r’. i ou UXY = (40 + 1,0 . 5,0)V
d) O gráfico 1 corresponde à bateria, o gráfico 2 corresponde ao
ventilador e o gráfico 3 ao chuveiro elétrico de resistência
ôhmica.
Resolução
(UFPA-MODELO ENEM) – Responda às questões 3 e 4 com Gráfico 1 → Bateria.
base nas informações fornecidas. Gráfico 2 → Ventilador.
Gráfico 3 → Chuveiro.
Na figura a seguir, estão representados três objetos que utilizam Resposta: D
eletricidade.
4. Para uma corrente elétrica de 2A, a tensão elétrica nos terminais
do receptor é, em volts, de:
a) 10V b) 12V c) 14V d) 16V
Resolução
No gráfico II
N 18 – 10
tg ␤ = r’ = ––––––––(⍀) = 2,0 ⍀
4–0
No gráfico: i = 0 ⇒ E’ = 10V
Da equação do receptor, temos:
U = E’ + r’ i
Os gráficos a seguir mostram o comportamento desses objetos U = 10 + 2,0 . 2 (V) ⇒ U = 14V
por meio de suas curvas características de tensão (U) versus
intensidade de corrente (I). Resposta: C
5. (AFA) – Um gerador fornece a um motor uma ddp de 440V. O mo- A f.c.e.m. e a resistência interna deste receptor são, respectiva-
tor tem resistência interna de 25⍀ e é percorrido por uma corren- mente:
te elétrica de 400mA. A força contraeletromotriz do motor, em a) 11V e 1,0⍀ b) 12,5V e 2,5⍀ c) 20V e 1,0⍀
volts, é igual a: d) 22V e 2,0⍀ e) 25V e 5,0⍀
a) 375 b) 400 c) 415 d) 430
7. (MACKENZIE-SP-MODELO ENEM) – Um gerador elétrico, um

6. (MACKENZIE) – A tensão nos terminais de um receptor varia receptor elétrico e um resistor são associados, convenien-
com a corrente, conforme o gráfico abaixo. temente, para constituir o circuito abaixo.
250
O amperímetro A e o voltímetro V são ideais e, nas condições em (PUC-RS) – Instrução: Responder às questões 13 e 14, com base
que foram insertos no circuito, indicam, respectivamente: no circuito elétrico a seguir.
a) 83,3 mA e 3,0 V b) 375 mA e 0,96 V
c) 375 mA e 13,5 V d) 75 mA e 0,48 V
e) 75 mA e 2,7 V
8. (E.E. MAUÁ-SP) – Um gerador de força eletromotriz E1 = 12V e

resistência interna r1 = 0,48⍀ é ligado em oposição a outro, de
força eletromotriz E2 = 6V e resistência interna r2 = 0,20⍀. Calcule
a corrente que circula pelos geradores, indicando qual deles esta-
rá fornecendo e qual estará absorvendo energia.
9. (PUC-SP) – No circuito da figura, a diferença de potencial VA – VB,

com a chave K aberta, tem valor:
a) 35V b) 20V c) 15V d) 5V e) zero
13. A leitura do amperímetro A, considerado ideal, inserto no circuito,

em ampères, é de:
a) 1,2 b) 1,8 c) 2,0 d) 2,2 e) 5,0
14. A leitura do voltímetro V, considerado ideal, colocado entre os

pontos C e D, em volts, é de:
a) 1,5 b) 2,4 c) 3,3 d) 5,2 e) 8,8
10. (PUC-SP) – Fechando a chave K da figura anterior, a diferença de 15. (MACKENZIE) – Dados os circuitos (I) e (II), pode-se dizer que
potencial VA – VB passa a ter valor: a) em (I): E1 fornece energia, E2 absorve energia elétrica.
a) 35V b) 23V c) 20V d) 17V e) 15V b) em (I): E1 absorve energia, E2 fornece energia elétrica.
c) em (II): E1 e E2 absorvem energia elétrica.
11. (ITA) – As duas baterias da figura estão ligadas em oposição. Suas d) em (II): E1 absorve energia, E2 fornece energia elétrica.
f.e.m. e resistências internas são, respectivamente, 18,0V e e) em (II): E1 e E2 fornecem energia elétrica.
2,00⍀; 6,00V e 1,00⍀.
16. (CESGRANRIO-MODELO ENEM) – Os gráficos característicos

de um motor elétrico (receptor) e de uma bateria (gerador) são
Sendo i a corrente no circuito, Vab a tensão Va – Vb, podemos mostrados nas figuras (1) e (2), respectivamente.
afirmar que:
a) i = 9,00A ; Vab = –10,0V
b) i = 6,00A ; Vab = 10,0V
c) i = 4,00A ; Vab = –10,0V
d) i = 4,00A ; Vab = 10,0V
e) i = 4,00A ; Vab = 24,0V
12. (OSEC) – Considerando os valores das resistências e das tensões

no circuito a seguir, a leitura do voltímetro V, ligado no circuito, se-
rá:
a) zero b) 2V c) 3V d) 6V e) 12V
251
Sendo o motor ligado a essa bateria, é correto afirmar que a inten- 22. Quando o gerador estiver ligado corretamente apenas ao motor, a
sidade da corrente elétrica que o percorrerá, em ampères, será de: corrente no circuito (G + M) valerá:
a) 2,0 b) 4,0 c) 6,0 d) 8,0 e) 10 a) zero b) 2,5A c) 5A d) 7,5A e) 10A
23. Quando gerador, motor e resistor forem ligados em série, a cor-

Resolva as questões de número 17 a 23. rente no circuito (G + M + R) será:
Considere no gráfico abaixo as curvas características de um gera-
5 3
dor, um motor elétrico e um resistor. a) ––– A b) ––– A c) 2,5A d) 5,0A e) 7,5A
3 5
24. (UFCE) – Os circuitos I e II, da figura a seguir, foram montados

para a determinação do valor da força eletromotriz, f.e.m., da
bateria B. Neles foram utilizados os mesmos componentes
elétricos. Na montagem do circuito I, o amperímetro A indicou
uma corrente I1 = 1A, e na montagem do circuito II, indicou uma
corrente I2 = 3A. As resistências internas das duas baterias e do
amperímetro são de valor desprezível.
O valor da f.e.m. da bateria B é:
a) 18V b) 15V c) 12V d) 9V e) 6V
17. A resistência elétrica do resistor é de:

a) 2⍀ b) 4⍀ c) 1⍀ d) 3⍀ e) n.d.a.
18. A f.e.m. do gerador vale:

a) 15V b) 10V c) zero d) 20V e) n.d.a.
25. (UFLA-MG) – No circuito apresentado na figura a seguir, estão re-

19. Quando o gerador estiver em curto-circuito, a corrente através presentadas diversas fontes de força eletromotriz de resistência
dele terá intensidade: interna desprezível que alimentam os resistores R1 = 1,75⍀ e
a) zero b) 2,5A c) 5A d) 7,5A e) 10A R2 = 1,25⍀. A corrente i no circuito é de:
20. A respeito das resistências internas do gerador e do motor, pode-

mos dizer que
a) são iguais;
b) a do gerador vale 1⍀;
c) a do motor, não se pode calculá-la;
d) a do motor é nula;
e) n.d.a.
21. Quando o gerador estiver ligado apenas ao resistor, a corrente no

circuito (G + R) valerá:
a) zero b) 2,5A c) 5A d) 7,5A e) 10A a) 6,0A b) 5,0A c) 4,5A d) 2,0A e) 3,0A
5) D 6) C 7) E 17) A 18) D 19) E 20) A
8) 8,8A (E1 fornece e E2 absorve) 21) C 22) B 23) A 24) E
9) B 10) D 11) D 12) A 25) D
13) A 14) B 15) E 16) A
252
CAPÍTULO
Eletrodinâmica
5 POTÊNCIA E ENERGIA ELÉTRICA
A energia potencial gravitacional armazenada na

água represada transforma-se em energia cinética.
Essa enorme massa de água provoca o giro das
turbinas, que, por sua vez, utilizando-se do fenômeno
da indução eletromagnética, geram a eletricidade.
1. Potência elétrica Uma unidade de energia muito utilizada em Eletrici-

dade é o quilowatt-hora (kWh). Neste caso, a potência
Seja Ee a energia elétrica fornecida por um gerador deve ser medida em kW e o intervalo de tempo em horas.
ou consumida por um receptor ou um resistor, num
intervalo de tempo ⌬t. A potência elétrica P fornecida (no
caso do gerador) ou consumida (no caso do receptor e do
resistor) é, por definição:
Ee
P = ––––
⌬t
Ee U.Q Q
Sendo U = ––– , vem P = ––––– . Mas, de i = –––,
Q ⌬t ⌬t
resulta:
P=U.i
Portanto, para qualquer aparelho elétrico, a potência
elétrica posta em jogo é igual ao produto da tensão elétri- O “relógio da luz” é um medidor de quilowatt-hora. Ele
fornece o consumo de energia elétrica.
ca no aparelho pela intensidade da corrente que o percorre.
Ee P ⌬t
2. Unidades
J W s
No Sistema Internacional, a energia é medida em
joule (J) e o intervalo de tempo em segundo (s). Deste kWh kW h
joule
modo, a potência elétrica é medida em ––––––– , que re- Relação entre kWh e joule:
segundo
cebe o nome de watt (W): 1kWh = 103 W x 3600 s
J 1kWh = 3,6 . 106 W . s
1W = 1 –––
s 1kWh = 3,6 . 106 J
253
1. Num chuveiro elétrico, lê-se a indicação do fabricante: 220V – a) TV com tela de plasma, 37,72kWh;
2200W. TV com tela de cristal líquido, 50,52 kWh.
a) Qual o significado físico desses dados?
b) Que intensidade de corrente passa pelo chuveiro? b) TV com tela de plasma, 8,42 kWh;
c) Em 30 minutos de funcionamento, que quantidade de energia TV com tela de cristal líquido, 6,28 kWh.
ele consome?
Resolução c) TV com tela de plasma, 6,28 kWh;
a) 220V – é a tensão elétrica que deve ser aplicada aos seus ter- TV com tela de cristal líquido, 8,42 kWh.
minais.
2200W – é a potência elétrica que ele dissipa, sob tensão de d) TV com tela de plasma, 25,26 kWh;
220V. TV com tela de cristal líquido, 18,86 kWh.
P 2200W e) TV com tela de plasma, 50,52 kWh;
b) De P = U . i, tiramos: i = — ou i = ––––––– ⇒ i = 10A.
U 220V TV com tela de cristal líquido, 37, 72 kWh.
Resolução
c) Temos ⌬t = 30 minutos = 30 . 60s = 1800s TV de plasma: Ee = P1 . ⌬t
1
De Ee = P . ⌬t, vem: Ee = i1 U . ⌬t
1
Ee = (2200W) . (1800s) = 3960 . 103J ⇒ Ee = 3960kJ 2,21 . 127

Ee = ––––––––– . (30 . 6) 50,52kWh
1 1000
2. A potência elétrica consumida pela calculadora Casio-Melody-80 é
de 0,022W, sob tensão elétrica de 3V. Diz o fabricante que, como kW h
a calculadora permanece constantemente ligada, as pilhas (duas
pilhas de 1,5V, em série) duram 1 ano. Calcular TV de LCD: Ee = P2 . ⌬t
2
a) a intensidade de corrente média na calculadora;
b) a quantidade de energia química útil por pilha; 1,65 . 127
Ee = ––––––––– . (30 . 6) 37,72kWh
c) a partir da energia elétrica obtida dessas pilhas, quanto tempo 2 1000
uma lâmpada de 3V – 5W ficaria funcionando, em média.
Resolução kW h
P 0,022W
a) De P = U . i, vem → i = ––– = –––––––– 0,007A → i = 7mA Resposta: E
U 3V
4. (FATEC-MODELO ENEM) – Um fio de extensão está ligado numa
b) De Ee = P . ⌬t e sendo
tomada de 110V. Esse fio de extensão tem três saídas, nas quais
⌬t = 1 ano = 12 . 30 . 24 . 60 . 60s 3,1 . 107s, temos: estão ligados um aquecedor de 500W, uma lâmpada de 100W e
Ee = (0,022W) . (3,1 . 107s) = 6,8 . 105 J um secador de cabelos de 200W. Esses aparelhos estão ligados
em paralelo e permanecem funcionando por 5,0 minutos.
Como cada 1kWh corresponde a 3,6 . 106 J, para as duas O valor aproximado da corrente elétrica que passa pelo fio e o
pilhas, temos: Ee = 0,19kWh gasto de energia com esses três aparelhos, quando funcionando
simultaneamente, após 5,0 minutos, são, respectivamente:
Então, cada pilha tem disponível: Ee = 0,095kWh a) 1A e 8,3.105J b) 2A e 7,2.105J
c) 4A e 5,4.105J d) 7A e 2,4.105J
e) 10A e 1,2.105J
c) Sendo Ee = 0,19kWh a energia elétrica disponível, temos: Resolução
Ee 0,19kWh
Ee = P . ⌬t ⇒ ⌬t = –––– = –––––––––– ⇒ ⌬t = 38h
P 0,005kW
3. (UEL-MODELO ENEM) – A definição do padrão digital para as

transmissões televisivas e as novas tecnologias têm
proporcionado a oferta de dois novos tipos de aparelhos
televisores já adequados a sinais digitais: o modelo com tela de
plasma e o com tela de cristal líquido. Para realizar uma
comparação entre o consumo de energia elétrica das duas novas
tecnologias, consultou-se a ficha técnica de dois aparelhos
Ptotal = U . itotal
televisores, ambos de mesmo fabricante, com telas de 42
polegadas. P1 + P2 + P3 = U . itotal
Os dados obtidos foram: 500 + 100 + 200 = 110 . itotal

TV com tela de plasma:
Tensão 127V; frequência 50 ~ 60Hz; corrente 2,21A. 800
itotal = –––– (A) ⇒ itotal 7,3A ⇒ itotal 7A
110
TV com tela de cristal líquido:
Tensão 127V; frequência 50 ~ 60Hz; corrente 1,65A. Ee = Ptotal . ⌬t
Qual será o consumo de energia elétrica realizado, em kWh, no Ee = 800 . 5,0 . 60 (J) ⇒ Ee = 2,4 . 105J
período de 30 dias de cada um dos aparelhos, supondo que cada
um deles fique ligado durante 6 horas por dia? Resposta: D
254
5. (UFPR-MODELO ENEM) – Atualmente, os aparelhos eletrodomésticos devem trazer uma etiqueta bem visível contendo vários itens do interesse
do consumidor, para auxiliá-lo na escolha do aparelho. A etiqueta abaixo é um exemplo típico, na qual a letra A sobre a faixa superior corresponde a
um produto que consome pouca energia e a letra G sobre a faixa inferior corresponde a um produto que consome muita energia. Nesse caso, trata-
se de etiqueta para ser fixada em um refrigerador. Suponha agora que, no lugar onde está impresso XY,Z na etiqueta, esteja impresso o valor 41,6.
Considere que o custo do kWh seja igual a R$ 0,25.
Com base nessas informações, assinale a alternativa

que fornece o custo anual do consumo dessa geladeira,
considerando que ela funcione ininterruptamente ao
longo de um ano. (Desconsidere o fato de que esse
custo poderá sofrer alterações dependendo do número
de vezes que ela é aberta, do tempo em que permanece
aberta e da temperatura dos alimentos colocados em
seu interior.)
a) R$ 124,8 b) R$ 499,2 c) R$ 41,6
d) R$ 416,0 e) R$ 83,2
Resolução
Se xy,z = 41,6 indica o consumo de energia em
kWh/mês, temos:
41,6 kWh ––––––– 1 mês

x ––––––– 12 meses
x = 12 . 41,6 (kWh)
x = 499,20 kWh
Ainda:
1,0 kWh ––––––– 0,25

499,20kWh ––––––– y
y = 124,8
Custo: R$ 124,8.
Resposta: A
Texto para responder às questões 6 e 7: 9. (FUVEST) – Um circuito é formado de duas lâmpadas, L1 e L2, uma
fonte de 6V e uma resistência R, conforme desenhado na figura.
Uma residência é iluminada por 12 lâmpadas de incandescência,
sendo 5 de 100W e 7 de 60W cada uma.
6. (PUC) – Para uma média diária de 3 horas de plena utilização das

lâmpadas, qual a energia consumida (em kWh) por essas lâmpa-
das, em um mês de 30 dias?
a) 27,60 b) 920 c) 8,28 d) 2,70 e) 82,8
7. (PUC) – Sendo a tensão da instalação de 115V, qual é a corrente

total utilizada pelas lâmpadas?
a) 317,4A b) 24A c) 8A d) 4,2A e) 0,7A
8. (VUNESP) – Um aparelho elétrico para ser ligado no acendedor

de cigarros de automóveis, comercializado nas ruas de São Paulo, As lâmpadas estão acesas e funcionando com seus valores nominais
traz a instrução seguinte: (L1: 0,6W e 3V e L2: 0,3W e 3V). O valor da resistência R é:
a) 15⍀ b) 20⍀ c) 25⍀ d) 30⍀ e) 45⍀
TENSÃO DE ALIMENTAÇÃO: 12W.
POTÊNCIA CONSUMIDA: 180V.
10. (FUVEST-SP) – Várias lâmpadas idênticas estão ligadas em paralelo a
uma rede de alimentação de 110 volts. Sabendo-se que a corrente
Essa instrução foi escrita por um fabricante com bons conhe-
cimentos práticos, mas descuidado quanto ao significado e uso 6
elétrica que percorre cada lâmpada é de ––– ampère, pergunta-se:
corretos das unidades do SI (Sistema Internacional), adotado no 11
Brasil.
a) Reescreva a instrução, usando corretamente as unidades de a) qual a potência dissipada em cada lâmpada?
medida do SI. b) se a instalação das lâmpadas estiver protegida por um fusível
b) Calcule a intensidade da corrente elétrica utilizada pelo apa- que suporta até 15 ampères, quantas lâmpadas podem, no
relho. máximo, ser ligadas?
255
11. (UFES) – Um fusível de 30A foi instalado em uma rede alimentada isso, consome energia. Suponha que uma televisão mantida em
por uma tensão de 120V. Quantas lâmpadas de 110W poderão ser standby dissipe uma potência de 12 watts e que o custo do
ligadas simultaneamente nesta rede, sem perigo de queimar o quilowatt-hora é R$ 0,50. Se ela for mantida em standby durante
fusível? um ano (adote 1 ano = 8 800 horas), a sua despesa devida ao
a) 4 b) 25 c) 30 d) 33 e) 32 consumo de energia será, aproximadamente, de
a) R$ 1,00 b) R$ 10,00 c) R$ 25,00
d) R$ 50,00 e) R$ 200,00
12. (CESGRANRIO) – O fusível de entrada de uma casa alimentada
em 110V queima-se, se a intensidade da corrente total ultrapassar
20A. Qual é o número máximo de lâmpadas de 100W que 17. (FUVEST-SP) – Um kWh é a energia consumida por um aparelho
poderão estar ligadas, sem que o fusível se queime? (Supõe-se de 1.000W funcionando durante uma hora. Considere uma tor-
que nenhum outro aparelho elétrico esteja funcionando.) neira elétrica com potência nominal de 2.000W.
a) 2 b) 5 c) 11 d) 22 e) 60 a) Supondo que o preço de 1 kWh de energia elétrica seja
R$ 0,12, qual o gasto mensal da torneira funcionando meia
hora por dia?
13. (MACKENZIE-MODELO ENEM) – Um chuveiro elétrico apresen- b) Qual a energia, em joules, consumida pela torneira em 1 mi-
2200W / 4400W – 220V nuto?
ta a inscrição e, ligado correta-
verão inverno
mente, está protegido, na rede que o alimenta, por um fusível 18. (SÃO LEOPOLDO-RS) – Num escritório, são instaladas 10 lâm-
com tolerância de até 30A. padas de 100W, que funcionarão, em média, 5 horas por dia. Ao
Se ligarmos, em paralelo ao chuveiro, sob a mesma d. d. p. de final do mês, à razão de R$ 0,12 por kWh, o valor da conta será:
a) R$ 28,00 b) R$ 25,00 c) R$ 18,00
220V, uma torneira elétrica com a inscrição 2000W – 220V ,
d) R$ 8,00 e) n. d. a.
poderemos afirmar:
a) O fusível queimar-se-á somente se o chuveiro estiver ligado no
“verão”. 19. (FUVEST) – Um chuveiro elétrico, ligado em média uma hora por
b) O fusível queimar-se-á somente se o chuveiro estiver ligado no dia, gasta R$ 10,80 de energia elétrica por mês. Se a tarifa cobrada
“inverno”. é de R$ 0,12 por quilowatt-hora, então a potência desse aparelho
c) O fusível queimar-se-á de qualquer forma, ou seja, tanto se o elétrico é:
chuveiro estiver ligado no “verão” como no “inverno”. a) 90W b) 360W c) 2.700W
d) O fusível não se queimará de maneira alguma. d) 3.000W e) 10.800W
e) O fusível queimar-se-á mesmo sem ser ligada a torneira.
20. (FATEC-SP) – Um chuveiro elétrico tem um seletor que lhe permite

14. (FUVEST-MODELO ENEM) – No circuito elétrico residencial es- fornecer duas potências distintas: na posição “verão”, o chuveiro
quematizado abaixo, estão indicadas, em watts, as potências fornece 2700W; na posição “inverno”, fornece 4800W. José, o do-
dissipadas pelos seus diversos equipamentos. O circuito está pro- no deste chuveiro, usa-o diariamente na posição “inverno”, durante
tegido por um fusível, F, que se funde quando a corrente ultrapas- 20 minutos. Surpreso com o alto valor de sua conta de luz, José
sa 30A, interrompendo o circuito. resolve usar o chuveiro com o seletor sempre na posição “verão”,
pelos mesmos 20 minutos diários.
Supondo-se que o preço do quilowatt-hora seja de R$ 0,20,
isto representará uma economia diária, em reais, de:
a) 0,14 b) 0,20 c) 1,40 d) 2,00 e) 20,00
21. (FUVEST) – Na figura da esquerda, é esquematizada uma máquina

de solda elétrica. São feitas medidas da tensão V em função da cor-
rente I que circula através do arco, obtendo-se a curva mostrada na
figura da direita.
Que outros aparelhos podem estar ligados ao mesmo tempo que

o chuveiro elétrico sem “queimar” o fusível?
a) geladeira, lâmpada e TV. b) geladeira e TV.
c) geladeira e lâmpada. d) geladeira.
e) lâmpada e TV.
15. (UFSC) – A potência de um aparelho elétrico que consome a

energia de 2,5kWh em 10 min é:
a) 15kW b) 0,41kWh c) 25kW Nos gráficos abaixo, as curvas que qualitativamente melhor
d) 15kWh e) 25kWh representam a potência dissipada P e a resistência R (R = V/I) do
arco, em função da corrente I, são, respectivamente,
a) A e Z b) C e Z c) B e Y
16. (UNIFESP-MODELO ENEM) – Atualmente, a maioria dos apa- d) A e X e) B e X
relhos eletrônicos, mesmo quando desligados, mantêm-se em
standby, palavra inglesa que nesse caso significa “pronto para
usar”. Manter o equipamento nesse modo de operação reduz o
tempo necessário para que volte a operar e evita o desgaste
provocado nos circuitos internos devido a picos de tensão que
aparecem no instante em que é ligado. Em outras palavras, um
aparelho nessa condição está sempre parcialmente ligado e, por
256
3. Potência elétrica
dissipada por um resistor
Seja U a tensão elétrica aplicada a um resistor de re- Quando a carga elétrica atravessa o resistor, durante
sistência R, e i a intensidade da corrente que o atravessa. um certo intervalo de tempo ⌬t, ela sofre uma perda de
energia elétrica Ee. É justamente essa perda de energia
elétrica que é convertida em térmica (Q).
Essa energia térmica pode ser calculada em função
da potência (P) do resistor, pela expressão:
Q = Ee = P . ⌬t (em unidades SI)
Lembrando que P = R . i2, vem:
Com a passagem da corrente elétrica, o resistor con- Q = R . i2 . ⌬t (em unidades SI)
verte energia elétrica em energia térmica (efeito Joule).
Deste modo, a potência elétrica consumida por um Esta expressão traduz a seguinte Lei de Joule:
resistor é dissipada. Esta potência é dada por: A energia elétrica dissipada num resistor, sob a for-
ma de energia térmica, durante um dado intervalo de
P=U.i tempo, é proporcional ao quadrado da intensidade da
corrente que o percorre.
Mas, de acordo com a 1.a Lei de Ohm, temos: U = R . i. Observação:
Logo: P = R . i . i Considerando a energia térmica Q traduzida em calo-
rias e a energia elétrica R. i2 . ⌬t em joules, a expressão
anterior se modifica para:
P = R . i2
J . Q = R . i2 . ⌬t
U U
De i = — , vem: P = U . — em que J é o fator de conversão de calorias para joules,
R R chamado equivalente mecânico da unidade de calor. Seu
valor, determinado experimentalmente, é:
U2 J = 4,18 joules/caloria 4,2 joules/caloria, ou seja,
P = ––––
R 1 cal 4,2J
22. Um gerador (100V; 5,0⍀) alimenta um resistor externo, de resistência εe = Q

15⍀. O resistor encontra-se dentro de uma grande pedra de gelo a
0°C. Deixando o circuito funcionando durante 8 minutos, que quan- P . ⌬t = m . Lf
tidade de gelo se funde? Ri2 . ⌬t = m . Lf
Adotar: Lf = 80cal/g e 1 cal = 4J
15 . (5,0)2 . 8 . 60 = m . 80 . 4
Resolução
Ilustremos o processo:
m = 562,5 g
23. (PUC-SP-MODELO ENEM) – Um aquecedor de imersão (ebu-

lidor) dissipa 200 W de potência, utilizada totalmente para aquecer
100g de água, durante 1 minuto.
A intensidade de corrente no circuito é dada por:
E 100 ⇒
i = ——— = ———— (A) i = 5,0 A
r+R 5,0 + 15
257
Qual a variação de temperatura sofrida pela água? Considere Resolução

1 cal = 4J e cágua = 1 cal/g°C. 1) A potência no resistor é dada por:
a) 120°C b) 100°C c) 70°C
d) 50°C e) 30°C U2 (110)2
Resolução Pot = ––– = –––––– (W) = 1100W
Como a energia elétrica é absorvida pela água na forma de calor, R 11
temos:
εe = Q 2) O calor necessário para aquecer 200 de água de 10°C a 45°C
Pot ⌬t = m c ⌬␪ é dado por:
200 Q = m . c ⌬␪
Sendo Pot = 200W = –––– cal/s = 50cal/s
4 Q = 200 . 10 3 . 1,0 . 35 (cal)
⌬t = 1min = 60s, vem 50 . 60 = 100 . 1 . ⌬␪ Q = 7 . 10 6 cal = 7 . 106 . 4 J
⌬␪ = 30°C
Q = 28 . 106J
Resposta: E
24. (FUVEST) – Usando todo o calor produzido pela combustão dire- 3) O tempo gasto no aquecimento da água pelo gerador é dado
ta de gasolina, é possível, com 1,0 litro de tal produto, aquecer por:
200 litros de água de 10°C a 45°C. Esse mesmo aquecimento Q
pode ser obtido por um gerador de eletricidade, que consome 1,0 Pot = –––
litro de gasolina por hora e fornece 110V a uma resistor de 11⍀, ⌬t
imerso na água, durante um certo intervalo de tempo. Todo o ca-
lor liberado pelo resistor é transferido à água. Nessas condições, Q 28 . 106
⌬t = ––– = –––––––– (s) = 25454s 7h
o aquecimento da água, obtido do gerador, quando comparado ao Pot 1100
obtido diretamente a partir da combustão, consome uma quanti-
dade de gasolina, aproximadamente, Portanto, serão necessários 7 litros de gasolina, ou seja, um
a) 7 vezes menor. b) 4 vezes menor. consumo sete vezes maior.
c) igual. d) 4 vezes maior.
e) 7 vezes maior. Resposta: E
25. (UECE) – Um aparelho elétrico de aquecimento traz na plaqueta a

inscrição 100 watts e 100 volts. Pode-se afirmar que sua resistên-
cia é de:
a) 1⍀ b) 10⍀ c) 100⍀ d) 1000⍀
26. (UEPR) – Um resistor de resistência elétrica R, quando ligado a

uma ddp de 220V, dissipa 1.000W. Para que outro resistor, ligado a
110V, dissipe 2.000W, deve ter resistência elétrica:
a) 2R b) R c) — R d) — R e) — R
2 4 8
27. (FEI) – Um chuveiro de 6000W e 220V teve sua resistência danificada. a) Com a chave C aberta, dissipa-se uma potência de 2,2kW na
Para consertá-lo, 1/3 de sua resistência foi cortada, aproveitando-se resistência. Qual o valor de R?
somente o restante. Qual é a nova potência do chuveiro? b) Qual deve ser a posição da chave C no inverno? Por quê?
a) 2000 W b) a potência não se altera c) 3000W
d) 8000W e) 9000W 30. (FUVEST) – Ganhei um chuveiro elétrico de 6050W – 220V. Para
que esse chuveiro forneça a mesma potência na minha instala-
28. (UNICAMP) – A potência P de um chuveiro elétrico, ligado a uma ção, de 110V, devo mudar a sua resistência para o seguinte valor,
rede doméstica de tensão U = 220V, é dada por P = U2/R, em que em ohms:
a resistência R do chuveiro é proporcional ao comprimento do a) 0,5 b) 1,0 c) 2,0 d) 4,0 e) 8,0
resistor. A tensão U e a corrente elétrica I no chuveiro estão
relacionadas pela Lei de Ohm: U = RI. Deseja-se aumentar a po- 31. (U.F.VIÇOSA) – Um chuveiro elétrico é projetado para operar
tência do chuveiro, mudando apenas o comprimento do resistor. numa rede de 110V. Se ele é ligado a 220V e deseja-se que
a) Ao aumentar a potência, a água ficará mais quente ou mais fria? dissipe a mesma potência, deve-se substituir a sua resistência por
b) Para aumentar a potência do chuveiro, o que deve ser feito outra:
com o comprimento do resistor? a) quatro vezes menor;
c) O que acontece com a intensidade da corrente elétrica I b) duas vezes maior;
quando a potência do chuveiro aumenta? c) duas vezes menor;
d) O que acontece com o valor da tensão U quando a potência do d) de mesmo valor;
chuveiro aumenta? e) quatro vezes maior.
29. (FUVEST) – A figura representa, esquematicamente, as ligações 32. (FUVEST) – A figura a seguir mostra um trecho de circuito com
de um chuveiro elétrico. R é a resistência e C uma chave que, três lâmpadas funcionando de acordo com as características es-
quando ligada, coloca em curto-circuito um segmento de resistên- pecificadas. Os pontos A e B estão ligados numa rede elétrica. A
cia. Entre os terminais A e B está aplicada uma tensão de 220V. potência dissipada por L3 é:
258
Para que a lâmpada funcione com potência de 25W, a resistência

R deve ser igual a:
a) 25⍀ b) 36⍀ c) 72⍀ d) 144⍀ e) 288⍀
a) 75W b) 50W c) 150W d) 300W
41. (UFC) – Considere o circuito mostrado na figura a seguir.
33. (FUVEST) –
a) Qual a resistência de uma lâmpada de 220V e 60W?
b) Supondo que a resistência varia pouco com a temperatura,
qual a potência dissipada quando a lâmpada é ligada a uma
tomada de 110V?
34. (FUVEST) – A uma bateria de 12 volts, ligam-se dois resistores,

pelos quais passam respectivamente 0,5A e 1,5A.
a) Qual a carga fornecida pela bateria durante 5 minutos?
b) Qual a potência total dissipada nos resistores?
35. (CAXIAS DO SUL) – Dois resistores, um de 20 ohms e outro de

5 ohms, são associados em paralelo e ligados em 6 volts. A ener- Assinale a alternativa que contém, respectivamente, os valores da
gia, em joules, dissipada pela associação, em 20 segundos, vale: resistência R e da diferença de potencial entre os pontos a e b,
a) 180 b) 120 c) 30 d) 28,8 e) 9 sabendo que a potência dissipada no resistor de 5⍀ é igual a
45W.
36. (UFPR) – Quantos resistores de 160⍀ devem ser associados em a) 1⍀ e 5 V b) 5⍀ e 15 V c) 10⍀ e 15 V
paralelo, para dissipar 500W sob uma diferença de potencial de d) 10⍀ e 30 V e) 15⍀ e 45 V
100V?
42. (UERJ) – O circuito abaixo é alimentado por um gerador ideal de
37. (FAAP-SP) – Uma associação em série de dois resistores de força eletromotriz ε = 28,0V, e cada resistor ôhmico tem resis-
4 ohms e 6 ohms é ligada aos terminais de um gerador de tensão tência R = 30,0⍀.
constante 20 volts. Determine a energia elétrica consumida pelo
resistor de 4 ohms durante 1 minuto.
38. (U.F.UBERABA-MG) – A fim de não se aquecerem demasiada-

mente, cada resistor da figura pode dissipar no máximo 18 watts.
A potência total dissipada pela associação é, portanto, em watts:

a) 9 b) 25 c) 27 d) 36 e) 54
39. (FUVEST) – A curva característica de um elemento resistivo é vis- a) Estando fechada a chave, calcule a potência dissipada no cir-
ta na figura abaixo. cuito.
b) Estando aberta a chave, calcule a diferença de potencial entre
os terminais A e B da chave.
43. (FUVEST) – O circuito abaixo é formado por quatro resistores e

um gerador ideal que fornece uma tensão V = 10 volts. O valor da
resistência do resistor R é desconhecido. Na figura, estão indi-
cados os valores das resistências dos outros resistores.
a) Qual a potência dissipada, quando i = 10mA?

b) Qual é a carga que passa em 10 segundos, quando V = 2,0 volts?
40. (FUVEST-MODELO ENEM) – A especificação de fábrica asse-

gura que uma lâmpada, ao ser submetida a uma tensão de 120V,
tem potência de 100W. O circuito a seguir pode ser utilizado para
controlar a potência da lâmpada, variando-se a resistência R.
259
a) Determine o valor, em ohms, da resistência R para que as po- 47. (MACKENZIE) – O circuito abaixo consiste de uma bateria ideal e
tências dissipadas em R1 e R2 sejam iguais. 3 lâmpadas, L1, L2 e L3, idênticas.
b) Determine o valor, em watts, da potência P dissipada no resistor
R1, nas condições do item anterior.
44. (UFRN) – Para montar um circuito elétrico, você dispõe de uma

bateria de automóvel de 12 V e de quatro lâmpadas incandes-
centes, sendo duas do tipo L1 e duas do tipo L2, com as
especificações nominais indicadas na figura abaixo.
Nesse caso, podemos afirmar que

a) L1 brilha mais que L2, a qual brilha mais que L3.
b) L1 brilha mais que L2, que tem o mesmo brilho que L3.
Com base no exposto, atenda às solicitações abaixo.
a) Na figura destinada à resposta, está representada a montagem c) L3 brilha mais que L2, a qual brilha mais que L1.
incompleta de um circuito. Complete tal montagem inserindo d) L1 e L2 têm o mesmo brilho, mas L3 é menos brilhante.
corretamente as quatro lâmpadas, de forma que elas fiquem e) L3 brilha mais que L1, que brilha igual a L2.
acesas em suas especificações nominais.
b) Determine a corrente fornecida pela bateria após a montagem 48. (FUVEST-MODELO ENEM) – Quatro lâmpadas idênticas L, de
do circuito. 110V, devem ser ligadas a uma fonte de 220V a fim de produzir,
sem queimar, a maior claridade possível. Qual a ligação mais
adequada?
45. (MED-UBERLÂNDIA) – O circuito da figura abaixo alimenta três

lâmpadas idênticas. Se a lâmpada 2 se queimar,
a) todas as lâmpadas apagar-se-ão;

b) a lâmpada 3 apagar-se-á;
c) a intensidade de corrente em 1 duplicará;
d) a intensidade de corrente em 1 diminuirá;
e) a diferença de potencial em 1 aumentará. 49. (VUNESP-MODELO ENEM) – Se quatro lâmpadas idênticas, L1,
L2, L3 e L4, forem ligadas, como mostra a figura, a uma bateria
46. (UFV) – O circuito elétrico de um chuveiro comum consiste de com força eletromotriz suficiente para que fiquem acesas,
duas resistências (R1 e R2) e uma chave (S), ligadas a uma fonte de verificar-se-á que
tensão (V). A posição da chave S pode ser ajustada em uma das
três situações ilustradas abaixo, a fim de permitir, em cada caso,
uma diferente temperatura da água do banho.
a) todas as lâmpadas brilharão com a mesma intensidade.

b) L1 brilhará com intensidade maior e L4 com intensidade menor
que qualquer uma das outras.
c) L1 e L4 brilharão igualmente, mas cada uma delas brilhará com
Os banhos correspondentes às situações I, II e III são, respecti- intensidade menor que qualquer uma das outras duas.
vamente: d) L2 e L3 brilharão igualmente, mas cada uma delas brilhará com
a) frio, quente e morno. b) morno, quente e frio. intensidade maior que qualquer uma das outras duas.
c) quente, frio e morno. d) quente, morno e frio. e) L2 e L3 brilharão igualmente, mas cada uma delas brilhará com
e) morno, frio e quente. intensidade menor que qualquer uma das outras duas.
260
50. (CESGRANRIO) – Você dispõe de duas lâmpadas, uma de 25W, a) 3 min b) 5 min c) 15 min
125V e outra de 200W, 125V. Você liga essas lâmpadas, d) 30 min e) 45 min
conectadas em série, a uma tomada de 125V e observa que
a) a lâmpada de 25W queima-se; 55. (VUNESP) – Um resistor de resistência R, ligado em série com
b) a lâmpada de 200W queima-se; um gerador de f.e.m. ε e resistência interna desprezível, está
c) a lâmpada de 25W tem brilho quase normal e a lâmpada de imerso em 0,80kg de água, contida num recipiente termicamente
200W não chega a acender; isolado. Quando a chave, mostrada na figura, é fechada, a tem-
d) a lâmpada de 25W não chega a acender e a lâmpada de 200W peratura da água sobe uniformemente à razão de 2,0°C por
tem brilho quase normal; minuto.
e) as duas lâmpadas acendem com brilho normal.
51. (ITA) – Duas lâmpadas incandescentes, cuja tensão nominal é de

110V, sendo uma de 20W e a outra de 100W, são ligadas em série
em uma fonte de 220V. Conclui-se que
a) as duas lâmpadas acenderão com brilho normal.
b) a lâmpada de 20W apresentará um brilho acima do normal e
logo se queimará.
c) a lâmpada de 100W fornecerá um brilho mais intenso do que
a de 20W.
d) a lâmpada de 100W apresentará um brilho acima do normal e a) Considerando o calor específico da água igual a 4,2 . 103 J/kg°C
logo se queimará. e desprezando a capacidade térmica do recipiente e do
e) nenhuma das lâmpadas acenderá. resistor, determine a potência elétrica P dissipada no resistor.
b) Sabendo que ε = 28 volts, determine a corrente I no circuito e
52. (FUVEST) – A potência de um chuveiro é 2200W. Considere a resistência R do resistor.
1cal = 4J.
a) Qual a variação de temperatura da água, ao passar pelo 56. (IME) – Um circuito é construído com o objetivo de aquecer um
chuveiro com uma vazão de 0,022 litro/s? recipiente adiabático que contém 1 litro de água a 25°C. Consi-
b) Qual o custo de um banho de 30 minutos, suposto que o preço derando-se total a transferência de calor entre o resistor e a água,
do quilowatt-hora seja R$ 0,20? determine o tempo estimado de operação do circuito da figura
(Calor específico da água: 1 cal/g°C; Densidade da água: 1 kg/) abaixo para que a água comece a ferver.
Dados: calor específico da água: 1 cal/g°C
53. (CEFET-PR) – Um resistor de 4⍀ é imerso em um recipiente massa específica da água: 1kg/
adiabático contendo um litro de água e ligado a uma fonte de cor- temperatura necessária para ferver a água: 100°C
rente contínua. Sete minutos depois, constata-se que a tempe- Considere 1 cal = 4J
ratura da água sofreu um acréscimo de 10K. Podemos admitir,
tendo em vista ter permanecido a corrente constante e não ter
havido mudança de estado físico da água, que a intensidade da
corrente neste intervalo foi, aproximadamente, igual a: (Obs.:
considere 1kcal = 4.200J.)
a) 0,1A b) 1A c) 5A d) 25A e) n. d. a.
54. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um fogão elétrico, contendo três

resistências iguais associadas em paralelo, ferve uma certa
quantidade de água em 5 minutos. Qual o tempo que levaria, se as
resistências fossem associadas em série?
4. Potência elétrica do gerador Pg = E . i : potência total gerada,

Consideremos um gerador de f.e.m. E e resistência
interna r, fornecendo corrente elétrica de intensidade i Pd = r . i2 : potência dissipada no interior do gerador.
sob tensão U. Sua equação característica é: Voltando à equação (3), temos:
U=E–r.i (1) Pf = Pg – Pd
Para obtermos a potência que o gerador fornece ao
circuito, basta multiplicar a corrente pela tensão: 5. Rendimento
elétrico do gerador
P=U.i (2)
O rendimento elétrico do gerador é definido por uma
Então, na equação (1), multipliquemos por (i) todos relação entre potências fornecida e gerada:
os seus termos:
Pf
␩ = ––––
U.i=E.i–r. i2 (3) Pg
Sendo: Pf = U . i e Pg = E . i, vem:
Cada termo representa uma potência elétrica. Assim:
U.i U
Pf = U . i : potência fornecida, ␩ = ––––––– ␩ = ––––
E.i E
261
Para um gerador ideal, temos U = E e, portanto, ␩ = 1 E

ou ␩ = 100%. U = E – r . –––
2r
Para um gerador real, temos U < E e, portanto, ␩ < 1
ou ␩ < 100%. E
U = ––––
2
6. Potência fornecida máxima
Vamos determinar a potência elétrica máxima que U
c) ␩ = –––
um gerador fornece a um circuito ao qual está ligado. E
Para isto, devemos construir o gráfico da potência
fornecida (Pf) em função da intensidade da corrente (i). E/2
␩ = ––––
De Pf = U . i, Pf = (E – r . i) i, Pf = E . i – r . i2, con- E
cluímos que o gráfico é um arco de parábola com a
concavidade voltada para baixo. Note que Pf = 0 quando ␩ = 0,50 = 50%
E A potência fornecida máxima é dada por:
i = 0 ou i = ––– = icc:
r
Pf = U . i
E E
Pf = ––– . –––
máx 2 2r
E2
Pf = ––––
máx 4r
Se o gerador estiver ligado a um resistor de resistên-

cia R, nas condições de potência fornecida máxima, te-
mos:
Nas condições de potência fornecida máxima (Pf máx),
temos: U=R.i
E E
–––– = R . ––––
icc E 2 2r
a) i = –––– = ––––
2 2r
R=r
b) U = E – r . i
57. O professor Artinézio faz a motagem do circuito seguinte e solici- Resolução

ta a seus alunos: a) A intensidade de corrente no circuito é dada pela Lei de
• a indicação do amperímetro ideal; Pouillet:
• a potência elétrica fornecida pelo gerador;
E 30
• a potência elétrica total dissipada pelos elementos do circuito. i = ——— → i = ––––––––– (A) → i = 2,0A
r+R 3,0 + 12
b) Sendo Pf = U . i, devemos calcular, inicialmente, a d.d.p. (U)

nos terminais do gerador.
Fazemos: U = E – r . i → U = (30 – 3,0 . 2,0) V ⇒ U = 24V
Então: Pf = U . i → Pf = 24V . 2,0A
Pf = 48W
c) A potência elétrica total dissipada será:

A alternativa que indica corretamente os valores calculados é: Pd = [3,0 . (2,0)2 + 12 . (2,0)2]W
a) 20A; 40W; 60W b) 10A; 36W; 80W
Pd = 60W
c) 8,0A; 24W; 90W d) 6,0A; 12W; 96W
e) 2,0A; 48W; 60W Resposta: D
262
58. (UNIFESP-MODELO ENEM) – Uma das mais promissoras Nessas condições, pode-se concluir que a resistência do resistor
novidades tecnológicas atuais em iluminação é um diodo emissor R deve ser, em ohms, aproximadamente de:
de luz (LED) de alto brilho, comercialmente conhecido como a) 2,0 b) 4,5 c) 9,0 d) 12 e) 20
luxeon. Apesar de ter uma área de emissão de luz de 1 mm2 e Resolução
consumir uma potência de apenas 1,0 W, aproximadamente, um
Cálculo da potência fornecida pela bateria:
desses diodos produz uma iluminação equivalente à de uma
lâmpada incandescente comum de 25 W. Para que esse LED Pf = E i
opere dentro de suas especificações, o circuito da figura é um dos
sugeridos pelo fabricante: a bateria tem fem E = 6,0 V (resistência Pf = 6,0 . 330 . 10–3 (W)
interna desprezível) e a intensidade da corrente elétrica deve ser
Pf = 1,98W
de 330 mA.
O LED consome uma potência de 1,0W, assim, no resistor a

potência elétrica será de 0,98W.
Presistor = R i 2
0,98 = R (330 . 10 –3) 2
R 9,0 ⍀
Resposta: C
59. (UFRJ) – O circuito esquematizado representa um gerador de for- A potência fornecida pela bateria vale:
ça eletromotriz E e resistência interna r ligado a um fio condutor a) 8W b) 6W c) 128W d) 18W e) 12W
de resistência R. A e V são respectivamente um amperímetro e
um voltímetro cujas leituras forneceram respectivamente os valo- 62. (FAAP) – A potência dissipada na resistência interna do gerador é
res I e U. O que significam fisicamente os produtos E I e U I? 15W. Calcule o valor da resistência elétrica R no circuito abaixo:
a) 18⍀ b) 180⍀ c) 1,8⍀

d) 0,018⍀ e) 0,18⍀
60. (FEI-SP) – Um gerador tem f.e.m. E e resistência interna r. A ten-
são entre os terminais do gerador é V1 = 30V, quando a ele é liga- 63. (UNISA) – No circuito elétrico esquematizado abaixo, o gerador
do um resistor de resistência R1 = 15 ohms. Se aos terminais tem força eletromotriz E = 12V e a resistência interna r = 2,0⍀.
desse gerador for ligado um resistor R2 = 40 ohms, seu rendimen-
to passa a ser de 80%. Determine E e r.
61. (MED-ABC) – A bateria figurada abaixo tem resistência desprezí-

vel.
Nas condições representadas, o rendimento do gerador, em

porcentagem, vale
a) 68 b) 75 c) 78 d) 85 e) 90
263
64. (UFLA-MG) – Um gerador de força eletromotriz (f.e.m.) E e resis- 66. (MACKENZIE) – Um circuito elétrico é constituído de um gerador
tência interna r fornece energia a uma lâmpada L. A diferença de de força eletromotriz ε e resistência interna r, e de um resistor de
potencial (d.d.p.) nos terminais do gerador é de 80 volts e a cor- resistência R variável (figura 1). A potência dissipada no resistor
rente que o atravessa é de 1,0A. Sendo o rendimento do gerador em função da corrente i é dada pelo gráfico mostrado na figura 2.
80%, e considerando desprezível a resistência dos fios, calcular Os valores da força eletromotriz ε e da resistência interna r do ge-
a) a força eletromotriz (f.e.m.); rador são, respectivamente:
b) a resistência interna do gerador;
c) a resistência elétrica da lâmpada.
65. (UEPR) – Um gerador funcionará em regime de potência útil má-

xima, quando sua resistência interna for igual
a) à resistência equivalente do circuito que ele alimenta;
b) à metade da resistência equivalente do circuito que ele alimen-
ta;
c) ao dobro da resistência equivalente do circuito que ele alimen-
ta;
d) ao quádruplo da resistência equivalente do circuito que ele
alimenta;
e) à quarta parte da resistência equivalente do circuito que ele a) 50V e 4⍀. b) 20V e 2⍀. c) 20V e 1⍀.
alimenta. d) 25V e 0,5⍀. e) 15V e 0,5⍀.
7. Potência elétrica do receptor Pc = U . i : potência consumida,

Consideremos um receptor de f.c.e.m. E e resistência
interna r que, sob tensão elétrica U, é percorrido por cor- Pu = E . i : potência útil,
rente elétrica de intensidade i:
Pd = r . i2 : potência dissipada no interior do re-
ceptor.
Voltando à equação (3):
Pc = Pu + Pd
Sua equação característica é:
U=E+ri (1)
8. Rendimento
elétrico do receptor
Para obtermos a potência que o receptor consome, Definimos rendimento elétrico de um receptor como
basta multiplicar a tensão pela corrente: sendo a razão entre sua potência útil e sua potência con-
sumida:
Pc = U . i (2)
Pu
␩ = ––––
Na equação (1), multipliquemos por i seus dois Pc
membros e teremos:
Sendo: Pu = E . i e Pc = U . i, vem:
U . i = (E + r i) . i ou U . i = E . i + r . i2 (3)
E.i E
␩ = ––––– ⇒ ␩ = ––––
Cada termo da 3.a equação representa uma potência U.i U
elétrica:
67. Considere o receptor (motor) abaixo: Determine

a) sua f.c.e.m;
b) sua potência mecânica;
c) seu rendimento.
Resolução
a) Cálculo da f.c.e.m. (E):
Tomemos a equação do receptor:
264
U=E+r.i 69. (MODELO ENEM)

Sendo U = 100V, r = 2⍀ e i = 10A, vem:
100 = E + 2 . 10 ⇒ E = 80V
b) Cálculo da potência mecânica:

A potência mecânica é também chamada de potência útil do
receptor (no caso do motor):
Pmec = E . i
Sendo: i = 10A e E = 80V, vem:
Pmec = 80 . 10(W) ⇒ Pmec = 800W
c) Cálculo do rendimento:
Pútil i.E E
␩ = ––––– = ––––– = –––
Ptotal i.U U
80
␩ = –––– = 0,8 ou ␩ = 80%
100
68. Um motor recebe de um circuito a potência de 800W, sob ddp de

100V, e dissipa internamente uma potência de 320W.
a) Calcular a sua f.c.e.m.
b) Calcular a sua resistência interna.
Resolução
Potência consumida → Pc = 800W
Dados: Potência dissipada → Pd = 320W
Tensão nos terminais → Um = 100V
Cada um dos elementos acima pode ser associado a um gráfico

característico.
Sendo a potência consumida (Pc) expressa por Pc = Um . i, temos:

I. Os elementos I e VI podem ser associados ao gráfico C.
800
i = Pc / Um = –––– (A) ⇒ i = 8A II. Os elementos III e IV podem ser associados ao gráfico A.
100
III. Os elementos II e V podem ser associados ao gráfico B.
Sobre as afirmativas:
A potência dissipada (Pd) é dada por : Pd = rm . i2, da qual: a) Somente I é correta.
b) Somente II e III são corretas.
Pd 320
rm = –––– = –––– (⍀) ⇒ rm = 5,0⍀ c) Somente III é correta.
i2 82
d) Todas são corretas.
e) Nenhuma das proposições é correta.
A potência útil (Pu) pode ser calculada por: Resolução
I. Correta.
Pu = Pc – Pd = 800W – 320W ⇒ Pu = 480W Os elementos I e VI atuam fundamentalmente como recep-
tores elétricos, correspondendo ao gráfico C.
Pu 480 II. Correta.
Sendo Pu = Em . i, tem-se: Em = –––– = –––– (V) Os elementos III e IV atuam basicamente como resistores
i 8
elétricos, podendo ser associados ao gráfico A.
III. Correta.
Em = 60V
Os elementos II e V atuam essencialmente como geradores
elétricos, podendo ser associados ao gráfico B.
Resposta: A f.c.e.m. e a resistência interna desse motor va- Resposta: D
lem, respectivamente, 60V e 5,0⍀.
265
70. (PUC-SP-MODELO ENEM) – A figura esquematiza o circuito Resolução

elétrico de uma enceradeira em funcionamento. Da equação do receptor, temos:
U = E’ + r’ i
120 = 110 + r’ i ⇒ r’ i = 10 (I)
mas P = r’ i2
P = r’ i i
20 = 10 i ⇒ i = 2,0 A (II)
Assim, II em I:
r’ i = 10
r’ 2,0 = 10 ⇒ r’ = 5,0⍀
A potência elétrica dissipada por ela é de 20W e sua fcem é de
110V. Assim, sua resistência interna é de:
a) 5,0⍀ b) 55⍀ c) 2,0⍀ d) 115⍀ e) – 5,0⍀ Resposta: A
71. (FEG) – O esquema abaixo representa um circuito contendo duas Questões 75 e 76:
pilhas e dois resistores. Considere o circuito abaixo:
a) Qual a tensão entre os dois pontos A e B?

b) Mencionar qual deles é o de potencial mais elevado. 75. Nesse circuito:
c) Qual é a intensidade de corrente no circuito? a) E1 absorve energia elétrica; E2 e E3 fornecem.
d) Determinar a potência total da pilha que está funcionando b) E2 absorve energia elétrica; E1 e E3 fornecem.
como receptor. c) E1 e E3 absorvem energia elétrica; E2 fornece.
d) E1, E2 e E3 fornecem energia elétrica.
72. (UNISA) – No circuito esquematizado, a potência total dissipada e) Apenas R consome energia elétrica.
pelo Efeito Joule vale:
76. A intensidade de corrente e a potência útil de E2 valem:
a) 10A e 40W b) 1A e 40W
c) 1A e 43W d) 10A e 43W
77. (FATEC) – Um motor elétrico funciona sob tensão contínua

U = 220V, recebendo corrente i = 10A. O rendimento global do
motor é ␩ = 90%. A potência elétrica extraída da linha é Pe, a
potência útil do motor é Pm (potência mecânica no eixo). Assinalar
o conjunto correto (aproximadamente):
Pe Pm
–––– ––––
kW kW
a) 2,2 2,4
a) 4,75W b) 274W c) 1,883W d) 0,8W
b) 22 2,0
73. Um motor de resistência interna 1⍀, quando está ligado sob ddp c) 22 20
de 100V, é percorrido por corrente de intensidade 2A. Determine
a) a f.c.e.m. do motor; d) 2,2 20
b) a potência dissipada internamente;
c) seu rendimento elétrico. e) 2,2 1,98
74. (FEI) – Um motor elétrico de corrente contínua desenvolve uma

78. (ITA) – As duas baterias da figura estão ligadas em oposição. Suas
potência útil (potência no eixo) de 1,5kW. A tensão aplicada é de
f.e.m. e resistências internas são, respectivamente, 18,0V e
230V e a corrente fornecida é 7,25A. Qual o rendimento desse
2,00⍀; 6,00V e 1,00⍀. Qual a potência total dissipada?
motor? Qual a potência de perdas?
266
que o atravessa é metade da corrente de curto-circuito do gerador

icc
––– .
2
79. Um gerador de força eletromotriz E e resistência interna r é ligado

a um resistor que possui resistência elétrica R. Sabe-se que o
gerador está fornecendo ao resistor a máxima potência elétrica.
Nas condições de potência fornecida máxima, a ddp entre os Para a situação proposta, podemos afirmar que:
E a) R = 0 b) R = r/2 c) R = r
terminais do gerador é –– e a intensidade de corrente elétrica d) R = 2r e) R → ⬁
2
6) E 7) C 45) D 46) C 47) E 48) C 49) E

8) a) Tensão de alimentação: 12V 9) D 50) C 51) B 52) a) 25°C 53) C
Potência consumida: 180W 10) a) 60W 11) E b) R$ 0,22
b) 15A b) 27 lâmpadas 54) E 55) a) 112W 56) 15,6min
12) D 13) D 14) E 15) A 16) D b) 4,0A; 7,0⍀
17) a) R$ 3,60 18) C 19) D 20) A 59) EI: potência elétrica gerada
b) 1,2 . 105J UI: potência elétrica fornecida
21) A 25) C 26) E 27) E 60) E = 50V; r = 10⍀ 61) E 62) E 63) B
28) a) mais quente b) diminuir 64) a) 100V 65) A 66) B 71) a) 2,0V
c) aumenta d) permanece constante b) 20⍀ b) A
29) a) 22⍀ 30) C 31) E 32) C c) 80⍀ c) 0,05A
b) fechada d) 0,1W
33) a) 807⍀ 34) a) 600C 35) A 72) D 73) a) 98V 74) 90% e 168W
b) 15W b) 24W b) 4,0W
36) 8 resistores 37) 960J 38) C c) 98%
39) a) 0,04W 40) D 41) C 42) a) 19,6W 75) B 76) B 77) E 78) 48,0W 79) C
b) 0,08C b) 12,0V
43) a) 6,0⍀
b) 1,28W
44) a)
b) itotal = 4,0A
267
CAPÍTULO
Eletrodinâmica
6 LEIS DE KIRCHHOFF
A utilização das Leis de Kirchhoff

facilita o estudo e a compreensão de circuitos
elétricos mais complexos formados por várias
“malhas” e muitos “nós”.
1. Polaridade e DDP
dos elementos de circuito
Independentemente do sentido da corrente elétrica, o

traço menor representa o polo negativo e o traço O polo A tem potencial elétrico maior do que o polo
maior, o polo positivo. B. Portanto:
VA – V B = + R . i
e
VB – VA = – R . i
A d.d.p. pode ser +R . i ou –R . i, valendo o sinal de

O polo B tem potencial elétrico maior do que o entrada no sentido do percurso ␣ adotado:
polo A. Portanto:
VB – VA = + E e VA – VB = – E
Deste modo, podemos adotar um sentido de percurso
␣ e estabelecer a seguinte regra: a d.d.p. pode ser +E ou
–E, valendo o sinal de entrada no sentido do percurso ␣
adotado:
2. Cálculo da DDP entre os

extremos de um trecho de
circuito
Para o cálculo da d.d.p. entre os extremos de um tre-
cho de circuito (fig. a), devemos
1.o) marcar as polaridades;
2.o) adotar um sentido de percurso ␣ (fig. b). Ado-
Para os resistores, a polaridade é dada pelo sentido tando de A para B, temos VA – VB;
da corrente: o polo positivo é o da entrada da corrente e 3.o) somar algebricamente as d.d.p. de todos os ele-
o negativo é o da saída. mentos.
268
Primeira Lei de Kirchhoff

A soma das intensidades das correntes que chegam
a um nó é igual à soma das intensidades das corren-
tes que dele saem.
No exemplo, temos: i1 = i2 + i3.
4. Segunda Lei de
Kirchhoff ou Lei das Malhas
Num circuito elétrico, chama-se malha um conjunto
de elementos de circuito constituindo um percurso fechado.
Exemplo: malha ABCD
Para cada d.d.p., vale o sinal de entrada de ␣:
VA – VB = + r1 i – E1 + R i + E2 + r2 i
3. Primeira Lei de
Kirchhoff ou Lei dos Nós
Num circuito elétrico, chama-se nó um ponto co-
mum a três ou mais condutores.
Exemplo:
Segunda Lei de Kirchhoff
Percorrendo uma malha num certo sentido, par-
tindo de um ponto e chegando ao mesmo ponto, a
soma algébrica das d.d.p. é nula.
1. Na associação de resistores da figura ao lado, o condutor cd tem

resistência nula.
Resolução
Determine o sentido e a intensidade da corrente no condutor cd.
Resolução
Nó B: i3 = i1 + i2 쎻
B : i3 – i2 = 0,2
Apliquemos a 1.a Lei de Kirchhoff ao nó c: Malha ␣: (sentido horário)
0,6A = icd + 0,2A ⇒ icd = 0,4A

–3 + 5i1 + R3i3 = 0 ou 쎻
␣ : R3 . i3 = 2
Poderíamos ter aplicado a 1.a Lei de Kirchhoff ao nó d: Malha ␤: (sentido anti-horário)
0,4A + icd = 0,8A ⇒ icd = 0,4A

–5 + 5 . i2 + R3 . i3 = 0 ou 쎻
␤ : 5i2 + R3 . i3 = 5
Resposta: icd = 0,4A (sentido de c para d). 쎻 쎻

Substituindo ␣ em ␤ , temos:
2. No circuito a seguir, a intensidade de corrente i1 vale 0,2A.

Determine R3.
5i2 + 2 = 5 ou ␥쎻 i2 = 0,6A
269
쎻 쎻
Levando ␥ em B , vem: i3 – 0,6 = 0,2 ou ␦ 쎻 Resolução
A 1.a Lei de Kichhoff expressa a conservação da corrente elétrica
ou da quantidade da carga elétrica.
A 2.a lei expressa a conservação da energia em um sistema
i3 = 0,8A fechado.
Resposta: D
쎻 쎻
Substituindo ␦ em ␣ , fica R3 . 0,8 = 2 ou 4. (UNIFESP-MODELO ENEM) – Por falta de tomadas extras em
seu quarto, um jovem utiliza um benjamin (multiplicador de
tomadas) com o qual, ao invés de um aparelho, ele poderá
R3 = 2,5⍀ conectar à rede elétrica três aparelhos simultaneamente. Ao se
conectar o primeiro aparelho, com resistência elétrica R, sabe-se
que a corrente na rede é I. Ao se conectarem os outros dois
3. (MODELO ENEM) aparelhos, que possuem resistências R/2 e R/4, respectivamente,
1.a Lei de Kirchhoff – Em um nó, a soma das intensidades de e considerando constante a tensão da rede elétrica, a corrente
corrente que chegam é igual à soma das intensidades de corrente total passará a ser
que saem. a) 17 I /12 b) 3 I c) 7 I d) 9 I e) 11 I
2.a Lei de Kirchhoff – Percorrendo-se uma malha num certo Resolução
sentido, partindo-se de um ponto e chegando-se ao mesmo Sendo constante a tensão elétrica da rede, da 1.a Lei de Ohm
ponto, a soma algébrica das ddp é nula. (U = Ri), observamos que a intensidade da corrente elétrica i e a
resistência elétrica R são grandezas inversamente proporcionais.
I. A 1.a lei expressa fundamentalmente um princípio de conser- Para uma resistência elétrica igual a R, teremos uma intensidade
vação da carga elétrica. de corrente elétrica i1 = I;
II. A 2.a lei pode ser entendida como um princípio de conservação Para uma resistência elétrica igual a R/2, teremos uma
da energia. intensidade de corrente elétrica i2 = 2I e para R/4, teremos i3 = 4I.
III. As duas leis estão relacionadas com a conservação da quanti- Desse modo:
dade de movimento.
itotal = i1 + i2 + i3
Sobre as afirmações, é correto dizer:
a) Somente I é correta. b) Somente II é correta. itotal = I + 2I + 4I ⇒ itotal = 7I
c) Somente III é correta. d) Somente I e II estão corretas.
e) todas estão erradas. Resposta: C
5. (UFPA) – O trecho a–e do circuito abaixo está sendo percorrido

por uma corrente de 3A. Qual a d.d.p. entre os pontos a e e?
a) – 2,0 V b) + 2,5V c) – 3,5V

d) – 4,0V e) + 4,5V
6. (VUNESP) – Um resistor de resistência R está inserto entre os

pontos P e Q de um circuito elétrico, como mostra a figura.
Determine as diferenças de potencial:
a) entre A e C;
b) entre B e C.
8. No circuito abaixo, temos uma ligação terra no ponto A (VA = 0):
Se as correntes que passam pelos fios 1 e 2, que chegam a P, são,

respectivamente, i1 e i2, a diferença de potencial entre P e Q será
igual a
i1 + i2 i1 + i2 R
a) –––––––– b) –––––––– .R c) ––––––––
R i 1 . i2 i1 + i2
i1 . i 2
d) –––––––– .R e) R(i1 + i2).
i1 + i2
7. (VUNESP) – Três resistores, P, Q e S, cujas resistências valem 10, a) Indique o sentido da corrente no circuito (horário ou anti-horário).
20 e 20 ohms, respectivamente, estão ligados ao ponto A de um b) Calcule o valor da corrente.
circuito. As correntes que passam por P e Q são 1,00A e 0,50A, c) Calcule a diferença de potencial entre os pontos B e C e A e D.
como mostra a figura. d) Calcule os potenciais elétricos nos pontos B, C e D (VB, VC e VD).
270
9. (UFSC) – Considere o circuito da figura a seguir, no qual estão 13. Qual a intensidade da corrente que atravessa o ramo AB?
associadas três resistências (R1, R2 e R3) e três baterias (E1, E2,
E3) de resistências internas desprezíveis.
14. Para o circuito abaixo, determine a intensidade da corrente em ca-

Um voltímetro ideal colocado entre Q e P indicará:
da ramo.
a) 11V b) 5V c) 15V d) 1V e) zero
10. (MACKENZIE) – No circuito a seguir, o gerador e o receptor são

ideais e as correntes têm os sentidos indicados.
Instruções para as questões 15 e 16.

(F.I.UBERABA) – O circuito elétrico representado abaixo é com-
posto de três resistores ôhmicos, de resistências elétricas iguais
a 10⍀ cada um, e de uma bateria, cuja força eletromotriz é igual
a 30V. Considere desprezível as resistências elétricas dos fios e a
Se a intensidade da corrente i1 é 5A, então o valor da resistência resistência interna da pilha.
do resistor R é:
a) 8⍀ b) 5⍀ c) 4⍀ d) 6⍀ e) 3⍀
11. (CESESP-PE) – No circuito abaixo, o valor em ohms da resistência

R, que deve ser colocada entre os pontos A e B para que circule
no resistor de 10⍀ uma corrente de 0,6A, é:
a) 10 b) 6 c) 15 d) 20 e) 12
15. Qual é, em ampère, a intensidade da corrente elétrica que passa

pelo ponto x?
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
16. Se o ponto y for ligado ao ponto z do circuito por um fio de re-

sistência desprezível, qual será a intensidade da corrente, em
ampères, que passará pelo ponto x?
a) 2,0 b) 3,0 c) 4,0 d) 5,0 e) 6,0
O circuito da figura abaixo refere-se às questões 17 e 18.
12. (UNAERP) – Liga-se uma bateria de força eletromotriz 24V e

resistência interna 2⍀ a outra bateria de 6V e 2⍀ e um resistor de
4⍀, conforme mostra a figura.
17. A corrente i2 vale:

2 4
a) zero b) –––– A c) –––– A
3 3
d) 1A e) n.d.a.
18. A diferença de potencial entre A e B vale:

20 40
a) zero b) –––– V c) –––– V
A intensidade de corrente elétrica que atravessa o resistor é de: 3 3
a) 2A b) 3A c) 4A d) 5A e) 6A
d) 10V e) n.d.a.
271
19. (FUVEST) – Utilizando-se de um gerador, que produz uma tensão

V0, deseja-se carregar duas baterias, B-1 e B-2, que geram res-
pectivamente 15 V e 10 V, de tal forma que as correntes que
alimentam as duas baterias durante o processo de carga
mantenham-se iguais (i1 = i2 = i). Para isso, é utilizada a monta-
gem do circuito elétrico representada a seguir que inclui três
resistores, R1, R2 e R3, com respectivamente 25⍀, 30⍀ e 6⍀, nas
posições indicadas. Um voltímetro é inserto no circuito para medir
a tensão no ponto A.
23. (FUVEST) – No circuito mostrado na figura a seguir, os três re-

sistores têm valores R1 = 2⍀, R2 = 20⍀ e R3 = 5⍀. A bateria B
tem tensão constante de 12V. A corrente i1 é considerada positiva
no sentido indicado. Entre os instantes t = 0s e t = 100s, o gera-
dor G fornece uma tensão variável V = 0,5t (V em volt e t em
segundo).
a) Determine a intensidade da corrente i, em ampères, com que

cada bateria é alimentada.
b) Determine a tensão VA, em volts, indicada pelo voltímetro,
quando o sistema opera da forma desejada.
c) Determine a tensão V0, em volts, do gerador, para que o
sistema opere da forma desejada.
20. (FEI) – No circuito representado, a intensidade de corrente i1 vale

0,2A. Determine i2, i3 e R3.
a) Determine o valor da corrente i1 para t = 0s.
b) Determine o instante t0 em que a corrente i1 é nula.
c) Trace a curva que representa a corrente i1, em função do
tempo t, no intervalo de 0 a 100s.
d) Determine o valor da potência P recebida ou fornecida pela
bateria B no instante t = 90s.
24. (IME) – A figura ilustra um circuito resistivo conectado a duas

fontes de tensão constante. Considere as resistências em ohms.
21. Determine a ddp entre os pontos A e B do circuito abaixo.
22. (FUVEST) – Considere o circuito da figura, no qual E = 10V e O módulo da corrente I que atravessa o resistor de 2,0⍀ é, apro-
R = 1.000⍀. ximadamente:
a) Qual a leitura do amperímetro A? a) 0,86A b) 1,57A c) 2,32A
b) Qual a leitura do voltímetro V? d) 2,97A e) 3,65A
272
5) B 6) E 7) a) 30V Nó A: i + i1 = i2
b) 40V
Malha ␣: R2 . i2 – 12 + R1 i1 = 0
8) a) anti-horário b) 2,0A
c) –40V; 20V d) 50V; 90V; –20V 20 . i2 – 12 + 2 i1 = 0
9) A 10) B 11) C i1 + 10 i2 = 6
12) B 13) 3,5A 14)
Malha ␤: – R1 i1 + 12 – V + R3 i = 0
– 2 i1 + 12 – V + 5i = 0
5i – 2 i1 = V – 12
em :
15) C 16) B 17) B 18) C i1 + 10 (i + i1) = 6
19) a) O circuito elétrico dado pode ser esquematizado pelo
11 i1 + 10i = 6
circuito equivalente que se segue:
5,5 i1 + 5i = 3
– : 7,5 i1 = 15 – V
15 – 0,5t
7,5 i1 = 15 – 0,5t i1 = –––––––––––
7,5
a) Para t = 0, vem: i1 = 2A
b) Para i1 = 0, vem: t = 30s
15 – 0,5 t
c) De i1 = ––––––––– concluímos que o gráfico i1 x t é retilíneo.
7,5
Na malha ␤, percorrendo-a no sentido anti-horário, temos: Para t = 100s, temos i1 – 4,7A

+25i1 + 15 – 10 – 30i2 = 0 Assim, temos o gráfico:
Fazendo-se i1 = i2 = i
+25i + 5,0 – 30i = 0 ⇒ 5i = 5,0 ⇒ i = 1,0A

b) O voltímetro lê a ddp do ramo em que se encontra B2 ou
B1, que funcionam como receptores.
U= ε2 + R2 . i2
VA = 10 + 30 . 1,0 ⇒ VA = 40 volts
c) Percorrendo-se a malha ␣ no sentido horário:

+25i1 + 15 – V0 + 6I = 0
i1 = 1,0A
I = i1 + i2 = 2,0A ⇒ 25 . 1,0 + 15 – V0 + 6 . 2,0 = 0
V0 = 52V
d) Para t = 90s, temos:
Respostas: a) 1,0A b) 40V c) 52V
7,5 i1 = 15 – 0,5 . 90
20) i2 = 0,6A 21) 2,4V 22) a) 5,0 . 10–3A
i1 = – 4A
i3 = 0,8A b) 2,5V
Portanto, a bateria B funciona, neste instante, como re-
R3 = 2,5⍀
ceptor e a potência recebida será:
23)
P = U . i1
P = 12 . 4 (W)
P = 48W
Respostas: a) 2A
b) 30s
c) gráfico acima
d) 48W (recebida)
24) C
273
CAPÍTULO
Eletrodinâmica
7 MEDIDORES
ELÉTRICOS
A o enviarmos um aparelho eletrônico para

conserto, este é submetido a inúmeros testes e medições
para que se possa detectar com segurança qual ou
quais dispositivos estão danificados.
1. Galvanômetro
O galvanômetro é um dispositivo que se utiliza para
detectar correntes de pequenas intensidades. Nos circui-
tos elétricos, o galvanômetro funciona como se fosse um
simples resistor. Os elementos que o caracterizam são:
a) sua resistência interna (rg);
b) a intensidade de corrente máxima permitida no
aparelho (ig), também denominada corrente de fundo de
escala.
O galvanômetro e o shunt estão em paralelo:
O símbolo que utilizaremos para o galvanômetro
será: rg ig
rg ig = Rs . is ⇒ is = ––––
Rs
Sendo i = ig + is, vem:

rg ig
i = ig + ––––
Rs
rg
2. Amperímetro
O galvanômetro usado como amperímetro possui
(
i = ig 1 + –––
Rs )
dois inconvenientes: a sua elevada resistência interna
(rg), que deveria ser quase nula, e a pequena faixa de
medição de corrente (de zero a alguns miliampères).
Resolvemos, simultaneamente, os dois problemas,
colocando em paralelo com o galvanômetro um resistor
de baixa resistência, denominado shunt (Rs).
O galvanômetro e o shunt são montados dentro de
uma caixa (conforme ﬁgura), ﬁcando à mostra a escala
do galvanômetro e os dois terminais, A e B.
Vamos determinar a nova corrente de fundo de escala
i do amperímetro, em função da corrente de fundo de
escala ig do galvanômetro.
274
3. Voltímetro Estando o galvanômetro

e o resistor em série,
O galvanômetro, quando graduado em unidades de
temos:
tensões elétricas, é um voltímetro, porém com dois in-
convenientes: sua resistência interna é pequena (deveria Ug Um
ser quase infinita) e a faixa de medição é estreita (de zero ig = ––– = –––
rg Rm
a alguns milivolts).
Resolvemos, simultaneamente, os dois problemas,
colocando em série com o galvanômetro um resistor de Ug . Rm
elevadíssima resistência, denominada multiplicadora Um = –––––––
rg
(Rm).
O galvanômetro e o resistor em série são montados
dentro de uma caixa (conforme figura), ficando à mostra
a escala do galvanômetro e os dois terminais, A e B. De U = Ug + Um , vem:
Ug . Rm
U = Ug + ––––––––
rg
Rm
(
U = Ug 1 + ––––
rg )
1. Tem-se um galvanômetro de fundo de escala 10␮A e resistência is = 4.999.990␮A

interna 150⍀, conforme especificação do fabricante.
a) Esquematizar esse aparelho e indicar a tensão máxima permi- Essa é a intensidade de corrente que se deve desviar pelo
tida em seus terminais. shunt.
b) Como se deve proceder para converter esse galvanômetro
num amperímetro de fundo de escala 5,0A? 4.o) Calcule a ddp máxima que o galvanômetro pode suportar:
c) Qual a resistência interna do amperímetro que se obtém? Ug = rg . ig = 1,5mV
Resolução
Essa é também a ddp máxima que o shunt vai suportar,
a) Ug = rg . ig = 150 . 10 . 10–6(V) = 1,5 . 10–3V ⇒ Ug = 1,5mV porque está em paralelo com o aparelho.
Observe que esse galvanômetro, calibrado em unidades de 5.o) Cálculo da resistência do shunt:
intensidade de corrente, só poderá medir correntes de inten-
sidades i ⭐ 10␮A e, calibrado em unidades de tensão, só Ug (item 4.o) 1,5 (mV) 1500 (␮V)
Rs = –––––––––––– = ––––––––––––– = ––––––––––––
poderá medir tensões U ⭐ 1,5mV. Ele não constitui, portanto, is (item 3.o) 4999990 (␮A) 4999990 (␮A)
um amperímetro ou um voltímetro prático.
Esquema:
Rs = 3,0 . 10–4⍀
Rs . rg 3,0 . 10–4 . 150

c) RA = –––––––– = –––––––––––––––––– (⍀) 3,0 . 10–4⍀
Rs + rg 3,0 . 10–4 + 150
RA 3,0 . 10–4⍀
b) A conversão desse galvanômetro em amperímetro de fundo
de escala 5,0A é feita mediante a inclusão de um resistor
(shunt), colocado em paralelo com os terminais do galvanô- 2. A resistência de um galvanômetro de fundo de escala 20␮A é de
metro. A incógnita da questão é o valor ôhmico desse shunt. 200⍀. Dar as explicações necessárias para converter tal aparelho
Procede-se assim: em um voltímetro de fundo de escala 10V.
1.o) Anote a corrente máxima permitida no galvanômetro: Resolução
ig = 10␮A Esquema do galvanômetro:
2.o) Anote a nova corrente de fundo de escala do amperímetro:

i = 5,0A
3.o) Coloque a nova corrente de fundo de escala na mesma uni-
dade da sensibilidade do aparelho: i = 5,0A = 5.000.000␮A.
Assim: is = i – ig = 5.000.000␮A – 10␮A Ug = rg . ig = 200 . 20 (␮V) ⇒ Ug = 4000␮V = 4,0mV
275
Para converter o galvanômetro em um voltímetro, devemos Resolução

colocar, em série com ele, uma resistência multiplicadora (Rm). A • A resistência elétrica R a ser colocada em paralelo com a
incógnita da questão é o valor ôhmico dessa resistência resistência elétrica do galvanômetro deve ter um valor muito
multiplicadora. Procede-se assim: pequeno quando comparado com o da resistência elétrica rg.
1.o) Anote a ddp máxima permitida no galvanômetro: Tal fato permitirá que a resistência elétrica R seja percorrida
Ug = rg . ig = 4000␮V por uma grande intensidade de corrente elétrica.
2.o) Anote a ddp de fundo de escala do voltímetro: • A resistência elétrica R a ser associada em série com a resis-
U = 10V = 10.000.000␮V tência elétrica do galvanômetro deve ter um valor elevado
quando comparado com o da resistência elétrica rg. Tal fato
3.o) Calcule a diferença dessas tensões: permitirá que a nova tensão elétrica total possa ter um valor
Um = U – Ug = (10.000.000 – 4.000)␮V bem maior que o anterior.
Resposta: C
Um = 9.996.000␮V
Essa é a ddp que o multiplicador deve suportar. 4. (MACKENZIE-MODELO ENEM) – Um problema com a apare-
lhagem elétrica do laboratório de Física provocou a seguinte
4.o) Anote a corrente máxima no galvanômetro: situação.
ig = 20␮A
O amperímetro A , descrito no circuito abaixo, possui resistên-
Essa é também a corrente que passa pelo multiplicador, por-
que está em série com o aparelho. cia interna RA = 9,0 . 10–2⍀.
5.o) Cálculo da resistência do multiplicador:
Um (item 3) 9996000 (␮V)
Rm = –––––––––––– = –——–——–—
ig (item 4) 20(␮A)
Rm = 499800⍀
6.o) Esquema final:
Devido às suas limitações, teve de ser “shuntado” com a resis-

tência RS = 1,0 . 10–2⍀. Nestas condições, a intensidade de
corrente medida em A é 1,0A, portanto a intensidade de cor-
rente i é:
3. (MODELO ENEM) – Considere um galvanômetro G de resistência
a) 19A b) 10A c) 9,0A d) 0,90A e) 0,10A
interna rg e um resistor de resistência R. Dos esquemas abaixo,
representam um bom amperímetro e um bom voltímetro, Resolução
respectivamente:
RA e RS estão associados em paralelo, assim:
a) I e II b) II e IV c) I e III
d) III e IV e) I e IV RA . iA = RS is
9,0 10–2 . 1,0 = 1,0 10–2 . is
is = 9,0A
Sendo i = iA + is
i = 1,0 + 9,0 (A)
i = 10A
Resposta: B
5. (MACKENZIE) – É dado um amperímetro de resistência 10⍀ e 7. (FESP) – Um amperímetro de resistência interna RA = 90⍀ tem
fundo de escala 10A. Qual deve ser o valor da resistência “shunt” leitura de fundo de escala iA = 5mA. Se quisermos obter com este
para medir 20A? medidor um amperímetro que meça correntes até 10mA,
a) 0,5⍀ b)1⍀ c) 2⍀ d) 10⍀ e) n.d.a. devemos ligar ao instrumento um resistor R
a) em paralelo, no valor de 45⍀;
b) em paralelo, no valor de 90⍀;
6. (FEI-SP) – Deseja-se utilizar um galvanômetro de resistência interna
c) em série, no valor de 45⍀;
20⍀ e fundo de escala 0,01A como amperímetro de fundo de esca-
d) em série, no valor de 90⍀;
la 10A. Qual o valor da resistência a ser associada ao galvanômetro
e como devemos fazer a fim de que isso seja possível? e) n.d.a.
276
8. Um amperímetro de resistência interna 0,18⍀ tem escala de 100 a) se as chaves X e Y estiverem fechadas, o amperímetro
divisões, que é usada para medir correntes até 10A. indicará i = 0,2A;
a) Que resistência deveria ser usada e como deveria ser ligada, b) só haverá diferença de potencial nos terminais do gerador se
para que esse aparelho meça correntes até 100A? a chave X estiver fechada;
b) Nas condições do item (a), de quanto variará o valor de cada c) se a chave X estiver fechada e em seguida fecharmos a chave
divisão? Y, a indicação do amperímetro aumentará.
9. (UNESP) – Um medidor de corrente elétrica comporta-se, quando 14. (F.M.ABC-SP) – No trecho de um circuito elétrico, conforme o es-
colocado em um circuito, como um resistor. A resistência desse quematizado, se a diferença de potencial entre os pontos
resistor, denominada resistência interna do medidor, pode, terminais A e D for de 100V, a leitura no amperímetro (de resis-
muitas vezes, ser determinada diretamente a partir de dados tência desprezível) será:
(especificações) impressos no aparelho. a) 0,5A b) 3A c) 1A d) 10A e) 0,25A
Suponha que, num medidor comum de corrente, com ponteiro e

uma única escala graduada, constem as seguintes especifi-
cações: 15. (U.C.GOIÁS) – No esquema a seguir, o amperímetro indicará:
• Corrente de fundo de escala, isto é, corrente máxima que pode
ser medida: 1,0 x 10–3A (1,0mA);
• Tensão a que deve ser submetido o aparelho, para que indique
a corrente de fundo de escala: 1,0 x 10–1V (100mV).
a) Qual o valor da resistência interna desse aparelho?
b) Suponha que se coloque em paralelo com esse medidor uma
100
resistência de —–– ohms, como mostra a figura.
9
Com a chave C aberta, é possível medir a corrente até 1,0 mA,
conforme consta das especificações.
Determine a corrente máxima que se poderá medir, quando a a) 1,0A b) 1,5A c) 2,5A d) 3,0A e) 5,0A
chave C estiver fechada.
16. (FUVEST-MODELO ENEM) – A figura mostra uma rede elétrica,
10. (MACKENZIE) – É dado um galvanômetro de resistência 10⍀ e na qual o gerador, ideal, tem f.e.m. E = 10V; as resistências dos
fundo de escala 0,10A. Qual deve ser o valor da resistência série ramos têm valores R1 = 2⍀, R2 = 2⍀ e R3 = 4⍀.
para medir 10V?
a) 90⍀ b) 9⍀ c)100⍀ d) 10⍀ e) 1000⍀
11. (MACKENZIE) – Usando um voltímetro de fundo de escala 20V e

resistência interna 2000⍀, desejamos medir uma ddp de 100V. A
resistência do resistor adicional que devemos associar a esse
voltímetro é:
a) 1k⍀ b) 2k⍀ c) 6k⍀ d) 8k⍀ e) 12k⍀
12. (UFF-RJ) – Um amperímetro tem resistência de 39,8⍀ e sua

agulha desvia-se de uma divisão quando ele é atravessado por uma No ramo de R3, há um amperímetro de resistência interna des-
corrente de 1mA. Dispõe-se de duas resistências: R1 = 0,2⍀ e prezível. A leitura no amperímetro é de:
R2 = 60,2⍀. Associando-se adequada e separadamente estas duas a) 5A b) 4A c) 3A d) 2A e) 1A
resistências ao amperímetro, transformamo-lo em um voltímetro,
que registra x divisões por volt, ou em um outro amperímetro, que 17. (FAAP) – No circuito da figura, determine a variação que deverá
registra y divisões por ampère. Calcular os valores de x e y. sofrer a resistência R, para que o amperímetro A, que antes in-
dicava 1A, passe a indicar 2A.
13. (IMT) – No circuito esquematizado, o amperímetro e o gerador
são ideais. É certo afirmar que
277
18. (FUVEST) – Dispõe-se dos seguintes elementos: dois resistores

idênticos, uma fonte de tensão e um amperímetro ideais, uma
lâmpada e fios de ligação. Pretende-se montar um circuito em que
a lâmpada funciona de acordo com as suas especificações e o
amperímetro acusa a corrente que passa por ela.
22. Realiza-se o circuito esquematizado.
a) Desenhe o circuito, incluindo os elementos necessários. As leituras de A e V serão, respectivamente:

b) Que corrente o amperímetro indicará? a) 1mA e 1,5V b) 7,5mA e 1,5V c) 750mA e 0,75V
d) 7,5mA e 7,5V e) n.d.a.
19. (FUVEST-SP) – Um voltímetro, quando submetido a uma tensão
de 100 volts, é percorrido por uma corrente de 1mA. Esse
voltímetro, quando ligado no circuito da figura, acusa uma
diferença de potência VAB igual a 50 volts.
As leituras de A e V serão, respectivamente:

a) 15mA e 1,5V b) 30mA e 0,75V c) 15mA e 3,0V
a) Qual a resistência interna do voltímetro?
d) 37,5mA e 0,75V e) n.d.a.
b) Qual o valor da corrente que atravessa o gerador do circuito?
20. (UFPA) – O gerador representado esquematicamente tem força
eletromotriz igual a 1,5V e encontra-se ligado em série com uma
resistência de 0,1⍀. O amperímetro A fornece uma leitura de
5,0A.
As leituras de A e V serão, respectivamente:

a) (1,5/20)A e 1,5V b) (1,5/10)A e zero c) zero e zero
d) zero e 1,5V e) n.d.a.
25. (FUVEST) – O esquema abaixo mostra três pilhas de 1,5V li-

gadas a um resistor R de 30⍀.
Qual o valor da resistência interna do gerador?
a) 0,01⍀ b) 0,02⍀ c) 0,1⍀ d) 0,2⍀ e) 2,0⍀
(MODELO ENEM) – Questões 21 a 24:

Um aluno dispõe de uma pilha e de um amperímetro A (ambos
com resistências internas desprezíveis), de resistores elétricos R1
e R2 e de um bom voltímetro V (resistência interna conside-
rada infinita). A f.e.m. da pilha é E = 1,5V; as resistências são
R1 = R2 = 100⍀.
21. Para o circuito esquematizado a seguir, as leituras de A e V resul- O voltímetro e o amperímetro ideais indicam, respectivamente, os
tam: seguintes valores de tensão e corrente:
a) zero e zero b) zero e 1,5V c) 0,015A e zero a) 1,5V; 0,05A b) 3,0V; 0,10A c) 4,5V; 0,15A
d) 0,030A e zero e) n.d.a. d) 1,5V; 20A e) 3,0V; 10A
278
4. Medidas de resistências A ponte de Wheatstone é considerada em equilíbrio,

quando o galvanômetro não acusa corrente (ig = zero).
Nessas condições, os potenciais em B e C são iguais
(VB = VC) e, consequentemente:
Esse método consiste, essencialmente, em medir
(com o voltímetro) a ddp que o gerador aplica no resistor R1 . R3 = R2 . R4 (produto cruzado)
e (com o amperímetro) a intensidade de corrente que por Demonstração:
ele circula. Desta forma, dá para se obter apenas o valor
aproximado da resistência, uma vez que a presença do De fato ig = 0 ⇒ i1 = i’1 e i2 = i’2
voltímetro e do amperímetro alteram eletricamente o
circuito onde se localiza o resistor. Contornam-se, ra- VB = VC ⇒ V A – V B = VA – V C
zoavelmente, esses inconvenientes, quando se sabe,
inicialmente, se a resistência a medir é de alto ou baixo R1 . i1 = R4 . i2 I
valor. Para o caso de valores baixos, utiliza-se a mon-
tagem A e, para valores elevados, a montagem B: Ainda VB – VD = VC – VD
R2 . i1 = R3 . i2 II
Dividindo I e II membro a membro:
R1 . i1 R4 . i2 R1 R4
Montagem A (Método do amperímetro externo) ––––––– = ––––––– ⇒ –––– = ––––
R2 . i1 R3 . i2 R2 R3
leitura em V
R ––––––––––––
leitura em A
ou R1 . R3 = R2 . R4 (c.q.d.)
Observemos que a recíproca também é verdadeira,

isto é:
R1 . R3 = R2 . R4 ⇒ ig = zero
(ou seja, não passa corrente pela diagonal BC).
Montagem B (Método do amperímetro interno) Observemos, também, que, sendo R3 e R4 resistên-
cias conhecidas e R2 (ajustável para o equilíbrio) também
leitura em V conhecida, podemos calcular o valor de R1 (incógnita).
R ––––––––––––
leitura em A
A ponte de Wheatstone é formada por um grupo de

resistores associados com um galvanômetro e alimen-
tados por um gerador, conforme o circuito a seguir:
A denominada “ponte de fio” é uma variante da pon-

te de Wheatstone, em que se faz R2 fixo e substitui-se R4
e R3 por um único fio resistor homogêneo e de secção
constante. Para determinar o valor de Rx, devemos obter
o equilíbrio da ponte, o que se consegue alterando a
posição do cursor C sobre o fio AB.
279
Sejam R4 = resistência do trecho AC e R3 = resistên- De acordo com a 2.a Lei de Ohm:

cia do trecho CB.
Rx . ␳ . —3 = R2 . ␳ . —4 ou Rx . 3 = R2 . 4
A A
No equilíbrio, teremos:
4
Da qual: Rx = R2 . ––––
Rx . R3 = R2 . R4 3
26. O galvanômetro do circuito elétrico abaixo não é atravessado por Resolução

corrente elétrica. Obter o valor da resistência X. Para que a corrente elétrica no galvamômetro seja nula, devemos
ter uma ponte de Wheatstone em equilíbrio.
Nessa situação, o produto cruzado dos resistência elétrica deve
ser constante.
R 1 . R 3 = R2 . R 4
12 . 2,0 = 6,0 R4 ⇒ R4 = 4,0⍀
Resposta: B
28. (UnB-MODELO ENEM) – Uma maneira de se determinar indireta-

mente a velocidade do vento é medir o seu efeito em algum pro-
cesso físico. Por exemplo, a taxa com que um objeto aquecido se
resfria depende da velocidade do vento ao qual ele é exposto. No
Resolução intuito de idealizar um anemômetro – instrumento capaz de medir
O circuito é nitidamente uma “ponte de Wheatstone” que, re- a velocidade do vento – sem partes móveis, considere que um
desenhada, fica assim: condutor de níquel-cromo aquecido pela passagem de corrente
elétrica, como mostrado no circuito da figura a seguir, seja
exposto ao vento. Para cada valor de velocidade do vento, existe
um valor da resistência R3 que torna nula a diferença de potencial
entre os pontos A e B. Dessa forma, pode-se associar o valor de
R3 à velocidade do vento a ser medida, permitindo a determi-
nação desta.
No equilíbrio, indicado, temos:

10 . 8 = 5 . X ⇒ X = 16⍀
27. (MODELO ENEM) – A figura a seguir representa um circuito

denominado ponte de Wheatstone, utilizado em laboratório para
medir resistência desconhecida. Suponha que R1 seja um resistor Para que esse instrumento possa ser utilizado, ele é submetido a
de resistência desconhecida e que R2, R3 e R4 sejam reostatos, uma regulagem prévia, chamada de calibração, em que o valor de
isto é, que possam ter suas resistências variando num intervalo R3 é ajustado de forma a se obter diferença de potencial nula
de valores conhecidos, que se ajustam até que o galvanômetro entre os pontos A e B na condição de temperatura ambiente
da figura indique uma corrente elétrica nula. Nesta situação, se diz conhecida e ausência de vento.
que a ponte está em equilíbrio e é verdadeira a expressão: Considerando que, na situação acima, R1 = 10⍀, R2 = 20⍀ e a
R1 . R3 = R2 . R4. A figura mostra ainda uma bateria de força calibração do anemômetro tenha sido feita em um dia quente e
eletromotriz (ε) e a sua resistência interna (r). sabendo que a resistência de um condutor aumenta com a
Com base nestas informações elevação da sua temperatura, julgue os itens abaixo:
e na figura, marque a afirmativa Se, em uma determinada situação, a resistência do condutor de
verdadeira: níquel-cromo for igual a 3⍀, então, para que não haja diferença de
Os valores das resistências potencial entre os pontos A e B, a resistência R3 deverá ser
valem R1 = 12⍀, R2 = 6,0⍀, ajustada para o valor
R3 = 2,0⍀. Considere a resis- a) 30⍀ b) 24⍀ c) 12⍀ d) 6,0⍀ e) 3,0⍀
tência interna da bateria r com Resolução
valor desprezível. Qual o valor Para que não haja ddp entre os pontos A e B, devemos ter uma
da resistência R4 para que a ponte em equilíbrio, assim.
corrente elétrica no galva- R1 R3 = R2 . RNi/Cr
nômetro seja nula?
10 . R3 = 20 . 3,0 ⇒ R3 = 6,0⍀
a) 2,0⍀ b) 4,0⍀ c) 8,0⍀
d) 16⍀ e) 24⍀ Resposta: D
280
29. (FUVEST-SP) – Você dispõe de um voltímetro e de um amperímetro ideais. Para determinar experimentalmente o valor da resistência R, você
escolheria a montagem:
30. No circuito elétrico esquematizado, deseja-se medir a diferença a) Qual é a leitura do amperímetro?
de potencial entre os terminais A e B do resistor R. b) Quanto vale Rx?
c) Qual é a leitura do voltímetro V2?
d) O resistor R1 é constituído de um fio de comprimento 5m e
secção reta 10–4 mm2. Qual é a resistividade do material do
fio?
33. A ponte da figura está em equilíbrio; o galvanômetro indica

inexistência de corrente.
O instrumento
a) X deve ser um voltímetro;
b) Y deve ser um amperímetro;
c) X deve ser um amperímetro;
d) Y deve ser um voltímetro;
31. No esquema abaixo, o voltímetro (V) e o amperímetro (A) são

considerados ideais. Com K1 e K2 fechados, o voltímetro e o
amperímetro acusam, respectivamente, 30V e 5,0A. Com K1 fe-
chado e K2 aberto, o voltímetro acusa 33V. Determine
A resistência Rx e a corrente Ix são, respectivamente:

a) Rx = 5⍀ e Ix = 6,6A b) Rx = 5⍀ e Ix = 0,4A
c) Rx = 20⍀ e Ix = 0,4A d) Rx = 20⍀ e Ix = 6,6A
e) n.d.a.
34. O diagrama a seguir mostra um esquema do circuito da ponte de

Wheatstone. Nele, R é um resistor de resistência regulável e G,
um aparelho que acusa passagem de corrente entre os pontos (I)
a) a f.e.m. do gerador; e (II) assinalados. Admitindo-se que a ponte esteja “equilibrada”,
b) a resistência R; é falso afirmar-se que
c) a resistência interna do gerador.
32. (UFMG) – No circuito da figura, a bateria tem força eletromotriz

de 12V e resistência interna desprezível. A é um amperímetro
ideal, V1 e V2 são voltímetros ideais. R1 é um resistor de
resistência 5⍀ e Rx um resistor de resistência a ser determinada.
Se a leitura do voltímetro V1 for 5V:
a) a resistência do resistor R vale 4⍀;

b) o aparelho G não acusa passagem de corrente;
281
c) os pontos (I) e (II) encontram-se a um mesmo potencial; a) C e F b) D e G c) E e H

d) a corrente i0 tem intensidade igual a 2A; d) E e F e) C e H
e) a resistência equivalente ao conjunto dos quatro resistores é
igual a 27⍀.
35. (PUC) – A figura adiante mostra o esquema de uma ponte de

Wheatstone. Sabe-se que E = 3V; R2 = R3 = 5 ohms e o
galvanômetro é de zero central. A ponte entra em equilíbrio
quando a resistência R1 for igual a 2 ohms. As correntes i1 e i2 (em
ampère) valem, respectivamente:
39. (ITA) – Considere um arranjo em forma de tetraedro construído

com 6 resistências de 100⍀, como mostrado na figura.
a) zero e zero b) 2 e 2 c) 0,75 e 0,30

d) 0,30 e 0,75 e) 0,43 e 0,43
Pode-se afirmar que as resistências equivalentes RAB e RCD entre
os vértices A, B e C, D, respectivamente, são:
36. (VUNESP) – No circuito a seguir, os fios de ligação têm resis-
tência desprezível. As correntes i1, i2 e i3 valem, respectivamente: a) RAB = RCD = 33,3⍀ b) RAB = RCD = 50⍀
c) RAB = RCD = 66,7⍀ d) RAB = RCD = 83,3⍀
e) RAB = 66,7⍀ e RCD = 83,3⍀
40. (UNIUBE-MG) – Quando a ponte de Wheatstone (ponte de fio)

está em equilíbrio (iG = 0), conforme figura abaixo, o valor de Rx é:
a) i1 = 4A; i2 = 2A; i3 = 1A b) i1 = 2A; i2 = 4A; i3 = 0

c) i1 = 4A; i2 = 2A; i3 = 2A d) i1 = 4A; i2 = 2A; i3 = 0
e) i1 = 2A; i2 = 2A; i3 = 2A
a) 40⍀ b) 60⍀ c) 80⍀ d) 120⍀ e) 180⍀
37. (FUVEST) – No circuito esquematizado, as resistências são idên-
ticas e, consequentemente, é nula a diferença de potencial entre
41. (IME) – A resistência equivalente entre os terminais A e B da
B e C.
figura a seguir é
a) 1/3R b) 1/2R c) 2/3R
d) 4/3R e) 2R
Qual a resistência equivalente entre A e D?

a) R/2 b) R c) 5R/2 d) 4R e) 5R
38. (MACKENZIE) – Considerando o circuito a seguir e dispondo de

um galvanômetro ideal, podemos afirmar que ele registraria uma
intensidade de corrente igual a zero se seus terminais fossem li-
gados aos pontos:
282
42. (FUVEST) – Uma fonte de tensão ideal de 600 volts alimenta dois trilhos, AB e CD, ligados
entre si por um condutor BD de resistência desprezível. Um voltímetro ideal, inicialmente
conectado aos pontos A e C, movimenta-se a 2m/s ao longo dos trilhos. Cada trilho tem 100m
de comprimento e 1,5 ohm de resistência por metro.
a) Qual a corrente que circula através do circuito?

b) Construa o gráfico da tensão acusada pelo voltímetro durante o seu movimento, em função
do tempo.
5) D 20) D 21) D 22) E 23) E 24) D

6) 0,02⍀ em paralelo com o galvanômetro 25) B 29) A 30) D 31) a) 33V
7) B 8) a) 0,02⍀ em paralelo b) 6,0⍀
b) de 0,1A/divisão para 1,0A/divisão c) 0,60⍀
9) a) 100⍀ 32) a) 1A 33) B 34) E 35) C
b) 10mA b) 7⍀
10) A 11) D 12) x = 10 c) 7V
y=5 d) 1 . 10–7⍀ . mm
13) C 14) E 15) B 16) E 36) D 37) B 38) D 39) B 40) C
17) de 20⍀ a 0⍀ 18) a) 41) D
42) a) 2,0A
b)
b) 0,25A
19) a) 1,0 . 105⍀
b) 1,5A
283
CAPÍTULO
Eletromagnetismo
1 CAMPO MAGNÉTICO
H á mais de 2000 anos, sabiam os gregos que certas pedras da região da Magnésia eram capazes de
atrair pedaços de ferro. Essas pedras são, hoje, conhecidas como magnetita, que constitui um ímã natural.
Não sabemos, ao certo, quando o ímã foi utilizado pela primeira vez na navegação. Há alguma
referência escrita datada do século XII.
Conta-nos a história, lá do século XIII, que
muitos observadores já haviam notado que os ímãs,
independentemente do seu formato, sempre tinham
dois polos, os quais eram inseparáveis.
Modernamente, conhecemos os ímãs naturais
per manentes (magnetita) e os ímãs artificiais (liga
de ferro, de níquel ou de cobalto, imantada no
laboratório).
Atração magnética.
1. Os ímãs e suas propriedades Este resultado experimental conduziu os chineses à

invenção da bússola, precioso instrumento auxiliar das
Os polos de um ímã são denominados polo sul e polo
grandes navegações dos séculos passados. A bússola é
norte, em decorrência da seguinte propriedade experi-
essencialmente uma agulha
mental:
magnética, em forma de um lo-
Suspendendo-se um ímã pelo seu centro de gra- sango, que pode girar livremente,
vidade, ele se orienta, aproximadamente, na di- em movimento horizontal,
reção norte–sul geográfica local. À região do ímã, suspensa num pino sob o
voltada para o polo sul geográfico, denominamos seu centro de gravi-
de polo sul (S) do ímã. À região do ímã voltada dade. No seu mostra-
para o polo norte geográfico, denominamos de dor, desenha-se a
polo norte (N) do ímã (Fig. 1). rosa-dos-ventos.
Normalmente, a
agulha procura a
direção norte–sul.
Por convenção, o
polo norte da agulha
é pintado de azul ou
uma outra cor escura.
Bússola.
Fig. 1 – Denominação dos polos do ímã.
284
2. Propriedades dos ímãs

A propriedade mais importante dos ímãs é a de atrair
pedaços de ferro, bem como ligas de níquel e de cobalto.
Um ímã não atrai outros metais. Essa propriedade
fundamental levou à descoberta dos ímãs.
Colocando-se um ímã em presença de uma porção de Fig. 4 – Repulsão entre dois polos sul.
limalha de ferro (ferro em pó), verificamos que
esta é fortemente atraída pelos Aproximando-se um polo norte de um outro polo
polos dos ímãs. A atração é norte, haverá repulsão entre eles (Fig. 5).
mais intensa nos dois polos
(Fig. 2).
Fig. 2.
A segunda propriedade fundamental dos ímãs é a de

atração ou repulsão entre os polos: Fig. 5 – Repulsão entre dois polos norte.
A terceira propriedade dos ímãs é a de inseparabi-
• Polos do mesmo nome repelem-se. lidade dos polos. Serrando-se transversalmente um ímã,
• Polos de nomes contrários atraem-se. na tentativa de separar o polo norte do polo sul, em vez
de obtermos um polo em cada um dos pedaços, obte-
Essa propriedade pode ser facilmente verificada remos dois ímãs menores. Na secção do corte, surgem
quando aproximamos dois ímãs um do outro: dois polos contrários aos seus respectivos extremos (Fig.
Aproximando-se um polo sul de um polo norte, 6). Conseguimos apenas separar uma metade da outra, no
haverá atração entre eles (Fig. 3). entanto, não conseguimos separar um polo do outro em
dois pedaços distintos. Isso nos leva a concluir que:
Os polos norte e sul de um ímã são inseparáveis.
Fig. 3 – Atração entre polos opostos.
Aproximando-se um polo sul de um outro polo sul,

haverá repulsão entre eles (Fig. 4).
Fig. 6.
1. Na figura que se segue, temos um ímã 1, de polaridades conhe- Resolução

cidas N e S, e dois outros ímãs de polaridades desconhecidas: 1.o)
ímã 2 e ímã 3. Fazemos em sequência o seguinte experimento:
1.o) Tomando o ímã 1, aproximamos o seu polo N do polo A do ímã
2 e notamos uma atração magnética entre esses polos. Aproximando o polo N do ímã 1 do polo A do ímã 2, há uma
2.o) Tomando o ímã 3, aproximamos o polo C do polo B do ímã 2 atração magnética, o que demonstra que o polo A é um polo
e notamos uma repulsão magnética. sul. Consequentemente, o polo B é um polo norte.
Identifique os polos A e B do ímã 2 e os polos C e D do ímã 3. 2.o)
Quando aproximamos o polo C do polo B, notamos uma repul-

são magnética, o que demonstra que C e B são polos do mes-
mo nome, ou seja, ambos são norte. Consequentemente, o
polo D é um polo sul.
Resposta:
285
2. (MODELO ENEM) – Dois pequenos ímãs idênticos têm a forma Verificamos, dessa maneira, que se as partes do ímã 1 forem
de paralelepípedos de base quadrada. Ao seu redor, cada um aproximadas novamente, atrair-se-ão.
produz um campo magnético cujas linhas se assemelham ao Efetuando-se os cortes no ímã 2:
desenho esquematizado.
Verificamos, dessa maneira, que se as partes do ímã 2 forem

aproximadas novamente, repelir-se-ão.
Resposta: C
Suficientemente distantes um do outro, os ímãs são cortados de 3. (MODELO ENEM) – Um brinquedinho infantil é constituído por
modo diferente. As partes obtidas são então afastadas para que um ratinho, um gatinho e um pedaço de queijo. Sob o ratinho, há
não haja nenhuma influência mútua e ajeitadas, conforme indica a rodinhas que o permitem correr para frente ou para trás. Quando
figura seguinte. o queijo é mostrado para o ratinho, este logo o reconhece e se
aproxima dele (fig.1). Quando o gatinho, seu inimigo e predador, a
ele é mostrado, ele também o reconhece e foge prontamente
(fig.2).
Observe que o ratinho está "vendo" o queijo ou o gato.
Se as partes do ímã 1 e do ímã 2 forem aproximadas novamente

na região em que foram cortadas, mantendo-se as posições
originais de cada pedaço, deve-se esperar que
a) as partes correspondentes de cada ímã atraiam-se
mutuamente, reconstituindo a forma de ambos os ímãs.
b) apenas as partes correspondentes do ímã 2 se unam
reconstituindo a forma original desse ímã.
c) apenas as partes correspondentes do ímã 1 se unam
reconstituindo a forma original desse ímã.
d) as partes correspondentes de cada ímã repilam-se mutua-
mente, impedindo a reconstituição de ambos os ímãs.
e) devido ao corte, o magnetismo cesse por causa da separação
dos polos magnéticos de cada um dos ímãs.
Resolução
Levando-se em conta o esquema apresentado, pode-se supor a O princípio de funcionamento desse brinquedinho é a atração ou
seguinte polaridade para o ímã. a repulsão magnética. Em cada uma das plataformas de apoio, foi
embutido um ímã, o que explica o comportamento do ratinho.
Podemos afirmar:
I. Os polos B e C são opostos.
II. Os polos A e C têm o mesmo nome.
III. Sendo A um polo norte, então C é um polo sul.
IV. Sendo B um polo sul, então D também é um polo sul.
Estão corretas:
a) Apenas I e IV b) Apenas I, II e III
c) Apenas I, II e IV d) Apenas II e III
Efetuando-se os cortes no ímã 1: e) Todas as quatro
Resolução
I. CORRETA
Para que o ratinho se aproxime do queijo, deve existir uma
forma magnética de atração entre B e C, ou seja, eles devem
ter nomes opostos. Se A for um norte, B deverá ser um sul ou
vice-versa.
II. CORRETA
Para que o ratinho fuja do gatinho, deve existir uma força
magnética de repulsão entre A e C, ou seja, eles devem ter
polos de mesmo nome. Assim, ambos poderão ser um norte
ou ambos poderão ser um sul.
286
III. INCORRETA
Observemos a figura 2: como se discutiu na afirmativa anterior, A e C devem ter o mesmo polo magnético. Então, sendo A um polo norte,
C também deverá ser um polo norte.
IV. CORRETA
Observemos a figura 1: como existe uma atração magnética entre B e C, significa que se trata de dois polos opostos. Como B é um polo
sul, então C é um polo norte. Então o ímã CD tem polo norte em C e polo sul em D. Assim, tanto B como D serão um polo sul.
Resposta: C
4. Um ímã, em forma de barra (Fig. 1), foi dividido em três pedaços: Colocando-se lado a lado os dois pedaços extremos, como in-
(A, B); (C, D) e (E, F). A seguir, foram feitos alguns experimentos dicado na figura 2, é correto afirmar que
com esses pedaços (Figs. 2, 3 e 4). Em cada um deles, repre- a) se atraem, pois A é polo norte e B é polo sul.
sentou-se uma força de atração ou de repulsão. Analise esses re- b) se atraem, pois A é polo sul e B é polo norte.
sultados e julgue cada um deles. c) não se atraem, e nem se repelem.
d) se repelem, pois A é polo norte e B é polo sul.
e) se repelem, pois A é polo sul e B é polo norte.
7. (FUVEST) – Um ímã, em forma de barra, de polaridades N (norte)

e S (sul), é fixado numa mesa horizontal. Um segundo ímã, de
polaridades desconhecidas, indicadas por A e T, quando colocado
na posição mostrada na figura 1, foi repelido para a direita.
Quebra-se esse ímã ao meio e utilizando-se dos dois pedaços,

fazem-se quatro experiências, mostradas nas figuras abaixo. Em
As forças magnéticas de atração ou de repulsão estão correta- cada uma delas, é usado um dos pedaços, colocando-o próximo
mente desenhadas do ímã fixo.
a) nas figuras 2 e 3. b) nas figuras 3 e 4.
c) nas figuras 2 e 4. d) nas três figuras.
e) apenas na figura 3.
5. Considere os dois ímãs da figura abaixo. Os polos do ímã 1

atraem ou repelem o polo sul do ímã 2. Desenhe essas forças e
obtenha a resultante delas. A seguir, assinale a alternativa que
melhor indica a direção e o sentido dessa resultante no polo sul
do ímã 2.
Indicando por:
NADA: na ausência de qualquer força magnética.

ATRAÇÃO: se houver uma atração entre o pedaço e o ímã fixo.
REPULSÃO: se houver uma repulsão entre o pedaço e o ímã fixo.
6. (FUVEST) – A figura 1 representa um ímã permanente em forma de
barra. Suponha que a barra tenha sido dividida em três pedaços. Os respectivos resultados das quatro experiências são:
Experiência 1 Experiência 2 Experiência 3 Experiência 4

a) repulsão atração repulsão atração
b) repulsão repulsão repulsão repulsão
c) repulsão repulsão atração atração
d) repulsão atração nada atração
e) atração nada nada repulsão
Figura 1. Figura 2.
287
3. O campo magnético de um ímã

A região que envolve o ímã fica, de certa forma, mo-
dificada. Nela aparecem forças magnéticas em pedaços
de ferro, bem como nos polos de outros ímãs. Dizemos,
então, que um campo magnético se estabelece em torno
do ímã.
A fim de visualizar esse campo magnético, podemos
fazer uma experiência elementar que nos mostrará o seu
espectro. Usaremos uma cartolina, um pouco de limalha de
ferro (pó de ferro – resultado do polimento de peças de
ferro em serralheria) e um ímã em forma de barra.
Fig. 9 – A linha de indução é fechada e penetra no interior do ímã.
O ímã é colocado sob a cartolina. Sobre ela, espa-
lhamos a limalha de ferro. À medida que esta vai caindo Um caso muito importante é o do ímã dobrado em for-
sobre a cartolina, começa a desenhar-se a figura do es- ma de U ou de ferradura. O campo magnético que se esta-
pectro do campo magnético (Fig. 7). belece no entreferro, isto é, entre os dois polos, tem as li-
nhas de indução retilíneas. Dizemos que o campo magné-
tico nesse entreferro é praticamente uniforme. Acima dos
polos, as linhas são curvas (Fig. 10).
Fig. 7 – Ímã sob uma cartolina.
O espectro obtido nos sugere a possibilidade de se

representar um campo magnético por meio de linhas de
indução (semelhantes às linhas de força do campo elé-
trico). Por convenção, sua orientação é estabelecida de Fig. 10 – Um ímã em forma de U e seu campo magnético.
norte para sul. Podemos até dizer, de um modo mais
coloquial, que as linhas de indução do campo magnético Outro caso importante é o do campo magnético que
de um ímã obedecem à seguinte regra: se estabelece entre os polos opostos de dois ímãs em
forma de barra que são colocados próximos um do outro
nascem no norte e morrem no sul.
(Fig. 11).
Fig. 11 – O campo magnético entre polos opostos de dois ímãs.
Fig. 8 – Linhas de indução de um ímã em forma de barra.
No entanto, uma linha de indução é fechada, isto é,

ela prossegue ímã adentro, mantendo um único sentido
de orientação (Fig. 9). Deste modo, no interior do ímã,
ela vai de S para N.
288
O cálculo da intensidade do campo magnético (mó-

→
dulo de B) será apresentado nos capítulos seguintes. Pa-
De um modo geral, podemos dizer que a ação do ra cada fonte de campo magnético, teremos uma equação
campo magnético varia de ponto para ponto em seu diferente.
campo. As linhas de indução nos mostram bem a sua di- No Sistema Internacional, a unidade do campo mag-
reção e sentido, mas não a sua intensidade. A fim de me- nético denomina-se tesla (símbolo: T), cuja definição
dir essa intensidade, bem como dar a direção e o sentido será apresentada apenas no próximo capítulo.
no campo num determinado ponto, define-se o vetor
indução magnética, ou simplesmente vetor campo mag- unidade de B = tesla (T)
→
nético. Ele é indicado por B.
Para representá-lo nas linhas de indução, basta dese-
nhá-lo tangenciando a linha em cada ponto. Denomina-se campo magnético uniforme aquele campo
no qual a intensidade é a mesma em todos os seus pontos,
bem como são constantes a direção e o sentido do campo.
Vimos anteriormente, nas figuras 10 e 11, dois exem-
plos de campo magnético uniforme.
→
No campo magnético uniforme, temos B constan-
Fig. 12 – Uma linha de indução.
te em módulo, direção e sentido.
4. Ação do campo magnético sobre uma bússola

Quando uma pequena bússola é colocada no interior de um campo magnético, a sua tendência é alinhar-se tangen-
→
cialmente à linha de indução, com o polo NORTE apontando no sentido do campo. Ela imita o vetor indução B.
Fig. 13 – O alinhamento da bússola no campo.
FOCO EM
CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE
Envolvendo o nosso planeta, há um campo magnético. É
ele quem atua sobre a agulha magnética da bússola e a
orienta na direção norte–sul.
Sabemos que uma bússola, quando colocada no interior de
um campo magnético, se orienta na direção de uma de suas
linhas de indução e o seu polo norte indica o sentido desta
linha. Isso demonstra a existência do campo magnético da
Terra.
No entanto, em tudo isto há uma curiosidade: o polo norte
da agulha aponta para o polo norte geográfico da Terra. Do
mesmo modo, o polo sul da agulha aponta para o sul da Terra.
O que demonstra esse fenômeno?
Em primeiro lugar, essa verificação nos faz concluir que o
campo magnético da Terra tem seus dois polos sobre os polos
geográficos da Terra. Na realidade bem próximos, mas não
são coincidentes.
Fig. 14 – Campo magnético da Terra.
289
Em segundo lugar, verificamos que se o polo norte da agulha aponta para o polo norte geográfico, é
porque ali se encontra um polo sul magnético. Do mesmo modo, lá no polo sul da Terra se encontra um polo
norte magnético.
Ao que tudo indica, a Terra é um grande ímã de ponta cabeça. No norte, está o sul magnético e no sul
está o norte magnético.
A linha de indução que passa num determinado local define, em cada ponto, a direção do →
campo
magnético. Traçando-se uma tangente a ela, passando por um de seus pontos, teremos o vetor B daquele
ponto. No entanto, ao contrário do que se poderia supor, esse vetor não terá direção horizontal. Ele
apresenta uma ligeira inclinação, que se acentua à medida que nos afastamos do equador em direção aos
polos.
→ →
Sendo B o vetor indução →num determinado ponto P, próximo da superfície terrestre, e sendo ainda Bh
a componente horizontal de B, o ângulo ␪ formado é denominado inclinação magnética do local.
Normalmente, usamos a bússola numa posição horizontal, isto
é, a sua agulha gira livremente na posição horizontal. Deste
modo, a orientação
→
da agulha tem a direção da componente
horizontal Bh .
Fig. 15.
5. Força magnética sobre cargas carga campo

força (F) velocidade (V)
elétricas (força de Lorentz) elétrica (q) magnético (B)
Uma carga elétrica q, positiva, é lançada num campo newton (N) coulomb (C) m/s tesla (T)
→
magnético uniforme, com uma velocidade v. No local, o → →
b) direção: perpendicular aos vetores v e B.
campo magnético está representado pelo vetor indução
→ → →
B. Seja ainda ␪ o ângulo formado entre os vetores v e B.
Inicialmente, vamos supor que o lançamento não tenha
sido paralelo ao campo magnético.
Mostra a experiência que o campo magnético é capaz
de atuar sobre essa carga de prova lançada nele sob essas
condições. Surge na partícula uma força de origem mag-
→
nética, denominada força magnética de Lorentz ( F ) (Fig. → → →
Fig. 17 – F é perpendicular a v e a B .
16).
c) sentido: sendo positiva a carga elétrica da par-
tícula lançada, o sentido da força magnética é dado pela
regra da mão esquerda, que assim se propõe (Fig. 18).
→
Fig. 16 – A força magnética F atuando na carga de prova q.
Essa força magnética certamente desvia a partícula

de sua trajetória original→de lançamento. As caracterís-
ticas da força magnética F são:
a) intensidade: F = | q | . v . B . sen ␪
Fig. 18 – Regra da mão esquerda para a carga positiva.
Observemos que a intensidade da força magnética é →
diretamente proporcional ao módulo da carga elétrica, ao • o dedo polegar indica a força magnética F; →
módulo da velocidade de lançamento e à intensidade do • o dedo indicador indica o campo magnético B;
→
campo magnético. Valem, no SI, as seguintes unidades: • o dedo médio indica o sentido da velocidade v.
290
Observação: sendo negativa a carga elétrica q da Exemplo

partícula lançada no campo magnético, o sentido da for- Retomemos o caso da carga elétrica da Figura 17,
ça magnética deve ser invertido (veja o exercício resol- bem como a respectiva regra da mão esquerda da Figura
vido número 9). → →
18. Vamos supor que B e v sejam perpendiculares. Po-
→
demos representar os vetores força F e campo magnético
Uma convenção didática → →
B no plano do papel. A velocidade v deve ser represen-
para representação de vetores
tada por um vetor saindo do papel (Fig. 19).
A fim de facilitar a representação de um vetor cuja
direção é perpendicular ao plano do papel, conven-
cionou-se o seguinte:
Representa um vetor entrando no plano do pa-
pel. Seu sentido é do leitor para o papel.
Representa um vetor saindo do plano do papel.
Seu sentido é do papel para o leitor.
Fig. 19 – Aplicando a convenção.
→
8. Usando a regra da mão esquerda, represente a força magnética F Resolução
que atua na partícula de carga elétrica q, positiva, lançada no Em cada caso, devemos novamente aplicar a regra da mão es-
→
campo magnético B em direção perpendicular às suas linhas de querda. No entanto, sendo negativa a carga elétrica da partícula,
→
indução (Figuras a, b e c). devemos inverter o sentido da força magnética F obtida. Observe
ainda que os lançamentos propostos nas figuras d, e e f são
exatamente os mesmos das figuras a, b e c. Portanto, teremos os
resultados opostos.
Resolução
Em cada caso, devemos aplicar a regra da mão esquerda, sem
contudo inverter o dedo médio com o indicador. Vire sua mão de
modo a posicionar sempre os dedos médio e indicador coinci-
→ →
dindo com os respectivos vetores v e B. Tome sempre como
referência a figura 18. 10. Numa região do espaço, existe um campo magnético uniforme de
Deste modo, teremos os seguintes resultados: intensidade B = 200T (200 teslas). Lançamos nela uma partícula
→ →
de carga elétrica q = 2,0nC, tal que o ângulo formado entre v e B
seja de 30°. Sendo v = 2,0 x 103m/s, determine
a) a intensidade da força magnética que atua sobre a partícula.
b) Mudaria a intensidade da força se a carga fosse negativa?
Resolução
a) Lembrando que a intensidade da força magnética é dada por:
F = |q| . v . B . sen ␪
Sendo:
→ q = 2,0nC = 2,0 x 10–9C, v = 2,0 x 103m/s e B = 200T
9. Represente a força magnética F que atua na partícula de carga
→ sen ␪ = sen 30° = 1/2 = 0,50
elétrica q, negativa, lançada no campo magnético B em direção
perpendicular às suas linhas de indução (Figuras d, e e f). teremos:
F = 2,0 x 10–9 x 2,0 x 103 x 200 x 0,50 (newton)
Resposta: F = 4,0 x 10–4N
b) A intensidade da força magnética seria a mesma se mudasse

o sinal da carga elétrica. Observemos que, no cálculo acima, a
carga elétrica aparece em módulo. Também a direção da força
→
não mudaria, pois ela é sempre perpendicular aos vetores v e
→
B, apenas o sentido da força seria invertido.
291
11. Nos casos que se seguem, apresentados nas figuras de 1 a 4, a b) Desenhe a força magnética que atua em cada partícula.
carga da partícula é positiva. Em todos os quatro casos, ela foi lan-
çada perpendicularmente ao campo. Desenhe, em cada caso, a
força magnética atuante na partícula.
Figura 11. Figura 12. Figura 13.
12. Nos casos que se seguem, apresentados nas figuras de 5 a 8, a 16. Na figura abaixo, um elétron é lançado horizontalmente entre os
carga da partícula é negativa. Em todos os quatro casos, ela foi polos opostos de dois ímãs dispostos verticalmente.
lançada perpendicularmente ao campo. Desenhe, em cada caso,
a força magnética atuante na partícula.
13. Nas figuras 9 e 10 que se seguem, a partícula foi lançada paralela-

mente às linhas de indução. Determine a intensidade da força
magnética.
O que ocorrerá com o elétron ao atravessar o campo magnético?

a) Será desviado para cima.
b) Será desviado para baixo.
c) Será desviado para fora do plano da figura.
d) Será desviado para dentro do plano da figura.
e) Não sofrerá nenhum desvio de trajetória.
17. (UNIP) – A figura a seguir representa os polos de um ímã e um

14. Uma partícula de carga elétrica positiva q = 3,0 x 10–12C foi lança- feixe de elétrons penetrando no campo magnético deste ímã com
→
da num campo magnético uniforme de intensidade B = 4,0 x 108 T. velocidade v, perpendicularmente ao plano do papel.
O feixe de elétrons deslocar-se-á segundo a orientação dada pela

seta:
a) I b) II c) III d) IV e) nenhuma destas.
Sabendo que a direção do lançamento formou um ângulo de 45°
com as linhas de indução, determine 18. (PUC) – Uma partícula carregada penetra num campo de indução
→ → →
a) a direção e o sentido da força magnética. magnética B, com velocidade v, ficando sujeita à força F.
b) a intensidade da força magnética, sendo v = 1,0m/s → → →
Em relação aos vetores v, B e F, podemos afirmar:
→ →
Dado: sen 45° =
2 /2 →
a) F perpendicular a v e paralelo a B.
→ → →
15. Nas figuras de 11 a 13, temos um ímã em forma de ferradura (ou b) F perpendicular a B e paralelo a v.
→ → →
em U). Entre os dois polos, lançamos uma partícula eletrizada c) F perpendicular a B e a v.
→ → →
com carga elétrica q. → d) F paralelo a v e a B.
a) Desenhe o vetor indução magnética B no entreferro do ímã → → →
(entre os dois polos). e) v perpendicular ao plano determinado por B e F.
292
19. (CEFET-SP) – Um ímã com 400g de massa é abandonado próximo

a um parafuso de ferro de 25g, ambos sobre uma superfície
horizontal. Considere ainda que sobre o ímã atuam as forças peso
e normal (P e N). Se não houver atrito com a superfície:
a) Eles serão igualmente acelerados e se atrairão com forças de
mesma intensidade.
b) O ímã terá aceleração superior à do parafuso, mas eles se
atrairão com forças de mesma intensidade.
c) O ímã terá uma aceleração inferior à do parafuso e a força
atuante sobre ele será menor que a força sobre o parafuso.
d) O ímã terá aceleração inferior à do parafuso, mas eles se 22. (UFRS) – No interior de um acelerador de partículas, existe um
atrairão com forças de mesma intensidade. campo magnético muito mais intenso que o campo magnético
e) As forças, P e N, atuantes sobre o ímã, constituem em um par terrestre, orientado de tal maneira que um elétron lançado
de forças de ação e reação. horizontalmente do sul para o norte, através do acelerador, é
desviado para o oeste. O campo magnético do acelerador aponta
20. (USS) – A figura I mostra uma bússola pousada sobre uma mesa, a) do norte para o sul. b) do leste para o oeste.
livre de quaisquer influências elétricas ou magnéticas. A figura II c) do oeste para o leste. d) de cima para baixo.
mostra um ímã forte, em forma de barra, sobre uma outra mesa e) de baixo para cima.
bem distante da primeira.
23. (PUC) – Um elétron num tubo de raios catódicos está-se moven-
do paralelamente ao eixo do tubo com velocidade 1,0 x 107m/s.
Aplicando-se um campo de indução magnética de 2T, paralelo ao
eixo do tubo, a força magnética que atua sobre o elétron vale
(carga de elétron, 1,6 . 10–19C):
a) 3,2 . 10–12N b) nula c) 1,6 . 10–12N
d) 1,6 . 10–26N e) 3,2 . 10–26N
→
24. (FUVEST) – Uma partícula de carga q e velocidade v move-se
→
numa região onde há um campo elétrico E e um campo magné-
→
Quando a bússola for colocada no ponto M, próximo ao ímã em tico B.
barra, que orientação ela apresentará? a) Qual a direção e o módulo da força produzida sobre a partícula
a) ← b) → c) ↓ d) ↘ e) pela ação do campo elétrico?
b) Qual a direção e o módulo da força produzida sobre a partícula
21. (ITA-SP – modificada) – Qual dos esquemas a seguir indica pela ação do campo magnético?
corretamente, nas figuras 1 e 2, os vetores indicativos da força
→ →
magnética F, da velocidade v da partícula e do campo magnético 25. (FUVEST) – Quatro ímãs iguais
→ em forma de barra, com as pola-
B? Na figura 1, a carga da partícula é positiva e a representamos
ridades indicadas, estão apoiados
por ; na figura 2, a carga da partícula é negativa e a represen-
sobre uma mesa horizontal, como
tamos por . na figura, vistos de cima.
Uma pequena bússola é também
colocada na mesa, no ponto cen-
tral P, equidistante dos ímãs, indi-
cando a direção e o sentido do
campo magnético dos ímãs em P.
Não levando em conta o efeito do
campo magnético terrestre, a figura que melhor representa a
orientação da agulha da bússola é:
26. (U.F. VIÇOSA-MG) – Seis bússolas, quando colocadas nas proxi-

midades de uma caixa que contém um ímã, orientam-se con-
forme a ilustração.
O posicionamento correto do ímã é:
293
27. (FUVEST-SP) – A figura esquematiza um ímã permanente, em

forma de cruz de pequena espessura, e oito pequenas bússolas, Bússolas como essa se inclinam ␣E em regiões próximas ao equa-
colocados sobre uma mesa. As letras N e S representam, respec-
dor, ␣T em regiões próximas aos trópicos e ␣P em regiões
tivamente, polos norte e sul do ímã e os círculos representam as
bússolas nas quais você irá representar as agulhas magnéticas. O próximas aos círculos polares. Conhecendo a configuração do
ímã é simétrico em relação às retas NN e SS. Despreze os efeitos campo magnético terrestre (veja a figura),
do campo magnético terrestre.
a) Desenhe na própria figura algumas linhas de força que per-

mitam caracterizar a forma do campo magnético criado pelo
ímã, no plano da figura.
b) Desenhe nos oito círculos da figura a orientação da agulha da
bússola em sua posição de equilíbrio. A agulha deve ser repre-
pode-se afirmar que:
sentada por uma flecha (→) cuja ponta indica o seu polo norte.
a) ␣P > ␣T > ␣E b) ␣T > ␣P > ␣E
28. (UNIFESP) – A figura mostra uma bússola que, além de indicar a c) ␣p > ␣E > ␣T d) ␣T > ␣E > ␣P
direção dos polos magnéticos da Terra, indica também a
e) ␣E > ␣T > ␣P
inclinação ␣ das linhas de campo no local onde ela está.
4) D 5) A 6) E 7) A 16) D 17) A 18) C 19) D 27)
11)
20) A 21) E 22) E 23) B
24) a) A força elétrica tem a direção do

→
campo elétrico E. Seu sentido é o
12) mesmo do campo para q > 0 e será
oposto para q < 0. Seu módulo vale:
Fe = |q| . E
13) Nas duas figuras, temos F = 0. b) A força magnética será nula se

→ →
v // B.
14) a) b) 6,0
2 . 10–4 N
A força magnética não será nula nos
demais casos, e sua direção é per-
15) → →
pendicular a v e a B.
Seu módulo vale:
Fmg = |q| . v . B . sen ␪
25) A 26) C 28) A
294

Livro1 2022 Fisica

Enviado por

Direitos autorais:

Formatos disponíveis

Livro1 2022 Fisica

Enviado por

Dados do documento

Título original

Direitos autorais

Formatos disponíveis

Compartilhar este documento

Compartilhar ou incorporar documento

Opções de compartilhamento

Você considera este documento útil?

Este conteúdo é inapropriado?

Direitos autorais:

Formatos disponíveis

Livro1 2022 Fisica

Enviado por

Direitos autorais:

Formatos disponíveis

P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 08:59 Página I

um Projétil sob Ação Exclusiva da Gravidade . . . 78

6 – Cinemática Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3 – Mudanças de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4 – Transmissão de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5 – Gases Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3 – Geradores Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

4 – Receptores Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

5 – Potência e Energia Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

6 – Leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

7 – Medidores Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

1 FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA ESCALAR

R epouso e movimento são conceitos

1. O que é Cinemática Exemplo 1

Quando o mesmo trem viaja de São Paulo ao Rio de

Se um ponto material P estiver sempre em um plano,

O conjunto de dois eixos perpendiculares, usado para

3. Posição de um ponto material

1. Você é um ponto material? Explique. 2. Ponto material tem massa?

Resolução 100m FEMININOS (PROVA FINAL)

A respeito dos conceitos de repouso e movimento, considere as

10. (UFRJ) – Heloísa, sentada na poltrona de um ônibus, afirma que

A posição de um ponto material fica definida pelo terno de coor-

14. Os conceitos de repouso e movimento são relativos, pois depen-

6. Trajetória Uma questão importante sobre o conceito de traje-

Em relação a uma pessoa parada na beira da estrada,

1) queda vertical pela ação da gravidade;

2) movimento horizontal acompanhando o trem.

Observemos que, quando um ponto material está em

Trajetória depende do referencial adotado.

Desprezando-se o efeito do ar, o centro de massa do atleta, durante o salto,

A trajetória do projétil, desprezando-se o efeito do ar, é parabólica em relação

Quando um ponto material está em repouso, sua

Em relação ao avião que se move horizontalmente com velocidade constante,

Os relâmpagos são rastros luminosos que evidenciam as trajetórias das par-

7. Localização do ponto Como exemplo, consideremos um carro em movi-

Para uma posição genérica do automóvel, o valor do

Assim, na figura, o arco OP1 tem medida algébrica Notas

O ponto A corresponde ao marco zero da estrada e é adotado como

27. Um carro tem equação horária dos espaços dada por:

(I) O espaço s é a medida algébrica do arco de trajetória que vai

30. (FUVEST-MODELO ENEM) – O gráfico representa o espaço (s)

Qual o intervalo de tempo entre os dois encontros dos carrinhos?

31. (UFABC-MODELO ENEM) – Era 6 de agosto de 1945, 8h15min da

34. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS-MODELO ENEM) – Numa linha

O intervalo de tempo entre a passagem pelas duas estações, em

10. Conceito de Velocidade escalar média é a velocidade escalar cons-

Sejam s1 e s2 os espaços que traduzem as posições P1

• No Sistema CGS (centímetro-grama-segundo),

13. Unidades de velocidade Se a velocidade estiver expressa em m/s e quisermos

• No Sistema Internacional, temos: n m/s

a) t1 = 0 ⇒ s1 = 3,0 . 0 – 12,0 . 0 + 4,0 (m) = 4,0m

t2 = 2,0s ⇒ s2 = 3,0 . 4,0 – 12,0 . 2,0 + 4,0 (m) = –8,0m

O resultado acima pode ser estendido para um número qualquer

Da definição de velocidade escalar média, temos: n

Em um dos testes, foi feito um gráfico da velocidade escalar x tem-

49. (UFSCar) – Três amigos, Antônio, Bernardo e Carlos, saíram de

Com os dados colhidos, determinar

47. Um carro percorre um trecho retilíneo de uma estrada ABC.