Funkcja Liouville’a

Funkcja Liouville’a jest całkowicie multiplikatywną funkcją arytmetyczną wykorzystywaną w teorii liczb^[1]. Swoją nazwę nosi od nazwiska francuskiego matematyka, Josepha Liouville’a. Przyjmuje ona wartość ${\displaystyle 1,}$ gdy jej argument ma parzyście wiele dzielników pierwszych (licząc z wielokrotnościami), a ${\displaystyle -1,}$ gdy ma nieparzyście wiele.

Funkcja Liouville’a ${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {N} \to \{-1,1\}}$ dla ${\displaystyle n}$ o rozkładzie na czynniki pierwsze ${\displaystyle p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}}}$ jest zadana przez

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{k}}.}$

Równoważnie, z wykorzystaniem funkcji pierwszej omega, możemy zdefiniować

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$

Za pomocą funkcji Liouville’a można opisać równanie funkcyjne dla funkcji zeta Riemanna^[2],

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}},}$

dla ${\displaystyle \Re (s)>1,}$ a także dla funkcji L Dirichleta,

${\displaystyle {\frac {L(2s,\chi ^{2})}{L(s,\chi )}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

na tym samym zbiorze.

Definiując funkcję sumującą Liouville’a ${\displaystyle L(x)=\sum _{n\leqslant x}\lambda (n),}$ z jej pomocą możemy zapisać równoważnie twierdzenie o liczbach pierwszych jako^[1]

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {L(x)}{x}}=0.}$