Charakter Dirichleta

W analitycznej teorii liczb funkcja arytmetyczna ${\displaystyle \chi \colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} }$ nazywana jest charakterem Dirichleta modulo ${\displaystyle q}$^[1], jeśli dla ustalonej liczby naturalnej ${\displaystyle q}$ i wszystkich liczb całkowitych ${\displaystyle a,b}$ spełnia warunki:

1. ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b),}$ tzn. jest całkowicie multiplikatywna.
2. ${\displaystyle \chi (a)\neq 0}$ jeśli ${\displaystyle (a,q)=1}$ oraz ${\displaystyle \chi (a)=0}$ jeśli ${\displaystyle (a,q)>1,}$ gdzie ${\displaystyle (x,y)}$ oznacza największy wspólny dzielnik ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y.}$
3. ${\displaystyle \chi (a+q)=\chi (a)}$ – ma okres ${\displaystyle q.}$

Najprostszym przykładem charakteru Dirichleta jest charakter pryncypialny, zadany przez

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}1,\quad (a,q)=1\\0,\quad (a,q)>1.\end{cases}}}$

Najczęściej jest on zapisywany jako ${\displaystyle \chi _{0}}$.

W ogólności, dla każdej liczby całkowitej ${\displaystyle q>1}$ istnieje dokładnie ${\displaystyle \varphi (q)}$ (tocjent) różnych charakterów Dirichleta mod ${\displaystyle q}$. Są to ${\displaystyle \chi _{1},\;\chi _{2},\;\ldots ,\;\chi _{\varphi (q)}}$ (lub ${\displaystyle \chi _{0},\;\chi _{1},\;\ldots ,\;\chi _{\varphi (q)-1}}$) dane przez ${\textstyle \chi _{r}(n)=\exp \left({a{\frac {2\pi i}{\varphi (q)}}}\right)}$ dla pewnej liczby całkowitej ${\displaystyle a}$ zależnej od ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle r}$ i ${\displaystyle q}$ dla ${\displaystyle (n,q)=1}$ oraz ${\displaystyle \chi _{r}(n)=0}$ dla ${\displaystyle (n,q)>1}$.

Dla ${\displaystyle q=7}$ istnieje 6 różnych charakterów mod 7.

	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle \chi _{0}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \chi _{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \chi _{3}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{4}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{5}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle -1}$

Tutaj ${\textstyle \omega =\exp \left({\frac {2\pi i}{6}}\right)=\exp \left({\frac {\pi i}{3}}\right)}$.

Własnością oczywistą (wynikającą z okresowości) jest fakt, że jeśli ${\textstyle n\equiv m\;({\text{mod}}\;q)}$, to

${\displaystyle \chi (n)=\chi (m)}$.

Twierdzenie odwrotne niekoniecznie musi być prawdziwe.

Jeśli ${\displaystyle (n,q)=1}$, to z twierdzenia Eulera wiadomo, że ${\textstyle n^{\varphi (q)}\equiv 1\;({\text{mod}}\;q)}$, więc

${\displaystyle \chi (n)^{\varphi (q)}=\chi \left(n^{\varphi (q)}\right)=1}$.

Charakterów Dirichleta dotyczą dwie relacje ortogonalności,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{q-1}\chi (n)={\begin{cases}\varphi (q),\quad &\chi =\chi _{0}\\0,&\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}}$

oraz

${\displaystyle \sum _{r=1}^{\varphi (q)}\chi _{r}(n)={\begin{cases}\varphi (q),\quad &n\equiv 1\;({\text{mod}}\;q)\\0,&n\not \equiv 1\;({\text{mod}}\;q)\end{cases}}}$.

Ponadto, tożsamością wykorzystywaną najczęściej w dowodach twierdzeń jest^[1]

${\displaystyle \sum _{r=1}^{\varphi (q)}\chi _{r}(n){\overline {\chi _{r}(m)}}={\begin{cases}\varphi (q),\quad &n\equiv m\;({\text{mod}}\;q)\\0,&n\not \equiv m\;({\text{mod}}\;q)\end{cases}}}$

Ze względu na swoje własności, charaktery Dirichleta wykorzystywane są najczęściej w problemach dotyczących liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.

 Osobny artykuł: Funkcja L Dirichleta.

Ogromny wpływ na rozwój analitycznej teorii liczb mają funkcje L Dirichleta. Definiuje się je jako szereg

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

dla danego charakteru ${\displaystyle \chi }$ i wszystkich liczb zespolonych ${\displaystyle s}$ na półpłaszczyźnie ${\displaystyle \Re (s)>1}$ oraz jako rozszerzenie analityczne powyższej funkcji na reszcie płaszczyzny zespolonej^[2]. Każda funkcja L Dirichleta ma także swój iloczyn Eulera

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}}$.

 Osobny artykuł: Twierdzenie Siegela-Walfisza.

Twierdzenie Siegela-Walfisza mówi o liczbie liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Na potrzeby dowodu, definiuje się funkcję

${\displaystyle \psi (x,\chi )=\sum _{n\leqslant x}\chi (n)\Lambda (n)}$.

Dzięki relacji ortogonalności powyższa funkcja jest związana z drugą funkcją Czebyszewa równaniem

${\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {\psi (x,\chi _{0})}{\varphi (q)}}+{\frac {1}{\varphi (q)}}\sum _{\begin{array}{c}\chi \;({\text{mod}}\;q)\\\chi \neq \chi _{0}\end{array}}{\overline {\chi (a)}}\psi (x,\chi )}$.

Twierdzenie mówi, że dla każdej stałej ${\displaystyle N}$ istnieje liczba ${\displaystyle C_{N}}$ taka, że dla ${\displaystyle q\leqslant (\log x)^{N}}$ i dowolnego niepryncypialnego charakteru ${\displaystyle \chi \;{\text{mod}}\;q}$ zachodzi^[2]

${\displaystyle |\psi (x,\chi )|=O\left(xe^{-C_{n}{\sqrt {\log x}}}\right)}$.