Funkcja pierwsza omega

Funkcja pierwsza omega, funkcja omega (ang. Omega prime function) – jedna z dwóch funkcji arytmetycznych zliczających dzielniki pierwsze danej liczby naturalnej. Pierwsza z nich, czyli ${\displaystyle \omega }$ zlicza dzielniki pierwsze bez wielokrotności, a druga, czyli ${\displaystyle \Omega }$ zlicza je wraz z wielokrotnościami^[1].

Jeśli ${\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}}}$ jest rozkładem liczby ${\displaystyle n}$ na czynniki pierwsze, to

${\displaystyle \omega (n)=\omega (p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}})=k}$

oraz

${\displaystyle \Omega (n)=\Omega (p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}})=e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{k}.}$

Dla ${\displaystyle n=1}$ przyjmujemy ${\displaystyle \omega (n)=\Omega (n)=1.}$

Funkcja ${\displaystyle \omega }$ jest addytywna, a ${\displaystyle \Omega }$ jest całkowicie addytywna.

Pierwszą funkcję można zdefiniować jako

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p|n}1,}$

tzn. sumowanie 1 po wszystkich dzielnikach pierwszych ${\displaystyle n,}$ a drugą

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }|n}1=\sum _{p^{\alpha }||n}\alpha ,}$

gdzie zapis ${\displaystyle p^{\alpha }||n}$ oznacza, że ${\displaystyle p^{\alpha }|n,}$ ale ${\displaystyle p^{\alpha +1}\not \mid n.}$

W ogólności zachodzi nierówność ${\displaystyle \Omega (n)\geqslant \omega (n),}$ przy czym ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n}$ jest liczbą bezkwadratową.

Za pomocą funkcji ${\displaystyle \Omega }$ można zdefiniować funkcje Liouville’a i Möbiusa.

Dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ zachodzi ${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$ i dla każdej ${\displaystyle n}$ bezkwadratowej zachodzi ${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$