Liczby czworościenne

Liczby czworościenne – liczby naturalne będące ilością kul ułożonych w regularnej przestrzennej siatce i wypełniających czworościan foremny. Są szczególnym przypadkiem liczb piramidalnych.

Kolejnymi liczbami czworościennymi ${\displaystyle T_{n}}$ są: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165,...

n-ta liczba czworościenna jest to suma n początkowych liczb trójkątnych.

n-tą liczbę czworościenną można wyznaczyć ze wzoru ${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={n+2 \choose 3}.}$

Suma odwrotności kolejnych liczb czworościennych:${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{n}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}+...={\frac {3}{2}}}$

A.J. Meyl udowodnił w 1878, że istnieją tylko 3 liczby czworościenne będące kwadratami liczb naturalnych:

T₁ = 1² = 1

T₂ = 2² = 4

T₄₈ = 140² = 19600

Zbiór liczb czworościennych i trójkątnych ma tylko 5 elementów wspólnych i są nimi:

T₁ = Trójkątna₁ = 1

T₃ = Trójkątna₄ = 10

T₈ = Trójkątna₁₅ = 120

T₂₀ = Trójkątna₅₅ = 1540

T₃₄ = Trójkątna₁₁₉ = 7140

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Tetrahedral Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).