Funkcja licząca liczby pierwsze

Funkcja π – funkcja używana w teorii liczb^[1][2].

Dla danej liczby rzeczywistej ${\displaystyle x,}$ wartość ${\displaystyle \pi (x)}$ jest liczbą liczb pierwszych nie większych od ${\displaystyle x}$^[1][2].

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych^[1].

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji ${\displaystyle \pi }$ to:

• ${\displaystyle \pi (x)>{\frac {x}{\ln x}}}$ dla ${\displaystyle x\geqslant 17.}$

Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż ${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}}$ jest przybliżeniem wartości funkcji

• ${\displaystyle \pi (x)<1{,}25506{\frac {x}{\ln x}}\quad {}}$ dla ${\displaystyle x>1,}$
• ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}\quad {}}$ dla ${\displaystyle x\geqslant 55.}$

Ponadto:

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1,}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {li} }$ jest logarytmem całkowym.

Bernhard Riemann w swojej pracy^[3] zdefiniował funkcję ${\displaystyle f(x)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ w postaci:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\alpha }{\frac {1}{n}}\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=\pi (x)+{\frac {1}{2}}\pi \left(x^{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}\pi \left(x^{\frac {1}{3}}\right)+\ldots +{\frac {1}{\alpha }}\pi \left(x^{\frac {1}{\alpha }}\right),}$

gdzie składnikami sumy jest funkcja liczby liczb pierwszych, natomiast ${\displaystyle \alpha =\lfloor \log _{2}(x)\rfloor .}$ Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma tą samą własność co funkcja ${\displaystyle \pi (x).}$ Jej wartość rośnie o jeden, kiedy argument jest liczbą pierwszą.

Następnie w dalszej części pracy wyprowadza jawną postać funkcji ${\displaystyle f(x),}$ składającej się z kilku członów.

${\displaystyle f(x)=Li(x)-\sum _{\nu }\left(Li\left(x^{{\frac {1}{2}}+\sigma _{\nu }i}\right)+Li\left(x^{{\frac {1}{2}}-\sigma _{\nu }i}\right)\right)+\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t^{2}-1}}\,{\frac {dt}{t\ln {t}}}+\ln {\big (}\zeta (0){\big )}.}$

Pierwszy z nich to logarytm całkowy, drugi to suma po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna ${\displaystyle \zeta (z),}$ dla których spełniona jest zależność:

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}\pm \sigma _{\nu }i\right)=0,\quad {}}$ ${\displaystyle \sigma _{\nu }=\{14{,}1347,\ 21{,}0220,\ 25{,}0108,\dots \},}$

przy czym sumuje się zera zarówno leżące nad osią liczb rzeczywistych, jak i pod nią. Warto zauważyć, że ze względu na symetryczne ułożenie zer „dodatnich” i „ujemnych” na osi ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}}$ w wyniku sumowania otrzymuje się liczbę rzeczywistą, ponieważ część urojona sumy ${\displaystyle \Sigma _{\nu }}$ znosi się wzajemnie.

Trzeci składnik to całka, która szybko dąży do zera wraz z rosnącymi wartościami ${\displaystyle x.}$ Przykładowe wartości całki umieszczono w tabeli poniżej.

${\displaystyle x}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 100}$	${\displaystyle 1000}$	${\displaystyle 10\ 000}$
${\displaystyle \int }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0{,}140}$	${\displaystyle 0{,}040}$	${\displaystyle 0{,}018}$	${\displaystyle 0{,}010}$	${\displaystyle 0{,}001}$	${\displaystyle 9{,}875\cdot 10^{-6}}$	${\displaystyle 6{,}777\cdot 10^{-8}}$	${\displaystyle 5{,}162\cdot 10^{-10}}$

Ostatni składnik to stała równa ${\displaystyle \ln(\zeta (0))=-\ln(2).}$

Korzystając z transformacji Möbiusa, można przedstawić ${\displaystyle \pi (x)}$ za pomocą funkcji ${\displaystyle f(x)}$ Riemanna:

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}f\left(x^{\frac {1}{n}}\right),}$

gdzie ${\displaystyle \mu (n)}$ jest funkcją Möbiusa. Im więcej zer weźmie się pod uwagę w sumowaniu, tym dokładniejsze uzyska się przybliżenie funkcji liczącej liczby pierwsze.

Czasami do obliczeń używa się przybliżenia w postaci ${\displaystyle f(x)=Li(x),}$ wtedy taką funkcję nazywa się funkcją ${\displaystyle \Pi (x)}$ Riemanna:

${\displaystyle \Pi (x)\approx \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}Li\left(x^{\frac {1}{n}}\right).}$

• funkcja φ