Spe-MP Mohammedia Espaces vectoriels (Rappels et compléments)

K désigne R ou C, et E un K − ev.

I Sous espaces vectoriels stables

I.1 Définition ; exemples
Dfinition I.1 Soit f un endomorphisme de E, et F un sous espace vectoriel de E. On dit que F est stable
par f , si ;
f ( F) ⊆ F

Remarque I.1 Si F est un sous espace vectoriel stable par f , et g l’application linéaire induite par f sur

F, alors g prend ses valeurs dans F, et g : F −→ F est un endomorphisme de F.

x 7−→ f ( x)

(1) {0} et E sont stables par tous les endomorphismes de E

(2) Tous les sous espaces vectoriels de E sont stables par IdE
(3) Si f est une homothétie (i.e : f = λIdE ), alors tous les sous espaces vectoriels de E sont stables par
f

Proposition I.1 Soit f ∈ L( E), et F un s.e.v de E, engendré par une famille {ei / i ∈ I }, alors F est stable
par f , si et seulement si pour tout i ∈ I, f (ei ) ∈ F

Exemple I.1 Si f est un endomorphisme nilpotent d’indice de nilpotence p ∈ N∗ , et e ∈ E tel que

p−1
f (e) ̸= 0, alors F = Vect(e, f (e), · · · , f p−1 (e)) est stable par f .

I.2 Propriétés remarquables des s.e.v stables

Proposition I.2 Pour f , g ∈ L( E) tels que f ◦ g = g ◦ f , alors le noyau et l’image de chacun est stable
par l’autre

Corollaire I.1 f ∈ L( E). Pour tout λ ∈ K, Ker( f − λIdE ) et Im( f − λIdE ) sont stables par f . En particu-
lier, le noyau et l’image de f sont stables par f

Proposition I.3 Soient ( Ei )1≤i≤ p une famille de sous espaces vectoriels stables par un endomorphisme
f de E, alors ∑in=1 Ei est stable par f .

Proposition I.4 Soit f ∈ L( E).

(1) Si F est un sous espace vectoriel stable par f , alors la matrice de f dans toute base adaptée à F est
triangulaire par blocs, de la forme ;
 
A B
où A est la matrice de la restriction de f à F.
(0) C

(2) Soient ( Ei )1≤i≤ p une famille de sous espaces vectoriels supplémentaires, et stables par f , alors
la matrice de f dans une base adaptée à ⊕ Ei , est diagonale par blocs. le i-ème bloc de la
1 ≤i ≤ p
diagonale correspond à la matrice de la restriction de f au s.e.v Ei

(1) Soit p un projecteur sur E, la matrice de p dans une base adaptée à la somme directe Imp ⊕ Kerp,
est :
 
Ir (0)
Jr =
(0) (0)
où r désigne le rang de p, et Ir est la matrice identité d’ordre r
(2) u une involution sur E, alors la matrice de u, dans une base adaptée à la somme directe, E =
Ker( IdE − u) ⊕ Im( IdE − u) est  
Ir (0)
(0) − In−r
où r désigne le rang de IdE − u
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Exercice 1 :Hyperplan stable

Soit f un endomorphisme de E comme R espace vectoriel de matrice de A dans une base quelconque,
dimE = n
Un sous espace vectoriel H est dit un hyperplan de E ssi dim( H ) = n − 1
ssi il eexiste une forme linéaire φ : E → R tel queH = ker(φ)
ssi ∃ a ∈ E \ {0} tel que R.a H = E
L

Soit φ et ψ deux forme linéaire sur E non nulles.

(1) Montrer que :Ker(φ) = Ker(ψ) ssi∃λ ∈ R tel que φ = λψ
Soit H = Ker(φ) un hyperplan de Rn d’équation LX = 0 c-a-d : H = {( x1 , . . . , xn ) / ∑in=1 ai xi =
 
x1
0} avec L = mat(φ) = ( a1 , . . . , an ) =∈ M1,n (R) et X =  ...  ∈ Mn,1 (R)
 

xn
(2) Montrer que H est stable par f ssi t L est vecteur propre de t A,(∃λ ∈ R tq t At L = λ t L (Pour la
condition suffisante de stabilité considérer les formes linéaires

φ: Rn −→ R
X 7−→ L.X
et ψ : Rn −→ R .
X 7−→ L.A( X )
(3) :Application
 
1 1 0
Soit f l’endomorphisme de matrice A = 1 −1 1.Déterminer les droites et les plans stables
2 −5 3
2
par f sachant que χ A ( X ) = ( X − 1)( X − 3X + 7) .

I.3 Rang d’une application linéaire

Dfinition I.2 Soit u ∈ L( E; F ). Si Im u est de dimension finie, on pose rang u = dim(Im u).

Remarque I.2 rang u est défini si dim E ou dim F finie et dans ce cas

rang u ≤ min(dim E, dim F ).

Thorme I.2 (de factorisation) Soit u ∈ L( E, F ). tout supplémentaire de ker u est isomorphe Im u. En
particulier si dim E est finie, on a :

dim E = dim ker u + dim Im(u) (formule du rang)

Preuve: Si H vérifie :
E = ker u ⊕ H,
on considère l’application h : H −→ Imu
h 7−→ u(h)
on vérifie que c’est un isomorphisme d’ −ev.

Propriétés en dimension finie :

(1) Le rang d’une application linéaire est égale au rang de sa matrice dans toutes bases.
(2) u est injective si et seulement si rang(u) = dim E.
(3) u est surjective rang(u) = dim F.
(4) u est bijective rang(u) = dim E = dim F.
(5) Si dim E = dim F, alors

u bijective ⇐⇒ u injective ⇐⇒ u injective

Proposition I.5 Le rang est invariant par composition à gauche ou à droite par un isomorphisme. Au-
trement dit si u est linéaire et v isomorphisme alors : rg(v ◦ u) = rg(u) et rg(u ◦ v) = rg(u).

Preuve: Utiliser les matrices.

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Exercice 2 Soit u, v ∈ L( E) montrer que rg(u ◦ v) ≤ min(rg(u); rg(v))

Exercice 3 (1) Montrer que si f admet un sous-espace propre de dimension au moins égale à 2 alors
il existe une infinité de droites de E stables par f .
(2) Que dire de f si tous les sous-espaces de E sont stables par f ?

II Calculs polynômiaux dans algèbre (L( E), ◦); ( Mn (K)×),

II.1 -Polynômes d’endomorphismes,et de matrices
Dfinition II.1 soit P = ∑ ak Xk ∈ K[X ], E un K−ev.
(1) - Pour f ∈ L( E), on note :
f 0 = id E , P( f ) = ∑ ak f k
o f k = f o...o f (kfois)
(2) Pour M ∈ Mn (K), on note :
M0 = In , P( M) = ∑ ak Mk
(3) On note pour f ∈ L( E), M ∈ Mn (K),

K( f ) = { Q( f ) / Q ∈ K[ X ]}

K[ M] = { Q( M) / Q ∈ K[ X ]}

Remarque II.1 (1) Soit Q ∈ K[ X ], si A ∼ B, alors Q( A) ∼ Q( B) de plus si B = P−1 AP, alors

− 1
Q( B) = P Q( A) P.
(2) Soit f ∈ L( E) et λ ∈ Sp( f ) de vecteur propre x ∈ E, alors f ( x) = λx et ∀ Q ∈ K[ X ], Q( f )( x) =
Q(λ ) x.

Proposition II.1 Soit f ∈ L( E), alors (K[ f ], +, o, .) est une sous-algèbre de L( E) et on a :∀ P, Q ∈

K[ X ], ∀α, β ∈ K
(αP + βQ)( f ) = αP( f ) + βQ( f )
( PQ)( f ) = P( f )oQ( f )
1( f ) = id E , X ( f ) = f

Proposition II.2 l’application φ f : R[ X ] −→ R[ f ] est un morphisme d’algèbre

P 7−→ P( f )

Exemple II.1 (1) K[id E ] = Kid E = {λid E / λ ∈ K}.

(2) ii) :Si p est un projecteur ( p2 = p) et s une involution (s2 = id E ), alors K[ p] = Vect(id E , p) et
K[s] = Vect(id E , s).
(3) iii) :Si f ∈ L( E) est nilpotent d’indice de nilpotence m, alors K[ f ] = Vect(id E , f , ..., f m−1 ).

III Déterminant d’une matrice carrée d’ordre n

Dfinition III.1 Le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n, A = ( ai, j )1≤i, j≤n ∈ Mn (IK), noté det( A)
est par définition le scalaire :

n
a1,1 ··· a1,n
detA = ε(σ ) ∏ ai,σ (i) noté aussi .. .. ..
∑ . . .
σ ∈Sn i =1
an,1 ··· an,n
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Développement selon ligne ou colonne

Proposition III.1 Soit A = ( ai, j )1≤i, j≤n alors
n
det( A) = ∑ (−1)i+ j det( Ai, j ) ∀1 ≤ j ≤ n
i =1

où Ai, j est la matrice obtenue en enlevant la ième ligne et jème colonne. De même
n
det( A) = ∑ (−1)i+ j det( Ai, j ) ∀1 ≤ i ≤ n.
j=1

— det( Ai, j ) s’appelle cofacteur d’indice (i, j), la matrice formée par ses cofacteurs s’appelle coma-
trice de A et se note Com( A). On montre que
Atcom( A) = det( A) In .

Remarque III.1 det( In ) = 1 et en général le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de
ses coefficients diagonaux.

Propriétés
(1) det( AB) = det( A) det( B).
(2) Une matrice A ∈ Mn (IK) est inversible si et seulement si det( A) ̸= 0 et dans ce cas :
1
det( A−1 ) =
det( A)
et
1 t
A−1 = Com( A)
det( A)
(3) Si P est inversible alors det( PAP−1 ) = det( A).

Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base

Dfinition III.2 Soit B une base de E tel que dim E = n. On appelle déterminant dans la base B , d’une
famille F = (u1 , ..., un ) de n vecteurs de E, le scalaire
detB (F ) = det (MB (F ))

Proposition III.2 Soit B une base de E, et B ′ famille d’éléments de E tel que C ardB ′ = dim E, on a les
résultats suivants :
— B ′ est liée si et seulement si detB (B ′ ) = 0.
— B ′ est libre si et seulement si detB (B ′ ) ̸= 0.
— B ′ est une base de E si et seulement si detB (B ′ ) ̸= 0, et dans ce cas on a :
1
detB ′ (B) =
detB (B ′ )
— Si B et B ′ sont deux bases de E, alors detB (B ′ ) = det( P) où P est la matrice de passage de B vers
B′.

Déterminant d’un endomorphisme.

Dfinition III.3 Soit u ∈ L ( E) . det (MB (u)) ne dépend pas du choix de la base B de E, on pose alors
det(u) = det (MB (u))
et on l’appelle le déterminant de u.

Proposition III.3 Soit u, v : E −→ E deux endomorphismes de E tel que dim E = n, B une base de E et
B ′ = ( x1 , . . . , xn ) famille d’éléments de E, on a les résultats suivants :
— det(id E ) = 1.
— detB (u(B ′ )) = det(u) detB (B ′ ).
— det(u ◦ v) = det(u) det(v).
1
— u est un automorphisme de E si et seulement si det(u) ̸= 0, avec det(u−1 ) = .
det(u)
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IV Déterminants classiques
(1) Déterminant d’une matrice triangulaire
Pour toute matrice triangulaire A = ( ai, j ) ∈ Mn (K) le déterminant de A est le produit de ses
coefficients diagonaux
n
det( A) = ∏ ai,i
i =1

(2) Déterminant d’une matrice de permutation

Pour toute matrice de permutation Pσ associée à la permutation σ de {1, 2, ..., n} on a :

det( Pσ ) = ε(σ)

où ε(σ) désigne la signature de σ.

Exercice 4 Déterminant de Vandermonde

1 x1 ··· xn1 −1
1 x2 ··· xn2 −1
Soient x1 , ....., xn des éléments de K distincts deux à deux. Le déterminant .. .. .. ..
. . . .
1 xn ··· xnn−1
noté V ( x1 , ..., xn ) est dit déterminant de vondermonde.

1 x1 ··· P( x1 )
1 x2 ··· P( x2 )
(i) Montrer que pour tout polynôme P unitaire de degré n − 1, V ( x1 , ..., xn ) = .. .. .. ..
. . . .
1 xn ··· P( xn )
(ii) En appliquant la question précédente à un polynôme P bien choisi, montrer que

n−1
V ( x1 , ..., xn ) = V ( x1 , ..., xn−1 ). Π ( xn − xk )
k=1

(iii) En déduire alors que

V ( x1 , ..., xn ) = ∏ ( x j − xi )
1 ≤i < j ≤ n

Exercice 5 Déterminant de Cauchy

On considère un entier n⟩0 et deux suites finies ( ak )1≤k≤m et (bk )1≤k≤m de réels telles que ai +
b j ̸= 0 pour tout i, j ∈ {1, ..., m} . Pour tout 1 < m ≤ n, le déterminant de Cauchy d’ordre m
associé est défini par :
1 1
a1 +b1 a1 +b2 · · · a1 +1 bm
1 1
a2 +b1 a2 +b2 · · · a2 +1 bm
Dm = .. .. .. ..
. . . .
1 1 1
am +b am +b · ·
1
· am +bm 2

m−1
Π ( X − ak )
k=1
On définit la fraction rationnelle : R( X ) = m .
Π ( X + bk )
k=1
m
Ak
(i) Montrer que R( X ) est de la forme R( X ) = ∑ X +bk , et alors Am .Dm = R( am ).Dm−1 .
k=1
( On pourra pour cela  le déterminant obtenu à partir de Dm en remplaçant la
 considérer
R( a1 )
 R( a2 ) 
dernière colonne par  .
 
..
 . 
R( an )
Π ( a j − ai )(b j − bi )
1 ≤i ⟨ j ≤ n
(ii) En déduire que Dn = .
Π ( ai + b j )
1≤i, j≤n
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IV.1 Application
Exercice 6 L’objectif de cet exercice est de montrer que deux matrices de Mn (R) semblable dans Mn (C)
sont semblable dans Mn (R).
soient A, B ∈ Mn (R) semblables dans Mn (C), et soit P ∈ GLn (C), tel que A = P.B.P−1 , et P =
P1 + iP2
A.P1 = .P1 B..........
(1)
A.P2 = .P2 B......
(2) Montrer que x → det( P1 + x.P2 ) est une fonction polynôme (comme somme et produit de fonc-
tions polynônon nulle pas en i,
(3) Déduire il existe a réel tel que det( P1 + a.P2 ) ̸= 0
(4) Conclure que les matrices A et B sont semblable dans Mn (R).

Exercice 7 (Sous espaces stables par un endomorphisme nilpotent d’indice n)

Soit n ≥ 2.On note D l’application définie sur Kn−1 [ X ], par D ( P) = P′ .
(1) Justifier que D est un endomorphisme nilpotent d’indice n.
(2) Montrer que les seuls sous espaces vectoriels de Kn−1 [ X ] stables par D autre que {0} sont K0 [ X ], ....,
Kn − 1 [ X ] .
n ◦
( Si F est un sous espace vectoriel de Kn−1 [ X ] stables par D autre que {0}, considerer le max d P / P ∈ F
(3) Soit maintenant E un K−espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme de E
nilpotent d’indice n.
(4) Montrer qu’il existe une base B = (e1 , ..., en ) de E dans laquelle la matrice M de u est M =
0 ··· 0
 
0 1
 .. . . . . .. . 
 .
 . . . .. 

 .. .. 
.
 .
 . . . 0 
 .. 
 . . . . 1 
0 . . . 0
Pour k ∈ {1, ..., n} , préciser une base de ker uk en fonction des vecteurs e1 , ..., en
0 ···
 
0 1 0
 .. . . . . . .. .. 
 .
 . . . 

(5) Montrer que la matrice M est semblable à la matrice N =  .
 . .. . .. .

 . 0 
 . .

 . . . . n−1 
0 . . . 0
(Penser à modifier legerement les éléments de la base B )
(6) Prouver qu’il existe un isomorphisme f de E dans Kn−1 [ X ], tel que D = f ◦ u ◦ f −1 .
(7) Prouver qu’un sous espace H de E est stable par u ssi f ( H ) est stable par D.
(8) En déduire les sous espaces de E stables par u.

Exercice 8 : polynompagnant-Matrice campagne

Si n ≥ 1 et P = X n + an−1 .X n−1 + ..... + a0 est polynôme de degré n à coéfficients dans K, on pose

0 ··· ··· ··· − a0
 
..
 1 ...
 
 0 0 . 

CP =  0 . . . .. ..
 . Cette matrice est dite matrice compagnon du polynôme P.
 
 . 0 . 
 . . .. .. .
 .. .. .

. . . 
0 ··· 0 1 − an−1
On note u l’endomorphisme de Kn canoniquement associé à la matrice A et (e1 , ...., en ) la base cano-
nique de Kn ,
(1) calculer le rang deu et le pome caractstique(χ(λ ) =d et(λIn − C )) de
CP
(2) Montrer que toute λ racine de χ on a Eλ = ker(u − λId) espace propre de u est de dimension 1
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(3) Déduire alors que P(u) = v = un + an−1 .un−1 + ..... + a0 Id E = 0 ( On dit que P annulateur de la
matrice CP .)
m
Supposons qu’il existe un polynôme Q = ∑ b j .X j ∈ K[X] qui soit de degré ≤ n − 1 et qui
j=0
annule la matrice CP ,
(4) vfier queQ(u)(e1 ) = 0 E puis :b0 = ..... = bm = 0
(5) Quelle est le polyninimal de CP (annulateur de degré minimale)
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Programme des mathematiques Spé MP

(1) Complément d’algébre linèaire

(2) Structures algébriques

(3) Réduction des endomorphismes et matrices en dimension finie

(4) Topologie des espaces vectoriels normés

(5) Série -famille sommable

(6) Suite et séries de fonctions

(7) Séries entières

(8) Probabilité discrète

(9) Fonctions vectorielles

(10) Espace préhilbertien réel

(11) Intégration sur un intervalle quelconque

(12) Probabilité continue (Variable aléatoire à densité)

(13) Equations différentielles

(14) Calcul différentiel

(15) Fonctions holomorphes