TS1 LCMN DEV1 23-24

IA/THIES Année 2023/2024
IEF/TIVAOUNE Classe :TS1 Durée :4H
Devoir n01 du premier semestre

EXERCICE1 :04points
x y
i  x y
1)Soit x, y  IR .Montrer que eix  eiy  2e 2
cos   0.5 pt
 2 
2) x  IR , n  IN ,  a, b   IR2
n
(a)Calculer S1   cnk cos  kx  0.5 pt
k 0
n
(b)Calculer S2   cnk sin  a  kb  0.5 pt
k 0
2i n 1 n 1
3)Soit n  IN  .On pose   e n
et sn   cqp p q .Calculer sn en fonction de  1pt
p 0 q  p
4)Soit n un entier, n  2
a)Quel est l’ensemble des racines nièmes de 1 ? 0.5 pt
b)Déterminer la somme S et le produit P des racines nièmes de 1 0.5 pt  2
EXERECICE2 :10.5points
PARTIE A
x
1)Soit f la fonction définie sur IR par f  x   1  et C f sa courbe
1 x 1 2
représentative dans un repère orthonormé  o, i, j 
a)Calculer lim f  x  et lim f  x  0.25 pt  2

x  x 
1
b)Montrer que f est dérivable sur IR et que f '  x  
 
0.5 pt
x2  1 1  1  x2
c)Dresser le tableau de variation de f 1pt
2)a)Montrer que le point I  0,1 est un centre de symétrie de C f 0.5 pt
b)Donner une équation de la tangente  à C f au point I 0.25 pt
Lycée Cheikh Mourath Ndaw de Meckhé M.Mané@513

c)Tracer la courbe C f et la droite d’équation y  x dans le repère  o, i, j  1pt
3)a)Montrer que f réalise une bijection de IR sur 0, 2 0.5 pt
2  x  1
b)Montrer que x  0, 2 , f 1  x   0.5 pt
1   x  1
2
c)Tracer la courbe c f 1 de la fonction f 1 dans le même repère  o, i, j  0.5 pt
PARTIE B
  
 g  x   f  tan x  si x  0, 
 
Soit g la fonction définie sur 0,  par   2
 2 g     2
  
 2

a)Montrer que g est continue sur 0,  0.5 pt
 2

b)Montrer que x  0,  , g  x   1 
sin x
0.5 pt
 2 1  cos x

c)Montrer que g réalise une bijection de 0,  sur 1, 2 0.5 pt
 2
d)Montrer que g 1 est dérivable sur 1, 2 et  g 1  '  x  

2
0.75 pt
1   x  1
2

e)Montrer que x  1, 2 , g 1  x   g 1   
2
0.75 pt
x 2
PARTIE C
Soit n  IN  , on pose U n   g 1 1 

n
1  Un
 et Vn 
k 0  nk  n 1
a)Montrer que g 1 1    g 1 1   1  

1 1 1
  g 1   0.75 pt

2n  nk n  
b)En déduire la limite de la suite Vn  0.75 pt
1 n 1  2  n  k  
c)Soit Wn   g  1  n  k  .Calculer la limite de la suite Wn 
n  1 k 0
0.75 pt
 
EXERCICE3 :05.5points

Pour tout z  C on pose P  z   1  z  z 2  z3  z 4  z 5  z 6
1  z7
1)Montrer que pour tout z  C / 1 on P  z   0.5 pt
1 z
2)Déterminer les racines septième de l’unité dans C et en déduire les solutions

de l’équation P  z   0 0.5 pt
3)Montrer que pour tout z  C on a :

 2  4  6 
P  z    z 2  2 cos z  1 z 2  2 cos z  1 z 2  2 cos z  1 0.75 pt
 7  7  7 
 1
  z 
4)Montrer que P  z   0 équivaut au système  z 0.75 pt
 3   2  2   1  0

2 4 6
En déduire que cos ; cos et cos sont des racines de l’équation
7 7 7
 E  :8x3  4x2  4x 1  0 1pt
2
i
5)On pose   e 7
a)Montrer que pour tout z  C on a


P  z   z   z 2  z    z    z    z   
3 4 5 6
0.75 pt
b)En déduire que 1    1   2 1   3 1   4 1   5 1   6   7 0.75 pt
 2 3 4 5 6 7
c)En déduire que sin sin sin sin sin sin  6 0.5 pt
7 7 7 7 7 7 2

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IEF/TIVAOUNE Classe :TS1 Durée :4H

Devoir n01 du premier semestre

b)Déterminer la somme S et le produit P des racines nièmes de 1 0.5 pt  2

représentative dans un repère orthonormé  o, i, j 

a)Calculer lim f  x  et lim f  x  0.25 pt  2

c)Dresser le tableau de variation de f 1pt

2)a)Montrer que le point I  0,1 est un centre de symétrie de C f 0.5 pt

b)Donner une équation de la tangente  à C f au point I 0.25 pt

Lycée Cheikh Mourath Ndaw de Meckhé M.Mané@513

3)a)Montrer que f réalise une bijection de IR sur 0, 2 0.5 pt

c)Tracer la courbe c f 1 de la fonction f 1 dans le même repère  o, i, j  0.5 pt

d)Montrer que g 1 est dérivable sur 1, 2 et  g 1  '  x  

Soit n  IN  , on pose U n   g 1 1 

a)Montrer que g 1 1    g 1 1   1  

b)En déduire la limite de la suite Vn  0.75 pt

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2)Déterminer les racines septième de l’unité dans C et en déduire les solutions

3)Montrer que pour tout z  C on a :

a)Montrer que pour tout z  C on a

b)En déduire que 1    1   2 1   3 1   4 1   5 1   6   7 0.75 pt

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