Mathématiques - Niveau 2 Université de Toulouse 3

Algèbre linéaire 3 2022-2023-S4

TD 2
Les exercices marqués avec un (♥) sont à travailler en priorité et les exercices avec un (♦) sont
des compléments intéressants.

Dans cette feuille de TD, nous désignerons par E un espace vectoriel. La notation h−, −i :
E × E → E décrit quant à elle un produit scalaire. Nous allons travailler sur l’orthogonalité qui
est au coeur de la géométrie euclidienne et qui permet par exemple de calculer des distances.

1 Orthogonalité et bases orthonormales

Une famille (e1 , . . . , em ) de E est dite orthogonale pour h−, −i lorsque

∀i, j ∈ {1, . . . , m}, i 6= j =⇒ hei , ej i = 0.

Une telle famille est dite orthonormée si elle vérifie de plus hei , ei i = 1 pour tout i ∈ {1, . . . , m}.
Dans le même état d’esprit, si F est un sous-espace vectoriel de E, on définit son orthogonal
pour h−, −i par
F ⊥ := {v ∈ E, ∀w ∈ F, hv, wi = 0}.

Exercice 1 (♥) Soit E = Rn [X] et on se donne a ∈ R. On considère l’application ϕ définie

sur E 2 par :
Xn
ϕ(P, Q) = P (k) (a)Q(k) (a).
k=0

1. Montrer que ϕ définit un produit scalaire sur E.

2. Pour i ∈ N, on pose Pi (X) = (X − a)i .
(k)
a) Pour k ∈ N, calculer Pi (a).
b) Montrer que (P0 , . . . , Pn ) est une famille orthogonale de E.
c) En déduire une base B orthonormale de E.
3. Exprimer les coordonnées d’un polynôme Q de E dans la base B. Retrouver de cette
manière la formule de Taylor pour les polynômes.

Exercice 2 (♦) On considère E = C 0 ([0, 1],

R 1 R) le R-espace vectoriel des fonctions continues
sur [0, 1] muni du produit scalaire hf, gi = 0 f (t)g(t)dt. Soit F = {f ∈ E/f (0) = 0}.
1. Montrer que F ⊥ = {0}.
2. En déduire que F n’admet pas de supplémentaire orthogonal.

Exercice 3 (♥) Pour chaque espace euclidien E muni d’un produit scalaire ϕ, appliquer la
méthode de Gram-Schmidt à la famille libre F afin de produire une base orthonormée pour
l’espace vectoriel engendré Vect(F ) :
1. E = R3 , ϕ le produit scalaire usuel, F = ((1, 0, −1), (1, −1, 0)).
R1
2. E = R3 [X], ϕ(P, Q) = 0 P (X)Q(X)dX, F = (1, X, X 2 ).

1
Exercice 4 1. On considère l’espace euclidien E = R4 muni de son produit scalaire usuel.
Donner une base orthonormée de Vect(F ) pour F = ((1, 1, 0, 0), (1, 0, −1, 1), (0, 1, 1, 1)).
2. On considère l’espace euclidien E = R3 muni du produit scalaire défini pour tout
(x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) ∈ E par

ϕ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) := 3x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 3x2 y2 + 3x3 y3 .

Donner une base orthonormée de Vect(F ) pour F = ((1, 0, 0), (0, 1, 0)).

Exercice 5 (♥) Soient a un nombre réel et q l’application définie sur R3 par :

q(x, y, z) = x2 + (1 + a)y 2 + (1 + a + a2 )z 2 + 2xy − 2ayz.

1. Déterminer les valeurs du paramètre a pour lesquelles q est le carré de la norme associée
à un produit scalaire.
2. On pose a = 2. Donner une base orthonormale pour q en utilisant le procédé d’ortho-
normalisation de Gram-Schmidt.

Exercice 6 Soient E un espace euclidien de dimension n et une famille (e1 , . . . , ep ) de vecteurs

unitaires de E vérifiant : p
X
2
∀v ∈ E, kvk = hek , vi2 .
k=1

1. Montrer que (e1 , . . . , ep ) est une famille orthonormée de E.

2. Montrer que p = n et en déduire que (e1 , . . . , ep ) est une base orthonormée de E.

2 Projection orthogonale et distance

Un endomorphisme p : E → E est un projecteur si p2 = p. Il est de plus orthogonal si
ker p = (Imp)⊥ (on parle aussi de projection orthogonale).
Soit F un sous-espace vectoriel de E et (e1 , . . . , em ) une base orthonormée de F . Il est possible
de calculer la projection orthogonale pF (v) d’un vecteur v de E sur F à l’aide de la formule
m
X
pF (v) = hv, ei iei .
i=1

Nous pouvons alors montrer que v − pF (v) minimise la distance de v à tous les vecteurs de F ,
c’est-à-dire p
d(v, F ) = inf kv − wk = kv − pF (v)k, où k · k = h·, ·i.
w∈F

Exercice 7 (♥) On reprend les données de l’exercice 3. Dans chaque cas, calculer la projection
orthogonale du vecteur v de E sur Vect(F ) et donner les équations de Vect(F ).
1. Traiter le cas de v = (1, 1, 1).
2. Traiter le cas de v = X 3 .

Exercice 8 Mêmes questions qu’à l’exercice 7 avec les données de l’exercice 4 cette fois-ci.
1. Traiter le cas de v = (1, 1, 1, 1).
2. Traiter le cas de v = (0, 0, 1).

2
Exercice 9 (♥) On se place dans E = R3 muni de son produit scalaire canonique. Soit p
l’endomorphisme décrit par la matrice
 
2 −3 3
1 
M= −3 10 1  .
11
3 1 10
Montrer que p est une projection orthogonale et préciser Im(p).
Exercice 10 Soit B = (e1 , e2 , e3 ) une base orthonormée d’un espace vectoriel euclidien E. Soit
F l’hyperplan de E d’équation x + 2y − z = 0 dans la base B. Montrer que la projection
orthogonale p sur F a pour matrice dans la base B
 
5 −2 1
1
M = −2 2 2 .
6
1 2 5
Exercice 11 (♥) On se place dans R4 muni de son produit scalaire standard et de sa base
canonique. On considère le sous-espace vectoriel
G = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 / x1 + x2 = 0 et x3 + x4 = 0}.
1. Donner une base orthonormale de G.
2. Donner la matrice dans la base canonique de R4 de la projection orthogonale sur G.
3. Si x = (x1 , x2 , x3 , x4 ), donner la distance de x à G.
Exercice 12 (♥) Soit E un espace euclidien et p un projecteur de E dans E. Montrer que p
est une projection orthogonale si et seulement si : ∀x ∈ E, kp(x)k ≤ kxk.
R1
Exercice 13 On munit E = Rn [X] du produit scalaire ϕ(P, Q) = 0 P (X)Q(X)dX. Soit
D ∈ E un polynôme de degré d, avec 0 < d ≤ n. Pour tout P ∈ E, on note f (P ) le reste de la
division de P par D.
1. Montrer que f est un projecteur de E. Déterminer son noyau et son image.
2. On suppose que d < n et que f est une projection orthogonale. Montrer que pour tout
i ≤ n − d et pour tout j < d, on a ϕ(DX i , X j ) = 0. En déduire que ϕ(D, D) = 0 et
donc D = 0.
3. On suppose que d = n. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que f soit
une projection orthogonale.
Exercice 14 Soit E = M4 (R) muni du produit scalaire ϕ(P, Q) = 41 trace(t P Q). Soient
   
0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 2 3
1 0 0 0
U =0
, F = Vect(I, U, U , U ), V = 1 0 0 0 .
 
0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0
1. Montrer que (I, U, U 2 , U 3 ) est une base orthonormale de F .
2. Déterminer la projection orthogonale de V sur F .
3. En déduire la distance de V à F .
Exercice 15 (♥) Calculer Z 1
inf (x2 − ax − b)2 dx.
a,b∈R 0

3
3 Adjoint
Étant donné un endomorphisme u de E, on appelle adjoint de u un endomorphisme u∗ de E
vérifiant
∀x, y ∈ E, hu(x), yi = hx, u∗ (y)i.
Dans un espace euclidien, on peut montrer qu’un tel adjoint existe toujours et qu’il est unique.

Exercice 16 Soit E = R1 [X], et soit u l’endomorphisme de E défini par u(P ) = P − P 0 .

Déterminer l’adjoint de u pour les produits scalaires
Z 1
0 0
ϕ(P, Q) = P (0)Q(0) + P (0)Q (0) et ψ(P, Q) = P (t)Q(t)dt.
0

Exercice 17 (♥) Soient E un espace euclidien, u un vecteur non nul de E, et f : E → E

définie par
∀v ∈ E f (v) = hv, uiu.
1. Calculer l’adjoint de f .
2. Déterminer Imf et ker f .
3. Déterminer le spectre de f et montrer que f est diagonalisable.

Exercice 18 Soient (E, h, iE ) et (E 0 , h, iE 0 ) deux espaces euclidiens, f : E → E 0 une application

linéaire.
1. Rappeler pourquoi il existe une application linéaire unique f ∗ : E 0 → E telle que

∀x ∈ E, y ∈ E 0 hf (x), yiE 0 = hx, f ∗ (y)iE .

2. On suppose, dans la suite, que q = dim E ≤ dim E 0 = n et que f est injective. Montrer
que det(f ∗ ◦ f ) 6= 0.
3. Si p désigne la projection orthogonale de E 0 sur Imf , montrer que p = f ◦ (f ∗ ◦ f )−1 ◦ f ∗ .
4. On note f 0 : E 0 → E l’application définie par f 0 := (f ∗ ◦f )−1 ◦f ∗ . Soit le système linéaire
f (x) = b avec b ∈ E 0 et f injective. On appelle solution des moindres carrés le vecteur
x0 ∈ E tel que kf (x0 ) − bk = inf kf (x) − bk. Montrer que la solution des moindres carrés
x∈E
du système f (x) = b est donnée par x0 = f 0 (b).
5. Application : soit f : R2 → R3 donnée par f (x, y) = (2x + y, x − y, x + 3y).
a) Calculer f 0 .
b) On considère le système :

2x + y = 1
(S) x − y = 2
x + 3y = a.


où a désigne un paramètre réel.

i) Pour quelles valeurs de a, (S) admet-il une solution ?
ii) Donner, dans tous les cas, la solution des moindres carrés.