Leçon 159 : Formes linéaires et dualité en dimension Théorème 5. Si B = (e 1 , . . . , e n ) est une base de E , alors B ∗ = (e 1∗ , . . .

, e n∗ )
finie. Exemples et applications. est une base de E ∗ appelée base duale de B. En particulier, dim E = dim E ∗ .

Remarque 6. En particulier, E et E ∗ sont isomorphes. Cependant, cet iso-

On se donne K un corps et E un K–espace vectoriel de dimension finie n.
morphisme n’est pas canonique.

1 Espace dual Proposition 7. Si E = Mn (K) alors on note ω A : M 7→ Tr(AM ). L’application

A 7→ ω A est un isomorphisme (canonique) de Mn (K) dans Mn (K)∗ .
Définition 1. On appelle forme linéaire sur E une application linéaire de
Application 8. On considère E = Mn (K).
l’espace E dans K. L’ensemble des formes linéaires sur E est un K–e.v.
noté E ∗ , appelé espace dual de E . 1. Si ω est une forme linéaire vérifiant ω(M N ) = ω(N M ) alors ω est
On définit la forme bilinéaire 〈·, ·〉 : E × E → K par 〈ω, x〉 = ω(x). Cette
∗ proportionnelle à l’application M 7→ Tr(M ).
forme bilinéaire est appelée crochet de dualité. 2. Si n > 2, tout hyperplan de Mn (K) intersecte GLn (K).
Exemple 2.
1. Dans E = Kn , si a 1 , . . . , a n sont des scalaires, alors l’application 2 Espace bidual
(x 1 , . . . , x n ) 7→ a 1 x 1 + · · · + a n x n est une forme linéaire.
∗ ∗∗
2. Si E est un R–e.v. euclidien et 〈· | ·〉 son produit scalaire, alors pour Définition 9. Le dual de E est appelé espace bidual de E , noté E .
tout x ∈ E , l’application y 7→ 〈x | y〉 est une forme linéaire. Théorème 10. Pour x ∈ E , on définit Φx ∈ E ∗∗ par Φx (ω) = ω(x). Alors
3. Si E = Mn (K), alors pour tout A ∈ Mn (K), l’application M 7→ Tr(AM ) l’application x 7→ Φx est un isomorphisme de E dans E ∗∗ .
est une forme linéaire.
4. Si K = R et si f : E → R est différentiable au point x ∈ E , alors la Remarque 11. Cet isomorphisme est canonique, on peut donc identifier
différentielle de f au point x, notée d f (x) est une forme linéaire. E avec son bidual.

5. Si E = Kn [X ] et si a ∈ K alors l’application P 7→ P (a) est une forme Proposition 12. Soit (ω1 , . . . , ωn ) une base de E ∗ . Alors il existe une unique
linéaire. base (e 1 , . . . , e n ) de E telle que ωi = e i∗ pour tout i . On l’appelle base anté-
Proposition 3. Soit ω ∈ E ∗ non nulle, alors ker ω est un hyperplan de E . duale (ou préduale).
Réciproquement, tout hyperplan de E est le noyau d’une forme linéaire non
Exemple 13 (Polynômes interpolateurs de Lagrange). On considère
nulle.
E = Kn [X ] et des scalaires a 0 , . . . , a n distincts. Notons ωi la forme linéaire
Définition 4. Soit (e 1 , . . . , e n ) une base de E . Pour tout 1 6 i 6 n, on définit définie par ωi (P ) = P (a i ). Soit (L 0 , . . . , L n ) la base antéduale de la base
la forme linéaire e i∗ par 〈e i∗ , e j 〉 = δi j , appelée forme linéaire coordonnée (ω0 , . . . ωn ). Les polynômes L i sont appelés polynômes interpolateurs de
d’indice i , relativement à la base (e 1 , . . . , e n ). Lagrange aux points a 0 , . . . , a n , définis par les relations L i (a j ) = δi j .

1
3 Orthogonalité et dualité Application 20 (générateurs du groupe orthogonal). Soit E un espace eu-
clidien et soit u ∈ O(E ). Notons r = rg(u − idE ). Alors u s’écrit comme le
Définition 14. produit d’exactement r réflexions, et ce nombre est minimal.
1. Soient ω ∈ E ∗ et x ∈ E . On dit que ω et x sont orthogonaux si 〈ω, x〉
est nul.
4 Espaces euclidiens et calcul différentiel
2. Soit A une partie de E . On définit l’orthogonal (ou annulateur) de A
comme étant le s.e.v. de E ∗ : A o = ω ∈ E ∗ | ∀x ∈ A, 〈ω, x〉 = 0
© ª
On considère E un espace euclidien de dimension n et on note 〈· | ·〉 le
∗
3. De même, soit B une partie de E . On définit l’orthogonal de B produit scalaire.
comme étant le s.e.v. de E : B o = { x ∈ E | ∀ω ∈ B, 〈ω, x〉 = 0 }
Proposition 21. Pour x ∈ E notons ωx la forme linéaire y 7→ 〈x | y〉. Alors
Proposition 15. Soient A et B des parties de E (ou de E ). ∗ l’application x 7→ ωx est un isomorphisme entre E et E ∗ .
1. Si A ⊆ B alors B o ⊆ A o . Remarque 22. Le produit scalaire donne un isomorphisme canonique
2. A o = Vect(A)o . entre E et E ∗ . De plus, on a 〈ωx , y〉 = 〈x | y〉. Si on identifie E et E ∗ via
cet isomorphisme, on voit que l’orthogonalité au sens du dual coïncide
Théorème 16. Soit F un s.e.v. de E (ou de E ∗ ). Alors dim E = dim F +dim F o avec l’orthogonalité au sens du produit scalaire.
et on a l’égalité F oo = F .
Exemple 23. Si f : E → R est différentiable au point x ∈ E , alors il existe un
Corollaire 17 (équations d’un s.e.v.). unique vecteur de E , noté ∇ f (x), tel que d f (x).h = 〈∇ f (x) | h〉. Ce vecteur
1. Soient ω1 , . . . , ωk des formes linéaires et notons r leur rang. Alors l’en- s’appelle le gradient de f au point x.
semble F = { x ∈ E | ∀1 6 i 6 k, 〈ωi , x〉 = 0 } est un s.e.v. de E de di-
mension n − r . Théorème 24 (Extrema liés). Soit U un ouvert de Rn et soient f , g 1 , . . . , g p
des fonctions de classe C1 de U dans R. On considère l’ensemble :
2. Soit F un s.e.v. de E de dimension p. Alors il existe n − p
formes linéaires
¯ indépendantes ω1 , . . . , ωn−p telle qu’on ait l’égalité © ¯
M = x ∈ U ¯ g 1 (x) = · · · = g p (x) = 0
ª
© ª
F = x ∈ E ¯ ∀1 6 i 6 n − p, 〈ωi , x〉 = 0 .
Soit m ∈ M , on suppose que dg 1 (m), . . . , dg p (m) sont linéairement indé-
Remarque 18. Autrement dit, tout s.e.v. de dimension p est l’intersection
pendantes. Si m est un extremum relatif de f sur M , alors il existe des réels
de n − p hyperplans.
λ1 , . . . , λp tels que d f (m) = λ1 dg 1 (m) + · · · + λp dg p (m).
Proposition 19. Soit A et B deux s.e.v. de E (ou de E ∗ ). Alors :
Application 25 (Inégalité de Hadamard). Pour tous vecteurs v 1 , . . . , v n
1. (A + B )o = A o ∩ B o . de Rn , on a l’inégalité : | det(v 1 , . . . , v n )| 6 kv 1 k2 × · · · × kv n k2 avec égalité
2. (A ∩ B )o = A o + B o . ssi les vecteurs sont orthogonaux ou l’un des vecteurs est nul.

2
5 Application transposée Proposition 35. On suppose que f : E → E linéaire. Alors un s.e.v. de E est
stable par f ssi son orthogonal est stable par t f .
On considère à présent F un autre K–e.v. de dimension finie p et une ap-
plication f : E → F linéaire. Application 36. Si f et g sont deux endomorphismes de E trigonalisables
qui commutent alors il existe une base commune de trigonalisation.
Définition 26. On définit l’application transposée t f : F ∗ → E ∗ par
t
f (ω) = ω ◦ f .
6 Réduction de Frobenius
Remarque 27. L’application transposée de f est caractérisée par la rela-
tion 〈ω, f (x)〉 = 〈 t f (ω), x〉 pour tous ω ∈ F ∗ et x ∈ E . annexe du Gourdon.

Proposition 28. L’application transposée est linéaire de F ∗ dans E ∗ . De

plus, l’application f 7→ t f est linéaire de L (E , F ) dans L (F ∗ , E ∗ ). Développements
Proposition 29. En identifiant E et F à leurs biduaux respectifs, on a l’iden- 1. Théorème 16 et théorème des extrema liés. [24]
tité t t f = f .
¡ ¢
2. Réduction de Frobenius.
Proposition 30. Soient BE une base de E et BF une base de F . Notons
BE∗ et BF∗ les bases duales correspondantes. Alors on a l’égalité matricielle :
mat( t f , BF∗ , BE∗ ) = t mat( f , BE , BF )

Corollaire 31. Soient B et B e deux bases de E et soient B ∗ et B

e ∗ les bases
duales correspondantes. Si P est la matrice de passage de B à B e alors tP −1
est la matrice de passage de B ∗ à B
e ∗.

Proposition 32. On a les égalités suivantes :

1. ker( t f ) = (Im f )o
2. rg t f = rg f
3. Im( t f ) = (ker f )o

Corollaire 33. Une matrice et sa transposée ont le même rang.

Proposition 34. Soient E , F et G trois K–e.v. de dimension finie et soient

f : E → F et g : F → G linéaires. Alors t(g ◦ f ) = t f ◦ tg .

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Références
— AVEZ, Calcul différentiel.
— G OURDON, Les maths en tête, algèbre.
— G RIFONE, Algèbre linéaire.
— R OUVIÈRE, Petit guide de calcul différentiel.