TD MATHS 2nde C

TRAVAUX DIRIGES DE MATHEMATIQUES 2nde C
Exercice 1 : (4points)
7 2 5 2 0,0081×0,36×25,6
1) On donne les nombres suivants : 𝐴 = × − ( − 1) + 1 ; 𝐵 = ;
18 7 3 14,4×2,16×64
𝐶 = 2|2√2 − 5| − 3|7√2 − 10| − |3√2 − 4| + 10|−5√2 − 1|
a) Calculer A sous forme de fraction irréductible.
b) Écrire B à l’aide des puissances entières de nombres premiers.
c) Simplifier l’écriture de C.
2𝑎−𝑏
2) Donner un encadrement de 𝑎
sachant que −4 < 𝑎 < −2 et 3 < 𝑏 < 5.
1 1
3) 𝑥 et 𝑦 sont deux nombres strictement positifs. Démontrer que 𝑥 2 +𝑦2
≤ 2𝑥𝑦 .
Exercice 2 : (3points)
1) Traduire par un encadrement : 1,73 est une valeur approchée de √3 à 3 × 10−2.
2) Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes :
a) |2𝑥 − 3| = 8 b) |−5𝑥 + 1| ≤ 2 c) |4 − 𝑥| > 7 d) 1 ≤ |𝑥 + 4| < 3.
Exercice3 :
2 x 2  3x  1
On donne F  x  
x2
1) Déterminer deux réels a et b tel que 2 x  3 x  1   x  1 ax  b 

2
2) Etudier le signe de F.
2𝑥 2 −3𝑥+1
3) En déduire la solution dans R de l’inéquation : 𝑥−2
≥ 0.
Exercice4 :
Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :

𝑥 4 −2𝑥 2 −2
(𝐴): (2𝑥 2 − 4𝑥 + 2)(𝑥 − 1) ≥ (𝑥 − 1)(𝑥 2 − 2). (𝐵): |2𝑥 + 1| ≤ 4|𝑥 − 2|. (𝐶): = 𝑥 + 2.
𝑥−2
𝑎) |2𝑥 + 3| = 7 𝑏) |2𝑥 − 5| = |2 − 3𝑥| 𝑐)|𝑥 − 3| < 5 𝑑) |−5𝑥 + 1| ≥ 3
Exercice5
I) Résoudre dans ℝ , les équations et inéquations suivantes :
3𝑥 −4𝑥 1
a) 𝑥+2
+ 1 = 𝑥+2 + 4
b) (2𝑥 2 − 4𝑥 + 2)(𝑥 − 1) ≥ (𝑥 − 1)(𝑥 2 − 2)
𝑥+2 𝑥+4
c) 3−𝑥
≤ 2𝑥
d) 4 2
𝑥 − 2𝑥 − 3 = 0
II) Une personne a placé une somme de 45.000 F à un taux d’intérêt de t % pendant un an. L’ensemble du
capital ainsi obtenu est ensuite placé à un taux d’intérêt de (t+2)% et produit alors un intérêt pendant un
an de 4.860 F.
1) Démontrer que t vérifie l’équation 𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝟐𝒕 − 𝟖𝟖𝟎 = 𝟎
2) Mettre sous forme canonique le polynôme P définie par 𝐏(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝟐𝒕 − 𝟖𝟖𝟎 .Calculer 𝑡.
Exercice 6 :
1- Soit 𝐵 = (𝑖⃗; 𝑗⃗) une base orthonormée du plan. On considère les vecteurs 𝑢
⃗⃗ = 𝑖⃗ + 𝑗⃗ et
𝑣⃗ = 𝑖⃗ − 𝑗⃗
a- Donner les caractéristiques d’une base orthonormée
b- Montrer que (𝑢 ⃗⃗, 𝑣⃗) est une base du plan
TRAVAUX DIRIGÉS 2NDE C COLLÈGE DE LA RETRAITE AMME.

c- La base (𝑢
⃗⃗, 𝑣⃗) est –elle orthonormée ? justifier
d- Déterminer les coordonnées de 𝑖⃗ et 𝑗⃗ dans la base (𝑢
⃗⃗, 𝑣⃗) ; déduire les coordonnées de
⃗⃗⃗ = 2𝑖⃗ − 3𝑗⃗ dans cette base (𝑢

𝑤 ⃗⃗, 𝑣⃗)
2- On donne les points A(2 ;1), B(2 ;-1) et C(0 ;-1)

a- Calculer les coordonnées des vecteurs 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b- Calculer : AB et BC. Donner alors la nature exacte du triangle ABC.
Exercice 7 :Le plan vectoriel est muni d’une base(𝑖⃗, 𝑗⃗). Soient les vecteurs 𝑢
⃗⃗ = 2𝑖⃗ + 𝑗⃗ et 𝑣⃗ = 3𝑖⃗ + 2𝑗⃗
1- Démontrer que 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ est une base.

2- Déterminer les coordonnées des vecteurs 𝑖⃗ et 𝑗⃗ dans la base (𝑢 ⃗⃗, 𝑣⃗).
3- Soit 𝑎⃗ = 2𝑖⃗ + 3𝑗⃗ et 𝑏 = −2𝑖⃗ + 𝑗⃗. Déterminer les coordonnées de 𝑎⃗ et 𝑏⃗⃗ dans la base (𝑢
⃗⃗ ⃗⃗, 𝑣⃗).
Exercice 8:Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J). Soit 𝑥 un réel. On donne A(𝑥+1, 3),
B(3𝑥 +1, 1), C(2𝑥 +1, 2 𝑥 +6) et les polynômes f et g définis par: f(𝑥)=2𝑥 2−4𝑥 -6 et g(𝑥)=4𝑥 2+8𝑥.
1) Mettre les polynômes f et g sous forme canonique.

2) Déterminer si possible la forme factorisée des polynômes f et g.
3) Calculer en fonction de 𝑥 les coordonnées des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 .
4) Déterminer les valeurs de 𝑥 pour que les vecteurs 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ soient orthogonaux.
5) Démontrer que det (𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= g(𝑥).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶
6) Déterminer 𝑥 pour que les points A, B et C soient alignés.
Exercice 9: On considère un polynôme P défini par: P(𝑥) = −6𝑥 3 + 2𝑥 2 + 6𝑥 − 2.
1) Calculer P(−1) puis conclure

2) Déterminer trois réels a, b et c tels que P(𝑥)= (𝑥 +1)(a𝑥 2+b𝑥 +c)
3) Donner la forme canonique de Q(𝑥)= –6𝑥 2+8𝑥 -2 puis factoriser Q(𝑥).
4) Montrer que P(x)=-2(𝑥-1)(3𝑥-1)(𝑥+1)
5) Déterminer toutes les racines de P.
6) Etudier suivant les valeurs de 𝑥 le signe de P.
Exercice 10 :
I)
II)

Exercice 11 :
Exercice 12 Soit le carré OABC de côté 4 cm. On considère les points P, Q, I et J tels que :
Le point P est à l’intérieur du carré OABC et le triangle OAP est équilatéral ;
Le point Q est à l’extérieur du carré OABC et le triangle BAQ est équilatéral.

𝟏 𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐎𝐀 et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐎𝐈 = 𝟒 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐎𝐂 .
𝐎𝐉 = 𝟒 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1) Placer les points P, Q, I et J.

2) Justifie que le repère (O, I, J) est un repère orthonormé du plan.
3) Soit E, milieu du segment [OA]. Calculer EP.
4) Soit F, projeté orthogonal du point Q sur la droite (OI), calculer OF.
5) Déterminer les coordonnées des points C, P et Q dans le repère orthonormé (O, I, J).
6) Démontrer que les points C, P et Q sont alignés.
Exercice 13:
ABC est un triangle équilatéral de côté 3cm, G est son centre de gravité et K milieu du segment [AC].
1) Calculer CG.
2) Démontrer que pour tout point M du plan :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐁𝐌
𝐀𝐌 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐂𝐌 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 2𝐌𝐁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝟑𝐌𝐆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐌𝐀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐌𝐂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝐊𝐁
On définit le repère (𝐀, 𝐀𝐁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐀𝐂
a) Calculer les coordonnées de G et K.
b) Déterminer les coordonnées de L pour que ABGL soit un parallélogramme.
c) Soit le point O, le centre du parallélogramme ABGL .Démontrer que pour tout M du plan,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐌𝐁 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐌𝐀 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐌𝐆 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐌𝐋 = 𝟒𝐌𝐎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
d) Déterminer le point D du plan tel que 𝐃𝐀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐃𝐁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐃𝐋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐃𝐆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐁𝐋
Exercice 14 :
Voici le tableau de signe d’une fraction rationnelle 𝑧. Où 𝑛 est le polynôme numérateur et 𝑑 le polynôme
au dénominateur.
𝑥 −∞ -2 2 3 +∞
𝑛(𝑥) − + +
𝑑(𝑥) + + _ −
𝑧(𝑥) − + −
1- Déterminer la condition d’existence de 𝑧.

7
2- Déterminer le signe de 𝑧(4).
3- Déterminer les solutions de l’équation 𝑧(𝑥) = 0.
−𝑥 2 +𝑎𝑥+𝑏
4- Déterminer les réels 𝑎, 𝑏 tels que 𝑧(𝑥) = .
−𝑥+2
Exercice 15:
On considère le polynôme P(𝑥) = −3𝑥 3 − 4𝑥 2 + 17𝑥 + 6
1) Vérifier que -3 est racine du polynôme P.
2) Monter que P(𝑥) peut sous la forme P(𝑥) = (𝑥 + 3)(a𝑥 2 + b𝑥 + c) où a, b et c sont des réels à
déterminer.
3) On donne le polynôme Q(𝑥) = −3𝑥 2 + 5𝑥 + 2 .
3.1 Factoriser Q .
3.2 En déduire la factorisation de P.
3.3 Etudier le signe de P.
4) On pose H(𝑥) = 6𝑥 3 + 35𝑥 2 + 26𝑥 + 5 et F(𝑥) = Q(𝑥)
H(𝑥)
4.1 Déterminer la condition d’existence de F .

1 1
4.2 Vérifier que H(𝑥) = 6(𝑥 + 5)(𝑥 + 3)(𝑥 + 2).
4.3 Simplifier F puis étudier de signe de F
𝑐
4.4 Mettre F sous la forme F(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 + −𝑥+2 où a, b et c sont des réels à déterminer.

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1) Déterminer deux réels a et b tel que 2 x  3 x  1   x  1 ax  b 

Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :

𝑎) |2𝑥 + 3| = 7 𝑏) |2𝑥 − 5| = |2 − 3𝑥| 𝑐)|𝑥 − 3| < 5 𝑑) |−5𝑥 + 1| ≥ 3

TRAVAUX DIRIGÉS 2NDE C COLLÈGE DE LA RETRAITE AMME.

⃗⃗⃗ = 2𝑖⃗ − 3𝑗⃗ dans cette base (𝑢

2- On donne les points A(2 ;1), B(2 ;-1) et C(0 ;-1)

1- Démontrer que 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ est une base.

1) Mettre les polynômes f et g sous forme canonique.

Exercice 9: On considère un polynôme P défini par: P(𝑥) = −6𝑥 3 + 2𝑥 2 + 6𝑥 − 2.

1) Calculer P(−1) puis conclure

TRAVAUX DIRIGÉS 2NDE C COLLÈGE DE LA RETRAITE AMME.

Le point P est à l’intérieur du carré OABC et le triangle OAP est équilatéral ;

Le point Q est à l’extérieur du carré OABC et le triangle BAQ est équilatéral.

1) Placer les points P, Q, I et J.

1- Déterminer la condition d’existence de 𝑧.

4.1 Déterminer la condition d’existence de F .

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