Lycée de Darou

Mousty classe TS1 Mr Gueye

Nombres complexes
Exercice 1 :
z1 et z2 sont deux nombre complexes tel que :
3 +i 4i
z1 = et z2 =
! 3 +i 1! i 3
1-Ecrire sous forme exponentielle z1 et z2 .
2-En déduire la forme algébrique des nombres complexes suivants :
z 3 z6
z1 z2 ; 1 ; ( z1 ) ; 23
z2 z1

Exercice2 :
6 !i 2
Soit z= et z , = 1 ! i
2
1-Determiner le module et un argument de z et z , .
z
2-Ecrire , sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
z
! !
3-En déduire les valeurs exactes de cos et sin .
12 12

Exercice3
1-Soit z un nombre complexe de module 1 et d argument ! :montrer que
1 1
z + = 2cos ! .Démontrer que !n " IN * z n + n = 2cos n! .
z z
1
2-Soit la suite ( zn )n!IN définie par : z0 = 1 + i et !n " IN ; zn +1 = # zn .
2
a-Montrer que la suite réelle ( zn ) est une suite géométrique.Preciser sa raison et son
n!IN
premier terme.
b-Exprimer arg zn en fonction de n, puis zn en fonction de z0 et n.
c-Peut –on trouver n pour que zn soit réel ? Imaginaire pur ?
n !1
3-Soit n ! IN * et A = 1 + cos x + cos 2 x + ....cos ( n ! 1) x = " cos kx
k =0
n !1
B = sin x + sin 2 x + ...sin ( n ! 1) x = " sin kx
k =1
Calculer A + iB et en déduire A et B.

Exercice 4
Soit z = !8 3 + 8i et Z= ( ) (
6 ! 2 +i 6+ 2 )
1- a-Donner la forme trigonométrique de z.
b-Determiner les racines carrées de z.
2-Calculer Z 2
5! 5!
3-Preciser les valeurs exactes de cos et sin .
12 12
Exercice5 :
2!
i
Soit le complexe z0 = e 5

1-On pose ! = z0 + z0 4 et ! = z0 2 + z0 3
a-Demontrer que z0 4 + z03 + z0 2 + z0 + 1 = 0 et en déduire que ! et ! sont solutions de l
équation Z 2 + Z ! 1 = 0 ( E )
2!
b-Exprimer ! en fonction de cos
5
2!
c-Resoudre dans ! l équation ( E ) et en déduire la valeur de cos .
5

Exercice6
! 2! (n " 1)!
Pour tout n " ! * , soit sn = sin + sin + ........ + sin
n n n
! !
a) Posons z = cos + i sin . Donner une expression simple de la
n n
n !1
somme 1 + z + z + ...... + z
2

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de cette somme

1
En déduire l’égalité s n =
!
tan
2n
(S %
b) Quelle est la limite de la suite & n #n " ! * ?
' n $
EXERCICE7

Soit n >0 ; ! " ]0;! [ ; on considère les expressions

n
sn = cos ! + cos ! cos2! +……..+cos ! cos p! +…….+cos ! cos n!
2 2 p

'
s n
= cos ! sin! + cos 2 ! sin2!+……+ cos p ! sin p! +……..+ cosn ! sin n!
'
On pose T n = S n + i sn
Montrer que T n est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique complexe dont
on donnera le premier terme et la raison .
En déduire une expression simple de T n , puis de S n en fonction n et ! (on montera que
sin n!
S n
= cos!n +1 (
sin !
)

EXERCICE8
Dans l’ensemble C des nombres complexes, on considère l’équation
4 3 2
( E ) : z ! (2 ! i) z ! 3i z + (4 ! i) z + 1 + 3i = 0
1°) préliminaire : quel est le terme constant du polynôme P de la variable
complexe P( z ) = (z ! z )(z ! z 2 )(z ! z 3 )(z ! z 4 )ou z1 , z 2 , z 3 , z 4 sont des nombres complexes
données ?
2°) a) Montrer que l’équation (E) admet une solution réelle notée z1 et une solution
imaginaire pour notée z 2

b) Vérifier z 3 = 2 + i est une solution de l’équation (E)

c) Déterminer alors la solution restante z 4 de (E)
z ! z " z ! z est un nombre réel
d) Montrer que z = 2 4 1 3

z !z z !z 1 4 2 3
3°) Soient M , M , M et M les points du plan d’affixes respectives Z , Z , Z , Z
1 2 3 4 1 2 3 4
a) Montrer que ces 4 points sont cocycliques
b) Déterminer la mesure de l’angle oriente ( M 2 M 1 , M 2 M 3 )
c) En déduire l’affixe z 0 du centre du cercle passant par les points M 1 , M 2 , M 3 , M 4

Exercice :
2! 2!
Z désigne le nombre complexe : cos + i sin .
5 5
1. Vérifie que z 5 ! 1 = 0 . En déduire la relation 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 = 0 .
2. a. Exprimer z, z 2 , z 3 , z 4 sous forme trigonométrique.
2! 2 3 4!
b. Démontrer les égalités : z + z 4 = 2 cos , z + z = 2 cos .
5 5
2! 4!
3. Utiliser les résultats des 1° et 2° pour trouver une relation entre cos et cos puis
5 5
2!
montrer que cos est racine de l’équation : 4 x 2 + 2 x ! 1 = 0. En déduire la valeur de
5
2!
cos .
5
Exercice :
1. Ecrire sous leur forme trigonométrique, les solutions de l’équation : z 5 = 1.
2. Soit ! # ]$" , " [ . Exprimer, en fonction de ! , la solution de l’équation d’inconnue z :
1 " iz
= ei! .
1 + iz
5
" 1 ! iz #
3. Résolvez dans ! l’équation : $ % = 1.
& 1 + iz '
5 5
4. Développez et ordonnez l’expression : (1 ! iz ) ! (1 + iz ) puis résolvez dans ! :
5 5
(1 ! iz ) ! (1 + iz ) = 0.
!
5. Déduisez des questions précédentes la valeur de tan .
5
Exercice :
 1. Résoudre dans ! l’équation ( E ) : z 3 = 4 2 ( !1 + i ) et écrire les solutions sous forme
trigonométrique.
2. Vérifier que 2 + i 2 est une solution de ( E ) . En déduire les solutions de ( E ) sous
forme algébrique.
11! 11!
3. Déduire de ce qui précède les valeurs exactes de cos et sin .
12 12
Exercice :
On considère le polynôme P défini par : P ( Z ) = Z 4 ! 6Z 3 + 24Z 2 ! 18Z + 63.

( ) ( )
1. Calculer P i 3 et P !i 3 , puis montrer qu’il existe un polynôme du second degré
à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que pour tout Z ! ! , on ait
( )
P (Z ) Z 2 + 3 Q (Z ) .
2. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes ! : P ( Z ) = 0 .
! !
( )
3. Placer dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal O; u , v les points A,
B, C et D d’affixes respectives Z A = 3i , Z B = ! 3i , ZC = 3 + 2i 3 , Z D = Z C , puis
montrer que ces quatre points sont sur un même cercle.

Exercice :
1) Exprimer 1 " cos 2! en fonction de sin ! et exprimer sin 2! en fonction de sin ! et
cos ! .
# ! !$
2) " % ' & , ( , résoudre dans ! : 2 (1 " cos 2! ) z 2 " 2 z sin 2! + 1 = 0 .
) 2 2*
3) Calculer le module et un argument de chacune des solutions z1 et z2 dans le cas où
l’équation admet deux solutions distinctes.
!!
( )
Soit M1 ( z1 ) et M 2 ( z2 ) et O; i, j un repère orthonormé.
4) a) Montrer que le triangle OM1M 2 est isocèle.
b) Trouver ! pour que le triangle OM1M 2 soit rectangle.