Sujets Maths Serie A Complet

1999 à 2018
20 SUJETS - 12 CORRIGES
A1_A2
1 SEPTEMBRE 2020
DIRECTION DE LA FORMATION BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL
ET DE L’ENSEIGNEMENT
SESSION 1999
A SERIE :A Epreuve de : MATHEMATIQUES

Code Matière : 009 Durée : 2 Heures 15 minutes
Coefficients : A1 = 1 A2 = 3
N.B. : - Les Deux Exercices et le Problème sont obligatoires.

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EXERCICE I (4 points)
On considère la suite (Un ) définie par son premier terme U0 = 2 et la relation de récurrence :
1 5
Un+1 = Un − , pour tout entier naturel n.
2 6
1) Calculer U1 et U2 . (0,5 point)
2) Soit une deuxième suite ( Vn ) définie par : Vn = 3Un + 5 , pour tout nIN.
a) Démontrer que ( Vn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison q et le
premier terme V0 . (1,5 point)
b) Exprimer Vn , puis Un en fonction de n. (0,75 point)
c) Calculer lim Un . (0,25 point)
n→+
3) a) Calculer Vn+1 – Vn en fonction de n. (0,5 point)
b) En déduire que la suite ( Vn ) est décroissante. (0,5 point)
EXERCICE II (4 points)
Le tableau suivant donne la répartition des 80 employés d’une entreprise en fonction de leur
salaire mensuel (en milliers de francs malgaches FMG). Soit n un entier naturel non nul.
Salaire [50 ; 150[ [150 ; 250[ [250 ; 350[ [350 ; 450[ [450 ; 550[ [550 ; 650[
Effectifs ( ni ) n 26 20 4 4 2
Dans les calculs qui suivent, on utilisera les centres xi des classes, où 1  i  6 .
1) Déterminer l’effectif n des employés ayant un salaire mensuel inférieur à 150.000-FMG. (0,5 point)
On prendra n = 24 dans tout ce qui suit.
2) Dans un repère orthogonal du plan, représenter le nuage de points Mi de coordonnées
( xi, ni ) , 1  i  6. (0,5 point)
On prendra comme unités : 1cm sur l’axe des abscisses pour 100.000FMG.
1cm sur l’axe des ordonnées pour 5 employés.
3) a) Calculer les fréquences relatives de ces six classes. (2 points)
b) Calculer la moyenne des salaires, exprimée en francs, dans cette entreprise. (1 point)
PROBLEME (12 points)
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur 0,+ par : f ( x ) = − x + 1 − e− x .

On note (C) la courbe représentative de f dans un plan P muni d’un repère orthonormé
( )
R = O,i, j d’unité graphique 2cm.
1) a) Déterminer la limite de f en + . (1 point)
b) Montrer que la droite (D) d’équation y = − x + 1 est asymptote à la courbe (C). (1 point)
2) a) Montrer que pour tout réel x  0 , f ' ( x ) = −1 + e – x , où f ’ désigne la fonction dérivée de f. (1 point)
b) En déduire le tableau de variation de f sur 0,+ . (1 point)
3) a) Compléter le tableau des valeurs suivant : (1 point)
x 0 1 2 3 4
f (x)
b) Ecrire l’équation de la tangente (T ) à (C ) au point d’abscisse x0 = 0 . (1 point)

c) Représenter graphiquement les droites (D ), (T ) et la courbe (C ) dans P. (3 points)
2
x
4) Pour tout x  0 , on pose F ( x ) = −+ x + e− x .
2
a) Montrer que F est une primitive de f. (2 points)
2
b) En déduire, en cm , l’aire du domaine plan limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses
x ' ox et les deux droites d’équations x = 0 et x = 1. (1 point)
On donne : e–1 0, 36 ; e –2 0,13 ; e –3 0, 05 .
DIRECTION
DE L'ENSEIGNEMENT
SUPERIEUR SESSION 2000
SERIE :A Epreuve de : MATHEMATIQUES

Durée : 2 heures 15 minutes
Code Matière : 009 Coefficient : A1 = 1 - A2 = 3
Exercice 1 4 points
N.B : - Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes

- On donnera tes résultats sous forme de fraction irréductible.
Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher dont 4 blanches et 4 noires.
1. On tire au hasard et simultanément 3 boules de l'urne.
a. Déterminer le nombre de tirages possibles. (0,5 pt)
b. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 boules blanches ? (0,5 pt)
c. Quelle est la probabilité d'obtenir 1 boule blanche et 2 boules noires ? (0,5 pt)
2. On effectue 3 tirages successifs d'une boule, en remettant dans l'urne, avant chaque tirage, la
boule précédemment tirée.
a. Quel est le nombre de tirages possibles ? (0,5 pt)
b. Quelle est la probabilité de sortir ainsi 3 boules noires ? (0,5 pt)
c. Quelle est la probabilité de sortir ainsi 1 blanche puis 2 noires ? (0,5 pt)
3. On tire toutes les boules une à une sans remise.
a. Quel est le nombre de tirages possibles ? (0,5 pt)
b. Quelle est la probabilité pour que les couleurs de toutes les boules tirées soient
alternées ? (0,5pt)
Exercice 2 4 points
Le tableau suivant montre le chiffre d'affaires, exprimé en millions de francs malagasy, d'une entreprise au cours des
six dernières années.
Année 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Rang : x i 1 2 3 4 5 6
Chiffre d'affaires : y i 120 132 147 164 181 201
1. Calculer la moyenne de la série ( yi ) . (0,5 pt)

2. Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points Mi ( xi ,yi ) . (Sur l'axe des
abscisses, 2 cm représente, une année ; sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 20
millions). (1,5 pt)
3. Soit G1 le point moyen du sous-nuage obtenu par x1 , x 2 et x 3 ; G2 le point moyen du
sous-nuage obtenu par x 4 , x 5 et x 6 .
a. Déterminer les coordonnées de G1 et de G2 . (0,5 pt)
b. Tracer la droite ( G1G2 ) . Que représente cette droite? (0,5 pt)
c. Donner l'équation de la droite ( G1G2 ) . (0,5 pt)
d. En déduire une prévision du chiffre d'affaires de cette entreprise en 2002. (0,5pt)
Problème 12 points
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] - 4 ; 2 [ par :

f ( x ) = ln ( x + 4 ) − ln ( 2 − x ) .
( )
On note par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O;i, j , d'unité 2 cm.
1. Calculer les limites de f en - 4 et en 2. Interpréter graphiquement ces résultats. (2 pts)
2. a. Montrer que, pour tout x  −4 ; 2  , la fonction dérivée de f est :
6
f '(x) =
( 2 − x )( x + 4 )
b. Dresser le tableau de variation de f. (1 pt)

3. a. Déterminer le point d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses. (1 pt)
b. Ecrire l'équation de la tangente (T) à (C) au point I (-1 ; 0). (1 pt)
c. Montrer que le point I (-1 ; 0 ) est un centre de symétrie pour (C). (1 pt)
4. Tracer (T) et (C) dans un même repère. (2pts)
5. Soit F la fonction définie sur l'intervalle ] - 4 ; 2 [ par :
F ( x ) = ( x + 4 ) In ( x + 4 ) − ( x − 2 ) In ( 2 − x ) .
a. Calculer la fonction dérivée F ' de F. (1 pt)
b. En déduire la valeur exacte en cm2 de l'aire du domaine pian limité par (C), l'axe des
abscisses et les droites d'équations x = -1 et x = 0. (1 pt)
6. Soit g la fonction définie sur ] - 4 ; 2 [ par :
2−x 
g ( x ) = ln  
x+4
a. Montrer que, pour tout x  −4 ; 2  : g( x) = − f ( x ) . (0,5 pt)
b. Tracer dans le même repère que (C) la courbe représentative (Г) de g. (0,5 pt)
DIRECTION DE LA FORMATION BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT
ET DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL
SESSION 2001

Code Matière : Durée : 2 Heures 15 minutes
009 Coefficients : A1 = 1 A2 = 3
N. B. : Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.
Exercice 1 : (4 points)
N.B : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher dont :
- 4 rouges numérotées 2, 3, 3, 4
- 4 vertes numérotées 1, 3, 3, 4
- 2 jaunes numérotées 1, 1
1. On tire au hasard et simultanément 2 boules de l’urne.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « la somme des numéros des 2 boules tirées est égale à 6 » (1 pt)
B : « le produit des numéros des 2 boules tirées est égal à 4 » (1 pt)
2. On effectue 3 tirages successifs d’une boule, en remettant dans l’urne, avant chaque
tirage, la boule précédemment tirée.
C : « Tirer 3 boules de même couleur » (1 pt)
D : « Tirer 2 boules rouges et une jaune dans cet ordre ». (1 pt)
Exercice 2 : (4 points)
On considère la suite numérique définie par :
U0 = 1
2
∀nIN, Un+1 = U −1
3 n
1. Calculer u1 et u2 (0,5 pt)
2. Soit la suite numérique définie pour tout nIN par Vn = Un + 3.
a- Montrer que (Vn)nIN est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme. (1 pt)
b- Exprimer Vn puis un en fonction de n. (1 pt)
c- Calculer lim U𝑛 . (0,5 pt)
𝑥→+∞
2 𝑛
3. On pose W𝑛 = 𝑙𝑛 [2 (3) ] , nIN (In désigne le logarithme népérien).
Montrer que (Wn)nIN est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier
terme. (1 pt)
Problème (12 points)
Soit f la fonction numérique définie par : 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥 )𝑒 𝑥 − 1
On note par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,⃗𝑖, 𝑗) d’unité
1 cm.
1. Déterminer l’ensemble de définition de f. (0,5 pt)
2. a- Calculer la limite de f en + . (0,5 pt)
𝑥
b- Sachant que lim 𝑥𝑒 , montrer que lim lim 𝑓(𝑥 ) = 1. (0,5 pt)
𝑥→−∞ 𝑥→−∞
Donner une interprétation graphique de ce résultat. (0,5 pt)
3. a- Calculer la fonction dérivée f'(x) et étudier son signe. (1 pt)

b- Dresser le tableau de variation de f. (1 pt)
4. a- Calculer tes coordonnées du point d’intersection A de la courbe (C) avec la droite (D)
d’équation y = -1. (1pt)
b- Ecrire l’équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 1. (1 pt)
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 1−𝑥 1

5. a- Calculer lim (on pourra écrire = 𝑒 𝑥 − X) (0,5 pt)
𝑥→−∞ X X X
Que peut-on en conclure ? (0,5 pt)
b- Reproduire le tableau suivant et donner pour chaque valeur de x, une valeur approchée
de f(x) à 10-2 près. (0,5 pt)
𝑥 -3 -1 ln 5
𝑓(𝑥)
c- T racer (T), (D) et (C). (2 pts)
6. Soit F la fonction définie sur IR par : 𝐹(𝑥 ) = (2 − 𝑥 )𝑒 𝑥 − 𝑥

a- Montrer que F est une primitive de f sur R. (0,5 pt)
b- Calculer, en cm , l’aire A du domaine plan limité par la courbe (C), Taxe (x’Ox) et les
2
droites d équations x = 0 et x = 1. (1 pt)
On donne : e-1 = 0,37 ; e-3 = 0,05 ; In5 = 1,61.

ET DE L’ENSEIGNEMENT SESSION 2002
A SERIE :A
Code Matière : 009
Epreuve de
Durée
Coefficients
:
:
:
MATHEMATIQUES
2 Heures 15 minutes
A1 = 1 A2 = 3
N. B : - Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.

- Machine à calculer autorisée.
EXERCICE 1 (4 points)
On considère la suite numérique (Un)nIN définie par :
U0 = 2
Un 2 − Un − 2
∀nIN, Un+1 =
Un + 1
1) Calculer les quatre premiers termes de cette suite. (1 pt)

2) a) Montrer que (Un)nIN est une suite arithmétique dont on précisera la raison. (1 pt)
b) Exprimer Un en fonction de n. (0,5 pt)
c) Quel est le sens de variation de (Un)nIN ? (0,25 pt)
3) Pour tout nIN, on pose Vn = e2(1 – n).

a) Montrer que (Vn)nIN est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la
raison. (1 pt)
b) Calculer la limite de Vn quand n→+. (0,25 pt)
Le tableau suivant indique l’évolution de l’effectif d’un Collège au cours des huit dernières
années. (xi désigne le rang de l’année et yi l’effectif correspondant).
Année 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

xi 1 2 3 4 5 6 7 8
yi 370 360 380 410 420 440 450 470
1) Représenter le nuage de points Mi (xi, yi) associé à cette série statistique dans un repère
orthogonal. (0,75 pt)
- Sur l’axe des abscisses, prendre 1 cm pour unité graphique.
- Sur l’axe des ordonnées, placer 350 à l’origine puis choisir 1 cm pour représenter 10
élèves.
2) Calculer les coordonnées du point moyen G. (0,5 pt)

3) On note (S1) la série statistique allant de 1994 à 1997 et (S2) la série allant de 1998 à 2001.
a) Déterminer les coordonnées des points moyens respectifs G 1 et G2 des séries (S1) et
(S2). (0,5 + 0,5 pt)
b) Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par G 1 et G2. (0,75 pt)
c) Construire cette droite (D). Que représente-t-elle ? (0,25 + 0,25 pt)
d) En déduire une estimation de l’effectif du collège en 2003. (0,5 pt)
PROBLEME : (12 points)
On considère la fonction numérique f définie par : f(x) = 2 ln x (ln x – 1). On note (C) la courbe
représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O ; 𝑖⃗;𝑗⃗) d’unité 1 cm.
1) a) Déterminer l’ensemble de définition Df de f. (0,5 pt)
b) Calculer les limites aux bornes de Df. (0,5 + 0,5 pt)
2
c) Montrer que pour tout xDf, f ’(x) = 𝑥(2 ln x – 1). (1 pt)
d) Dresser le tableau de variation de f. (1 pt)
2) a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) avec l’axe (x’Ox). (1 pt)
b) Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse e. (1 pt)
c) Montrer que (C) admet un point d’inflexion I dont on déterminera les coordonnées. (1 pt)
𝑓(𝑥)
3) a) Etudier les branches infinies de (C) (on admet que lim = 0). (0,25 + 0,25 pt)
𝑛→+∞ 𝑥
b) Calculer f (e–1) et f (e2). (0,5 + 0,5 pt)
c) Construire (T) et (C). (0,5 + 1,5 pt)
4) Soit F la fonction définie par F(x) = 2x (ln x) 2 – 6x ln x + 6x.

a) Montrer que F est une primitive de f sur Df. (1 pt)
b) Calculer, en cm , l’aire A du domaine plan limité par(C), l’axe (x’Ox) et les droites
2
d’équations x = 1 et x = e. (1 pt)
1 3
On donne : e-1≈ 0,4 ; 𝑒 2 ≈ 1,7 ; e ≈ 2,7 ; 𝑒 2 ≈ 4,5 ; e2 ≈ 7,4.
DIRECTION DE LA FORMATION BACCALAUREAT DE
ET DE L’ENSEIGNEMENT L’ENSEIGNEMENT GENERAL
SESSION 2003
SERIE : A Epreuve de : MATHEMATIQUES

Code Matière : 009 Durée : 2 Heures 15 minutes
N.B. : Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.
Exercice 1 (5 points)
Dans une classe de douze élèves, la répartition suivant l’âge et le sexe est donnée par le tableau
suivant :
Sexe
Filles Garçons
Age
18 ans 4 3
19 ans 2 2
20 ans 1 0
On choisit au hasard et simultanément trois élèves dé la classe.

1. Déterminer le nombre de choix possibles. (0,5 pt)
2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « les élèves choisis sont des filles ». (0,75 pt)
B : « les élèves choisis ont plus de 18 ans ». (1 pt)
C : « les trois élèves choisis ne sont pas de même sexe ». (1,25 pt)
D : « au moins élève choisi a exactement 19 ans ». (1,5pt)
1 3
On considère la suite (Un) définie par : U1 = 5 et Un + 1 = Un + 2
4
On pose Vn = Un - 2.
1. Calculer U2, U3 et V1. (0,75 pt)
1
2. Monter que (Vn) est une suite géométrique de raison 4. (1 pt)
3. Exprimer Vn puis Un en fonction de n. (0,5 + 0,25 pt)
4. On pose Wn = In Vn où In est le logarithme népérien.
a) Montrer que (Wn) est une suite arithmétique dont on déterminera te raison et te premier
terme. (0,5 pt)
b) Exprimer Sn = W1 + W2 +... + Wn en fonction de n. (1 pt)
Problème : (10 points)
Soit f la fonction définie par f(x) = 1 - 2x + ex. On note (C) la courbe représentative de f dans un
repère orthonormé (O,⃗𝑖, 𝑗) d'unité 1 cm.
1. a) Déterminer l’ensemble de définition de f. (0,75 ; 0,50)

b) Calculer lim 𝑓(𝑥). (0,75 ; 0,50)
𝑥→−∞
1 𝑒𝑥
c) En remarquant que pour tout x > 0, f(x) = 𝑓(𝑥 ) = 𝑥(𝑥 − 2 + ), calculer lim 𝑓(𝑥).
𝑥 𝑛→∞
𝑒𝑥
(On donne lim = +∞). (0,75 ; 0,50)
𝑥→+∞ 𝑥
2. a) Calculer f '(x) (1,00 ; 0,75)

b) En déduire le tableau de variation de f. (1,25 ; 1,00)
3. a) Déterminer les coordonnées du point A, intersection de la courbe (C) avec l'axe des
ordonnées. (1,00 ; 0,75)
b) Écrire l'équation de la tangente (T) à (C) au point A. (1,00 ; 1,00)
4. a) Calculer lim [𝑓 (𝑥 ) − (−2𝑥 + 1)]. Que peut-on en conclure ?. (1,00 ; 1,00)
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
b) Etudier la branche infinie de (C) braque x tend vers +∞. On admet que lim =+∞
𝑥→+∞ 𝑥
(1,00 ; 0,75)
5. Tracer (C) (1,00 ; 1,00)
Pour A2 seulement
6. a) Donner une primitive de f sur IR. (0,00 ; 1,00)
b) En déduire faire géométrique en cm 2, du domaine plan limité par la courbe (C), l’axé des
abscisses et tes droites d’équations respectives x = 0 et x = In 2. (0,00 ; 1,00)
On donne : In 2 ≃ 0,7
**********************
A SERIE :A
Code Matière : 009
Epreuve de
Durée
Coefficients
:
:
:
MATHEMATIQUES
2 Heures 15 minutes
A1 = 1 A2 = 3

Soit la suite arithmétique (Un) nIN* définie par la donnée des deux termes U1 = -2 et U20 = 55.
1. Calculer la somme S = U1 + . . . . . . + U20 (0,5 pt)
2. Déterminer la raison r de cette suite. (1 pt)
3. Exprimer Un en fonction de n. (0,5 pt)
3n-5
4. Pour tout n élément de IN*. On pose Vn = e
a/ Calculer V1 et V2. (0,5+0,5pt
b/ Montrer que (Vn) nIN* est une suite géométrique dont on précisera la raison q.(1 pt)
c/ Exprimer la somme Tn = V1 + V2 + . . . . + Vn en fonction de n. (1 pt)
N.B : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Une trousse contient douze stylos de même marque, indiscernables au toucher : 3 rouges, 4 verts,
3 bleus et 2 noirs.
1. Un élève prend au hasard un stylo de la trousse. Chaque stylo a la même probabilité d’être
tiré. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Obtenir un stylo rouge » (0,5 pt)
B : « Obtenir un stylo vert ou un stylo noir ». (0,5 pt)
2. On remet la trousse à sa condition initiale. Un autre élève tire au hasard et simultanément

deux stylos de la trousse. On suppose que les tirages sont équiprobables.
Evaluer la probabilité de chacun des événements suivants :
C : « Les deux stylos tirés sont de même couleur » (0,5 pt)
D : « Obtenir deux stylos de couleurs différentes ». (1 pt)
3. On remet la trousse à sa condition initiale. Un troisième élève tire successivement et sans
remise trois stylos de la trousse. On suppose que les événements élémentaires sont
équiprobables.
a/ Déterminer le nombre de cas possibles. (0,5pt)
b/ Déterminer les probabilités des événements suivants :
E : « Obtenir trois stylos de même couleur » (1 pt)
F : « Obtenir aucun stylo vert ». (1 pt)
On considère la fonction numérique f définie sur l’intervalle ] 0, +  [ par :
1
𝑓(𝑥 ) = − 1 + ln 𝑥
𝑥
On note par (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,𝑖⃗, 𝑗⃗) (unité : 2 cm).
1. a/ Calculer f ’(x) pour tout x  ] 0, +  [ . (1 ; 1)
b/ Etudier le signe de f ’(x) suivant les valeurs de x. (0,5 ; 0,5)
2. Calculer lim 𝑓(𝑥) (0,5 ; 0,25)

𝑥→+∞
1 − 𝑥 +𝑥 ln 𝑥
3. a/ Montrer que f(x) peut s’écrire : 𝑓(𝑥 ) = pour x  ] 0, +  [. (0,5 ; 0,25)
𝑥
b/ En admettant que lim+ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 = 0. En déduire lim+ 𝑓 (𝑥). (0,5 ; 0,25)
𝑥→0 𝑥→0
4. Dresser le tableau de variation de f. (1 ; 1)

5. Compléter le tableau des valeurs ci-dessous : (1 ; 1)
1
𝑥 1 2 e
𝑒
𝑓 (𝑥 )
6. a/ Calculer f ’’(x) pour tout x  ]0, + [ et étudier son signe sur l’intervalle ]0, + [. (1 ; 0,5)
b/ En déduire que le point I d’abscisse 2 est un point d’inflexion de (C ). (0,5 ; 0,5)
c/ Trouver une équation de la tangente (T ) à (C ) en I. (1 ; 0,5)
𝑓(𝑥)
7. a/ On admet que lim = 0. Quelle conclusion peut-on en tirer sur la courbe (C ) ?
𝑥→+∞ 𝑥
(0,5 ; 0,25)
b/ Tracer (C ) et (T ). (1,5+0,5)
POUR A2 SEULEMENT
8. Soit la fonction G définie sur l’intervalle ] 0, +  [ par G(x) = x ln x – x

a/ Calculer G ’(x) pour tout x élément de l’intervalle ] 0, +  [ . ( ; 0,25)
Et en déduire une primitive de f sur l’intervalle ] 0, +  [. ( ; 0,75)
b/ Calculer, en cm2, l’aire du domaine plan limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses
(x’Ox) et les droites d’équations respectives x=1 et x=e. ( ; 1)
1
On donne : 𝑒 ≈ 0,36 ; ln 2 ≈ 0,7 ; e ≈ 2,7.

Durée : 2 Heures 15 minutes
Code Matière : 009

Soient la suite numérique (Un)nIN définie par la donnée de U0 = 10 et la relation de recurrence :
𝑈𝑛 −2
𝑈𝑛+1 = 1 pour tout n ≥ 1 et (Vn)nIN la suite définie pour tout n par : Vn = In[Un+2].
2
1) Calculer U1, V0 et V1. (1,5 pt)
𝑈𝑛 +2
2) a/ Montrer que pour tout n élément de IN Vn+1 = ln[ ]. (1,0 pt)
2
b/ En déduire que (Vn)nIN est une suite arithmétique de raison r = – ln2. (1,0 pt)
Préciser le sens de variation de (Vn)nIN. (0,5 pt)
3) Exprimer Vn en fonction de n. (0,5 pt)
4) Exprimer Un en fonction de Vn puis en fonction de n. (0,25+0,25pt)
Une urne contient dix jetons :
− deux jetons numérotés chacun par 1
− trois jetons numérotés chacun par 2
− quatre jetons numérotés chacun par 3
− un jeton numéroté par 4.
1) On tire au hasard et simultanément trois jetons de l’urne.
a/ Quelle est la probabilité d’amener trois jetons portant chacun le numéro 3 ? (0,5 pt)
b/ Quelle est la probabilité d’obtenir trois jetons portant chacun un numéro impair ? (1,0 pt)
c/ Quelle est la probabilité d’amener la somme des numéros notés sur les trois jetons tirés à 10 ?
(1,0 pt)
2) On tire successivement et sans remise trois jetons de l’urne. On suppose que les événements
élémentaires sont équiprobables.
a/ Trouver le nombre de cas possibles. (0,5 pt)
b/ Evaluer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Les trois jetons tirés portent le même numéro » (1,0 pt)
B : « Obtenir le jeton numéroté par 4 au dernier tirage ». (1,0 pt)

Soit la fonction numérique f définie sur IR par f(x) = 4x2e2x, (C) sa courbe représentative dans un repère
orthonormé (O ;𝑖⃗, 𝑗⃗ ) (unité : 4cm)
𝑓(𝑥)
1) a/ Calculer et lim 𝑓(𝑥) et lim (0,5+0,5 ; 0,5+0,5pt)
𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥
b/ Interpréter graphiquement les résultats précédents. (0,5 ; 0,5pt)
c/ En admettant que lim 𝑥𝑒 𝑥 = 0 et en remarquant que f(x) = [ 2x e x ]2.
𝑥→−∞
Calculer lim 𝑓(𝑥) (0,5 ; 0,5pt)
𝑥→−∞
2) a/ Montrer que pour tout x élément de IR : f ’(x) = 8x(x + 1)e2x. (1,0 ; 1,0pt)
En déduire le signe de f ’(x) suivant les valeurs de x. (1,0 ; 0,5pt)
b/ Compléter le tableau des valeurs ci-dessous. (1,0 ; 1,0pt)
1 1
x -1 0
−2 2
f(x)
c/ Dresser le tableau de variation de f. (2,0 ; 1,5pt)

1
3) a/ Trouver une équation de la tangente à la courbe (C) au point d’abscisse 2. (1,5 ; 1,0pt)
b/ Tracer (C) dans le repère (O ;𝑖⃗, 𝑗⃗ ). (1,5 ; 1,0pt)
Pour A2 seulement
4) Soit la fonction F définie sur IR par : F(x) = (2x2 – 2x + 1)e2x.
a/ Calculer F ’(x). ( ; 1,0pt)
b/ Calculer en cm , l’aire de la partie du plan limitée par (C), les droites d’équations respectives
2
x = –1 et x = 0 et l’axe des abscisses (x’Ox). ( ; 1,0pt)
On donne : e–2 ≈ 0,16 e–1 ≈ 0,40 e ≈ 2,70

SESSION 2006
A SERIE :A Epreuve de MATHEMATIQUES

Code Matière : 009 Durée 2 Heures 15 minutes
Coefficients А1 = 1 А2 = 3
N. В : - Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.

Exercice I (5 pts)
Soient (Un)nIN et (Vn)nIN deux suites numériques définies respectivement par :

UO = 0
{U 1 pour tout entier n
n+1 = 2−U
n
1
et Vn = U
n −1
1°) Calculer U1 U2, V0, V1.
2°) a) Montrer que (Vn) nIN est une suite arithmétique de raison -1.
b) Donner l’expression de Vn puis Un en fonction de n.
3°) Pour n  1, on pose Sn = V0 + V1 + ... + Vn-1

et Pn = W0.W1..........Wn-1
avec Wn = eVn
a) Calculer Sn en fonction de n.
b) En déduire l’expression de Pn en fonction de n, puis la limite de Pn quand n tend vers
+ .
Exercice II (5 pts)
On dispose d’un portefeuille contenant 10 billets de banque dont 2 billets de 1 Ar, 3 billets
de 2.000 Ar, 4 billets de 5.000 Ar et 1 billet de 10.000 Ar.
1°) On tire successivement et sans remise 3 billets du portefeuille.
a) Déterminer le nombre des cas possibles.
b) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Obtenir exactement 2 billets de 5.000 Ar »
B : « Obtenir au plus 2 billets de 2.000 Ar »
2°) On tire simultanément 4 billets du portefeuille.
C : « avoir un montant total de 14.000 Ar »
D : « avoir un montant total supérieur ou égal à 25.000 Ar ».
Problème (10 pts)
Soit f la fonction numérique définie sur l’intervalle ] -1, +  [ par :
1
𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 + 𝑥 + ln⁡(𝑥 + 1).
2
On désigne par (C) sa courbe représentative, dans un repère orthonormé direct (O ;𝑖⃗, 𝑗⃗ )
d’unité 2 cm.
1) a) Calculer la limite à droite de f en -1. Interpréter graphiquement ce résultat.

b) Calculer la limite de f en +.
2) a) Déterminer la fonction dérivée f’ de la fonction f.

𝑥 2 +2𝑥+2
b) Vérifier que pour tout x  ] -1, +  [, on a : 𝑓’(𝑥 ) =
𝑥+1
c) Etudier le signe de f’ (x) et dresser le tableau de variation de f.
3) a) Montrer que le point O est un point d’inflexion de la courbe (C).

b) Ecrire une équation de la tangente (T) à la courbe au point d’abscisse x0 = 0.
(On donne ln2 = 0,7 ; ln3 =1,1)
4) Tracer la tangente (T) et la partie de ( C ) qui représente la fonction f dans l’intervalle

]-1, 2].
PourA2 seulement
5°) Pour x  ] -1, + [, on pose g(x) = (x + 1)ln(x + 1)

a) Calculer la dérivée g'(x) de g et vérifier que
𝑥2
𝑓(𝑥 ) = + 𝑥 − 1 + 𝑔′(𝑥)
2
b) Calculer en cm2, l’aire A du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des
abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et x = l.
SESSION 2007
A
Epreuve de : MATHEMATIQUES
SERIE :A Durée : 2 Heures 15 minutes
Code Matière : 009 Coefficients : А1 = 1 А2 = 3
EXERCICE I (5 points)
Soient (Un) nlN et (Vn) nIN deux suites numériques définies respectivement par :
UO = 0
5 Un − 1
Un+1 = 2 − nℕ et Vn = , nℕ
Un − 4 Un + 3
1- Calculer U1, V0 et V1 (0,25x3pts)

a- Monter que (Vn) nIN est une suite géométrique de raison q = 1/5 (1 pt)
b- Exprimer Vn en fonction de n. (1 pt)
2- a- Exprimer Un en fonction de Vn (1 pt)

b- En déduire l’expression de Un en fonction de n. (0,5pt)
c- calculer lim Un . Que peut-on en conclure (0,5+0,25pt)
n→+∞
EXERCICE II (5 points)
Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher, portant tes lettres A, B et C et dont la répartition
suivant la couleur est donnée par le tableau ci-dessous :
Lettres
B A C
Couleurs
Rouges 1 1 3
Vertes 0 1 1
Noires 0 1 2
Chaque boule a la même probabilité d'être tirée.

1er- On tire au hasard et simultanément trois boutes du sac.
a- Déterminer te nombre de tirages possibles. (0,5pt)
b- Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
E1 : « obtenir trois boutes de même couleur ». (1 pt)
Е2 : « obtenir exactement deux boules portant la même lettre ». (1 pt)
Е3 : « obtenir trois boutes de même couleur et portant la même lettre » (0,5pt)
2e- On tire successivement trois boules du sac, sans remettre dans te sac la boule qui a été tirée.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
F1 : « obtenir tes lettres B, A et C dans cet ordre ». (1 pt)
F2 : « obtenir au plus deux boules noires ». (1 pt)
N.B : Mettre tes résultats sous-forme de fractions irréductibles)

On considère la fonction numérique f définie sur ]0 ; +] par : f(x) = x - 2 ln(x)

On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé R = (O,𝑖⃗, 𝑗⃗ ) d'unité
graphique 2cm
In(x)
1) a) Vérifier que f(x) = x(1-2 x
) pour tout réel strictement positif x.
𝑙𝑛(𝑥)
b) Sachant que lim = 0 ; déterminer lim 𝑓(𝑥).
𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→+∞
c) On sait que lim 𝑓(𝑥) = +. Que signifie ce résultat pour la courte (C) ?
𝑥→0
𝑥−2
2) a) Justifier que pour tout réel strictement positif : 𝑓′(𝑥) = où f' est la fonction dérivée de f.
𝑥
𝑥−2
b) Etudier signe de .
𝑥
c) Dresser le tableau de variation de f.
3) a) Expliquer, pourquoi la courbe (C) passe par les points A(1;1), В(2;2 - 2In(2)) et C(e;e-2).
b) Déterminer une équation de la tangente (T) à ta courte (C) en x 0 = 2
4) a) Placer, dans le repère R, les points A, B et C. (On prête : In(2) = 0,7 et e = 2,7)
b) Tracer, dans le repère R , (T) et (C).
Pour A2 seulement (indépendante des questions précédentes).
14𝑥
g est la fonction numérique définie sur R par : 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 +3
5) On désigne par (Г) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,𝑖⃗, 𝑗⃗ ) tel que || 𝑖⃗ || =
1,5cm et || 𝑗⃗ || = 2cm.
𝑢′(𝑥)
a) Vérifier que, pour tout réel x, on a : g(x) = 𝑔(𝑥) = 7. 𝑢(𝑥) où u' est la fonction dérivée de la
fonction numérique и définie sur IR par : u(x) = x2+3. En déduire une primitive G sur R de ta
fonction g.
b) Calculer, en cm2, l'aire exacte A du domaine plan délimité par la courbe (Г), l'axe des
abscisses et les droites d’équations 𝑥 = −√3 et 𝑥 = 0.
DIRECTION DE LA BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL
FORMATION
A SERIE :A
Code Matière : 009
Epreuve de
Durée
Coefficients
MATHEMATIQUES
2 Heures 15 minutes
А1 = 1 А2 = 3

Exercice 1
1- (Un)nIN est la suite arithmétique définie par U 23 = 71 et U75 = 227.

a- Calculer la somme S définie par S = U23+U24+...+U75.
b- Calculer la raison de la suite (Un)nIN.
c- Exprimer Un en fonction de n.
5 𝑛
2- (Vn)nIN est la suite numérique définie, pour tout entier naturel n, par 𝑉𝑛 = 2 (8)
a- Exprimer Vn+1 en fonction de V n. En déduire la nature et la raison de (Vn)nIN.
b- Calculer la limite de la suite (Vn)nIN.
Exercice 2
Le tableau suivant donne le nombre de téléphones mobiles, pendant huit années successives, par un distributeur agrée :
Rang de l’année (xi) 1 2 3 4 5 6 7 8

Nombre de téléphones vendus (yi) 26000 28000 50000 65000 81000 83000 120000 125000
1- Représenter le nuage de points {M i} 1≤i≤8, associé à cette série statistique.

Echelles : Axe des abscisses : 1cm représente une année.
Axe des ordonnées : 1cm représente 10000 téléphones vendus.
2- On partage le nuage de points en deux parties d’effectifs égaux {M 1, M2, M3, M4} et {M5, М6, М7, М8}.
a- Calculer les coordonnées de G 1 et G2, points moyens respectifs, des nuages partiels ainsi obtenus.
b- Représenter la droite (G 1G2) Ecrire une équation cartésienne de cette droite.
3- En supposant que l’évolution du nombre de téléphones vendus par ce distributeur gardera la même tendance,
déterminer ce nombre pour la dixième année, à l’aide de la droite d’ajustement (G 1G2) de cette série.
PROBLEME
1
f est une fonction numérique définie sur ]0;+[ par 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 𝑙𝑛 (𝑥 ). On note (C) la courbe représentative de f dans un plan
(P) muni d’un repère orthonormé (O,𝑖⃗, 𝑗.⃗) d’unité 2cm.
1- a- Calculer lim+ 𝑓(𝑥) . Interpréter graphiquement ce résultat.
𝑥→0
ln⁡(𝑥)
b- On rappelle que lim+ = 0. En déduire lim 𝑓(𝑥).
𝑥→0 𝑥 𝑥→+
2- a- Montrer que pour tout réel x de ]0;+ [; f '(x) = (O,𝑖⃗, 𝑗.⃗), f' est la fonction dérivée de f.
b- Résoudre, dans ]0; +  [, l’équation (1 − 𝑙𝑛𝑥 ) = 0.
c- Dresser ensuite le tableau de variation de f sur ]0;+[.
3- a- Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point A d’abscisse x0 = 1.

b- Tracer, uniquement sur l'intervalle ]0;e[, la courbe (C), son asymptote verticale et ses deux tangentes aux
points A et B (e ; 1/e) dans le même repère (O,𝑖⃗, 𝑗.⃗).
On prendra e = 2,7 et 1/e = 0,4 ; uniquement pour construire.
1
4- F est la fonction numérique définie par 𝐹 (𝑥 ) = 2 (𝑙𝑛𝑥)2 + 3⁡pour tout réel x de ]0 ; +  [
a- Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +  [.
b- En déduire l’aire, en cm 2, du domaine plan délimité par la courbe (C), Faire des abscisses et des droites
d’équations x = 1 et x = e.
Epreuve de MATHEMATIQUES
A SERIE :A
Code Matière : 009
Durée
Coefficients
2 Heures 15 minutes
A1= 1 А2 = 3

Exercice 1
1- Soit (Un) nIN définie par : pour tout nIN, Un=en.
a) Calculer la valeur exacte de U0 et celle de U2.
b) Démontrer que pour tout nIN ; Un+1=e.Un. En déduire la nature de la suite (Un) nIN.
2- Soit (Vn) nIN la suite définie par ; pour tout nN, Vn=ln (Un), où ln désigne la fonction logarithme
népérien.
a- Démontrer que (Vn) nIN est une suite arithmétique. Préciser la raison et le 1 èr terme.
b- Calculer S=V0+V1+ ........ +V121.
Exercice 2 NB : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher dont :
2 vertes numérotées : 1 ; 1
3 rouges numérotées : 1 ; 2 ; 3
4 blanches numérotées : 1 ; 2 ; 3 ; 4
1- On tire simultanément au hasard 3 boules de l’urne. Calculer la probabilité de chacun des
événements suivants :
A : « Obtenir trois boules de couleurs différentes »
B : « Obtenir trois boules dont la somme des numéros est égale à 6 »
2- On tire successivement au hasard et sans remise 3 boules de l’urne.
a) Démontrer qu’il y a 504 cas possibles.
A : « Obtenir trois boules de même couleur »
B : « Obtenir une boule rouge, une boule verte et une boule blanche »
PROBLEME
Soit f la fonction définie par : pour tout xIR, f(x) = -x + 3 + ex. On appelle (C) sa courbe
représentative dans un repère orthonormé (O,𝑖⃗., 𝑗⃗ ) d’unité 1cm.
1- Calculer lim 𝑓(𝑥)
𝑛→+∞
3 𝑒𝑥
2- a- Démontrer que pour tout xIR. f(x)=x 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥(−1 + 𝑥 + )
𝑥
𝑒𝑥
b- Sachant que lim = +∞, calculer lim 𝑓(𝑥).
𝑛→+∞ 𝑥 𝑛→+∞
c- Démontrer que la droite (Δ) d’équation y = -x+3 est une asymptote oblique pour la courbe (C)
au voisinage de - .
3- a- Résoudre dans IR l'équation ex - 1 = 0.
b- Démontrer que pour tout x de IR, f’(x) = -1 + ex.
c- Etudier le signe de f’ (x) sur IR.
d- Dresser le tableau de variations de f.
4- a- Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse x0=0.
b- Tracer dans le même repère la droite (Δ), la tangente (T) et la courbe (C).
𝑥2
5- Soit F la fonction définie par pour tout xIR, F(x) = − 2 + 3𝑥 + 𝑒 𝑥
a- Démontrer que F est une primitive de f sur IR.
b- Calculer, en cm2, la valeur exacte de l’air A du domaine plan délimité par la courbe (C),
les droites d’équations x = 0 et x = 1 et l’axe des abscisses.
MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL
SECRETARIAT GENERAL
DIRECTION GENERALE DE L'ENSEIGNEMENT SESSION 2010
SUPERIEUR
DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
PUBLIC et PRIVE
Service d'Appui Au Baccalauréat
SERIE :A Epreuve de MATHEMATIQUES
A Code Matière : 009

Durée
Coefficients
2 Heures 15 minutes
A1= 1 А2 = 3
***************************
NB : - Les deux exercices et le problème sont obligatoires.

- Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.
Exercice1 Statistique (5 points)
Les notes obtenues par dix candidats aux épreuves de natation et de danse d’un concours sont indiquées
dans le tableau suivant :
Natation (X) 3 5 6 6 9 9 12 12 14 14
Danse (Y) 5 8 8 10 10 13 13 16 16 17
1) Représenter le nuage de points associé à cette série statistique (on utilisera le papier millimétré ci -
joint). 1,25
2) On partage le nuage de points en deux parties d’effectifs égaux.
a) Calculer les coordonnées de G1 et G2, points moyens respectifs des nuages partiels ainsi
obtenus. 0,75+0,75
b) Placer les points G1 et G2. Tracer la droite (G1G2). 0,25+0.25
c) Déterminer une équation de la droite (G 1G2). 1
3) Estimer, à l’aide de la droite (G 1G2), la note de natation qu’aura un candidat qui avait 10 ,5 en danse.
0,75
Exercice 2 Suite numérique (5 points)
𝑛−1
1) (U𝑛 )𝑛 ∈ N est la suite numérique définie par : U𝑛 = .
𝑛
a) Calculer les trois premiers termes de (U𝑛 ). 1,5
b) Exprimer U3𝑛 +1 en fonction de 𝑛. 0,5
2) (V𝑛 )𝑛 ∈ IN est une suite arithmétique telle que V75 = V12 + 504.
a) Vérifier que la raison de (V𝑛 ) est égale à 8. 1
b) Sachant que V32 = 176, calculer la somme S définie par : S = V12 + V13 + ⋯ + V75 . 1,5
c) Prouver que V𝑛 est strictement croissante. 0,5
On considère la fonction numérique f définie sur ]0 + ∞[ par : 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 − 2ln (𝑥).

On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé =d’unité graphique 2cm.
A1 ; A2
ln (𝑥)
1) a) Vérifier que 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 (1 − 2 ) pour tout réel strictement positif x. 0.5 ; 0.5
𝑥
ln (𝑥)
b) Sachant que lim = 0 ; déterminer lim 𝑓(𝑥). 1 ; 0.75
𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→+∞
c) On sait quelim 𝑓(𝑥) = +∞. Que signifie ce résultat pour la courbe (C). 0,5 ; 0,5
𝑥→0
0<𝑥
𝑥−2
2) a) Justifier que pour tout réel strictement positif : 𝑓′(𝑥) = où 𝑓′ est la fonction dérivée de f.
𝑥
0.5 ; 0.5
𝑥−2
b) Etudier signe de . 1 ; 0,75
𝑥
c) Dresser le tableau de variation de 𝑓 . 1,5 ; 1,25
3) a) Expliquer, pourquoi la courbe (C) passe par les points A(1;1) ; B(2;2-2ln(2)) ; C(e;e-2). 1 0,75
b) Déterminer une équation de la tangente(T) à la courbe (C) au point B. 1 ; 0,75
4) a) Placer, dans le repère R, les points A, B et C. (On prend :ln2 = 0,7 et e = 2,7) 1 ; 0,75
b) Tracer ,dans le repère R, (T) et (C). 2 ; 1,5
Pour A2 seulement (indépendante des questions précédentes).
14𝑥
5) g est la fonction numérique définie sur IR par : 𝑔 (𝑥 ) = .
𝑥 2+3
On désigne par (  ) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗) tel que ‖i⃗‖ = 1,5cm
et ‖j⃗‖ = 2cm.
𝑢′(𝑥)
a) Vérifier que, pour tout réel 𝑥 , on a : 𝑔(𝑥 ) = 7 où 𝑢′ est la fonction dérivée de la fonction
𝑢(𝑥)
numérique 𝑢 définie sur IR par : 𝑢 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 3.En déduire une primitive G sur IR de la fonction
g. 0,5 + 0,5
b) Calculer, en cm , l’aire exacte A du domaine plan délimité par la courbe ( ), l’axe des abscisses
2
et les droite d’équations 𝑥 = − √3 et 𝑥 = 0. 1

SECRETARIAT GENERAL
SUPERIEUR
PUBLIC et PRIVE
A Code Matière : 009 Durée
Coefficients
2 Heures 15 minutes
A1= 1 А2 = 3
***************************
N.B : - Les DEUX (02) exercices et le Problème sont obligatoires.
- Machine à calculer scientifique NON programmable autorisée.
On considère les suites numériques (U𝑛 ) 𝑛 ∈ ℕ et (V𝑛 ) 𝑛 ∈ ℕ définies respectivement par :
U0 = 2
{ 1
U𝑛+1 = (U + 1) et V𝑛 = U𝑛 − 1
2 𝑛
1) Calculer U1 ,V0 et V1 (0,25 pt x3)
1
2) a) Montrer que (V𝑛 ) 𝑛 ∈ ℕ est une suite géométrique de raison 𝑞 = . (1pt)
2
b) Exprimer V𝑛 puis Un en fonction de 𝑛. (0,5pt+0,5pt)
3) Soit la suite (W𝑛 ) 𝑛 ∈ ℕ définie par : W𝑛 = 𝑙𝑛V𝑛 .
a) Montrer que (Wn) est une suite arithmétique dont on précisera sa raison et
son premier terme. (1pt)
b) Ecrire Wn en fonction de 𝑛 et calculer lim W𝑛 . (1pt + 0,25pt)
𝑛→+∞
Une boîte contient 10 jetons indiscernables au toucher dont 3 jaunes, 2 rouges et 5 blancs.
1) On tire au hasard et simultanément 3 jetons de la boîte.
a) Déterminer le nombre de cas possibles. (1pt)
A : « Obtenir trois jetons de même couleur ». (1pt)
B : « Parmi les trois jetons tirés, deux et deux seulement sont de même couleur ». (1pt)
2) On tire au hasard et successivement sans remise 3 jetons de la boîte.
C : « Obtenir dans l’ordre un jeton rouge et deux jetons blancs ». (1pt)
D : « Les deux jetons rouges sont tirés ». (1pt)
NB : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.
Problème (10 points)

A1 A2
𝑥( 𝑥
Soit 𝑓 la fonction numérique définie sur IR par : 𝑓 (𝑥 ) = 𝑒 𝑒 − 2) − 3
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0 ;𝑖⃗, 𝑗⃗) d’unité 1cm.
1) Vérifier que lim 𝑓 (𝑥 ) = −3. Interpréter géométriquement ce résultat. (1+0,5pt) (0,5pt)
𝑥→− ∞
2) a) Calculer lim 𝑓(𝑥 ). (1pt) (0,5pt)

𝑥→+ ∞
𝑓(𝑥)
b) Sachant que lim = +∞. Que peut- on dire pour la courbe (C) ? (0,75pt) (0,5pt)
𝑥→+ ∞ 𝑥
3) Déterminer les coordonnées du point A , intersection de la courbe ( C ) avec
l’axe des abscisses (𝑥 ′ 𝑜 𝑥 ). (0,75pt) (0,75pt)
4) a) Vérifier que pour tout réel x de IR, 𝑓′(𝑥 ) = 2𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 − 1) où est la fonction

dérivée de 𝑓 . (1pt) (1pt)
b) Etudier le sens de variation de 𝑓 et dresser son tableau de variation sur IR. (1+0,5pt) (1+0,5pt)
5) Ecrire une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 𝑥0 = ln 3. (1pt) (1pt)
15
6) Montrer que le point I(− ln 2 : − ) est un point d’inflexion pour la courbe ( C ). (1pt) (0,75pt)
4
7) Tracer (T) et ( C ) dans le même repère. (0,5+1pt) 0,5+1pt)
Pour A2 seulement
1
8) Soit 𝐹 la fonction définie sur IR par : 𝐹 (𝑥 ) = 𝑒 2𝑥 − 2𝑒 𝑥 − 3𝑥
2
a) Prouver que 𝐹 est une primitive de sur IR. (0,00pt) (1pt)
b) Calculer, en cm2, l’aire A du domaine plan délimité par la courbe (C),
l’axe (𝑥 ′ 𝑜𝑥 ) et les droites d’équations respectives : 𝑥 = 0 et 𝑥 = ln 3. (0,00pt) (1pt)
On donne : ln 2 = 0,7 et ln 3 = 1,1

SECRETARIAT GENERAL
SUPERIEUR
PUBLIC et PRIVE
Coefficients A1= 1 А2 = 3

EXERCICE 1 : (05 points)
1- Soit ( Un )n une suite arithmétique définie par son premier terme U n = −1 et sa raison r = 3.
a) Exprimer U n en fonction de n. (0,5 pt)
b) Déterminer l’entier nature n si U n = 59 . (0,5 pt)
c) Calculer la somme S tel que S = U0 + U1 + ...U 20 . (0,5 pt)
2- On considère la suite ( Vn )n définie par : Vn =e3n-1 .

a) Calculer V0 et V1 (0,5 pt+0,5 pt)
b) Démontrer que ( Vn )n est une suite géométrique de raison q= e3 . (1 pt)

c) Exprimer en fonction de n, la somme Sn = V0 + V1 + ...Vn-2 . (1 pt)
Un porte-monnaie contient 12 billets dont 5 billets de 500 Ar, 4 billets de 1.000 Ar et 3 billets de
2.000 Ar.
1- On prend successivement au hasard et sans remise 3 billets du porte-monnaie.
a) Vérifier qu’il y a 1320 cas possibles. (1 pt)
b) Calculer la probabilité d’obtenir :
A : « trois billets de même valeur » ; (1 pt)
B : « un montant total de 4.500 Ar ». (1 pt)
2- On prend au hasard et simultanément 2 billets du porte-monnaie.
Calculer la probabilité d’avoir :
C : « exactement deux billets de 500 Ar » ; (1 pt)
D : « au moins un billet de 1.000 Ar ». (1 pt)
/…
PROBLEME : (10 pmoints)
On considère la fonction numérique f définie sur ]0; +[ par :

f ( x ) = 2 x − 1 − 2 ln x
On note par ( C ) sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère
( )
orthonormé 0, i, j d’unité 2cm.
A1 A2
1) Vérifier que lim f ( x ) = + . Que peut-on en conclure ? (0,75 pt + 0,5 pt) (0,75 pt + 0,5 pt)
x→0−
 1 ln x 
2) a) Montrer que pour tout x ]0; +[ ; f ( x ) = x  2 − −2 . (0,75 pt) (0,75 pt)
 x x 
ln x
b) On donne lim = 0 , Calculer lim f ( x ) . (0,75 pt) (0,5 pt)
x→+ x x→+
f ( x)
c) Sachant que lim = 2 et lim  f ( x ) − 2 x  = − .
x→+ x x→+
Interpréter graphiquement la courbe ( C ) et la droite (D) : y = 2 x . (0,5 pt) (0,5 pt)
2x − 2
3) a) Damontrer que pour tout x ]0 ; +[ , f ' ( x ) = où f ' est la
x
fonction dérivée de f . (1 pt) (0,75 pt)
b) Etudier le signe de f ' ( x ) sur ]0 ; +[ . (1 pt) (0,75 pt)
c) Dresse le tableau de variation de f . (1 pt) (1 pt)
4) a) Calculer à 10−1 près ; f ( 2 ) , f ( 3 ) et f ( e ) . (0,5 pt x 3) (0,25 pt x 3)
(On donne ln 2 0,7 ; ln 3 1,1 et e 2, 7 ).
b) Ecrire une équation de la tangente ( T ) à ( C ) au point d’abscisse x0 = 2 . (1 pt) (0,75 pt)
c) Tracer (T), (D) et ( C ) dans le même repère. (1,5 pt) (1,5 pt)
Pour A2 seulement
Soit F la fonction définie sur ]0 ; +[ par : F ( x ) = x + x − 2 x ln x .
2
5)
a) Calculer F ' ( x ) et montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +[ . (1 pt)
b) Calculer, en cm 2 , l’aire A du domaine plan limité par la courbe ( C ), l’axe des

abscisses ( x '0 x ) et les droites d’équations respectives x = 1 et x = e . (1 pt)
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NB : - Les deux (02) exercices et le problème sont obligatoires.

Exercice 1 : (5 pts)
U0 = 4

1- On considère la suite numérique (U n )n définie par  3
 U n+1 = 4 U n − 1 ; n 
Calculer U1 et U 2 . (1 pt)
2- Etant donnée la suite géométrique (Vn )n à termes positifs, de premier terme V0 , de raison
3 27
q= et tel que V3 = .
4 8
a- Justifier que V0 = 8 . (1 pt)
b- Exprimer Vn en fonction de n. (1 pt)
c- Déterminer lim (Vn + 3) . (0,5 pt)
n→+
  3 n 
3- Soit (Wn )n une suite arithmétique de terme général Wn = ln  8     et de premier terme
 4 
 
W0 = ln8 .
Déterminer, en fonction de ln2et de ln3, la somme : S = W0 + W1 + ... + W5 . (1,5 pt)
Exercice 2 : (5 pts)
Une urne contient 11 boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à 11 et de couleur uniforme
rouge ou blanche. On sait qu'il y a :
- 3 boules rouges portant chacune un numéro pair.
- 7 boules blanches dont 5 portent chacune un numéro impair.
1- Après avoir reproduit le tableau ci-dessous, complétez-le : (1 pt)
PORTANT PORTANT
Boules TOTAL
NUMERO PAIR NUMERO IMPAIR
Rouges 3
Blanches 5 7
TOTAL 11
2- Un enfant tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A : « Obtenir deux boules portant chacune un numéro impair ». (1 pt)
B : « Obtenir deux boules rouges et portant chacune un numéro pair ». (1 pt)
3- Le contenu de l’urne reste inchangé. L’enfant tire successivement et sans remise trois boules
de l’urne.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
C : « Avoir exactement et successivement deux boules rouges». (1 pt)
D :« Avoir deux boules blanches portant chacune un numéro impair et deux seulement ». (1 pt)
PROBLEME (10 pts) A1 ; A2

x
4e
Soit f la fonction numérique définie sur  0; + par : f ( x ) = . On note par (C) sa courbe
ex +1
représentative dans un repère orthonormé d’unité graphique 1cm.
 1 
1- a) Vérifier que, pour tout x  0 , f ( x ) = 4 1 − x . (1 pt) ; (0,5 pt)
 e +1 
b) En déduire lim f ( x ) . (0,75 pt) ; (0,5 pt)
x→+
c) Interpréter graphiquement ce résultat. (0,5 pt) ; (0,25 pt)
x
4e
2- a) Prouver que, pour tout x  0 , f ' ( x ) = où f ' désigne la fonction
( e + 1)
2
x
dérivée première de f. (1 pt) ; (1 pt)

b) Après avoir étudié le sens de variation de f, dresser son tableau de variation. (1,5 pt) ; (1 pt)
3- a) Calculer à 10−2 près : f ( 0 ) ; f (1) ; f ( 2 ) . (0,75 pt); (0,75 pt)
b) Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse x0 = 0 . (1 pt) ; (1 pt)
4- T racer (T) et (C), avec son asymptote, dans un même repère. (1,5 pt) ; (1,5 pt)
5- Soit F la fonction définie sur  0; + par F ( x ) = 4ln e x + 1 . ( )
U'
a) On rappelle que ( ln U ) ' = . Démontrer que F est une primitive de f. (1 pt) ; (0,5 pt)
U
b) En déduire, en cm2 et à 10−2 près, l’aire A du domaine plan délimité par :
la courbe (C), l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 2 . (1 pt) ; (1 pt)
On donne : e 2, 7 ; e 2
(
7,38 ; ln e + 1 2
) 2,12 ; ln 2 0,7
POUR A2 SEULEMENT
4e x
6- Soit G la fonction définie sur par G ( x ) = . On note par (  ) sa courbe représentative.
ex +1
a) Démontrer que, pour tout réel x, G ( − x ) + G ( x ) = 4 . Que signifie ce résultat
pour la courbe (  )? (1 pt)
b) Tracer, à partir de la courbe (C), la courbe (  ) dans le même repère. (1 pt)
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A
Epreuve de MATHEMATIQUES
SERIE :A Durée 2 Heures 15 minutes
Code Matière : 009
NB : - Les deux (02) exercices et le problème sont obligatoires.

- L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
On considère la suite (U n )n définie par son premier terme U 0 = −4 et par la relation de
1
récurrence : U n+1 = U n − 4 .
3
1) Calculer U1 et U2. (0,5 pt)
2) Soit (Vn ) la suite définie par Vn = U n + 6 pour tout n  .
a) Démontrer que (Vn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison q et le premier
terme V0. (1 pt)
b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n. (1 pt)
3) a) Exprimer en fonction de n, les sommes suivantes :
Sn = V0 + V1 + V2 + ...... + Vn (1 pt)
et S 'n = U 0 + U1 + U 2 + ...... + U n (1 pt)
S 'n
b) Calculer lim . (0,5pt)
n→+ n + 1
L’évolution de la production rizicole yi en tonnes d’un Petit Périmètre Irrigué (PPI) durant
les six années est représentée par le tableau suivant :
ANNEE 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Rang de l’année xi 1 2 3 4 5 6
Production en tonnes yi 65 70 63 68 76 81
1) Construire le nuage des points associé à la série ( xi ; yi ) .

Sur l’axe des abscisses : 1 cm pour unité.
Sur l’axe des ordonnées : 60 à l’origine et 1 cm pour 5 tonnes. (1 pt)
2) Calculer les coordonnées du point moyen G. (0,5 pt)
3) En utilisant la méthode de Mayer, déterminer une équation de la droite d’ajustement. (1,5 pts)
4) Tracer cette droite. (0,5 pt)
5) Déterminer graphiquement la production en tonnes du PPI en 2018. Vérifier le résultat à
l’aide d’un calcul. (1,5 pts)
Soit f la fonction définie sur par : f ( x ) = 1 − 2 x + e x . On note par (C) sa courbe représentative
(
dans un repère orthonormé O, i, j d’unité 1 cm. ) (A1 ; А2)
1) a) Calculer lim f ( x ) . (0,5pt ; 0,5pt)

x→−
1 ex 
b) Vérifier que pour tout x  : f ( x) = x  − 2 +  (0,5pt ; 0,5pt)
x x 

c) Sachant que , calculer lim f ( x ) . (0,5pt ; 0,5pt)
x→+
2) a) Calculer f ' ( x ) . (1,5pts ; 1pt)

b) Dresser le tableau de variation de f . (1,5pts ; 1,5pts)
3) a) Déterminer les coordonnées du point A, intersection de (C) avec l’axe ( y ' Oy ) . (0,5pt ; 0,5pt)
b) Ecrire une équation de la tangente (T) à (C) en A. (1pt ; 1pt)
4) Calculer lim  f ( x ) − ( −2 x + 1)  . Que signifie ce résultat pour la courbe (C) ? (1,5pts ; 1pt)
x→−
5) Calculer la valeur exacte de f (1) et celle de f ( 2 ) . (0,5pt ; 0,5pt)

6) Tracer (T) et (C) sur l’intervalle ] − ; 2] . (2pts ; 1,5pts)
Pour А2 seulement :
7) a) Calculer une primitive de f sur . ; (1pt)

b) En déduire l’aire géométrique en cm2, du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des
abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = ln 2 . ; (0,5pt)
2
On donne ln 2 0,7 ; e 7, 4 ; e 2, 7
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
On considère la suite arithmétique ( Un )n telle que :

U1 + 2U3 − U5 = 2 et U 2 = −1
1) a) Exprimer U1 , U3 et U5 en fonction de U 2 et de la raison r. (0,25 pt + 0,25 pt + 0,25 pt)
b) Calculer r. En déduire le sens de variation de ( U n ) . (0,5 pt + 0,25 pt)
2) Exprimer U n en fonction de n. Calculer U 25 . (0,5 pt + 0,5 pt)
3) Calculer la somme S = U 2 + U3 + ... + U 25 . (0,75 pt)
3−2n
4) On pose Vn = e pour tout n  .
a) Montrer que ( Vn ) est une suite géométrique dont on précisera la
raison et son premier terme. (0,75+0,25+0,25 pt)
b) Exprimer la somme Sn = V0 + V1 + ... + Vn en fonction de n. (0,5 pt)
On dispose de huit plaquettes indiscernables au toucher. Sur chacune d’elles est inscrite une
lettre du mot « SCIENCES. ».
1) La première épreuve consiste à tirer simultanément quatre plaquettes.

a) Déterminer le nombre de cas possibles. (0,5 pt)
b) Calculer la probabilité d’obtenir :
A : « Aucune lettre E ». (1 pt)
B : « Au plus une consonne ». (1 pt)
2) La deuxième épreuve consiste à tirer une à une et sans remise trois plaquettes.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
C : « Avoir au moins une voyelle ». (0,5 pt + 1 pt)
D : « Avoir le mot ENS ». (1 pt)

PROBLEME : (10 pmoints) A1 A2
Soit f la fonction numérique définie sur 0; + par f ( x ) = ( ln x ) − 1 .

2
On note par ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j )

d’unité 2 cm.
1) a) Calculer la limite de f en 0+ . (0,5 pt ;0,5 pt)
Interpréter graphiquement le résultat. (0,5 pt ;0,5 pt)
b) Calculer la limte de f en + . (0,5 pt ;0,5 pt)
f ( x)
2) On admet que lim = 0.
x→+ x
Interpréter graphiquement ce résultat. (0,5 pt ; 0,25 pt)
2ln x
3) a) Montrer que f ' ( x ) = où f ' est la fonction dérivée de f . (1 pt ; 0,75 pt)
x
b) Etudier le signe de f ' ( x ) , puis dresser le tableau de variation de f (1 pt ; 1 pt)
4) a) Vérifier que pour tout x  0; + ; f ( x ) = ( ln x − 1)( ln x + 1) . (0,5 pt ; 0,5 pt)
b) Résoudre f ( x ) = 0 dans 0; + . En déduire les coordonnées des
points A et B intersection de la courbe ( C ) avec l’axe des abscisses
( xA xB ) . (0,5 pt +0,5 pt ; (0,5 pt + 0,25 pt + 0,5 pt) + 0,25)
5) a) Montrer que le point B est un point d’inflexion pour la
courbe ( C ). (1 pt ; 0,5 pt) : (0,5 pt ; 0,5 pt)
6) Tracer ( C ) et (T) dans le même repère. (1,25 pt ; 1 pt)
Pour A2 seulement
7) Soit F la fonction définie sur ]0 ; +[ par
F ( x ) = x ( ln x ) − 2ln x + 2 − x

2
 
a) Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +[ . (1 pt)
b) Calculer en cm 2 l’aire du domaine, plan limité par ( C ), l’axe des

1
abscisses et les droites d’équations respectives x = et x = e . (1 pt)
e
1 −1
On donne =e 0, 4 ; e 2, 7
e
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
Soit ( Un )n une suite arithmétique définie par son premier terme U n = 1 et sa raison r = -2.
1) Exprimer U n en fonction de n. (0,75 pt)

2) a) Déterminer l’entier nature n tel que U n = −99 . (0,75 pt)
b) Soit S = U0 + U1 + ........... + U50 . Prouver que S = -2499 (0,75 pt)
-U
3) Soit ( Vn )n la suite définie par : pour tout n  ,Vn = e n .
a) Démontrer que ( Vn )n est une suite géométrique de raison q= e2 . (0,75 pt)
b) Exprimer Un en fonction de Vn . la somme lim Un . (2 pt)

n→+
Une boîte contient 10 crayons indiscernables au toucher dont

3 rouges numérotés : 1 ; 2 ; 3
3 blancs numérotés : 1 ; 1 ; 2
4 verts numérotés : 1 ; 2 ; 4 ; 4.
Chaque crayon a la même probabilité d’être tiré.
1) Un enfant prend, au hasard et d’un seul coup, 3 crayons de la boîte.

Calculer la probabilité de chaôun des événements suivants :
A : « Obtenir 3 crayons de couleurs différentes » (1 pt)
B : « Obtenir exactement 2 crayons blancs » (1 pt)
2) Un autre enfant prend au hasard, un à un avec remise, 3 crayons de la boîte.

C : « Obtenir, dans l’ordre, un crayon rouge et deux crayons verts » (1 pt)
D : « Obtenir 3 crayons dont la somme des numéros est égale à 5 » (1 pt)
E : « Obtenir 3 crayons dont le produit des numéros est égal à 8 ». (1 pt)

PROBLEME : (10 pmoints)
Soit f la fonction numérique d’une dérivable réelle x définie par : f ( x ) = x − ln x où ln désigne

la fonction logarithme népérien.
On note par ( C ) sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère orthonormé (O, i, j )
d’unité 1 cm.
A1 A2
1) Déterminer l’ensemble de définition Df de f . (0,5 pt ;0,25 pt)
 ln x 
2) a) Vérifier que pour tout x 0; f ( x ) = x 1 − . (0,5 pt ; 0,25 pt)
 x 
ln x
b) On admet que lim = 0 . Calculer lim f ( x ) . (0,5 pt ; 0,5 pt)
x→+ x x→+
c) Calculer lim f ( x ) . Qu’en déduit-on pour la courbe ( C ) ? (1 pt ; 0,5 pt)
x→0+
x −1
3) a) Démontrer que pour tout x 0, f ' ( x ) = , ( f ' est la fonction
x
dérivée première de f ) (1 pt ; 0,5 pt)
b) Etudier le sens de variation de f sur 0; + puis dresser son
tableau de variations. (2,5 pt ; 2 pt)
4) Reproduire puis compléter le tableau suivant : (2 pt ; 2 pt)
x 2 e 4 6
f ( x)
On donnera les résultats à 10−2 près.

5) Tracer la courbe ( C ). (2 pt ; 2 pt)
Pour A2 seulement
6) Soit F la fonction définie par : pour tout x 0.
x2
F ( x) = − x ln x + x .
2
a) Démontrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +[ . (0 pt ; 1 pt)
b) Calculer, en cm 2 et à 10-2 près, l’aire A du domaine plan limité par la courbe
( C ), l’axe ( x ' Ox ) et les droites d’équations x = 1 et x = e . (0 pt ; 1 pt)

(On donne ln 2 0, 69 ; ln 3 1,09 et e 2,71 ).
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

n
3
Pour tout entier naturel n, on pose U n =   et Vn = ln (U n ) .
4
1) a) Calculer U 0 , U1 , V0 et V1 . (0,25 pt x 4)
3
b) Montrer que ( U n ) est une suite géométrique de raison q = . (1 pt)
4
c) Calculer en fonction de n la somme Sn = U0 + U1 + ........... + U n (0,75 pt)
2) a) Vérifier que ( Vn ) est une suite arithmétique dont on précisera la raison. (1 pt)
b) En déduire la variation de la suite ( Vn ) . (0,25 pt)
3) Calculer lim Sn et lim Vn . (0,5 x 2 pt)
n→+ n→+

Le tableau suivant représente l’évolution des bénéfices par mois d’un marchand ( yi )
(en millions d’Ariary) où y6 est un nombre entier naturel.
Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin
Rang du mois ( xi ) 1 2 3 4 5 6
Bénéfice ( yi ) 32 34 36 41 42 y6
1) Calculer la valeur de y6 si la moyenne de la série ( yi ) est y = 39 . (1 pt)

2) Dans tout ce qui suit, on prendra y6 = 49 .
a) Représenter le nuage des points Mi ( xi , yi ) dans un repère orthogonal. (1 pt)
- Sur l’axe des abscisses : prendre 1cm comme unité.
- Sur l’axe des ordonnées “placer 30 à l’origine et prendre 1 cm pour
représenter 2 millions d’Ariary.
b) Déterminer les coordonnées du point moyen G. (1 pt)
c) Ecrire l’équation cartésienne de la droite d’ajustement linéaire ( G1G2 )
par la méthode de Mayer. (1 pt)
3) A l’aide de cette droite, estimer le bénéfice du marchand au mois de septembre. (1 pt)
PROBLEME : (10 pmoints) A1 - A2
ex
On considère la fonction f définie sur par : f ( x ) = +2.
ex +1
On note par ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j )
d’unité 2 cm.
1) Calculer la limite de lim f ( x ) . Interpréter graphiquement ce résultat. (0,75 pt ;0,75 pt)
x→−
1
2) a) Démontrer que pour tout réel x, f ( x ) = 3 − . (0,5 ; 0,5 pt)
e +1
x
b) En déduire lim f ( x ) . Que peut-on en conclure pour la courbe ( C ). (0,75 ;0,75pt)

x→+
ex
3) a) Vérifier que la fonction dérivée f ' ( x ) = . (1 ; 1 pt)
(e + 1)
x 2
b) Dresser le tableau de variation de f . (2 ; 1,5 pt)

 5
4) a) Montrer que le piont I  0;  est une centre de symétrie de la courbe ( ) C (1 pt ; 1 pt)
 2
b) Ecrire l’équation de la tangente (T) à la courbe ( C ) au point
d’apscisse x0 = 0 . (1 pt ; 1 pt)
5) Tracer la courbe ( C ) et (T) dans le même repère. (1,5 pt ; 1 pt)
Pour A2 seulement
6) Soit F la fonction définie sur (
par : F ( x ) = 2 x + ln e x + 1 . )
a) Calculer F ' ( x ) . Que peut-on en conclure ?. (1 pt)
b) Calculer en cm 2 l’aire géométrique A du domaine plan limité par la courbe

( C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et
x = ln 3 . (1 pt)
On donne ln 2 0,7 ; ln 3 1,1 ; e −1 0, 4 ; e 2, 7 ; e 2 7, 4
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MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
SECRETARIAT GENERAL
DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT
SUPERIEUR SESSION 2018
DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT
SUPERIEUR PUBLIC et PRIVE
Service d’Appui au Baccalauréat
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Série : A Epreuve de : MATHEMATIQUES

Durée : 02 h 15mn
Code matière : 009 Coefficient : A1 = 1; A2 = 3

NB : - Les deux exercices et le problème sont obligatoires.

1- Soit (Un) la suite arithmétique définie sur ℕ de raison 𝑟 et de premier terme 𝑈0.
a- Exprimer Un en fonction de 𝑈0, 𝑛 et 𝑟. (0,5pt)
b- Sachant que 𝑈0 = 1 et 𝑈4 + 𝑈7 = 20, calculer 𝑟 (0,75pt)
c- En déduire l’expression de 𝑈n enfonction de 𝑛. (0,75pt)
d- On pose Sn = 𝑈0 + 𝑈1 +……+𝑈n.
Montrer que Sn = 1 – n2 . En déduire S20. (0,75pt+0,5pt)
2- Soit (Vn) la suite numérique définie sur ℕ par : Vn = 𝑒 𝑈𝑛
a- Exprimer le produit Pn = V0 xV1 x….x Vn en fonction de Sn , puis en fonction de 𝑛. (0,75pt +0,5pt)
b- Calculer lim Pn . (0,5pt)
n
Un carton contient 12 livres.
Le tableau ci-dessous donne la répartition par série et par matière de ces livres :
Matières Mathématiques S.V.T Sciences Physiques Total

Séries
A 2 1 2 5
C 1 2 1 4
D 1 1 1 3
Total 4 4 4 12
Chaque livre a la même probabilité d’être tirée.
1- Un élève prend simultanément deux livres du carton.

E : « Obtenir exactement deux livres de Mathématiques ». (1pt)
F : « Obtenir exactement deux livres de même série ». (1pt)
/…
2- On remet le contenu du carton dans sa condition initiale.
Un autre élève prend, un à un et sans remise, trois livres du carton.
G : « Obtenir deux livres de série A aux deux premiers tirages et un livre de série C au dernier ». (1pt)
H : « Parmi les trois livres tirés, on obtient exactement deux livres de S.V.T ». (1pt)
I : « Obtenir au moins un livre de Sciences Physiques série A ». (1pt)
N.B : On donne les résultats sous forme de fractions irréductibles
PROBLÈME (10 points) A1 — A2

 x  ln x
On considère la fonction numérique f définie sur  0; par : f ( x)  .
x
On note par (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé direct (𝑂,𝑖,
⃗ 𝑗 ) d’unité 2cm.
1- Calculer lim f ( x) . Interpréter graphiquement le résultat. (1pt;0,75pt)
x0
2- a- Montrer que pour tout 𝓍 ⋴  0; , f (x) peut s’écrire : f ( x)  1 

ln x
. (0,5pt;0,25pt)
x
ln x
b- Sachant que lim  0 , déterminer lim f ( x) . Que peut-on en déduire
x x x
pour la courbe (C ) ? (1pt;0,75pt)
1  ln x
3- a- Montrer que, pour tout x ˃0, f ( x)  où f ' est la fonction dérivée de f . (1pt;0,75pt)
x2
b- Etudier le signe de 1 ln x sur l’intervalle  0; (0,5pt;0,5pt)
c- En déduire le tableau de variation de la fonction f . (2pts;1,5pt)
4- Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
x 1 1 e 4
(1pt;1pt)
e
f (x)
On donnera les résultats à 0,01 près.
5- a- Ecrire une équation de la tangente (T) à (C ) au point d’abscisse x0  1 . (1pt;0,75pt)

b- Tracer (T) et (C ). (2pts;1,75pts)
Pour A2 seulement
6- Soit F la fonction définie sur  0; par : F ( x)   x  1 (ln x) 2 .

2
a- Calculer F ' ( x) pour tout 𝓍 ∈  0; . Que peut-on en conclure ? (1pt)
b- Calculer, en cm2 et à 0,01 près, l’aire A du domaine plan délimité par la courbe (C ), l’axe des
abscisses et les droites d’équations respectives 𝓍 = 1 et 𝓍 = e (1pt)
1
On donne : ≃ 0,36 ; e ≃ 2,71 ; ln 2 ≃ 0,69
e


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1999 à 2018

A SERIE :A Epreuve de : MATHEMATIQUES

N.B. : - Les Deux Exercices et le Problème sont obligatoires.

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur 0,+ par : f ( x ) = − x + 1 − e− x .

b) Ecrire l’équation de la tangente (T ) à (C ) au point d’abscisse x0 = 0 . (1 point)

SERIE :A Epreuve de : MATHEMATIQUES

N.B : - Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes

Année 1994 1995 1996 1997 1998 1999

1. Calculer la moyenne de la série ( yi ) . (0,5 pt)

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] - 4 ; 2 [ par :

b. Dresser le tableau de variation de f. (1 pt)

A SERIE :A Epreuve de : MATHEMATIQUES

N. B. : Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.

1. On tire au hasard et simultanément 2 boules de l’urne.

3. a- Calculer la fonction dérivée f'(x) et étudier son signe. (1 pt)

𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 1−𝑥 1

c- T racer (T), (D) et (C). (2 pts)

6. Soit F la fonction définie sur IR par : 𝐹(𝑥 ) = (2 − 𝑥 )𝑒 𝑥 − 𝑥

droites d équations x = 0 et x = 1. (1 pt)

On donne : e-1 = 0,37 ; e-3 = 0,05 ; In5 = 1,61.

N. B : - Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.

On considère la suite numérique (Un)nIN définie par :

1) Calculer les quatre premiers termes de cette suite. (1 pt)

3) Pour tout nIN, on pose Vn = e2(1 – n).

Année 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

2) Calculer les coordonnées du point moyen G. (0,5 pt)

PROBLEME : (12 points)

4) Soit F la fonction définie par F(x) = 2x (ln x) 2 – 6x ln x + 6x.

SERIE : A Epreuve de : MATHEMATIQUES

N.B. : Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.

On choisit au hasard et simultanément trois élèves dé la classe.

repère orthonormé (O,⃗𝑖, 𝑗) d'unité 1 cm.

1. a) Déterminer l’ensemble de définition de f. (0,75 ; 0,50)

2. a) Calculer f '(x) (1,00 ; 0,75)

5. Tracer (C) (1,00 ; 1,00)

N. B : - Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.

N.B : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

2. On remet la trousse à sa condition initiale. Un autre élève tire au hasard et simultanément

2. Calculer lim 𝑓(𝑥) (0,5 ; 0,25)

4. Dresser le tableau de variation de f. (1 ; 1)

8. Soit la fonction G définie sur l’intervalle ] 0, +  [ par G(x) = x ln x – x

A SERIE :A Epreuve de : MATHEMATIQUES

N. B : - Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.

PROBLEME (10 points)

c/ Dresser le tableau de variation de f. (2,0 ; 1,5pt)

x = –1 et x = 0 et l’axe des abscisses (x’Ox). ( ; 1,0pt)

On donne : e–2 ≈ 0,16 e–1 ≈ 0,40 e ≈ 2,70

A SERIE :A Epreuve de MATHEMATIQUES

N. В : - Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.

Soient (Un)nIN et (Vn)nIN deux suites numériques définies respectivement par :

1°) Calculer U1 U2, V0, V1.

b) Donner l’expression de Vn puis Un en fonction de n.

3°) Pour n  1, on pose Sn = V0 + V1 + ... + Vn-1

Soit f la fonction numérique définie sur l’intervalle ] -1, +  [ par :

1) a) Calculer la limite à droite de f en -1. Interpréter graphiquement ce résultat.

2) a) Déterminer la fonction dérivée f’ de la fonction f.

3) a) Montrer que le point O est un point d’inflexion de la courbe (C).