LFACM FADILOU MBACKE SEPTEMBRE 2023

CELLULE PEDAGOGIQUE DE MATHS TS2

Série n°1 : FONCTIONS NUMERIQUES
Echauffement : 5  6 7 
1. f (x ) =  − 2
Calculer les limites suivantes : x + 1  2x + 1 x 
2. f (x ) = x + 10 − 2 − x
x3 + 6x − 7
1. lim
x + 1 − 3x + 1 − x2 + 9
f (x ) =
x→1
3.
2 x − 6 − 3x − x 2 x +1 + x + 2 − 3
2. lim−
x→3 x−3 𝑥−3
𝑓(𝑥) = √|𝑥+5| ; 𝑥 ≤ 0
4. {
x 2 + 2 x + 5x 𝑥 3 +3𝑥−7
3. lim+ 𝑓(𝑥) = ;𝑥 > 0
x→0 x 𝑥+3

cos x II. Etudier la continuité et la dérivabilité

4. lim de f en 𝑥0 :
x→ 1 − 2 x
1
2 √1+𝑥−1
𝑓(𝑥) = ;𝑥 ≠ 0
5. Calculer les limites, sachant que : 1. { √𝑥
𝑓(0) = 0
∀ 𝑥 ∈ [1; +∞[; 1 − 𝑥 2 ≤ 𝑥 2 𝜑(𝑥) ≤ 2 − 𝑥 2 2𝑥
𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2 − 𝑥 2+1 ; 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
2. { 𝑥0 = 1
a. lim 𝜑(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥 2 − 1 ; 𝑠𝑖 𝑥 > 1
𝑥→+∞
b. lim
2
; 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ 3 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑛 3. 𝑓(𝑥) = { ; 𝑥 =0
𝑥→+∞ (𝜑(𝑥))
2𝑥 + 3 + √𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 0
1 − E (2 x + 1) 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
6. lim 4. 𝑓(𝑥) = {
x → − x+2 √2𝑥 + 3 − 3 𝑠𝑖 𝑥 > 3
x 2 − (a + 1)x + a ( déterminer a et b pour que f soit continue et
7. lim
x→a x3 − a3 dérivable en 𝑥0 = 3)
1 1
8. lim −
x → 0 2(1 − cos x ) sin 2 x III. Soit les fonctions g et h définies par :
1 − cos x 1 − 1 − x2 x−2
9. lim g (x ) = et h( x ) = 2
x →0 x sin x x 2
x −x−2
10. lim ( x² − 1 + x) 1. Préciser l’ensemble de définition de g et h.
x →−
2. Montrer que g admet un prolongement par
11. lim ( x² + x + 1 − x² − x + 1) continuité en 0 et définir ce prolongement.
x →−
3. La fonction h admet-elle un prolongement
x − x ² − 3x + 1
12. lim par continuité en 2.
x → +
2 x − 4 x² + x
IV. Soit 𝑓 la fonction définie par :
x + cos x 2𝑥
13. lim
x → + x + sin x 1+ ; 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
1
𝑓(𝑥) = { √𝑥 2 + 1
𝑥 − 1 ; 𝑠𝑖 𝑥 < 3 (𝑥 + 1)√𝑥 + 1 ; 𝑠𝑖 𝑥 > 0
14. lim 𝑓(𝑥) ; 𝑓(𝑥) = { 3
𝑥→3 1. Etudier la continuité de f en 0.
√2𝑥 + 3 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
𝑥 2 − 3𝑥 − 2 ; 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2 2. Etudier la dérivabilité de f en 0 et
15. lim 𝑓(𝑥) ; 𝑓(𝑥) = { √1+4𝑥−3 interpréter graphiquement les résultats obtenus
𝑥→2 ; 𝑠𝑖 𝑥 > 2
𝑥−2

Exercice n°1 : Exercice n°2 :

I. Ecrire le domaine de définition de 1. Déterminer une fonction polynôme 𝑃 du

chacune des fonctions suivantes sous troisième degré telle que : 𝑃(1) = 0 ;
forme de réunion d’intervalles. 𝑃′ (1) = 0 ; 𝑃′′ (1) = 0 et 𝑃′′′ (1) = − 6.
 2. Déterminer une fonction polynôme 𝑓 de c. Donner un encadrement de 𝛼 à 10−1 près.
d. En déduire le signe de 𝑔(𝑥).
degré trois admettant des extremums locaux en 0
3. Soit ℎ définie sur [0; +∞[ par
égal à 1 et en 2 égal à 0. 1
ℎ(𝑥) =
Exercice n°3 : √𝑥 + 1 + 1
a. Montrer que l’équation ℎ(𝑥) = 𝑥 équivaut
3 x 2 + ax + b
1. Soit la fonction f ( x ) = à 𝑔(𝑥) = 0.
x2 + 1 1
Déterminer les réel a et b tels que la courbe (Cf ) b. Montrer que ∀ 𝑥 ∈ [0; +∞[; |ℎ′(𝑥)| ≤ 8.
passe par A ( 0;3) et admet en ce point une c. En déduire que
1
tangente d’équation y = 4 x + 3 . ∀ 𝑥 ∈ [0; +∞[; |ℎ(𝑥) − 𝛼| ≤ |𝑥 − 𝛼|
8
2. Déterminer les nombres réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐
d. Dresser le tableau de variation de ℎ.
ax + b e. Montrer que ℎ réalise une bijection de
pour que l’hyperbole (𝐻) d’équation y = [0; +∞[ vers 𝐽 à déterminer.
x+c
−1 f. Etudier la dérivabilité de ℎ−1 .
ait le point Ω ( ) comme centre de symétrie,
2 2√𝑎+1
g. Montrer que (ℎ−1 )′ (𝑎) = −
admette au point d’abscisse 1, une tangente 𝑎2
parallèle à la droite d’équation y = − x.
Exercice n°6 :

( )
Exercice n°4 :
Soit f (x ) =
1
I. Soit 𝑘(𝑥) = 2𝑥 + √𝑥 + 3 x + 4 + x2 + 4
2
1. Montrer que l’équation 𝑘(𝑥) = 17 a
exactement une et une seule solution 𝛼, 1. Etudier les variations de f .
puis montrer que 𝛼 ∈ [6; 7]. 2. a. Montrer que f est une bijection de IR
2. Donner un encadrement 𝛼 à sur un ensemble 𝐽 que l’on précisera.
10− 1. b. Montrer que la bijection réciproque f −1
II. Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 − 3
de f est dérivable sur J.
1. Démontrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet
c. Calculer (𝑓 −1 )′(3)
une unique solution 𝛼 ∈ ]1;2[
3. Déterminer 𝑓 −1 (𝑥) ; ∀ 𝑥 ∈ 𝐽.
2. Donner une valeur approchée par défaut de
4. En déduire (𝑓 −1 )′(𝑥) ; ∀ 𝑥 ∈ 𝐽.
cette solution α à 10− 1 près.
3. Donner encadrement de  à 10−2 près par PRIMITIVES :
la méthode de balayage.
Exercice n°7 :
Exercice n°5 :
1. Prouver dans les cas suivants que 𝐹 est une
2𝑥 − 3 primitive de 𝑓 sur l’intervalle 𝐼.
I. Soit 𝑓(𝑥) = .
𝑥−1 2(𝑥 4 −1) 1
1 a. 𝑓(𝑥) = et 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 2 sur 𝐼𝑅+∗
1. Montrer que ∀𝑥 ∈ [2; 3] , 4 ≤ 𝑓′(𝑥) ≤ 1 𝑥3
b. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 et 𝐹(𝑥) = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
2. Déduire un encadrement de 𝑓(𝑥) − 𝑓(2) 2𝑥 2 +1 𝑥
puis un encadrement de 𝑓(𝑥) par deux c. 𝑓(𝑥) = 3 et 𝐹(𝑥) = √𝑥 2 sur 𝐼𝑅
(𝑥 2 +1) ⁄2 +1
fonctions affines 𝑥 2 +3𝑥−1 𝑥 2 +7𝑥−5
2. Soient 𝐹(𝑥) = et 𝐺(𝑥) =
II. La fonction 𝑔 définie sur [0; +∞[ par 𝑥−1 𝑥−1
montrer que les fonctions 𝐹 et 𝐺 sont deux
𝑔(𝑥) = 𝑥 √𝑥 + 1 + 𝑥 − 1.
primitives de la même fonction 𝑓 à
1. Dresser le tableau de variation de 𝑔.
déterminer sur un intervalle à préciser.
2. a. Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet
une unique solution 𝛼. Exercice n°8 :
b. Vérifier que 0 < 𝛼 < 1.
 4 x 3 + 10x 2 + 3x − 3 d. Trouver la primitive 𝐻 de 𝑓 qui s’annule
1. f (x ) = 𝜋
(2 x + 3) 2
en 6 .
a. Déterminer les réels a, b et c tels que : 5. a. En utilisant les formules de duplication
cx + d démontrez que :
f (x ) = ax + b +
(2 x + 3)2 1 1
𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + .
3
8 2 8
b. En déduire une primitive de f
x 4 + x3 + 2 x 2 + 1 b . Déduisez –en la primitive 𝐹 dela fonction
2. Soit f ( x ) = une fonction
( x + x) 𝜋
2
3
𝑥 ⟼ 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥, telle que 𝐹 ( 2 ) = 0.
numérique. Exercice n°10 :
a. Déterminer les réels a, b et c tels que :
bx + c Déterminer une primitive F de la fonction f sur un
f (x ) = 2 +
a
x (
x2 +1
2
) intervalle I à préciser.

b. En déduire la primitive F ( x ) de f ( x ) qui 1. 𝑓(𝑥) = 10𝑥 4 + 4𝑥 3 − 6𝑥 2 − 2𝑥 + 1

(𝑥+2)5
s’annule en 1. 2. 𝑓(𝑥) = 3
3. On considère la fonction g définie sur 3. 𝑓(𝑥) = 2𝑥(3𝑥 2 + 1)4
2x + 3 1
𝐼 = ]1; +∞[ par : g (x ) = 4. 𝑓(𝑥) = 1 +
(x − 1)3 𝑥
√𝑥
5. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 +2𝑥 2+1
a. Démontrer qu’il existe deux réels 𝑎 et 𝑏
6. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠2𝑥
tels que x  I ; g (x ) =
a b
+ 7. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3 𝑥
(x − 1) (x − 1)3
2

8. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥
b. En déduire la primitive de g qui prend la
9. f (x ) =  x 2 + (x 3 + x ) +  x − (3x 2 − 3x )
 1 4  1
1
valeur en 2.  3  2
2
10. f (x ) = tan x + tan 3 x

( )
Exercice n°9 :
11. f (x ) =
3
cos 6 x − 
1. On considère f ( x) = tan ( x 2 ) . 2
12. f (x ) = sin (3x ) cos 2 (3x )
a. Calculer 𝑓 ′ (𝑥)
4x2
x 13. f ( x ) =
(x + 8)
3
b. En déduire une primitive de 3
cos ( x 2 )
2

14. f ( x ) = 1 − x +
2−2𝑥 1
2. Soit g(𝑥) = 2 − √2𝑥−𝑥 2 , déterminer la
3x + 1
15. f (x ) = cos x sin x
primitive de g qui prend la valeur 1 au 2 2

point d’abscisse 1
3. Soit h définie sur IR par : 16. f ( x ) = x x 2 + 1 + (6 x − 3) x 2 − x + 1
h(x ) = sin x + sin 3 x  
17. f (x ) = cos(x + 2) + 3 sin  − 3x 
a. Calculer h' ( x ) puis h' ' (x ) 2 
b. Déterminer a et b tels que : 18. f ( x ) = ( sin x − 3sin x + 8 ) cos x
2

h' ' ( x ) + ah ( x ) = b sin x 3x 2 + 4 x − 2

19. f ( x ) =
c. En déduire une primitive de h sur IR. x4
4 sin x
4. Soit 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥. 20. f ( x) =
( 5 + 4 cos x )
3

a. Déterminer 𝑓′(𝑥) et 𝑓′′(𝑥).

sin x − x cos x
b. Vérifier que 𝑓 ′′ (𝑥) = −9𝑓(𝑥). 21. g ( x) =
sin 2 x
c. En déduire l’ensemble des primitives de 𝑓.
 22. f (x ) = 3(3x − 1) 3x − 1 x −∞ −1 0 +∞
23. f (x ) = x(2 x + 1)
101 -5 +∞

f (x )
(x )
3
f (x ) =
x 103
24. 2
+1
3
−∞ −∞ −∞
Problème n°1 :
Exploitation d’un tableau : 1. Préciser Df et calculer les limites aux
Le tableau de variation ci-dessous est celui d’une bornes de Df .
fonction f continue sur son ensemble de définition 2. Donner en utilisant ce tableau les limites
avec 𝑓𝑔′ (1) = 0 et 𝑓𝑑′ (1) = −1 suivantes
1
a. lim 𝑓(√𝑥) c. lim 𝑓 (−1 + 𝑥)
La courbe (𝐶) de f coupe l’axe des abscisses en 𝑥→+∞ 𝑥→−∞
−5 1
1
𝐴(−2; 0) et 𝐵 (− ; 0) et l’axe des ordonnées au b. lim+ ( ) d. lim− (5 − 𝑓 ( )).
𝑥→−1 𝑓 𝑥 +3 𝑥→0 𝑥
2
point 𝐶(0; 2). 3. Déterminer le nombre de solutions dans
Df de l’équation :
La droite (𝐷): 𝑦 = 𝑥 − 3 est asymptote oblique en
a. 𝑓(𝑥) = 5 ;
+∞ et est en dessous de (𝐶) sur [0; +∞[. b. 𝑓(𝑥) + 8 = 1 ;
𝑥 −∞ −3 −1 1 3 +∞ 4. Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet
une unique solution 𝛼 > 0.
𝑓′(𝑥) − 0 + + − 0 +
En déduire le signe de 𝑓(𝑥) suivant les
−1 +∞ 4 +∞ valeurs de 𝑥.
5. Dans cette question, on suppose que 𝑓 est
𝑓(𝑥)
dérivable sur 𝐷𝑓 .
−3 −∞ 2 a. Préciser le nombre dérivé de f en – 1
1. Déterminer le domaine de définition de f en le justifiant clairement.
2. Déterminer le domaine de dérivabilité de f b. Dresser le tableau de signe de 𝑓′
3. Donner en justifiant toutes les asymptotes dérivée de 𝑓.
de la courbe. 6. On suppose maintenant que le point
4. Donner l’équation de chacune des demi- d’abscisse – 1 est un point anguleux de
tangente à la courbe au point d’abscisse 1. (𝐶𝑓 ) à demi-tangentes non verticales.
5. Tracer (𝐷) et (𝐶) dans un repère a. Préciser le signe des nombres dérivés
orthonormé (𝑂; 𝑖⃗; 𝑗⃗) d’unité 1𝑐𝑚. de 𝑓 à gauche et à droite en – 1.
6. Soit g la restriction de f à l’intervalle b. (𝐶𝑓 ) peut-elle présenter une demi-
[3; +∞[. tangente horizontale à gauche ou à
a. g est-elle bijective ? Justifier. droite au point d’abscisse – 1 ?
b. g −1 est-elle dérivable en 2 ? Justifier. 7. Soit g une fonction dérivable sur 𝐷𝑓 telle
7. Graphiquement, déterminer l’ensemble des (𝑥+2)𝑓(𝑥)
que 𝑔′(𝑥) = . Etudier le signe
valeurs de m pour lesquelles l’équation 𝑥3

𝑓(𝑥) = 𝑚 admet exactement 4 solutions de 𝑔′(𝑥).

distinctes réelles. Problème n°3 :
Problème n°2 : Soit f la fonction définie par :
Exploitation d’un tableau de variation : 𝑥2 − 𝑥
𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 1 ; 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1
La fonction 𝑓 a pour tableau de variation : 𝑠𝑖𝑛2 (𝜋𝑥) ; 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1
 1. Déterminer l’ensemble de définition de f 7. Discuter suivant les valeurs de 𝑚, la
et calculer les limites aux bornes. résolution de l’équation : 𝑓(𝑥) = 𝑚.
2. Etudier les branches infinies. 8. Déterminer l’ensemble de définition de la
fonction g définie par : g (x ) =
3. Etudier la continuité de f en 0 et en 1. 1
.
4. Etudier la dérivabilité de f en 0 et en 1. f (x )
Interpréter géométriquement les résultats Problème n°5 :
obtenus.
5. Après avoir précisé l’ensemble de Soit 𝑚 un réel, 𝑓𝑚 la fonction définie par :
dérivabilité de f , calculer f ' ( x ) et étudier
f m (x ) = x 3 − mx + m et (C m ) la courbe
son signe.
6. Dresser le tableau de variation de f . représentative de 𝑓𝑚 .
7. Construire la courbe C de f dans un 1. Démontrer que, pour tout réel 𝑚, la courbe
repère. (𝐶𝑚 ) passe par un point fixe (dont les
coordonnées sont indépendantes de 𝑚).
Problème n°4 : 2. Etudier suivant les valeurs de 𝑚 le sens de
variation de la fonction 𝑓𝑚 .
Exploitation d’une courbe : 3. Tracer (𝐶−1 ), (𝐶0 ) 𝑒𝑡 (𝐶3 ).
4. Déterminer, lorsque 𝑚 décrit ℝ,
l’ensemble des points de (𝐶𝑚 ) dont
l’ordonnée est un extrémum de 𝑓𝑚 .
Problème n°6 :

x3 − 2x 2
Soit la fonction f définie par : f ( x ) = et
x2 −1
sa (Cf ) courbe représentative dans un repère
orthonormé (unité 2cm)
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire :
Soit g la fonction numérique définie par :
𝑔(𝑥) = −𝑥 3 + 3𝑥 − 4.
1. Etudier les variations de 𝑔 puis dresser son
tableau de variations.
2. a. Montrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet
une unique solution   IR .
Dans la figure ci-dessus (𝐶1 ) ∪ (𝐶2 ) ∪ (𝐶3 ) est la b. Donner un encadrement de  à 10−1 .
représentation graphique (𝐶𝑓) d’une fonction f 3. En déduire le signe de 𝑔(𝑥) sur IR.
dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗; 𝑗⃗).
f est définie en 0 et on a 𝑓(0) = 2. Partie B : Etude de la fonction f :.
1. Préciser l’ensemble de définition de f. 1. Déterminer l’ensemble de définition Df de
2. Donner les limites suivantes :
a. lim 𝑓(𝑥) d. lim− 𝑓(𝑥) f puis calculer les limites de Df .
𝑥→−∞ 𝑥→0
2. a. Déterminer les réels a, b, c et d tels que :
b. lim 𝑓(𝑥) e. lim 𝑓(𝑥)
𝑥→−2+ cx + d
f (x ) = ax + b + 2
𝑥→+∞
c. lim 𝑓(𝑥) f. lim 𝑓(𝑥) .
𝑥→0+ 𝑥→−2− x −1
3. La courbe admet-elle une asymptote b. En déduire que ( ) : y = ax + b est une
oblique? Si oui, donner son équation.
4. Préciser les équations des autres asymptote oblique à la courbe (Cf ) .
asymptotes. c. Etudier la position relative de (Cf ) par
5. La fonction est-elle dérivable en 3 ? rapport à ( ) .
Justifier la réponse.
6. Dresser le tableau de variation de f.
 Partie A :
3. Démontrer que : f ( ) =  − 2 .
3
2
4. a. Montrer que : Soit 𝑓 définie par :
− xg (x ) 2𝑥 − 1 + √4𝑥 2 + 4 ; 𝑠𝑖 𝑥 < 0
x  Df ; f ' (x ) =
(
x2 −1
2
) 𝑓(𝑥) = {
𝑥+1+
𝑥
1 + 𝑥2
; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
b. Dresser le tableau de variation f sur On note (𝐶𝑓 ) dans (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗).
Df . 1. Déterminer 𝐷𝑓.
5. a. Calculer les abscisses des points de 2. Calculer les limites de 𝑓 aux bornes de 𝐷𝑓.
3. Donner la nature des branches infinies.
(Cf ) où la tangente est parallèle à la droite ( ) . 4. Etudier la continuité de 𝑓 sur 𝐷𝑓.
5. Etudier la dérivabilité de 𝑓 sur 𝐷𝑓.
b . Déterminer l’équation de chacune de ces 6. Interpréter la dérivabilité en 0.
tangentes et les représenter. 7. Etudier les variations de 𝑓 sur 𝐷𝑓.
c . Calculer les coordonnées des points 8. Dresser le tableau de variation de 𝑓.
d’intersections de (Cf ) avec les axes du repère.
Partie B :

6. Construire (Cf ) . 1. Montrer que 𝑓 réalise une bijection de IR

vers J à préciser.
7. Résoudre graphiquement 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑚. 2. Calculer : 𝑓(−1) ; 𝑓(1) ; (𝑓 −1 )′ (1) ;
5 17
Problème n°7 : (𝑓 −1 )′ ( ) ; (𝑓 −1 )′ (2√2 − 3) et (𝑓 −1 )′ ( )
2 5
Partie A : 3. Expliciter 𝑓 −1 (𝑥) ; pour 𝑥 < 0.
On considère la fonction g définie IR par 4. Construire (𝐶𝑓) et (𝐶𝑓 −1 ) dans le même
g (x ) =
2x
−1. repère.
x2 +1
1. Calculer les limites de g aux bornes de son Problème n°9 :
domaine de définition. Dans un repère (𝑂; 𝐼; 𝐽) orthonormé, on désigne
2. Etudier les variations de g, puis dresser par (𝐶𝑓) la courbe représentative de la fonction f
son tableau de variation. la fonction définie par : 𝑓(𝑥) = 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥
3. Démontrer que l’équation g ( x ) = 0 admet
1. Démontrer que f est 𝜋-périodique.
une solution et une seule notée 𝛼 ∈ [0; 1]. 𝜋
4. Donner un encadrement de 𝛼 à 10−1 2. Démontrer que la droite 𝑥 = 2 est un axe
5. En déduire le signe de g ( x ) .
Partie B : de symétrie.
On considère la fonction 𝑓 définie IR vers IR par :
𝜋
3. Justifier que 𝐷𝐸 = [0; 2 ]
f (x ) = − + x 2 + 1 et on note (C ) sa courbe
1 x
2 2
représentative dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗; 𝑗⃗) 4. Démontrer que ∀ 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 :
unité graphique 2 cm .
1. Calculer les limites de 𝑓 en −  et +  . 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑠𝑖𝑛2𝑥(1 − 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥).
2. Montrer que f est dérivable sur IR et que
∀ 𝑥 ∈ 𝐼𝑅; 2 f ' ( x ) = g ( x ) . 5. Dresser le tableau de variation de 𝑓 sur 𝐷𝐸
3. Etudier la convexité de f
3𝜋 3𝜋
4. Etudier les variations de f , puis dresser 6. Tracer (𝐶𝑓) sur [− ; ].
2 2
son tableau de variation.
3𝛼+1
5. Montrer que 𝑓(𝛼) = 2 . Problème n°10 :
6. Donner la nature des branches infinies en
−  et +  . Soit ℎ la fonction définie sur IR par :
7. Construire (C ) h(x ) = 3 sin 4 x + cos 4 x − 1 et (𝐶ℎ) la courbe de ℎ

Problème n°8 :
dans le plan rapporté au repère orthonormé 3. Ecrire 𝑓(𝑥) sans le symbole des valeurs
(𝑂; 𝑖⃗; 𝑗⃗) d’unité 2𝑐𝑚. absolues sur 𝐷𝐸.
4. Etudier la continuité de 𝑓 en 0.
1. Justifier qu’on peut réduire l’étude ℎ à
𝜋
5. a. Etudier la dérivabilité de 𝑓 en 0 et en 1.
𝐷𝐸 = [0; 2 ]. b. Interpréter graphiquement les résultats
2. Montrer que ∀ 𝑥 ∈ 𝐼𝑅; de la question 5.a
6. a. Calculer 𝑓′(𝑥) dans [0; 1[ et dans
ℎ′(𝑥) = 4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1)(2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1) ]1; +∞[
3. Dresser le tableau de variation de ℎ sur 𝐷𝐸 b. Dresser le tableau de variation de 𝑓 sur
4. Justifier l’équation ℎ(𝑥) = 0 admet une [0; +∞[.
𝜋 𝜋 7. Préciser la branche infinie en +∞.
unique solution 𝛼 ∈ [ 6 ; 2 ].
8. Tracer la courbe (𝐶𝑓) sur 𝐼𝑅.
5. Montrer que ∀ 𝑥 ∈ 𝐼𝑅; 9. En déduire les courbes (𝐶ℎ) et (𝐶𝑘) avec :
ℎ(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥(2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 1) ℎ(𝑥) = 𝑓(−𝑥) et 𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2)
6. En déduire la valeur de 𝛼
3𝜋 3𝜋
Partie C :
7. Construire [− ; ].
2 2
Soit 𝑔 la restriction de 𝑓 sur [1; +∞[.
8. En déduire (𝐶𝑔) courbe de la fonction
𝑔(𝑥) = 3𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 1. Démontrer que 𝑔 est une bijection de
[1; +∞[ vers un intervalle J à déterminer.
Problème n°11 : 2. Etudier la dérivabilité de 𝑔−1 en 1.
𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 3. Expliciter 𝑔−1 (𝑥).
Soit 𝑓(𝑥) = 4. Tracer la courbe de 𝑔−1 dans le même
𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝜋 repère que (𝐶𝑓).
1. Démontrer que le point Ω (4 ; 0)
2. En déduire le domaine d’étude 𝐼 de 𝑓 Problème n°13 : (𝑬𝒙𝒕𝒓𝒂𝒊𝒕 𝑩𝑨𝑪 𝟐𝟎𝟐𝟐)
3. Calculer les limites aux bornes de I
Partie A :
4. Montrer que :
(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥)(2 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥) Soit ℎ la fonction définie sur [−3: +∞[ par :
𝑓 ′ (𝑥) =
(𝑠𝑖𝑛2𝑥)2 ℎ(𝑥) = (𝑥 + 3)√𝑥 + 3 − 1.
5. Etablir le tableau de variation de f 1. Dresser le tableau de variation ℎ.
6. Tracer 𝐶𝑓 sur [−2 ; 2] 2. Montrer que l’équation ℎ(𝑥) = 0 admet
une unique solution 𝛼 ∈ ]−3; +∞[.
Problème n°12 : 3. Calculer ℎ(−2), en déduire le signe de
Partie A : ℎ(𝑥).

Soit 𝑓 la fonction définie sur IR par : Partie B :

1−√|1−𝑥 2 | Soit 𝑓 la fonction numérique définie par :
𝑓(𝑥) = ; 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0
{ 𝑥
2
𝑓(0) = 0 𝑥+ ; 𝑠𝑖 𝑥 < 1
√|𝑥 + 3|
On note par (𝐶𝑓) la courbe représentative de 𝑓 𝑓(𝑥) =
1
dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗; 𝑗⃗) d’unité 1+ ; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
graphique 3cm. { √𝑥
1. Démontrer que 𝐷𝑓 = 𝐼𝑅 − {−3}.
1. a. Etudier la parité de 𝑓.
2. Montrer que 𝑓 est continue en 1.
b. Que peut-on en déduire pour la courbe
3. Ecrire 𝑓(𝑥) sans le symbole des valeurs
(𝐶𝑓) ?
absolues.
2. Montrer que le domaine d’étude
4. Calculer les limites de 𝑓 aux bornes de 𝐷𝑓.
𝐷𝐸 = [0; +∞[.
 5. Donner la nature des branches infinies de 5. Etudier la dérivabilité de 𝑓 en 0, puis
la courbe (𝐶𝑓). interpréter graphiquement les résultats.
6. Etudier la dérivabilité de 𝑓 en 1, puis 6. a. Préciser 𝐷𝑓′.
interpréter graphiquement les résultats. b. Montrer ∀ 𝑥 ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]−1; 0[,
7. a. Préciser le domaine de dérivabilité de la 𝑥𝑃(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) =
fonction 𝑓. (2𝑥 2 − 2𝑥 − 4)2
c. Calculer 𝑓′(𝑥) sur chaque intervalle ou c. Montrer que : ∀ 𝑥 ∈ ]−3 ; 1[ ;
5 − 2𝑥
𝑓est dérivable. (On montrera que 𝑓′(𝑥) =
ℎ(𝑥) (𝑥 2 − 4𝑥 + 5)√𝑥 2 − 4𝑥 + 5
∀ 𝑥 ∈ ]−3 ; 1[ ; 𝑓′(𝑥) = (𝑥+3) )
√𝑥+3
8. Dresser le tableau de variation de 𝑓. 7. Dresser le tableau de variation de 𝑓.
9. Construire soigneusement la courbe (𝐶𝑓). 8. Construire soigneusement la courbe (𝐶𝑓).
Partie C :
5
Partie C : Soit ℎ la restriction de 𝑓 sur 𝐼 = ]0; 2].
Soit 𝑘 la restriction de 𝑓 sur [1; +∞[. 1. Montrer que ℎ est une bijection de 𝐼 vers
un intervalle J à déterminer.
1. Montrer que l’équation 𝑘(𝑥) = 𝑥 admet 2. Montrer que ℎ−1 est dérivable en 5, puis
une unique solution 𝛼 et que 1 < 𝛼 < 2. calculer (ℎ−1 )′ (5).
2. Encadrer 𝛼 à 10−1 . 3. Expliciter ℎ−1 (𝑥).
1
3. Montrer que : ∀ 𝑥 ∈ [1; +∞[, |𝑘′(𝑥)| ≤ 2. 4. Tracer la courbe de ℎ−1 dans le même
repère que (𝐶).
4. En déduire que : ∀ 𝑥 ∈ [1; +∞[,
1 ETIREMENT :
|𝑘(𝑥) − 𝛼| ≤ |𝑥 − 𝛼|.
2
Soit 𝑔 la fonction numérique définie par :
Problème n°14 :
Partie A :
𝑥+1
Soit la fonction polynôme 𝑥 √| | ; 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥
𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 − 4𝑥 + 48 𝑔(𝑥) =
1. Etudier les variations de 𝑃 puis dresser son 𝑥3 − 𝑥2
tableau de variations. { 𝑥 2 + 1 ; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
2. Montrer que l’équation 𝑃(𝑥) = 0 admet
1. Montrer que 𝐷𝑔 = 𝐼𝑅 et écrire 𝑔(𝑥) sans
une unique solution   IR .
le symbole des valeurs absolues.
3. Donner un encadrement de  à 10−1 .
2. Etudier la continuité de 𝑔 en −1 et en 0.
4. Vérifier que −2,35 < 𝛼 < −2,34.
3. Etudier la dérivabilité de 𝑔 en −1 et en 0,
5. En déduire le signe de 𝑃(𝑥) sur IR.
puis interpréter les résultats obtenus.
Partie B : 4. Donner la nature des branches infinies et la
On désigne 𝑓 la fonction définie par : position de la courbe par rapport aux
𝑥 3 − 6𝑥 − 12 éventuelles asymptotes.
2 − 2𝑥 − 4
; 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑓(𝑥) = { 2𝑥 5. Soit 𝜑(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 − 2 une fonction.
𝑥
3+ ; 𝑠𝑖 𝑥 > 0 a. Dresser le tableau de variation de 𝜑.
√𝑥 2 − 4𝑥 + 5 b. Etudier le signe de 𝜑(𝑥).
On désigne par (𝐶) sa courbe représentative dans
6. Calculer 𝑔′(𝑥) sur les intervalles où elle
un repère orthonormé (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗) d’unité 1𝑐𝑚.
est dérivable.
1. Démontrer que 𝐷𝑓 = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[
7. Dresser le tableau de variation de 𝑔.
2. Déterminer les limites de 𝑓 aux bornes de
𝐷𝑓. En déduire d’éventuelles asymptotes. 8. Tracer les droites remarquables puis la
3. Donner la nature de la branche infinie en courbes (𝐶𝑔).
−∞ et étudier sa position relative avec (𝐶).
4. Montrer que 𝑓 est continue en 0. QUI CHERCHE, TROUVE.