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    TD1 - RDM - 221021 - 145830

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    TRAVAUX DIRIGES

    Exercice 1 :
    Un levier (1), modélisé par la figure 1, est en liaison pivot d’axe (𝐴, 𝑧⃗) et en contact ponctuel de
    normale (𝐷, 𝑦⃗) avec un solide (0). Des actions mécaniques extérieures exercées sur (1) sont représentées
    en B et C par :
    500 0 0 0
    {𝑇1 } = {−1000|0} et {𝑇2 } = {−1000|0}
    0 0 𝐵 0 0 𝐶

    𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝑎 = 1𝑚.
    Figure 1 : modèle adopté pour l’étude statique et RDM d’un levier (1).

    1) Déterminer les inconnues des actions mécaniques de liaisons en A et D ;


    2) Modéliser le bras (1) par une poutre droite ABCD;
    3) Déterminer le torseur des efforts de cohésion le long de cette poutre ;
    4) Déduire la nature de sollicitations ;
    5) Tracer les diagrammes des efforts et des moments ;
    𝑑𝑀𝑓𝑧 𝑑𝑀𝑓𝑦
    6) Montrer que, lorsque 𝑛⃗⃗ = 𝑥⃗, on a : 𝑇𝑦 = − et 𝑇𝑧 = .
    𝑑𝑥 𝑑𝑥

    Exercice 2 :
    On considère une poutre de longueur importante maintenue horizontalement par N poutres
    verticales distantes de 2a et supportant une charge uniformément répartie (p) (Figure 2). Ce système est
    modélisé par le schéma de la figure 3.

    Figure 2 : Poutre horizontale supportant une charge uniformément répartie.

    Figure 3 : Modèle adopté.


    La symétrie du système nous permet de limiter l’étude au modèle suivant (figure 4).

    Figure 4 : Modèle du système à étudier.


    On pose, pour simplifier les calculs, a=1m et p=10 kN/m.
    1. Faire le bilan des actions mécaniques extérieures exercées sur la poutre (1)
    2. Déterminer les inconnues des actions mécaniques aux niveaux des appuis en A et en B ;
    3. Etablir le modèle d’une poutre droite OABC;
    4. Déterminer le torseur des efforts de cohésion le long de cette poutre. En déduire la nature de
    sollicitations ;
    5. Tracer les diagrammes des efforts et des moments ;

    Exercice 3 :
    Un arbre intermédiaire, utilisé dans une boite de vitesses électromécanique d’avance d’un tour
    révolver, est modélisé par le schéma de la figure ci-dessous.

    AB = a = 30 mm, AC= b = 130 mm, AD = c = 230 mm, BI = R = 50 mm, CJ = r = 20.


    Les engrenages utilisés sont à dentures hélicoïdales dont les actions radiales et axiales
    d’engrainement sont exprimées en fonction de l’action tangentielle, de l’angle de pression 𝛼 et de l’angle
    d’hélice 𝛽 par :
    𝑡𝑔𝛼
    |𝐹𝑟 | = |𝐹𝑡 | et |𝐹𝑎 | = |𝐹𝑡 |𝑡𝑔𝛽 avec 𝛼 = 20° et 𝛽 = 17°
    𝐶𝑜𝑠𝛽
    Les actions d’engrainement en I et en J sont définies par les torseurs suivant :
    𝐹𝑎𝐼 0 −𝐹𝑎𝐽 0
    {𝑇2 } = {−𝐹𝑟𝐼 | 0} et {𝑇3 } = { 𝐹𝑟𝐽 | 0} avec 𝐹𝑡𝐽 = 1500𝑁.
    𝐹𝑡𝐼 0𝐼 𝐹𝑡𝐽 0 𝐽
    1. Déterminer les inconnues des actions mécaniques de liaisons en A et D ;
    2. Modéliser le bras (1) par une poutre droite ABCD;
    3. déterminer le torseur des efforts de cohésion le long de cette poutre ;
    4. Déduire la nature de sollicitations ;
    5. Tracer les diagrammes des efforts et des moments ;

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