SERIE D’EXERCICES SUR LA DYNAMIQUE DE ROTATION :

PREPARATION POUR L’OLYMPIADE DE PC

Exercice 1 : Un solide (S) supposé ponctuel de masse m = 400 g

peut coulisser sans frottement sur une tige (T) rigide, horizontale. (S)
est attaché à l’une des extrémités d’un ressort (R) de masse
négligeable, de longueur à vide l0 de constante de raideur K= 25 N/m
enfilé sur la tige, l’autre extrémité est fixée à une tige verticale
solidaire de l’arbre d’un moteur tournant à une vitesse angulaire
constante ’ = 30 tours par minute. Le solide (S) décrit au cours de
son mouvement un cercle de rayon l = 25 cm. (fig. 3)
1-Calculer pour ce mouvement :
a-La vitesse angulaire ’ en rad/s. Déduire l’accélération angulaire ’’.
b-La période T et la fréquence N.
c-L ’accélération tangentielle aT et l’accélération normale aN. Déduire
l’accélération linéaire a. On prendra 2=10.
d-Représenter l’allure de la trajectoire du solide (S) sur laquelle on indique une position de (S) et
on représente le vecteur accélération ainsi que le vecteur vitesse.
2-a- Représenter les forces exercées sur le solide (S).
b-En appliquant la relation fondamentale de la dynamique au solide (S), déterminer la longueur
à vide du ressort l0.
Exercice 2 : On considère le système déformable (S) représenté par le schéma ci-contre. Il
comprend :
- Une tige (T) homogène solidaire d’une poulie
(P) de rayon r=0,2 m mobile sans frottement
autour d’un axe horizontal () passant par son
centre. Le moment d’inertie de l’ensemble par
rapport à  est J0.
- Deux masselottes A et B assimilables à des
points matériels de même masse m fixées sur la
tige à égale distance d de .
- Un fil inextensible de masse négligeable
enroulé sur la poulie. A l’autre extrémité est
accroché un solide (C) de masse M=0,2 Kg
pouvant glisser sans frottement le long de la ligne de plus grande pente d’un plan incliné faisant
un angle  = 30 ° avec l’horizontale.
- On note J moment d’inertie de la tige T + poulie P + les deux masselottes.
On abandonne le système sans vitesse initiale, les frottements sont supposés négligeables,
et à l’aide d’un dispositif approprié on mesure la vitesse V du solide C en fonction de d après
avoir parcouru une distance x=0,5m, les résultats sont donnés dans le tableau de mesures
suivant :
d(m) 0 0,1 0,2 0,3 0,4
d2(m2)
V(m.s-1) 1,49 1,41 1,24 1,05 0,89
a(m.s-2)
’’(rad.s-2)
J(Kg.m2)
1- Représenter toutes les forces exercées sur ce système.
2- Etablir l’expression de l’accélération angulaire du système. Déduire la nature de mouvement
de la poulie.
3- Compléter le tableau de mesures précédent.
4- Tracer, sur un papier millimétré, le graphe représentant la fonction J =f(d2).
5- Déterminer graphiquement J en fonction de d2. Justifier théoriquement l’allure de la courbe.
Calculer J0 et m .
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6- On fixe les masselottes à la distance d=0,1 m et à la date t=5s on coupe le fil :

a- calculer la vitesse angulaire de la poulie à cette date
b- Déduire le mouvement de la poulie juste après la coupure du fil.
c- Pour arrêter la poulie, on exerce une force F constante tangentiellement à la poulie
 Représenter cette force.
 La poulie s’arrête après avoir effectué 5 tours, calculer l’accélération angulaire de la poulie au
cours de cette phase de mouvement.
 En appliquant la RFD de rotation, déterminer la valeur de la force F.
Exercice 3 : Une poulie est constituée par deux cylindres (C 1) et (C2) solidaires
et coaxiaux de rayons respectifs R1 = 20 cm et R2 = 10 cm, peut tourner, sans
frottement, autour d’un axe horizontal () passant par son centre, Son moment
d’inertie par rapport à cet axe est J=9.10-3 Kg.m2. On enroule sur C2 un fil
inextensible de masse négligeable, à l’extrémité duquel est accroché un solide
(S) de masse m=100g. Le système est au repos, le centre d’inertie de S coïncide
avec la position O, origine d’un repère espace vertical (O,𝑖⃗). On libère le système
sans vitesse initiale.
1- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique, établir l’expression de
l’accélération du solide S. Calculer sa valeur. Déduire l’accélération angulaire de
la poulie.
2- Calculer la vitesse linéaire du solide S lors de son passage par le point A d’abscisse xA = 4,5 m.
Déduire la vitesse angulaire de la poulie.
3- En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au système ={Poulie + fil + solide s}, retrouver
le résultat précédent.
Au passage du solide par le point A, le fil se détache et on applique à la poulie un couple de
freinage de moment constant MC = - 0,257 N.m. En appliquant le
théorème de l’énergie cinétique, calculer le nombre de tours n
effectué par la poulie depuis le détachement du fil jusqu’à son
arrêt. On donne g=10 N/Kg.
Exercice 4 :Un dispositif est constitué d’un cylindre homogène
de rayon R, pouvant tourner autour de son axe (Δ). Une tige
homogène AB de longueur 2l, de milieu O est fixée sur le
diamètre du cylindre comme l’indique la figure ci-contre. On
notera J0 le moment d’inertie du système (S) cylindre-tige par
rapport à (Δ) et l’on négligera les frottements. On donne R = 2,5
cm et l = 20 cm.
1) Un fil de masse négligeable, enroule sur le cylindre, est fixé par
une de ses extrémités au cylindre et supporte à son
extrémité un corps (C) de masse M = 0,2 kg.
a. Donner l’expression de l’accélération de (C) en fonction de
M, R, g et J0.
b. Le système (S) étant lâché sans vitesse initiale à la date t =
0 s. Le corps (C) parcourt 0,2 m en une durée t = 0,6 s.
Vérifier que J0 = 10-3 kg.m2 .
2) On fixe sur la tige AB, symétriquement par rapport à O,
deux solides C et D, ayant chacune une masse m = 100 g,
qui seront supposés ponctuels. Voir figure ci-contre.
a. Exprimer la nouvelle accélération a’ de (C) en fonction de
J0, M, m, x = OC = OD, R et g .
b. Calculer a’ pour 𝑥 = l = 0,2 m.
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Exercice 5 : Sur la gorge d’une poulie de rayon r=6 Cm mobile sans frottement autour d’un axe
(Δ) horizontal, est enroulée un fil inextensible et de masse négligeable. A l’extrémité libre de ce
fil est attaché un objet ponctuel (S) de masse m=50 g. On maintient le système : {poulie, (S)} au
repos de sorte que le fil soit tendu et (S) occupe la position O origine du repère d’espace (O, 𝑖⃗ ),
l’origine O du repère étant situé à la distance x1  3 m au dessus du sol. On abandonne le
système Le moment d’inertie de la poulie par rapport à l’axe de rotation (Δ) est
J=15,03.10-3 Kg.m2 .
1°) Représenter toutes les forces qui s’exercent sur chacun des systèmes
suivants : (A1 ; 1)
- S1 : {Poulie}.
- S2 : {solide (S)}.
2°) a- Donner la relation entre l’accélération linéaire a et l’accélération
angulaire ̈ (B ; 1)
b- Ecrire : (A1 ; 2) b1)
la relation fondamentale de la dynamique des solides en translation du solide
(S) et la projeté sur l’axe (x’x)
b2) la relation fondamentale de la dynamique des solides en rotation sur la
poulie
b3) Déduire l’expression de l’accélération angulaire ̈ de la poulie et calculer sa valeur
3°) à l’instant de date t1 = 1.22s le solide (S) arrive au sol, le fil se détache de la poulie
Déterminer à cet instant la vitesse angulaire ̇ de la poulie. (A2 ; 1)
4°)Déterminer le nombre de tours (n) effectué par la poulie entre les instants t0 et t1 sachant que
la distance h = 3 m entre l’origine de repère O et le sol . (A2 ; 1).
Exercice 6 : Une poulie (P) de rayon R = 8cm et de moment d'inertie J = 96. 10 -5 Kg.m² est
mobile autour de l'axe horizontal (Δ) passant par son centre. On
enroule sur la gorge de cette poulie un fil inextensible de masse
négligeable. A l'extrémité libre du fil, on accroche un solide (S)
de masse m =0,1Kg. Le solide (S) supposé ponctuel, se trouve à
une hauteur h = 4,4m, au-dessus du sol. On abandonne le
système à lui-même sans vitesse initiale à l'instant de date t0=
0s.
1°) Montrer que le mouvement de (S) est rectiligne
uniformément varié. Calculer son accélération.
2°) Une seconde après le début du mouvement, le fil supportant
le solide (S) se détache de la poulie:
a°) Avec quelle vitesse et au bout de combien de temps le solide
(S) atteint-il le sol?
b°) Quelle est la nature du mouvement ultérieure de la poulie
(après détachement du fil)?
Ecrire l'équation horaire de ce mouvement. On prendra comme
origine des abscisses angulaires la position du rayon O 1A à l'instant de date t0 = 0s.
c°) On applique à la poulie un couple de freinage de moment ℳ𝑓 constant. La poulie s'arrête
après avoir effectué 10 tours en mouvement de rotation uniformément retardé. Calculer le
moment du couple de freinage.
Exercice 7 : On considère une poulie de masse m=100g et de rayon R=6cm, mobile sans
frottement autour d’un axe horizontal. On passe un fil inextensible de masse négligeable autour
de la poulie. Ce fil porte un solide S1 de masse m1=300g et un solide S2 de masse m2=100g. S1
se trouve à d=3m au dessue de sol alors que S2 est au niveau du sol. On abandonne le système
à lui-même sans vitesse initiale à t=0s. (Voir figure ci-dessous).
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1/-a- Représenter les forces exercées sur la poulie, sur S1 et sur S2.
b-Exprimer le déplacement x de chaque solide (S1 et S2) en fonction du
rayon R de la poulie et de son angle Ѳ de rotation.
2/-a- En appliquant la R.F.D à chaque solide en translation, exprimer la
valeur de la tension de chaque fil.
b- En appliquant la R.F.D à la poulie, exprimer puis calculer son accélération
angulaire Ӫ sachant que J = m.R2 .
c- Calculer l’accélération a1 de S1
3/-Calculer la valeur de la tension de chaque fil pendant le mouvement.
4/-a- calculer la vitesse v1 de S1 lorsqu’il atteint le sol.
b- Déduire la vitesse angulaire Ѳ’ de la poulie.
Exercice 8 : On considère le dispositif représenté par la figure ci-dessous: S est un système en
rotation constitué d'une poulie homogène à double gorges de rayons R 1 = 6cm et R2= 2R1d'une
tige et de deux masselottes A et B supposés ponctuelles et de même masse fixées aux
extrémités de la tige. Le système S de moment d'inertie par rapport à (Δ) J = 7,2 .10 -4 Kg.m², est
mobile sans frottement, au tour d'un axe fixe (Δ) passant par le centre de la poulie. * (f1) et (f2)
deux fils inextensibles de masses négligeables. S1 et S2 deux solides de masses respectives m1=
200g et m2 = 4m1. S1 est placé sur un plan rugueux incliné d'un angle α = 45° par rapport à
l'horizontale. Le plan exerce sur S1des frottements de valeur f = 0,5N. S 2 est placé sur un plan
parfaitement lisse et incliné d'un angle β = 30° par rapport à l'horizontale. A un instant de date t
= 0s, le système est abandonnée à lui-même sans vitesse initiale, le solide S1 prend un
mouvement rectiligne ascendant.
1°) Représenter les forces exercées sur S, S1 et S2.
2°) Ecrire la relation fondamentale de la dynamique pour chacun des solides S 1, S2.
3°) a°) Montrer que la valeur de l'accélération angulaire ̈ de S et de la forme:

b°) Calculer la valeur de ̈

4°) a°) Déterminer la
vitesse angulaire de S à
l'instant de date t1=2s.
b°) Déterminer les
distances d1 et d3
parcourues
respectivement par S1
et S2 de t = 0s à t1.
5°) A l'instant t1, les
deux fils sont coupés.
a°) Etudier le
mouvement ultérieur
du système S.
b°) Ecrire l'équation
horaire du système S en prenant comme origine des abscisses angulaires la position du système
à t = 0s.
c°) Sous l'effet d'un couple de freinage exercé sur la poulie, le système s'arrête après avoir
effectué 20 tours. Déterminer la valeur du moment ℳ𝑐 du couple de freinage supposé constant.
Exercice 9 : Une poulie (P) pleine, de rayon R=0,5 m, de masse m=1 Kg, peut tourner sans
frottement autour d’un axe () confondu avec son axe de symétrie. Sur l’une de ses faces
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verticales de centre O, il porte deux surcharges ponctuelles de même masse

m’=mA=mB=2Kg ; ces surcharges sont situées sur un diamètre en deux points
A et B symétriques par rapport à O tel que OA=OB=R/2.
Un fil inextensible de masse négligeable est entouré par l’une de ses
extrémité sur la poulie et porte à l’autre extrémité un solide (S) de masse
M=0,5 Kg.(Voir figure 2)
𝑚𝑅 2
1- Le moment d’inertie de la poulie seule par rapport à l’axe () est J0 = 2
.
a- Etablir l’expression du moment d’inertie J par rapport à (), du système
S0 ={poulie + surcharges A et B} en fonction de m, m’ et R.
b- Montrer que J=0,375 Kg.m2 .
2- A l’origine des dates, le système est abandonné sans vitesse initiale.
a- A l’aide d’une étude dynamique, établir l’expression de l’accélération du
solide (S). Quelle est la nature de son mouvement.
b- Calculer l’accélération angulaire ’’ du système S0.
3- Lorsque le solide (S) a effectué un déplacement 𝑥 = 6,28 m, le fil se
détache de la poulie.
a- Calculer, à cette date, la vitesse angulaire ’ de rotation de la poulie.
b- Déterminer le nombre de tours effectués par la poulie entre la date t=0 et la date où le fil se
détache de la poulie.
c- Déduire le mouvement ultérieur de la poulie.
Exercice 10 :

Exercice 11 : Un solide S de masse m = 50 g peut glisser sans

frottement le long d'une tige rectiligne horizontale, fixée à un axe
vertical (∆). Ce solide est fixé à une extrémité d'un ressort de même
axe que la tige
comme le montre la figure ci-contre. La longueur du ressort
détendu est l0 = 20 cm. Sa constante de raideur vaut k = 50 N/m.
Quand l'ensemble tourne autour de (∆) avec la vitesse angulaire ω
la longueur du ressort devient l.
1) Établir la relation entre ω et l.
2) Pour quelle valeur de ω la longueur du ressort prend la valeur l= 25 cm ?
Exercice 12 :
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Exercice 13 :

Exercice 14 :
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Exercice 15 :

Exercice 16 :

Exercice 17 :
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Exercice 18 :

Exercice 19 :
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