Sujet Exercice
Sujet Exercice
Sujet Exercice
Équilibre statique
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Bachelar 2A-3A RdM
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Bachelar 2A-3A RdM
Sollicitation de traction
En A, cet arbre est soumis à une action A ~ de la partie de l’arbre situé à gauche, en B à l’action
~ ~ longitudinale d’une vis de réducteur à
B d’une butée à bille non représentée, en C à l’action C
vis tangente, non représentée, en D à une action D ~ de la partie de l’arbre située à droite.
1) Combien de coupures faut-il réaliser pour faire l’étude de cet arbre ?
2) Déterminer le (ou les) torseur(s) de cohésion sur l’ensemble de l’arbre de machine.
Pour la suite, les applications numériques seront faites avec les valeurs suivantes : Diamètre
intérieur : d0 = 6 mm d1 = 10 mm d2 = 14 mm d3 = 12 mm (diamètre di associé à la
longueur Li )
3) Déterminer les contraintes dans chaque partie de cet arbre. On notera i la contrainte associée
à la longueur Li .
On souhaite que l’arbre soit dimensionné avec le critère suivant : coefficient de sécurité au moins
égal à 2. On considère les 4 nuances d0 acier suivantes :
C35 : Rp = 420MPa S235 : Rp = 235MPa
S185 : Rp = 185MPa E360 : Rp = 360MPa
3) Quelles sont les nuances d’acier qui valident le critère ?
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Questions :
1) Déterminer l’expression de l’aire S(x) d’une section d’abscisse x en fonction de S0 , SL , L et
x.
2) Déterminer le torseur des e↵orts intérieurs en tout point G d’abscisse x de la poutre.
3) A quelle sollicitation élémentaire est soumise cette poutre ?
4) A quel type de contrainte est soumis un point de la section droite de la poutre ?
5) Déterminer l’expression de la contrainte en tout point d’une section droite d’abscisse x de la
poutre en fonction de S0 , SL , L, x et F .
6) Pour quelle valeur de l’abscisse x la valeur absolue de la contrainte est-elle maximale ?
7) Que vaut alors la contrainte maximale ?
8) Déterminer l’allongement u(x) de la bielle. Que vaut l’allongement total de la pièce ?
Étude du matériau constituant la poutre Afin de dimensionner la pièce, il est nécessaire de
déterminer les caractéristiques du matériau le constituant. Pour cela, un essai de traction est
réalisé sur une éprouvette constituée du même matériau que la poutre. La Figure 7 est le tracé
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obtenu à l’issu de cet essai. Elle représente en ordonnée la contrainte (exprimée en MPa) en
fonction de la déformation en abscisse.
9) Quelle est la valeur du module d’Young E ?
10) Quelle est la valeur de la limite d’élasticité Re ?
11) Quelle est la valeur de la limite pratique d’élasticité Rp0.2 ?
12) En déduire le coefficient de sécurité vis-à-vis du risque de plastifier cette pièce.
Exercice 9 : Fers en U
Soient deux fers en U de la Figure 9 ayant les caractéristiques suivantes : A= 42.3 cm2 , a= 2.23
cm, IGpx = 3600 cm4 , IGpy = 248 cm4 .
1) A quel écartement 2.e faut-il placer 2 fers en U pour que l’ensemble donne IGx = IGy ?
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Torsion
1) Calculer le moment quadratique polaire IOp de l’arbre plein et IOc de l’arbre creux. En
déduire la contrainte tangentielle.
2) Déterminer le diamètre intérieur de l’arbre creux d2 pour que la contrainte tangentielle
maximale soit la même que pour l’arbre plein.
3) Quel est le gain de masse ainsi réalisé ?
4) Expliquer pourquoi l’utilisation d’un arbre creux plutôt qu’un arbre plein est justifiée.
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élastique et exerce des e↵orts de rappel sur les roues tendant à ramener celles-ci au même ni-
veau. On peut montrer que si la raideur de la barre est bien choisie, son action permet de mieux
répartir les actions du sol sur les roues, et donc d’améliorer la tenue de route.
Pour étudier la barre anti-roulis, on adopte la modélisation simplifiée de la figure 13b. La barre
est constituée de trois parties rectilignes, que nous assimilerons à des poutres droites et que nous
supposerons perpendiculaires ; l’examen de la figure 14 montre que les parties latérales OD et
CE sont sollicitées en flexion, tandis que la partie centrale OAO0 BC est soumise à la fois à de la
flexion et de la torsion. Nous nous intéressons aux e↵ets de la torsion seule.
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On donne les valeurs numériques suivantes : F = 1000 N, L = 40 cm, Rext = 12, 5 mm,
Rint = 8, 5 mm. On suppose de plus que le matériau est un acier de module de cisaillement
G = 80 GPa et de limite pratique de glissement Rpg = 400 MPa.
4) Déterminer le coefficient de sécurité associé au dimensionnement en contrainte maximale.
Compte-tenu du comportement du véhicule, on ne souhaite pas que l’angle de torsion total
dépasse 25 (angle de rotation des deux extrémités de la barre de torsion). Par raison de
symétrie, nous n’avons isolé que la moitié de la barre, il faut donc que l’angle de torsion calculé
précédemment ne dépasse pas 12.5 .
5) Ce critère est-il validé ?
Flexion
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Sollicitations composées
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1) Montrer que, dans la base (O, ~x, ~y , ~z ), l’expression du torseur de cohésion pour une section
droite quelconque de centre G s’écrit :
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< 0 C =
{Jcoh } = 0 M
: ;
0 0 G
p
Rappel : le critère de Von Mises en flexion torsion combinées s’écrit : = 2 + 3⌧ 2
eq
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Figure 19 –
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Figure 21 –
Figure 22 –
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Problèmes
Exercice 18 : Potence
On étudie une structure composée de deux poutres, présentée figure 4 , dans laquelle chaque
poutre a une section pleine carrée de côté e, de moment quadratique IG2 . La longueur de la
poutre horizontale [BC] est la même que celle de la poutre verticale [AB]. On note L cette
longueur. Le point d’application de la force F~2 , noté D, est situé au milieu de la poutre verticale
[AB].
Figure 23 – Potence
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