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    0 - Rappel Cinématique &

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    Kamel Hamdi
    Ce document présente les concepts clés de la cinématique, notamment la vitesse, l'accélération et la composition des mouvements pour les points et les solides. Il fournit également des formules mathématiques pour représenter ces concepts.

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    Rappel : Cinmatique IPEIT

    Rappel : Cinmatique

    Cinmatique du point
    - Le vecteur vitesse dun point P par rapport un repre R (O , x , y , z ) , la date t, est la drive du
    r r r
    r
    vecteur position O P (t ) par rapport t, dans R.
    r d r
    V (P / R ) = O P (t )
    dt R
    - Le vecteur acclration dun point P par rapport un repre R (O , x , y , z ) , la date t, est la drive
    r r r
    r
    du vecteur vitesse V (P / R ) par rapport t, dans R.
    r d r
    (P / R ) = V (P / R )
    dt R
    - La relation de changement de base de drivation :
    d r d r r r
    dt V = dt V + ( R 1 / R ) V
    R R1
    - Le vecteur vitesse dun point P par rapport la base de R, dans le cas dun paramtrage angulaire par
    trois angles i (i = 1 , 2 , 3 ) mesurs respectivement autour des vecteurs unitaires e i (i = 1 , 2 , 3 ) , a pour
    r

    expression :
    r . r
    (R 1 / R ) = j e j
    3

    j = 1
    - La composition des vecteurs rotation :
    r n r
    (R n / R 1 ) = (R i / R i 1 )
    i=2

    - Linversion des bases de drivation :


    r r
    (R 2 / R 1 ) = (R 1 / R 2 )
    Cinmatique du solide
    - Le champ des vecteurs vitesse des points dun solide 1 par rapport un repre R vrifie la relation :
    r r r r
    A, B 1 V (B 1 / R ) = V ( A 1 / R ) + (1 / R ) A B
    On peut donc reprsenter, au point A, le mouvement du solide 1 par rapport au repre R par le torseur
    cinmatique :
    r
    (1 / R )
    {V (1 / R )} = r
    V ( A 1 / R )
    - Le champ des vecteurs acclration des points dun solide 1 dans son mouvement par rapport un
    repre R vrifie la relation :
    Mohamed Kaffel -50-
    Rappel : Cinmatique IPEIT

    r r d r
    (B 1 / R ) = ( A 1 / R ) +
    r r r
    [ r
    (1 / R ) A B + (1 / R ) (1 / R ) A B ]
    dt R
    Il nest pas reprsentable par un torseur.
    - Attention : lorsquun point P nappartient pas naturellement un solide 1, mais quon le considre li
    linstant t au solide 1 :
    - Le vecteur vitesse dentrainement du point P, dans le mouvement de 1 par rapport R , ne
    sobtient pas par drivation du vecteur position du point P.
    r d r
    V (P 1 / R ) dt O P
    R

    - Le vecteur acclration dentrainement du point P, dans le mouvement de 1 par rapport R , ne


    sobtient pas par drivation du vecteur vitesse dentrainement du point P.
    r d r
    (P 1 / R ) V (P 1 / R )
    dt R
    - Le champ des vecteurs vitesse des points dun solide est quiprojectif
    r r r r
    A, B 1 A B . V ( A 1 / R ) = A B . V (B 1 / R )

    Composition des mouvements


    - La relation de composition des vecteurs vitesse :
    r r r
    V (P / R ) = V (P / R 1 ) + V (P R 1 / R )
    r
    - La notation V (P / R ) est gnralement rserve :
    - aux solides assimilables un point,
    - aux points gomtriques qui nappartiennent aucun solide, comme les points de contact entre
    solides.
    r
    - La notation V (P R 1 / R ) est utiliser pour les points qui appartiennent naturellement un solide,
    ou que lon suppose li, linstant t, au solide.
    - La relation de composition des torseurs cinmatiques :

    {V (R n / R 1 )} = {V (R i / R i 1 )}
    n

    i=2

    - La relation de composition des vecteurs acclration :


    r r r r r
    (P / R ) = (P / R 1 ) + (P R 1 / R ) + 2 (R 1 / R ) V (P / R 1 )

    Mohamed Kaffel -51-

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