Seq3 PC Lbm. Kamga .Final

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Ministère des Enseignements Secondaires Évaluation N°1 du 𝟐 𝒆𝒎𝒆
trimestre
Lycée Bilingue de Mendong Année scolaire 2021-2022
Département de Mathématiques Classe : Première C
Epreuve : Mathématiques
Durée : 3 heures Coef : 6
L’épreuve comporte deux grandes parties indépendantes réparties sur deux pages
PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES (15points)
Exercice 1 : (05,5 points)

I) Pour tout nombre réel 𝑥 , on pose 𝐴(𝑥) = (√3 + 1) cos(2𝑥) + (2√3 − 2)cos(𝑥)sin(𝑥).
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
1) En remarquant que = − , calculer cos et sin . 0,5pt
12 3 4 12 12
2) Déterminer deux réels 𝑎 et 𝜑 tels que 𝐴(𝑥) = 𝑎 cos(2𝑥 + 𝜑). 0,75pt
3) Résoudre dans ]−𝜋; 𝜋] l’équation 𝐴(𝑥) = √2. 0,75pt
4) En déduire les solutions dans ]−𝜋; 𝜋] de l’inéquation 𝐴(𝑥) − √2 ≤ 0 0,5pt
𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑦
= −6 +
II) On considère le système (𝑆) : { 𝑡𝑎𝑛𝑦
𝑡𝑎𝑛𝑥 où 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels.
𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑦 = 6
2
𝜋 2 tan 𝛽
1) Démontrer que pour tout 𝛽 ≠ + 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ), on a : tan(2𝛽) = . 0,5pt
2 1−tan2 𝛽
𝑎 𝑏
+ = −6
2) On pose 𝑎 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 et 𝑏 = 𝑡𝑎𝑛𝑦. Résoudre dans ℝ2 le système { 𝑏 𝑎 . 1pt
2 2
𝑎 +𝑏 =6
3) Pour chaque valeur de 𝑎 et 𝑏 trouvé, calculer tan(2𝑥) et tan(2𝑦). 1pt
𝜋 𝜋
4) En déduire les solutions du système (𝑆) dans l’intervalle ]− ; [ . 0,5pt
2 2

I) ABCD est un carré de sens direct et de centre 𝑂. 𝐼 𝑒𝑡 𝐽 sont les milieux respectifs de [𝐵𝐶 ] et
1
[𝐶𝐷 ]. 𝐸, 𝐹 et 𝐻 sont des points tels que : ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ; 𝐴𝐹 𝐴𝐷 et 𝐻 = 𝑏𝑎𝑟{(𝐴, 3); (𝐶, 1); (𝐷, 1)}.
4 4
1) Ecrire 𝐸 comme barycentre de 𝐴 𝑒𝑡 𝐵, puis 𝐹 comme barycentre de 𝐴 𝑒𝑡 𝐷. 0,5pt

2) Démontrer que les droites (𝐸𝐽), (𝐹𝐼) 𝑒𝑡 (𝐻𝐵) sont concourantes. 0,75pt
5
3) Déterminer l’ensemble des points M tels que ‖2𝐸𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = ‖3𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖. 0,75pt
3
II) L’unité de longueur est le centimètre. 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐴 tel que 𝐴𝐵 = 6 et
𝐴𝐶 = 4. Soient 𝐺 = 𝑏𝑎𝑟{(𝐴, 1); (𝐵, 2); (𝐶, 3)} et (Г) l’ensemble des points M du plan tels que :
𝑀𝐴2 + 2𝑀𝐵2 + 3𝑀𝐶 2 = 96.
1) Construire le point 𝐺. 0,5pt
2 2 2
2) Calculer 𝐺𝐴 ; 𝐺𝐵 𝑒𝑡 𝐺𝐶 1,5pt
2 2 2 2
3) Montrer que 𝑀𝐴 + 2𝑀𝐵 + 3𝑀𝐶 = 6𝑀𝐺 + 72 0,5pt
4) Déterminer puis construire (Г). 0,75pt
3 1 𝑥+1
On considère la fonction 𝑓: ℝ − {− } ⟶ ℝ − { } définie par 𝑓 (𝑥) = et les fonctions 𝑔 et ℎ
2 2 2𝑥+3
𝑥+3 5
définies par : 𝑔(𝑥) = et ℎ(𝑥) = . On désigne par (𝐶𝑓 ), (𝐶𝑔 ) et (𝐶ℎ ) les courbes respectives
𝑥−2 𝑥
des fonctions 𝑓, 𝑔 et ℎ dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖; 𝑗).
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1) Montrer que 𝑓 est bijective et déterminer l’expression de sa bijection réciproque 𝑓 −1 . 1pt
2) Par quelle transformation obtient-on la courbe (𝐶𝑓−1 ) de 𝑓 −1 par (𝐶𝑓 ) ? 0,25pt
3) a) Vérifier que 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥 − 2) + 1. 0,5pt
b) En déduire que (𝐶𝑔 ) est l’image de (𝐶ℎ ) par une transformation du plan que l’on
précisera 0,25pt
4) Montrer que le point Ω(2,1) est centre de symétrie pour la courbe (𝐶𝑔 ) de 𝑔. 0,5pt
5) a) On pose 𝑡(𝑥) = 𝑓 𝜊 ℎ(𝑥). Déterminer l’ensemble de définition de 𝑡 . 0,5pt
b) Exprimer 𝑡(𝑥) en fonction de 𝑥. 0,25pt
6) On considère la fonction φ définie par 𝜑(𝑥) = 𝑥 + √|𝑥 2 − 4|.
a) Déterminer l’ensemble de définition de 𝜑 . 0,25pt
b) Écrire les restrictions de 𝜑 respectivement sur les intervalles ]−∞; −2] ; [−2; 2]. 0,75pt
PARTIE B : EVALUATION DES COMPÉTENCES (05points)

Situation :
Trois amis, PAUL, STYVE et DERICK possède chacun une boîte contenant trois jetons
rouges, quatre jetons noirs et un jeton blanc. Ils participent à un jeu de tirage simultané de
trois jetons dans la boîte. Un jeton blanc tiré rapporte la somme de 400 FCFA, un jeton rouge
tiré rapporte la somme de 100 FCFA et un jeton noir tiré fait perdre la somme de 200 FCFA.
Le jeu est jugé favorable si au terme du tirage le joueur obtient un gain positif ; il est jugé
équitable si au terme du tirage le gain est nul. Un joueur est considéré comme perdant lorsqu’il
a tiré uniquement des jetons de même couleur. Avant le début du jeu, les trois amis possèdent
chacun une somme d’argent initiale et conviennent qu’à chaque partie, le perdant double
l’avoir de chacun des deux autres joueurs. Après trois parties où chacun en a perdu une, ils
réalisent que chaque joueur a un avoir final de 2400 FCFA. Après ces jeux, PAUL décide de
se remettre dans ses travaux champêtres. Pour plus de sécurité, il aimerait clôturer son
champ avant le début des travaux. Pour cela, il fait appel à un ingénieur topographe qui lui
donne le conseil suivant :
≪ Il faut prévoir une entrée délimitée par deux potos 𝐸 et 𝐹 . En suite construire la clôture
𝜋
suivant l’ensemble des points 𝑀 verifiant : 𝑀𝑒𝑠(𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐹 ) = 4 + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ ≫
Tâches :
1) Quel est le nombre de possibilités de tirage où le jeu est équitable ? 1,5pt
2) Quels étaient les avoirs initiaux de chacun des joueurs avant le début du jeu ? 1,5pt
3) Déterminer puis construire l’entrée et la clôture prévue par le topographe. 1,5pt
Présentation : 0,5pt
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PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES (15points)

Exercice 1 : (05,5 points)

Exercice 2 : (05,25 points)

1) Ecrire 𝐸 comme barycentre de 𝐴 𝑒𝑡 𝐵, puis 𝐹 comme barycentre de 𝐴 𝑒𝑡 𝐷. 0,5pt

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