Fonctions à variations bornées

Introduction
Dans ce problème, on s’intéresse aux fonctions à variations bornées. Cette notion
a été introduite en 1881 par Jordan 1 pour étendre un théorème de Dirichlet 2 sur
la convergence des séries de Fourier 3 . Il est composé de sept parties A, B, C, D, E,
F et G.
Dans la partie A on établit quelques propriétés élémentaires relatives aux fonc-
tions à variations bornées. En introduction de la partie B, on définit une notion de
longueur bornée et de longueur pour les fonctions à valeurs dans R. Son objectif est
d’établir des propriétés générales sur cette notion : une inégalité triangulaire, une
relation de Chasles... Dans la partie C on établit l’équivalence entre “être de longueur
bornée sur tout segment” et “être à variations bornées”. La partie D se consacre au
cas des fonctions de classe C1 . On y démontre qu’elles sont toujours de longueur
bornée et on donne une formule pour calculer leur longueur. La partie E s’intéresse
au cas des fonctions périodiques. La partie F est consacrée à l’étude d’un exemple.
Dans la partie G, on étend les définitions et les propriétés présentées précédemment
aux cas des fonctions à valeurs dans Rn . Sauf mentions contraires explicitées dans
le texte, les parties de ce sujet ne sont pas a priori indépendantes.

Notations et définition
• Pour n ∈ N∗ et A ⊆ R, F(A, Rn ) désigne l’ensemble des fonctions de A vers Rn .
Pour tout f ∈ F(A, Rn ) et B ⊆ A, f |B désigne la restriction de f à B.
• Dans tout le problème, I désignera un intervalle de R non vide et non réduit à un
point.
• Pour f ∈ F(I, R), on dit que f est à variations bornées lorsqu’il existe
g ∈ F(I, R) croissante et h ∈ F(I, R) décroissante telles que f = g + h.

A. Premières propriétés
A1 Établir que toute fonction monotone définie sur I est à variations bornées.
A2a Montrer que l’ensemble des fonctions à variations bornées définies sur I est un
sous-espace vectoriel de F(I, R).
A2b Établir que ce sous-espace est engendré par l’ensemble des fonctions croissantes
sur I.
Dans la fin de cette partie, on considère f ∈ F(I, R) une fonction à variations
bornées, et a et b deux éléments de I tels que a < b.
A3 Soit α ∈ I. Démontrer qu’il existe k ∈ F(I, R) croissante et l ∈ F(I, R) dé-
croissante telles que f = k + l et k(α) = 0.
1
Camille Marie Ennenmond Jordan, mathématicien français, Lyon 1838 – Paris 1922.
2
Gustav Peter Dirichlet, mathématicien allemand, Düren 1805 – Göttingen 1859.
3
Joseph Jean-Baptiste Fourier, mathématicien français, Auxerre 1768 – Paris 1830.

1
A4 On écrit f = g + h avec g croissante sur I et h décroissante sur I. Prouver que :

g(b) − g(a) > f (b) − f (a) > h(b) − h(a).

A5 Montrer que f est bornée sur le segment [a, b].

A6 Établir qu’en tout point intérieur à I, la fonction f admet une limite à droite
et une limite à gauche.

B. Fonctions de longueur bornée

Soient a et b dans I avec a < b et f ∈ F(I, R). On rappelle qu’une subdivision
σ de [a, b] est une suite finie, strictement croissante, qu’on peut noter (σk )06k6p où
p ∈ N∗ , et vérifiant σ0 = a et σp = b.
Pour σ = (σk )06k6p une subdivision de [a, b] avec p ∈ N∗ , on pose :
i=p
X
`(σ, f ) = |f (σi ) − f (σi−1 )|.
i=1

On dit que f est de longueur bornée sur le segment [a, b] lorsqu’il existe
Λ ∈ R tel que pour tout σ subdivision de [a, b] on ait `(σ, f ) < Λ. Si f est
de longueur bornée sur [a, b], on définit alors Lba (f ), la longueur de a à b
de f , par :

Lba (f ) = sup{ `(σ, f ) | σ est une subdivision de [a, b] }.

σ

De plus, on pose également Lab (f ) = −Lba (f ) et Laa (f ) = 0.

Dans cette partie, on considère f et g dans F(I, R) et a, b, c trois éléments de I

tels que a < c < b.
B1 On suppose que f est de longueur bornée sur [a, b]. Montrer que :

Lba (f ) > 0.

B2 On suppose que f est de longueur bornée sur [a, b]. Montrer que :

|f (b) − f (a)| 6 Lba (f ).

B3 On suppose que f et g sont de longueur bornée sur [a, b]. Établir que f + g est
de longueur bornée sur [a, b] et que :

Lba (f + g) 6 Lba (f ) + Lba (g).

B4 On suppose que f est de longueur bornée sur [a, c] et sur [c, b]. On considère
une subdivision σ = (σk )06k6p de [a, b] et on pose :

q = max{ j ∈ {0, · · · , p} | σj < c }



r = min{ j ∈ {1, · · · , p} | σj > c }

2
B4a Justifier l’existence de q et de r.
On définit alors les suites finies σ 0 et σ 00 par :
σj0 = σj si j ∈ {0, . . . , q}

0
σq+1 =c

σ000 = c


σj00 = σj+r−1 si j ∈ {1, . . . , p − r + 1}

B4b Montrer que σ 0 est une subdivision de [a, c] et que σ 00 est une subdivision de
[c, b].
B4c Montrer que `(σ, f ) 6 `(σ 0 , f ) + `(σ 00 , f ).
B4d Prouver que f est de longueur bornée sur [a, b] et que :
Lba (f ) 6 Lca (f ) + Lbc (f ).

B5 On suppose maintenant que f est de longueur bornée sur [a, b] et on considère

une subdivision quelconque σ 0 de [a, c] et une subdivision quelconque σ 00 de
[c, b].
B5a Démontrer qu’il existe une subdivision de [a, b], notée σ, telle qu’on ait
`(σ, f ) = `(σ 0 , f ) + `(σ 00 , f ).

B5b Montrer que f est de longueur bornée sur [a, c] et sur [c, b] et que :
Lba (f ) > Lca (f ) + Lbc (f ).

B6 On suppose maintenant que f est de longueur bornée sur tout segment de I.

Soient α, β, γ dans I, établir l’égalité :
Lβα (f ) + Lγβ (f ) = Lγα (f ).

C. Lien entre “être de longueur bornée”

et “être à variations bornées”
On considère f ∈ F(I, R).
C1 Soient a et b dans I avec a < b.
C1a Soit q ∈ F(I, R) une fonction monotone. Prouver que q est de longueur bornée
sur [a, b] et qu’on a :
Lba (q) = |q(b) − q(a)|.
C1b On suppose que f est une fonction à variations bornées. Montrer que f est de
longueur bornée sur [a, b].
C2 On suppose que f est de longueur bornée sur tout segment de I. On choisit λ
dans I et on définit alors les fonctions g et h, pour tout t ∈ I, par :

1 1
f (t) + Ltλ (f ) f (t) − Ltλ (f )



g(t) = et h(t) =
2 2
Prouver que g est croissante sur I et que h est décroissante sur I.

3
C3 En déduire que f est à variations bornées si et seulement si f est de longueur
bornée sur tout segment de I.

D. Cas des fonctions de classe C1

On considère une fonction f ∈ F(I, R) de classe C1 sur I. Le but de cette partie
est de montrer que f est de longueur bornée sur tout segment de I et que pour tous
α et β dans I on a Z β
Lβα (f ) = |f 0 (t)|dt.
α
Z v
D1 Soient u et v dans I avec u < v, établir que |f (u) − f (v)| 6 |f 0 (t)| dt.
u
D2 Soient a et b dans I avec a < b.
Z b
D2a Soit σ une subdivision de [a, b]. Établir que `(σ, f ) 6 |f 0 (t)| dt.
a
D2b Démontrer que f est de longueur bornée sur [a, b] et que
Z b
b
La (f ) 6 |f 0 (t)|dt.
a

D3 Soient a et b dans I avec a < b, et soit un réel ε > 0.

D3a Montrer qu’il existe p ∈ N∗ et σ = (σk )06k6p une subdivision de [a, b], tels que
pour tout i ∈ {1, . . . , p} et pour tout x et y éléments de [σi−1 , σi ] on ait
ε
|f 0 (x) − f 0 (y)| < .
b−a
D3b Prouver que pour tout i ∈ {1, . . . , p} il existe ci ∈ [σi−1 , σi ] tel que
|f 0 (ci )|(σi − σi−1 ) = |f (σi ) − f (σi−1 )|.

D3c En déduire que pour tout i ∈ {1, . . . , p}, on a

Z σi
ε(σi − σi−1 )
|f (σi ) − f (σi−1 )| > |f 0 (t)|dt − .
σi−1 b−a

D3d Établir que Z b

`(σ, f ) > |f 0 (t)|dt − ε.
a

D4 Conclure.
D5 Établir que f est à variations bornées.

E. Cas des fonctions périodiques

Dans cette partie on s’intéresse aux fonctions périodiques à variations bornées.
On y utilise certains résultats de la partie A. Par ailleurs, les résultats de cette partie
ne sont pas utilisés dans les autres parties.

4
 Pour x ∈ R, on note [x] la partie entière de x. On rappelle que [x] est l’unique
élément de Z vérifiant
[x] 6 x < [x] + 1.
On rappelle également que la fonction partie entière h xest
i croissante. On considère
T ∈ R∗+ et on définit la fonction p sur R par p(x) = .
T
E1 Pour tout x ∈ R, montrer que x − p(x)T ∈ [0, T [.
E2 Pour a et b deux réels tels que a 6 b, établir que :

p(a) = p(b) ou p(a) + 1 6 p(b).

E3 Soit f ∈ F(R, R) une fonction périodique de période T . On suppose que f |[0,T ]

est à variations bornées. On peut donc écrire f |[0,T ] = k+l avec k ∈ F([0, T ], R)
croissante, l ∈ F([0, T ], R) décroissante et k(0) = 0 (d’après A3). Pour x ∈ R,
on pose :

g(x) = p(x)k(T ) + k (x − p(x)T )

h(x) = f (x) − g(x).

E3a Justifier que les fonctions g et h sont bien définies sur R.

E3b Soient a et b deux réels tels que a 6 b. Montrer que g(a) 6 g(b).


E3c Montrer que pour tout réel x on a : h(x) = −p(x)k(T ) + l x − p(x)T .
E3d Montrer que pour tout u ∈ [0, T ] on a l(0) > l(u) > l(0) − k(T ).
E3e Prouver finalement que f est à variations bornées.
E4 On considère la fonction
1
ψ : x 7−→
x − [x] − 1
E4a Montrer que ψ est bien définie sur R et est périodique de période 1.
E4b Parmi les trois fonctions ψ|[0,1[ , ψ|[0,1] et ψ, quelles sont celles qui sont à varia-
tions bornées ? On justifiera chacune des réponses.

Dans la fin de cette partie, on considère la fonction ϕ définie, pour x ∈ R, par :

ϕ(x) = |sin x| + sin x.

E5 Donner, sans justification, la représentation graphique de ϕ|[−2π,2π] dans un re-

père qu’on choisira.
E6 Montrer que ϕ est à variations bornées.
E7 D’après A3 et E6, on peut écrire ϕ = g + h avec g ∈ F(R, R) croissante vérifiant
g(0) = 0 et h ∈ F(R, R) décroissante.
E7a Établir que l’on a : ∀n ∈ N, g(2nπ) + 2 6 g 2nπ + π2 .

(Indication : On pourra utiliser A4.)

E7b En déduire que l’on a : ∀n ∈ N, g(nπ) > n.
E7c Que vaut lim g(x) ?
x→+∞

E7d En déduire lim h(x).

x→+∞

5
 F. Un exemple de fonction dérivable et bornée
mais non à variations bornées
Les premières questions de cette partie peuvent se traiter indépendamment des
parties précédentes.
On étudie dans cette partie certaines propriétés de la fonction f définie pour
x ∈ R par : 
1
f (x) = x2 sin 2 si x 6= 0

x
 f (0) = 0.

F1a Étudier la parité de f .

F1b Montrer que f est dérivable sur R et calculer f 0 (x) pour tout x réel.
F1c La fonction f est-elle de classe C1 sur R ?
F1d Que vaut lim f (x) ?
x→+∞
F1e En déduire que f est bornée.
 
4n + 1
F2 Montrer que la série de terme général ln (n > 1) est divergente.
4n − 1
s
2
F3 On considère la suite (un )n>1 définie par un =
(2n − 1)π
F3a Vérifier que la suite (un )n>1 est décroissante et est de limite nulle.
F3b Soit n ∈ N∗ . Établir que
Z un
  √ Z q 4
1  1  2 (4n−1)π 1
cos dt > dt.
un+1 t t2  2 q
4
(4n+1)π
t

un
Z  
1  1 
F3c Prouver alors que la série de terme général cos 2  dt (n > 1) est di-
un+1 t t
vergente.
u1
Z  
1  1 
F3d En déduire que l’intégrale cos 2  dt est divergente.
0 t t
Z 1
F4a Montrer que l’intégrale f 0 (t) dt est convergente mais qu’elle n’est pas abso-
0
lument convergente.
Z 1
F4b Que vaut lim+ |f 0 (t)| dt ?
x→0 x
F5 Soient a et b deux réels tels que a < b et ab 6 0. Prouver que f n’est pas de
longueur bornée sur [a, b].
F6 Soit J un intervalle de R non vide et non réduit à un point. Démontrer que
l’application f |J est à variations bornées si et seulement si 0 6∈ J.

6
 G. Généralisation au cas
des fonctions à valeurs dans Rn
Dans cette partie, on considère un entier n > 2 et on munit Rn de sa structure
euclidienne canonique ; la norme euclidienne k·k associée est donc définie, pour x =
(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , par v
u i=n
uX
kxk = t x2 . i
i=1

On peut prolonger la définition introduite au début de la partie B, de fonction

de longueur bornée aux fonctions à valeurs dans Rn de la manière suivante :
Etant données a et b dans I avec a < b et f ∈ F(I, Rn ), pour σ = (σk )06k6p
une subdivision de [a, b] avec p ∈ N∗ , on pose :
i=p
X
`(σ, f ) = kf (σi ) − f (σi−1 )k .
i=1

On dit que f est de longueur bornée sur le segment [a, b] lorsqu’il existe
Λ ∈ R tel que pour tout σ subdivision de [a, b] on ait `(σ, f ) < Λ. Si f est
de longueur bornée sur [a, b], on définit alors Lba (f ), la longueur de a à b
de f , par :

Lba (f ) = sup{ `(σ, f ) | σ est une subdivision de [a, b] }.

σ

De plus, on pose également Lab (f ) = −Lba (f ) et Laa (f ) = 0.

Dans cette partie, on considère deux éléments a et b de I tels que a < b, et
f ∈ F(I, Rn ). Pour i ∈ {1, . . . , n}, on note fi la i-ième composante de f . Ainsi, pour
tout t ∈ I, on a f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)) (on remarquera que fi ∈ F(I, R)).
G1 Soit R un automorphisme orthogonal de Rn . Montrer que si f est de longueur
bornée sur [a, b] alors R ◦ f l’est aussi sur [a, b] et que :

Lba (R ◦ f ) = Lba (f ).

G2 On suppose que f est de longueur bornée sur [a, b]. Montrer que pour tout
i ∈ {1, . . . , n}, la fonction fi est de longueur bornée sur [a, b] et que :

Lba (fi ) 6 Lba (f ).

G3 On suppose que pour tout i ∈ {1, . . . , n}, fi est de longueur bornée sur [a, b].
Démontrer que f est de longueur bornée sur [a, b] et que :
i=n
X
Lba (f ) 6 Lba (fi ).
i=1

G4 Démontrer que f est de longueur bornée sur tout segment de I si et seulement

si pour tout i ∈ {1, . . . , n}, fi est à variations bornées.

7
G5 On suppose maintenant que f est de longueur bornée sur tout segment de I.
Soient α, β, γ dans I. Établir l’égalité :

Lβα (f ) + Lγβ (f ) = Lγα (f ).

Dans toute la suite, on suppose que f ∈ F(I, Rn ) est de classe C 1 sur I et on

rappelle que :
∀t ∈ I, f 0 (t) = f10 (t), . . . , fn0 (t) .

G6 Prouver que f est de longueur bornée sur tout segment de I.

G7 Soit T un endomorphisme de Rn . Montrer que T ◦ f est de classe C1 sur I et
que (T ◦ f )0 = T ◦ f 0 .
G8 On définit la fonction w, pour x ∈ I, par w(x) = Lxa (f ) et on considère t ∈ I.
G8a Montrer qu’il existe ~u ∈ Rn tel que k~uk = 1 et f 0 (t) = kf 0 (t)k ~u.
G8b Prouver qu’il existe R un automorphisme orthogonal de Rn tel que :

R(~u) = (1, 0, . . . , 0).

On pose alors g = R ◦ f et (g1 , . . . , gn ) = g.

G8c Montrer que g est de classe C1 sur I et établir que :

g10 (t) = kf 0 (t)k et ∀i ∈ {2, . . . , n}, gi0 (t) = 0.

G8d Montrer que g est de longueur bornée sur tout segment de I.

G8e Soit v ∈ R∗ tel que t + v ∈ I, prouver que
i=n
1 t+v 1 1 X t+v
Lt (g1 ) 6 Lt+v (f ) 6 L (gi ).
v v t v i=1 t

G8f En déduire que w est dérivable en t et que w0 (t) = kf 0 (t)k.

G9 Établir que : Z b
b
La (f ) = kf 0 (t)k dt.
a

G10 Soit h ∈ F([a, b], Rn ) une fonction de classe C1 sur [a, b[ telle que l’intégrale
Z b
h0 (t) dt soit absolument convergente. On veut montrer que h est de longueur
a
bornée sur [a, b] et exprimer Lba (h). On considère ε ∈ R∗+ .
G10a Prouver que h|[a,b[ admet une limite finie en b. On notera H cette limite.
G10b Soit x ∈ [a, b]. Montrer que :
Z b
kh(x) − h(b)k 6 kH − h(b)k + kh0 (t)k dt.
x

G10c Soit σ une subdivision de [a, b]. Établir que :

Z b
`(σ, h) 6 kH − h(b)k + kh0 (t)k dt.
a

8
G10d Montrer qu’il existe d ∈ ]a, b[ tel que :
Z b
ε
kH − h(b)k − 6 kh(d) − h(b)k − kh0 (t)k dt.
2 d

G10e Montrer qu’il existe une subdivision σ 0 de [a, d] telle que :

Z d
ε
kh0 (t)k dt − 6 `(σ 0 , h).
a 2

G10f Montrer qu’il existe une subdivision, σ 00 de [a, b] telle que :

Z b
kH − h(b)k + kh0 (t)k dt − ε 6 `(σ 00 , h).
a

G10g Conclure.
G11 Soit h ∈ F([a, b], Rn ) telle que h soit de classe C1 sur [a, b[ et que l’intégrale
Z b
h0 (t) dt ne soit pas absolument convergente. Soit A ∈ R.
a
Z c
G11a Démontrer qu’il existe c ∈ [a, b[ tel que kh0 (t)k dt > A + 1.
a
G11b Montrer qu’il existe une subdivision σ de [a, b] telle que `(σ, h) > A.
G11c Prouver que h n’est pas de longueur bornée sur [a, b].

FIN DE L’ÉPREUVE
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