L1 Parcours Spécial Mathématiques

TD no 3 : Fonctions d’une variable réelle

Limites

Exercice 3.1. 1. Soit x0 ∈ R. Montrer que

1
x −−−−→ x0 , x2 −−−−→ x20 et 1− −−−−−→ 1.
x→x0 x→x0 x x→+∞
2. Montrer que l’application x �→ cos(x) n’admet pas de limite en +∞.

Exercice 3.2. Soient I un intervalle de R, f une fonction de I dans R, a ∈ I¯ et l ∈ R.

1. Montrer que f tend vers l en a si et seulement si l’une des assertions suivantes est vérifiée :

∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I, |x − a| � δ =⇒ |f (x) − l| < ε (1)

ε
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I, |x − a| � δ =⇒ |f (x) − l| � (2)
2
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < δ =⇒ |f (x) − l| < ε (3)

2. Montrer que ce n’est pas le cas avec les assertions suivantes :

∀ε > 0, ∃δ � 0, ∀x ∈ I, |x − a| � δ =⇒ |f (x) − l| � ε (4)

∀ε � 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I, |x − a| � δ =⇒ |f (x) − l| � ε (5)

Exercice 3.3. Soit α > 0. Soit f :]0, +∞[→ R une fonction qui tend vers α en 0. Montrer
qu’il existe δ > 0 tel que f (x) > 0 pour tout x ∈]0, δ[.

Exercice 3.4. Étudier l’existence et, le cas échéant, la valeur des limites suivantes :

4x5 + 4x3 + x2 4x5 + 4x3 + x2 4x5 + 4x3 + x2

1. lim 2. lim 3. lim
x→+∞ −3x2 + 50x x→0 −3x2 + 50x x→3 −3x2 + 50x

x2 − 1 1 x2 + |x|
4. lim 5. lim 6. lim
x→0 x3 + 4x2 + x x→8 x − 8 x→0 x
√ √
√ √ 1 + x − 1 + x2
7. lim x+3− x+2 8. lim
x→+∞ x→0 x
Exercice 3.5. On note E la fonction qui à un réel x associe sa partie entière (E(x) est le
plus grand entier inférieur ou égal à x).
1. Étudier les limites éventuelles de E en 0, +∞ et −∞. � �
2. Étudier la limite éventuelle en 0 de la fonction x �→ xE x1 .
Exercice 3.6. Soient f et g deux fonctions de R dans R. On suppose qu’il existe a0 , a1 , a2 , b0 , b1 , b2 ∈
R et deux fonctions ε1 et ε2 de R dans R tels que ε1 et ε2 tendent vers 0 en 0 et pour tout
x ∈ R on a

f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + x2 ε1 (x) et g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + x2 ε2 (x).

1. Montrer qu’il existe c0 , c1 , c2 ∈ R et une fonction ε de R dans R qui tend vers 0 en 0 tels
que pour tout x ∈ R
(f + g)(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + x2 ε(x)
2. Même question en remplaçant f + g par f g.
Exercice 3.7. Soit f une fonction de R dans R. On suppose qu’il existe a0 , a1 , a2 ∈ R et
ε : R → R une fonction qui tend vers 0 en 0 tels que pour tout x ∈ R on a
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + x2 ε(x).
1. On suppose que a0 �= 0. Montrer qu’il existe ν > 0 tel que pour tout x ∈ [−ν, ν], f (x) a
même signe que a0 .
2. On suppose que a0 = 0 et a1 �= 0. Montrer qu’il existe ν > 0 tel que pour tout x ∈ [−ν, ν],
f (x) a même signe que a1 x.
3. On suppose que a0 = a1 = 0 et a2 �= 0. Montrer qu’il existe ν > 0 tel que pour tout
x ∈ [−ν, ν], f (x) a même signe que a2 x2 .
4. Que peut-on dire du signe de f au voisinage de 1 ?
Exercice 3.8. Soit f : R → R une fonction 1-périodique (i.e. f (x + 1) = f (x) pour tout
x ∈ R). On suppose que f admet une limite en +∞. Montrer que f est constante.

Propriétés des fonctions continues

Exercice 3.9. Soit f une fonction de [0, +∞[ dans R. On suppose que f est continue sur
[ε, +∞[ pour tout ε > 0.
1. Montrer que f est continue sur ]0, +∞[.
2. A l’aide d’un contre-exemple, montrer que f n’est pas nécessairement continue sur [0, +∞[.
Exercice 3.10. Soient f+ et f− des fonctions continues de R+ dans R et de R∗− dans R,
respectivement. Pour x ∈ R on pose
�
f+ (x) si x � 0,
f (x) =
f− (x) si x < 0.

La fonction f ainsi définie est-elle bien continue ?

Exercice 3.11. Soit f une fonction de R dans R.
1. Montrer que si f est continue sur R, alors la fonction |f | (qui à x associe |f (x)|) l’est
également.
2. Montrer que la réciproque est fausse.
Exercice 3.12. Soit f : R → R une fonction continue telle que limx→+∞ f (x) = +∞ et
limx→−∞ = −∞. Montrer qu’il existe x0 ∈ R tel que f (x0 ) = 0.
Exercice 3.13. Un marcheur parcourt six kilomètres en une heure (il ne marche pas for-
cément à vitesse constante). Montrer qu’il existe un intervalle de temps d’une demi-heure
pendant lequel il marche exactement trois kilomètres.
Exercice 3.14. Soit f une fonction continue de R dans R. On suppose que f tend vers +∞
quand x tend vers −∞ et vers +∞. Montrer que f est minorée et atteint son minimum.

Dérivabilité
Exercice 3.15. Pour x ∈ R on pose
� �1�
x2 sin x si x �= 0,
f (x) =
0 si x = 0.

1. La fonction f est-elle continue sur R ?

2. La fonction f est-elle dérivable sur R ?
3. La fonction f est-elle de classe C 1 sur R ?
Exercice 3.16. Soit f la fonction définie sur R par
�
xex si x � 1,
f (x) =
ax + b si x > 1.

Déterminer a, b pour que f soit dérivable en 1, puis faire l’étude de f et tracer son graphe.
 x+1
2
Exercice 3.17. On considère la fonction définie par f (x) = (x−1) 2e
x−1 .

1. Donner son domaine de définition Df . La fonction est elle continue ? Dérivable ?

2. Calculer f � et donner le tableau de variation de f .
3. Montrer que l’équation f (x) = 12 a trois solutions dans R.
4. Tracer le graphe de f .
Exercice 3.18. Soit f une fonction continue de [0, +∞[ dans R et dérivable sur ]0, +∞[. On
suppose que f � tend vers une limite l ∈ R en 0. Montrer que f est dérivable en 0 de dérivée
f � (0) = l.
Exercice 3.19. Soit f : R → R une fonction dérivable. On suppose qu’il existe l ∈ R tel que
f tend vers l en +∞ et −∞. Montrer qu’il existe x0 ∈ R tel que f � (x0 ) = 0.

Fonctions usuelles
Exercice 3.20. Dans cet exercice on ne suppose pas connue la fonction exponentielle. On
suppose que f est une fonction de R dans R telle que :
(i) f (0) = 1,
(ii) f est dérivable sur R et f � = f .
1. En considérant la fonction t �→ f (t)f (−t), montrer que pour tout t ∈ R on a f (t) �= 0 et
1
f (−t) = .
f (t)
2. Montrer que f (t) > 0 pour tout t ∈ R.
3. Montrer que si g est une fonction dérivable de R dans R telle que g � = g et g(0) = 1, alors
g = f.
4. Soient α ∈ R et C ∈ R. Montrer qu’il existe une unique fonction h dérivable de R dans R
telle que h(0) = C et h� = αh, donnée par h : t �→ Cf (αt).
5. Soit s ∈ R. En considérant la fonction t �→ f f(t+s)
(s) , montrer que f (t + s) = f (t)f (s) pour
tout t ∈ R.
6. Montrer que f est croissante, puis que pour tout t � 0 on a f (t) � t. En déduire les limites
de f en +∞ et en −∞.
7. Soit n ∈ N∗ . On considère la fonction ϕn : x �→ xfn+1 (x)
. Montrer que ϕn est croissante sur
[n, ∞[. En déduire la limite de fx(x)n en +∞.
8. Montrer que f définit une bijection de R dans ]0, +∞[. Montrer que la bijection réciproque
est dérivable et calculer sa dérivée en tout point.
Exercice 3.21. Étudier l’existence et, le cas échéant, la valeur des limites suivantes :

1. lim x3 e−x 2. lim x−3 e−x 3. lim x−2 ln(x)3 4. lim (x ln(x))−4 ex
x→+∞ x→0 x→+∞ x→+∞

1
5. lim ln(x)4 xe−2x 6. lim x2 e2x 7. lim x sin(1/x) 8. lim ln(ex + e−x )
x→0 x→−∞ x→0 x→0 x
� �x
1 sin2 (x) ln(x) e2x − e2
9. lim 1+ 10. lim 11. lim 12. lim
x→+∞ x x→π 1 + cos(x) x→1 x − 1 x→1 x − 1

2
Exercice 3.22. On considère la fonction f définie par f (x) = ecos x+sin x .
1. Étudier la fonction f sur l’intervalle
√ I = [0, 2π].
2. Combien l’équation f (x) = e a-t-elle de solution dans I ?
� x π
�
Exercice 3.23. On considère la fonction f définie par f (x) � tan( 2 + 4 ) .
� =π ln
1. Montrer que f est définie, continue et dérivable sur I = 0, 2 .
2. Calculer f � (x) et simplifier l’expression.
3. Montrer que f est une bijection de I sur un intervalle J à déterminer.
4. On note g la fonction réciproque de f .
a. Préciser les variations de g.
b. Calculer g � (f (x)) pour tout x ∈ I.
c. Expliciter g et retrouver les résultats précédents.
Exercice 3.24. 1. Montrer que pour tout x ∈ [−1, 1] on a
π
arccos(x) + arcsin(x) = .
2
� � � � � �
2. Calculer arccos sin(3π/2) , arcsin sin(11π/7) � ,2 arctan
� tan(−17π/5) .
3. On considère sur R la fonction f : x �→ arcsin xx2 −1 +1 .
a. Montrer que f est définie et continue sur R et dérivable au moins sur R∗ .
b. Calculer sa dérivée et la simplifier au maximum.
c. f est-elle dérivable en 0 ?
d. Donner une expression plus simple de f par une fonction usuelle.
� �
1
Exercice 3.25. 1. Pour x ∈ R , calculer : arctan(x) + arctan
∗
.
x
2
2. Donner deux expressions de la dérivée de x �→ tan(x). � 1 �En déduire cos (arctan x).
3. On considère la fonction définie par g(x) = arctan √x sur I =]0, +∞[.
a. Montrer que g est continue sur I.
b. Calculer la limite de g à droite en 0. Montrer qu’on peut prolonger g par continuité en
0. On note toujours g la fonction ainsi prolongée.
c. Montrer que g est dérivable sur I et calculer g � .
d. g est telle dérivable en 0 ? On pourra utiliser la question 1.
e. Montrer que g est une bijection de [0, +∞[ sur un intervalle J à déterminer.
f. La fonction réciproque g −1 est-elle croissante ? décroissante ?
� πx �
2 +1
Exercice 3.26. Pour x > 1 on note f (x) = sin x−1 .
1. Donner l’ensemble de définition ainsi que l’ensemble image de la fonction arcsin.
πx0
+1
2. Montrer qu’il existe x0 > 1 tel que x20 −1 = 3π 2 .
3. Montrer que f définit une bijection de [x0 , +∞[ vers un intervalle J que l’on précisera. On
notera g la réciproque cette bijection.
4. Donner une expression de g.

Dérivées d’ordres supérieurs - Développements limités

|x|2 x
Exercice 3.27. Montrer que pour tout x ∈ R on a |ex − 1 − x| � 2 e .
Exercice 3.28. Soit f une fonction de classe C 2 de R dans R. Soit x0 ∈ R.
1. a. Montrer que si f admet un minimum local en x0 alors f � (x0 ) = 0 et f �� (x0 ) � 0.
b. Montrer que la réciproque n’est pas vraie.
2. On suppose que f � (x0 ) = 0 et f �� (x0 ) > 0. Montrer que f admet un minimum local strict
en x0 .
Exercice 3.29. Donner les développements limités des fonctions suivantes en 0, à l’ordre
indiqué entre parenthèses :
√
(i) x �→ 1 + x × ln(1 + x) (à l’ordre 3) (iv) tan (à l’ordre 5)
(ii) x �→ sin(x)/(1 + x) (à l’ordre 4) (v) arctan (à l’ordre 5)
cos(x) tan(x)
(iii) x �→ e (à l’ordre 4) (vi) x �→ 1+arctan(x) (à l’ordre 3)

Exercice 3.30. 1. Calculer le développement limité au point 1 et à l’ordre 3 de la fonction

x �→ ln(x)
x2 . � �
2. Calculer le développement limité au point π3 et à l’ordre 3 de la fonction x �→ sin2 x2 .
Exercice 3.31. Étudier l’existence et, le cas échéant, la valeur des limites suivantes :
1 1
�
1. lim± 2. lim e x x2 + 2x − x
x→0 x cos(x) − sin(x) x→+∞

ex − tan(x) − cos(x) ln(sin(x))

3. lim 2
4. limπ
x→0 sin(x ) ln(1 + x) x→ 2 (π − 2x)2

Exercice 3.32. On considère sur R la fonction f : x �→ cos(x) − 1 + (ex − 1)3 . En utilisant

un développement limité, montrer que f admet un maximum local en 0.