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    td7 Dérivabilité

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    TD7 : Dérivabilité

    Exercice 1 (⋆) Soit la fonction f définie par f (x) = x + ln(x) sur R∗+ .
    a) Montrer que f réalise une bijection de R∗+ vers R.
    b) Pour quel point a ∈ R, la réciproque f −1 est-elle continue, dérivable en a.
    Exercice 2 (⋆) Montrer que f (t) = 1−et −t réalise une bijection entre des intervalles que l’on
    déterminera. Etudier la continuité et dérivabilité de la réciproque.
    Exercice 3 (⋆) Soit f une fonction définie dans un voisinage de a ∈ R et dérivable en a. Calculer :
    f (a + h) − f (a − h) af (x) − xf (a)
    lim et lim .
    h→0 2h x→a x−a
    √
    Exercice 4 (⋆) Soit f définie par f (t) = (1 − t) 1 − t2 . Déterminer les domaines sur laquelle la
    fonction f est définie, continue puis dérivable. Calculer lorsque cela est possible la dérivée de f .
    Exercice 5 (⋆⋆) Soit f définie sur un intervalle I voisinage de 0. On suppose que f est continue
    et dérivable en 0 et telle que :
    f (x)+f (y)
    pour tout x, y ∈ I, f (x + y) = 1−f (x)f (y) .

    a) Calculer f (0). Montrer qu’il existe un intervalle ] − a, a[ tel que |f (x)| < 12 .
    b) Montrer que f est continue sur ] − a, a[.
    c) Montrer que f est dérivable sur ] − a, a[ et calculer sa dérivée.
    d) En déduire la fonction f .

    7.1 Théorème des accroissements finis


    Exercice 6 (⋆⋆) (Règle de l’Hôpital) Soit I un intervalle et a ∈ I. Soient f et g deux fonctions
    dérivables sur I tels que f (a) = g(a) = 0 et g ′ ne s’annule pas sur I \ {a}.
    a) Soit x > a. Montrer qu’il existe c(x) ∈]a, x[ tel que f ′ (c(x))g(x) = g ′ (c(x))f (x).
    b) Montrer que g ne s’annule pas sur I \ {a}.
    f (x) f ′ (x)
    c) On suppose que lima f ′ /g ′ existe. Montrer que la limx→a g(x) = limx→a g ′ (x) .
    Exercice 7 (⋆⋆) Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C 2 . On suppose que f (a) = f ′ (b) = 0.
    ′

    Montrer que :
    (b − a)2
    |f (b) − f (a)| ≤ sup |f ′′ (x)|.
    2 x∈[a,b]

    Exercice 8 (⋆⋆) Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C 1 . On suppose que f (a) = 0 et
    f (b)f ′ (b) < 0. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f ′ (c) = 0.
    Exercice 9 (⋆⋆) Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction dérivable non constante telle que f ◦ f = f .
    Montrer que f est l’application identité de [0, 1].

    7.2 Fonctions convexes


    Exercice 10 (⋆) Soit f, g : R → R deux fonctions convexes et de classe C 2 sur R.
    a) Montrer que si g est croissante alors g ◦ f est convexe.
    b) Montrer que si f : I → f (I) est strictement croissante alors f −1 est concave.
    Exercice 11 (⋆⋆) Soit f : [a, b] → R une fonction convexe.
    Pn
    a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , x1 , ..., xn ∈ [a, b] et α1 , ..., αn ∈ [0, 1] tels que k=1 αn = 1,
    on a l’Inégalité de Jensen :

    f (α1 x1 + ... + αn xn ) ≤ α1 f (x1 ) + ...αn f (xn ).


    x1 +...+xn
    b) En déduire que pour x1 , ..., xn ∈ R∗+ , on a (x1 ...xn )1/n ≤ n .

    N.Provost PCSI1 2023-2024

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