1998

MATHMATIQUES I
Filire MP
Soient a et b tels que a < b + et f une fonction de ] a, b [ dans IR , de classe C sur ] a, b [ . f est dite absolument monotone (en abrg AM) si n IN , x ] a ,b [ , f ( n )(x ) 0 .
f est dite compltement monotone (en abrg CM) si n IN , x ] a ,b [ , ( 1 ) n f ( n )(x ) 0 .

Partie I I.A - Soient f et g deux fonctions AM dnies sur ] a, b [ . Montrer que f + g et fg sont AM. Quen est-il pour les fonctions CM ? I.B - Si f est une fonction AM sur ] a ,b [ , montrer par rcurrence que e f lest aussi. I.C - Soient f : ] a, b [ IR et g : ] b, a [ IR dnie par : g ( x ) = f ( x ) . Montrer que f est AM sur ] a ,b [ si, et seulement si, g est CM sur ] b , a [ . I.D I.D.1) I.D.2) Vrier que la fonction ln est CM sur ]0, 1[ . Montrer que f : ]0, 1 [ IR dnie par 1 f (x ) = -----------------1 x2 est AM sur ]0, 1[ . I.D.3) Montrer que la fonction arcsin est AM sur ]0, 1[ . I.D.4) Montrer que la fonction tan est AM sur ]0, -- [ . 2 I.E I.E.1) On suppose dans cette question que a IR et f est AM sur ] a ,b [ . Montrer quil existe IR tel que = lim f .
a
+
On prolonge f en posant f (a) = . Montrer que f est drivable droite en a , et que f ' est continue droite en a . I.E.2) Plus gnralement, montrer que f est indniment drivable droite en a avec des drives positives ou nulles. Le mme phnomne se produit-il en b ? I.F - On suppose dans cette question 0 a < b < + . On note C a ,b lespace vectoriel des fonctions continues de [a ,b ] dans IR .
Concours Centrale-Suplec 1998
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On rappelle quune fonction f de C a ,b est dite positive si, pour tout x [a ,b ] , f (x ) 0 . Une application : C a ,b IR est appele forme linaire positive si elle est linaire et si, de plus, on a : f C a, b , f 0 (f ) 0 . Soit une forme linaire positive et e x la fonction dnie par e x ( t ) = e t [ a ,b ] . On pose ( x ) = ( e x ) . I.F.1) Soit f C a ,b , montrer que ( f ) ( f ) . I.F.2) Montrer que : f C a, b , (f ) (f 0) f o f 0(x ) = 1 et
xt
si
x [a ,b ]
sup
f (x ) .
I.F.3) Montrer que est positive, dcroissante et continue sur [ a ,b ] . I.F.4) On note e n ,x la fonction dnie par : e n, x (t ) = t n e xt si t [ a ,b ] . Montrer que : [a ,b ] IR dnie par (x ) = (e n, x ) est drivable sur [ a ,b ] , dcroissante et que : ' ( x ) = ( e n + 1, x ) . On pourra justier et utiliser le rsultat suivant, vrai pour tout u IR : 0 e u 1 + u e u u 2 2 . I.F.5) Montrer que est indniment drivable sur [ a, b ] et que : ( n )(x ) = ( 1 ) n (e n, x ) . En dduire que est CM. I.F.6) Proposer deux exemples de formes linaires non nulles positives 1 , 2 ; calculer 1 et 2 . Partie II On suppose dans cette partie que : < a < 0 < b + . On utilisera librement la formule de Taylor avec reste intgrale. II.A - Soit f une fonction AM sur ] a ,b [ et
n
R n ( f ,x ) = f ( x ) f ( 0 )
k =1
f ( k )(0) -------------- x k . k!
II.A.1) Prouver que, pour n x, la fonction x R n(f , x ) x n est croissante sur ]0 ,b [ et possde une limite nulle quand x tend vers 0 . II.A.2) Montrer que la srie f ( n )(0) --------------- x n n! converge pour x [0 ,b [ . Soit g ( x ) sa somme, montrer que g f .
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II.A.3) Dduire de II.A.1 et II.A.2 que : g = f sur [0 ,b [ . On pourra prendre 0 < x < y < b et montrer que
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x 0 R n ( f ,x ) -- f ( y ) . y
II.A.4) Montrer que f est dveloppable en srie entire au voisinage de 0 . On pourra poser { 1 ,1 } , h ( x ) = f ( x ) + f ( x ) si x < r et r = min(b, a) . II.B - En suivant les indications de la question I.E, on prolonge f en a . Montrer que pour tout x [ a ,b [
f (x ) =
n=0
f ( n )(a) -------------------- . n!
( x a )n
II.C - Montrer que si f sannule en x 0 ] a ,b [ , alors f est nulle. Donner lensemble des fonctions f AM sur ] a ,b [ telles que, pour un p IN x, f ( p ) possde un zro dans ] a ,b [ . Partie III On suppose dans cette partie que < a < b < + . +* tant donn h IR , on dnit sur lensemble des fonctions relles dune variable relle les applications T h , h et I par : T h ( f ) ( x ) = f ( x + h ) , h ( f ) ( x ) = f ( x + h ) f ( x ) et
I ( f ) ( x ) = h ( f ) ( x ) = f ( x ) .
Plus gnralement, on peut dnir les oprateurs aux diffrences nies n+1 n successifs : h = h o h . III.A - On suppose f dnie sur ] a ,b [ . Quel est lensemble de dnition de n h ( f ) ? III.B - Montrer que, pour tout n IN , h ( f ) ( x ) =
n n
( 1 ) n k C n f ( x + kh )
k k =0
n! k o C n = ------------------------- . k ! ( n k )!
III.C - On suppose f dnie et AM sur ] a ,b [ . Montrer que, pour tout n IN , n h ( f ) 0 . n+1 On pourra poser X ( h ) = h ( f ) ( x ) et exprimer X ' ( h ) en fonction de n h ( f ' ) ( x + h ) .
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III.D - On considre les fonctions f totalement monotones (TM) cest--dire, dnies sur ] a ,b [ , de classe C telles que : n IN , h ]0 ,( b a ) n [ , x [ a, b nh [ , h(f )(x ) 0 . III.D.1) Montrer quune fonction TM est positive et croissante. III.D.2) On pose
n
Sj =
( 1 )
k =0
nk
k kj C n ---j!
pour j IN et (t ) = ( e t 1 ) n . Dduire du calcul des drives successives de en 0 que S j vaut 0 si j < n et que S n vaut 1 . III.D.3) Montrer que toute fonction TM est AM. FIN

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f est dite compltement monotone (en abrg CM) si n IN , x ] a ,b [ , ( 1 ) n f ( n )(x ) 0 .

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