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Exercice 1
Soit a ∈ C\(R ∪ iR), tel que a 6= iā et a 6= −iā, et on considère les points A(a) ; B(iā)
1. Résoudre dans C l’équation (E) : z 2 − (a + iā)z + iaā = 0.
2. Soit (D) l’ensemble des points M d’affixe z tels que z = iz̄
Montrer que (D) est une droite passant par le point O.
3. Soit P le milieu du segment [AB].
(a) Déterminer l’affixe p du point P .
(b) Montrer que P ∈ (D).
a−iā
(c) On pose u = a+iā , Montrer que u ∈ iR.
(d) En déduire que la droite (OP ) est perpendiculaire à la droite (AB), puis que (D) est la
médiatrice du segment [AB].
4. Déterminer l’ensemble des points M de la droite (D) tels que le triangle AM B est rectangle en
M.
a+ā
5. On pose q = 2 , et on considère le point Q(q).
Im(a)
(a) Montrer que a−q
q ÷ a−p
p = Re(a) i ÷u
(b) En déduire que les points O; A; P et Q sont cocycliques
6. On pose a = eiθ avec θ ∈] π4 , π2 [ Déterminer la forme trigonométrique de u = a−iā
a+iā

Exercice 2
PARTIE I (
ln(x+1)
f (x) = √
x
;x >0
On considère la fonction f définie [0, +∞ [ par : .
f (0) = 0
Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,~i, ~j).
1. (a) Montrer que la fonction f est continue à droite en 0 .
(b) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 , puis interpréter géométriquement le résultat.
2. Calculer lim f (x), puis préciser la nature de la branche infinie au voisinage de +∞.
x→+∞
3. On considère la fonction g définie sur [0, +∞[ par g(x) = 2x − (x + 1) ln(x + 1)
(a) Etudier les variations de g et dresser son tableau de variations.
(b) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle [e − 1, +∞[, et
que 3 < α < 4.
(c) En déduire le signe de g(x).
√
2 α
(d) Montrer que f (α) = α+1 , et en déduire un encadrement de f (α).
g(x)
4. (a) Montrer que f est dérivable sur ]0, +∞ [ , et (∀x ∈]0, +∞[)f 0 (x) = √
2x x(x+1)
(b) Dresser le tableau de variation de f puis tracer la courbe (C). ( on prend α ' 3, 9 et f (α) ' 0, 8
)
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PARTIE II Rx
On considère la fonction F définie sur [0, +∞ [ par : F (x) = 1 f (t)dt
1. Montrer que la fonction F est continue sur [0, +∞[.
√ Rx √
2. Montrer que (∀x ∈]0, +∞[) : F (x) = 2 x ln(x + 1) − 2 ln 2 − 1 21+tt dt
R tan2 (x) 2√t  π
3. On pose H(x) = 1 1+t dt pour tout x ∈ 0, 2 [
(a) Montrer que H est dérivable sur 0, π2 [ et ∀x ∈ 0, π2 [) : H 0 (x) = 4 tan2 x
 

(b) En déduire que ∀x ∈ 0, π2 [) : H(x) = 4 tan x − 4x + π − 4



(c) En déduire que

√ √ √
(∀x ∈]0, +∞[) : F (x) = 2 x ln(x + 1) − 2 ln 2 − 4 x + 4 arctan( x) − π + 4
R1
4. Montrer que 0 f (t)dt = 2 ln 2 + π − 4
5. Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe (C) et les droites x = 0, x = 1 et y = 0
PARTIE III
Pour tout n ∈ N∗ , on considère la fonction fn définie sur ]0, 1 [ par : fn (x) = f (x) + xn − 1
1. (a) Montrer que la fonction fn est strictement croissante sur ]0, 1[.
(b) Montrer que l’équation f (x) = 1 − xn admet une solution unique αn dans ]0, 1[.
2. (a) Montrer que la suite (αn ) est croissante, en déduire qu’elle est convergente .
(b) On pose l = lim αn . Montrer que 0 < l ≤ 1.
√
ln( x−ln(1+x))
3. On pose g(x) = ln x − 12
√
(a) Montrer que (∀x ∈]0, 1[) : x > ln(1 + x), En déduire que g est continue sur ]0, 1[.
(b) Montrer que g (αn ) = n
(c) Montrer que l = 1 ( On peut utiliser un raisonnement par absurde )
4. Calculer lim (αn )n .

Exercice 3
R π √
On considère la fonction F définie par G(x) = 0
2
1 + x cos2 tdt
1. Montrer que la fonction G est définie sur [−1, +∞[
2. Calculer G(−1) et G(0).
Rπ cos2√
t
3. (a) Montrer que ∀(x, y) ∈ R+2 : |G(x) − G(y)| = |x − y| 02


√ dt
1+x cos2 t+ 1+y cos2 t
π
cos2 tdt = π4 , en déduire que ∀(x, y) ∈ R+2 : |G(x) − G(y)| ≤ π8 |x − y|
R 2


(b) Montrer que 0
(c) Montrer que G est continue sur [0, +∞[.
 h Rπ√ Rπp
4. Montrer que ∀x ∈ −1, +∞[) : 02 1 + x cos2 tdt = 02 1 + x sin2 tdt (on peut utiliser le chan-
gement de variable u = π2 − t )
√ 
−x

5. (a) Montrer que (∀x ∈] − 1, +∞[) : G(x) = x + 1G x+1
(b) En déduire que G est continue sur ]-1,0]
√ √ √
6. (a) Montrer que ∀(x, y) ∈ R+2 : x ≤ y ⇒ 0 ≤ y − x ≤ y − x


√
(b) Montrer que (∀x ∈] − 1, 0[) : 0 ≤ G(x) − G(−1) ≤ x + 1.
(c) En déduire que G est continue à droite en −1.
G(x)
7. Calculer lim G(x), puis lim . (On peut utiliser 6) a))
x→+∞ x→+∞ x
8. (a) Montrer que la G fonction est croissante sur [−1, +∞[, et donner l’allure de la courbe de la
fonction G.
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(b) Montrer graphiquement que l’équation G(x) = x admet une solution unique β dans [0, +∞[.

u0 ∈ [0, +∞[
9. On considère la suite (un )n∈N définie par
(∀n ∈ N) : un+1 = G (un )
(a) Montrer que (∀n ∈ N) : un ≥ 0
π
(b) Montrer que (∀n ∈ N) : |un+1 − β| ≤ 8 |un − β|
(c) En déduire que la suite (un ) est convergente et préciser sa limite.

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