Titrisation des risques

d’assurance
Mécanismes, méthodes d’évaluation
et stratégies de couverture partielle.

Stéphane Loisel 1
 Plan de l’exposé
• Mécanismes
• Réassurance et titrisation
• Méthodes d’évaluation actuarielles et financières
• Incomplétude du marché et conséquences
• Spécificités des risques sous-jacents (long terme
vs court terme, risque de décorrélation)
• Comportement des agents, besoin en capital
économique et en liquidité
• Smile de corrélation
• Conclusion dans une pespective ERM
Stéphane Loisel 2
 Mécanismes de titrisation
• En assurance, des types de risques très différents, et un marché en
développement depuis l’ouragan Andrew en 1992:
– Catastrophes naturelles (ouragans sur la côte est des USA (USAA-Residential
Re, etc…), séismes dans la région de San Francisco, tempêtes en Europe,
etc…).
– Risque de mortalité :
– Swiss Re : Vita Capital I, II, III,...
– Scottish Re,
– Axa: Osiris Capital, Benu
– Risque automobile (Axa, opérations 1 et 2 (Sparc avec Natixis)).
– Bientôt risque de longévité ? (tentative BNP Paribas-EIB-Partner Re)
– Bientôt les risques dits émergents ?
• En finance, un marché plus développé, mais encore de nombreuses
questions sur les méthodes d’évaluation.
• Passage d’une évaluation marked-to-model à une évaluation marked-to-
market.
• Des mécanismes très complexes, avec des similitudes fortes, et des
spécificités.
Stéphane Loisel 3
 Mécanismes de titrisation
• Le point commun de la plupart des mécanismes est la création d’une
société ad-hoc (créée pour l’occasion), souvent appelée SPV (Special
Purpose Vehicle) ou SPR (Special Purpose Reinsurer).
• En réalité le schéma est bien plus complexe : de nombreuses
contreparties sont chargées de garantir certains taux, rendements ou
notations. Il ne faut pas oublier les contrôles et les intermédiaires.
Off balance sheet
Swiss Re Vita Capital Bond Holders
Principal $400m

Up to $400m upon Up to $400m

extreme mortality without extreme
events mortality events
Mortality index

Source: Cairns, Blake & Dowd: Structure simplifiée du Mortality Bond de Swiss Re.

Stéphane Loisel 4
 Mécanismes de titrisation

Source: cours ENSAE d’Arthur Charpentier.

USAA-Residential Re (1997): titrisation du risque d’ouragan sur la
côte est des USA.
Intermédiaires: Goldman Sachs, Meryll Lynch, Lehman Brothers,
62 investisseurs. Le schéma commence à se compliquer.

Stéphane Loisel 5
Mécanisme général selon François Leroux (HEC Montréal)

Mécanismes
• Le montage d’une
opération de
titrisation est très
complexe et comporte
une composante
juridique importante,
le SPV étant souvent
dans un pays qui
présente certains
avantages (Irlande,
Bermudes, Lux., etc…).

Stéphane Loisel 6
 Mécanismes et évaluation
• La complexité de ces mécanismes rend l’évaluation des
Insurance-Linked Securities (ILS) dépendante de la
confiance des investisseurs dans tous les aspects du
montage.
• Le prix résultera non seulement d’un modèle
d’évaluation, mais aussi de contraintes comptables, de
notations, d’aspects juridiques, du risque d’asymétrie
d’information, d’évaluation de gain en capital
économique, etc…
• L’indice qui détermine si les coupons seront versés et
quelle partie du principal à risque sera remboursée est
également très important.

Stéphane Loisel 7
 Réassurance vs titrisation
La réassurance traditionnelle
peut avoir tendance à
concentrer les grands risques.
Titrisation: La pyramide devient…
« Taille »
réassureurs du risque

assureurs

assurés
Stéphane Loisel 8
 Réassurance vs titrisation
La réassurance traditionnelle Investisseurs
peut avoir tendance à
concentrer les grands risques.
Titrisation: La pyramide devient…
« Taille »
réassureurs du risque
… un sablier!
assureurs

assurés
Conf. PRMIA-Natixis, Paris,
Stéphane Loisel 9
23/01/2008
Titrisation: atomisation du risque ?

Stéphane Loisel 10
Titrisation: atomisation du risque ?
Attention, le risque ne disparaît jamais !
Il se transfère ou se recompose (par ex.
en tranches equity, mezzanine et senior).
Risque de corrélation des extrêmes.

Stéphane Loisel 11
 Méthodes d’évaluation financières et
actuarielles
• Méthodes actuarielles basées sur le choix d’une
mesure de risque:
– Value-at-Risk, Tail-Value-at-Risk, Wang-transform, autres
mesures de distorsion cohérentes, pricing par écart-type,
etc…
– Chargement de sécurité: le prix est en général égal à
l’espérance plus une prime de risque (la Market Value
Margin dans Solvabilité II par ex.).
– Diversification possible sous certaines conditions
– Approche coût du capital pour déterminer la MVM dans
Solvabilité II: la prime de risque est obtenue en actualisant
les capitaux à mettre dans le futur en face de ces risques.

Stéphane Loisel 12
 Méthodes d’évaluation financières et
actuarielles
• Méthodes financières basées sur l’évaluation en
univers risque-neutre:
– Changement de mesure de probabilité: la mesure de
probabilité dite historique P est remplacée par la mesure
de probabilité risque-neutre notée Q.
– Le prix d’un produit financier est alors l’espérance des flux
futurs actualisés sous Q.
– En marché complet, en absence d’opportunité d’arbitrage,
dans les modèles classiques, Q existe et est unique*.
– Le prix d’un contrat est obtenu en fonction de la stratégie
de couverture à mettre en place pour répliquer les flux
futurs.
* En général il faut l’hyp. d’Harrison et Pliska (1981)
Stéphane Loisel 13
 Convergence des deux méthodes
• Ces deux méthodes ne sont déjà pas si
différentes initialement:
• Considérons un marché complet mono-
périodique avec 2 actifs, et sans opportunité
d’arbitrage:
– Actif A (sans risque) : 1€ 1.03 €
p=1/2 1.12€ (hausse)
– Actif B (risqué) : 1€
1-p=1/2 0.98€ (baisse)
– On souhaite évaluer un produit d’assurance contre
une baisse du marché actions : l’actif C (comme cat).

Stéphane Loisel 14
 Convergence des deux méthodes
Actif C :
p=1/2 103€ (hausse du marché)
?
1-p=1/2 106€ (baisse du marché)
• Approche financière:
– sous la probabilité risque-neutre Q, tous les actifs ont le même rendement
moyen. La probabilité q de hausse sous Q est donc:
1.12q+0.98(1-q)=1.03, soit q=0.357.
– Le prix de l’actif C est alors donné par l’espérance sous Q du payoff actualisé:
[103q+106(1-q)]/1.03 = 101.87€
– Prix expliqué par 1.03a+1.12b=103
1.03a+0.98b=106
– Le portefeuille répliquant est constitué de quantités a=123.30 d’actif A et
b=-21.43 d’actif B. Prix du portefeuille répliquant: a+b=101.87€.
• Approche actuarielle:
– On peut par ex. calculer le payoff moyen actualisé (sous P):
[103p+106(1-p)]/1.03 = 101.46€ et rajouter une prime de risque (ou chargement
de sécurité).
– On retrouve 101.87€ = 101.46€ + 0.41€ si le taux de chargement est de 0.4%.

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Stéphane Loisel
 Convergence des deux méthodes
Actif C :
p=1/2 103€ (hausse du marché)
?
1-p=1/2 106€ (baisse du marché)
• Approche financière:
– sous la probabilité risque-neutre Q, tous les actifs ont le même rendement
moyen. La probabilité q de hausse sous Q est donc:
1.12q+0.98(1-q)=1.03, soit q=0.357.
– Le prix de l’actif C est alors donné par l’espérance sous Q du payoff actualisé:
[103q+106(1-q)]/1.03 = 101.87€
– Prix expliqué par 1.03a+1.12b=103
1.03a+0.98b=106
– Le portefeuille répliquant est constitué de quantités a=123.30 d’actif A et
b=-21.43 d’actif B. Prix du portefeuille répliquant: a+b=101.87€.
• Approche actuarielle:
– On peut par ex. calculer le payoff moyen actualisé (sous P):
[103p+106(1-p)]/1.03 = 101.46€ et rajouter une prime de risque (ou chargement
de sécurité). Best estimate MVM
– On retrouve 101.87€ = 101.46€ + 0.41€ si le taux de chargement est de 0.4%.

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Stéphane Loisel
 Convergence des deux méthodes
• Dans l’approche financière, le passage à la probabilité risque-neutre
contient la notion de prime de risque comme dans l’approche
actuarielle.
• IFRS et Solvabilité II: risques diversifiables vs risques non
diversifiables. Seuls les risques non diversifiables doivent donner
lieu à une prime de risque supplémentaire.
• La notion de diversification:
– Correspond à la sous-additivité de la mesure de risque en méthode
d’évaluation actuarielle
– Est contenue dans la théorie du portefeuille de Markovitz:
l’introduction d’ILS (rendements potentiellement élevés et faible
corrélation avec les marchés financiers traditionnels) a un impact
positif et fait bouger la frontière efficiente favorablement. Plus la
corrélation est faible, plus l’impact est significatif. Cela explique
l’intérêt de certains investisseurs pour les ILS. Attention toutefois à la
définition et la calibration de la corrélation !

Stéphane Loisel 17
 Convergence des deux méthodes
• La convergence des méthodes résulte de la convergence générale entre assurance
et finance.
• Les marchés financiers portent déjà les risques d’assurances (actionnaires des
compagnies d’assurances et de réassurance) : il y a déjà un « tranchage » du risque
puisque les actionnaires supportent les premières pertes.
• Une autre approche financière est celle du MEDAF : la valeur d’un flux à la date t
est donnée par
où est le taux sans risque,
est lié au rendement moyen sur le marché (aléatoire) et est une mesure de la
corrélation entre l’actif considéré et le marché.
• On modifie les taux d’actualisation pour inclure une prime de risque ; ceci joue au
numérateur, les espérances sont prises sous probabilité réelle, contrairement à
l’approche risque neutre, où l’on actualise au taux sans risque, mais on modifie la
loi des flux de trésorerie au numérateur.

Stéphane Loisel 18
 Incomplétude du marché
• Dans l’exemple que nous avons vu, le marché est supposé complet
(tous les actifs sont répliquables). Cela n’est évidemment pas le cas
pour les ILS.
• Dans ce cas, en absence d’opportunité d’arbitrage*, l’existence
d’une probabilité risque-neutre est préservée, mais le problème est
qu’elle n’est plus unique.
• Le problème consiste alors à choisir la probabilité risque-neutre la
plus pertinente:
– Soit en cherchant à calibrer les prix sur le marché (problème: il est
souvent embryonnaire ou peu liquide).
– Soit en utilisant des prix de produits financiers existants qui ont des
caractéristiques relativement proches (par ex. ratio de Sharpe).
• La notion de complétude est évolutive.
• Grâce aux ILS, le marché se complète petit à petit. On passera
bientôt de prix marked-to-model à des prix marked-to-market.

Stéphane Loisel 19
 Incomplétude du marché
– En effet, la titrisation peut dans certains cas renverser la
problématique de l’évaluation.
– Quand le marché devient liquide pour certains produits
standardisés, ils complètent le marché.
– Le prix qui résulte de la confrontation de l’offre et de la
demande devient un input de calibration pour les modèles,
puisque le marked-to-market va primer le marked-to-model
quand les produits sont liquides (ce qui n’est pas le cas si
les produits sont trop spécifiques et au début du marché).
– Exemple : dans la titrisation des crédits corporate, les
tranches sur indices iTraxx et CDX sont des classes d’actif à
part entière. Quid pour les ILS ?

Stéphane Loisel 20
 Ex. de marché incomplet: les
mortality-linked securities
• Ajout d’un risque de mortalité systémique : taux de mortalité annuel
futur pour une personne d’âge x aléatoire :
(qx=0.05 avec probabilité r=0.5 et 0.15 avec probabilité 1-r=0.5).
• On suppose que le risque de mortalité est indépendant du risque
précédent (financier).
• Prix obtenu par le choix d’une certaine probabilité risque-neutre globale,
produit de deux probabilités risque-neutre (une pour le risque de
mortalité et celle pour le risque financier).
• La probabilité risque neutre pour le risque de mortalité existe en absence
d’opportunité d’arbitrage mais n’est plus unique.
• On l’obtient en choisissant une probabilité risque-neutre r* que qx=0.05.
Cette nouvelle probabilité r* doit être comprise entre 0 et r=0.5.
• Si le risque était diversifiable, alors il n’y aurait pas de prime de risque en
théorie.
• Limite: la taille d’un portefeuille d’assurance ou de réassurance n’est pas
infinie. Comment tenir compte de cette diversification imparfaite?

Stéphane Loisel 21
 Risque de mortalité diversifiable
CAT- Bond :
103 € ( classical coupon) if alive ( q=0.9)
X€
106 € ( increased coupon if dead ( 1-q=0.1)

Actuarial answer (… correct…) :

1
X (0.9.103€  0.1.106€)  100.29 €
1.03

- no possible hedging on the market ( … real risk…)

- diversifiable risk ( assumption : q is sure !!)
- no safety margin in the financial pricing because
can be completely diversified ( by selling a big number
of such contracts)
- unique price based on the real probability measure
 4° optional bond – undiversifiable mortality risk
103 € if alive

q*= 0.95
( r=1/2)
106 € if dead
X€
X? 103€ If alive
q*=0.85
(1-r=1/2)

106 € if dead
-With the mean value, we would obtain the same price as in the diversifiable case
- But the new risk introduced :
- cannot be hedged
- cannot be eliminated or mitigated by diversification
- This means that this part of the risk must be remunerated !!
X 100.29

- One possible tool is to change the measure of q

( risk neutral value of r)
- But no unique possibility for that !!
Marché incomplet: risque de longévité
• Littérature abondante mais pas de marché pour l’instant.
• Méthodes financières:
• Devolder (2006),
• Cairns, Blake et Dowd (2007), …
• analogie entre le taux d’intérêt instantané et le taux de hasard de
mortalité.
• Méthodes actuarielles basées sur une Wang-transform à 1 puis à 2
paramètres (faisant intervenir la loi de Student):
• Lin et Cox (2006), Lin (2006).
• Calibrer une Wang-transform à 1 paramètre semble difficile, cela
devient possible avec un 2ème paramètre.
• Double échelle de temps: oscillations autour des tables
prospectives puis autour des prévisions à long terme des
démographes (très variables d’un démographe à l’autre).

Stéphane Loisel 24
 Spécificités des risques sous-jacents
• Nécessité d’un indice fiable présentant un risque faible d’asymétrie
d’information (le manque de confiance des investisseurs à ce sujet
avait causé l’échec des premières tentatives de cat-bonds).
• Le risque portant sur l’indice est différent du risque de base: risque
de décorrélation entre les pertes réelles et les indemnisations
obtenues par la titrisation.
• Fort risque de modèle et risques très spécifiques (risque cat parfois
évalué en externe (black box)).
• Exemple: risque de pandémie grippale (cf Chenut et al (2008)).
– Importance de la prise en compte des vagues d’épidémie (corrélation
temporelle sur 3 ans)
– Importance du choix du pas de temps
– Importance du profil de contamination par âge (en U, en W, plat, …).
– Corrélation avec les risques financiers ?

Stéphane Loisel 25
 Spécificités des risques sous-jacents
• Risque de longévité:
– corrélations inter-âges (Loisel et Serant (2007)) et effet cohorte dans
certains pays (Haberman et Renshaw (2006)).
– Théorie des options longues pour la partie financière du risque.
• Risques demandant la synthèse de nombreux domaines.
• Risques de court terme: titrisations réussies.
• Risques de long terme : titrisations non abouties jusqu’à
présent même si la demande est là (risque de longévité UK
par exemple).
• Standardisation des produits sans doute nécessaire pour ces
risques de long terme.

Stéphane Loisel 26
 Besoin en capital et en liquidité
• Il faut parfois revenir aux mécanismes de formation des prix eux-
mêmes.
• Méthodes dérivées de l’économie du risque, lien avec les équilibres
Pareto optimaux (cf Barrieu et El Karoui (2004a, 2004b)).
• Evaluation par indifférence d’utilité ou par indifférence d’utilité
locale.
• La titrisation peut être vue comme un moyen de rendre liquides des
produits qui ne l’étaient pas, et comme un moyen de limiter ses
besoins en capital économique (titrisation partielle du risque auto
par AXA).
• Une autre méthode d’évaluation consiste à évaluer le prix qu’un
assureur est prêt à payer pour céder un risque et gagner en besoins
de capital.

Stéphane Loisel 27
 Smile de corrélation
• Pour beaucoup de risques, la corrélation avec les risques financiers
traditionnels semble très faible et il peut être tentant de supposer les
risques d’assurance indépendants des risques financiers.
• Cela est presque vrai en régime stable, mais devient très discutable en cas
de crise. Or la titrisation concerne justement les grands risques. Une
grande attention doit donc être portée aux scénarios extrêmes et à la
corrélation cachée qui n’a pas encore pu être observée. Exemples :
• En risque cat, Katrina et Rita, et les bons des municipalities touchées.
• En risque de crédit, smile de corrélation : en régime moyen, peu de
corrélation entre les indicatrices de défaut de différents noms, mais en cas
de crise ou d’embellie le marché devient le driver principal (cf Burstchell,
Grégory et Laurent (2007), et Biard, Cousin, Laurent et Loisel (2008)).
• En risque de mortalité : des experts prédisent une chute du PNB de 5% et
une chute des actions de 15 à 25% en cas de pandémie de grippe aviaire.

Stéphane Loisel
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 Stratégies de couverture partielle
• Cette corrélation peut donner l’idée d’une stratégie de
couverture partielle (ou croisée) du risque de mortalité
• Par l’achat de put options sur les actions les plus susceptibles
d’être touchées en cas de pandémie
• Et par l’achat de produits dérivés de crédit pour se protéger
contre le défaut de l’institution vendeuse du put.
• Pour plus de détails sur la détermination de la quantité
optimale de puts à détenir, voir Chenut, Lefèvre, Loisel et
Toureille (2008).

Stéphane Loisel 29
 Stratégies de couverture partielle
• Pour les risques financiers modélisés grâce à des mouvements
Browniens corrélés, cette idée correspond à la notion de
cross-hedging étudiée par Ankirchner et al (2007).
• Couverture mutuelle partielle des risques de mortalité et de
longévité: quelle composition de portefeuille ? Dans quelle
mesure cela est-il possible ?
• Attention au risque de décorrélation : de la même manière,
en principe, le risque de crédit pourrait se couvrir avec des
puts sur actions ; en pratique, c’est loin d’être clair : exemple,
le décalage récent entre l’évolution du cours de bourse des
banques et l’augmentation du risque de crédit.

Stéphane Loisel 30
 Conclusion: titrisation et ERM
• La titrisation des risques d’assurance est en plein essor.
• Ce développement ira de pair avec la standardisation des
produits de type ILS, la réduction de l’incomplétude du
marché et l’évolution des méthodes d’évaluation.
• Les ILS sont utiles pour maîtriser besoins en liquidité et en
capital économique.
• Encore des interrogations théoriques sur la notion de valeur,
sur les corrélations, etc…
• Tout ceci renvoie aux problématiques générales de
l’Enterprise Risk Management (ERM).

Stéphane Loisel 31
 Merci pour votre attention !

Pour toute question, pour un feedback ou pour

une référence bibliographique,

stephane.loisel@univ-lyon1.fr

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