Assurance Vie Abouzaid
Assurance Vie Abouzaid
Assurance Vie Abouzaid
RABAT
2011-2012
SOMMAIRE
ACTUAIRE
DFINITIONS DE L'ASSURANCE
ASSURANCE-VIE
TABLE DE MORTALITE
FONCTIONS BIOMETRIQUES
FONCTIONS ACTUARIELLES
PRIMES ET CHARGEMENTS
VALEURS FINALES
RESERVES MATHEMATIQUES
RESILIATION DU CONTRAT
CONTRE-ASSURANCE
ASSURANCES SUR PLUSIEURS TETES
ACTUAIRE
I- DEFINITION
L'tymologie du mot "actuaire" est latine (comptable, rdacteur des livres de
comptes acta-),
Ce terme n'apparat qu'au XVIII sicle, repris de l'anglais "actuary".
Le dictionnaire Larousse le dfinit ainsi :
Actuaire : "spcialiste qui fait des calculs statistiques pour les
assurances".
Les mots "actuariat" ("fonction d'actuaire. Corps des actuaires") et
"actuariel" ("calcul effectu par des actuaires") se dfinissent par rapport
celui d'actuaire.
Les actuaires canadiens proposent :
"Spcialiste de l'analyse et du traitement des impacts financiers du risque".
LAAI :
Les actuaires sont des penseurs stratgiques pluridimensionnels, forms la
thorie et lapplication des mathmatiques, des statistiques, de lconomique,
des probabilits et des finances. On les appelle des architectes financiers et des
mathmaticiens sociaux parce quils utilisent leur combinaison particulire
daptitudes analytiques et administratives pour relever une diversit croissante
de dfis dordre financier et social partout dans le monde.
II- L'ACTUARIAT COMPREND PLUSIEURS METIERS :
1- Conception/ adaptation de produits.
- Dfinition de produits : analyser les risques dfinir les
garanties laborer les lois de mortalit ou de rachat
concevoir les tarifs laborer les normes de tarification
dfinir les mthodes de calcul et les procdures - prvoir les
rsultats.
assurance
60%
45.5%
conseil
12%
46.5%
autre
28%
8%
total
100%
100%
les financiers,
les comptables,
les juristes,
es techniciens des diverses branches,
les responsables commerciaux (qui doivent intgrer les
proccupations actuarielles dans leur approche marketing),
les informaticiens,
les auditeurs,
les directions gnrales des entreprises d'assurance
DFINITIONS DE L'ASSURANCE
L'assurance est gnralement dfinie comme l'opration par laquelle une
personne, l'assureur, s'engage excuter une prestation au profit d'une autre
personne, l'assur, en cas de ralisation d'un vnement alatoire, le risque, en
contrepartie du paiement d'une somme, la prime ou cotisation.
La technique assurantielle rside dans la mutualisation des risques, c'est--dire
une division du cot des consquences de sa survenue entre plusieurs.
A ce stade, les dfinitions voques ci-dessus sont suffisamment larges pour
inclure dans le champ de l'assurance les rgimes de scurit sociale obligatoires
qui ne seront pourtant pas traits dans le prsent rapport.
BASES DE LASSURANCE
Besoin de scurit
La scurit est un des besoins fondamentaux de ltre humain. La vie comporte
toutefois des risques et des dangers qui peuvent menacer la sant, la vie et les
biens que lon possde. Cest la raison pour laquelle les tres humains ont,
depuis toujours, eu recours lassurance pour se protger contre ce qui pouvait
leur arriver. De nos jours, vivre sans assurances dans un pays industrialis nest
pas concevable.
En Suisse, par exemple, hommes et femmes, sont trs soucieux de leur scurit.
En 2004, chaque habitant de la Suisse a consacr 7'109 francs (environ 50 000
Dh) aux assurances prives (assurances sociales non comprises), ce qui
reprsente le montant le plus lev au niveau mondial.
Solidarit
Lassurance repose sur le principe de la solidarit. Un grand nombre de
personnes ou dentreprises, exposes aux mmes risques, versent leurs primes
une caisse commune qui doit, en cas de sinistre, fournir la prestation
contractuellement convenue lassur qui en est victime.
vont se produire. La loi des grands nombres peut tre explique en prenant le jeu
de ds pour exemple: le rsultat dun seul coup de ds dpend du hasard. Mais si
les ds sont jets un grand nombre de fois, une certaine rgularit se manifeste.
La loi des grands nombres ne dit pas qui sera victime dun vnement bien
dtermin, mais seulement combien de membres dune communaut le seront.
Le hasard en tant que facteur provoquant des dommages assurs devient ainsi
une valeur moyenne pouvant tre chiffre statistiquement.
Contrat dassurance
Un contrat dassurance offre une couverture dassurance. Cette dernire couvre
les consquences financires dun vnement dommageable. La caractristique
de lvnement dommageable est que lon ne sait en gnral pas sil surviendra
et quand il se produira. Dans le contrat dassurance, des choses et des personnes
peuvent tre assures contre des vnements dommageables (assurance de
choses ou de personnes).
Primes / prestations
Toutes les personnes qui font partie dune communaut de risques sacquittent
de leur contribution afin de pouvoir venir en aide ceux qui sont victimes dun
dommage. Cette contribution est la prime qui comprend les lments suivants:
Le risque: cette partie de la prime est calcule sur des bases mathmatiques,
des statistiques dassurance, ainsi que des valeurs empiriques. Cette partie
de la prime doit suffire rgler tous les sinistres. Elle se fonde sur la
moyenne dune priode de longue dure.
Les frais: le conseil la clientle, la conclusion de lassurance et le
traitement des sinistres occasionnent des frais qui sont rpartis entre la
communaut des assurs.
Lpargne: pour les assurances-vie de capitalisation, vient sajouter
lobjectif de lpargne. Une part de la prime vient financer la prestation en
espces convenue pour la fin du contrat. Lautre part donne lieu des
intrts crdits par la compagnie dassurances jouant ici un rle
particulirement important dans le dveloppent de linvestissement.
7
CLASSIFICATION DE L'ASSURANCE
On distingue deux branches principales au sein du secteur de l'assurance :
BRANCHE VIE
BRANCHE NON-VIE
Assurance dommages
IARD pour Incendie Automobile et Risques Divers
Assurance des biens
RISQUE
CONTRAT
( POLICE DASSURANCE)
___________________________________________________________________________
COUVERTURE
CONTRAT
ASSUREUR
ASSURE
PRIME (COTISATION)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
RISQUE
PRESTATION
LIEN
BENEFICIAIRE
___________________________________________________________________________
ASSURANCE-VIE
L'assurance-vie est une assurance de personnes qui a pour objet de garantir le
versement d'une certaine somme d'argent (capital ou rente) lorsque survient un
vnement li la personne assure : son dcs, un accident, une maladie ...
Cette thorie a des applications directes en assurance et a des liens troits avec
dautres thories et modles actuariels et financiers. Le cours prsente lessentiel
de la thorie et des techniques actuarielles relatives lvaluation des contrats
dassurance vie et des rentes viagres. Ces techniques se trouvent sous une
forme ou une autre dans un grand nombre de rgles, mthodes et lois que les
actuaires appliquent tous les jours.
Il existe diffrents types d'assurance-vie tels que : lassurance en cas de dcs,
l'assurance en cas de vie, l'assurance " mixte "(Ce type de contrat combine les
deux types d'assurance prcdents).
10
TABLE DE MORTALITE
Une table de mortalit (appele aussi table de survie) est une construction qui
permet de suivre le nombre de dcs, les probabilits de dcs ou de survie selon
l'ge et le sexe.
Il existe deux types de tables de mortalit :
La table de mortalit du moment : gnration fictive laquelle on
applique les quotients de mortalit pour chaque ge (qx)
La table de mortalit par gnration : se ralise de la mme manire
quune table de mortalit du moment la diffrence que, au lieu de
constituer une gnration fictive, on construit la table en observant
les niveaux rels de mortalit dune gnration particulire (par
exemple la gnration ne en 1900)
On distingue galement:
- les tables de mortalit brutes : rsultant de lobservation (recensement)
- les tables de mortalit ajustes : table ajuste analytiquement
-les tables de mortalit statiques : suppose que la mortalit va rester stable dans
le futur
- les tables de mortalit prospectives : intgre une volution future attendue de
la mortalit
11
Effectif de base
La base de la table est forme de leffectif de lge le plus bas
Gnralement correspondant lge x = 0 : l0 (ex.
Mais dans une table dassurs
l0 = 100 000).
x est suprieur 0 : l15, l20
ge limite
Lge limite (ou ultime ou maximum) , ge partir duquel il ny a plus de
survivant o l+1 = 0, est voisin de 100 ans mais ne dpassant gure 115
ans.
Bien que des cas de longvit exceptionnelle soient constats dans diffrentes
rgions du monde notamment dans les rgions montagneuses (120 140 ans) :
Equateur, Caucase, Himalaya
Ces longvits nont pas tre prises en compte dans la pratique de lassurance
vie.
Construction de tables
Ltude des tables de mortalit et de la construction de celles-ci sort du champ
de ce cours. Nanmoins quelques constatations et quelques mthodes
dajustement des tables de mortalit seront rappeles et ne devraient pas tre
perdues de vue dans lexercice de mtier dactuaire.
Les probabilits de dcs sont dtermines partir denqutes statistiques
ralises par :
Des Instituts spcialiss
Des socits ou groupements de socits dassurances
Des caisses de pensions
Les tables de mortalit labores par les socits dassurances et les caisses de
pensions concernent leurs assurs, ce qui permet de tenir compte des facteurs
socio-conomiques des populations couvertes.
Facteurs qui influencent la mortalit :
Ces facteurs sont multiples mais nous ne citerons que ceux retenus dans les
tables courantes.
Influence de lge
12
13
Hommes
ge
(x)
1880-1890
1928-1932
1968-1972
2001-2003
qx 2001-2003 / qx 1880-1890
0,172620
0,100750
0,023911
0,004067
2,4%
30
0,007590
0,004440
0,001486
0,000928
12,2%
50
0,018170
0,011650
0,007900
0,005125
28,2%
80
0,150030
0,144080
0,121685
0,075884
50,6%
ge
(y)
1880-1890
1928-1932
1968-1972
2001-2003
qy 2001-2003 / qy 1880-1890
0,145540
0,078550
0,017632
0,003189
2,2%
30
0,007160
0,004150
0,000728
0,000394
5,5%
50
0,012160
0,009140
0,004520
0,002602
21,4%
80
0,136490
0,126700
0,091933
0,044578
32,7%
Femmes
14
Influence du lieu
Les enqutes statistiques ont toujours donn des probabilits de dcs qui
diffrent dun pays un autre. La diffrence est attribuer certainement aux
influences climatiques et au dveloppement des systmes de sant.
Comparaison de mortalit Suisse-France (1000qx)
Suisse 1958/63
France 1960/64
Age
0
11
20
40
60
65
70
Hommes
Suisse
24,48
0,48
1,67
2,65
19,35
30,19
46,25
Femmes
France
24,28
0,39
1,35
3,58
22,30
32,96
48,57
Suisse
18,60
0,29
0,51
1,62
10,12
16,97
29,29
France
18,49
0,25
0,62
1,98
9,84
15,85
26,94
15
Rgion
Cantons romands
Hommes
60,87
Femmes
65,61
Cantons du Tessin
61,84
67,19
Rgion almanique
63,25
67,31
Suisse entire
62,68
66,96
Mari
2,16
3,56
8,85
21,48
51,79
Veuf
4,88
7,93
12,90
28,86
62,27
Clibataire
4,24
7,26
14,14
28,89
66,47
Divorc
4,89
7,64
18,98
35,86
82,06
Ensemble
2,89
4,32
9,81
23,43
56,81
16
17
lx lx+1
dx
qx = ----- = -----------lx
lx
o
lx : nombre de survivants l ge x
dx : nombre de dcs l ge x
lx+1
lx - dx
px = ------- = ----------- = 1- qx
lx
lx
lx+1 = lx . px
lx+2 = lx+1. px+1 = lx . px . px+1
lx+n = lx . px . px+1 . px+2 . px+3.. px+n-1
18
i k
i k
k=2
k :
-2 ,
a(i) :
0,2
b) Formule de Finlaison
-1 ,
0,2
0,
0,2
+1 ,
0,2
+2
0,2
k=4
k : -4 , -3 , -2 , -1 , 0 ,
+1 ,
a(i) : 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,16
+2 , +3 , +4
0,12 0,08 0,04
c) Formule de Woolhouse
k=7
k : -7,
1000a(i) : -24
-6,
0
-5,
-16
-4 ,
24
k : +1 ,
1000a(i) : 192
+2 ,
168
+3 ,
56
+4 ,
24
-6,
-6
-5,
-5
+2 ,
46
+3 ,
21
-3 , -2 , -1 , 0 ,
56 168 192 200
+5, +6,
-16 0
+7
-24
d) Formule de Spencer
k=7
k : -7,
320a(i) : -3
k :
320a(i) :
+1 ,
67
-4 ,
3
+4 ,
3
-3 , -2 , -1 , 0 ,
21 46 67 74
+5, +6,
-5
-6
+7
-3
e) Formule de Karup
k=9
k : -9 , -8, -7,
1250 a(i) : -4 -12 -18
k : +1 ,
1250a(i) : 228
+2 ,
174
-6, -5,
-16 0
+3 ,
106
+4 ,
42
20
-4 , -3 ,
42 106
+5 , +6 ,
0 -16
-2 , -1 , 0 ,
174 228 250
+7 , +8 , +9
-18 -12 -4
f) Ajustement de King
g) Ajustement de Jaumain
1/5
Ajustement analytique
Cest lajustement des taux bruts observs par la une fonction
qx = f(x) prdtermine contenant des paramtres dont la valeur est fixer
partir des frquences observes.
Lajustement est en gnral fait partir de la fonction lx (nombre de survivants
lge x).
Nous donnons ci-dessous quelques exemples dajustement analytique.
21
Si
l0 = 860000
Cette reprsentation bien que simpliste permet dorienter vers une rsolution
mathmatique de la fonction de mortalit. Ce qui sera dvelopp travers les
autres mthodes dajustement analytiques.
b) Formule exponentielle
lx = k a
avec a<1
c) Formule de Sang
lx = a + b c x
d) Formule de Gompertz (1825)
Gompertz part de considration sur la dcroissance de la rsistance humaine
avec lge et que la mortalit croit exponentiellement avec lge.
lx = kg
Do
qx 1 g
cx
c x ( c 1)
l x ks g
x
px sg
cx
c x ( c 1)
par dfinition,
En dveloppant
et en utilisant la dfinition de la drive premire d'une
fonction, nous obtenons
Taux de survie
Vu la proprit prcdente
24
.
Ainsi,
Approximation
En effet,
est la pente de la tangente reprsente en rouge. Cette pente peut
tre approche par la pente de la scante reprsente en vert, mathmatiquement
cela se traduit par
25
26
Variable
Probabilit
0
qx
1| qx
2| qx
A =
+ . + l
+ + l )
ex
ex
px
px
px
px
/ lx
+ ..+ -xpx
27
-x
-x| qx
A = dx+1
+ dx+2 + dx+2
+ dx+3 + dx+3 + dx+3
+ d
+ d + d +..
ex
Variable
Probabilit
0,5
qx
1,5
2,5
1| qx
2| qx
-x| qx
/ lx
A = 0,5 dx
0,5 dx+1 + dx+1
+0,5 dx+2 + dx+2 + dx+2
+ 0,5 dx+3 + dx+3 + dx+3 + dx+3
.
+ 0,5 d + d + d +..
lx+3
+ . + l
ex = 0,5 +
=
ex
px
px
px
px
l ) / lx
+ ..+ -xpx
+ 0,5
28
-x+0,5
Priode d'observation*
Hommes
1876/80
1881/88
1889/00
1910/11
1920/21
1929/32
1939/44
1948/53
1958/63
1968/73
1978/83
1988/93
1998/03
Femmes
40.64
43.29
45.69
50.65
54.48
59.25
62.68
66.36
68.72
70.29
72.40
74.19
77.22
F/H
43.24
45.70
48.47
53.89
57.50
63.05
66.96
70.85
74.13
76.22
79.08
81.05
82.82
Hommes
2.60
2.41
2.78
3.24
3.02
3.80
4.28
4.49
5.41
5.93
6.68
6.86
5.60
Femmes
2.65
2.40
4.96
3.83
4.77
3.43
3.68
2.36
1.57
2.11
1.79
3.03
A partir de 1910/1911, sont uniquement prises en compte les tables de mortalit dont les
priodes d'observation taient proches d'un recensement fdral de la population.
Sources: BEVNAT, ESPOP, RFP
29
2.46
2.77
5.42
3.61
5.55
3.91
3.89
3.28
2.09
2.86
1.97
1.77
Vie probable :
La vie probable lge x est la dure compte partir de lge x pour laquelle la
probabilit temporaire de survie est gale 0,5 :
px = 0,5
lx+ =
(1 /2) lx
30
Probabilit de
dcs
Annuelle
-immdiate
qx
-diffre
px
se note
|1 qx se note
0|
qx
se note
px
_
n| qx
survie
| nqx
npx
px
qx
suppression de lindice n
quand il vaut 0 ou 1
qx
qX
+. k+n-2| qX + k+n-1|
qX
31
Cardinal(Lo) = lo
Cardinal(Lx) = lx
Cardinal(Lx) = dx
dx = lx lx+1
lx = dx + dx+1 ++d -1+ d
lx - lx +n = dx + dx+1 ++ dx+n-1
d = l
p = 0
q = 1
Probabilit quune personne p de lensemble Lo soit en vie le jour de son xme
anniversaire :
lx
x p0 = P(p appartient Lx) = -------
l0
Probabilit quune personne p de lensemble Lo dcde entre son xme et son
(x+1) me anniversaire.
lx lx+1
dx
x q0 =
q0 +.
x+n-2| q0 + x+n-1|
q0 =
+ dx+2 .. + dx+n-1
lx lx+n
= -------------------------------------------- = -----------------l0
l0
Probabilit quune personne p de lensemble Lo dcde avant son xme
anniversaire.
dx + dx+1
32
do + d1
+ d2 .. + dx-1
lo lx
= ---------------------------------- = ----------- = 1- x p0
l0
l0
lx +1
px =
------lx
lx+n
n px = ------- = px
lx
dx
lx - lx +1
qx = --------- = --------------- = 1- px
lx
lx
dx+n
n| qx = --------- = n px
qx+n
lx
n| qx + n+1| qx + n+2|
qx +.
n+k-2| qx + n+k-1|
+ dx+n+1 .. + dx+n+k-1
= -------------------------------------------lx
dx+n
33
qx =
dx + dx+1
+ dx+2 .. + dx+n-1
|n qX = --------------------------------------------
lx
lx lx+n
= --------------- = qX + |1 qX |2 qX |3 qX+..+ |n-1 qX = 1- n px
lx
lx +1
dx
lx px
lx qx
qx + 1| qx +
2|
n| qx + n+1|
qx +.+ -x-1| qx
n| qx + n+1|
qx +.+ -x-1| qx
qx +.+ n+k-1| qx
n+k px = n px . k px +n
n| qx = n px . qx +n
+ -x|
+ -x|
qx
qx = 1
= n px
= n px n+k px
34
FONCTIONS ACTUARIELLES
Elles se divisent entre deux grands groupes :
les assurances de capitaux
Une assurance de capital est un contrat par lequel un assureur sengage
payer un capital dtermin soit en cas de dcs au cours dune priode fixe
soit en cas de vie lexpiration dune priode fixe
Une rente viagre est une suite de paiements effectus des chances
priodiques et prenant fin au plus tard au dcs de leur bnficiaire (le
rentier).
Lassureur reoit en contrepartie de ces prestations une prime unique ou
priodique.
En cas de rente la prime unique est appele : capital constitutif de rentes .
Les fonctions actuarielles peuvent tre dfinies de trois manires :
1) Comme lesprance mathmatique dune fonction dintrt compos. On
substitue une variable alatoire une grandeur certaine.
Cette mthode thorique met en vidence les relations qui existent entre
les mathmatiques des assurances sur la vie et les mathmatiques
financires. Mais dans la pratique elle nest pas utilise pour effectuer des
calculs numriques.
2) Comme cot moyen unitaire dune opration financire suppose se
ralisant dan la population type de la table de mortalit choisie et ce
laide des nombres de commutation.
Cest cette mthode qui employe couramment dans les calculs
numriques
3) Comme combinaison dautres fonctions actuarielles. Cest le cas
notamment des primes priodiques.
35
Une assurance de capital diffr est un contrat par lequel lassureur sengage
payer le capital assur aprs un terme fix (n annes) si lassur dge x est
toujours vivant lge (x+n).
La dure n reste une grandeur certaine.
Le montant payer devient ainsi une variable alatoire qui prend la valeur :
Ex
= 1.
n px
|nqX
v n . n px
+ 0.
v n . |nqX = v n . n px
A x = v qx + v 2 1| qx
+ .+
qx
1| qx
2| qx
-x |
qx
v -x 1 -x | qx
Ax
qx
1| qx
2| qx
..
n-1
n-2| qx
n-1| qx
n px
Do lesprance mathmatique :
Ax =
v qx + v
1| qx
++ v
n-1| qx
37
n prend la valeur
1
avec la probabilit
1| qx
2| qx
qx
n-1
n-2| qx
n-1| qx
n px
A x :n
2
v qx + v 1| qx
v qx + v
Ex
1| qx
n -1
n
v
++
n-2| qx + v ( n-1| qx + n px)
n -1
n
v
++
n-2| qx + v
n-1 px)
Ax
Ax
Ax
v n 1 n| qx + v n 2 n+1| qx +.+ v -x 1 -x | qx
Remarque :
Ax
= n
Ax
+ n
Ax
38
1
m
i (m) et
1
m
sont proportionnels :
1+i = (1+ i
1
m
i (m) = m
)m
do
1
m
i(m)
= 1+
m
]m
i = 1+
et
(m)
=m
i(m)
m
[ (1 i)
i (m) = 0,06 ,
]-1
1
m
-1
i(m)
i = 1+
m
]m - 1
1
0,060 00
2
0,060 90
4
0,061 36
12
0,061 68
i = lim
0,061 84
i(m)
1+
m
d) Taux instantan
i = lim
m
e
i+1=
] m - 1 = e 0,06
- 1 = 0,061 84
]
[1+ /m - 1 = e - 1
= ln (1+i) =
= lim
m
log(1 i)
= log(1+i)/04342945
log e
i (m)
40
v n -1 = 1 v
1 vn
d
= 1+ v + v +.+
1 v
Avec la probabilit
X et x+1
qx
x+1 et x+2
n 1
x+n-2 et x+n-1
Aprs x+n-1
41
1| qx
n-2| qx
n-1 px
x:n
x:n
1 q q
x + 2 1| x | + n 1
n-2| qx +
n-1 px
personne (p) tant quelle est vivante mais au plus pendant n annes
Mthode 2 :
chacun des lx personnes vivantes dge x verse lassureur un montant
de
x:n
lx x:n
2
= lx + v lx+1 + v lx+2 +
v n -1 lx +n-1
Mthode 3 :
Chaque paiement est un capital diffr :
x:n = 1+ 1 E x +
E x ++
n 1
Ex
Relation :
x:n
d x:n = (1-v)
1 q q
x + 2 1| x | + n 1
qx +(1- v 2 ) 1| qx++(1- v
42
n -1
n-2| qx +
n-1 px
) n-1 px
) n-2| qx +(1- v
= qx + 1| qx + . + n-2| qx + n-1 px
=1
vqx
v 2 1| qx +
. + v
n -1
n-2| qx +
v n n-1 px
|---------------|
||
vn
d x:n = 1 -
Ax +
= 1 Ax:n
x:n =
1 Ax:n
d
similaire
1 vn
1 vn
=
1 v
d
Considrations globales
1- Catgories dassurances
Selon la rgle qui dfinit les conditions de paiements on peut distinguer
plusieurs catgories dassurances :
- quand un seul paiement est prvu on parle dassurances de
capitaux.
- Quand plusieurs paiements dont possibles on parle dassurances de
rentes
- Si les paiements ne peuvent avoir lieu que dans espace de temps
limit et fix contractuellement on a affaire une assurance
temporaire
- Dans le cas contraire, il sagit dune assurance vie entire
- Si tout paiement est exclu pendant les premires annes du contrat
lassurance est dite diffre
- Dans le cas contraire, on parle dune assurance immdiate.
43
2- Nombres de commutation
Les calculs pratiques, aussi bien des capitaux que de rentes, sont
effectus selon la mthode 2 mentionne plus haut, laide de valeurs
auxiliaires que lon nomme nombres de commutation.
Les nombres de commutation se rpartissent en six catgories :
Dx vxlx
N x Dx Dx1 ... D
S x N x N x1 ... N
C x v x1d x
M x C x C x1 ... C
Rx M x M x1 ... M = C x 2C x1 ... ( x 1)C
Ax
Mx
Dx
A
n x
-
Dx n
Dx
Ex
M x M xn
Dx
44
Ax =
M xn
Dx
- Assurance mixte :
A x :n
M x M x n Dx n
Dx
(I n A) x R
Rxn
Dx
2- Assurances de rentes
a) Rentes entires
Paiement de 1,- par anne
Rentes entires
praenumerando
postnumerando
Nx
Dx
N xn
x
n
Dx
N N xn
x n x
Dx
N x1
Dx
N x n1
a
x
n
Dx
N N xn1
ax n x1
Dx
b) Rentes fractionnes
m
2
4
12
paiements de
paiements de
paiements de
paiements de
1/m
1/2
1/4
1/12
46
ax
praenumerando
Rentes
fractionnes
Rente vie entire
immdiate
x
Rente vie entire
diffre
(m)
m 1
2m
x n x
n
(m)
Rente temporaire
immdiate
x n
(m)
x n
postnumerando
ax
(m)
ax
m 1
2m
m 1
.n Ex
2m
ax n ax
n
m 1
(1 n Ex )
2m
ax n
(m)
m 1
Ex
n
2m
ax n
(m)
m 1
(1 n Ex )
2m
Rentes entires
praenumerando
( I ) x
Sx
Dx
( I n ) x
( I ) x n
postnumerando
( Ia ) x
S x S xn
Dx
S x S xn nN xn
Dx
47
S x1
Dx
( I n a) x
S x1 S xn1
Dx
( Ia ) x n
S x1 S xn1 nN xn1
Dx
1
h
1 i' 1 i
- Postnumerando
soit i '
1 i
1
h
1
1 i
(va) x n vpx hv 2 2 px ... h n1v n n px ax n au taux i '
1
h
h
48
PRIMES ET CHARGEMENTS
Nous avons appris calculer la valeur actuelle dune assurance (capital ou
rente).
Les assureurs sur la vie proposent au public de souscrire des contrats au terme
desquels :
- Lassureur sengage verser au bnficiaire telle ou telle
prestation (capital ou rente).
- Le preneur dassurance sengage payer des primes. Ces primes
reprsentent le prix de lassurance.
La prime est compose de deux parties :
- la valeur actuelle des prestations promises
- les frais quoccasionnent la gestion et lacquisition du contrat en
question
Les techniques dassurance sur la vie ne sont pas lapanage des compagnies
dassurance. Elles sont galement utilises des fins sociaux par des caisses de
pensions et des assurances sociales. Ltude de ces deux derniers cas sort du
cadre de ce cours.
Pour aborder le public, lassureur a recours des acquisiteurs : agents,
prospecteurs, inspecteurs,
Niveaux de primes
Il existe trois niveaux de primes :
1) prime pure : cest la contrepartie de la prestation assure
2) prime dinventaire : qui contient outre la contre-valeur de la prestation
assure un chargement pour frais administratif (ou frais de gestion)
3) prime commerciale : qui en plus des lments figurant dans la prime
dinventaire contient encore des chargements pour frais dacquisition et
frais dencaissement de primes.
Chargement : Montant ajout la prime de risque(pure) pour couvrir les
charges, le bnfice et les imprvus.
49
Prime pure
= prestation
Prime dinventaire = prestation + frais administratif
Prime commerciale = prestation + frais administratif + frais dacquisition
+ frais dencaissement de primes
Les primes annuelles et les primes limites forment ensemble les primes
priodiques.
Les primes priodiques peuvent sacquitter par fractions semestrielles,
trimestrielles ou mensuelles.
Les rentes viagres immdiates ne peuvent se faire videmment qu prime
unique.
CAx:n
- dinventaire :
1,5% o en Suisse
- commerciale :
do
.CA"x:n
CA"x:n
1
CA' x:n
1
a contact lassur .
Dans la formule ci-dessus cette commission et proportionnelle la prime
commerciale. Elle peut tre aussi proportionnelle au capital assur et on alors :
CA"x:n CA'x:n .C
b) Prime annuelle
- Prime pure :
- Prime dinventaire :
CPx:n C
x:n
C(
1
d)
x:n
CP"x:n CPx:n .C
Do
Ax:n
1
.C
(CP' x:n
)
1
x:n
CP"x:n CPx:n .C
.C
x:n
.CP"x:n
.C = commission dacquisition
51
.C
x:n
c) Prime limite
(m)
- Prime pure : C.
Px:n C
Ax:n
m<n
x:m
Ax:n
x:m
1C 2C
x:n
x:m
Dans ce cas, le chargement pour frais administratifs est gnral rduit pendant
les (n-m) annes en fin de contrat o il ny a plus dencaissement de prime. On a
donc :
( 1 2 )C = chargement annuel de gestion pendant les m premires annes du
contrat o les primes sont dues actuellement :
1 = ..au Maroc, 1%o en Suisse
2 = ..au Maroc, 1,5%o en Suisse
C.( m ) P"x:n
1
.C
(C.( m ) P' x:n
1
x:m
52
n
2
N xn m 1
.n Ex )
Dx
2m
(m)
(m)
- Prime dinventaire : R n a' x (1 ) R n a x 1 R x:n 2 R n x
- Prime pure :
R n a ( m ) x R.(
Avec
de la rente
= taux de chargement pour le paiement de la rente
(m)
1
R n a'( m ) x o
1
.(Maroc)
= 3% (Suisse)
R n a ( m ) x R(
N xn m 1
Ex Z x )
n
Dx
2m
Prime unique
x:n
- Prime commerciale
Prime annuelle =
54
manire que le taux de rendement des capitaux placs ne soit infrieur au taux
technique. Le taux technique est rarement modifi.
En Suisse il tait depuis avant la 2me guerre fix 2,5%. En 1970 il a t
relev 3,25%.
Au Maroc..
2) Mortalit
a) Faire la distinction selon quil sagit dassurance
en cas de vie : rentes viagres capitaux diffrs
en cas de dcs : assurance mixtes, assurance dcs
Pour la premire catgorie, on prendra des qx faibles
Pour la deuxime catgorie, on prendra des qx levs de lordre de
grandeur de la table de la population gnrale.
b) Faire une distinction selon le sexe : un tarif pour hommes et un tarif pour
femmes. Distinction absolument indispensable pour les assurances de
rentes. Elle est recommande pour les assurances de capitaux.
c) Changer priodiquement la table de mortalit pour tenir compte de la
rgression sculaire de la mortalit. En gnral tous les 15 ou 20 ans.
3) Tarif
Faire preuve de pessimisme lors de ltablissement du tarif pour crer une
marge de scurit. Dans le cas dassurance avec participation au bnfice,
le trop peru est redistribu aux assurs. Ce qui est quitable. Dans ce cas
on a plus de libert dintroduire des marges de scurit.
55
VALEURS FINALES
Comme en mathmatiques financires on distingue parmi les fonctions
actuarielles :
- les valeurs actuelles ou initiales
- les valeurs finales
soit X le montant dun capital diffr de n annes dont la valeur actuelle lge
x est 1 :
X.
I=
n x
Ex
1
Ex
n
X=
D
1
= x =n Ix
E x Dx n
n
1
vn
On dira que X est la valeur finale de 1,- capitalis viagrement pendant n anne
La valeur finale dune rente est :
sx:n n I x n1 I x1 n2 I x2 ...1 I x n1
Dx
D
D
D
x 1 x 2 ... x n1
Dx n Dx n Dx n
Dx n
=D
s x:n x:n .n I x
, en mathmatiques financires,
56
sn n r n
1) Cas de
n x
lx
personnes versent chacune 1,- Dh. Les lx Dh ainsi recueillis sont capitaliss
intrt compos pendant n annes. Le capital final ainsi obtenu est rparti en
parts gales entre les lx+n survivants. Chacune des parts vaut
Do
2) Cas de
n x
Dh
l x r n l x n .n I x
lx
1
Dx
n
I
r
.
n x
l xn n Ex Dx n
s x:n
s x:n
Dh, on a donc :
sx:n n I x n1 I x1 n2 I x2 ...1 I x n1
s x:n x:n .n I x
3) Cas de
rx
57
rx
Dh, on a donc :
r dr
n x=
x
n 1
... d xn1
lx n
d x v ... d xn1v n
=
lxn v n
l x . n Ax
rx =
l x n .v n
Ax .r n
n
lx
lxn
Ax n I x
58
rx
RESERVES MATHEMATIQUES
Les compagnies dassurance sur la vie tablissent chaque anne un bilan
comptable. Dans le passif de ce bilan, figure un poste trs important appel
rserves mathmatiques.
A un instant t, les rserves mathmatiques constituent la diffrence entre la
valeur actuelle des engagements de lassureur pour tous les contrats en cours et
la valeur actuelle des primes recevoir au titre des mmes contrats.
En effet lassur paie une prime brute c'est--dire un montant comprenant la
prime pure certains chargements destins couvrir les frais.
La prime pure dun contrat dassurance sur la vie est calcule selon le principe
dquivalence. La valeur de la prime est obtenue de telle faon quelle vise
couvrir les prestations assures sans laisser ni bnfice ni perte lassureur.
Rserves mathmatiques pures :
Pour le calcul des rserves mathmatiques pures , lvaluation de la valeur
actuelle des charges futures de lassureur ne tient compte que des prestations
assures exclusion faite des frais de gestion futurs.
De mme pour lvaluation de la valeur actuelle des primes futures, on ne prend
en considration que les primes pures exclusion faite des chargements contenus
dans les primes restant choir.
Cas dune assurance au dcs vie entire
Aprs t annes :
Ax t
t
rx
Px x t
Px s x:t
Ax t + t rx = P
x
x t
Px s x:t
(1)
59
Px x t + Px s x:t
( Px x t +
Px s x:t
)t
E x = Px x
De mme :
Ax t + t rx ) E
t
Ax
Do daprs (2) :
( Px x t +
Px s x:t
)t
E x = ( Ax t + t rx ) t E x
Ax t + t rx = P
x
Ax t = P
x
x t
x t
Px s x:t
Px s x:t
(1)
rx
60
(3)
Px s x:t
rx
V x = P s
x:t
rx
(4)
Vx
Vx = Ax t - P
x t
La mthode prospective est dun emploi trs frquent. Cest par elle que les
compagnies dassurance estiment en gnral leurs rserves mathmatiques.
Elle sert parfois de dfinition. On dit alors que la rserve mathmatique est gale
la diffrence des valeurs actuelles des engagements de la compagnie et de
lassur.
Formule de rcurrence
Cest une relation liant entre elles les rserves mathmatiques dune mme
assurance aprs t et (t+1) annes depuis leffet du contrat
Dans le cas dune assurance dcs vie entire, on a :
(1)
et
x 1 vpx1x1
(2)
Ax t = vq vp A
*1
x t
*(-Px )
x t
x t
x t 1
= 1 + vpx t x t 1
___________________________
Ax t - P
Ax t - P
x
x t
x t
(1+i)(
= vqx t - Px + vpx t (
Ax t 1 - P x t 1 )
x
+ Px = vqx t + vpx t (
Ax t 1 - P x t 1 )
Vx + Px ) = q xt + p xt t 1Vx
62
Res.math. =
Valeur finale du
risque support par
lassureur
- Prospective
Res.math. =
Valeur actuelle
des engagements
de lassureur
63
Valeur actuelle
des primes encore
dues par lassur
Dans les deux cas la rserve mathmatique est dfinie comme la diffrence
entre deux quantits positives. A priori il est donc possible que la rserve
mathmatique puisse tre dans certains cas infrieure zro.
En retenant la mthode prospective, qui est la plus frquente :
Dans deux cas au moins, la rserve mathmatique ne sera pas ngative :
1) Dans le cas de paiement par prime unique. Ds que la prime unique est
paye, la valeur actuelle des engagements de lassur est nulle et la
rserve mathmatique est gale la valeur actuelle des engagements de
lassureur.
2) Dans le cas de primes limites, lorsque toutes les primes sont payes, la
valeur actuelle des engagements de lassur devient nulle et la rserve
mathmatique est gale la valeur actuelle des engagements de
lassureur.
En revanche la rserve mathmatique est ngative si la valeur actuelle des
engagements de lassur est suprieure celle des engagements de lassureur.
Cela peut se produire quand les engagements de lassureur perdent de leur
importance en fin de contrat (exemple : capital au dcs dcroissant) et que le
mode de paiement des primes est la prime annuelle.
Rserve mathmatique sur primes dinventaire
Jusqu prsent nous avons tudi uniquement le cas de la rserve mathmatique
sur primes pures faisant abstraction des chargements pour frais de gestion et
dacquisition.
En laissant de ct provisoirement les frais dacquisition, nous pouvons
introduire, dans le concept dengagement futur de lassureur, non seulement la
valeur actuelle des prestations assures, mais encore les fais de gestion de
lassurance. Paralllement nous prendrons dans lestimation des engagements de
lassur la valeur actuelle des primes dinventaire encore dues.
Dans le cas de lassurance au dcs vie entire primes annuelles, on aura :
V ' x = Ax t + xt
P' x x t
P' x = Px +
V 'x = A
x t
+ x t - Px x t - x t
64
V ' x = Ax t - P xt = tVx
V 'x =
(m)
(m)
Ax t + 1 xt:mt + 2 x t
P' x = ( m ) Px + 1 + 2
V ' x = Ax t +
2
(m)
(m)
P' x x t:mt
x
x:m
x
xt:mt
x:m
V ' x = Ax t t
(m)
Px xt:mt + 2 [ xt - xt:mt ]
x
x:m
(m)
Vx
(m)
V 'x =
t
(m)
Vx
*[ N x . N x t /( N x - N x m )]
N xt > ( N xt - N xm ) N x /( N x - N xm )
x t
>
xt:mt
x
x:m
B > 0
x
: .t I x
66
Valeur finale des quotes-parts
s x:t
On a alors :
.t I x -
[ DD
s x:t = .
x t
[ DD
= .
N x N xt Dx
.
Dxt
Nx
x t
Dx
N
D
x t . x
Dx t Dx t N x
x t
--
x t
t = B-A
la rserve mathmatique RM au 31 dcembre de lanne B :
RM = (4/12).
Anne B
anne B+1
[-----------avr_mai-------------------------------avr_mai ---------------]
31/12/B
4mois
8mois
4mois
Vx
Vx
t 1
68
Vx
Vx et on a reu
t 1 x
Vx
X+t
X+t+1
69
Notons, pour terminer, que les biens affects au Fonds de sret doivent tre
grs sparment du reste de la fortune de l'assureur et qu'ils font l'objet de
prescriptions svres visant leur garantir une qualit financire de premier
ordre et une estimation prudente de leur montant.
70
RESILIATION DU CONTRAT
Les assurances-vie sont rsiliables tout moment. Il suffit de ne plus payer, et
de ne pas tenir compte des lettres de mise en demeure envoyes par la
compagnie. Aucune action ne peut tre mene pour non-paiement.
Dans pratiquement tous les pays, la lgislation qui rgit l'assurance sur la vie a
donn au preneur d'assurance de larges droits pour se dpartir du contrat avant
son chance contractuelle. De telles dispositions sont motives par le fait que
les contrats de l'assurance sur la vie sont des contrats de longue dure et que, ds
lors, on ne saurait exiger du preneur d'assurance qu'il soit li, sans chappatoire
possible, des engagements qui pourraient devenir, le cas chant, pour lui une
charge trop lourde.
Ce sont les textes lgislatifs et rglementaires sur le contrat d'assurance qui
rglent cette question
Le preneur d'assurance qui a pay la prime pour une anne a le droit de refuser
le paiement des primes ultrieures.
En d'autres termes, seule la premire prime annuelle peut faire l'objet de
poursuites de la part de l'assureur. En fait celui-ci y renonce souvent et l'on parle
alors d'une non-rgularisation du contrat.
Mais quelles sont les consquences du refus de payer les primes ultrieures la
premire ?
Si moins de trois primes annuelles ont t payes au moment du refus, le contrat
tombe purement et simplement, sans indemnit pour le preneur d'assurance.
On dit dans ce cas qu'il y a rsiliation de l'assurance.
Assurance rduite
En revanche, si des primes pour trois annes ou plus ont t payes au moment
du refus, le contrat d'assurance est maintenu mais le montant de la prestation
assure est rduit . On parle dans ce cas d'une assurance rduite ou d'une
assurance libre.
Valeur de rachat
De plus, si l'assurance en question est une assurance de prestations certaines
(dcs vie entire, mixte, terme fixe), le preneur a le droit de refuser le maintien
d'une assurance rduite et d'exiger l'annulation du contrat. Le preneur reoit dans
71
Rachat partiel
Il existe aussi le rachat partiel: dans ce cas la prime annuelle ou limite et la
prestation assure diminuent proportionnellement et l'assureur verse la valeur de
rachat de la partie du capital qui cesse d'tre assure.
Transformations de contrat
Il arrive qu'un preneur d'assurance demande non pas le rachat ou la rduction
d'une police mais sa transformation par la modification d'un de ses lments. Par
72
Analyse du bnfice
La rserve mathmatique est galement utilise pour dterminer si la gestion
d'un portefeuille permet l'assureur de raliser des bnfices ou si, au contraire,
elle lui fait subir des pertes.
Nous considrerons dans ce qui suit une perte comme un bnfice ngatif. Ceci
simplifiera l'expos: on n'aura parler que de "bnfices" (positif ou ngatif) et
non de "bnfices ou pertes".
Des bnfices peuvent provenir soit du cours de la mortalit, soit du rendement
des placements, soit encore des frais administratifs et soit enfin des oprations
telles que rachat, rsiliation ou autre.
La dcomposition du bnfice global en quatre bnfices partiels dus chacune
des causes cites ci-dessus est le seul moyen permettant le contrle posteriori
du choix des bases de calcul du tarif (Table de mortalit, taux technique d'intrt
et taux de chargements pour frais).
Nous n'tudierons ici que les bnfices dus la mortalit et l'intrt.
1)Bnfice de mortalit
Supposons que, pour les assurs d'un certain tarif et pour l'ge x + t, le taux
annuel de dcs observ soit qx+t diffrent de la probabilit annuelle qx+t qui
figure dans la table de mortalit et qui a servi de base de calculs.
Cas de l'assurance au dcs vie entire primes annuelles :
Si lon substitue qx+t qx+t dans la formule de rcurrence
(t
73
V x + Px) (1 +i )
( sauf si
qx+t
=/=
qx+t
qx+t
+ (1
qx+t) t+ 1 V x
(t
*(-1)
*(+1)
_________________________________________________
tbmort x = (
qx+t
qx+t
)(
1 -
t+ 1
Vx)
qx+t
qx+t
qx+t
>
=
<
qx+t
qx+t
qx+t
(t
*(-1)
tb
x = ( i
i ) (tVx +
Px)
Ici, on a :
i' > i
i' = i
i' <
i
int
tb x
sera d autant plus grand en valeur absolue que la
rserve mathmatique est plus grande.
CONTRE-ASSURANCE
Les principaux types de contrats de rente viagre
Le contrat de rente viagre garantit son titulaire, moyennant le paiement
pralable de prime(s), le versement d'un revenu viager, autrement dit d'un
revenu assur jusqu' son dcs en complment ceux des rgimes de retraite
obligatoires.
Il existe :
Ils peuvent tre assortis d'une contre-assurance : ils combinent ds lors les
garanties vie et dcs.
75
Ainsi, la rente n'est verse qu'au terme de la priode de diffr, dont la dure est
fixe lors de la souscription du contrat.
Le contrat peut donner lieu au versement par le souscripteur :
contre-assurance
76
pxy n px .n p y
qxy 1 n pxy n qx .n p y n px .n q y n qx .n q y
x dcde
y dcde
y survit
x survit
77
x dcde
y dcde
Lorsque n = 1 :
qxy qx . p y px .q y qx .q y = 1 p xy
- probabilits annuelles de dissolution, diffres de t annes
A l'aide des nombres de survivants lx et de dcs
probabilits s'expriment comme il suit
dx , ces
lx+ t
y+ t
78
Exemples :
1)Capital diffr sur 2 ttes :
Le capital est payable si les deux ttes sont en vie l'chance.
Avec :
3)Capital au dcs vie entire:
Le capital est payable au premier dcs
79
avec
On formera toutes les autres valeurs actuelles selon la mme
mthode, en utilisant au besoin les nombres de commutation
suivants qui sont utiles pour le cas de prestations croissant en
progression arithmtique:
80
Ds lors, si l'chance:
a les deux ttes sont en vie, le capital sera:
1er contrat
2e contrat
3e contrat
E xy
, soit par
exemple :
1-3 Gnralisation
Nous prendrons le cas du capital diffr car, partir de ce cas,
on peut passer facilement celui des rentes par addition.
Posons:
E
Selon l'tat - dcd ou en vie - de chacune des deux ttes
l'chance, la prestation prendra diffrentes valeurs comme indiqu dans le tableau suivant:
cas
1
cas
2
cas
3
cas
4
Tte d'ge y
En vie
En vie
En vie
Dcde
Dcde
En vie
Dcde
Dcde
Prestation l'chance
cl
c2 + C3
cl
=
=
c2
bl
b2
b3
82
Exemples:
1) Capital de 1 , payable si, l'chance, une tte exactement
est en vie
83
pxy t pww
84
36 = 0,00740
45 = 0,00987
---------------------------
w = 0,01727
w = 0,00864
41 = 0,00851
42 = 0,00881
41 = 0,00851
w = 0,008640
_________________
__________________
D = 0,00030
D = 0,00013
a41:41
w = 41+0,43 = 41,43
= 13,684
D = 0,274
a42:42
= 13,410
85
De
xy pour toutes les valeurs possibles de x et de y . A
partir de l, ils posent:
axy aww
et dterminent par interpolation linaire la valeur de w
Ensuite, ils regroupent l'ensemble des rsultats dans le tableau
suivant:
u
86
Remarque :
Dans le cas o les deux ttes sont de sexe diffrent, il faut
distinguer les cas o c'est l'homme qui est le plus jeune des cas
o c'est la femme qui est la plus jeune.
87
1- Capitaux diffrs.
1-1 Quelle est la valeur d'un capital 1 payable si toutes les
ttes sont en vie dans n annes?
- Cas de deux ttes x et y :
88
On obtient donc
89
- Rente postnumerando
90
91