VERSION A 1

Examen d’algèbre.
L1S2. Licences PSI.

Nom, prénom, groupe :

1 Consignes (à lire absolument).

• Tout document et appareil électronique (notamment votre téléphone portable) doivent rester dans votre sac. Il
y a une horloge disponible en face de vous.
• Répondez sur l’énoncé. Tous les cadres sont à remplir : ils ont tous une taille suffisante. Les petits cadres ,
, ... sont destinés à des petites réponses oui , faux , 3 ... Il est inutile de mettre des justifications
quand elles ne sont pas demandées. Il est inutile d’écrire les étapes de calcul.
• Si vous voulez changer votre réponse, barrez clairement et réécrire dans le même cadre ou à côté de ce cadre.
Vous pouvez aussi redemander un nouvel énoncé.

• Lisez attentivement chaque exercice jusqu’au bout : une aide est parfois proposée.
• Il n’y a peu de calculs difficiles. N’hésitez pas à sauter un exercice qui vous parait trop dur ou trop long.
• Le barème est indiqué sur chaque exo (ex : 3+3+3 signifie que l’exercice comporte 3 cadres et que chaque cadre
peut rapporter 3 points). Pour les QCM, c’est 1 point par bonne réponse, -1 par mauvaise, et 0 si on ne se
prononce pas. Les QCM peuvent comporter plusieurs bonnes réponses et plusieurs mauvaises réponses.
• Le barème est sur XX points. Vous n’avez pas le même sujet que votre voisin. Bon courage.

2 Début

Exercice 2.1 Dans tout cet excercie, nous travaillons dans R3 . On peut dire que
 
x
(a). L’ensembles des vecteurs y  tel que x − y + y = 1 est un s.e.v. Faux
z
     
1  1 0 
(b). 1 est dans vect 0 , 0 . Faux
0 0 1
 
1
(c). 1 est dans le plan d’équation x − y = 0. Vrai
0

(d). La somme de deux différentes droites vectorielles est un s.e.v de dimension 2. Vrai

(e). L’intersection de deux plans vectoriels est une droite vectorielle. Faux

(f). Si w est un vecteur non nul orthogonal à un plan P = vect(v1 , v2 ), alors (w, v1 , v2 ) forme une base de R3 .
Vrai

(g). La seule base du s.e.v. {0} est constituée du vecteur nul. Faux

(h). L’intersection de 2 s.e.v. de dimension 2 ne peut pas être R3 . Vrai

VERSION A 2

       
1 1 1 1
Exercice 2.2 On pose v1 = 1 , v2 = 0 , v3 = 1 , w = 0. Quel est nombre de solutions du système linéaire
1 1 1 2
xv1 + yv2 = w (les deux inconnues sont x et y) ?

Ce système n’a aucune solutions (on ne demande pas le détail des calculs).

Le vecteur w appartient-il à vect(v1 , v2 ) ? Justifiez brièvement.

Non. Si le vecteurs w appartennait à vect(v1, v2), il serait

combinaison linéaire de (v1, v2), donc il existerait x, y tel que
w = xv1 + yv2, donc le système aurait une solution.
Combien de solutions à le système linéaire xv1 + yv2 + zv3 = w (les trois inconnues sont x, y et z). ?

Ce système a une unique solutions (on ne demande pas le détail des calculs).

Donnez les coordonnées de w dans la base (v1 , v2 , v3 ).

Les coordonnées sont (−1, 0, 2).

Exercice 2.3 Soient S et T deux s.e.v. de Rd . On peut dire que:

(a). S + T est l’ensemble des vecteurs qui s’écrivent comme la somme d’un vecteur de S et d’un vecteur de T .
Vrai

(b). Si S = {0} alors S + T = T . Vrai

(c). Si S = Rd alors S + T = S. Vrai

(d). S + T est toujours inclus dans S ∩ T . Faux

(e). S + T est toujours inclus dans S ∪ T . Faux

(f). Si S ⊂ T alors S + T = T . Vrai

(g). Si S ⊂ T alors S + T ⊂ T . Vrai

Exercice 2.4 Considérons la matrice  

1 1 0 1 0 0
 
 1 0 0 0 0 0 
A=
 

 0 1 0 1 0 0 
 
0 1 0 0 0 0

Notons S l’ensemble des solutions du système linéaire AX = 0. L’ensemble S est un sous-espace-vectoriel

de Rd avec d = 6 . Donnez la base standard de S.
VERSION A 3

 
1 0 0 0 0 0
 
0 1 0 0 0 0
 
0 0 0 1 0 0
 
0 0 0 0 0 0

Exercice 2.5 Considérons les deux s.e.v. de R3 suivants :

       
 1 0   1 0 
S1 = vect  0  , 1 S2 = vect 0 ,  1 
−1 2 2 −1

Vrai ou faux :

(a). On a S1 = S2 . Faux

(b). S1 et S2 sont des droites. Faux

   
 1 0 
(c). La base standard de S1 est donnée par  0  , 1 . Vrai
−1 2

(d). L’équation standard de S1 sont donnée par x − 2y + z = 0. Vrai

Donnez les équations standards de S1 ∩ S2 .

   
x −2y +z 0
=
0 y −z 0

Exercice 2.6 (2+3) On rappelle qu’une matrice antisymétrique est une matrice A telle que A = −A> .

Que valent les coefficients diagonaux d’une matrice anti-symétrique ? Justifiez.

Ils valent 0. En effet, puisque A = −A> on a Aii =

−(A>)ii = −Aii. il n’y a qu’un seul scalaire qui est égal
à son opposé, c’est zéro.
Ecrire la matrice antisymétrique A ∈ M3 (R) telle que Ai,j = 2i − j pour j > i.
VERSION A 4

 
0 0 −1
0 0 1 
1 −1 0
Barème : -1 points par erreur.

Exercice 2.7 Donnez la définition d’une base orthonormale de Rd .

   
v1 λ1
 ..   .. 
Considérons (e1 , ..., ed ) une telle base. Considérons v =  . . Notons ṽ =  .  l’écriture de v dans la base
vd λd
Pd Pd
(e1 , ..., ed ). Démontrez que i=1 vi2 = i=1 λ2i . On soignera bien la présentation; en indiquant en particulier les
propriétés du produit scalaire que l’on utilise.
VERSION A 5

Aide : on rappelle que, par définition des coordonnées, on a v = λ1 e1 + ... + ed . Calculez alors hv, vi de deux manière
différentes.

Exercice 2.8 Soit Am la matrice réelle  

1 1 1
Am = m 1 m − 1
1 m 1
(m étant un paramètre). Les questions suivantes peuvent être traîtées de manière indépendante.
1) Calculer det(Am ). Pour quelles valeurs de m, la matrice Am est inversible ? (on ne demande pas ici de calculer
l’inverse).

 
1 1 1
det m 1 m − 1 =
1 m 1
 
1 1 1
det 0 1 − m −1 = (m − 1)
0 m−1 0
Ainsi: Am est inversible ⇔ det Am 6= 0 ⇔ m 6= 1.
VERSION A 6

2) Résoudre le système linéaire réel:    

x 3
Am y  = 2
z 1

 
  
 
1 1 1 3 1 1 1 3
m 1 m − 1 2 ∼ 0 1 − m −1 2 − 3m
1 m 1 1 0 m−1 0 −2
• si m = 1 alors la dernière équation est 0 = −2, donc le
système n’a aucune solution.
2
 
1−m
• Si m 6= −1, la solution unique est  3m 
2
3 + m−1 − 3m
3) Quelle est la matrice inverse de Am quand m 6= 1 ? (donnez uniquement le résultat).

 1 m−2

( m−1 − m) 1 m−1
1 1 

1−m 0 m−1
(m + 1) −1 −1
4) Pour m 6= 1, et a, b, c des nombres réels quelconques fixés, résoudre
   
x a
Am  y  =  b 
z c

 
a
La solution unique est A−1
m
 b  soit:
c
 1 m−2

( m−1 − m)a +b + m−1 c
1 1

1−m a + m−1 c

(m + 1)a −b −c
VERSION A 7

 
a 1 1
Exercice 2.9 Soit a ∈ R. On définit la matrice Ma = 1 a 1.
1 1 a

Calculer le déterminant de Ma .

det Ma = a3 + 1 + 1 − a − a − a = a3 + 2 − 3a
Factoriser det Ma sous la forme: det Ma = (a − 1)2 × (a + 2)
     
a 1 1
On définit les vecteurs v1 = 1, v2 = a et v3 = 1. Et on note V = vect(v1 , v2 , v3 ).
1 1 a

Pour quelle(s) valeur(s) de a, a-t-on dim V = 3? a 6= 1, −2

Pour quelle(s) valeur(s) de a a-t-on dim V = 1? a=1
En déduire la/les valeur(s) de a telle(s) que dim V = 2. a = −2

Exercice 2.10 On définit les vecteurs suivants dans R3 .

       
1 0 1 2
v1 =  2  , v2 =  2  , v3 = 1 , v4 = 0
−2 −3 0 3

(a). Quelle est la dimension de E1 = vect(v1 , v2 , v3 )? Justifier.

 
1 0 1
dim E1 = 3 car la matrice  2 2 1 est inversible,
−2 −3 0
son déterminant est 1.
(b). Quelle est la dimension de E2 = vect(v2 , v3 , v4 )? Justifier.

dim E2 = 2. En effet, 2v3 − v2 = v4, et v1 et v2 ne sont

pas colinéaires.
(c). Donner une (ou des) équation(s) linéaires définissant le sous-espace E2 .
 
x
E2 = {y  |x − y + 23 z = 0}
z
VERSION A 8

Exercice 2.11 Soit n ≥ 2 un entier. On définit la matrice An de taille n par


 Aii = 1
 pour tout 1 ≤ i ≤ n
Ai,i+1 = 1 pour tout1 ≤ i ≤ n − 1

 An,1 = 1

Ai,j = 0 sinon


(a). Ecrire A4 et calculer son déterminant.

 
1 1 0 0
0 1 1 0
A4 = 
0
 det A4=0.
0 1 1
1 0 0 1
(b). Ecrire le développement de ∆5 selon la premiŔre colonne et en déduire la valeur de ∆5 .
 
1 1 0 0 0  
 1 1 0 0
0 1 1 0 0 
2 0 1 1 0
 
det A5 = 0 0 1 1 0 = (−1) .  +
0 0 0 1 1 0 0 1 1
 0 0 0 1
 1 0 0 0 1


1 0 0 0

6 1 1 0 0

(−1) .  =2
0 1 1 0
0 0 1 1
(c). Déduire l’expression de det An en fonction de n.

det An = 1 + (−1)n+1.

Exercice 2.12 On note e1 , e2 , e3 et e4 les vecteurs de la base canonique de R4 . On définit les sous-espaces vectoriels
de R4 suivants.  
x
y  4
S1 = vect(e1 ), S2 = vect(e1 + e2 , e3 ), S3 = {  z  ∈ R | y = 0 et z = 0}


t
Donner les dimensions des sous-espaces vectoriels suivants:

(a). dim S1 = 1
(b). dim S2 = 2
VERSION A 9

(c). dim S3 = 2
(d). dim S1 ∩ S2 = 0
(e). dim(S1 +S )= 2
3

(f). dim(S2 +S )= 4
3

(g). dim((S2 + S3 ) ∩ S1 )= 1
(h). dim(S2 + (S3 ∩ S1 )) = dim S2 + S1 = 3