Ce chapitre présente des méthodes pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, notamment la méthode de la matrice inverse et la règle de Cramer. Il introduit également des concepts clés comme le nombre de solutions possibles d'un tel système.
0 évaluation0% ont trouvé ce document utile (0 vote)
18 vues7 pages
Ce chapitre présente des méthodes pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, notamment la méthode de la matrice inverse et la règle de Cramer. Il introduit également des concepts clés comme le nombre de solutions possibles d'un tel système.
Ce chapitre présente des méthodes pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, notamment la méthode de la matrice inverse et la règle de Cramer. Il introduit également des concepts clés comme le nombre de solutions possibles d'un tel système.
Ce chapitre présente des méthodes pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, notamment la méthode de la matrice inverse et la règle de Cramer. Il introduit également des concepts clés comme le nombre de solutions possibles d'un tel système.
Téléchargez comme PDF, TXT ou lisez en ligne sur Scribd
Télécharger au format pdf ou txt
Vous êtes sur la page 1/ 7
10‐601‐11 Algèbre vectorielle et linéaire en gestion
Chapitre 3
Chapitre 3 : résolution de systèmes d’équations linéaires
lorsque le système a une solution unique
3.1 Systèmes d’équations linéaires en gestion
Considérons la situation suivante : une compagnie fabrique deux produits demandant deux matières premières. Imaginons par exemple une compagnie de vêtements fabriquant deux modèles de manteaux, le manteau A demandant 1,75 mètre de polyester et 2 mètres de coton, et le manteau B demandant 2 mètres de polyester et 1,5 mètre de coton. Si le propriétaire achète 65 mètres de polyester et 62,5 mètres de coton, combien de manteaux de chaque type peut‐il produire?
Définissons les variables suivantes :
: nombre de manteaux de type A produits : nombre de manteaux de type B produits On peut alors écrire les équations suivantes : 1,75 2 65 2 1,5 62,5
Pour résoudre ce système d’équations linéaires, on peut simplement isoler une des variables dans une des équations puis remplacer celle‐ci par son expression dans l’autre équation; par exemple, de la deuxième équation, on tire : 2 62,5 1,5 ⇒ 31,25 0,75
En remplaçant dans la première équation, on obtient :
1,75 31,25 0,75 2 65 ⇒ 15
En utilisant l’équation obtenue plus tôt, on conclut :
31,25 0,75 15 20
Si ce problème est facilement résolu, il en va autrement d’une situation où le fabriquant
peut produire 25 modèles utilisant diverses combinaisons de 18 tissus différents, par exemple. Il aurait alors à résoudre un système de 18 équations à 25 inconnus. Si cette situation semble un défi mathématique, il est évident qu’elle est une situation de gestion plus réaliste que la précédente. Nous nous intéresserons ici et dans les chapitres suivants à diverses techniques de résolution de systèmes d’équations linéaires. 10‐601‐11 Algèbre vectorielle et linéaire en gestion Chapitre 3
3.2 Système linéaire en notation matricielle
Considérons un système de équations linéaires à inconnues :
⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ où , … , sont les inconnues et , … , sont des constantes. Sous la forme matricielle, ce système est représenté par l’équation , où
… … , ⋮ et ⋮ . ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ …
3.3 Nombre de solutions d’un système d’équations linéaires
THÉORÈME 3.1 : Nombre de solutions d’un système
Un système d’équations linéaires peut avoir : i. une solution unique, ii. une infinité de solutions, iii. aucune solution. Il n’y a pas d’autre possibilité.
Définitions : 1) Un système d’équations linéaires est dit compatible lorsqu’il a au moins une solution. 2) Un système d’équations linéaires est dit incompatible lorsqu’il n’a aucune solution.
THÉORÈME 3.2 : Le système (où est carrée) admet une solution unique si et seulement si det 0. Donc si det 0, alors le système admet soit une infinité de solutions, soit aucune solution.
Ce chapitre présente des méthodes de résolution que l’on peut utiliser uniquement lorsque la matrice des coefficients est carrée et régulière. Ce sont donc des méthodes qui ne peuvent être utilisées que si le nombre d’équations dans le système et le nombre d’inconnues sont les mêmes; il faut également que le déterminant de la matrice des coefficients soit non‐nul. 10‐601‐11 Algèbre vectorielle et linéaire en gestion Chapitre 3
3.4 Méthode de la matrice inverse
Corollaire du théorème 3.2 :
Si det 0, alors le système admet la solution unique donnée par :
Preuve : det 0, alors est inversible. Donc ⟺ ⟺ ⟺
Exemples : Résoudre les systèmes suivants en utilisant la méthode de la matrice inverse. 2 5 1 a) 3 2
2 1 b) 2 3
3 4 c) 2 8 3 2 4 12 10‐601‐11 Algèbre vectorielle et linéaire en gestion Chapitre 3 Solutions :
2 5 1 a) 1 3 2
det 6 5 1 0⇒ est inversible.
1 3 5 3 5 3 5 1 7 ⇒ det 1 2 1 2 1 2 2 3
7 On trouve la solution unique , c.‐à‐d. 7 et 3 est donc la solution du 3 2 5 1 système 3 2
Remarque : Il est fortement conseillé de vérifier l’exactitude de la solution d’un système
d’équations linéaires en substituant les valeurs de , , … , dans chacune des équations. 10‐601‐11 Algèbre vectorielle et linéaire en gestion Chapitre 3
3.5 Règle de Cramer
THÉORÈME 4.3 (Règle de Cramer)
Soit un système d’équations linéaires de n équations à n inconnues, où det 0 et
⋮ .
La solution unique du système est donnée par
det pour 1, 2, … , det
où est la matrice obtenue de en remplaçant sa jème colonne par la colonne des
constantes.
Exemple : Résoudre les systèmes suivants en utilisant la règle de Cramer.
2 1 a) 0 1 2 1 1 1 0 det 1 2 3 0 ⇒ Solution unique et on peut utiliser la règle de Cramer det det et det det 1 2 1 1 det 1 et det 1 0 1 1 0 1 1 , 1 1 Donc 3 et 3 solution : 3, 3 10‐601‐11 Algèbre vectorielle et linéaire en gestion Chapitre 3 2 3 6 b) 2 1 3 2 2 3
6 2 3 1 6 3 det 1 1 1 1, det 2 1 1 2 et 3 2 2 3 3 2
1 2 6 det 2 1 1 1 3 2 3
Par la règle de Cramer, la solution unique est donnée par :
1 2 1 1, 2, 1. 1 1 1
1 Solution unique : 2 1
1 2 2 3 1 6 Vérifions 2 1 2 1 1 3 1 2 2 2 1 3
Remarque : On rappelle que cette méthode de résolution de systèmes d’équations linéaires
nécessite l’évaluation du déterminant de la matrice des coefficients. Il faut donc que cette matrice soit carrée; on ne peut donc appliquer cette méthode que pour les systèmes d’équations linéaires de équations à inconnues.
3.6 Application Le problème #36 de la page 182 du manuel est un exemple semblable à celui présenté en début de chapitre. Vérifiez que le nombre de solutions du système est bien une seule, puis utilisez la méthode de la matrice inverse ou la méthode de Cramer pour trouver la solution unique.
